（计算数学专业论文）klein几何中的可积曲线运动.pdf

摘要 摘要 众所周知，曲线运动有着广泛的应用。很多有意思的可积方程都自然地产 生于曲线的运动本文通过研究k l e i n l 何中不变曲线运动，建立了曲线运动与 可积方程间的关系。 第一章中，介绍关于曲线流与可积方程的背景知识以及文中用到的相关知 识通过作用在空间s 1 r 的变换群，给出了对此空间的分类，得到了一系 列k l e i n 几何。并计算出了每个几何下的弧长与曲率的表达式 第二章中，研究曲线在各k l e i n 几何中的运动，证明了诸如k d v ，m k d v ， 发散的m k d v ，s a w a d a - k o t e r a ，b u r g e m 等1 + l 维可积方程及其序列可以自然地 从那些几何中的曲线运动来得到 关键词：可积方程；不变几何流；k l e i n 几何；微分不变量 a b s t r a c t a sw e l l - k n o w n , t h em o t i o n so fc u r v eh a v eaw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n m a n y i n t e r e s t i n gi n t e g r a b l ee q u “t i o n sn a t u r a l l y 踞i s ef r o mt h em o t i o n so fc u r v e s i nt h i s p a p e r ，m o t i o n so fn o n - s t r e t c h i n gc u l r v e 8i n m ek l e i ng e o m e t r i e s ，d e t e r m i n e db y t h et r a n s f o r m a t i o ng r o u p sa c t i n go ns 1 皿。珊s t u d i e d h c h a p t e r1 w ep r o v i d e $ o m eb a c k g r o u n dm a t e r i a la n dn o t i o n so fi n v a r i a u t a l r v ef l o wa n di n t e g r a b l ee q u a t i o n s ac l a s s i f i c a t i o no fl i eg r o u p so rl i ea l g e b r a o fv e c t o rf i e l d sa c t i n go ns 1 r i sl i s t e d t h em c - l e n g t ha n dc u r v a t u r eo fac u r v e i ne v e r yk l e i ng e o m e t r ya r ea l s og i v e n i nc h a p t e r2 w ed i s c u s sm o t i o no fi n e x t e n s i b l ec u r v e si nt h e s ek l e i ng e o m e - t r i e s i ti ss h o w nt h a ts e v e r a l1 + 1 d i l n e l l 8 i o n a li n t e g r a b l ee q u a t i o n si n c l u d i n gt h e k d v m k d v , d e f o c n s i n gm k d v , s a w a d a - k o t e r a , b u r g e r se q u a t i o n sa n d t h e i rh i - e r a r c h i e sa r i s en a t u r a l l yf r o mm o t i o n so fn o n - s t r e t c h i n gc u r v e si ns u c hg e o m e t r i e s k e y w o r d s ：i n t o g r a b l ee q u a t i o n ；i n v a r i a n tg e o m e t r i cf l o w ；k l e i ng e o m e t r y ；d i f - f e r e n t i a li n v a r i a n t 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 一7 。， 学位论文作者签名： 遮! 焦圭指导教师签名：z 丝丝绶堡 7 年占月p 日 j - 7 年6 月产日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 7 7 稚车 沏7 年易j j j 午f f 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 不变几何流在图象处理，计算机可视化当中有很重要的应用( 参看【1 】) 在 研究物理，化学，生物及应用科学的形状动力学时，人们常会遇到保持整体几何 量如弧长，面积和体积的问题，这些问题通常由曲线或曲面的法向和切向速度场 所决定，如不可压缩的流体区域的运动( 保持体积) ，细胞膜的运动( 保持体积和面 积) 等在物理学中，一些有趣的问题是描述表面和缺陷的运动，其中重要的应 用包括晶体生长的动力学问题。因此研究曲面曲线如何运动或形变成为数学家 和数学物理学家共同关心的问题。众所周知，可积系统和微分几何有着很密切 的联系。在1 9 世纪，人们就已经知道著名的s i n e - g o r d o n 方程描述具负常曲率的 曲面，并知道s i n e - g o r d o n 具有b a c k l u n d 变换，而b a c k i u n d 变换的存在性是可 积系统的一个重要特征类似的，g a u s s - m a h m r d i - c o d a z z i 方程在曲率坐标下 所描述的极小曲面可用l i o u v i u e 方程表示 曲线曲面的运动、可积系统和p o s s i o n 几何之间有着密切的联系关于 空简曲线的运动与可积系统的关系的研究已有较多有意思的结果，开创 性的工作则属于h 踞i m o t o 2 ，他证明了非线性s c h r s d i n g e r 方程来自于不可 伸缩旋线的运动( 可参看f 3 】了解更多关于此方程的历史) 。更多的进展可参 看【4 l 一【8 1 l a m b 利用h a s i m o t o 变换把空间曲线的运动和m k d v 及8 i i 峥g o r d o n 方 程联系起来。l 黼g e r 等证明了j # 线性s 妇6 d i n 雪e r 序列来自于不可伸缩的旋线的 运动。d o l i w a y f s a n t i n i1 9 】研究了球面和空间中的曲线运动，得到了m k d v 序列 l a k s h m a n a nf 1 0 ，l q 通过研究中不可伸缩的曲线运动，给出了h e i s e n b e r g 旋链方程， 同时得到了没有谱参数的a k n s 谱问题。n a k a y a m a 【1 2 t 培l 研究了m i n k o w s k i 空 间中双曲面上的曲线的运动，得到了发散的非线性s c h r 6 d i n g e r 方程，r e g g e - l u r i d 方程及k d v 方程组。在 1 4 1 ，g i i r s e s 讨论了m i n k o w s k i 空间中平面曲线运 动。g o l d s t e i n 和p e t r i c h i s l 他们非常有趣的文章中发现m k d v 序列来自于欧 氏空间中不可伸缩的平面曲线的运动。n a k a y a r n a , s e g u r 和w a d a t i1 1 6 | 通过考 虑平面曲线非局部运动得到了s i n e - g o r d o n 方程。屈长征和曹启升【1 7 l 一日2 l 研 究了中心仿射几何和仿射几何等k l e i n 几何中的空间曲线运动，很自然地得到 了k d v s a w a d a - k o t e r a 。b o u s s i n e s q , k a u p - k u p e r s l u n i d t 和b u r g e r s - m k d vh i e r a r - c h i e s 等许多重要的可积方程。与空间曲线运动的结果相比较，关于平面曲线 运动的研究结果相对较少。人们通常相信k d v 方程不会来自于欧氏空间中平 面曲线的运动。最近曹，屈发现k d v 序列非常自然地来自于中心仿射几何中 平面曲线的运动，他们还系统地研究了k l e i n 几何中曲线和曲面的运动。证 明了其它的可积方程如c a m a s s a - h o l m 方程，b u r g e r s 序列，s a w a d a - k o t e r a 序列， k a u p - k u p e r s h m i d t 方程，发散的m k d v 序列来自于中心仿射几何，相似几何， 仿射几何和完全仿射几何。共形几何和投影几何中不可伸缩的平面曲线的运 第一章绪论 动，他们得到了一些很有趣的对应：欧氏几何m k d v ，中心仿射几何k d v 方 程，相似几何b u r g e r s 方程，仿射几何s a w a d a - k o t e r a t 亨程并给出了m j u r a 变 换和c o l e - h o p l 变换的几何解释。从而可见曲面曲线及其运动与可积系统密 切相关又如s y m 等提出了s o l i t o n 曲面的概念；t e n e n b l a t 和s ，s c h e r n 等人 给出了一些描述拟球曲面的分类；f o k a s 和g e l f a n d 等研究了李群和李代数上 的曲面的可积性；k o n o p e l c h e n k o 等研究了曲面的内蕴几何与可积系统的关 系。在口3 】中，i v e y 提出了一种平面曲线得可积几何形变方程一中方法。m a r f b e f f a ，w a n g 和s a n d e r s 【2 4 】讨论了非弹性曲线在黎曼流形上的运动，建立了不 变几何流和相应的可积方程间的关系。 众所周知，非线性发展方程的双- h a m i l t o n i a n 结构的存在性可以确定方程 的可积性。m ib e f f a ，g o n z h l e z - l d p e z 和h e r n & - t d e z1 2 5 j 1 2 9 】在一系列文章中研 究了不变几何流与h s m i l t o n i a n 结构的联系基于这种活动余标架方法，他们 建立了一种一般的方法：从形为o n 的齐次空间的几何得到h a m i l t o n i m a 结构， 其中g 是半简单李群，爿是g 子群。近期，a n c om3 1 】得到了双- h a m i l t o n i a n 算 子，从不伸缩的曲线在常曲率流形和李群中的不变几何流得到了多变量的孤子 方程序列 总之，曲线曲面流和可积系统有着密切的联系，过去几年关于这个问题 和理论研究和实际应用有了很大的进展，特别是在图像处理和计算机视觉中 的应用。而与可积系统的关系方面，最近段时间的工作非常突出微分不变 量和不变流理论，推广欧氏空间中的工作到其它几何中特别的，出现在不 变e u l e r - l a g r a n g e 复型中的算予能够诱导出双h a m i l t o n 结构，因此隐含着几何 运动的可积性但是关于这些联系的完全理解还是不清楚的。 本文希望通过研究在一些由作用在s 1 r 的变换群确定的k l e i n 几何的不 变曲线运动，说明诸如k d v 等可积方程可以自然地从那些几何中的曲线运动 来得到。本文要研究曲线在s 1 r = ( p ，t ) ，p s l ，r ，其中s 1 是圆， 中的k l e i n 几何中的运动。这些几何是由相关的s 1 取中向量场的李代数来确 定的。任何李代数生成相应k l e i n 几何的等距群。更具体知识可参看下一节关 于k l e i n 几何的介绍。到现在，对于作用在占1 皿空间上的李群或向量场的李 代数没有进行完全的分类。在本文中也只考虑了部分情形。整篇文章中，我们 假定那些几何是在群下不交的。也就是说岛是凡何的相应群的李代数的基本元 素 本文第一章介绍了部分背景材料和概念。第二章，讨论了非弹性曲线 在s 1x 皿中的运动第三章，给出了本文的结论和需要进一步研究的问题。 1 2 预备知识 本章列出将要用到的部分预备知识和关于微分几何和不变方法的经典结 2 第一章绪论 果。一些结论可以例一p s 中找蓟对于一些定理及性质本章将不给予证明。只列 出其出处。 1 2 1k l e i n 几何和微分不变量 首先，我们介绍一些k l e i n 几何的基本知识。k l e i n 几何是由k l e i n 在1 8 7 2 年 引入的，再f l j k i l l i n g 继续发展的。1 8 7 2 年德国数学家f k l e i n 在埃尔朗根大学就 任教授时发表了题为近代几何学研究的比较评述的演说，将当时为止研究 出来的种种几何学的定义给予明确的解释，把几何学视为在一个变换群下的不 交性质的理论这种突出交换群在几何学中统一作用的观点，开拓了研究几何 学的一种有效方法，对几何学的发展产生了深远影响，后来把它简称为埃尔 朗根纲领 设给定空间s 和s 上的变换群9 ，则s 的子集，即图形，可能具有多种性质， 研究这些性质中，在属于交换群g 的所有变换下保持不变的性质的学科，称为 从属于变换群岔的空间的s 几何因此，在k l e i n 意义下的几何学是关于空间5 在 其上变换群9 下的不变性质的理论。例如，若将s 视为射影平面，g 视为射影 平面上的射影变换群，则从属于( 射影平面上) 射影交换群9 的射影平面s 的几 何学就是射影平面几何学。对任意李群量作用在一流形上，对应有- - k l e i n 几 何k l e i n 几何是研究一变换群的几何不变量的理论几何不变量是是变换群的 不变量。 在本文中我们假定蛋是作用在空间s 1 豫上的李变换群。它的李代数可 以由在上有普通p o s s i o n 括号的光滑向量场的李代数的子代数决定。则根据埃 尔朗根纲领，任何夕或g 确定一个k l e i n 几何。为了描述不变量，我们假定一 曲线7 和它在g 任一g 下的象r 可以表示成图的形式( 口，( 口) ) 和( 毋，矗( 毋) ) 对空 问m = s 1x 豫，其n 阶导网空间j ( n ) = s 1 r ) 是n + 2 维欧氏空间p 2 l 。 定义1 2 1 9 的微分不变量是定义在n 阶导网空间j = s 1 r ( 川，对r l ， 的c ”函数圣。它在蛋任意元素下是不变的。 定义1 2 2 不变一形式，或更确切称为水平接触不变量，是定义在n 阶导网空 间s 1 r 的一形式它在多任意元素下是不变的。 因此，如果圣( 口，t ( 口) ，“( 由( 口) ) 是微分不变量，那么它就满 足垂( 口，t ( 目) ，t ( 帕( p ) ) = 蛋p ，面( 毋) ，豆( ”( 毋) ) 对任意9 9 。不变一形式， 由勿= p p ，( 口) ，暂( 哪( 口) ) 勰给出。它满足 z p ( 以“( 吐，”( 纠胡= z p ( 哦矗( 观，证( 毋) ) 锄， ( 1 1 ) 3 第一章绪论 对所有，【0 ，2 叫和，是，在g 岔下的象设 v = 酏甸品+ j j ( 蛐) 未 ( 1 2 ) 是g 中的任意向量场。我们记p r ( n ) v 为v 在s 1 r ( 帕上的n 阶延拓。接下来的几个 性质我们就可以来计算g 的微分不变量和不变一形式。 性质1 2 1 函数垂：呐一r 是群岛的微分不变量当且仅当：对任意形式 为( 1 2 ) 的v 口有 p r ( n ) v ( 垂) = 0 性质1 2 2 微分一形式出= p ( e ，t ( p ) ，t ( 口) ) 瑚是群9 的不变一形式当且仅 当，对任意形式为( 1 2 ) 的v g p 满足 p r v ( p ) + p d i v f = 0 接下来的定理说明给定群的微分不变量的存在性。 ( 1 3 ) 定理1 2 3 3 2 ，3 哪对任意作用在s 1 r 上g 的可递的有效的李群，存在最低阶的 不变一形式和微分不变量垂，d e = p ( o ，t ( ，“( 曲( 口) ) d 日满足任何微分不变量 可以写成垂及其导数d 圣，d 2 垂，的函数。其中 n 1d 2 一p 历 更进一步。任何不变一形式可以写成q 由，q 是9 的任意微分不变量。 最低阶的不变一形式在不考虑常系数下是唯一的最低阶的不变量在不考 虑复合上一个非常数函数下是唯一的。对每个几何，我们确定一个微分形式并 称为弧长，微分不变量称为曲率。后者一般选取为满足u 的最高阶是线性的。 f e l s 和o l v e r 发展了一种实用并且简单的方法用来计算活动标架，微分不变 量，不交一形式和微分算子。他们的这种方法我们通常称为活动标架法。更进 一步，一个给定群的微分不变量的完备集可以通过活动标架的系数来寻找到 特别的，此方法可以在本文当中用来求s 1 r 中各几何的等距群的微分不变量 和微分一形式。 4 第一章绪论 1 2 2 s 1 r 中的几何 在本文中我们主要考虑作用在o i ls 1 r ，( 口，s 1 r _ t z 的k l e i n 几何。 我们利用上一节的知识，在表1 中列出部分几何。那些几何用等距群的李代数来 确定。 表1 ：s 1 皿几何中向量场的李代数 几何生成子维数 a ，o e ，s i n o o o + c o s o t ( g u ，c a s 0 0 0 一；u s i n 0 0 ： 3 岛 岛，s i n 0 0 e + c o s 阮允，c o s 0 0 0 一；u s i n 0 0 t , ，娥 4 岛，s i n 0 0 0 - ( 2 s i n o + u c o s p ) 巩，c o s 0 0 0 + ( - 2 c o s 0 + 岛 3 u 8 i n 0 ) 0 局岛，s i n 0 0 ：，c o s o o 3 s l岛，s i n 0 0 ：，c o s 0 0 ，砜 4 岛 岛，s i n 0 0 , , ，c o s 0 & , ，氏，t 瓴 5 国，s i n 0 0 ：，c o s o a q ，c o s 2 0 国一s i n 2 0 u 0 ，s i n 2 0 岛+ a 1 5 c o s2 0 u o , , 岛，s i n 0 巩，c o s 0 0 ：，c o s 2 0 0 0 一s i n 2 0 u o , ，s i n 2 0 0 0 + a 2 6 c 0 8 2 0 u o ，t l 】a “ 西，s i n 2 0 a , , ，c 0 8 2 0 九，c 0 8 2 0 函- 2 s i n 2 0 u o , , ，s i n 2 0 0 e + q 6 2 c o s 2 0 u o ，巩 a 8 ，u s i n o o e 一( a u 3s i n 0 一, u 2c o s o ) a , u ，u c o s 0 0 0 一 易 3 ( a u 3c o s 0 + u 2s i n o ) a = 岛，u s i n o o o 一( ( t 2 1 ) 3 2 s i n 0 一( 札2 1 ) c o s o ) a 。， 3 h 1 u c o s o o o 一( ( 舻一1 ) 3 2 c o s 0 + ( i , 2 1 ) , i n o ) a 。 在表2 中，我们列出表l 中各几何下的曲率和弧长。 5 第一章绪论 表2 ：表1 中各几何下曲线的弧长和曲率 几何弧长曲率 q i , 一2 棚 = u s ( u 卯+ 岛 i ；u - 2 d 8 t 2 一；b 岛 + 和+ 1 ) 瑚 q 埘+ g t m 口+ t 一+ u ( 却+ 护+ 1 ) e 劣 秽未地附+ 研 d o ! ，卫 口 & d 8 立c t 憎 a i 口i d p 三口一1 ( ( t ，一) 鲫+ 分一；) 也 口；瑚 3 p2 肋 瓯 瑶瑚嘶啪一5 v 7 3 嵋p 一4 百1 易 ：【( 警+ 一) 2 + 1 辟瑚 伽_ + 3 d “t 蛔+ 4 2 矿+ 暂 i ( 警+ 一) 2 + 1 1 薯 2 1 ) 一2 d 0 ，一+ 矿+ u + 弓丢一争 皿 一 兰咖、孕= _ r + t i 1 2 3 不变几何流 在k l e i n 几何中，我们考虑的不变曲线运动流是： 竹= n + g t ，( 1 4 ) 其中，9 是关于曲率及曲率对弧长倒数的函数。我们根据【1 8 ，1 9 】中的方法计算 得到曲线运动相关的可积曲率方程。首先，对( 14 ) 关于t 求导，我们得到标架向 6 第一章绪论 量的演化方程 ( n t ) 。= ( c ad b ) ( n t ) c l s ， 接着，我们求出弧长关于时间t 的导数。根据要求弧长与时问可交换和闭曲线的 弧长在运动中保持不变，可以得到，和g 满足的条件。最后，就可以得到曲率的 演化方程，即曲率方程。在得到可积方程同时，把方程的算子进行叠加就很自 然地得到可积序列 1 2 ，4 曲线在欧氏几何中的运动 为了更好说明上述方法，本节介绍曲线在欧氏几何当中的运动。 谢( p ，t ) 是r 2 中的一组光滑曲线，p 是与时间无关的参数，t 为时间变量。通 常我们也可以把它表示成图的形式7 ( 。，t ( z ，t ) ) 。定义在曲线上的距离为 矿0 ，t ) = i 则曲线的弧长为s 0 ) = 届9 侈，t ) 彤，且有如= 叻。 我们令t ，n 分别是曲线的单位切向量和单位法向量。它们满足f r e n e t - s e r r e t 公式： t 。= k n ，n 。= 一k t ( 1 6 ) 其中女( 3 ，t ) 是曲线的曲率曲线的运动方程是( 1 ，4 ) 欧氏几何下封闭曲线的弧长 为 扛j 6 幽 经过计算弧长的一阶变分公式为 警= ，( 函州) 如 具体计算过程可参看【1 5 】。 这时非弹性条件就为 g = 石1 ( 女，) ( 1 7 ) 和 k f 如曲 我们又有 。( 第一章绪论 ，l 二詹g 厶：9 ) ( ：) c s ， 从 o o , ，o o t = 0 并1 1 ( 1 6 ) 与( 1 8 ) 之间的相容性可得出 缸= ，椰+ k m g + k 2 f ( 1 9 ) 把( 1 7 ) 代入( 1 9 ) ，就得到 k t = 厶+ 2 ，+ k 笱1 k f = q ，( 1 1 0 ) 其中n = 砖+ k 2 + k o 靠1 k 。当选取，= 一k ，我们就得到m k d v - 亨程 + 女。+ 互3 2 k a = 0 当取一0 k ，我们就得到m k d v 序列。 8 第二章曲线在s 1 【中的运动 第二章曲线在s 1xr 中的运动 在这一章我们开始进入主题，研究曲线在s 1 盈中的运动。其中我们把几 何分三类，在不同的小节分别讨论。由相同维数的不变群确定的几何组成一 类 2 1 曲线在q ，岛，e 1 ，易，和历几何中的运动 在这一节，我们考虑在表1 中三维群确定的占1 r 中的几何包括共形几 何西，岛，广义欧氏几何舀和蜀，双曲几何m 。 首先，我们考虑的曲线在共形几何q 的运动考虑的曲线运动仍是 m ( 1 4 ) 式来驱动。可以利用表1 中的结果得到弧长和曲率的表达式 d 3 = t 一2 d h 和 = 3 卵+ i “) 其中这里用的曲率与弧长s 的符号认为是跟欧氏空间的表达式不同的，之后出 现时以此为准。 切向量是t = u 2 ( 1 ，蛳) ，法向量我们选取为n = u ( o ，1 ) ，这样，曲线 流( 1 4 ) 就成为： 他= 知( 0 ，1 ) + g 舻( 1 ，呦) 通过计算可以得到口和关于时同的演化方程： ，巩= 矿g ， 1 吨= “，4 - u a u e g ( 21 ) ( 2 2 ) 在本文中，曲线在运动中是非弹性的，也就是曲线上两点的距离不随时间 变化。所以弧长s 和时间可以交换。p 是不依赖与时间的一个参数a 我们用j 印 来表示瑚。则对任意函数 ，我们有 撕= ( 脚- 1 ) t ；如一詈， 驴? 一愁， 。：一 ( 2 3 ) = u h + ( 2 u 雪一1 啦一舻蚕一2 氨) 讹 7 = + ( 。等一考) 9 第二辛曲线在s 1 r 申的运动 磊= 瓮= 鲁= 0 2 9 ) 面鲰2 荔2 瓦2 恤口g 2 等一詈可1 ( 2 t ，+ 2 舻脚曲一m + 2 啪力 ( 2 4 ) 工= f d s = f u - 2 瑚 ( z e ) 警。妒吼咖 ， = 如一2 ) d s 一 f a , = o ( 2 8 ) = p ( 聊+ 枷 ( 2 9 ) = 3 k u - t u t + u 3 ( 蛳+ 扣 1 0 第二章曲线在s 1x 政中的运动 经过直接的计算 t 啦5 t 坩一( u 2 9 ) e u e “斛誓：铲啪g ， ( 2 1 0 ) t 栅= t 棚一p 曲口坳 7 = t + 2 咖如+ t 卯，+ 舻t l 聊g 用( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) ，我们得到 = 3 ( ，+ 锃t 韬力+ ；( ，+ 碱留计 + 矿抽+ 2 u o f o + t 卯，+ u 2 u e e e g ) _ - u 4 卯+ 2 u s u e f e + 4 k f + u 2 k 8 9 = | 。i + a k l + k 。g 这样用( 2 5 ) ，就有曲率t 方程 k = ( 礞+ 4 k + 2 k 。0 2 1 ) ，兰n 1 ，( 2 1 1 ) 其中q 1 是k d v 方程的循环算子在( 2 1 1 ) 式中选取，= 一。就能得到k d v 方程 + k + 6 k k 。= 0 如果在( 2 1 1 ) 中选取，= 一q ? - 2 b 如2 ) i n ，就又得到循环子为q 1 的k d v 序 列。 接下来，我们考虑曲线在共形几何岛中的运动在这个几何中我们有弧长 和曲率为 靠= ( 钍口+ 7 1 u 2 + 1 ) 胡 和 西= 等等学i 【脚+ i + ) i 切向量和法向量为 t = i - ( 1 ，枷) ，n = u ( o ，1 ) ， 其中f = 蛳+ 扣2 + 1 所以曲线流可以表示为 m = 知( o ，i ) + ( 1 ，锄) 这样有 ：三1一；5f9-fz 一；。，可 c z 。，。， 1 i ：h ： 一；u 口可 、1 。7 墅三童丝垒垒塞：兰里圭丝重量 在这个几何魄中封闭曲线的弧长为 l = 歹击= 妇 ( 2 1 3 ) 对( 2 1 2 ) 式求导，我们得到 毗；坳- ( 一咖撕 = ；办+ ( 1 ) 口，+ i - 2 锄岛 u e o t = t 棚一( r g ) e t 枷 ；j ，卯+ z i i 妇如+ i 1z 一；b b + l 一 t 啪g ， 岛；f 而+ 【( 1 ；b + ：让z 1 ，+ r 吾( 弘阳+ u d g ， 坳= 渤一；脚一扣一u 。 蛳：j ：出+ 互3z ；岛妒一；( 伽棚+ 瑶) 一；乱2 蛳一撕 进一步，利用上面公式和式( 2 1 2 ) ，我们就可求得弧长的一阶变分 这样就有非弹性条件 和 歹【；f - ；f t + z ( z 一 g ) 一】d p j f + ；，口+ ( j l r 却 h + ；，】瑚 如+ 却西 如+ ；，j + i 西，= o $ 寺f d ：o j 丝出 忱 接着我们计算曲率的演化方程 也= i l 一( 啪+ ；t n 船+ ；舻+ 】t ：一咖m + 尹1 ，+ f 一；+ 虿1 “均) g i + r 讹蠡+ r 1 h e f t ) 矗 + b 厶+ ( 护1b ) 一，+ j - ；啪g ) + ( ；蛳+ ；u 2 + 1 ) ( f ，+ f i 蜘g ) ( 2 “ + 互3 缸+ 籼f + l i 1 坳9 ) 1 ：，菇+ c 1 ( 毋) ，+ c 2 ( g 也中的系数盘( 却可确定为 c 1 ( 曲= 一；扩+ l 一；【( ；l 一 b ) 一+ ；l t 蛔+ ；u ( 硅) b + ；舻凸+ 吐】 = 一i 扩+ l - ；【；( r 一互1 f - ；) + ；r b + ；l ( 坳+ “2 ) + 硅+ 扣+ 1 ) 】 ：一；扩+ ；f 一2 【f 2 + ；l ；( 蛳+ ；t 脚) 西一百3 m 伽一；碡 一；u 2 撕一咖】+ ；产( ；脚+ i 1 “；) 一i l f - 3 孙+ 一一仳鲫 + ；仳2 碡) + 3 1 - 2 u ( 啪+ ；u 伽) + 虿1 f 一1 ( 撕+ 舻) + 1 = ；机一；扩+ ；l - ；咖( z 咖一蛳一；护一曲一百1 r 2 ( ；碍+ 呦) ( 2 1 5 ) + ：r 。让( z ；西一；u 咖一u 一：矿) + ；r 2 2 一：r 3 【f 3 扩 一2 蛳【i 3 啪+ 五1 u 3 删+ ( ；蛳+ 扣刊2 】 一扣撕( z ；毋一脚一扣一缸) + i l r + u 2 ) + l = ；钕：扩“ c 2 ( 曲) = 一i 3 f l + i 1 “咖) 毋+ 1 - 2 【咖+ ；( 蛳+ 嵋) + ；铲坳+ 训：如 第二章曲线在s t r 中的运动 把( 2 1 5 ) 代入( 2 1 4 ) ，我们就有 也= 拓+ 如g 一( ；矿一；也一1 ) ， = 僻一扣一；0 , 0 7 1 多+ 1 ) ， 在( 2 1 6 ) 式中选取，= 一如，就能得到i n k d v 方程 也+ 一；扩机+ 也= o ( 2 ，1 6 ) 取，= 嘴- 2 如何2 ) 时，我们就得到了循环子为q 2 = 罐一；西2 一 出露1 毋的m k d v 序列 在第一章的最后我们已经介绍了在欧氏几何中非弹性的曲线运动可以自然 地得到m k d v 序列【1 5 1 我们现在考虑在广义欧氏几何而当中的曲线运动是否可 以同样得到m k d v 方程。在这个几何中弧长和曲率分别为 d w = a u 一1 d oa n dp = a - ；( t 卯+ 3 叫蜥+ a 2 u 3 + 钍) 其中a = 似_ 1 呦+ 训2 + 1 ，口为一常数切向量和法向量分别为 t = a - i n ( 1 ，坳) ， n = ( a 一；( 坳+ ) ，a 一；( 砺+ 鲫2 却) 一a 2 ) 曲线的运动方程就成 m = ，( a 一；( 锄+ a u 2 ) ，a i 1 ( “；+ a u 2 “一) 一a j l t 正2 ) + g a 一“( 1 ，t 坩) 直接计算可得 巩- - a 一( t 船+ 2 ) ，+ a - ；螂， t 缸= 【a 一；( “；+ m 2 t 坩) 一a i l t 2 i f + a j 1 “t 幻g ， t 以= “一协一 ( t 钿+ 叫2 ) ，+ a 一翻口t 正t 鲫 = 一a “2 知+ n 一 u 2 ( 詈+ 伽) ( 善一a u a ) 一2 a ；u t 船 ，+ u a 一 t 卯夕， 儿= 2 ( 詈+ 帆) ( 詈一万u a u , + 毗) 1 d 第二章曲线在s 1 r 中的运动 。2 2 2 。2 2 2 2 = = ! = = ! e = 釜= = ；! ； 5 l 有闭曲线的总弧长的变分为 警= ，【等+ 去+ ( + m 2 ) a 一，+ a 一螂) 旬血 2 歹f 一- 1 ( ( 啪+ 。铲”一5 ，+ a 一；砌+ a 一1 ( 鲁+ 口j ( 等一警+ 眦) + 旷+ 群) ，+ a ；螂) 卅幽 = 辜+ 鳓如， 同样我们要求 扣缸= o 和 口u + e | = 0 而曲率演化方程为 出= 一；k 帆+ 3 + ( 3 蝴+ 3 8 2 矿+ 1 ) t t j 一；a 一1 k ( 2 1 7 ， 为了求得结果。经计算 t 魄= 够一倒口) 而+ 2 ( 岛一却伽一觎忉) ，一 + ( 砌- - c 啪u e 一2 口口t 鲫) ，+ a - 呦卯g = a ( 卢一a u s ) u 一2 丘w + f 2 a t l 一1 ( 肪一咖撕一咖) + 0 1 a ；b 够一锄) 】厶+ 鼢一“锄一2 锄啪) ，+ a 一；鳓咖取 我们又有 口一o a t s = 一 ；舻 励一印脚= 一5 t 2 ( 詈+ 纰) ( 摹一m 坩) 2 a t 脚， 励一蛔却一2 咖t 枷= i 1 一；a ；一互1 一 p 舻一2 a a p 伽f 一2 a ；t 弓一2 a 砒钿+ a 一( 咖+ 2 ) t 培卵， h = 2 ( 鲁+ 帆) ( 詈一箬+ 撕) ， 蛔= 。( 等一箬+ 一+ z ( 詈+ 伽) ( 警s 鼍笋+ z 箬+ 。锄l 第二章曲线在s 1 豫中的运动 其中口= a - ( 坳+ 铡2 ) ，p = a 一 ( 嵋+ a u 2 u d ) 一a u 2 把姗，啪和表达式代 入( 2 1 7 ) 式，我们就推导得到 p t = 4 a - 3 嗡+ 2 ( 3 a u u e + 矿扩+ ) 啪+ 甜讲 + 9 口2 铲碡+ 6 a u 2 砌+ 口4 扩+ 2 a 2 u 4 + “2 j ，+ “9( 2 1 8 ) = 无。+ 矿，+ 9 = ( a 0 + 矿一“o 。- 1 e ) f 在式( 2 1 8 ) 中，取f = 一“，我们就得到t m k d v 方程 + + ；矿“= i 取，= 一孵一2 钆时，其中n 3 = 砖+ 矿一“a 1 岛n 2 ，我们就得到循环算子 为q 3 的m k d v 序列 接着。我们讨论在双曲几何风的情形。弧长和曲率分别为 毋= ( 2 一1 ) 一；彩， l ，= 一3 阻卯+ 3 0 2 1 ) 一j l t 2 却+ 矿+ 仳一百3 司， 其中= ( 让2 1 ) 1 2 撕+ t 。切向量和法向量为 t = 一1 a ( 1 ，u s ) n = ( 丘，励， 其中a = ( 舻一1 ) ，声= 一“( 舻一1 ) 。这样( 1 4 ) 流变成 m = ，( ( 矿一1 ) ；，一t ( t 2 一i ) ) + 班一1 p 一1 j ( i ，瑚) 同样直接计算得到口，t 和锄的演化方程 晚= a ( ，+ l - i 们， 砘= 声，+ $ - t d u o g ， t 铆= ( 西一面叼) 知+ ( 磊一西嘶) ，+ i - - 1 f l u s 。g ， ( 2 1 9 ) h = 2 1 ) 一；t 以一( 舻一1 ) 一；t 铂撕+ v a 1 6 第二章曲线在s 1 豫中的运动 由于闭曲线的弧长是l = ，( “2 一1 ) 一；d o 。则它的变分为 d 出l = j f 一( 铲一1 ) 一t 她+ , - - i t a + 陋( ，+ 。一1 们b ) 曲 2 歹a - 1 循一矗脚) + 司矗仆a - 2 鼬盯1 ( 西一a o u o ) 一鼬( 铲一1 ) 一；t 如+ 声) + a 口】，+ 船+ l 一- 1 a 一1 圳阳 + 一2 ( t 卯+ ( 1 一( 一1 ) 一却) 矗t 船) + ( 一1 矗) 番】9 扣谚 ；l + | 、曲 曲线是非弹性的当且仅当 | 曲= q 和 g = 一露1 ， 成立。利用非弹性条件，可以计算曲率的演化方程 地= i ，- 3 阻蛾+ 3 u 2 一1 ) 一；撕一( 3 u 3 ( u 2 1 ) 一；t 船 一阢p 一1 一- 3 u 2 - 1 ) , 嘶- i 3 叫一3 。一1 缸 ( 2 2 0 ) 我们又有 一1 h = ，+ g 辛+ ( t 产一1 ) 一1 u 啦一陋( ，+ 班一1 ) 】幽 t 伽t = 2 ( u 2 1 ) 一1 ( 矽一i “o ) 疗i + 【2 ( 1 1 2 1 ) 一 ( 磊一& o u 口一a t 鲫) ( 2 2 1 ) + ( ( 舻一1 ) 一 ) 口( 厅一a 伽) 】拓+ ( 氟一a 卯咖一面t ) ， 其中 雳一& u e = 一( 2 1 ) ， 压一a p t 上一一= 一( t 2 1 ) ；t 铆+ ( 1 3 u 2 ) t 印一( 矿一1 ) 一仳碍， 鼠一置t 钿一a 口u 鲫= ( , u 2 一1 ) 一；f 3 “却卯+ 0 2 ( “2 一1 ) 一1 一1 ) 碡】 + ( 1 3 u 2 ) u 鲫一鼠码 紧跟着有 砘= 一，赫+ c z ( v ) j + c 2 ( 功殳 1 7 第二章曲线在s 1 r 中的运动 其中系数由下式确定 c l ( = 一3 【一2 撕一6 u 2 ( 铲一1 ) 一 伽+ 3 ( u 2 1 ) 一脚+ 2 一1 ) 一。_ s 3 + 3 u 2 ( t 2 1 ) 一伽+ 3 u ( u 2 一1 ) 一t 2 一t 3 + 叫 = 1 2 址 c 2 ( 功= 一3 v i , 一1 u ( u 2 1 ) 一坳一( 一1 0 , 2 1 ) 一) t 】 + 4 “2 一i ) ；( u 跏+ 乩2 嘶+ 却) + ；【( 舻一1 ) 一1 蝴嘲 一t 舶1 + 3 t 产t i 盼一3 m 2 1 ) 一1 u 3 瑶+ 6 t l 脚) = 备 因此就得到曲率方程 地：= 一- l 滢5 a + + ( ( - 2 一v 2 v 丢1 端 ( 2 z z ) = 一滢+ ( 一) + 露1 】， 、1 在( 2 2 2 ) 式中取，= 临，就得到有低阶项的k d v 方程 地+ 甜+ 3 v u a 一埯= 0 取，= 噬q 垮加2 ) ，其中哦= 一壤+ ( 一2 v + 1 ) 一玢鸟1 ，就得到循环予 为吼的k d v 序列。 在本节最后我们考虑蜀几何由于这个几何计算过程及结果与s 1 和岛几何 情形非常类似。在这里就不再另作讨论 2 2 曲线在q 和是几何中的运动 在这一节，我们考虑在表1 中四维群确定的s 1 r 中的几何。包括共形几 何q 和相似几何s l 。我们考虑曲线在共形几何q 中的运动。在这个几何中我们 有弧长和曲率为 d r ：一2 k d a 和 ；：u 2 k 一；b ， 其中= u 3 ( u o o + 如1 ) 切向量和法向量为 t = u 2 k 一；( 1 ，u s ) n = ( o ，1 ) 所以曲线流( 1 4 ) 可以表示为 m = f u ( o ，1 ) + g u 2 一 ( 1 ，蛳) 1 8 第二章曲线在s 1 r 中的运动 这样就有 由于曲线的弧长为 这样弧长的一阶变分为 仨麓 l = j f 如= j f 让飞；瑚 警= j f 粕t 却 = j f 【舞一2 老+ ( u 2 k - ，) 胡d 兰j f - r ( i ，k 。) 打 对( 2 2 3 ) 式关于t 求导，我们就得到 撕= t t 埘一舻女一；办坳 = 叱如+ 却，+ u 2 k 一锄吼 t p 以= 1 融目一似2 一夕) 口t 卯 + 2 u o f o + 啪，+ 一 矿t 咖9 我们又有 舞= 去f ( 锄+ 虿1 ”) k甄。瓦阻”i q 阳+ 虿”j 扛 = 去陋岛+ 互1 u 2 一b f ，+ 4 k f + ，鲥 = ；* + 融+ 2 f + i l 乳 ( 奄一) d 一2 詈= 一2 ( ，+ 牡七一；蛳计+ ( u 2 一 ：一2 ，+ 姗一i l k - 9 因此 所以曲线的非弹性条