（计算数学专业论文）小波变换与图像边缘检测.pdf

小波变换与图像边缘检测 专业：计算数学 姓名：吴中荚 指导教师：邹青松副教授 摘要 本文提供了一种利用小波变换进行图像边缘检测的新方法 首先，简要介绍小波分析的发展及其基本的理论知识+ 其次，奔绍 了图像边缘的有关概念以及常用的边缘检测方法，重点分析基于 小波的图像边缘检测方法接着在第三章回顾了一些经典的边缘 检测算子及其蕴涵的小波思想经典的边缘检测算子对于高质量 的图像的边缘检测效果较好，但闵于含有噪声的图像并不理想 从两引入多尺度小波边缘检测方法。但该方法会导致边缘细节的 损失且边缘位置会发生偏移针对这种情况，本文迸一步借助基 于小波的数据融台思想，使多尺度小波方法与c a n n y 算子相结合， 提出基于多尺度小波的数据融台边缘检测方法。最后，对一系列 图像进行了边缘检测实验，结果显示了该方法的有效性，同时也 指畿其有待改进的的地方 关键询：小波变换：边缘梭测；带噪固像；图像数搌融合；c a n n y 算予 w a v e l e tt r a n s f o r m sa n di m a g ee d g ed e t e c t i o n m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t j c s n a m e ：z b o n g m e iw u s u p e r v is o y ：o i n g s o n gz o u ，a s s o c i a t ep r o f e s s o r a b s t r a c t t h i st h e s i sp r e s e n t san e wa p p r o a c hf o re d g ed e t e c t i o nb a s e do nw a v e l e t t r a n s f o r m sa n dc a n n yd e t e c t o r e d g ed e t e c t o r sb a s e do i lw a v e l e tt r a n s f o r md e a l w e l tw i t hn o i s yi m a g e s ，b u ti tm a yl o s ss o m ed e t a i l so ft h ee d g e s + h o w e v e r ， c a n n yd e t e c t o rc a nd e t e c tt h eo u t l i n e sa n dt h ed e t a i l so ft h ee d g e si nt h es a m e t i m e ，b u ti td o e s n tw o r kw e l lw i t hs o m en o i s yi m a g e s o u rn e wa p p r o a c hc a n d e t e c tt h e e d g e so ft h en o i s yi m a g e sw i t h o u tl o s s i n gt h e d e t a i l s as e r i e so f e x p r i e r m e n t sf o re d g ed e t e c t i o ns h o wt h a tt h en e wa p p r o a c hi s m o r ee f f e c t i v e ，b u tw o r t hb e i n gi m p r o v e da n dd e v e l o p e d t h et h e s i si so r g a n i z e da s4c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h e d e v e l o p m e n to fw a v e l e ta n a l y s i sa n di t sf u n d a m e n t a lt h e o r i e s i nc h a p t e r2 ，s o m e c o n c e p t i o n sa b o u ti m a g ee d g e sa n ds e v e r a lm e t h o d so fe d g ed e t e c t i o nu s e d u s u a l l ya r ed e s c r i b e d i nc h a p t e r3 ，s o m ec l a s s i c a le d g ed e t e c t o r so r er e v i e w e d a n di n t e r p r e t e dw i t hw a v e l e tt r a n s f o r m s 。i n c h a p t e r4 ，a na p p r o a c h t oe d g e d e t e c t i o nb a s e do nm u l t i s c a l e sw a v e l e tt r a n s f o r m si s p r o p o s e d h o w e v e r ，t h e p r o p o s e da p p r o a c hw i l lc a u s ed i s p l a c e m e n ta n dl o s so fe d g e s 。t h e r e f o r e ，w e p u tf o r w a r dt h a t t h e p r o p o s e da p p r o a c h c a nb ec o m b i n e dw i t ht h e c a n n y d e t e c t o ra c c o r d i n gt ot h ei d e ao fd a t af u s i o nb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m s k e y w o r d s ：w a v e l e t t r a n s f o r m s ；e d g ed e t e c t i o n ；i m a g e d a t a f u s i o n ；n o s i y i m a g e s ；c a n n yd e t e c t o r 绪论 图像矮基本豹褥镊蔗边缘，逾缘是图像嚣域籀勇一个藤住区域豹交羧簸， 是区域属性发生突变的地方，是图像中不确定能最大的地方，也是图像倍息最 集中的媳方，匿像的边缘包含着丰褰鲍信息因鼗，图像的边缘提取在计算祝视 觉系统的初级处理中舆有关键作罔，但目前仍怒“瓶颈”问趣 边缘检测技术对于数字图像是非常重要的，提取出边缘才能将目标和背景 区分开来现有的图像边缘提取方法可以分为三大类：一类是基于某种固定的局 部运算方法，如：微分法，拟合法等，它们属于经典的边缘提取方法；第二类 则是以能量最小化为准则的全局提取方法，其特征是运用严格的数学方法对此 问题进行分析，给出一维值代价函数作为最优提取依据，从全局最优的观点提 取边缘，如松驰法，神经网络分析法等；第三类是以小波变换、数学形态学、 分形理论等近年来发展起来的高新技术为代表的图像边缘提取方法，尤其是基 于多尺度特性的小波变换提取图像边缘的方法是目前研究较多的课题本文将在 有关小波理论的基础上，分析、比较常用的几种经典边缘检测算法，利用多尺 度小波变换方法，并结合数据融合的思想，提出一种改进的边缘检测方法实验 表明，该方法对某些图像的边缘检测效果很好 本文内容安排如下： 第一章概述小波分析的发展历史及其在各个领域的应用，并阐述了小波变换 的主要思想方法及其理论知识 第二章就图像边缘与边缘检测的有关基本概念，常用的边缘检测方法作了 简要介绍，重点介绍基于小波的边缘检测方法，其中包括小波尺度、高斯滤波器 的近似估计法、小波函数构造、级联算法以及小波极大模定理等 第三章简要介绍经典的几种边缘检测算子( r o b e r t s 边缘算子、s o b e l 边缘 算子、p r e w i t t 边缘算子、c a n n y 边缘算子) ，并分析指出它们所蕴涵的小波思 想 第四章在阐述了多尺度小波变换的边缘检测方法以及基于小波的数据融合 思想后结合c a n n y 算子的优良特性，提出了本文改进的边缘检测方法：多尺度小 波与c a n n y 算子数据融合的边缘检测方法通过实验比较，该方法对一般的图像 边缘检测有较好的效果 第1 章小波分析基础 小波分析是八十年代末发展起来的一种处理非平稳信号的时频分析，具有 f o u r i e r 分析不可比拟的优点，一经问世，就受到基础学科与应用工程的广泛重 视。在非线性分析、算子理论、数值分析、量子力学、信号分析、图像处理、 模式识别、机械故障诊断等领域都有许多应用可以说小波理论是应用中产生， 在经过数学家的完善与深入，最后又在应用中得到发展的，j 、波分析总的来说是 传统f o u r i e r 分析的继承与发展，但小波分析以多分辨分析为基础，克服了 f o u r i e r 分析的不能反映时域的局部性的缺点，是当前应用数学和工程学科中一 个迅速发展的新领域 1 1 小波分析的发展历史 小波变换把数据或函数或算子分解成不同频率成分，然后研究每个与其尺 度匹配的分辨率成分这技术的先驱者均独立地在各自不同的领域中开拓，得到 很有用的结果 在纯数学方面，c a l d e r o n 在调和分析中建立了一个函数f 的分解公式： f ( x ) ：了沁( m ，( x - y ) d y 等“- ( 1 1 1 ) = ( 虻+ 似y ) 以 ( 1 1 ) 其中表示卷积，( x ) = t - i 缈o f ) ，矿，( x ) 的定义类似，上述公式称为 c a l d e r o n 恒等式( 1 9 6 4 ) ，是后来提出的连续小波变换的例子 5 7 1 在物理学方面，a s l a k s e n - k l a u d e r 5 8 5 9 在量子力学中首次构造了( a ) 【+ b ) 组的凝聚态( 1 9 6 8 ) ，这可以看作是c a l d e r o n 恒等式的另一出处 在工程领域，e s t e b a n 和g a l l a n d 6 0 。- t - 1 9 7 7 年提出了q m f 滤波器，后来 s m i t h 和b a r n w e l l 6 1 】以及v e t t e r l i 6 2 j ：1 9 8 6 年提出了具有精确重构特性的 q m f 滤波器 1 9 8 1 年s t r o m b e r g 6 3 在试图进一步弄清h a r d y 空间和其他用来度量函数的 大小和光滑性的空间时发现了第一个正交小波为了类似的目的，j a w e r t h 于 1 9 7 7 年应用了c a l d e r o n 恒等式的离散形式在这之前很早h a r r ( 1 9 1 0 年) ， f r a n k l i n ( 1 9 2 8 年) ，c i e s i e l s k i ( 1 9 7 3 年) ，p e e 仃e ( 1 9 7 6 年) 等就得到关于函 数空间正交基的若干结果 1 9 8 5 年法国大数学家m e y e r 6 4 开仓t j 性地构造了光滑的小波正交基，即 m e y e r 基。突破了一直以来人们认为这样的基不存在的思维，m e y e r 在小波理 论的发展史上作出了突出性的贡献1 9 8 6 年m e y e r 及其学生l e m a r i e 6 5 提出了 多分辨率分析的思想，奠定了小波理论的分析基础，1 9 8 6 年成为了小波研究热 潮的起点1 9 8 8 年年轻女数学家d a u b e e h i e s 6 7 给出了具有紧支集的、具有任意 高正则性的正交小波基- - d a u b e c h i e s 基，为小波理论的深入发展作出了重要贡 献同时期，m a l l a t 6 6 提出了多分辨分析的概念，建立了统一的小波分析数学 理论，给出了与二次镜像滤波的联系他在1 9 8 9 年提出了相应的塔形算法一 m a l l a t 算法如果说m e y e r 将小波从应用过渡到理论作出了突破性的贡献，那么 m a l l a t 则将小波分析从理论过渡到广阔的应用领域作出了非凡的贡献 1 9 8 9 年m e y e r 出版了小波与算子宣告了小波理论这一新型学科的诞 生，之后，小波理论在许多领域成为研究的热点，可以说凡使用传统f o u r i e r 变 换的地方都可采用小波变换 1 2 连续小波变换 先引入几个记号，记l 2 ( r ) 为平方可积的一维h i l b e r t 函数空间， v f ( t ) 口( 五) ，有 川2 = j 1 ，( 圳2 d x = p ( x ) 而蕊 ( 1 2 3 ) 函数f 三2 ( 莉酌f o u r i e r 交换斑义为 广( 掰) = p o ) e - ”d x 。 ( 1 2 。4 ) 两函数及其f o u r i e r 变换的内积具有下述性威 定理1 2 1 函数f ，ge 上2 ( 咒) 与像们的f o u r i e r 变换满足p a r s e v a l 恒等式 f , g - 土2 z r 于，抄( 1 2 5 ) 一个函数在时域求和与在频域求和具有如- f 的转换公式 定理1 。2 2p o i s s o n 求帮公式其蠢鲡下两静形成 ，o 一，) = 夕( 2 i 石) 8 小4 ， ( 1 2 6 ) ， e 1 “= ，+ 2 肋) 磊两( 1 2 7 ) ，i 下面给出小波及连续小波的定义 定义1 2 1 如果y r ( r ) 满足“容许性”条件( a d m i s s i b l ec o n d i t i o n ) ： c ，= 髯私 m mz s ， 则称妒为一个“基小波”将y 进行伸缩平移得到一个双参数小波族 y 。( x ) - ld r ，z 妒三生) ( 1 2 9 ) 口 口，b r ，口0 ，函数f 三2 ( r ) 关于该小波族的连续小波变换定义为 w f ( a ，6 ) = ( 1 2 1 0 ) 由容许性条件可得护( o ) = o ，即p ( 工) 出= 0 ，因此矿是振荡的 4 如果y 和矿具有足够快的衰减，它们就可作为窗函数，能提供一个灵活可 变的时间一频率窗阿( 口，b ) 不仅给出了信号，在时间窗的局部信息，还给出了 夕在频率窗的局部信息但小波变换与加窗f o u r i e r 变换的局部化方式有明显不 同，小波变换的时频局部化格式与频率高低密切相关其对于检测高频现象，即 时间一频率窗在高“中心频率”时自动变窄，而在低“中心频率”时自动变 宽，即具有变焦距的能力能较好满足信号分析的时频局部化要求 下面给出连续小波变换的反演公式 定理1 2 3 如果l 2 ( r ) 满足“容许性”条件： c ，= 髯私 。( 1 2 1 1 ， 则连续小波变抉玎丁( 口，b ) 可逆，且逆变换由下式给出 你) = 越弦她等 m2 1 2 ) 一v “ 1 3 离散小波交换 奁裳菰淘熬及数毽诗算孛燹蓑望戆够获褥妒。0 ) 豹离教形式，瓣量希蘩 能由 0 , b 1 2g b l l f l 2 ( 1 3 。4 ) 嬲称 办 脚为框絮，a ，b 称为框架界如巢a = b ，赠这禚絮称为紧撼架条 件称为重构原信号的稳定性条件 定理1 3 1 若渺。( 萄) 是三2 ( 最) 豹框架，帮濑跫稳定经祭佟，燹| jv f 拶显) 都能由 的“对偶”一般地，我们给出如下定义 定义1 3 。2 设 奶 ， 莠 是h i l b e r t 空阕中鲍爨令蔽数族，如暴黟h ，蠢 ，= ，咖垴= 0 ，b 0 0 ，使v c ，2 ，都有 ll 彳( h 陌- 1 1 c 庐ji i - 是令薯皇茇交，l 、渡t 定义矿热下 ( ) ：i j 塑l 一 ( 1 3 1 z ) l 驴 + 2 七石) 1 2 则 = 屯，k ，m z 即矿是y 的对偶 1 4 多分辨分析 在许多应用中，都希望小波的伸缩和平移能够形成口( r ) 的一个基m a l l a t 于1 9 8 8 年提出了多分辨分析( m u l t i - - r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 概念，建立了统一 抽象的小波分析数学理论，并给出了相应的塔形结构算法m a l l a t 算法多分辨分 析的基本思想是引入了三2 ( r ) 的一列渐增子空间族，先从上2 ( r ) 的某个子空间出 发，构造小波函数，建立子空间的基底，然后进行伸缩变换把基底扩充到 r ( r ) 中去 1 4 1 尺度函数与子空间序列v 定义1 4 1 l 2 ( r ) 的一个正交多分辨分析( m r a ) 是指满足如下性质的 - y u 子空间 ) ： 1 ) kc + 1 ，m z ； 2 ) f ( t ) 曹f ( 2 t ) 吒+ 3 ) n 一= o ) ，u 一= r ( r ) ； 4 ) 存在( 曲v o ，使舻 一膏) 。构成k 的标准正交基 其中庐( x ) 称为尺度函数 小波基的正交性并不特别重要，一个应用上更普遍，甚至在某些场合更方 便有效的性质是双正交性为得到双正交小波基，需要把m r a 所需的性质4 ) 减弱为 4 ) 存在妒( x ) v o ，使 q ( x - ) ) 。z 构成的r i e s z 基 我们称满足1 ) ，2 ) ，3 ) ，4 、) 的三2 ( r ) 的一列子空间 ) 。：为一个多分辨 分析( m r a ) 由m r a 条件知，尺度函数伊( x ) 经过平移、伸缩得 2 r n 2 ( 2 ”x 一仃) ) ，m ，n z 构成空间的一组r i e s z 基础 设 ) 。；是一个给定m r a ，只需满足1 ) ，2 ) ，3 ) ，4 、) ，妒( x ) 称为对应的 m r a 尺度函数，它满足如下“两尺度方程“ ( z ) = 2 e 口。庐( 2 x 一七) 对上述作f o u r i e r 变换可得 蛔砘( 嗤) - 其中m o ( ) = a k e “。称为滤波函数正交尺度函数是使( 妒 一七) ) 凇构成 k k 的标准正交基( 满足 = 玩，k z ) 的尺度函数，它有如下初等性 质： 定理1 4 1 设 圪) 是一个正交m r a ，；) 与m o ( 珊) 都连续，则 ( 1 ) i ； + 2 厩) 1 2 1 ，o e i ( 2 ) 1 m o ( c o ) 1 2 + i m o ( 国+ 丌) 1 2 = 1 ，t 1 e ( 3 ) i ；( 2 庇) 睁以，m 。( o ) = l ，聊。( 石) = o ； ( 4 ) 若还有妒上1 ( r ) ，则 庐。一女) = ；( o ) 伽 k 对于不必正交的m r a ，仍然有( 设；( ) 与m o ( m ) 都连续，且 兀t o o ( 2 1 ) 收敛) j t i 可得 q ；( 2 n k ) = o ， q k o ； i ( o ) 0 ，埘o ( o ) = 1 ( 1 4 1 3 ) 当庐r ( 丑) ，却( x 一) = 5 ；( o ) o e 通常对不管正交与否m r a ，都假定乒( o ) = 1 ，因此重复使用式( 1 4 1 2 ) 5 ；( ) = 兀( 2 一c o ) 1 4 2 小波函数与细节空间 为了得到l 2 ( r ) 的基底，即生成基底的小波函数，我们将引入一在+ 。中 的补空间，用矿表示，且满足 + = 阜，z ( 1 4 2 1 ) 其中“4 - ”表示直接和，因此，由 ) 是口( r ) 的一个m r a ，可得族 ) 构成三2 ( r ) 的一种直接和分解，即 三2 ( 尺) = - - ；矽。阜阜磁 如果函数列渺o 一，) ) 。是矾的r i e s z 基，则y ( x ) 是一个小波，小波函数 列舻。) 。：是r ( 屁) 的一个r i e s z 基既然小波y ( x ) k ，存在序列 ( 以) l2 ( z ) 使 y ( x ) = 2 b i 妒( 2 x 一_ j ) 1 0 小波妒( x ) 的f o u r i e r 变换为 矿( 国) = 聊，( m 1 2 ) q p ( m 1 2 ) 其中m ，为一个周期为2 ，r 的函数，即 m 知) = b k e “。 每个空间巧和在2 ( 眉) 上都有补，分别用_ 和。表示我们有 。= 阜。和。= 彬 ( 1 4 2 6 ) 我们定义只为到上的投影算子，平行y - v j 。，g 为到上的投影算子， 平行于矿。，一个函数，现可表示为 ，( x ) = q j f ( x ) = ( x ) ( 1 4 2 7 ) 上式是离散小波的一个逆变换 1 5 塔式分解 m m l a t 的塔式分解算法在小波理论中占有重要地位，在这一算法中m a l l a t 给出了函数的分解、重构公式，使得小波分析理论得到进一步的发展下面我们 来看m a l l a t 分解的基本思想并给出一些重要公式 首先定义一个子空间序列 ) 脚，使得为的正交补，即有： _ + 。= _ o ，其中上一 ( 1 5 1 ) 这样就可以将三2 ( r ) 进行如下分解： 口侮弋：t ：弋乏弋毒弋乏孓= ： 由以上的塔式分解可看出，对于任意的函数，( x ) l x ( r ) ，都可以用，( 砷 在v j 上的投影乃( z ) 来逼近随着下标，的增大，( x ) 就越来越接近，( x ) ，即 有，( x ) = ! i m f , ( x ) 从图我们还能看出，子空间包含了由子空间_ 逼近子空 间_ + ，的“细节”信息，函数族 ) 触可以由一个函数y ( x ) 通过伸缩、平移得 到，即：= 渺肚( x ) = 2 - j 2 y ( 2 。x - k ) 坩。z ，而这个函数妒( 功即是母小波这 就是说，对任意的函数f ( x ) l 2 ( r ) 都可由y ( x ) 近似，再由式( 1 - 5 1 ) 便可以 把矿( x ) 和妒( z ) 联系起来了，根据上一节的内容庐( 第) 可以被唯一确定 由妒( x ) _ ，并设函数族： 劫( 2 x 一一) 。) 构成予空间h 的规范正 交基，( x ) 可以用k 的基元素表示出来： 妒( x ) = 芝： ( 仃) 庐( 2 x n ) ，疗( 行) e1 2 ( z ) y ( x ) = ( 一1 ) “g ( n ) o ( 2 x 一竹) ，g ( 玎) 1 2 ( z ) 其中，2 ( z ) 表示平方可和序列我们称上式为双尺度方程 ( 1 - 5 2 ) ( 1 5 3 ) 在塔式分解中，由y ( x ) 经过伸缩、平移得到的子空间序列 ) 脚具有以 下性质： 1 ) f ( x ) 甘f ( 2 x ) + l 2 ) c + l ，z ； 3 ) 阡- 上阡i ；力七，且玎，k z ； 4 ) l 2 ( r ) = 曼，z ，e z 。 基予这一理论，能够实现对函数f ( x ) 的分解与重构m a l l a t 设计出了类似快 涟f o u r i e r 交抉秘m a l l a t 算法，并构造了一纽带通滤波器，这样函数，( 砖就可 瑷看终一维羡号，鼹它的分解与重棱裁鼙以逶j 篷 曩逶滤波器螽撑) 窝寒遴滤波嚣 g ( 以) 来实现 设( x ) 在子空间k 和眠的投影系数分别为c 。和d 。，即； 分解关系式为 = c 。 。d n 。 峨册z ( 1 ，5 4 ) 撵，m 专z ( 1 。s 。5 ) c 。= ( t 一2 m ) c 时 ”，m z ( 1 5 6 ) e z 以“，= g ( k 一2 m ) d 。 ”，卅z ( 1 5 7 ) e z 相应的重构关系式为： c m = h ( k - 2 m ) c ，i + g ( 一2 r e ) d , , 扎i 以me z ( 1 5 8 ) k e zt e z 以上的分解与重构可以用框图表示如下： 其中，分解时的滤波器组为 ，g ，脉冲响应函数用h k ，g 。表示，合成时的滤 波器组为石，营，脉冲响应函数用琉，或表示它们满足下述条件： 1 ) 风巩+ 。= 6 0 g t g 一= 民却；( 正交性) e z e z 2 ) = 2 ，甑= o ；( 规范性) e zt e z 3 ) g i = ( 一1 ) h h ； 4 ) 瓦。甑= g 。 在图像处理中把图像看作二维信号f ( x ，y ) 后，对其进行小波变换处理，所 用到的理论知识和实现过程与一维信号类似，但是，难度和复杂度会相应增加 第2 章：豳像边缘与边缘检测 2 1 图像边缘概述【1 5 】【1 8 】 1 9 】 图像的边缘对人类的视觉系统具有道要意义，它愚人类判别物体的重要依 撵，是强豫魏最鏊本特鬣之一，边缘孛包含羞暴携有徐镶戆边赛倍悫。这些穰惑 w 以用于图像分析、目标识别以及图像滤波，并且通过边缘检测可以极大的降 低后继图像分析处理的数据量边缘存在于目标与背景、目标与目标、区域与区 域、基元与基元之间 边缘弼定义为：鼹个具有不同获度的均匀图像区域的边赛，即边界反淡局 部灰度变他局部边缘怒图像中局部获度缀以蔺翠( 郁单调) 的方式作辍快变化 的区域，这种局部变化可用一定窗口运算的边缘检测算子来检测边缘的描述包 含菇下死令方瑟： 1 ) 边缘法线方向一在某点灰度变化最剧烈的方向，与边缘方向垂直； 2 ) 边缘方向一与边缘法线方向穗直，是目橼边界的切线方向； 3 ) 逸缘位萋一边缘掰在懿坐椿位置； 4 ) 边缘强度一沿边缘法线方向阕像局部的变化强度的量度 一般认失沿边缘方向螅灰度变化比较平缓，丽边缘法线方向的灰度变化比 较剧烈，旗本豹灰度变化可以是阶蹶形、斜坡形域者脉冲形等 2 2 经典图像边缘检测方法 1 5 1 1 9 1 1 5 1 1 2 2 1 微分算子法 边缘的检测可借助空域微分算子通过卷积完成，导数算子具有突出灰度变 化的作用，对图像运用导数算子，灰度变化较大的点处算得的值较高，因此可 将这些导数值作为相应点的边界强度，通过设置门限的方法，提取边界点集 一阶导数兽与箬是最简单的导数算子，一个连续函数，( x ，y ) 在位置( x ，y ) o y 处方向导数的最大值是i g i = 、( 睾! ! ) 2 + 芒) 2 ，称为梯度模，相应地，取得最大 v 优删 值的方向为口：a r g m n 关- ，善】r u 洲 利用梯度算子来检测边缘是一种很好的方法，它不仅具有位移不变性，还 具有各向同性在实际中，对于一副数字图像采用了梯度模的近似形式。如常 用的r o b e r t s 算子和s o b e l 算子的表达式( 见第三章) 由于边缘的图像灰度变化并不十分陡峭，图像中存在噪声，直接利用微分 1 4 算子提取边界后，还需作某些处理( 如连接及细化) 才能形成一条有意义的边 界 2 2 2 拉营拉辩裔颏算子法 拉普撒斯高斯( l o g ) 算法是一种二阶微分边缘检测方法它通过寻找图像 获疫篷中二瓣徽分孛熬过零点来捡溺边缘赢。箕篆理是：获攫缓交影或豹逡缘 经过微分算子形成一个单峰函数，峰值位置对威边缘点；对单峰函数进行微 分，则峰馕处的微分馕为0 ，峰德蕊侧符号相反，雨原先的极健点对应二阶微 分中的避零点，通过检测过零点邵w 将图像的边缘提取出来 在实际中，为了畿除噪声影响，首先要用高斯函数对图像进行滤波，然后 对滤波后的图像求二阶导数 v 2 【g ( x ，_ y ) + f ( x ，y ) 】= v2 g ( x ，y ) f ( x ，y ) ( 2 2 2 1 ) 式中v 2 g ( x ，为拉普拉斯高斯算子，即 v 加一1 - - - ! - 5 - e x p 。l 半一z h 竽 ( 2 z z z ， 边缘检测就是要寻找v 2 g ( x ，y ) 的过零点l o g 算法被认为是微分法中利用 平滑二阶微分检测图像边缘最成功的一种算子 2 2 3c a n n y 算子法 边缘提取的基本问题是解决增强边缘与抗噪能力间的矛盾，由于图像边缘 和噪声在频率域中同是高频分量，简单的微分提取运算同样会增加图像中的噪 声，所以一般在微分运算之前应采取适当的平滑滤波，减少噪声的影响c a n n y 运用严格的数学方法对此问题进行了分析，推导出由4 个指数函数线性组合形 式的最佳边缘提取算子网，其算法的实质是用一个准高斯函数作平滑运算，然 后以带方向的一阶微分定位导数最大值，c a n n y 算子边缘检测是一种比较实用 的边缘检测算子，具有很好的边缘检测性能c a n n y 边缘检测法利用高斯函数的 一阶微分，它能在噪声抑制和边缘检测之间取得较好的平衡 2 2 4 拟合法 拟合法就是茵先对图像进行菜种形式的拟台，从而根据拟合参数求得边 缘+ p r e w i t t 善先疆壅援麴嚣掇会方法终强德边缘提取，德爰关予坐标戆n 跨多 项式对原始图像作最小二乘方意义下的最佳拟合，多项式的m 个参数由图像 h 斗个邻域获度确定，从拟合的最佳曲两函数即可确定获度梯魔等参数这种 方法与转绫翡梯菠法裙魄其毒受离戆菝噪声能力。h a r r l i c k 捷爨爝离散灏交多 项式对原始图像繇一象索的邻域作最佳曲面拟合，在拟含曲面上求h 阶方向导 数的零交叉，从而提取图像边缘另外一种形式的拟合算法是拟含图像边缘尽 镑实嚣暴甥豹边缘是予姿嚣态蚤不援羁豹，毽曼在菜一鲻帮塞翻蠹，对疆像边 缘可以用直线、曲线来拟合。 拟含法的实质是利用了图像的统计特性来掇鞭边缘，因而冀计算蠢很大， 必在一垫犬豹视觉系统中，整会法才豢豢棱采用 上面几种基于微分的经典边缘提取算子，它们共同的优点怒计算简单、速 度较抉，缺点是对噪声的干扰都比较敏感在实际应用中，由予图像噪声的影 嚷，总簧烬经典豹算法遴行改善藏结台其建一些算法对螟含唆声豹图像进行 处理，然后再采用经典的边缘撮取算子提取图像边缘 2 。3 基予然量最小纯共准则的全恩检测图像边缘方法 6 7 1 2 3 。1 松弛法 以全局最优的观点提取边缘的思想楚近代边缘提取技术的搬要特点，而豢 予羧魏技零弱逮缘提取方法是这类方法熬一夸典型我表。该方法蕊走裂瘸菜秘 简单的边缘提取算子对图像作初始边缘提取，然后再利用边缘间的空间分布关 系来协调和增强初始提取结果。从而以全局最馋的观点提取边缘 边缘提取翊遮实质上是确定图像孛边缘点帮j 边缘点熬秀类别模式分类闷 题，由予噪声、畸变等阑素的影响，单纯的基予局部灰度信息的边缘分类方法 存在很大模糊性利用燎物边缘的空间分布信息，用各种方法包括人工智能关 于知识表达、自学习秘雄理等手段佟进一步调熬蛇思想己匿靛弓l 起人 f 】驰藏规。 2 3 2 神经网络法 这种方法实质上也是将边缘提取过程视为边缘模式的识别过程，只是猩算 法实臻上利霜了享拳经潮络。虽然嚣藩已有静诲多舞法都转纯麓李孛经网络实 现，如当判决函数为：次型时，其方程是一阶微分方程组，w 用阻容网络求 解，但他们并未反映出神经网络系统螅本质，真摄梅造模仿生物视觉系统的特 征提取方法还有待进一步研究 2 4 基于小波的图像边缘检测方法 1 6 2 7 3 0 从数学的角度出发，图像的边缘表现为局部奇异性至今为止，f o u r i e r 变 换仍旧是用于分析奇异性的主要数学工具然而，f o u r i e r 变换的全局性思想并 不适合于局部奇异性检测因此，使用f o u r i e r 变换很难确定奇点的位置及其 空间分布状态而小波变换是一种局部性分析工具，特别适合于时一频分析， 这对于奇点的检测尤为重要 随着小波理论的发展，小波变换己公认为分析奇点包括边缘以及有效检测 边缘的杰出的数学工具小波变换用于边缘检测的思想类似于c a n n y 算子的思 想c a n n y 算子选择高斯函数作为平滑函数，基于小波的方法是选择一种小波函 数作为平滑函数m a l l a t ，王健中 5 3 等已论证了小波变换极大模能用来探测 不规则结构的位置并且提供了计算这些不规则结构的l i p s h c i t z s 指数的演算 程序利用小波变换局部极大模定理，对于一维或二维信号的重构可以达到较 理想的精度这不仅解释经典边缘检测算子的主要方法与技巧，也表明了在一 定的条件下可以构建一种最优的边缘检测方法 2 4 1 小波函数的尺度 首先，我们考虑一下高斯滤波器的主要特点高斯函数在高斯滤波器作用下 仍为高斯函数，只是增加了一个伸缩量而已 令g 。( x ，y ) 具有伸缩量盯2 的标准高斯函数，则 ( 岛g 。：) ( x ，y ) = g 。 一厅，j ，一七) g 。( 矗，k ) d h a k 2 矗毒e 卅业拳型孵等，揪 = 碍唧卜虹熊垫堑嗟筹亟坚蝼删 = 南肌州一生笔等筮愀 2 南唧卜一2 ( a t 2 + a2 ) j _ 。l 。州一警m = 赤- e x 小赫， = g 瓣) ( w ) ( e x p ( 一f 2 ) d t = 石) ( 2 4 1 1 ) 现在，我们可以把一个光滑函数的导数定义为一个小波函数即 y ( x ，y ) ：导庐( x ，y ) ， ( 2 4 1 2 ) 这里有 旺：y ( x ，y ) = 1 若高斯函数作为光滑函数，则相应的小波函数称为 高斯小波 从式( 2 4 1 1 ) ，为了寻求f ( x ，y ) 在一系列尺度上的小波变换，可以得到一 个级联算法： 卅厂( 五力= 熊力 ：单t 厂如力 敷 。型丛堂+ ，眩奶dx 。、。 ；掣。磊，药 黜 = 转尝l f ( x ，为磊如力。 ( 2 。4 。l 。3 ) 因此，对任意整数1 , 1 1 ，有 w 1 f ( x , y ) ；妒一母。w 1 ， ，y ) ，这爨旷舷y ) ：掣+ 厂( 五”：( 2 4 1 4 ) 了 咖 同样霸 w , 2 f ( x , 力= 圣堂t w 2 ，( 鼍力，这羹扩2 f ( x ，力= 譬t ，瓯y ) 。( 2 。4 。1 。 。咖 n i o 2 。4 。2 基予8 祥条斡逅觳褰聚滤波器售诗 溺】【s 3 】 接下来，我们利