（计算数学专业论文）两类对流问题的间断时空有限元及其误差估计.pdf

摘要 近年来间断有限元方法是一个很热门的课题，本文的主要工作是应用间断时 空有限元方法和间断有限元分数步方法去解决非线性对流占优微分积分方程问 题和非线性对流扩散问题，并得到了最优误差估计其主要内容如下： 第一章绪论部分介绍了间断时空有限元方法和间断有限元方法的研究动态 及本文主要解决的问题 第二章给出了本文的一些基本知识，及记号，并介绍了间断有限元的几种 基本格式 第三章运用间断时空有限元方法来求解非线性对流占优微分积分方程，采 用g a l e r k i n 间断时空有限元法来处理对流占优微分积分方程，在时间离散区间 内，利用r a d a u 点处l a g r a n g e 插值多项式的特点，去掉间断时空有限元证明过 程中对时空网格的限制条件，并给出了时间最大模、空间k 模 第四章本章就非线性对流扩散问题建立了间断有限元分数步格式，给出了 它们的理论分析，并得到了最优误差估计理论结果与数据试验表明：间断有限 元分数步格式的工作量虽稍有增加，但计算精度确有所改善 关键词：间断时空有限元；间断有限元分数步方法；误差估计 a bs t r a c t r e c e n t l y ，r e s e a r c ha b o u td i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d si sv e r yh o t i nt h i s p a p e r , w ew i l lu s et h eg a l e r k i ns p a c e t i m ed i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o dt o p r o c e s sc o n v e c t i o n - d o m i n a t e dp a r a b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n du s et h e d gf r a c t i o n a ls t e ps c h e m et os o l v et h en o n l i n e a rc o n v e c t i o n - - m o m i n a t e dd i f f u s i o n p r o b l e m s ，a n do b t a i nt h eo p t i m a le s t i m a t e i nt h ef i r s tc h a p t e r , w em a i n l yi n t r o d u c et h e s t a t u so fr e c e n tr e s e a r c ho ft h e d i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dt h eg a l e r k i ns p a c e - t i m ed i s c o n t i n u o u s f i n i t ee l e m e n tm e t h o d i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ei n t r o d u c es o m ek i n d so fd i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n t m e t h o d sa n ds o m en o t e su s i n gi nt h i sp a p e r i nt h et h i r dc h a p t e r , w e 峨t h eg a l e r k i ns p a c e - t i m ed i s c o n t i n u o u sf i n i t e e l e m e n tm e t h o dt op r o c e s sc o n v e c t i o n - d o m i n a t e dp a r a b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，a n du s et h eu n i o ns k i l lo ff i n i t ee l e m e n tm e t h o da n d f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d ，i nt h es e p a r a t es e c t o r ，b yt h ec h a r a c t e r i s t i co fl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n m u l t i n o m i a li nr a d a us p o t , w er e m o v et h el i m i t i n gc o n d i t i o no fs p a c e t i m e 鲥di n t h es p a c e - t i m ed i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，a n do b t a i nt h em a xm o l do f t i m ea n dt h es p a c el 2 m o l d i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w eb u i l dt h ed gf r a c t i o n a ls t e ps c h e m ef o r m a to ft h e n o n l i n e a rc o n v e c t i o n - - - d o m i n a t e dd i f f u s i o np r o b l e m s ，a n dg i v et h et h e o r e t i c a l a n a l y s i s t h et h e o r e t i c a la n a l y s i ss h o w st h a t t h ea c c u r a c yi sr e a l l yi m p r o v e da l t h o u g h m o r e w o r ki sd e m a n d e d k e yw o r d s ：t h eg a l e r k i ns p a c e - t i m ed i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；t h e d gf r a c t i o n a ls t e ps c h e m e ；e r r o re s t i m a t e n 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特蔓l , l j n 以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：蕊钙也日期：。纠啤，月d 文日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“4 ) 作者签名：舭 导师虢彩午 日期0 一手年k - 月j 山日 日期：乒谚年f 月乙e l 第一章绪论 1 1 间断有限元的历史背景和研究动态 偏微分方程的研究无论在理论和实践上都有很重要的意义，它的数值解法长 期以来吸引着数学、物理学家和工程师们的注意，有限元方法作为求解偏微分方 程的一个强有力的手段随之产生 有限元方法是r c o u r a n t 于1 9 4 3 年首先提出，二十世纪5 0 年代由航空结 构工程师们所发展，之后逐渐波及到土木结构工程，到了6 0 年代，在一切连续 领域都愈来愈广泛地得到应用 近年来广泛关注的间断有限元，早在1 9 7 3 年r e e d - h i l l 2 0 ，1 9 7 4 年 p l e s a n t - p a r a v i a r t 【2 l 】研究中子输运方程时提出自那以后，它被广泛运 用于求解常微分方程瞄】，抛物方程【2 4 1 ，椭圆方程 2 7 1 、以及双曲问题【2 8 。3 5 1 2 0 世 纪8 0 年代后期和9 0 年代b c o c k b u r n 和c w s h u 等结合r u g c k u t t a 方法和 数值流通量的思想提出了l d g ( l o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n ) 方法，用来求解一维 守恒律方程和方程组，高维守恒律方程和方程组，并给出了部分收敛性的理论证 i j f 1 2 8 。3 3 1 同时f b a s s i 和s r e b a y ，c e b a u m a n n 和j t o d e n 分别提出 了b r 通量法和b 0 通量法【2 6 】b c o c k b u r n 和c w s h u t 3 5 】还将间断有限 元用于计算非线性一阶双曲方程( 组) 的间断解c w s h u l 4 l 】近年还提出用非多 项式作基函数来逼近，如用指数函数逼近求解具有边界层的问题，三角函数逼近 求解有振荡的间题，能够保持与用多项式逼近的d g 法一样的l 2 稳定性和误差 估计，而精度更高 间断有限元法除保持了通常有限元法的优点外，还有其独特的性质：用完全 间断的多项式作基，可以更好的模拟解的剧烈改变；能够处理复杂的区域边界和 具有复杂边界条件的问题，并获得与区域内部一致的计算精度；易于网格加密和 高精度处理边界条件，实现自适应计算；可得到任意阶精度的格式，具有很好的 局部紧致性；存在信息传递，适于并行计算等因此它被广泛应用到许多实际领 域，如气象学、天气预报、海洋学、气体动力学、湍流、石油勘探、流体力学等1 9 9 9 年，在美国还召开了世界第一届d g 法的国际会议，会议论文集了关于d g 法的 综述和应用的文章，可见d g 法是当前很热门的课题 时空有限元方法是专门为解决时间依赖问题，特别是间断解的一种新型、重 要的有限元方法，也可以称为流线扩散有限元方法( s t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o d ， 简称s d m ) 从数学角度来讲，s d m 是对标准g a l e r k i n 有限元法的一种修正， 属于p e t r o v - g a l e r k i n 有限元方法通过给g a l e r k i n 有限元的检验函数添加一个 适当的最d x - - 乘项，使s d m 增强了格式的数值稳定性，从而基本上消除了数值 伪振荡的产生机制对单个方程来讲，它等价于在流线方向上施加适当的人工粘 性。从力学角度来看，s d m 可视做一种特殊的迎风型算法，它通过检验函数的 适当选择，人工粘性主要施加在迎风方向上，减少了侧风效应，提高了方法的分 辨率 高精度理论的研究最早始于前苏联的o g a n c s y a n ，r u k h o v e t z ，s h a i d u r o v 等 人之后，东欧数学家k r i z c k ，l a z a r o v ，z l a m a l 及其合作者发展了这一理论后 来，东欧数学家a r n o l d ，b a b u s k a ，d o u g l a s ，e w i n g ，w a h l b i n ，w h e e l e r 和德国 数学家b l u m ，h c l f r i c h 及他们的合作者，还有我国的陈传淼、朱起定、黄艾香和 黄云清等人又对高精度理论做了进一步的发展 总而言之，有限元方法作为偏微分方程数值解法的两大基本方法之一，在处 理工业生产中的许多实际问题时发挥着十分巨大的作用 1 2 本文研究的主要问题 本文将主要考虑下面的两类方程 1 、考虑如下对流占优微分积分方程： lm ) 珥+ d ( x ) v “一v 和( x ) v u + ) f v 如) 凼) = 厂( “) ，( 列) q j u ( x ，) = 0 ，( x ，f ) 硷j l “( x ，o ) = u o ( x ) ，x q l 其中j = ( 0 ，丁) ，q 为r 2 的有界多边形区域，边界a q 满足l i p s h i t z 连续 d ( x ) = ( 吐( x ) ，d 2 ( x ) ) 7 ，假设存在正常数七i ，后2 ，口，口满足： 呐；。 0 为给定的正常数，对流系 数( x ，；材) = ( a ( x ，f ；甜) ，及( x ，f ；甜) ) 在( 【2 2 】、【4 3 、 4 4 1 ) 中，c o c k b u r n 和c w s h u 定义了一系列的求解双曲守 恒律方程的间断有限元方法一r k 间断有限元方法，并证明了当适当选择有限 元空间时，有限元解的收敛阶为o ( h h l ) ，而且满足熵不等式以后又将该方法 3 推广到非定常对流扩散方程组【4 1 1 ，其基本思路是将对流扩散方程组改写为一阶 双曲方程组，然后用求解双曲问题r - k 间断有限元方法进行计算，得到了稳定 的熵解，并证明了解收敛于真解，在某种条件下，精度阶可达到o ( h h l ) 本文 将提出求解对流占优扩散问题的一种新型的半显式间断g a l e r k i n 分数步有限元 方法( d g f s ) ，其特点是：在每一个子域l = ( t n _ i ，乙】上，引入中点 t - v 2 = o l + 及时间层f = o i ，2 ，利用u 川，使用d g 方法求解一个双曲问题， 得到在中间步f = o l ，2 上的近似u 剃彪，使用标准有限元求解方法求解一个热传 导问题，得到甜一的近似值u 一因此，从o l 到乙，计算是由两个“了a t 之分数 二 步复合完成的 4 第二章预备知识 下面我们介绍本文所需的一些基本概忿和主要记号 设q r 一是有界开区域，以孢表示其边界，它是l i p s c h i t z 连续的 2 1s o b ole v 空间 任意实数p ，l p 0 0 ，定义s o b o l e v 空间如下： w p ( q ) = 1 ，：d l p ( f 2 ) ，i a l m ， 其中，口= ( ，) 为多重指标，口= i 口i ，d 口1 ，表示，的弱导数其 范数定义如下： l l l v l l p 一萎l 川p ) i ，l p 鲫= m 觚 跚k i 翼n 陋1 ) ，p = 有时我们也采用其半范数： 加一。至m p ) i ，l 0 为拟一致的 2 3 定义和概念 定义l 、对每一个区间l 定义有限元空间 s ：= 1 ，硪( t a ) - 1 ，i ，只一l ( f ) ，f l ) 其中只一1 ( r ) 表示f 上的，一1 次多项式，刀= 1 , 2 ，n 一1 定义2 、空间w = 劬i ，：- - z ( 功，z s ： 即对v tes ，妒研， 而对任意的x q ，缈是r 的q 一1 次多项式，且在时间剖分点t ”= 0 ，1 ，n 一1 ) 间 断 定义4 、空间三2 ( l ，岛( q ) ) 上的范数： m1 ，| l l 。= ( v ( ，) 1 1 2 西) m ，v ve 三：( 厶，工：( q ) ) 定义4 、空间三。( l ，三：( q ) ) 上的范数：m a x l l 0 ，其 p l l 0 表示厶范数 定义5 、对给定的s ，所= o ，1 ，v v h ”( t a ) ，定义模 i i 睇v l l 卅 j i = ( 砖。i l v l l ) 2 f e r _ 2 4 间断有限元的分类及格式 考虑如下常微分初值问题 6 u 7 = 厂( “) ，甜( o ) = h o ，x o ，t 】 对区间，= ( o ，丁) 作拟一致剖分，“：而= o 五 x 2 xi = r ， 其中单元 = ( _ ，_ + 。) ，j = o ，1 ，2 ，刀一1 定义k 次有限元空间： 、 s 6 ； v 1 1 ，丘，v x ，j = 0 ，1 ，2 疗一1 用任意检验函数，乘以原方程的两端，并在上分部积分得 一互 + 厂( 甜) 1 ，) 出+ “+ - ) v ( + - ) 一甜( _ ) ，( _ ) = o (21)j(uv(xj 在上式中，用有限元空间的近似函数u ，矿代替u ，v ，而d g 法不要求u 在节点 处连续，故在一个单元上有k + 1 个自由度为此，需要对u ( ) ，y ( 一) 给出更明 确的定义我们定义u ：和u j 分别为u 在t 处的左右极限： u ；= ，馨。u ( x ) 一；= 一l i r a 曲u ( x ) 用数值流通量眈= o ( u 3 ，【，j ) 来代替( 2 1 ) 式边界点的值于是有如下形式 一互。( + f ( u ) v ) d x + 眈+ 。- 一眈= o 根据数值流通量的取法，就有如下三种d g 法： l d g 法：考虑迎风机制，取眈= u j ； 一 b - r 法：取眈= 去( u ；+ u ；) ； b o 法：取眈= 互3u ，+ 一圭u j ) 此外，对( 2 1 ) 式在每个节点_ 和对应参数_ ( o ，o o ) ，定义左右极限 的加权平均值 畔= s j u ；+ ( 1 - s j ) u ；，j = o ，1 ，2 刀 ( 2 2 ) m d e l f o u r 的文3 1 中定义k 次间断有限元空u s h 在每个单元上满足 方程 一f ( 跏+ ( u ) 1 ，边+ v u 川t + l l _ - - i 一叼哆= o , v 6 s “，j f = o ，l ，2 刀一l ( 2 3 ) 其中包含着前一个单元一，的节点值u j ，间断有限元就是以这种较弱的约束 联系着前一个单元的值 7 根据参数已的不同选取，我们也可将间断有限元分为以下几类 1 、常用间断有限元 在( 2 2 ) 式中取= 1 ，叼= 町，这就是常用的间断有限元法其格式为 一点( 跏+ 厂( x ，u ) 1 ，) a x + l 蠕一町哆= 0 ，v s h , = 0 ，1 ，2 刀一l 也就是 工( u + m ，u ) v ) a x + 吁= o 这里的u j 是前一个单元的值在上定义的u 就是以跃度为 q 的方式紧密联 系着它上一个单元一- 的节点值u j 一般地 o ，因哆= v ( x j + o ) 仍是任 意，此跃度实际上也受一定程度的约束，不能随意改变 2 、一船闻断右限元 取s j l ，得到更一般的间断有限格式 一e ( 昕+ m ，u ) v ) a x + v u j s j + i l f f - - + l - 叼哆= 0 由于包含了前一个单元的值【，j 和下一个单元的值u + + 。，在n 个单元上u 共有 n ( k + 1 ) 个自由度，而将n ( k + 1 ) + 1 个待定的未知数，未知数多了一个， 为保证方程组唯一可解，m d e l f o u r 等提出了两种计算方案现将 其中之一叙述如下： 在第一个单元厶上取= 1 ，即w = = u ( o ) 为已知初值，然后在每个单 元上，设叼已知( 于是就只剩下k 个自由度) ，取k 个检验函数 v = v ( - x ) 。，i = l ，2 ，k ，这样得到k 阶方程组( 因在端点上哺= o ，故此方 程组不含嗡项) 一互。( 跏+ 厂( x ，u ) v ) 出+ 吵哆= o 其中v = v ( x j “- x ) ，i = 1 ，2 ，k ，可唯一的确定u ，因此也确定了，最后取 v = 1 ，用正交性等式： 一互。( x ，u 陟+ 嗡一叼= o 就确定了u 蒿，也就确定了下一个单元的u + + 1 8 第三章对流占优微分积分方程的间断时空有限元法 3 1 引言 对流占优的积分微分方程是数学、工程和生命科学等交叉学科领域的热点 问题如含水土层中活性或惰性化学污染物位移问题，多孔介质中非局域反映流 问题，在液体流中的辐射问题，有记忆金属的粘性形变问题，半导体模型和生物 技术等都有非常重要的应用对这一类方程在文【6 】中应用最d , - 乘特征有限元法 解对流占优的积分微分方程并得到了最优误差估计在文【2 j 中应用了区域分裂变 网格有限元法求解，使网格随时间动态的变化，并给出了收敛性分析和误差估 计间断时空有限元方法是解决时间依赖问题的一种高精度方法，其主要特点是 空间变量和时间变量的统一本文将运用间断时空有限元方法来求解对流占优微 分积分方程，并得到最优误差估计 本文考虑下面的对流占优微分积分方程：求甜使得对任意的t ( 0 ，t 】满足： i + 撒) v u - v ( m ) v “+ 6 ( x ) f v 小) 凼) = ( “) ，( 彬) f 2 - ， “( 五f ) = 0 ，( x ，f ) a q j ( 3 1 ) l “( x ，o ) = u o ( x ) ，x q 本节给出了与上述模型问题相对应的间断时空有限元方法，并讨论了该方法 的存在性和唯一性， 首先对时间区间进行离散，设0 = ，o f 1 t 2 0 代入( 3 2 ) 式，并在( 3 2 ) 式两端乘以乙七( f ) ，再求和，有： 一l ( 羔j - - ! 。( ，) u 以，芸k ( ，蟛，( f 啦) 扔西+ ( d ( x ) 萎乙o ) v u “，喜k ( f m ( ) 咖出 ( 口( x ) 毒乞f ) v u m ，善q 乙“f ) 乙( 产i ) v ) 出+ l ( q 厶( f ) f ”6 ( x ) v u ( s ) 出，一4 ，= l，_ i 1 i = 1 圭，。，i ( r ) ，。( f j ) v q , ) d t + u 。，g u ”力，。( f ”+ 1 ) 伊) 一，。j ( ，”) ( u ”，9 ) 毒l ：一羔，最。，( f 一) ( c ( x ) u m ，痧) + 吒哆( d ( x ) v u 川，矽) + 吒q ( 口( x ) v u ，v ) ，= l 1 0 + l ( 缸“妒吣力九私( 州删m 乱( 扔 一厶，o 一) ( u 厅，) = l ( 厂( u ) ，乞，( f ) 矽) 衍 。 ( 3 3 ) 引入椭圆投影万：日；( q ) 寸研，满足： ( v ( 万。”一“) ，v v ) = 0 ，v v s ： 则我们可以得到下面结论 引理3 1 【1 1 椭圆投影误误差估计： l iv ( z r u - u ) l l ci i 蟛。ui i ，j ，材h n 日：， 2 s ， 0u 一万。甜i i cl i 弼“0 ， ，。 甜h 5r 、月鼍，2 ss ， 定义时间区间l = ( r ”，r 川】上的l a g r a n g e 算子，：c ( l ) 专p q - l ( l ) ，使 得： 。 i y ( t ”) = y ( r ”，) ，疗= f 疗+ s ，b ，_ = l ，2 ，g 插值节点是r 础妇点，s is ：，j ，可以得出：灵t v xec 2 ，甜( 工，) 丘一。( l ) 且 j lu ( x , t ”+ 1 ) = 材o 肿1 ) 设w = 丘死u ( x ，r ) ，则有： 引理3 2 对上面定义的w 有如下的误差估计： l i iu - wi i i c 簖川”9 i l l 。+ a 砩他m a xi ih ；ui i ，j ， 2 s ， 其中甜叮表示u 的q 阶导数 证明：引理3 2 的证明参见文献【1 】【3 】 设误差为e = “一u ，利用前面定义的形，则有 e = , 一u = ( u 一矽) + ( 形一“) = 善4 - r 对于r 的估计可由引理3 2 得其估计结果，故只需估计孝 下面考虑孝满足的方程： 一( 六) 衍一( ，) 衍+ e ( d ( 曲v 六) 出+ l ( d ( 功v 形，v 一) d t + ( 口( x ) v 4 ，v v d d t + ( 口( x ) v 形，v v 矗) a t + l 【( 6 ( x ) v 己v v h ) d s d t + lf ( 6 ( x ) v w ，v w w s d t + 4 n + l ，n ，+ 1 ) + ( 形? 1 ，蚋 ；( ，吆) + ( 贮，吆) + l ( 厂( u ) 一厂( 矽) ，) 衍+ l ( 厂( 矽) ，v d d t ( 3 4 ) 进一步整理得： 一l ( 孝，) 衍+ ( d ( x ) v 4 ，v d d t + l ( 口( x ) v 孝，v v d d t + lf ( 6 ( x ) v v v , ) d s d t + ( 形，v 胁) 防+ ( 孝州，嵋+ 1 ) 一( ，v 乏) = l ( 厂( u ) 一厂( 形) ，v d d t + l ( 厂( 形) ，v ) d t l ( d ( x ) v 形，) 出 一耻x v 形 v 衍+ 孵，哪 ( 3 5 ) + lr ( 6 ( x ) v ( s ) ，v v d d s d t 一( 形n i l - ! 1 ) 即善满足的方程为：， t 一( 孝，) 衍+ l ( d ( x ) v 4 ，v , ) d t + l ( 口( 功v 4 ，v v d d t + f ( 6 ( 力v 孝( s ) ，v v , ) d s d t + ( 善斛1 ，1 ) 一l ( 厂( u ) 一厂( ) ，v d d t = ( 掣，峻) + l ( 厂( 形) ，v d d t + l ( 形，v h , ) d t 一( d ( x ) v 形，v ) d t l 。( x ) v 形，v v d d t + ( 孵，吆) 一f ( 6 ( x ) v 形( s ) ，v v d d s d t 一( 形肿1 ，嵋“) ( 3 6 ) 其中w o = 刀 o z o ，孝o = u o w o = 甜。一万。材o 在( 3 6 ) 式中，令1 ， = i n , l ，缈s ：，并利用插值有 形：i b 材( x ，0 ：羔乙。，死材( 彬) j - ! 孝：u 一：羔厶，j 善( x ) ：羔厶，( u 一一死甜( x ，r ) ) 则( 3 6 ) 式左端可写为： 一f 。( 喜乙善( 五产飞咒，瑚+ 工( d ( 石) 嘉。w nj 。扔衍+ 工口( x ) 芸乙w ”，厶，v 咖衍 1 2 + l ( 弘q ( f ) 和( x ) v 孝( s ) 咄v 矽) 出只乞g ) 加 一e ( 厂( u ) 一厂( 形) ，乙，矽) 衍 = 一f ( 窆厶，善( x ，f 州) ，宅厶( f ) ) 衍+ 工口( x ) 厶，w n , j 窆厶厶j ( f u ) 和o d t 。，z l，= l 。 j = n ，t l 一( 倒h ( 叭出+ 蜘x ) 弘咿j ，缸啪删) 出 + ( 扎j = l 舶( 妒熟地轧啪m 州”舭 聊 = 一主q ，o ”) ( c ( 工) 孝”，力+ 毛q ( d ( 石) v 孝”，矽) + 乞哆( 口( x ) v 孝n , jv ) 户1 + ( 圭j = l 乙( f ) r ”6 ( x ) v 善( 破喜厶， 。) v 彩出+ 磊( 孝”，彩 一l “厂( u ) 一厂( 矽”，厶，矽) 出 ( 3 7 ) 利用插值算子及椭圆投影的定义，( 3 6 ) 式右端可写为： ( 善一 如玎) 力+ u ( 形) 厶如一) 扔衍+ ( 喜乙乃甜( x , t n j ) ，羔j = n 乙最“产，) 扔出 一l ( d ( 功窆乙。_ ，v 死甜() ，窆厶。，厶，o ) ) 魂一o ( x ) 窆厶，v 死甜( )，j=l x , t n j x,tnjj=lj = l 。-。- 喜乙。( ) v 扔出一丘( 圭j - - i 。n , jb ( x ) 叽死扰( j ) 凼，言。( 产，) v 咖衍 一唾( 刀_ “( x ，f 几g ) ，乙j ( f g ) 矽) + ( 纾7 一，乙j ( f 一) 矽) = ( 孝矗，o ( ，) 矽) + 丘( 厂( 形) ，o ( ，) 矽) 出+ 喜q ，咒“广) ( 死甜( 而，矽) 一q 吒( d ( x ) v u m ，矿) 一q 吒( 口( x ) v u 舢，v 矽) 一磊j ( “( x ，t ) ，乙0 几可) 矽) 一l 私 j b ( x ) 啦州蛐，缸啪删) 衍 + ( 形詹，乙，( f 疗) 矽) ( 3 8 ) 令f = 4 - - 1 。u ，由( 3 7 ) 式和( 3 8 ) 式合并，则可知( 3 6 ) 式可 一q ，最，) ( 孝叫，矽) + x ) v 孝川，矽) + 吒q ( 口( x ) v 尹，v ) + 露 (孝i几=lg，矽)+(圭厶，_，(f)r6kn(cxo)v(d孝(j=l( j ) ，喜乙，乙，o 以) v 矽) 衍 一( ( u ) 了( ) ，厶，矽) 研 = ( 善疗，乙，( f 刀) 矽) + ( 厂( 形) ，乞，( f 一) 矽) 衍+ 羔j = lq ，乞( f 一) ( 瓦“( x , t n j , 矽) 一喇筹v u n , l , 卅喇m ) v u r i d , v ) - ( 州扩地聊一e 弘 j b ( x ) 吐州渺， 羔厶厶) r e ) d r + ( 玎，j l l ) 矽) = ( 孝一，厶) ) + ( ( 厂( 形) 一厂( 铭) ) ，厶) 4 ) d t 一喇筹v 矿捌一州m ) v u n d , v 卅缸麒) ( 死 甜( 五，一，7 ) ，矽) + ( 一，乙j ( ，一) 矽) 一蔷q 乞， jb 唰蛐，弘啪州删) 衍 一乞j ( 刀_ “( x ，t 以叮) ，乙，o g ) 矽) 一f - ，名，g ) d t + e ( d ( x ) v “，乙j ) 出+ ( 口( x ) v “，j l l v 矽) d t + lf ( 6 ( x ) v “( s ) ，乞，v 矽) 出击+ ( “州，厶，( f 肿1 ) ) 一u n 乙) 矽) = ( f 一，厶，( r 一) 矽) + f ( 八矿) 一八“) ，o ( f 一) 矽) 折+ 妻q 乞) ( x ，f ) ，) 一工( “，e ，4 ) d t + 羔q ，伽) ( 死甜( 五产) 一甜( x ) ，矽) 一( u 一一万l q u h 乙，( 广) 矽一( “一，o 一) ) + ( 疗，乙，o 疗) 矽) 1 4 一 i ( 死甜以g u n q ) ，) 一( 罗q i ( u n , q 矽) + ( “肿1 ，乙，o 肿1 ) ) 一q k ( d ( x ) v “刀。，矽) 一喇以) v u , i , v 扩l ( 融q j b ( 孵州油，缸w 1 v 舭 + ( 口( _ ) c ) v 弘，乙，v $ ) d t + f | ( d ( x ) v “厶，) 衍+ lf ( 6 ( x “( s ) ，乞，t v 矽) d s d t = ( 尹，乙) 矽) + l ( ( 厂( 形) 一厂( “) ) ，啪一) 矽) 破+ ( f 疗，啪廿) ) + ( q + 幺+ 珐，矽) ( 3 9 ) 其中： - - ， g = ，艺( f 列) ( 死扰( x ，t ) 一u ( x ，t 叫) ) 一( “一一死“”) 厶，f ( f 一) 一露( 死“巩g u n q ) q = 嘉( f 以7 弦( x , t n j ) 一咒。砌 q = o j , k v ( a ( x ) v u ) 一哆吒( d ( x ) v “m “ + 吒哆f ”v ( 6 ( x y 吐死甜o ) ) 一l 厶j v ( 口( x ) v “) d r + e 厶，( d ( x ) v 材) d r 一f 乙，。v ( 6 ( x ) v 甜( s ) ) d s d t 从而可得误差方程为： 一q ，艺，_ ，o 啊j ) ( 孝n , j ，y ，广 一叶叭 ，v 与n , j ，矽) + 吒q o ( x ) v 孝几，v 矽) 一，= l + 露( ，矽) + 吒哆上( 6 ( x ) v 孝( s ) ，v # ) d s l ( 厂( u ) 一厂( 形) ，乙，矽) 西 = ( 孝一，啪矗) 矽) + l ( 厂( 形) 一厂( “) ，厶) 矽) 出 + ( f 一，厶j o 一) 矽) + ( q + q 2 + 幺，矽) 。 ( 3 1 0 ) 对( 3 6 ) 式左端取吨= 掌时有： 一三2e 珈洲2 出+ l ( m ) v 孝，4 ) d t + ( 以) v 印黜嘶州，n f _ ( 厂( u ) 一厂( 形) ，善) 出+ lf ( 6 ( x ) v 孝( s ) ，v 孝) d s d t = 刘1 1 1 2 + 刘1 剐+ ( d ( x ) v 出+ ( 口( x ) v 孝，v 4 ) d t f - ( 厂( u ) 一厂( 形) ，4 ) d t + lf ( 6 ( x ) v 鼢v 孝) d s d t 在( 3 10 ) 中令缈= 孝”，并对i 从l 到g 求和，则它和( 3 6 ) 式左端取v h = 亏 时相同，所以有： 如1 1 2 + 吉l | 1 驯2 * l ( 厂( u ) 一厂( 形) ，孝) 出+ l ( 厂( 形) 一厂( 甜) ，孝) 出 一( d ( x 孝，孝) 出一l 【( 6 荆，v 孝) d s d t + ( 孝开，算) + ( q 1 + q 2 + q ，孝以) + ( f 一，舅) ( 3 1 1 ) 在( 3 1 1 ) 式中，对右端第一项，由于是三枷c 厅沱连续的，所以有： l ( 厂( u ) 一厂( 形) ，4 ) h t - l f ( iu t w i ，孝) 班 c i j - | l 鲫a r t c 钊i ： 在( 3 1 1 ) 式中，对右端第二项，利用引理3 2 和威泐h 不等式可褥： l ( 厂( ) 一m ) ，o a t _ c ( j ：, 1 1 w u 1 1 2 ) 抛( m 抛 ( 簖l i i “训i l l 耳+ c 碟2m a x l l 域“札。 ) 1 1 1 善斗 在( 3 1 1 ) 式中，对右端第四项，存在着常数c ，使得对q 1 有如下估计： i iq , i i = l i 露f m 一羔国杈s j 泻一( o ) f 叫 j = l = o 妻巳( f 疗_ f 叫一) = l _ i i 私鼬r i ”圳o m 一死虬i i d s s 旅奴- i i 睇”瓜d s ) “2 设露：c ( l ) - - ) 乞( 丘) 为区间l 上的g 次插值算子，且满足： 1 q , u ( t ”，7 ) = “( f 一) ，? l q u ( t ”) = “( f ：) j f = l ，2 ，鸟 从而对q 2 有如下估计： i i q ：i i = i i 荟q ( 产7 ( x , t n j ) 一心砒o = i i 兰闰c o 厶( 产憾“虬聃础l l = i if 形，j x u - u ) d tl l ( j i 瞰，) 1 2 a t ) m 帕“一毗 磁+ 1 佗i i iu 叮卅川疗 ( 3 1 2 ) 对q 3 有如下估计： oq 3i i 2 i i a , , k v ( 口( x ) v “巩) 一lo v ( 口( x ) v 甜) 衍一q 吒( d ( x ) v “以) + l 厶( d ) v u ) a t + 吒qj ：v ( 6 ( x ) 死甜( s ) ) 凼 ，一，j + f o v ( 6 ( x ) v 扰。脚l i iio j , k v ( 口( x ) v 铭几) 一l 乙j v ( 口( x ) v “) 衍ll + ii 哆屯( d ( x ) v “ ) 一lo ( d ( x ) v “l i + i ik 哆j ：v ( b ( x ) v i 7 r u ( s ) ) d s ，一1 、 一l “v ( 6 ( x ) v “( s 灿出o = i l + 1 2 - 1 - 1 3 又因为 = iia , , k v ( 口( x ) v “一j ) 一e 乙j v ( 口( x ) v “) d tll s 瞳j = lq ( 严钾( 口( x ) v “一，) 一l 乞j v ( 口( x ) v “) 出i i i ig , v 口( x ) ( v u a - v “) 厶j a tl l 肘o - 乙( 厶一，) “破o + m l i j - l j ( 厶一i ) v u d t i i 1 2 2 i i q 屯( d ( x ) v 铭州) 一乞( d ( x ) v ”) d t 1 1 钏喜w ) ( 撒肌1 一n ( m ) v u 川i 蚓幢d ( 羔乙，) v “刈衍一“( d ( x ) v 甜) 衍l l“ = 1 ” 蚓lm l d ( x ) ( v 甜m v 甜) 厶 f d tl l - m i ie ( ( t d v d t l l 同理对厶有如下的估计： 膏一 厶= il 吒哆j ：v ( b ( x ) v i z u ( s ) ) d s l i ：乙。t v ( b ( x ) v 甜( s ) a s d ti i - m ii e 肌v ( 6 ( x ) ( l v 甜( s ) 一v 材( s ) ) ) d s d t ll m i i 吒j ：n , i ( l i ) a u d ti i + m i ik j ：n , t ( l 1 ) v u d ti i 慨劐“( 乞一i ) a u d ti i + i i “( 乇一i ) v u d t i i ) m = l 一_一 其中i 为单位算子 从而应用h s l d e r 不等式有及( 3 1 2 ) 式的估计有： 0g4s + 1 2 + 厶 m ( i ii i 衍) m ( 乞甜一血0 2d r ) 抛 + m ( 小id t ) m ( j l li v 材一v ”1 1 2 西) 抛 + m ( j _ 2 出) m ( - f l 丘v 甜一v 甜1 1 2a t ) m + 旅。妻( 扯1 2 妒( i i j , a u - a n1 1 2 + 搬。耋( 舭妒( j 1 1 i v u - v u1 1 2 西) 1 7 2 出) 1 7 2 c k ：“坨l i ia u 们眦+ c 碍+ 1 坨川v u 叮| l i 一+ 繇。七? 2 a u 叮。 m - ! 打 + c k 。七，“2i l iv u 口 m = l 则对( 3 1 1 ) 式右端第四项有如下误差估计： q ( q + q 2 + q 3 ，孝”。) ( 1 1q l0 + 0 幺i i + 0q 3 0 善川。 j - ! 马iq 10 孝| i l 。+ 0q ：0 孝。+ i iq 2l i | i i 孝| l i 。 马iq l1 1 2 + i l ifl i i j ：+ 0 鲮0 2 + 孝| l l ：+ 0q 31 1 2 + i | i 孝： 1 8 sc fi i