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一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 摘要 在设计和研究一个控制系统时，必须建立这个系统的动态数学模型，分析系 统的动态特性建立动力系统的数学模型的主要目的有两点：一是为了模拟， 二是为了控制。随着科学技术的日益发展，一些实际问题的数学模型往往具有 很高的阶数。例如在微电路模拟中，这一阶数已达1 0 6 。又如国际太空站，它是 由许多小的模型结合起来的，而每一个小的模型都至少需要1 0 3 个状态变量才 能准确的描述它。因为大系统的模拟和控制需花费非常大的运算量和存储量， 并且大规模问题往往都是病态的。为了能在较短时间内对系统进行模拟或者控 制，就有必要对系统的模型进行简化这种简化就称之为模型降阶。 本文主要研究了一种隐式重新启动的l a a c z o s 算法在模型降阶中的应用， 分析了用这个算法得到的降阶后的模型的一些性质对于一个n 阶稳定的线性 时不变系统，模型降阶的思想是寻找一个m 阶转换函数来近似原系统的n 转 换函数h ( s ) ，其中n m 。传统的k r y l o v 子空间方法往往产生一个不稳定 的实现，并且在低频处的误差较大，本文所考虑的隐式重新启动的l a n c z o s 方 法，能较好的解决了上述两个问题 本文主要分为以下几个部分，第一部分为引言，主要介绍了模型降阶的一 些基本概念，回顾了前人在这方面的一些工作第二部分介绍经典的k r y l o v 子 空间方法在模型降阶中的应用第三部分介绍重新启动的l a n c z o s 技术在模型 降阶中的应用第四部分分析降阶后的模型的一些性质并给出相应的证明。第 五部分为数值实验。 关键词：k r y l o v 子空间；l a n c z o s 算法；大型动力系统；隐式重新启动。 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 a b s t r a c t w h e nw ed e s i g na n dr e s e a c hac o n t r o ls y s t e m ，w en e e dt ob u i l dad y n a m i c m a t h e m a t i cm o d e lf o rt h es y s t e mi no r d e rt oa n a l y s i st h ed y n a m i cp r o p e r t i e s m o d - e l so fd y n a m i c a ls y s t e m sa r eu s e f u lp r i m a r i l yf o rt w or e a s o n s ：f i r s tf o rs i m u l a t i o na n d s e c o n df o rc o n t r 0 1 a st h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , m a n ym a t h e m a t i c m o d e l sa r i s i n gf r o ma p p l i c a t i o n sh a v eh i 【g ho r d e r s ，s u c ha st h em i c r o c i r c u i ts i m u l a - t i o nw h o s eo r d e rc e l lr e a c h1 0 6a n dt h ei n t e r n a t i o n a ls p a c es t a t i o n ( i s s ) w h i c hi s ac o m p l e xs t r u c t u r ec o m p o s e do fm a n ym o d u l e s ，f u r t h e r m o r ee a c hm o d u l ei sd e - s c r i b e di nt e r m so fn 1 0 3s t a t ev a r i a b l e s b e c a u s et h es i m u l a t i o na n dc o n t r o lo f l a r g e - s c a l es y s t e m sc o s th u g es t o r a g ea n dc o m p u t a t i o n a ls p e e d ，a n dt h e s ep r o b l e m s a r eu s u a l l yi l l - c o n d i t i o n e d ，w en e e dt os i m p l i f yt h em o d e lo ft h el a r g e - s c a l es y s t e m i no r d e rt od os i m u l a t i o na n dc o n t r o li ns h o r tt i m e t h i ss i m p l i f i c a t i o ni sc a l l e d m o d e lr e d u c t i o n i nt h i sp a p e r ，w ep r o p o s e da ni m p l i c i t l yr e s t a r t e dl a n c z a sa l g o r i t h mf o rl i n e a r l y t i m ei n v a r i a n ts t a b l es y s t e m s ，t h ep r o p e r t i t e so ft h er e d u c e dm o d e li sr e v e a l e d f o r s u c hs y s t e m s ，i ti sw e l lk n o w nt h a to b l i q u ep r o j e c t i o n so n t obk r y l o vs u b s p a c em a y g e n e r a t eu n s t a b l ep a r t i a lr e a l i z a t i o n sw h e nu s i n gi t t og e tat r a n s f e rf u n c t i o no f o r d e rm w h e r en m a n o t h e rl i m i t a t i o no fc l a s s i c a lk r y l o vs u b s p a c em e t h o d s i st h a tt h e yg e n e r a l l yg e n e r a t ep a r t i a lr e a l i z a t i o n st h a tc o n t a i nn o n e s s e n t i a lm o d e s t h e n e wm e t h o dp r o p o s e di nt h i sp a p e rc a ng r e a t l yr e m e d yt h e s ed i f f i c u l t i e s f i v es e c t i o n sa r ef o l d e di nt h i st h e s i s s e c t i o n1g i v e su s8 ni n t r o d u c t i o no ft h e b a s i cc o n c e p t i o n so fr e d u c e d - o r d e rm o d e l i n ga n dl o o k sb a c kt h ef o r m e rw o r k so f t h i sa r e a i ns e c t i o n2 ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h ec l a s s i c a lk r y l o vs u b s p a c em e t h o d i nm o d e lr e d u c i n ga n di ns e c t i o n3w ed i s c u s st h er e s t a r t e dl a n c z o sa l g o r i t h mf o r m o d e lr e d u c i n g s e c t i o n4w ea n a l y s i sa n dp r o v es o m eo ft h ep r o p e r t i e so ft h er e - 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 v d u c e dm o d e l n u m e r i c a lr e s u l t sa r eg i v e ni nt h el a s ts e c t i o n k e y w o r d s ：k r y l o vs u b s p a c e ；l a n c z o sa l g o r i t h m ；l a r g es c a l ed y n a m i c a ls y s t e m s ； i m p l i c i tr e s t a r t s 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的 研究成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研 究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担 由此论文而产生的权利和责任。 责任人( 签名) ：占旆南 扣守6 年1 月够日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定。厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用 本规定。 本学位论文属于 l 、保密( ) ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密阿 ( 请在以上相应括号内打“ ”) 作者签名：彭玮玮 导师签名： 日期：跏6 ，年，月易日 日期：年月 日 一种重新启动的l e m c z o s 算法在模型降阶中的应用 第一章引言 在设计和研究个控制系统时，必须建立这个系统的动态数学模型，分析系 统的动态特陆动态系统的数学模型通常是一组方程式，它精确的或者相当好的 表示了系统的动态特性但应当指出的是，对于给定的一个系统，它的数学模型 不是唯一的，即一个系统可以用不同的方式表示也就是说，对同个系统，从 不同的理论和观点可能得到多种的数学模型 一般来说，个系统，不管它是机械的、电气的、热力的，还是经济学的、 生物学的，其动态特性都可以由一系列的微分方程和一系列的代数方程来刻画 在本文中，我们所考虑的就是个由微分代数方程组描述的动力系统，记做 ：掣刊碱删，( 1 ) l兰，( ) = ： ( z ( t ) ，“( ) ) ， 其中札( t ) r 是输入，y ( t ) r p 是输出，卫( ) 毋是状态向量，称为状 态函数，h 是输出函数，的阶数由状态向量的变量的个数来决定，这里即为 n ( 1 ) 式的第个方程叫做状态方程，第z 1 - ：y 程h q 做输出方程 建立动力系统的数学模型的主要目的有两点：是为了模拟，二是为了控制 随着科学技术的日益发展，些实际问题的数学模型往往具有很高的阶数例如 在微电路模拟中，这一阶数已达1 0 6 又如国际太空站，它是由许多小的模型结 合起来的，而每一个小的模型都至少需要1 0 3 个状态变量才能准确的描述它 因为大系统的模拟和控制需花费非常大的运算量和存储量，并且大规模问题 往往都是病态的为了能在较短时间内对系统进行模拟或者控制，就有必要对系 统的模型进行简化这种简化就称之为模型降阶模型降阶在系统论以及控制论 一种重新启动的l m u c z o s 算法在模型降阶中的应用 2 中都有很长的历史，目的就是寻找另外个阶数比较小的动力系统 妻： 掣。，。) ) 嵋”， ( 2 ) i雪( 亡) = ( 窑( t ) ，u ( t ) ) 来近似大系统其中畲( t ) 妒，m n 阶数降低后的系统通常应满足下面的条件： 1 近似误差小，存在全局的误差界也就是说，当系统，有相同的输 入时，相应的输出y 和雪的误差i l y 一川应该较小 2 保持原系统的一些性质，如稳定性，驯服陛等等 如果( 1 ) 围绕着状态进行线性化，则有下列的线性化状态方程和输出方程 为： ： 掣“( 籼) 邶( 蝴) ， ( 3 ) l掣( t ) = g ( t ) z ( t ) + d ( t ) ( t ) 上式中a ( t ) 称为状态矩阵，b ( t ) 称为输入矩阵，c ( t ) 称为输出矩阵，d ( t ) 称 为直接传输矩阵如果向量函数，和h 不显含时间t ，则称该系统为时不变系 统在这种情况下，系统( 3 ) 可以简化为下面的线陛时不变系统 ： 掣地 ) + 勖， ( 4 ) i ( ) = ( t ) + d u ( t ) 如果a 的全部特征值都落在复平面的左半平瓯则上述系统是稳定的反之则为 不稳定的，特别的，如果a 全部特征值都落在复平面的右半平面和虚轴上，则上 述系统为反稳定的 一般来说，现行的模型降阶的方法可分成以下三大类： 一种重新启动的l 8 n c z o s 算法在模型降阶中的应用 3 1 基于奇异值分解的方法 2 k r y l o v 子空间方法 3 奇异值分解一k r y l o v 子空间混合方法 下面我们简单的介绍一下上述第一，二类方法 基于奇异值分解的方法 基于奇异值分解的方法就是利用矩阵的奇异值分解给出传输矩阵的低秩近似 这一近似在矩阵2 一范数下是最优的 由矩阵论知，每个矩阵a 形姚都有如下的奇异值分解 a = u d v t 其中u = ( u 1 ，u 2 。) ，v = ( l ，口2 仇) ，d = d i a g ( a l ，( t 2 ) 阢y 是正 交矩阵，其列啦，7 ) i 分别n q 做a 的左奇异向量右奇异向量，d 的对角元上的元 素吼叫做a 的奇异值，通常摊列成：吼= 、，压五i 亍而盯件1 a 的奇异值分 解也可有如下的表示形式 a = 矿l l + g 2 u 2 坷+ + 。 对如下的逼近问题； 给定a 册”，求x 研。满足r a n k ( x ) = l r a n k ( a ) ，且使得 i i a x i l 2 最小 对于匕述逼近问题，有如下定理 定理1 1 ( s c h m i d t m i r s k y 2 4 ) 给定一个秩为n 的矩阵a ，对任意的秩为 l ( 1 n 1 的同阶矩阵，都成立 l i a x l l 2 。f + 1 ( a ) ， 且x = 0 - 1 钍l q + o - 2 7 m 2 v 2 t + + 0 - l u l 妒是使等号成立的个解 一种重新启动的l a n c z o e 算法在模型降阶中的应用 4 基于奇异值分解模型降阶的主要方法有 ( a ) p o d ( p r o p e ro r t h o g o n a ld e c o m p o s i t i o nm e t h o d s ) 方法， ( b ) 均衡截断近似方法， ( c ) h a n l d e 范数近似 p o d 方法主要是用来求解非线性系统的模型降阶问蹶，具体见文献【2 5 1 均衡截断【1 9 】和h a n l d e 范数近似 1 2 】都是基于求解下面一对亿阶的l y a - p m m v 方程来达到简化模型地目的 a p + p a r + b b r = 0 ，a t q + q a + c c r = 0 匕述方程当且仅当，j ，九( a ) + 兄( a ) 0 时有唯对称解，这里的九( a ) 代 表a 的第i 个特征值，元( a ) 表示a j ( a ) 的共轭 在模型降阶中，基于奇异值分解的方法能够保证原系统的些性质，并且都 有全局的误差界，但是诸类方法都要遇到o ( n 3 ) 的运算量和存储量，所以基于奇 异值分解的方法是不适于大规模系统的 k r y l o v 子空间方法 k r y l o v 子空间方法是求解大型线性系统和大型特征值问题最有效的方法之一 在上个世纪9 0 年代被广泛的应用到模型降阶上来很多学者利用k r y l o v 子空间 方法提出了很多有效的模型降阶的方法( 详见 5 ，6 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 6 】) 这些方法都 是根据一些a 的端郝特征值的种部分实现，所以降阶后的模型往往都在低频处 的近似较差这种方法还有个缺陷就是：即使原系统是稳定的，降阶后得到的近 似模型可能是不稳定的k r y l o v 子空间方法在模型降阶中的具体应用，我们将 在下一章中详细介绍 奇异值分解一k r y l o v 子空间混合方法是将上述两种方法结合起来的一类方 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 5 法，详细可以参考文献【1 4 ，15 】 1 3 本文的主要工作 由于应用k r y l o v 子空间方法到模型降阶问题仍存在一些弊端( 看上一小节) ， j a i m o u k h a 和k a s e n a y 在( 1 5 1 提出了一种重新启动的a r n o l d i 算法这种重 新启动的算法的优点是：提高了降阶后的模型在低频处和原系统的近似程度，并 且还能保证降阶后的模型保持原系统所具有的稳定性 本文的主要工作是；在文献 1 5 】的基础上导出了相应的重新启动的l a n c z o s 类型的模型降阶算法，并且分析了由此算法得到降阶后的模型的一些性质，给出 了相应的证明和数值实验 本文的其它内容安排如下；第二章介绍经典的k r y l o v 予空间方法在模型降 阶中的应用，第三章为重新启动的l a n c z o s 类型的模型降阶算法的推导，第四章 分析了用这个算法得到的降阶后模型的一些性质，最后一章是数值实验 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 6 第二章经典的k r y l o v 子空间方法在模型降阶中的应用 在介绍重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用之前，我们先回顾一 下经典的k r y l o v 子空间技术在模型降阶中的应用为了和后面保持致，我们 只介绍l a n c z o s 算法的应用为此，我们先了解一下模型降阶中的个重要的概 念：m o m e n t 匹配 2 1m o m e n t 匹配 本文我们主要针对线性时不变，直接传输矩阵为零，单输入单输出系统进行 篡三篆 假设系统的初始条件x ( o ) = 0 ，对( 5 ) 式两边同时做l a p l a c e 变换，并且 记y ( s ) = 口o 。( t ) e “d t ，矿( s ) = 付。u ( t ) e 一毹d t ，就会得到 y ( s ) = c t ( s i a ) 一1 6 u ( s ) 记f ( s ) = c r ( s i a ) b ，那么f ( 8 ) 称为系统( 5 ) 的转换函数，也是系统( 5 ) 菱翥哳 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 7 来近似原系统( 5 ) ，其中z 。( t ) j p ，m 0 ，确定m 口 2 ，按照算法1 进行m 步约l a n c z o s 过程得到a 。， ，五。v a 磊 3 按照( 1 7 ) 形成m 阶模型 4 检验( 1 5 ) ，( 1 6 ) 的大小，如果( 1 5 ) 或者( 1 6 ) e ，增大m ，然后继 由算法2 得到的降阶模型有如下m o m e n t 匹配的性质，见文献 1 5 】 七一一山= 川糯鄹，的辙函数 c t a i b = t a m ib ，i = 0 ，1 ，2 一2 m 二翌重堑壁塑塑墨竺! ! 竺墨墨垒堡型堕堕笪生旦 第三章重新启动 隐式重新启动的k r y l o v 子空间方法 2 3 最初是为了计算稀疏非对称矩阵 的特征值提出的，后来把它应用到模型降阶我们知道，由k r y l o v 子空间方法 产生的部分实现可能是不稳定的，哪怕原系统是稳定的另外，k r y l o v 子空间 方法产生的部分实现在低频处的近似较差为了改善这情况，j a i m o u k h a 1 5 引入两个转换矩阵死，珏”，提出了一种重新启动的a r n o l d i 算法，较 成功的解决了这两个弊端其中死，珏的作用有两点，是将不稳定的部分实 现变成稳定的部分实现，二是去处掉一些不必要的信息，从而提高低频处的近似 程度下面我们具体看下死，2 k 是如何选取的 假设由算法2 得到了，( s ) 一个不稳定的实现，m ( s ) ，不妨设厶( s ) = ，m + ( s ) + ，m 一( s ) ，其中厶+ ( s ) 是稳定的，厶一s ) 是反稳定的为了方便我们讨论，假 设，m ( s ) = 磊( s i a 。) - 1 ，将a 。进行s c h u r 分解得到下面的块的实s c h u r 型 正a m 砰= a s 2 ：1 a a 船1 2 i 其中乃是正交的，a 1 1 舒。p 是稳定的，a 2 2 r ( ”- p ) 。( ”一p ) 是反稳定的 那么由( 6 ) 和上述变换得到 挈“础) “讪， ( 1 8 ) i ( t ) = 毫砰东( f ) ， 其中z 二( t ) = 7 k 名。( t ) 如果x 彤。( ”一p ) 是下面的s y l v e s t e r 方程的解 ， 令乃= i 却 10 则 一一心a+船ax x u a 爿 h 一种重新启动的l a n c z s 算法在模型降阶中的应用 1 3 取疋a 。巧1 = a 1 1 羔。1 ，乃乃k = 芝1 ，磊砰可1 = 印西 死- = 砰碍f ： = 巧 一x t 珏，= 碍丐1 ： = 碍 ：1 那么，m ( s ) 稳定的部分为 ，m + ( s ) 拍m 山t 兰 等制 这里? k 1 = ，t l - ，玮1 的作用就是将原不稳定的厶( s ) 变为它稳定的部 分，m + ( s ) 和幂法相似，由k r y o v 子空间方法产生的a 。的谱是对a 端部特征值的近 似，而这些特征值对动力系统的低频特性贡献是很小的，所以我们很自然就想到 将这些不必要的信息去掉，采用的方法就是s q u a r er o o tm e t h o d 1 5 或者s c h u r b a s e da l g o r i t h m 6 】我们简单描述下s q u a r er o o tm e t h o d 假设，m + ( s ) 的状 态维数是p ，下面的算法就是决定额外的转换死2 和2 k ，t l z 和2 k 的作用 就是去掉不必要的信息算法描述如下 算法3 s q u a r tr o o ta l g o r i t h m j 计算只，q 。分别是下面l y a p u n o v 方程的解 a 1 1 p s + 只a 五+ 6 l 巧= o ，a r n q 。+ q 。a 1 1 + c 1 c t = 0 一种重新启动的l a l 2 c g o s 算法在模型降阶中的应用 1 4 2 对只，q 3 进行c h o l e s k y 分解，只= l ，l y ，q = l o l t o ，然后对 l t l ，进行奇异值分解，三子4 = 护，伊，其中，= d i a g ( 盯，咋) 且( t 1 - 2 3 假设我们保留厶十( s ) 前r 个节点信息则定义t l 。= l o 玩_ m 彤”，z = 厶谚_ 1 2 彤”其中，= ( o - 1 听) ，玩， 谚分别是疗和矿的前r 列 在由上述算法得到t l 2 ，t r 2 后，我们令 ， t l = t l l t l 2 = t tf 1 f 卜xj 堀：砰h 【0j 那么经过匕述过程后，降阶后的模型变为 l o 玩= _ v 2 0 职? 帅，叫塑c r v m t a 产0 剞c t v r 0 lfj【fj ( 1 9 ) 其中死，珏胛”且贬t r = ，a ，= 理a 。t r ，坼= w 。t l ，k v ，价了1 r ，显然p 诈= 下面我们考虑如何重新启动，也就是在w ，矸的基础上继续l a n c z o s 过 程，得到新的部分可控空间和部分可观空间的基v ，m r ， ，对，r ( s ) 重写l a n c - z o s 等式，首先，定义磊，磊胛( m r ) 满足 f 一1 陬磊1r l = k l 露j 那么由( 7 ) 一( 1 0 ) 和( 2 0 ) ，可以得到 ( 2 0 ) a v m t n 磊 _ 陬磊】 死e l 尸a 。陬磊 + 矿a 。y 陬蟊】，( 2 1 ) 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 b = v m t r ：i r i t l 矗】丁k ( 2 2 ) a t w m t l 死】_ 陬竞】陬磊】r a t t l 矗】+ 形繇w 陬磊】， ( 2 3 ) c = 阢霓】陬磊】t 如果记k = 露6 m ，c r = 瑶，那么( 2 1 ) 一( 2 4 ) 变为 a k = w a + f 蟊讫】 b = w 6 r + 陬磊昧】 a t ，r = w , a t + 仉，m 元订，m l c 堙a 。 4 。v 珏 】- r t n 。t 死 知 程1 c r 。 o 接下来我们对蛳和m 进行双向的g r a m s c h i m i d t 过程 2 0 】，得到 m y ：。 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 露k 露a m 珏l ：跏西五矿】：钆r y ，( 2 9 ) 0 a 。y 2 kl 降0 矧t l 嘞伽一s 。， l职l 其中q 品q v = + 1 ，r y ，r w r ( r + 1 ) 。( + 1 ) 是上三角阵由( 2 5 ) 一( 3 0 ) 得到下 面的等式 a w = w 4 + 谚a ，v = c w 谚- 乏1 b ：w h r + 谚酥， f 3 1 ) ( 3 2 ) 1_ililj 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 孵= 嵋a + 孵舔= 陬哦， 乏 ， c 。s ， 其中谚= 陬磊昧 钆，嘶= w m 磊访，m 】q w 最后 在w ，坼的基础 维数是r + 1 ，故m 2 r + 1 定义a 。，= - 嘿t ，a 则可得到新的l a n c z o s b = 嘭醪o l t = ，6 m ，( 3 6 ) a t w ，= w ，m ，a ：，+ i k ，a 三，( 3 7 ) c = w 名。，bc ro 】r = 职。，c t 。( 3 8 ) 注意到【w ，m ，l 吒r 】t v 。，i = l ，+ ， 下面我们给出修改的l a n c z o s 算法f 算法中的记号采用m a t l a b 中的记 j ( 1 ：1 ：2 r + t ) = 眵诈】，i ，( 1 ：n ，1 ：2 r + 1 ) = w 取】， = a v 赫( 1 ：n ，i ) ， = a t - ，( 1 ：礼，i ) 一种重新启动的i o j c t m 算法在模型降阶中的应用 1 7 = t ，一乏j 以。，( 七，t ) v 赫( 1 ：n ，詹) ，埘= w 一t i - - ：1 l a 。0 ，七) w ，m ，( 1 ： n ，k ) ，0 r j = i ：i + r a 。，( 工i ) = ( 口，w 厂m ，( 1 ：n ，j ) ) ，a 。，( i ，j ) = ( 叫，。( 1 ：n ，j ) ) v = 一a 。，0 ，i ) i 厶，( 1 ：n ，) ，w = w a 。0 ，j ) w ，l ：。 e n d a 。，( i + r + 1 ，i ) = t 再i j 砑，a 。，( i ，i - i - r + 1 ) = a 。，0 + r + 1 ，i ) 5 i 9 n ( ( 训，”) ) l 么，( 1 ：n ，i + r + 1 ) = v a 。，0 + r + 1 ，i ) w ，m ，( 1 ：n ，i + r + 1 ) = 叫a 。丌( i ，i + r + 1 ) 3 e n d 彳a m ，v = a 。 ( m + 1 ：m + r + 1 ，1 ：m ) ，a m ，w = a 肼( 1 ：m ，m + 1 m + r + 1 ) 5 a 。，= a 。，( 1 ：m ，1 ：m ) 酿，= ，( 1 ：n ，m + 1 ：m + r + 1 ) ，w ，= w m ，( 1 ：n ，m + 1 ：m + r + 1 ) zv m ，= ( 1 ：n ，1 ：m ) ，l l ，m ，= w m ，( 1 ：礼，1 ：m ) 为了更好的描述重新启动的过程，我们看下面的例子 例取m = 6 ，r = 2 那么( 2 7 ) 一( 3 0 ) 就有下面的形式 砷。小酬地酬l l ，6 - h 咖酬 x 0 x 一 。 。 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应屡1 8 a 叫1 w 2 】_ 【w l 伽2i w 3 w 4 w 5 x 0 ，c = 眇1 叫2 l w 3 w 4 i v 5 那么经过重新启动后( 3 1 ) 一( 3 4 ) 就有如下的形式 a 1 忱v 3v 4v 5v 6 】卜 1v 2v 37 j 4 7 j 5v 6l 口7v s 啦】 b = v 1 吨v 3 啦v 5 】 0 0 0 x00 o xx 0 00 o0o xx 000 0 000 00x 一 。 。 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 1 9 a w lw 2 w 37 1 ) 4 w 5 训6 】= f w l w 2 w 3 w 4 5 w 6w 7 w 8 w 9 】 0 00 oo 0o 0o x o 00 oo 0o 0 xx o 注意到，仍然是部分可控空间和部分可观空间的一组双正交基，那么从 定理2 1 可知，我们可以和前面类似的将方程( 1 3 ) 投影到s p a n c o t ( y 。) ，s p a n c o l ( - y 赫) 上去求解( 这里s p a n c o t ( ) 表示由的列张成的空间) ，将g a r l e r k i n 条 件应用于( 1 3 ) 的残量，同样的可以定义近似解 ，。( s ) = h 。( s ) ，丘，m r ( s ) = ，( s ) 嘿那么相应的可以得到f ( s ) 的近似解厶( 5 ) = ，矗，。( s ) ，厶帕( s ) = ，c 。，( s ) b 和定理2 1 类似我们有如下的定理 定理3 1 假设完成了m 步的l a n c z o s 过程，并且完成了重新启动，那么 1 g a l e r k i n 条件满足当且仅当九。，( s ) = ( s i a ，) w l b ，9 。( s ) = 0 0 0 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 2 0 ，( s j _ 一a 。，) ，在这样的条件下，残量的l ”范数是 2 b 一( s i a ) 。( s ) l 。= | | 吒，a 。，v h 。，( s ) l i 。 ，一肼。如) w 磊( s j a ) il 。= 1 1 9 。，( s ) 诉嚣a 。，l i 。 一k 小 证明和定理2 1 的证明类似，略 ( 3 9 ) ( 4 0 ) ( 4 1 ) 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 2 l 这部分我们主要分析由上述算法得到的降阶后的模型的一些性质，首先我们 考虑重新启动后模型的m o m e n t 匹配的性质，有下面的定理 定理41 如果七是满足ksm ( r + 1 ) 的最大整数，那么 ，a 4 1 b = g t 。，t 。i - ，1 6 m ，( 1 i 2 k ) ( 4 2 ) 证明首先证明下面的等式 a 一1 b = i n ，a k - ) 6 。，e t a 2 1 = t 。n 。i - - ，1 w = l ，( 1si 曼七) ( 4 3 ) 只证明( 4 3 ) 式的第部分，采用数学归纳法来证明 当i = 1 时，显然成立 假设i = f ( 2 兰七一1 ) 时成立，即 a 。1 b = a 并坼。 当i = l + 1 时 由( 3 5 ) 式可得 a 。b = a a 嚣 a 2 b = ( v 。，+ ，a 。v ) a 嚣= 心，6 m r + a 。，v a 嚣 注意到k ，为最后的m r 一1 个元素都为0 ，而a 。，是带宽为r + 1 的带状矩 阵，a 协r y 的前m r 一1 列都是0 ，故只要当2 r + 2 + ( 1 - 2 ) p + 1 ) 冬m r l 即( f + 1 ) 茎m ( r + 1 ) 时有 a 。y a 嚣，= 0 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 2 2 所以当lsk 一1 时，有 a 。b = a ， 故( 4 3 ) 的第郁分得证 同理可以证明第二部分对于( 4 2 ) ，我们只需证明当i = 2 k 等式成立即可 c t a 2 k - 1 b = c t a b l a 小b = t ，a 怒1 吩t ，a ，以1 b m ，= 磊，a 等1 口 接下来，我们给出一些源于f 1 6 的降阶后模型的性质，首先对下面的一对l y a - p u n o v 方程 a p + p a t + 6 6 t = 0 ，a t q + q a + c c t = 0 推导其低秩解，采用的方法就是将其投影到空间s p a n c o l ( i ) 和s p a n c o l ( w o ) 去求解将g a r l e r k i n 型条件应用到其相应的残量上假设上述方程的低秩解有 如下的形式 p m ，= ，嘿，q 。= w m ，嘿，( 4 4 ) 其中五。，m r 是m 阶的对称阵那么相应的残量定义如下 r 。= a 蠕+ k 蠕+ 舻，( 4 5 ) = a r 嘿+ 讳，瞩t ，以+ 护( 4 6 ) 考虑寻找墨。，l 赫使得残量r ，j s 。满足g a d e r k i n 型条件：啼皿。w 毒= 0 ，蠕s o i = 0 ，对于上述问题，有如下的定理 定理4 2 假设进行了m 步的l a u c z o s 过程，并且由算法4 完成了重新启动，部 分可控空间和部分可观空间的l a n c z o s 关系式由( 3 5 ) 一( 3 8 ) 给出假设a i ( a ) + 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 2 3 如( a ) 0 ，v i ，j 那么 - t ，。w 毒= 0 错a 。五。+ 五。a ：，+ w t , b b t w , ，= 0 ： 嘿踮= 0 舒a l + a 。+ 嘿c ，w = 0 证明直接由计算易得，略 部分可控空间和部分可观空间的l a n c z o s 关系式由( 3 5 ) 一( 3 8 ) 给出相应的 岛。= 墨。，妒，q ，= ，赫嘿是( 3 ) 的低秩解，其中j ，m ，l 满 1 定义a = ( j 一，仉儡t ，) a 1 = 设，a m r v u 焉，a 2 = ，a 。，访，m ，那 ( a 一1 ) r ，+ 只舯( a a 1 ) t + b b t = 0 ， ( a 2 ) t q ，耵+ q 。矿( a 2 ) + c c r = 0 2 定义a 3 = a 1 + a 2 ，那么w t 1 i ；。= 嘿厶，= 嘿2 i ，m ，= w ：3 = 0 ，并且 ( a 一3 ) p m ，+ 岛，( a a 3 ) t + b b r = 0 ， ( a 一3 ) t q 仇，+ q 朋( a a 3 ) + o c r = 0 s 傲删叫竽a 0 ，渊忍s ，舷 i ，口一) ii 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 2 4 证明 1 ，直接由计算可得 1 ) j f ) m r = 4 x 。嘿一a 。y - t ，v 。n 。v 。t ，= ，a x 毒v 嚣 故 ( a 一1 ) 只付+ 只w ( a a 1 ) t + 6 铲1 = a 。，x 毒蠕+ 熊，) ，7 。皖j + ，w 儡t ，w tr r tr 。t ， = ( a 。墨n r + a 系，五。+ 儡t ，u u tr r 。t ，jv t = 0 同理可证明( a a 2 ) 丁o 。+ q 。一2 ) + c c r = 0 2 直接计算可得 那么对任意的非奇异的t 俨”，( s ) = c t t ( s l t a t 一1 ) 一1 t b 兰 下面我们看具体的证明过程 ，。( 。) 一，m ，( s ) 兰 a 一l 0 r f 蟛t r 6 0a 嘿6 ，嘿一， o 一 蝴u 川惜 毗 兰 枷 矿 明 一 一 啊 可 i | 靴 m 批 髁 m 顺 p 的 a 瞰 删 懒 们 一 城 糈我 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 2 5 定义撇 一嘿id i , nt - 1 = ii 斗有 厶。( 。) 。( 5 ) 兰 a 一。 一w l ( a a 1 + a 。，w l o 所以，m ，( s ) 一，( s ) = 0 口 注意到1 ，2 ，。都是对，( s ) 状态矩阵的一卟扰动，非常有趣的是虽然它 们的f 一范数不同，但每个扰动的系统都是对同一个转换函数的不同的实现 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 2 6 例我们的例子来源于文献 1 5 】，其中a 研”m = 1 0 0 ) ，a 的前4 行 4 列有如下的结构 一o 0 1 0 1 0 0 o 1 一o 0 1 o o 00 o0 一o j o 5 一o 5 0 1 a 的其他非零元均匀的分布在( 0 ，一1 ) 之间并且全部位于主对角线上，b ，c 的前 l o 个元素均匀的分布在( 0 ，1 ) 之间，其他的都均匀分布在( 0 ，1 2 5 ) 之间首先，我 们比较一下原系统( 5 ) 的单位脉冲响应和没有重新启动降阶后的模型( 1 7 ) 单位 脉冲响应以及重新启动后的模型( 4 1 ) 的单位脉冲n 向应( 如图1 ，2 ，3 ) 从图1 ，2 ，3 可以看出三者之间的单位脉冲响应基本上是一样的 接下来，我们比较( 1 5 ) 和( 3 9 ) 的大小即重新启动前后残量的大小( 如图 4 ，5 ，6 ) 在图4 ，5 ，6 中，纵坐标表示残向量的大小横坐标是s 虚部的大小并且 在数值试验中，我们只考虑s 是纯虚数的情况图4 和图5 的中处于上方的曲 线是( 1 5 ) 的曲线图，处于下方的是( 3 9 ) 的曲线图比较得知，重新启动后残向 量在低频处变小，但是是以牺牲高频处的精度为代价的( 如图4 ) 由于在实际问 题中，往往关心的都是低频的性质，所以这点是可以接受的在图6 中，我们集 中比较了当m ：= 1 6 ，r 分别为2 ，4 ，6 的情况其中实线是没有重新启动的残量 图，比较浅的虚线表示r = 2 的情况，较深的虚线表示r = 4 的情况，+ 号表 示r = 6 的图形，从这些图我们可以看出，不管是否重新启动，残向量在低频处 比在高频处要大从图6 中可以看出，当r = 2 时在低频处的残向量是最小的， 但是实际经验告诉我们，r 并不是越小越好，对具体的问题，往往最优的r 的选 取是不一样的 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 2 7 f i g u r el ：原系统的单位脉冲响应 f i g u r e2 ：没有重新启动模型的单位脉冲响应 一种重新启动的l a n c z o s 算法在模型降阶中的应用 2 8 f i g u r e3 ：重新启动模型的单位脉冲响应 om o mm o o 幛o o 吖0 o 伸o f i g u r e4 ：m = 1 2 r = 2 一种重新启动