（计算数学专业论文）分数阶偏微分方程的理论和数值研究.pdf

中文摘要 中文摘要 近年来，分数阶偏微分方程( f p d e s ) 在数学模型中的应用受到越来越广泛的关注。 不同的f p d e s 模型已被应用到越来越多的领域中，包括：材料，力学，以及生物系统等， 并且发现f p d e s 在研究一些具有记忆过程、遗传性质以及异质材料时比整数阶方程模 型更有优势。f p d e s 在数学建模上取得的进展，激发了人们研究数值算法的兴趣。 本文从理论和数值计算两方面对分数阶扩散方程( f d e s ) 及其相关问题进行深入研 究，主要内容包括以下三个方面： 我们引进了一类新的利用分数阶导数定义的分数阶空间，并证明了此类空间与传统 的分数阶s o b o l e v 空间在范数意义下是等价的。利用这些结果我们导出了f d e s 初边值 问题的弱形式，并借助椭圆型问题的经典理论证明了弱解的存在唯一性。上述研究结果 表明在r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数定义的情况下，分数阶扩散方程与弱形式的等价 性证明不需要添加初值条件。相反地，在c a p u t o 导数定义的情况下，该等价性则需要 加初值条件来保证。 基于上述弱解理论，我们计算时间分数阶扩散方程( t f d e ) 的数值解。t f d e 与传 统的扩散方程有本质的不同。对于前者，时间上的一阶导数被分数阶导数所代替，使得 问题在时间上是全局的。我们提出将谱方法应用于t f d e 时间和空间上的离散，给出最 优误差估计证明该方法的收敛性，并用数值结果验证理论估计。归功于该方法在时间和 空间方向上所具有的谱精度，我们能够有效地减少由全局时间依赖性所引起的对存储量 的要求，从而可以计算长时间的解。 我们考察用以描述神经细胞中离子反常扩散现象的分数阶n e r n s t p l a n c k 方程。我 们提出了一种时间有限差分空间谱元法对该方程进行数值求解，并给出了数值方法的 详细构造过程以及实现方法。数值结果表明数值解在空间方向上具有指数阶收敛精度， 在时间方向上具有2 一q ( 0 口 1 ) 阶精度。最后，通过计算一个具有实际背景参数的 问题说明所提方法的潜在应用。 关键词：分数阶扩散方程，分数阶n e r n s t p l a n c k 方程，时间一空间谱方法，谱元 法，n e w t o n - k r y l o v 迭代法，适定性分析，误差分析 v a b s t r a c t t h eu s eo ff r a c t i o n a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( f p d e s ) i nm a t h e m a t i c a lm o d e l s h a sb e c o m ei n c r e a s i n g l yp o p u l a ri nr e c e n ty e a r s d i f f e r e n tm o d e l su s i n gf p d e sh a v eb e e n p r o p o s e di nm o r ea n d m o r ef i e l d s ，c o v e r i n gm a t e r i a l s ，m e c h a n i c a l ，a n db i o l o g i c a ls y s t e m s ， a n di t sf o u n dt h a tf p d e sg a i nt h ea d v a n t a g eo v e rt h ec l a s s i c a lo n ei nm o d e l i n gs o m e m a t e r i a l sw i t hm e m o r y , h e t e r o g e n e i t yo ri n h e r i t a b l ec h a r a c t e r t h em o d e l i n gp r o g r e s s o nu s i n gf p d e sh a sl e dt oi n c r e a s i n gi n t e r e s ti nd e v e l o p i n gn u m e r i c a ls c h e m e sf o rt h e i r s o l u t i o n s i nt h i sp a p e r ，o u rw o r ki sf o c u s e do nt h et h e o r e t i c a li n v e s t i g a t i o na n dn u m e r i c a l c o m p u t a t i o no ft h ef r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o n s ( f d e s ) ，w h i c ha r eo fi n t e r e s tn o to n l y i nt h e i ro w nr i g h t ，b u ta l s oi nt h a tt h e yc o n s t i t u t et h ep r i n c i p a lp a r t si nm a n yo t h e r f p d e s t h em a i nc o n t r i b u t i o no ft h i sw o r ki st h r e e f o l d ： f i r s t ，w ei n t r o d u c ean e wf a m i l yo ff u n c t i o n a ls p a c e sd e f i n e db yu s i n gf r a c t i o n a l d e r i v a t i v e s ，a n dp r o v et h a tt h e s es p a c e sa r ee q u i v a l e n tt ou s u a ls o b o l e vs p a c e si nt h e s e n s et h a tt h e i r n o r m sa r ee q u i v a l e n t b a s e do nt h e s es p a c e st h ev a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o n o ft h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so ff d e sa r ed e v e l o p e d ，a n dt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h ew e a ks o l u t i o na r ee s t a b l i s h e db yu s i n gc l a s s i c a lt h e o r yf o re l l i p t i cp r o b - l e m s t h eo b t a i n e dr e s u l t si n d i c a t et h a ti nt h ec a s eo fr i e m a n n - l i o u v i l l ed e f i n i t i o n ，t h e e q u i v a l e n c eb e t w e e nf d e sa n dw e a kf o r m u l a t i o nd o e sn o tr e q u i r ea n yi n i t i a lc o n d i t i o n s t h i sc o n t r a s t sw i t ht h ec a s eo fc a p u t od e f i n i t i o n ，i nw h i c ht h ei n i t i a lc o n d i t i o nh a st ob e i n t e g r a t e di n t ot h ew e a kf o r m u l a t i o ni no r d e rt oe s t a b l i s ht h ee q u i v a l e n c e s e c o n d ，b a s e do nt h ep r o p o s e dw e a kf o r m u l a t i o n ，w ei n v e s t i g a t et h en u m e r i c a ls o l u - t i o n so ft h et i m ef r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o n ( t f d e ) e s s e n t i a l l y , t h et f d ed i f f e r sf r o m t h es t a n d a r dd i f f u s i o ne q u a t i o ni nt h et i m ed e r i v a t i v et e r m i nt f d e ，t h ef i r s t o r d e rt i m e d e r i v a t i v ei sr e p l a c e db yaf r a c t i o n a ld e r i v a t i v e ，m a k i n gt h ep r o b l e mg l o b a li nt i m e w e p r o p o s eas p e c t r a lm e t h o di nb o t ht e m p o r a la n ds p a t i a ld i s c r e t i z a t i o n sf o rt h i se q u a t i o n t h ec o n v e r g e n c eo ft h em e t h o di sp r o v e nb yp r o v i d i n gap r i o r ie r r o re s t i m a t e n u m e r i c a l t e s t sa r ec a r r i e do u tt oc o n f i r mt h et h e o r e t i c a lr e s u l t s t h a n k st ot h es p e c t r a la c c u r a c yi n b o t hs p a c ea n dt i m eo ft h ep r o p o s e dm e t h o d ，t h es t o r a g er e q u i r e m e n td u et ot h e g l o b a l t i m ed e p e n d e n c e ”c a nb ec o n s i d e r a b l yr e l a x e d ，a n dt h e r e f o r ec a l c u l a t i o no ft h el o n g - t i m e i s o l u t i o nb e c o m e sp o s s i b l e t h i r d r ec o n s i d e rt h ef r a c t i o n a l n e r n s t p l a n c ke q u a t i o n ，w h i c hd e s c r i b e s t h e a n o m a l o u sd i f u s i o ni nt h em o v e m e n to ft h ei o n s i nn e u r o n a ls y s t e m am e t n o d c o m b i n i n gf i n i t ed i f f e r e n c e si nt i m ea n ds p e c t r a le l e m e n tm e t h o d s i ns p a c ei sp r o p 0 8 e dt o n u m e r i c a u ys o l v et h eu n d e r l y i n gp r o b l e m t h e d e t a i l e dc o n s t r u c t i o na n di m p l e m e n t a t l o n o ft h em e t h o da x ep r e s e n t e d o u rn u m e r i c a le x p e r i e n c e s s h o wt h a tt h ec o n v e r g e n c eo tt h e p r o p o s e dm e t h o di se x p o n e n t i a li ns p a c ea n d ( 2 一a ) 一o r d e r ( o 口 1 ) i n t i m e f i m d l y , ap r a c t i c a lp r o b l e mw i t hr e a l i s t i cp h y s i c a lp a r a m e t e r si s s i m u l a t e dt od e m o n s t r a t et h e p o t e n t i a la p p l i c a b i l i t y o ft h em e t h o d k e yw o r d s ： f r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o n ， f r a c t i o n a ln e r n s t p l a n c ke q u a t i o n ， s p a c e - t i m es p e c t r a lm e t h o d ，s p e c t r a le l e m e n tm e t h o d ，n e w t o n - k r y l o vi t e r a t i o nm e t h o d ，w e u - p o s e d n e s s ，c o n v e r g e n c ea n a l y s i s i i 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成果。本 人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均在文中以适 当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学术活动规范( 试 行) 。 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究 成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的资 助，在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写 课题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特别 声明。) 声明人( 签名) ：虐女稠娲 7 , 0 0 7 年么月9 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办法 等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交学位论 文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图书馆及其数据库 被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国博士、硕士学位论文 共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、 缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文，于年 月日解密，解密后适用上述授权。 () 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打 或填上相应内容。保密学位论文应是已 经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密委员会审定 的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文， 均适用上述授权。) 声明人( 签名) ：痊娴妫 伽d 7 年6 月乒日 第一章绪论 第一章绪论弟一早殖化 1 1 研究现状 1 6 9 5 年，l e i b n i z 在给l h o p i t a l 的信中首次提出t1 2 阶导数。1 8 1 2 年，l a p l a c e 提出了用积分ff ( t ) t - vd t 来定义函数的非整数阶微分。1 8 3 2 1 8 3 7 年，r i e m a n n 研究了 许多关于分数阶微积分算子的性质，给出了分数阶积分的定义： d _ p m ) = 南o m 刊出，一o o x 。 1 8 4 7 年，l i o u v i u e 给出了分数阶微分的定义： 1月，z，、 d q m ) 2 南羞上云备d t ，0 锄“，d 0 这两个定义就是之后常用的以及本文提到的r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶微积分。 分数阶偏微分方程是由传统的偏微分方程演化而来。将传统偏微分方程中的时 间( 空间) 导数项用分数阶导数替代便得到分数阶偏微分方程。在长达近三个世纪的时 间内，分数阶微积分只应用在数学家的纯理论领域内。然而，在近几十年内，许多研究 者开始借助分数阶偏微分方程对科学和工程领域中的许多系统进行研究。从分数阶导数 的定义上看，函数在t 七时刻的分数阶导数依赖于函数在前面所有时刻t t 知的函数值， 从而使分数阶偏微分方程在研究一些具有记忆过程、遗传性质以及异质材料时比整数阶 方程模型更具有优势，如描述材料的电性质【1 j ，电磁波【2 】，输送管中的边界层效应【3 】，动 力系统中的控制理论【4 ，5 1 ，粘弹性材料【6 ，7 1 ，反馈放大器 8 1 ，电极电解质极化现象【9 ，1 0 1 ，生 物系统中的电导【l l l ，分形动力学【1 2 1 3 】，混沌的同步f 1 4 1 ，神经细胞中离子的反常扩散过 程【1 5 】等。 分数阶扩散方程是由传统的扩散方程演化而来。将传统扩散方程中的时问一阶导数 项爱用a ( o q 1 ) 阶导数器替代，关于空间方向昀二阶导数项v 耋用p ( 1 p 2 ) 阶导数v 曼替代便得至i j f d e 。根据q ，p 的不同取值把分数阶扩散方程划分为三类，分别 称为空间分数阶扩散方程( 1 p 2 ，a = 1 ) 、时间分数阶扩散方程( 0 q 1 ，p = 2 ) 、 时间空间分数阶扩散方程( 0 q 1 ，1 p 2 ) 。分数阶扩散方程是用来描述反常扩散 过程的重要工具。反常扩散过程通常不遵守布朗运动中的高斯统计规律以及f i c k 第二 定律。特别地，扩散运动中位移平方的期望对时间是非线性依赖的，如( x 2 ( t ) ) 一 当0 肛 1 时，相应的反常扩散称为次扩散，这种现象存在于许多系统中【1 6 1 ，如：带 1 第一章绪论 电粒子在非晶形半导体中的传输 i l l s ，无序介质中的核磁共振【1 9 】，多孔渗水系统【2 0 】， 聚合体中的振动系统【2 1 】，分形几何学上的传输【2 2 】，水珠在聚合体系统中的运动【2 3 】。 当1 “ 2 时，相应的反常扩散称为超扩散( l 6 v yf l i g h t ) ，这种现象存在于：固体表面 的集体滑动扩散【2 4 】，分层的速度场【2 5 】，理查森湍流扩散【2 6 】，胶态系统【2 7 】和不同种类岩 石中的传输【2 8 】，量子光学例，单分子光谱学删，细菌的运动【3 1 】等等。分数阶扩散方程 可由随机游走模型导出，它描述了反常扩散粒子状态的概率密度分布的演变。根据粒子 等待时间和跳跃步长的不同来划分三种不同类型的随机游走模型，相应地导出了三类 分数阶扩散方程。当每步等待时间的均值是无限的，跳跃步长的方均值是有限时，随机 游走模型描述了反常次扩散现象，相应地导出了时间分数阶扩散方程。当等待时间的均 值是有限的，跳跃步长的方均值是无限时，随机游走模型描述了超扩散( l 6 v yf l i g h t ) 现 象，相应地导出了空间分数阶扩散方程。当等待时间的均值和跳跃步长的方均值都是无 限时，随机游走模型描述了次扩散与超扩散( l 6 v yf l i g h t ) 竞争的现象，相应地导出了时 间一空间分数阶扩散方程。 分数阶微积分方程模型在物理上的应用和生物上的实验验结果使得研究分数阶微 分方程受到广泛的关注。有关分数阶微分方程的研究大致可以分为三个方面：理论， 分析和数值计算。在理论研究方面，p o d 3 2 1 证明了分数阶微分方程初值问题解的存在 唯一性。在分析方面，许多作者试图构造方程的解析解。例如，s c h n e i d e r ，、y 鼹刚以 ) 及w y s s a 4 利用f o x 函数构造了相应的g r e e n 函数，得到了时间分数阶扩散波动方程的 解析解。g o r e n f l o 3 5 ，3 哪等人用s i m i l a r i t y 方法以及l a p l a c e 变换得到了用w r i g h t 函数表 示的时间分数阶扩散波动方程的解。1 9 9 5 年，l u c h k o 和s r i v a s t a v a a t 首先研究分数阶 r i e m a n n - l i o u v i l l e 导数的性质，进而借助这些性质求解含有r i e m a n n - l i o u v i u e 分数阶 导数的c a u c h y 边值问题的解。a g r a w a l 3 8 】利用l a p l a c e 变换以及有限s i n e 变换法导出 了具有c a p u t o 导数的时间分数阶扩散波动方程在有界区域上带有m i t t a g _ l e f f i e r 函数 的解析解。在2 0 0 1 年，m a i n a r d i 3 9 等利用m e u i n 变换，借助m e u i n - b e r n e s 积分得到了 含有空间r i e s z f e l l e r 分数阶导数，时间c a p u t o 分数阶导数的时间空间分数阶对流扩 散方程c a u c h y 问题的g r e e n 函数的一般表达式。由上面的文献可以看到，分数阶微分 方程的解析解大多含有特殊函数，要计算这些特殊函数是相当困难的，于是越来越多的 研究者转而讨论分数阶微分方程的数值解。 到目前为止，关于分数阶方程的数值解的研究工作是相对少的。关于数值解研究方 面首先开始于分数阶常微分方程的数值近似。1 9 8 6 年，l u b i c h 4 0 l 提出了用分数阶的线 性多步法解分数阶常微分方程。d i e t h e l m 等提出了用外推法【4 1 1 ，预估校正法【4 2 1 ，a d a m s 法求解分数阶常微分方程。l i u 等人采用有限差分法来离散c a p u t o 分数阶导 数，求时间分数阶扩散方程的数值解，并分析了稳定性条件。l a n g l a n d s 和h e n r y 4 5 1 2 第一章绪论 对分数阶扩散方程采用隐式的数值方法，对关于时间一阶导数采用向后e u l e r 法来离 散，对分数阶导数采用l 1 方法来离散。l i na n dx u 对时间分数阶扩散方程提出 在时间方向采用有限差分法，在空间方向用l e g e n d r e 谱方法，并严格证明了时间方 向上( 2 一q ) 阶收敛，以及空间方向具有谱精度。g o r e n i l o 4 7 - 4 9 1 等根据在一定条件下 r i e m a n n - l i o u v i l l e ，c a p u t o 分数阶导数与g r u n w a l d - l e t n i k o v 分数阶导数的等价性，用 移位的g r u n w a l d - l e t n i k o v 导数来近似r i e m a n n - l i o u v i l l e ，c a p u t o 分数阶导数得到有限 差分格式，来求解时间导数为整数阶或c a p u t o 分数阶，空间导数为r i e s z - f e l l e r 位势算 子的时间一空间分数阶扩散方程。2 0 0 4 年，m e e r s c h a e r t 和t a d j e r a n 5 0 1 利用f o u r i e r 变 换法分析用移位g r u n w a l d - l e t n i k o v 方法离散r i e m a r m - l i o u v i l l e 导数的误差，并指出若 用标准的g r u n w a l d - l e t n i k o v 导数定义离散r i e m a n n - l i o u v i l l e 导数所得到的差分格式 无论是显式还是隐式的都是不稳定的，而用移位的g r u n w a l d - l e t n i k o v 算子进行逼近时 显式的是条件稳定的，隐式则是无条件稳定的，且为一阶收敛的。z h u a n g 和l i u 5 1 】提 出一种隐式方法和技巧求解时间分数阶反常扩散方程，利用能量方法给出了稳定性和收 敛性的详细证明。s m o m a n i 和z o d i b a t 5 2 1 利用v a r i a t i o n a l 迭代法和a d o m i a n 分解 法求解分数阶常微分方程。值得注意的是分数阶扩散方程可写成拟微分方程的形式，有 些作者f 珏删已经在这方面做了一些研究工作。然而，上述这些文献仅限于用有限差分 法来离散，分数阶算子的数值近似格式的收敛都不超过2 阶。 1 2 研究动机 众所周知，谱方法是一种高精度的全局方法，它是计算微分方程数值解的一个有效 工具。谱方法的优点是高精度，即如果原方程的解是无限光滑的，那么用谱方法所求的 数值解将是指数阶收敛的。到目前为止，谱方法都是围绕整数阶方程进行求解的，并且 已经取得很大的成效。 然而，近年来随着分数阶方程受到越来越多的关注，许多学者开始研究分数阶方程 的数值计算。分数阶微分方程数值解的研究工作与整数阶微分方程具有本质的不同。对 于整数阶导数来说，函数在某一点的导数只跟函数在这点附近的函数值有关，而分数阶 导数是一类非局部拟微分算子，积分在导数定义中的出现使得分数阶微分方程是全局性 的。例如在时间分数阶扩散方程中，这就意味着在t 七时刻的解依赖于所有前面t “ 时刻的解。事实上，所有t “时刻的解都要储存起来用来计算当前时刻的解，那 么如果采用低阶的数值方法，就要花费巨大的存储代价。目前f o r d ，s i m p s o n 5 7 以及 d i e t h e l m ，f r e e d 5 剐，已研究了一些方法来处理这个问题，然而这些方法具有它的局限 性，对存储量要求的减少伴随着精度的降低。2 0 0 4 年，f 政和r o o p 5 9 1 采用最小二乘有 3 第一章绪论 限元法对两点边值问题进行数值近似。e r v i n 和r o o p 6 0 - 6 2 1 提出g a l e r k i n 有限元法求空 间分数阶对流扩散方程的弱解。然而，这些文献只是针对空间分数阶方程求解且精度都 不高。 由于计算分数阶导数用到整体的信息，而谱方法是一种高精度的全局方法，所以采 用谱方法来离散分数阶导数是个自然的选择。基于以上原因，本文提出一种可行且有效 地计算分数阶微分方程的数值方法一时间空间谱方法。将谱方法用于分数阶微分方程 时间和空间上的离散，不仅提高了精度，而且有效地解决了由全局时间依赖性问题所导 致的对存储量的要求。这是由于和低阶计算方法相比，在保证同样精度的前提下，谱方 法所需要的信息更少。 一般来说，谱方法适用于空间方向的离散。与谱方法在空间方向的应用相比，谱 方法在时间方向的应用是相对比较少的。首先，对于抛物问题，关于时间导数是一阶 的，这就给构造有效的谱方法带来麻烦：其次，谱方法是整体的方法，这就意味计算 某个时刻的解需要其它所有时刻的解。有些研究陋7 0 】将时间空间谱方法用于整数阶 偏微分方程。对于抛物问题，时间方向的导数是一阶的，大多数时间一空间谱方法是基 于p e t r o v - g a l e r k i n 或者d u a l - p e t r o v - g a l e r k i n 形式构造的。然而，对于时间( 时间一空间) 分数阶微分方程，情况有所不同。通过引出一类新的分数阶空间，并证明其与标准的分 数阶s o b o l e v 空间在某种意义下的等价性，我们将看到，时间方向上q ( 0 q 1 ) 阶微 分算子器，空间方向上p ( 1 p 2 ) 阶微分算子v 盆具有椭圆算子的特征，这些特征使 得我们能够利用传统的g a l e r k i n 方法来进行误差分析和适定性分析。 1 3 本文主要工作 本文从理论和数值计算两方面对时间分数阶和时间一空间分数阶两类扩散方程进行 深入研究，取得了一些新的结果。在理论方面，我们从r i e m a n n - l i o u v i u e 分数阶导数和 c a p u t o 导数两种定义出发，研究时间分数阶扩散方程和时间一空间分数阶扩散方程初边 值问题的适定性。为此，引进了一类新的利用r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数定义的分数 阶空间，并证明了此类空间与传统的分数阶s o b o l e v 空间在某种意义下是等价的。利用 这些结果，我们导出了分数阶扩散方程初边值问题的弱形式，证明了初边值问题与弱形 式的等价性，以及弱解的存在唯一性等。上述研究结果表明在r i e m a n n l i o u v i u e 分数 阶导数定义的情况下，分数阶扩散方程与弱形式的等价性证明不需要添加初值条件。相 反地，在c a p u t o 导数定义的情况下，该等价性则需要加初值条件来保证。在数值计算 方面，基于所导出的弱解理论框架，借助椭圆型问题的g a l e r k i n 方法，我们构造时间空 间谱方法来对分数阶扩散方程数值求解。通过分析多项式函数空间在分数阶s o b o l e v 空 4 第一章绪论 间中的逼近结果，我们推导了数值方法的最优误差估计。我们还给出了数值方法的具 体实现过程，并通过数值试验验证了理论误差估计。最后，我们研究了描述神经细胞 中离子反常扩散现象的时间分数阶n e r n s t p l a n c kf n - p ) 方程。我们提出一个时间有限 差分空间谱元法对该方程进行数值求解，给出了数值方法的详细构造过程以及实现方 法。数值结果表明数值解在空间方向上具有指数阶收敛精度，在时间方向上具有2 一口 ( 0 q 1 ) 阶精度。作为应用例子之一，我们以巨轴突乌贼模型为实际背景来选取参 数，研究了生物细胞中多种离子的浓度和膜电位随时间和空间的变化，以及离子的扩散 速度随q 的变化情况。计算结果说明所提方法的潜在应用。具体内容编排如下： 第一章，讨论了分数阶微分方程模型在复杂系统中的应用，并概括了分数阶微分方 程在理论研究，解析解和数值解等方面的研究工作，以及本文的研究动机和内容。 第二章，作为预备知识，我们给出了本文所要用到的分数阶s o b o l e v 空间、r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数、c a p u t o 导数的定义以及相应的基本性质，并推导了某类带 权j a c o b i 多项式的r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数。 第三章，从r i e m a n n - l i o u v i u e 分数阶导数和c a p u t o 导数两种定义出发，考察时间 分数阶扩散方程。引入了一类由r i e m a n n - l i o u v i l l e 导数定义的分数阶空间以及相应的 范数，证明了r i e m a n n - l i o u v i l l e 导数算子具有从整数阶推广的半群性质，自共轭性质， 最后证得这类空间在范数意义下与分数阶s o b o l e v 空间是等价的。借助椭圆型方程处理 适定性理论的方法，我们导出了时间分数阶方程初边值问题的弱形式方程，弱形式与强 形式的等价性，证明了弱解的存在唯一性。 第四章，基于所导出的g a l e r k i n 弱形式，采用时间一空间谱方法对时间分数阶扩散方 程数值求解。借助椭圆型问题的误差分析方法，以及研究投影算子在分数阶空间中的逼 近误差，我们得到了时间分数阶扩散方程数值解的最优误差估计。作为算法设计不可或 缺的一部分，我们讨论了时间空间谱方法的具体实现过程。将谱方法应用于分数阶方 程的g a l e r k i n 弱形式，与整数阶情形相比，不同之处主要有两点：第一，分数阶导数是 通过积分形式定义的，要计算基函数的分数阶导数比较费时：第二，逼近空间的基函数 是多项式，而多项式的分数阶导数不是多项式，且在边界处有奇点，这给计算g a l e r k i n 弱形式中含有分数阶导数的积分项带来困难。对于第一点，为了减少计算量，我们选 取j a , c o b i 多项式作为基函数，通过利用j a z o b i 多项式的分数阶导数的关系式，直接得出 基函数的分数阶导数。对于第二点，我们将基函数的分数阶导数式中带有奇点的因子巧 妙地作为j a z o b i 权函数来处理，然后利用j a c o b i - g a u s s - l o b a t t o 积分公式有效地计算含 有分数阶导数的积分项。最后，我们给出了数值试验验证理论误差估计。 第五章，首先导出了时间空间分数阶扩散方程的弱形式，研究了初边值问题的适定 性。其次，从g a l e r k i n 弱形式出发，提出采用时间一空间谱方法求数值解，同时给出了该 5 第一章绪论 数值方法的最优误差估计。作为推广，我们将该方法应用于描述反常扩散现象的非线性 分数阶f o k k e r - p l a n e k 方程。对于线性和非线性两种分数阶方程，我们分别给出了数值 方法的详细实现过程。作为另外一种实现方法，为了便于处理非线性方程和边界条件， 我们选择l a g r a n g e 多项式作为逼近空间的基函数。我们利用j a c o b i - g a u s s l o b a t t o 积分 公式巧妙地计算t l a g r a n g e 多项式的分数阶导数，以及带有分数阶导数的积分项，从而 成功地实现了基于分数阶方程弱形式的时间一空间谱方法。对于隐式处理非线性方程所 形成的非线性方程组，我们通过n e w t o n - k r y l o v 迭代法求解，有效地计算了非线性分数 阶f o k k e r - p l a n c k 方程。最后，我们给出了数值试验结果，并说明与理论预计相吻合。 第六章，我们简要推导了描述神经细胞中离子反常扩散现象的时间分数阶n e r n s t p l a n c k ( n - p ) 方程。我们提出了一种高阶( 2 一o l 阶，0 0 f 0 ，f ( t ) 为定义在 【a ，6 】( a ，b 为有限或者o o ) 区间上的绝对可积函数，则称 枞r - - 弧吼= 删咖= 高z 。罄鞋耽咄6 】 ( 2 - i ) 为左侧r i e m a n n - l i o u v i l i eq 阶积分，及 踏徘) ：= 删班= 南z 6 磐岳耽咄6 】 ( 2 2 ) 为右侧p d e m a n n - l i o u v i l l ea 阶积分，其中r ( ) 为r 函数 定义2 2 i t 2 1 ( r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数) 对于任意非负实数o t ，满足n - - 1 q a ，有 舫叩_ n ) p = 揣( h r a ， 瑚卜揣( 广a 定理2 2 【倒( 分数阶微积分算子的复合运算) 对于任意的q o ，p 0 ， 口，有 聊1 = 一r f ) a r 1 - ) p m ) + 喜p 一k 怒褊， 乒万+ p ，( ) = 口一。a 一。，( t ) + 【扫卅，( 亡) i1 芸芫二糕， 鼽a 觥m h r 町m 沪薹矽邢虬口志为， a r - - 口舫p ，( t ) = 口r t - - 口一芦，( 亡) ， 口r i ) t a n r 一1 - ) t - 卢，( 亡) = 口r | d - x 3 f ( t ) 引理2 2 记a ：= 【n ，6 j ，若0 p l 2 ，t ，l 【a ) ，或看看1 2 p 1 ，t ，爿5 【a ) ，p 一 1 2 8 1 2 ，那么，v z a ，有 i 艺v ( z ) j ；鄙+ = 0 ( 2 - t ) 证明若0 p 1 2 ， ( z ) l 2 ( a ) ，那么 m l 。一圳l i m 南：赫d 丁l 洲k ： i ml l 。南d 丁l l 2 1 0 第二章预备知识 = 0 右上zsp p 一1 z ，甄1 l j 耿7 22 【l + z s j ，r 22 【l z s j ，凋疋 1 r + 1 1 , - = 1 ，那么 l ；m 。i g 嘞| 圳l i m 志z ：南d 下l s 想m ) 1 1 地z ，i f 南k 郇， 石- + 口十m | llz 一丁i p r r ，_ 、 s 鱼( r ) 1 1 z ) | j f l 万忆力 ；+ 口ti jl 孑一丁j ，l ir 一，、 定理2 3 r 2 1 函数，的q 阶r i e m a n n - l i o u v i l l e 导数的f o u r i e r 变换： ，( 一驷孑，( 亡) ) = ( 泐) 口厂( ，) ) ， ，( 如蠹，( t ) ) = ( 一讪) a 厂( ，) p ) 定理2 4 r 2 1 函数，的q 阶c a p u t o - 导数的l a p l a c e 变换： c ( 扣，( 亡) ) = ( t u ) 口c ( ，) ( u ) ， c ( c td = f ( t ) ) = ( 一i u ) a ( ，) ( u ) 2 3j a c o b i 多项式及g a u s s 型数值积分 j a c o b i 多项式 j a z o b i 多项式表达式为： 驴( z ) = 锘( 1 一矿q ( 1 + 矿卢d - - 蓦 ( 1 - x ) q + 岬+ 妒抑】，q ，胁- 1 ， 1 1 口 第二章预备知识 它满足方程 ( 1 - - x ) ( 1 蚓d 2 如y ( 2 x ) + 够- - 0 r - - ( a + 卢+ 2 ) z ) 掣：枷( 矾 且有递推公式： 在x = 士1 的值为： 且满足关系 入n = n ( n + a + p + 1 ) ，u ( x ) = 嚣，卢( z ) 石( z ) = 1 ， 芹( z ) = q p + ) ( q + p + 2 ) z 】， a ，1 。j ，a q 卢。t ，= ( 口三( z ) 4 - n 。3 山，j n o t ，p ( z ) 一4 j ：墨( z ) ， o n l = 2 ( n + 1 ) ( 佗+ 口+ p + 1 ) ( 2 n + o l + p ) ， o ：= ( 2 n