（应用数学专业论文）非游荡算子及半群的研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文在算子超循环性、混沌性的基础上，以微分动力学的思想及 算子的基本理论为工具，对算子的非游荡性作进一步的研究。特别地 研究了序列空间l p ( 1 p m ) 上的加权移位( 双边前移位和单边后移 位) ，当其权序数满足一定条件时，它们可以构成非游荡算子。同时， 证明了这些算子经一小扰动后，可保持它们的非游荡性不变；进而可 获得有界线性算子关于非游荡算子的分解理论。本文也研究了和算 子，直和算子，张量积算予以及在某种意义下可看成加权移位的微分 算子在定空间上的非游荡性。 另一方面，本文对有界和无界算子半群的非游荡性也作了特别的 研究，并给出了一些具体的应用；利用半群理论，还证明了算子在 k a t o 意义下逼近时，二者之一的非游荡性可被另一个所保持；并得 到了几个相应的结果。 最后，本文试着将有限维微分动力系统中关于结构稳定性的概念 推广到无穷维空间上，通过给出非游荡算子局部结构稳定的定义，而 证明了非游荡算子是局部结构稳定的。 关键词：非游荡算子( 半群) ，移位算予，局部结构稳定，扰动， 超循环算子，混沌算子 a b s t r a c t t h ep a p e rt a k e st h em e t h o do fd i f f e r e n t i a ld y n a m i c sa n db a s i ct h e o r i e so ft h e o p e r a t o ra st o o l so nt h eb a s i so f h y p e r c y c l i c i t yo f o p e r a t o r , c h a o s ，d of u r t h e rr e s e a r c h t ot h en o n w a n d e r i n gp r o p e r t yo ft h eo p e r a t o ra n ds e m i g r o u p e s p e c i a l l y ，t h i sp a p e r s t u d i e sw e i g h t e ds h i f t s ( b i l a t e r a lw e i g h t e df o r w a r do ru n i l a t e r a lw e i g h t e db a c k w a r d ) o ns e q u e n c es p a c ei p n p o 的深入研究和发展，更引发了一大批学者对强连续( c 0 一) 半 l u ( o ) = x 群、c 一半群的研究。1 9 9 2 年，cr m a c o l u e r 7 发现由h i l b e r t 空间上的后移位 算子生成的解析算子半群具有混沌性质。此后的wd e s e h ，ws e h a p p a c h e r 8 等 人又对线性算子生成的算子半群的超循环性、混沌性做了系统的分析研究，尤其 对一些强连续算子半群，通过其无穷小生成元的谱进行刻画而获得半群是混沌的 充分条件，并给出了大量的应用。r d e l a u b e n f e l s 、h e m a m i r a d 及k g e r d m a n n 9 1 将前述的研究进行推广，给出了c 一正规化半群、正规分布半群框架下无界算子 半群的超循环性和混沌性的刻画，特别研究了加权序列空间上具有常系数的微分 算子所生成的无界算予半群及l a p l a c i a n 算子所生成的无界算子半群 ( 一) 的混沌性质。对于半群而言，还可以考虑其逼近半群的性质。rd e l a u b e n f e l s 、h e m a m i r a d 及vp r o t o p e s c u 1 0 研究了定义在b a n a c h 空间序列 。 上的强连续 算子半群序列( 疋( ，) ) 。在k a t o 意义下收敛于另一个b a n a c h 空间x 上的算予半群 t ( t ) 时，在适当的条件，t o ( t ) 的混沌性可以被t ( t ) 所继承。从动力学结构稳定性 的角度，可以考虑无穷维可分的b a n a c h 空间( x ，b ，r ( f ) 为其上的强连续半群， 并令x 1 c x 2 c x 3 c c k c c x ，是z 中的一无穷维紧致集列，在每一x 。 上赋以范数。，使( x 。，川。) 。构成b a n a c h 空间序列，并假设瓦( f ) 是强连续算子 半群序列，如果能作x 。在k a t o 意义下收敛于x ，而瓦( f ) 在k a t o 意义下收敛于 丁( r ) ，则上述方法为我们研究算子半群的扰动问题提供了一种思路。同时，在这 一思路启发下，本文也研究了非游荡半群的系列性质及结果。 在微分动力系统( 【2 9 】- 3 0 】) 中，结构稳定性一直是其研究的主要内容。自1 9 3 7 江苏大学硕士学位论文 年，有了平面有界域上系统为结构稳定的充要条件后，到2 0 世纪6 0 年代，s m a l e 提出的两个著名的推测，以及国内外学者为此推测所做的研究，都极大的推动了 该主要问题的蓬勃发展，并吸引了相关学科分支稳定性的研究。本文尝试将有限 维微分动力系统的这一核心问题推广到无穷维空间中，并给出了非游荡算子局部 结构稳定的研究。 1 3 研究意义及内容 目前关于算子超循环性理论、混沌性理论的研究已比较完善，非游荡算子作 为算子理论中一门新的特殊分支，是有限维微分动力系统中公理a 系统自然推 广到无穷维空间中的线性算予，从而该类算子是有意义的。通过其性质的研究表 明，这类算予是一类特殊的混沌线性算子，它既与超循环算子有联系，又与超循 环算子有不完全相同的性质。因为对于超循环算子而言，其谱与单位圆必相交， 而对于不可逆的非游荡算子，其谱与单位圆是可以相交的：但对可逆的非游荡算 子来说，要求其谱与单位圆不交。因此，非游荡算子的研究不仅很好的组合了算 子超循环性和微分动力学中的某些思想，并为算子混沌性的刻画提供了新途径， 同时也为算子理论的研究开拓了新方向。 本文组织如下：第二章列举了一些基本的概念和记号；第三章从超循环算子 理论、混沌算予理论出发，通过对加权移位的研究，给出了双边加权前移位和单 边加权后移位在其权序数满足适当条件时，它们为非游荡算子的刻画：并以此而 获得了几个相应的结果：在本章还证明了，加权移位算子经一范数任意小的算子 扰动后，有相应的非游荡性。第四章研究了有界线性算子关于非游荡性的分解理 论，着重探索了和算子、直和算子、张量积算子、以及与微分算子相关的一类算 子的非游荡性。通过和算予的研究，发现序列空间，( 1 p o 。) 上的任一有界线 性算子可以分解成六个非游荡算子的代数和。通过对直和算子、张量积算子的研 究，特别是关于直和算子的非游荡性研究，为张量积算子的非游荡性研究提供一 种思路。而对微分算子的研究，可以进一步推广微分算子超循环性的结论，证明 了所谓的卷积算予的非游荡性。第五章在现有的研究基础上，进一步研究了强连 续算子半群的非游荡性：特别的，通过c 一半群概念的引进，对先前的研究工作 进行推广，而获得了无界非游荡算子半群的刻画，并给出具体的应用。另外，本 文还研究了算子的非游荡性在k a t o 意义下逼近时，在一定条件下具有不变性。 6 江苏大学硕士学位论文 第六章主要是探讨非游荡算子的结构稳定性。从微分动力系统中结构稳定性的定 义出发，本文给出了算子是局部结构稳定的概念，并证明了非游荡算子所生成的 系统是局部结构稳定的。 本文通过对无穷维可分b a n a c h 空间上算子及半群的非游荡性研究，不仅丰 富和发展了关于这一理论的前期工作，也使得该理论体系得到了进一步的完善， 而且为该项研究的后续工作提供了很好的思路与方法。另外，微分动力系统与算 子理论中不断成熟的理论也必将为本文的后续工作提供很大的启发。 7 江苏大学硕士学位论文 第2 章基本概念及记号 本文假设x 为无穷维可分的b a n a c h 空间，工( 工) 表示x 上的线性算子集 合，b ( x ) 表示三( x ) 中的有界线性算子之集。n 表示自然数集，n o = n u o ) ， 如无特别说明c 一般表示复数集。 定义2 1 设e 是x 中的线性闭子空间，而e 、e 是e 中的线性闭子空间， 如果对任一x e e ，有唯一的分解：x = _ + x 2 ，x 1 e 1 ，x 2 e 2 ，e l n e 2 = 0 ) ， 则称e 是关于e 。和e ：的直和分解，并记e = e l o e 2 ，其中。表示直和符号。 定义2 2 假设t 曰( x ) ，如果 ( 1 ) z 中存在一具有双曲结构的线性闭予空间e ，即e = e 5 0 e “， t e = e ，e ( i = s ，“) 也是闭子空间；并且存在常数c 及r ( o f 1 ) 使得 l i t k 到 c r k ，v 孝e 5 ，七， ( 2 1 ) i l ，。叩0 c l - - k l l 7 7 l l ，v 玎e “，七n ， ( 2 2 ) ( 2 ) p e r ( t ) 在e 中稠密，即p e r ( t ) = e ； 则称r 为上关于e 的一个非游荡算子。 注1 ) t 允许可逆，也允许不可逆。如果丁是可逆算子，则式( 2 1 ) 、( 2 2 ) 分别等价于 刮c 。r 1 1 孝1 1 ，v 孝e 5 ，七， ( 2 3 ) 刁忙c 。f 制i ，vr e ”，七， ( 2 4 ) 且非游荡算子的谱与超循环算子的谱不同；如果r 是不可逆的情形，其性质将更 为复杂。 2 ) 如果r 是一个非游荡算子，则p e r ( t ) 与e 不相交。 3 ) 因为关于线性算子丁上每一点的切丛就是其本身，所以非游荡算子的定 义是有限维微分动力系统中公理a 系统在无穷维空间中的自然推广，因此非游 荡算子的研究是有意义的。 定义2 3 称x 上的单参数算子族 t ( t ) i t ( t ) b ( z ) ，f 0 ) 为有界线性算子 半群( 简称半群) ，如果满足 8 江苏大学硕士学位论文 ( 1 ) t ( o ) = i ，其中，是爿上的恒等算子， ( 2 ) r ( t + j ) = 丁( f ) t ( s ) ，任意f ，j 0 。 如果还满足 e m g ( ) x x k = 0 ，任意x e x a 则称半群是强连续半群，简称为c o 一半群； 如果满足。l i r a + i l r ( f ) 一川。( 棚20 ，则称半群是一致连续半群。 定义2 4 对有界单射算子c ，称r ( t ) b ( 爿) ( ，o ) 为c 一半群，如果 ( 1 ) r ( o ) = c ； ( 2 ) c t ( t + s ) = r ( f ) r )v t ，s 0 。 又称由d ( a ) = 扛盖l l 嚼学存在且在c 的值域r ( c ) 中) t 爿x = c 一【：毋掣】定义的线性算子彳为c 半群仃( f ) k 。的生成元。 注当c = ，( 恒等算子) 时， r 0 ) ) 。即为由a 生成的强连续( c o 一) 半群； 当a 生成c 一半群 丁( f ) ) 时，定义半群e “= c - 1 丁( f ) ( f o ) ，则p “可能是无界的， 且显然d ( a ) = 似x i t ( t ) x r ( c ) 。 命题2 5 当爿在x 上生成c 一半群f ( f ) 。，则 ( 1 ) a 是一个闭线性算予，r r ( c ) d ( a ) ； ( 2 ) t ( t ) a a t ( t ) v t 0 ； ( 3 ) 对f 0 ，x d ( 4 ) ，_ d t ( o 石存在且等于r ( f ) 爿z ； a t ( 4 ) t ( t ) c = c t ( t ) v t 0 ； 定义2 6 称半群 7 t ( f ) 。c l ( x ) 关于x 上的一个线性闭予空间e 是非游 荡的，如果 ( 1 ) e 具有双曲结构，即e = e l o e 2 ，e i n e 2 = o ) ，r ( f ) e ，= e ，e 。( f = l ，2 ) 也是闭子空间，且存在常数c ，0 f o ，存在。当h n 。时，有陋。b x b 。a 0 0 ，存在，当即- n 。时， 刮h ( t ) b x - b r ( t ) x i i s 。 1 0 江苏大学硕士学位论文 第3 章加权移位算子的非游荡性 设z = ，9 ( z ) = 扣= ( 一) 。：蚣。) 虬= ( h ) 9 c 。) ，e 耳称为双边加权 l e z 前移位或后移位，如果对某非零有界序列 。，有( r ( - ) ) ，= ( w 。x 。) 。 或 ( r ( x ，) ) ，= ( + i zj + i ) 。i z ，x = ( z ) me ，9 ( z ) a 相应地，单边加权前移位或后移 三 位的定义可以在序列空间r 9 ( n ) = z = ( 一) 。：1 。= ( k l ) ”c 。) 上做个类 f n 推，其中w 。= x o = 0 。hs a i a s 在【1 2 1 中对双边( 或单边) 加权移位的超循环性做了比 较全面的研究；k og m s s e e r d m a i l l l 1 4 】则指出hs a l a s 的结论在有无条件基存 在前提下，超循环性与混沌性在某种程度下可以等价；他也指出，在不具备这样 前提条件时情况并非如此。 3 1双边加权前移位算子的非游荡性 下面的引理是本文后续工作的基础，也是赋范空间的一个直接结果。 引理3 1 设( x ，口是一赋范线性空间，扛； 。是x 中的一组线性无关向量 集，缸，k 是一有界复数序列，则对任意的自然数，有正数m ，m ( 均与a ，有 关) ，使得不等式 m 酬s 龄，s 埘刚 成立。 证明 1 ) 若口。a a ，( 1 ，) ，则取= m = i 即可- 2 ) 若9 i ，j ，f ，使得吼口，。则由三角不等式知 8 善a _ 0s 姜i - i a 圳一i l s m 陋，i 善睁川 ( s - 卜，) 我们断言存在正数k ，使得善忆捂k 瞎 事实上对于x 中的一组线性无关向量集 x 。，x ：，一，h 及任组数 托，t 2 ，r ，根据有界b o l z a n o - w e i e r s t r a s s 定理知 地，t 2 ，f ，根据有界b o l z a n o - w e i e r s t r a s s 定理知 江苏大学硕士学位论文 第3 章加权移位算子的非游荡性 设肖= l p ( z ) = 扣= ( 一) 。：l l ( x 。) 忆= ( i x 1 ) 9 。) ，r e 联称为双边加权 l e z 前移位或后移位，如果对某非零有界序列 。，有( r ( x ，) ) ，= ( w 。x 。) 。 或 ( t ( x ，) ) ，= ( w l + i z + i ) 。i z ，x = ( z ) m l p ( z ) 。相应地，单边加权前移位或后移 土 位的定义可以在序列空间l p ( n ) = x = ( 一) 。：。= ( i x 。1 9 ) ” 1 及v = a ：五盯p ( 丁) ，0 l 五l 1 。置点”= e + ，e 5 0 1 ，则e = e ”。e 5 为双曲闭不变子空间。 同理若矿有限且非空，令e 一= s p a n x a _ l 九h ) ，则丁e = e ，且e 一是有限维 江苏大学硕士学位论文 的闭子空间。v 叩e 及女n ，可取刁= a x - ( 胛为任一自然数) ，则存在 常数e ，使得 i 刚l = 隆( 2 _ i ) k x 2 + ，m 纠纠协 ，i c 2 1 - 2 k 铲唧a _ t “ 置e 。= 尻，e “= 0 ) ，则e = e ”o e 5 为双曲闭不变予空间。 显然e 。c p e r ( t ) ，又e 。在x 中稠密，所以p e r ( t ) 在x 中稠密，进而有 p e r ( t ) = e ，根据定义知r 是关于e c x 的非游荡算子。 注1 ) 在上述引理中，我们允许e “或e 退化为零子空间，如果e “退化为零 子空间，则对充分大的h n ，t “在e 上是压缩映射；如果e 5 退化为零子空间， 则对充分大的”n ，t ”在e 上是扩张映射：这样r 的动力学性质将变得很平凡， 所以在后面的篇幅中，我们要求e “和f 均为非零闭子空间。 2 ) 引理3 2 是非常有用的，因为它将我们对非游荡算子研究中关于双曲子空 间的构造直接约化到特征值范畴。当算子的特征值易于计算时，我们的问题将变 得相当有趣。同时，也将我们的问题与算子点谱进行了适当的统一，并深化了 k i t a i 4 关于超循环算子的谱一定与单位圆相交的论断。 下面我们对hs a l a s 的结果进行推广，并用加权序列所满足的条件来刻画非 游荡双边加权前移位算子。 定理3 3 设r 是，9 ( z ) 上具有有界权数 w ， m 的双边前移位，若丛坐1 w 。i 1 ， 一r - - 品m 。 w , i 儿三蜊甜i ；l2 寺- o ，l i m 。s u 卧p 灏i = 1 1 w j + i 删r 是 非游荡算子。 证明令y ，( z ) ，y = ( ，y - n - 1 , y 。，j ，- l ，y l - 一y 。，n + 1 ，- ，l l y l l 。9 c o 定义向量 z 2 。+ l = ( - 一，a _ 3 , _ 2 y n ，a - 3 n - l y 月，a - 2 n - 1 y o ，a _ n _ l y ，a y 月，a o y o ，a n y n ，。+ 1 y 一。 ，a 2 n + l y o ，a 3 + l y 月，口3 n + 2 y 一。，- ) 其中a 一。一一a o - 一a 。= 1 ，h n 堕垄堂堡主兰堡垒查 口( 2 一1 ) h + j + k 2 兀w 。，= 1 州2 一 一：! n + 1 ，口( 2 + 1 ) 一 2 州：熙。百小。1 冉。 ( = 0 , i ，2 ，h ) ( 2 j + 1 ) n + j k i 兀w ，- ，= 1 州2 ”芹：- 1 ，一2 i * ( 2 j + 1 ) 门+ j kw i i i x 2 0 + , 旺。一旦n - t ，上1 w , i p + ，= f i - 3 n - ：赤+ ，羹。上1 w , i ，+ + 垂h 卜尊h 卜尊h i 一叫川9 + 州+ ，= 卉- t ；n - ：卉+ = 卉- 4 n - 。丽1 + 卫。而1 + ，+ 尊h 卜尊 w j l 9 + 6 珥n + 3 h 1 9 + “叫y 。i 小+ 。良卉+ 。= n - - 4 n - ：丽1 + 。= i - 2 n - 。丽1 小垂 i + 缈4 n + l 卜6 缈n + 2 i w i + ( + ，且。而1 + ，= 亓- 4 n - ，而1 + ，。n - 2 n - ：而1 小即2 n - i1 9 + 乱i = - i1 9 + 6 缈n + l 卜帆i 1 9 + + ( + 。；爿- t n - ，而1 + = 订- s n - ：而1 + ，= 爿- 3 n - 。而1 + + 鱼9 + 驵3 n + l h l 9 + 疆1 w ，1 9 + ”渺i 一。i 到响s u p 磐掰k = l i = l , 1 - - - k ，- ) + 1 + 一s u p ( 辩i 叫) ( i y 拈 因为憋三翼。c 喜科l = l 赢p o ，! 鳃三裴。( 喜。甜t = l i 1 9 ) - o ， 所以| | 川- - l l y l l ：o _ m ) 。 从而x 2 川ip ( z ) ，且x 2 州旦塑一y ，而r 2 川x 2 川= x 2 川， 故r 的周期点在，一( z ) 中稠密。 下证，”( z ) 上能构造其双曲闭子空间。 0 设z = ( ，z 。，x - l ，_ ，x 。，) 满足方程强= 触，即w i z ，= 缸j + 1 ( 0 ，i z ) 取叫测有相应的特征向量_ 一，冉告，击，；，鲁，曩，) ，并且 h z ) 薹( i = 1 吲i 钟i p ) o o ，及至n = l ( n i = 0 削1 。i 9 ) m 仁甄m 小坚1 而由我们的假设条件：r 。= 匦h f 1 。 月+ 。 故r 有特征值五，使得h ( 墨，r 2 ) 及相应的特征向量h ，一( z ) 。 1 4 兰生苎塑主堂堡垒圭 作有限维闭子空间e5=spanxa：(t-m)xa=0,rj1211 及 e “= 面瓦面弓瓦了面翮。 由引理3 , 2 知，e = e 。e 4 即是具有双曲结构的闭子空间，从而r 是关于e 的一个非游荡算子。 3 2 单边加权后移位算子的非游荡性 下面我们给出单边加权后移位算予的刻画。 定理3 4 设r 是，9 ( n ) 上的单边加权后移位算子，即( 7 x ) ，：( + ，h 。) 1 ) ， 其中h 瞻：是非零有界上升序列，如果! 鳃州s u 。p 。l 叮nj 叫j ) = m ，则r 是非游荡 算子。 证明 令y e ，9 ( ) ，y = ( y l ，儿，) ，| p 虬= ( 主r ) 吉 o o 。 定义向量x 。2 ( m ，y n , a n + l y j ，吼。j 。，口2 m 咒，吩。儿，码y i ， 其帆矿船( k e n , 1 _ 1 ，故当川( o ，r ) 时，有 ，l p ( n ) ，且此时r 的 点谱( 丁) 包含开集v 。= 伽：0 1 ) 。由引理3 2 ，可在 l p ( n ) 上构造一个双曲闭子空间，进而算子r 是非游荡的。 如果对上述定理中的条件进行适当的弱化，则可以有同样的结论。 推论3 5 设r 是，”( n ) 上的单边加权后移位算子，若丌r 与! = 竺呻o k “l + ，l ( _ ，= l ，n ) ，且一l i m l w 。| 1 ，则算子r 也是非游荡的。 l e 6 n - s a a v e d r a 和am o n t e s - r o d r l g u e z 在 2 0 1 5 b 表明，单边加权后移位r ， 当其正加权数 k 满足溉w 。= m ，且如果l i m s u p = 1 时，丁的超循环向 量将构成一个无穷维h i l b e r t 子空间；但如果l i m i n f w 1 ，则r 的超循环向量只 能形成一个有限维捕玷e 雕子空间，这意味着【l - 1 w 。) 不需要递增得太快也可以使 得算子具有良好的性质。那么是否容许所述的加权移位，其权数也没必要递增得 太快，而在适当的条件下仍就保持其非游荡性? 事实上，这样的情形是存在的。 如对单边而言，可置权序列w n = 2 ；从而有如下推论： 推论3 6 设丁是，9 ( n ) 上的单边加权后移位算子，若b e 0 ，使得v n n ， l w 。睁1 + 占，则t 是非游荡算子。 3 3 双边加权前移位算子扰动的非游荡性 在建立某些算子的非游荡性时，下面的一个引理是很有用的。 引理3 7 设正：x 斗x = l ，2 ) 是b a n a c h 空间x 。上的有界线性算子， c o ：x l x 2 是连续线性映射，且满足妒。五= 瓦。p ， ( 1 ) 若点谱盯，( 互) 矽，则点谱盯，( 疋) 妒： 1 6 江苏大学硕士学位论文 ( 2 ) 若p e r ( t o 在彳。中稠密，则e e r ( t 2 ) 在工2 中也稠密。 如引言所述，许多学者对移位算予经恒等算予扰动后的各方面性态做了研 究；为此，我们将对加权移位算子加上一个恒等算子在，9 ( 1 p o o ) 空间上的非 游荡性进行讨论。 为了能方便的研究普通序列空间，一上的加权移位算子加上一个恒等算子的 非游荡性，先考虑加权序列空间，( z ，) 及其上的无加权移位算子a 设 = 卢( f ) ) 。是一正数序列，l p ( z ，f 1 ) 表示满足i x 。1 9 f l ( o m 的所有复数序列 z = x ( f ) ) 。之集，并定义：= i x 。i p ( o 和，9 ( z ，卢) 上的前移位算子 r ：x ( i ) 专x ( 一1 ) ( ke z ) ，为保证t 的有界性，总假设灌等箦茅 。o ( + ) 成 上 一土 立。同时记r l = l i m ( ( 七) ) 扣，r 2 = 且堑( 卢( 一) ) 扣a ( a ，b ) = z c ：口 h 0 ) 表示圆环。 引理3 8 设r 是，9 ( z ，卢) 上的前移位算子，且( + ) 式成立，则当0 r 。 r ：时， ，+ r 关于，( z ，p ) 中的一闭子空间是非游荡的。 证明首先，可构造出i + t 关于特征值兄( 五1 ) 的特征r 向m - x 。， 即x = ( 一1 ) “) 。z 。而 h i p ( z ，) 宝( 七) i 丑一l r m 妻恤一1 r f l ( k ) m ，妻协一1 i 扣f l ( 一t ) 酉f l ( k ) 扣，1 2 1 1 l i m f l ( 一) 扣。 p 斗 女斗。 在假设条件0 及e = 旯：0 i a l 1 ) 。这意味着s 确r - - + n 一单位根 ( 五1 ) ，使得 ：触，；1 。令丑：口；“( p 羽互质) 。则有相应的特征向量h = ( 兄一1 ) 一- 脚。 当r 。 恤一1 r 2 时，he i p ( z ，f 1 ) 。所以在题设条件下算子s = i + t 有周期点集： e 。= ( 一，2 ，i ，一，- - - ) ：4 ( r i ，r 2 ) ，= e 4 1 ) c l p ( z ，f 1 ) 。 其次，可证得t 面面。= l p ( z ，) a 事实上，令z ，( z ，) 上的有界线性泛函y = ( m ) 。l p ( z ，卢) + ，且作用在 印口月民等于0 ，即vx = ( ，2 ，i ，一，) s p a n e 。，定义解析函数f ( ) ， 并使得f ( 卢) ： x ，) ，) ：y 。= 0 ，则可推知_ y ；= 0 t 从而y ；0 ；所以印a n e o e f t ： ，( z ，) 中稠密。又易证s p a n e ocp e r ( s ) ，故磊雨= ，9 ( z ，卢) ，进而有 - p e r ( s ) 一= e ，根据定义，+ r 关于e 是非游荡算子。 定理3 9 设占。是，9 ( z ) 上的双边加权前移位，即( b 。而) r = ( 一i x f - 1 ) ，( f z ) 其中 w j k ：是一非零有界复数列，妻果甄( 玎n - | i 川萨 粤( 冉h 旷1 测，+ 巩关 于，( z ) 上的一闭子空间是非游荡的。 证明p o 卅，f l , _ w 。w “以2 志o l 定义加权序列空间f ( z ，例9 ) 。 x = ( x 。x 。z ：函，= k 硝 。) ， 及其上的双边前移位b ：，( z ，例) _ ，9 ( z ，1 纠) ，显然b 是连续线性算子。 再置：，一( z ，例，) 一，一( z ) ，即 帆：( ，x 。_ ) c + 之，x 。，x ：，) r ( z ，例9 ) 妒口( x ) = = ( ，2 x 一2 ，卢- x i ，o x o ，屈x i ，2 x 2 ，。_ ) o 帅制卜萤觑i 制 叭所以即是有定义的连续等距映射。 江苏大学硕士学位论文 又妒 f ) f 盯引一z ) 堋驺 a “_ z ，则显然勘加) _ 蛆 二，= l l y l l ：，所以即满的，从而是双射。 直接的计算有铷。b = b 。郎，进而郎。( j + b ) = ( ，+ b w ) 。，再根据引理3 7 、 3 8 知，l p ( z ) 上有一闭予空间，使得，+ b 。关于这个子空间是非游荡的。 推论3 1 0 设口为非零复数且1 ，如果甄( 县1 w ，i p 1 1 一 鉴( 珥| w 一，| ) 。_ 则a l + b 。关于f ( z ) 上的一闭子空间是非游荡的。 3 4 单边加权后移位算子扰动的非游荡性 对上面的结果做适当的修改，不难获得单边加权后移位的情形。 我们先引入加权序列空间l p ( n ，卢) ，即对于正数序列= 卢( f ) ) 。，满足 z i g ，1 9 f l ( o 。o 的所有复数序列 x ( f ) 。之集，并定义l l x l l ：= i x 1 9 ( j ) 及其上的 后移位算子t ：x k 斗x m ( 七n ) ， m j l l t 4 1 ；= 荟卢( i ) k + - | s 。u 。j - p f l ( ( k + ) 1 ) , ；， 故丁有界铮等方髻 。( 勺。显然当( ? ) = 1 时，9 ( n ，) 即为，9 ( n ) 。 下面总假设( + ) 成立，以保证t 的有界性。 引理3 1 1 设丁为，9 ( n ，) 上的单边无加权后移位，则+ 丁关于，( n ，) 上 的一闭予空间是非游荡的。 证明记s = ，+ r ，并令x = ( x 。) 是算子s 的相应于特征值a ( 1 ) 的特 征f 日量，即有x ，+ z ，“= a x ( f n ) ，x i “= ( 兄一1 ) x 。 取x 1 = 旯一1 ，则z = ( 占，j 2 ，占3 ，) ，其中占= 2 - 1 。 而x a z ( n ，卢) 甘( f ) l 占1 9 o 。仁恤一1 1 = 1 8 1 r = 姆( ( f ) ) 9 由题设知，中心为1 ，半径为r 的整个开圆盘构成算子s 的特征值。 根据引理3 2 ，9 ( n ，) 上能构造一个双曲闭子空间，记为e 。 下证p e p ( s ) 在e 上稠密。 1 9 江苏大学硕士学位论文 令e 。： ( ，p ：，) ：p ；2 “一1 ，i l r ，( ，z 互质，h e n , n 2 ) ) ，则 e 。cp ( n ，) 。令y = ( y a 。是，9 ( n ，) 上的任一有界线性泛函，且作用在 s p a n e o 等于0 ，即vx = ( ，2 ，3 ，) s p a n e o ，定义，( ) = = y ，i z 。， 则f ( ) 解析且等于零。因此y = 0 ，从而y s 0 ，所以s p a n e o 在，9 ( n ，卢) 中稠密。 又易证印彻厶cp e r ( s ) ，故p e r ( s ) = ip ( n ，f 1 ) ，进而有了；瓦万= e 。 根据定义，+ 丁关于ec1 9 ( n ，卢) 是非游荡的。 定理3 1 2 设b 。是，9 ( n ) 上的单边加权后移位，即( b 。x ) ，= ( w f + 1 x + 1 ) ，( n ) w j ) 。是一非零有界复数列，则，+ b 。关于，9 ( n ) 上的一闭子空间是非游荡的。 证明 为利用上述结论，不妨设卢( 1 ) = l ，( f ) = 二一( f 2 ) ， 定义加权序列空间i p ( n ，俐9 ) = 缸= ( 一) 。 凶，2 善k f l ( f ) 1 9 ) 及其上的单边 后移位口：? ”( n ，俐9 ) 一，9 ( n ，俐9 ) ，由于s 。u p w , ，所以b 是连续线性算子。 再置妒口：f 9 ( n ，l 卢1 9 ) 啼r ( n )即v x = ( x 。，x 2 ，_ ，) i p ( n ，1 卢1 9 ) ， 妒口( x ) = = ( f l ( 1 ) x l ，f l ( 2 ) x 2 ，f l ( 3 ) x 3 ，) 则忉f ( x ) 虻= y j f l ( i ) _ l ”= 函， 。o ，所以郎是有定义的连续等距映射。 吣如( n ) ，取州，2 彘b 则有郎( 加y ，且和：a 所以郎满的，从而是双射。 直接的计算有。b = b 。郎，而卿。( ，+ b ) = ( + b w ) 。 由引理3 i i 知，j + b 。关于，9 ( n ) 上的一闭子空间是非游荡的。 特别地，当w 。= 1 ( i 2 ) 时，b ，即为通常意义下的单边无加权后移a 从而单 边无加权后移位算予加上一个恒等算子后，总可以有非游荡性质。 推论3 1 3 设口为复数，如果o ( h l i n t ( 兀1 w ，i ) i ，贝, l j a l + b 。关于，9 ( n ) 上的 一闭子空间是非游荡的。 江苏大学硕士学位论文 根据前述结果知，一个加权移位当其权序数满足适当的条件时，可以成为非 游荡算子，所以有下面的命题。 命题3 1 4 任一非游荡加权移位算子经一小扰动后仍可以是非游荡算子。 推论3 1 5 设r 是h i l b e r t 空间h 上的任一有界线性算子，则它最多可以表 示成十八个非游荡算子的代数和。 证明 【2 3 表明丁至多能记成b l + b 2 + + e 8 ，其中b 。( f = l ，1 8 ) 是单边 ( 或双边) 加权移位算子，而据推论3 1 0 或3 1 3 知， 总有非零复数a ，使得甜+ b ，( 扛l ，1 8 ) 是非游荡的，从而丁能分解成： ( al i + b 1 ) + ( 一口l ，+ b 2 ) + - + ( 口9 ，+ b ”) + ( 一d 9 ，+ 占1 8 ) 即丁至多能记成十八个非游荡算子的代数和。 算子的扰动性研究是算子理论以及动力系统中的重要课题，也是研究一个线 性系统稳定的基础。在本章我们仅讨论了序列空间z 9 ( 1 p o o ) 上的特殊的非游 荡加权移位算子的扰动，至于一般b a n a c h 空间上的非游荡算子的扰动性理论仍 然是一个亟待解决的问题。 江苏大学硕士学位论文 第4 章有界线性算子关于非游荡性的分解理论 在前一章，我们得到了h i l b e r t 空间h 上的任一有界线性算子关于非游荡算 子的分解理论，下面研究b a n a c h 空间上的有界线性算子关于非游荡性的分解。 4 1 和算子的非游荡性 在 2 9 中表明可分的h i l b e r t 空间上的每一个有界算子能记成两个超循环算 子的代数和，这一结果主要借助g o d e f r o y 和s h a p i r o 关于算子具有无穷多特征 值准则来证明，并且在证明中，sg r i v a u x 采用了较为复杂的上三角分块原理及 特征值的估计来完成。h i l b e r t 空间上的有界线性算子关于超循环算子分解的一个 较为直接的结果是，它能表示成六个超循环算子的代数和。下面我们对上述结果 进行非游荡性刻画，并将这样的分解理论推广到，( 1 蔓p c o ) 空间。 下面的结果说明了从任一b a n a c h 空间上的有界算子出发，可以构造出一个 非游荡算子。 设x 是一个复的无穷维可分b a n a c h 空间，r 为工上的任一个有界算子， x = 0 ，x 0 p m a x ( 1 ，例9 ，则上述所定义的算子丁m 关于x 中的一闭子 空间是非游荡的。 证明设x 2 = ( x 。) x 满足r mx = 缸 ( a c ) ，则 江苏大学硕士学位论文 t x , + c o x 2 - g x i = 0 “_ ：! _ 囊t - m x ：， 当川 1 ) 的整个开圆盘上的点都是算子丁。 的特征值。 取日一( 。) = s p a n 屯：( 于。一甜) = o , l , q o ) 是j 上的有界线性泛 函且作用在厦( 于。) 上为0 ，即h 爿及h 1 ) 的开圆盘上的解析函数o ，： 加o 一吉薹分o ( a 圳 因为当h i 时，。，( 五) = 0 ；从而根据o ，的解析性知，o ，( 丑) = 0 ( 卜叫 ，所以对任意的x z 及满足 h 例 ，则丁一甜是可逆的；从而可以考虑向量叮一甜) 一1 z ( 蜥z 及 h 例l 上解析，且在开圆环闭i h h 上，有 c a j t ) 2 织( 五) a 从而，丸( 五) 在复平面上有一个解析延拓，因为l i ( 丁一姐) 一1 x i i 一0 ( 当 川一0 0 ) ，所以当斗* 时，。( a ) 的解析延拓也趋于无穷大。根据刘维尔定理， 江苏大学硕士学位论文 丸( a ) 恒等于0 ，即对于任意的x x s n ”2 有x 。( x ) = 0 。同理，由依( ) = 0 可 推得一( y ) = 0 ( 砂z ) ，因此( x 。) 。= 0 ；进而知h 一( 于。) ：j 。 类似的可证明h + ( r m ) = s p a n x ：( 丁m 一) h = 0 , 1 h h ) 在x 中稠密，即 日+ ( 丁m ) = x 。此时只要用到在圆环1 h h 上等