（概率论与数理统计专业论文）评估ibnr准备金的随机方法.pdf

摘要 保险事故的发生、报告与立案三者之间都存在着时间上的延迟，所以在会计评估e l ， 保险公司不仅要为已报告的赔案估算准备金，还必须为已发生但尚未报告的赔案做资金 准备，即i b n r ( i n c u r r e db u tn o tr e p o r t e d ) 准备金，这是赔款准备金的重要组成部分 在会计评估日，保险公司计提i b n r 准备金时，通常是指广义的i b n r 准备金，包括了 纯i b n r 准备金( p u r ei b n r ) i b n r 准备金评估的准确性对公司的财务核算、客观反 映经营成果和确保公司偿付能力有着重大的影响 由于i b n r 准备金没有可以直接利用的个案信息，因而所涉及的不确定性最高，评 估难度最大，无论是理论界还是实务界，迄今尚未出现广泛认可的评估技术和预测模型， 因此有很大的研究空闻在我国，随着非寿险长尾业务的开展，对i b n r 准备金的评估 从之前的“不超过当年实际赔款支出额的4 提取”改进为“采用链梯法，案均赔款法， 准备金进展法和b f 法中的至少两种方法进行谨慎评估”，逐步与国际通行做法接轨但 是由于我国关于i b n r 准备金评估的研究还刚刚起步，精算评估制度还存在商榷和改进 的空间 以上提到的比率法、链梯法、案均赔款法、准备金进展法和b - f 法都是确定性方法， 即最终只是估计出一个确定的值，而无法说明这个值有多大的偏差，有多大的准确性由 于i b n r 准备金实质上是一个随机变量，因此我们可以用统计的方法去估计它的值，同 时给出它的置信区间这样得到的结果将是更有说服力的 论文共四章，首先介绍了选题的背景；第二章对i b n r 准备金的产生、定义作了说 明。阐述了单独评估i b n r 准备金的必要性，并且简单介绍了评估i b n r 准备金的确定 性方法和随机方法；第三章提出了一种基于时间序列的评估i b n r 准备金的方法，并作 了修正；第四章是这种评估方法一个实例模拟 本文的创新之处在于构建了一种评估 b n r 准备金的随机方法t 利用时间序列的方 法预测出到评估日为止已经发生的全部赔案数，并利用二次规划及截尾正态分布两种方 法对其进行修正，然后减去已经报告的赔案数，得到i b n r 赔案数，进而估计i b n r 准 备金这个模型的关键在于i b n r 赔案数的预测本文同时给出了m i n i t a b ，l i n g o 等软 件的模拟结果 关键词ti b n r 准备金；i b n r 赔案数；偏相关函数；自相关函数；二次规划； 截尾正态分布 a b s t r a c t t h e ei sd e l a yi nt h eo c c u r r e n c e ，r e p o r t ，a n ds e t t i n g - u po fc l a i m s o nt h ed a t eo f v a l u a t i o n ，t h ei n s u r e r sn o to n l yh a v et oe s t i m a t er e s e r v e sf o rr e p o r t e dc l a i m s ，b u ta l s o h a v et om a k ec a p i t a lp r e p a r a t i o nf o rt h o s ei n c u r r e db u tn o tr e p o r t e dc l a i m s ，t h a ti si b n r r e s e r v e ，w h i c hi st h ev i t a lp a r to fl o s sr e s e r v e w h e nt h ei n s u r e r sr e f e rt oi b n rr e s e r v e ， t h e ya l w a y sm e a nm o r et h a np u r ei b n rr e r v e t h ep r u d e n tw a yo fc a l c u l a t i o ni b n r r e s e r v eh a sg r e a ti m p a c to i lt h ei n s u r e r s l i a b i l i t yv a l u a t i o n ，s o l v e n c ya n dp e r f o r m a n c e a s s e s s m e n t s i n c ei b n rp r o v i s i o nh a su oc a s ei n f o r m a t i o nt or e l yo nd i r e c t l y , i ti sw i t ht h em o s t u n c e r t a i n t ya n da s s e s s m e n td i m c l l l t y t i l ln o w ，m a n yr e s e a r c h e sv a nb ed o n es i n c et h e r e a r en op u b l i c l ya c c e p t e dt e c h n i q u e sa n dm o d e l si nb o t ht h e o r ya n dp r a c t i c e i no u rc o n n - t r y , w i t hm o r ea n dm o r el o n g - t a i lb u s i n e s s e si n s u r e d ，i b n rr e b e r v ei sc h a n g i n gf r o m “n o t m o r et h a n4p e r c e n to fa c t u a lp a i dl o s s e st h a ty e a r 。t o 。a tl e a s ep r u d e n t l ye s t i m a t i n g i b n ri nt w ow a y ss u c ha sc h a i nl a d d e r ，p a y m e n t sp e rc l a i m ，r e s e r v ed e v e l o p m e n ta n d b fm e t h o d ”w h i c hi sm u c hc l o s e rt oi n t e r n a t i o n a lc r i t e r i o n as i n g l ev a l u ec a nb ec a l c u l a t e dt h r o u g ht h o s em e t h o d sm e n t i o n e da b o v e h o w e v e r i ti sd i f f i c a l tt os a yh o wa c c u r a t et h ev a l u ei s s i n c ei b n rr e s c u ei sar a n d o mv a r i a b l e s t o c h a s t i cm o d e l sc a nb es e tu pt oe s t i m a t ei t se x p e c t e dv a l u e v a r i a n c ea n dc o n f i d e n c e i n t e r v a l t h er e s u l tc a nb em o r ea c c e p t a b l e i nt h i sp a p e r ，t h e r ea r ef o u rp a r t s f i r s t l y , t h ep a p e ri n t r o d u c e dt h eb a c k g r o u n do f t h ei s s u e s e c t i o ni ig a v et h ed e f i n i t i o no fi b n rr e s e r v e t o l dw h yn e e dt oe s t i m a t ei b n r s e p a r a t e l y , a n db r i e f l yi n t r o d u c e dv a l u a t i o nm e t h o d s e c t i o ni i id e s i g n e dat i m e * s e r i e s m o d e lt oe s t i m a t et h en u m b e ro fi b n rc l a i m s s e c t i o ni vi sa ne x a m p l et oi l 1 u s t r a t et h e m e t h o dm e n t i o n e di ns e c t i o ni i i t h ei n n o v a t i o no ft h i sp a p e ri su s i n gt i m es e r i e sm e t h o d t oe s t i m a t et h en u m b e ro fi b n r ，a n da d j u s t i n gr e s e tw i t hq u a d r a t i cp r o g r a m m i n ga n d t r u n c a t e dn o r m a ld i s t r i b u t i o n k e y w o r d s li b n rr e s e r v e ，n u m b e ro fi b n r ，a u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n ，p a r t i a l a u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n ，q u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ，t r u n c a t e dn o r m a ld i s t r i b u t i o n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果据 我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研 究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均巳在文中作了明确说明并表示谢 意 作者签名，燃 日期i1 2 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文 并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非赢 利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关 数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适 用本规定 学位论文作者签名勃诌 日期：以b 导师签名 日期： 辊雄 汐列 第一章引言华东师范大学硕士论文1 第一章引言 1 1问题背景 i b n r ( i n c l l r r e db u tn o tr e p o r t e d ) 准备金，即已发生未报告准备金，是保险公司对 已经发生但尚未报告的赔款给付所做的资金准备在保险公司非寿险业务的各项准备金 中，i b n r 准备金没有可以直接利用的个案信息，因而所涉及的不确定性最高，评估难度 最大，无论是理论界还是实务界，迄今尚未出现广泛认可的评估技术和预测模型，因此有 很大的研究空间i b n r 准备金评估的准确性对公司的财务核算、客观反映经营成果和确 保公司偿付能力有着重大的影响，一直受到保险公司保单持有人保监会，税务机关， 股东，潜在投资者等的广泛关注 对于在评估核算日之前已经发生了保险事故的理赔责任，有报告延迟和理赔延迟两 大不确定因素财产理赔一般是在一年或两年内完成，而责任赔付的情况却有着根本性 的不同责任赔付的最终金额通常要等到索赔事件发生几年后才会知道例如，发生在美 国的医疗事故中，保费收入中只有4 一6 的赔偿是在事件发生的当年年底支付的，大 约5 0 是在事件发生的第三年支付的，而保费收入的8 5 一9 5 是在事件发生十年之 后支付的【1 】又比如，工人在工作中吸入石棉而导致石棉肺( a s b e s t o s i s ) 的职业病，直至 最后转变为肺癌的潜伏期很长( 最长可达5 0 年) 2 有资料显示，保险业为石棉和环境 ( a & e ) 污染赔款提取的准备金有约5 5 0 亿美元的缺口【3 】可见预测未来支付的难度被 以下这个事实加大了；有相当大的一部分索赔在年度报表评估日甚至还未予以报案，因 此需要精算师进行所谓的i b n r 准备金估算 在美国保险实务中，准备金评估方法主要分为三类。损失进展法( 包括链梯法、案均 赔款法，准备金进展法) 、损失率法、两种方法的综合( b f 方法和s - b 方法) 采用链梯 法，准备金评估结果对流量三角型左下角数据极为敏感，进展因子较小的变动就会导致 评估结果巨大的波动而损失率法过于重视近期赂付经验，忽略赔付进展规律，很难符合 实际s - b 方法( 又称c a p e - c o d 方法) 同b - f 方法类似，都综合运用赔付延迟模式规律 和基于风险的期望赔付率，其最大创新之处在于使用历史经验数据来估计最终期望损失 率，而不依赖于赔付经验判断最终损失率因而在再保险业务中，再保险人因缺乏最终损 失率，或者当定价精算师的期望损失率与实际经验不一致时，该方法更为有效 第一章引言华东师范大学硕士论文2 长期以来，我国财产保险主要为短尾业务，i b n b 准备金比重相对较小，根据财政部 1 9 9 9 年1 月颁布的保险公司财务制度，采用不超过当年实际赔款支出额的4 提取， 强调已报案未决赔款准备金的准确性但随着职业责任险、医疗事故责任险、雇主责任险 等长尾业务的开展，根本无法准确估计已报告赌案未来赔付进展，如仍然采用上述规则 提取i b n r 准备金，必将错误评估公司负债鉴于此，保监会于2 0 0 4 年年底及2 0 0 5 年 2 月相继出台了保险公司非寿险业务准备金管理办法( 试行) 和保险公司非寿险业 务准备金管理办法实施细则( 试行) ，对i b n r 准备金的核算作了新的规定；根据险种 风险性质、分布、经验数据等因素，采用链梯法、案均赔款法、准备金进展法和b - f 法等 其它合适的方法中的至少两种对i b n r 准备金进行谨慎评估关于i b n r 准备金核算方 法的规定正逐步与国际通行做法接轨 2 0 0 5 年5 月3 1 日美国财产意外险精算协会执行委员会颁布财产意外险赔款 和理赔费用准备金原则的声明最新讨论稿，强调赔款准备金估计的内在不确定性，未来 将会在统计的框架下，采用德机方法评估准备金这将成为我国准备金评估未来的发展 方向 1 2研究思路及论文框架 笔者在文中是按以下思路展开分析的r 首先，阐述i b n r 准备金的定义及产生原因， 说明i b n r 准备金的重要性；其次，简要介绍评估i b n r 准备金的确定性方法和随机方 法；然后，文章着眼于随机方法，构建基于时间序列的评估模型，并举了一个这种模型的 实例；最后，提出值得继续研究和有待商榷的问题 论文共分四章t 第一章是本文选题的背景；第二章对i b n r 准备金的产生、狭义 i b n r 准备金、广义i b n r 准备金、单独评估i b n r 准备金的必要性，以及评估i b n r 准 备金的方法做了介绍；第三章在评估i b n r 准备金的“平均法”的启示下，利用时间序列 的方法去预测i b n r 赌案数，并利用二次规划及截尾正态分布的方法进行修正，进而估 计i b n r 准备金；第四章是上述构造的模型的应用和模拟；最后是结束语 第一章引言 华东师范大学硕士论文3 1 3 论文创新点 保监会颁布的管理办法( 试行) 中提到的链梯法、案均赔款法、准备金进展法和 b - f 法都是评估i b n r 准备金的确定性方法，着眼于流量三角形的应用但是由于i b n r 准备金是一个随机变量，在统计的框架下，采用随机方法评估准备金，这将成为我国准备 金评估未来的发展方向 本论文的创新之处在于第三章的模型构造和第四章的模拟第三章中利用时间序列 的方法首先预测出已发生的赔案数，再结合二次规划及截尾正态分布对已发生赔案数的 预测值进行调整，然后减去到评估日为止已经报告的赔案数，即得到已发生未报告的赔 案数( i b n r 赔案数) ，最终得到i b n r 准备金第四章是举例对上述原理的应用 第二章i b n r 准备金评估的基础原理华东师范大学硕士论文4 第二章i b n r 准备金评估的基础原理 在介绍i b n r 准备金之前，先对非寿险责任准备金作一个说明 2 1非寿险准备金 保险公司通过和客户签订保险合同，先收取保费，一旦客户在保险期间内出险，并属 于保险责任，则保险公司对客户进行赔偿从这里我们看到，保险公司是负债经营，业务 收入( 保费) 在先，主要成本支出( 赔款) 发生在后然而保险公司对客户的负债具有很 大的不确定性，因为客户在保险期间内是否会发生保险事故，是否需要理赔，理赔额究竟 多大，这些都是无法确定的因此保险公司必须为将来需要履行的保单责任及其相关支 出做一定的资金准备，这些资金就是我们所说的。责任准备金。，是保险公司负债的主要 构成 我们可以从一张非寿险保单的生命周期来看一下责任准备金的构成。以一张一年期 保单为饲，其保险期间从2 0 0 6 年6 月1 日开始，到2 0 0 7 年5 月3 1 日期满结束。保险 公司通常以每年的最后一天( 1 2 月3 1 日) 作为评估日，计提各种准备金如图2 1 所示 在本例中，评估日正好处于保单有效期内 保险事故? 评估日 生效日 扎 期满日 2 0 0 6 - 6 - l2 0 0 6 - 1 2 3 12 0 0 7 - 5 - 3 1 图2 1 年期保单的生命周期图 我们需要判断的是；至评估b2 0 0 6 年1 2 月3 1 日，是否发生了保险事故? 保险公司 是否已经支付了赔款? 如果评估日前没有发生保险事故，保单在0 7 年仍然有效，则应该将这张保单收取的 保费分为两部分；一、保险公司已经承担了从生效日到评估b 的保险责任，这部分为“已 赚保费”，是保险公司的利润；二。从评估日到次年的期满日，为“未赚保费”，是保险公 司的负债，称为。保费责任准备金( p r e m i u mr e s e r v e ) ” 如果评估日前已经发生了保险事故，但保险公司还没有结束赔付责任，保险公司则 第二章b n r 准备金评估的基础原理华东师范大学硕士论文5 要提取“赔款责任准备金( 1 0 s sr e s e i 、r e ) ，包括。未决赔款准备金( o u t s t a n d i n gc l a i m r e s e r v e ) 和。理赔费用准备金( c l a i ma d j u s t m e n te x p e n s e sr e s e r v e ) 。，用以未来支付给保 单持有人的赔款和支付理赔过程中发生的费用其中未决赔款责任又可进一步分为两种 情况，一种是所发生的保险事故已经报告到了保险公司，即保险公司已经知道了该事故 而做的资金准备，称为。已发生已报告赔款准备金( c a s er e s e r v e ) ；另一种是尽管保险 事故已经发生，但该事故还未报告到保险公司，即保险公司还不知道该事故而做的资金 准备，称为。已发生未报告赔款准备金( i n c u r r e db u tn o tr e p o r t e d ，i b n rr e s e r v e ) ”此 外，理赌费用也可进一步分为直接理赔费用和间接理赔费用 综上所述，非寿险责任准备金的构成如图2 2 所示 未决赔款准备金f 已发生已报告赔款准备金 赔款责任准备金f 。已发生未报告赔款准备金 非寿险责任准备金f。理赌费用准备金 言嚣喜萎三 保费责任准备金 图2 2 非寿险责任准备金的构成 2 2i b n r 准备金的产生 赔付周期是指保险事故从发生到最终结案的整个生命期一个完整的赔付周期如图 2 3 所示： 事故 、 发生 会计日通知赔付结案 重提 赌付 结案 t l t t 2t s t 4 t 5 t 6 t 7坛t9 图2 3 赌付周期 第二章i b n r 准备金评估的基础原理华东师范大学硕士论文6 从图2 3 可以看出，t l 到t 2 的时间段内，由于导致索赔的事件发生了，因而保险公 司有赔付的责任，但如果保险公司并不知道这一赔案的存在，即评估日t 在报告日如之 前( t l t 0 ，使得 = 啦一疗1 a t l 一如m 一2 一岛n t 一口，其中岛0 ； ( i i i ) 五) 二：满足a r m a ( p ，q ) 模型；若存在i o , 口 0 ，使得 = 母1 盈一l + q h z t 一2 + + 如一p + d - o l a t 一1 一如吼一2 一- 8 q a t q ，其中如吼0 若此时定义滞后算子b s b p z , = z a - p ，p o ) ，则上述三种模型可以如下表示 ( i ) 盈) + 一。o o 满足a r ( p ) 模型错( 1 一也b ) 魂= a t ； ( i i ) 忽) ：三满足m a ( q ) 模型错= ( 1 一塞0 j b j ) a t ； j = ( i i i ) ) ：满足a r m a ( p ，q ) 模型铮( 1 一薹咖k = ( 1 一塞o ) 啦 一 j 2 1 所有上式中，绋0 在此情况下，我们得到a r ( p ) 和m a ( q ) 的特征方程如下t a r ( p ) 的特征方程定义为一妒( z ) = 1 一妒1 9 1 一2 轳一讳扩； m a ( q ) 的特征方程定义为口( z ) = 1 一口1 2 1 一如妒一如 定义3 1 5 魂) ：称为可逆的，若满足， ( i ) 施) + 一o 。o 是满足m a ( q ) 或a r m a ( p ，q ) 的； ( i i ) 存在常数7 r k ，= 1 ，2 ，使得t ( 1 一岛) ( 1 一e 仉扩) = 1 3 2a r t m a ( p ，q ) 模型的性质与模型构建 为时间序列找到一个合适的模型不是一件很简单的事，在这个过程中，我们需要采 取多步检验的方法主要是下面三个步骤；模型初步确立，模型拟合和模型诊断 模型初步确立t 在这过程中，主要是为观测的时间序列初步选定一个( 一组) 合适 的模型我们可能要观测到不同的散点图，计算不同的统计量，还要应用数据所在领域的 专业知识等但需要强调一点的是此步选择的模型中仅仅是试验性的，在后面的分析中 很可能会修正 在模型的初步选择阶段，我们要遵循“简洁性原则”即模型在符合已知数据特征 的情况下尽可能含有少的参数a l b e r te i n s t e i n 曾说过“e v e r t h i n gs h o u l dh em a d ea 8 s i m p l e p o s s i b l eb u tn o ts i m p l e r ” 第三章基于索赔次数的i b n r 准备金的评估方法华东师范大学硕士论文1 3 模型拟合模型拟合阶段，我们要基于观测数据去估计被选模型中的一个或多个参 数在此阶段，我们通常考虑的方法有最小二乘法，极大似然估计法等 模型诊断t 模型诊断主要是对我们在模型初步确立中得到的模型进行评估如t 模型 对数据的拟合好不好? 模型的假设是否很合理的满足? 如果充分性被保证，则模型构建过 程结束，模型可以使用；否则，我们要回到模型初步确立阶段，重新进行模型的构建，直 到找到合适的为止 即模型的构建是一个循环的过程，幸运的是，在今天计算机软件的强大支持下，上面 的过程可以很好地操作在模型构建阶段主要运用m i n i t a b 软件 3 2 1 a r ( p ) 模型的性质 若 ) + 一。o o 满足a a ( p ) 模型，则我们有下面的性质z 性质l ： ) ：是平稳的 = 亭 ) ：的特征方程庐( z ) = 0 的根的模都大于1 在实际应用中，对于一个p 次方程很难知道它的解的模是否都大于1 ，为此，我们需 要利用h e n r i c i 1 4 在1 9 7 4 年提出的理论，结合计算机的编程去解决我们为了叙述的方 便，下面讨论a r ( p ) 都是在平稳的条件下进行的 性质2 ta r ( p ) 中，对vk p ，妒k = 0 证明；根据前面一节介绍的偏相关函数的定义，我们可以知道；在a r ( p ) 模型中， 一l ，z t 一2 ，z t p ，z t 一+ 1 对缸的最佳预测为# 妒1 缸一1 + 也一2 十1 + 如一p ， 同样，存在一个函数h ( 一1 z t2 ，z t - p ，z t 一 + 1 ) ，使得一1 ，盈一2 ，盈一p ，免一k + l 对z t t 的最佳预测为， ( 盈一l ，z t 一2 ，一，z t p ，盈一k + 1 ) ， 从而我们由定义知， 机t = c o y z 一毋l 盈一1 一也魂一2 = c o y a ，z t k h ( z t l z t 一2 ， = 0 魂讫 o 铀 慨 一 第三章基于索赔次数的i b n r 准备金的评估方法华东师范大学硕士论文1 4 性质3 za r ( p ) 中，自相关函数满足y u l e - w a l k e r 方程 至篓：三 m ：一：耋 即对于m a ( 1 ) ，在我们只能算出自相关函数的情况下，能得出两个p 的值，说明模 型不唯一另一方面，在m a ( q ) 满足可逆性的条件下，模型可以转化为a r 模型，此时 在e ( x ) = 0 的根的模都大于1 的条件下，可以得到定义( 3 1 5 ) 的条件( i i ) 满足，可以知 道模型转化成功 第三章基于索赔次数的工b r 准备金的评估方法华东师范大学硕士论文1 5 三羔至置 第三章基于索赔次数的i b n r 准备金的评估方法华东师范大学硕士论文1 6 在经典的统计方法中，参数估计主要有矩估计法，最小二乘法以及极大似然估计法， 当然在时间序列中也不例外但是我们也要注意，根据已有的成果，并不是上述三种方法 中的每一种都能很好地对每一时间序列模型作出有效的令人满意的估计 在矩估计中，我们知道主要用样本矩去模型参数对所有的模型，我们均可用样本均 值去估计总体均值同时，我们也可用矩估计法去估计白噪声的方差仃2 和 0 - 一b o 。o 的方 差伽其中伽的估计如下， 一1 ) s 2 ：堡l 一1 7 , 一l 对于a r ( p ) 模型；z t = 妒l 施一1 + 如盈- 2 + + 如忽，+ a t ，因为 e ( 吼) = e 啦( 1 忽一1 + 也魂一2 + + 如施一p + n t ) 】= 矿 e ( 盈) = e 【( l 施一1 + 也磊一2 + + 如p + a t ) 所以我们有t y 0 = 1 饥- i - 九仇+ + 纬+ 矿， 上式两边同时除以7 0 ，结合m = 等有； 口2 加=1 一曲1 p l 一也，) 2 一如p p e i 以： 旁2 = ( 1 一毒1 r l 一如r 2 一一西r p ) s 2 ， 其中f 1 ，f 2 ，r p 分别表示样本的自相关系数 对于m a ( q ) 模型tz t = a t 一口1 0 t 一1 0 2 a t 一2 一毗一口，因为 e ( z t 盈) = e ( a t o z a t 一1 8 2 a t 一2 一一如d t q ) ( 吼一日i n t 一1 0 2 a t 一2 一一铭n t q ) 】 所以我们有t 7 0 = ( 1 - i - 口；+ 镌+ - 4 - ) 口2 ， 所以： 。矿 仃。= 1 = ：一 1 + 日 + 镌+ + 铅 第三章基于索赔次数的i b n r 准备金的评估方法华东师范大学硕士论文1 7 对于a r m a ( p ，q ) 模型，同样可以用相关的样本矩和参数估计值对矿进行估计 但是对于a r ( p ) ，m a ( q ) 及a r m a ( p ，q ) 模型来说，矩估计仅对a r ( p ) 有着较高的 效率，对于m a ( q ) 以及a r m a ( p ，q ) 来说，效率并不高，参见 17 】例如，对于m a ( t ) 来说，参数0 的矩估计在大样本下的方差为t y a r ( a ) = 1 + 1 0 2 + f 4 0 厕4 + 萨r + 一0 s ， 而在后面介绍的最小二乘法和极大似然估计法中，此方差为t v a r 两：型， 但是这并不意味着矩估计在m a ( q ) 模型中毫无用处，因为后面介绍的两种估计都需要利 用迭代运算，此时我们可以通过矩估计得到参数的初值 在最小二乘法中，我们可以用来对a r ( p ) ，m a ( q ) 及a r m a ( p ，q ) 模型中的参数进 行估计，其中对a r ( p ) 的估计结果与用矩估计法得到的结果在大样本的情况下近似相同 【1 5 】，主要不同的是对于m a ( q ) 的估计此时我们必须运用可逆性条件将其转化为a r 模型，在利用最j 、- - 乘法 运用极大似然估计的优点之一是在于它利用了数据中的所有信息，而不仅仅是样本 的一阶矩和二阶矩另一优点就是在大样本的情况下，我们已经有了很过一般性的结论 但是不足之处在于我们要知道它们的联合分布，在本文中，我们都假设白噪声服从独立的 正态分布，其中均值为零，方差为口( 未知) 这样我们就可以利用模型结构导出 盈) 一+ 。o o 的联合分布，然后利用经典的极大似然原理求解出参数的估计值 这一部分的估计，我们均可用m i n i t a b 软件产生，但我们要牢记一点，m a ( q ) 模型 不适宜用矩估计法 3 2 5 模型诊断 本部分的内容主要是检验前面得到的模型是否是充分的如果是充分的，我们就可 以运用于实际中；如果模型是不充分的，我们必须回到前面一节去重新确定模型和确定 阶数在模型诊断阶段，主要从两个方面入手：拟合的残差分析和过度拟合分析 对于拟合的残差分析，我们主要采用多变量检验b o x 和p i e r c e 于1 9 7 0 1 8 1 年提出 了b o x p i e r c e 统计量l q = n 2 第三章基于索赔次数的i b n r 准备金的评估方法 华东师范大学硕士论文1 8 其中缸= 弧一缸，玑是观测值，蟊是拟合值他们证明了若模型符合a r m a ( p ，q ) ，则 q x 2 ( k p g ) 但是l j u n g 与b o x 于1 9 7 8 年陆续发现了当n = 1 0 0 时，q 并不 近似服从x 2 统计量，于是二人对上述统计量作了调整得到了调整的b o x - p i e r c e 统计量 【1 9 】( l j u n g - b o x - p i e r c e 统计量) t k 出 = n ( n + 2 ) 点 注意到当石n + 霄2 1 时，q q ，关于两者的讨论可以参加 2 0 l 在实际应用中，我们可以 用m i n i t a b 得到k = 1 2 ，2 4 ，3 6 ，4 8 时q + 的值，从而根据上述原理对模型作出诊断 过度拟合是我们在统计中经常遇到的问题，如在实际问题中，可能a r ( 2 ) 模型是合 适的，此时如果我们用a r ( 3 ) 很可能会产生过度拟合问题我们说a r ( 2 ) 是确定的，若 满足一 ( 1 ) 额外参数九的估计值并不非常显著； ( 2 ) l 与也的估计与用a r ( 2 ) 得到的估计值并没有显著的变化 但是，在实际情况下，像上述两个条件都满足的很少在实际情况下，主要通过下述三个 原则定模型： 原则一。仔细鉴别原始模型如果一个更简单的模型能够拟合数据，那么我们在尝试 用复杂模型时一定要小心； 原则二t 当拟合不好时，不要同时增加a r 和m a 的阶数； 原则三，如果模型的阶数真的要增加，按照同类别的模型赠加，如m a ( i ) 拟合不好， 我们应该尝试着用m a ( 2 ) 而不是a r m a ( 1 ，1 ) 3 3普通a r m a ( p ，q ) 模型的预测 本部分讨论的a r m a ( p ，q ) 模型均已满足可逆性和稳定性条件 定义3 3 1 盈) ：称为广义线性过程，若其满足t z t = a t + 7 h a t 一1 + 7 r 2 0 一2 + 其中 啦) ：是白噪声序列，e ”： 0 为z t + l 的最小 均方误差估计，若满足。 磊( z ) = e 十l i 盈，z t 一1 ，旬】 由定义3 3 2 可知，对于a r m a ( p ，q ) 来说 盈= 曲1 一1 + + 奶z t p + a t 一日l 啦一1 一如a t 一口 此时z t “的最小均方误差估计为， 磊( z ) = e l 盈+ f 一1 + - + 如z t + l p + 啦+ l o l a t + f 一1 一- 一o q a t + t gj 魂，一1 ，z 1 】 = 毋1 磊( f 一1 ) 4 - + 如刍0 一p ) + e a t + l i 磊，z t 一1 ，z l 】 - 0 t e a f + l l l 盈，盈一1 ，一，z l 】一一o q _ g a t + l 9 1 旎z t1 ，z l 】， ( 3 3 1 ) 其中： e a t 卅铀，z 1 】= o ， 。1 ； 。0 t 钾， j 0 ， 磊o ) = 盈钾，一晒一1 ) j 0 同时，a r m a ( p ，q ) 在可逆且平稳的条件下有e ( 1 一也b ) 五= ( 1 一e , b j ) m ， 第三章基于索赔次数的i b n r 准备金的评估方法华东师范大学硕士论文2 0 所以由可逆性 p口 = ( 1 一机) - 1 ( 1 一毋b ) 啦 i = 1 j = l + = ( 1 + 仉b ) 啦， k = l + 若满足7 r 2 0 ； 矿称为( 3 4 1 ) 的一个严格整体最优解，若r s 且满足f ( z + ) 0 ； 下面我们不加证明地引入不等式约束条件下非线性规划问题( 3 4 1 ) 满足最优解的 必要性和充分性条件，证明参见【2 1 ，2 2 】 必要性条件； 定理3 4 1 ( f r i t zj o h n 条件) 对于非线性规划问题( 3 4 1 ) ，若 ( i ) x 为非空开集； ( i i ) ，历在矿s 上可微； 若矿是( 3 4 1 ) 的局部解，则存在不全为零的数k ，w ，i = 1 ，2 ，m 满足f r i t z j o l l i l 条件t a ；v f ( x ) 一n v 9 i ( 矿) = o ； 砖研( 矿) = 0 ，i = 1 ，2 ，一，m ； a ；，k 0 ，t = 1 ，2 ，m 第三章基于索赔次数的上b r 准备金的评估方法华东师范大学硕士论文2 2 其中v f ( x ) 垒( 著，器) t ，表示f 在x 上的梯度 定理3 4 2 ( k u h n - t u c k e r 条件) 对于非线性规划问题( 3 4 1 ) ，若 ( i ) x 为非空开集； ( i i ) 历在矿s 上可微； ( i i i ) v g i ( x ) ，i j ( 矿) 线性无关 若矿是( 3 4 1 ) 的局部解，则存在不全为零的数对， = 1 ，2 ，m 满足k u h n - t u c k e r 条件。 v f ( x + ) 一砖v 甄( 矿) = o ； i = l a ；吼0 ) = 0 ，l = 1 ，2 ，m ； a 鑫，k 0 ，i = 1 ，2 ，m 其中i ( x + ) = 引g i ( x ) = 0 ，i = 1 ，2 ，m ， 充分性条件 定理3 4 3 对于非线性规划问题( 3 4 1 ) ，若矿s 且 ( i ) ，m 在矿处二阶可微， ( i i ) 存在埘，在矿处满足k u t m - t u c k e r 条件， ( i i i ) 对于每个y m ，其中m = jy t v g t ( x + ) = 0 ，i j ( 矿) ，x o ) 都有， f 7 【v 2 他+ ) 一k v 2 肌( z ) 】y 0 t = l 则矿是( 3 4 1 ) 的严格局部解其中v 2 ，( z ) = ( 差) 表示f 在x 的h e s s e 矩阵 若在( 3 4 1 ) 中f ( x ) = z 7 h z ，z 舻，h 舻“且对称，其他条件不变，则上述同 题转化为带不等式约束条件的二次规划问题。 m 饥 z 7 日。 f 3 4 2 1 5 t 吼( z ) 0 ，i = 1 ，2 ，m 此时我们有如下结论【2 3 b 定理3 4 4 若h 是( 正定) 半正定矩阵，则( 3 4 ，2 ) 中的目标函数是( 严格) 凸函数， 此时( 3 4 2 ) 称为( 严格) 凸的二次规划问题，此时任何k u h n - t u c k e r 点必为二次规划的 全局最小点 第三章基于索赔次数的i b n r 准备金的评估方法华东师煎本堂硬避2 3 在实际问题中，优化问题的求解都是通过计算机运用迭代方法计算的本文应用的 优化问题软件是运筹学软件l i n g o ，运筹学软件主要有l i n d o 和l i n g o 2 4 ，2 5 。2 6 】，其中 前者主要解决线性规划问题，后者主要用于非线性规划 3 4 2 截尾正态分布 在可靠性系统中，由于许多实际问题的观察数据并不是对称的，而是斜的，或者观 察数据只能取正值而不能取负值，许多人认为用正态分布作为失效理论分布是不合适的 【2 7 ，2 8 】，所以提出了截尾正态分布【2 9 ，3 0 】，这是截尾正态分布产生的历史背景 定义3 4 2 若随机变量x 的分布密度为t r t 一，2 地) ：f 蕊1 8 一节z 、0，霉 白，= n 1 ，2 ，m ，c j 表示一列已知数对数据进行中心化i z 2 玑一p ，弘2 斋至弘，= 1 ，2 ，再令z n + j = y n + j p ，j = 1 ，2 ，肼，则调整后的预测模型为 e n + j = n + + p ，j = 1 ，2 ，m 其中三卅，j = 1 ，2 ，m 为甜 的预测值，满足t m l r a i n ( 三憎 1 一l 皇钾) 2 ，= l 8 t 知钾+ p 白，i = 1 ，2 ，一，m 令2 = ( 三+ 1 ，知+ 2 ，知+ 肘) r ， 则有t a m ( j l f 1 ) = h m = 2 a a 7 = - 咖1 0000 1 一毋1 000 01一曲l 00 0 001 一曲1 0 0001 即模型可以表示成形如( 3 4 2 ) 的形式 r a i n 2 7 日2 s t n + j + 扯2c j ，t = 1 ，2 ，m 这样可以利用我们前面的带不等式约束的二次规划理论进行求解 、 o o 劲2 一 1 p 。 | ；堋铫 。缈 o o 一 轨埘 。 一 1 烈 一 嘴聊 | ；。 第三章基于索赔次数的i b n r 准备金的评估方法华东师范大学硕士论文2 6 若利用截尾正态分布，则预测模型为 z n + i = 妞2 n + i 一1 + n n + i ，j = 1 ，2 ，m 其中 o “) 满足截尾正态分布，截尾点为2 ：0 ，卅= c j p ，j = 1 ，2 ，m 令e ( a n + j ) = 肌钾，j = 1 ，2 ，m ，且令孑 = e ( z 卅) ，结合( 3 4 3 ) 我们有： je ( z n + j ) ；1 e ( 细州一1 ) + p + j ，j = 1 ，2 ，一， ， 【e ( z n ) = z n 利用f n + j = e ( y n + i ) = 知 + 胁j = 1 ，2 ，m ，估计出 卅的值