（应用数学专业论文）连接分拆、连接圈和一些格路径上的结果.pdf

ab s t r a c t t h i s t h e s i s m a i n l y a n d l a t t i ce p a t h s . s o me r e s u l t s o n l i n k e d p a r t i t i o n s , li n k e d c y c l e s t h e n o t i o n o f n o n c r o s s i n g li n k e d p a r t i t i o n a r o s e fr o m t h e s t u d y o f cer t a i n t r a n s f o r m s i n fr e e p r o b a b i l i t y t h e o ry . i t i s k n o w n t h a t t h e n u m b e r o f n o n c r o s s in g l i n k e d p a r t i t i o n s o f 卜+1 i s e q u al t o t h e n - t h l a r g e s c h r o d e r n u m b e r ， w h i c h c o u n t s t h e n u m b e r o f s c h r o d e r p a t h s . i n s e c t i o n 2 . 2 , w e g i v e a b i j e c t i v e p r o o f o f t h i s r e s u l t a n d g e t s o m e c o m b i n a t o r i al p r o p e r t ie s o f n o n c r o s s in g l i n k e d p a r t it i o n s a c c o r d i n g t o t h i s b i j e c t i o n . t h e n w e i n t r o d u ce t h e s t ruc t u r e s o f li n k e d p a r t i t i o n s a n d l i n k e d c y c l e s . i n s e c t i o n 2 . 3 , w e c o n s t ruc t a b ij e c t i o n b e t w e e n li n k e d p a r t i t i o n s a n d i n c r e a s i n g t r e e s , a n d t h e n g e t t h e n u m b e r o f l i n k e d p a r t i t i o n s o f 回 is n ! , t h e n u m b e r o f li n k e d p a rt i t i o n s o f 间. w i t h k s i n g l y c o v e r e d m i n i m al e l e m e n t s i s t h e s i g n l e s s s t i r li n g n u m b e r c ( n , k ) ( o f t h e f a s t k i n d ) , t h e n u m b e r o f l i n k e d p a r t i t i o n s o f m w i t h ,0 ( 二 ) 二k i s t h e e u l e r i a n n u m b e r a ( n , k ) . w e p r o v e t h e s y m m e t ry b e t w e e n t h e n u m b e r o f 2 - c r o s s i n g s a n d 2 - n e s t i n g s o n t h e s u b s e t l p n ( 况t ) o f a ll t h e li n k e d p a r t i t io n s o f 同， a n d g iv e i t s e x p r e s s i o n . i n s e c t i o n 2 .4 , w e g i v e t w o k i n d o f g r a p h i c al r e p r e s e n t a t i o n s o f l i n k e d c y c l e s . we g e t a b ij e c t i v e p r o o f o f t h e r e c u r r e n c e o f t h e n u m b e r o f l i n k e d c y c l e s o n 回 a c c o r d i n g t o t h e c y c l e r e p r e s e n t a t i o n , a n d a b ij e c t i o n b e t w e e n t h e s e t o f a ll l i n k e d c y c l e o n 恤+1 a n d t h e s u b s e t p 2 ( n ) o f p a r t i t i o n s a c c o r d i n g t o t h e li n e a r r e p r e s e n t a t io n , t h u s g e t t h e n u m b e r o f li n k e d c y c l e s o n 间w i t h m s i n g l y c o v e r e d mi n i ma l q 1 q me n t s i sz n-m -1 m - 1 ( n - m) ! 2 n - mf i n a l l y , w e g i v e t h e s y m m e t ry b e t w e e n c r o s s i n g s a n d n e s t l n g s li n e a r r e p r e s e n t a t i o n o f l in k e d c y c l e s . i n c h a p t e r 3 , w e d e v e l o p a l a t t i c e p a t h s t ruc t u r e , w h i c h c o n s i s t s o f 2 n e a s t s t e p s a n d n n o r t h s t e p s fr o m ( 0 , 0 ) t o ( 2 n , n ) a n d l y i n g w e a k ly b e l o w t h e l i n e ， =x / 2 , a n d g i v e t h e l a t t i ce p o l y n o m i a l s o n t h e l a t t i ce p a t h s . t h e r e a r e b ij e c - t i v e r e l a t i o n s b e t w e e n t h e l a t t i ce p a t h s a n d o t h e r c o m b i n a t o r i al s t r u c t u r e s t h a t c a n b e c o u n t e d b y t h e t e r n a ry p o l y n o m i a l s t n ( 幼a n d t h e 3 - c a t al a n ( o r t e r n a ry ) n u m b e r s t n ( 1 ) = 击 ( 切， w h i c h g iv e s e v e r al d i ff e r e n t c o m b in a t o r i al in t e r p r e t a - t i o n s o f t h e l a t t i ce p o l y n o m i a l s . t h e s e t t i n g s w e i n v e s t i g a t e i n d e t a i l a r e e v e n ab s t r a c t t r e es, 1 2 3 1 2 - a v o i d i n g m a t c h i n g s , a n d r e s t r i c t e d o s c i l l a t i n g t a b l e a u x . ke y w o r d s : n o n c r o s s i n g p a r t i t i o n , s c h r o d e r p a t h , f i n k e d p a r t i t i o n , c y c l e , i n c r e a s i n g t r e e s , g e n e r a l i z e d k - s t i r l i n g n u mb e r , l a t t i c e p a t h , l a t t i c e n o r n i a l , e v e n t r e e , 1 2 3 1 2 - a v o i d i n g ma t c h i n g , n o n c r o s s i n g t r e e , t e r n a r y t r e e , l a t i n g t a b l e a u . i i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名: 年月日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: 解 密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内部5 年 ( 最长5 年，可少于5 年) 秘密1 0 年 最长 1 0 年，可少于 1 0 年) 机密2 0 年 ( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明:所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中己经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名: 年月日 ch a p t e r 1 i n t r o du c t i o n 1 . 1 pa r t i t i o n s a n d s e t pa r t i t i o n s a p a r t i t i o n i s a w a y o f w r i t i n g a n in t e g e r n a s a s u m o f p o s i t i v e in t e g e r s w h e r e t h e o r d e r o f t h e a d d e n d s i s n o t s i g n i fi c a n t , p o s s i b l y s u b j e c t t o o n e o r m o r e a d d i t i o n al c o n s t r a i n t s . b y c o n v e n t i o n , p a r t i t i o n s a r e n o r m a ll y w r i t t e n f r o m l a r g e s t t o s m a ll e s t a d - d e n d s ( s k i e n a 5 7 1 1 9 9 0 , p . 5 1 ) , f o r e x a m p l e , 9=3+2+2+1十1 g u s e s t h e n o t a t i o n a卜n t o i n d i c a t e a s e - q ue nc e e . a n d r e w s ( 1 1 9 9 8 , p . 1 ) a i s a p a r t i t i o n o f n , a n d t h en o t a t i o n 1 * 1 2 二 ， k n o w n a s t h e 介 e q u e n c y r e p r e s e n t a t i o n , t o a b b r e v i a t e t h e p a r t i t i o n t h e p a r t i t i o n s o f a n u m b e r n c o r r e s p o n d t o t h e s e t o f n o n n e g a t i v e i n t e g e r s o l u t i o n s 臼 1 , j 2 , ， ， 。 ) t o t h e d i o p h a n t i n e e q u a t i o n 1 j ; 十2 j 2 + +叼。 =n . f o r e x a m p l e , t h e p a r t i t i o n s o f 4 , g i v e n 饰4 1 , 1 1 3 1 , 2 2 , 1 2 2 1 , 1 4 c o r r e s p o n d t o t h e s o l u t io n s ( j l , j 2 , j 3 , j 4 ) =( 0 , 0 , 0 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 , 0 ) , ( 2 , 1 , 0 , 0 ) a n d ( 4 , 0 , 0 , 0 ) . a s e t p a r t i t i o n o f t h e s e t 【 。 = 1 , 2 , ， 。 i s a c o ll e c t i o n b 1 , 场， ， 马o f d i s j o i n t s u b s e t s o f n w h o s e u n i o n is n . e a c h b , i s c al l e d a b l o c k c h a p t e r 1 . i n t r o d u c t i o n f o r e x a m p l e , t h e r e a r e 1 5 p a r t i t i o n s o f 4 1 b l o c k s : 2 b l o c k s : 3 b l o c k s : 4 b l o c k s : l , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 , l , 2 , 4 , 3 , l , 3 , 4 , 2 , 1 , 2 , 3 , 4 l , 2 , 3 , 4 , l , 3 , 2 , 4 , 1 , 4 , 2 , 3 l , 2 , 3 , 4 , l , 2 , 4 , 3 , l , 2 , 3 , 4 l , 4 , 2 , 3 , l , 3 , 2 , 4 , l , 2 , 3 , 4 l , 2 , 3 , 4 e a c h p a r t i t i o n a b o v e h a s it s b l o c k s l is t e d i n i n c r e a s i n g o r d e r o f s m a ll e s t e l e m e n t ; t h u s b l o c k 1 c o n t a in s e l e m e n t 1 , b l o c k 2 c o n t a i n s t h e s m a l l e s t e l e m e n t n o t i n b l o c k 1 , a n d s o o n . t h e n u m b e r o f p a r t i t io n s o f a n n - s e t is c a l l e d a b e l l n u m b e r , n o t e d 妙纵. f o r ” =1 , 2 , ， 1 5 , t h e b e l l n u m b e r s h a v e t h e v a l u e s 1 , 1 , 2 , 5 , 1 5 , 5 2 , 2 0 3 , 8 7 7 , 4 1 4 0 , 2 1 1 4 7 , 1 1 5 9 7 5 , 6 7 8 5 7 0 , 4 2 1 3 5 9 7 , 2 7 6 4 4 4 3 7 , 1 9 0 8 9 9 3 2 2 . t h i s is s e q u e n c e a 0 0 0 1 1 0 i n n e i l j . s l o a n e s d a t a b a s e o f i n t e g e r s e q u e n c e s 5 9 . t h e b e ll n u m b e r s h a v e t h e e x p o n e n t i a l g e n e r a t i n g f u n c t i o n e x p ( e z 一1 ) a n d s a t is f y t h e r e c u r r e n ce r e la t i o n b 十 ， 一 艺 1 . 2 l i n k e d p a r t i t i o n s , no n c r o s s i n g l i n k e d p a r t i t i o n s a n d l i n k e d c y c l e s l e t 问= 1 , 2 ， 二， 叮， a n d b i , b j b e , t w o b lo c k s o f a p a r t i t io n 二 o f n . w e s a y t h a t 尽a n d 马 a r e c r o s s i n g i f t h e r e e x i s t a , c e尽 a n d b , d 乓 w i t h ab 1 a n d 0 m i n ( f ) , o r 尹二 ( e ) . c h a p t e r 1 . i n t r o d u c t i o n d e fi n i t i o n 1 . 1 . a l i n k e d p a r t i t i o n o f 回i s a s e t 二o f n o n e m p t y s u b s e t s o f 问 w h o s e u n i o n is 恤 ! a n d a n y t w o d i s t i n c t e l e m e n t s o f 二a r e n e a r l y d i s j o i n t . i t is a n o n c r o s s i n g l i n k e d p a r t i t i o n i f i n a d d i t i o n , a n y t w o d i s t i n c t e l e m e n t s o f i t a r e n o n c r o s sn g . t h e d e fi n i t i o n o f n o n c r o s s i n g l i n k e d p a r t i t i o n is i n t r o d u c e d b y k . j . d y k e m a i n s t u d y in g t h e u n s y m m e t r i z e d t - t r a n s f o r m i n t h e c o n t e n t o f fr e e p r o b a b i l i t y t h e o ry 1 7 1 . f o r e x a m p l e ,t h e r e a r e 2 4 l i n k e d p a rt i t i o n s o f 4 . b l o c k s : b l o c k s : 3 b l o c k s : 4 b l o c k s : 1 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 4 , 1 , 2 , 4 , 3 , 1 , 3 , 4 , 2 , 1 , 2 , 3 , 4 l , 2 , 3 , 4 , l , 3 , 2 , 4 , l , 4 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 2 , 4 1 , 2 , 3 , 3 , 4 , l , 2 , 4 , 2 , 3 , 1 , 2 , 2 , 3 , 4 1 1 1 , 2 1 , 1 3 , 4 1 , i , 2 , 4 , 3 , l ; 2 , 3 , 4 l , 4 , 2 , 3 , l , 3 , 2 , 4 , l , 2 , 3 , 4 i , 2 , 2 , 3 , 4 , i , 2 , 2 , 4 , 3 , 1 , 3 , 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 3 , 4 , i , 2 , 2 , 3 , 3 , 4 i , 2 , 3 , 4 e x c e p t 1 , 3 , 2 , 4 a n d 1 , 2 , 3 , 2 , 4 , t h e o t h e r s a r e n o n c r o s s i n g l i n k e d d e fi n i t i o n 1 . 2 . a l i n k e d c y c l e f r o n 川i s a l in k e d p a r t i t i o n 二 二 n w h e r e f o r e a c h b l o c k b i t h e e l e m e n t s a r e a r r a n g e d i n a c y c l e . b 1 , ， b k o f w e c a l l e a c h s u c h b lo c k 尽w i t h t h e c y c l i c a r r a n g e m e n t a c y c l e o f f r . t h e s e t o f a l l l i n k e d c y c l e s o n !。 】 i s d e n o t e d b y l c ( n ) . f o r a s e t b= b i , b 2 ,. , b k , w e r e p r e s e n t 妙 ( b i , b 2 , ， b k ) t h e c y c l e b 1 ” b 2 * 一 “ b k* b l . i n w r i t i n g a li n k e d c y c l e fr , w e u s e t h e c o n v e n t io n t h a t : ( a ) e a c h c y c l e o f f r i s w r it t e n w i t h it s m in i m a l e l e m e n t fi r s t , ( b ) t h e c y c l e s a r e l is t e d i n i n c r e a s i n g o r d e r o f t h e i r m i n i m a l e l e m e n t s . f o r e x a m p l e , f o r t h e li n k e d p a r t i t i o n a = 1 2 6 , 2 4 8 , 3 , 5 7 w i t h c y c li c o r d e r s ( 1 *2 *s 、1 ) , ( 2 * c h a p t e r 1 . i n t r o d u c t i o n 闷 伟 4 2 ) , ( 3 - - + 3 ) , a n d ( 5 * 7* 5 ) , t h e li n k e d c y c le f r i s w r i t t e n a s ( 1 2 6 ) ( 2 8 4 ) ( 3 ) ( 5 7 ) . 1 . 3 ma t c h i n g s a n d 1 2 3 1 2 - a v o i d i n g ma t c h i n g s a ( c o m p l e t e ) m a t c h i n g o n a s e t 2 n = 1 , 2 , ， 2 n is a g r a p h w i t h t h e v e r t e x s e t 2 n a n d w i t h n v e r t e x - d i s j o i n t e d g e s . d e n o t e e =( i , j ) w i t h j . t w o e d g e s e =( i , j ) a n d e i i f jj ; o r f o r m a n e s t i n g i f i i f j ， ， m a t c h i n g c r o s s i n g 迁 a n e d g e o f a =( i f , j ) f o r m a .i t i s we l l - k n o wn t h a t t h e n u m b e r o f m a t c h i n g s o n 2 司i s ( 2 。 一1 ) 1 ! =1 3 5 ( 2 。 一1 ) a n d t h e n u m b e r o f m a t c h i n g s o n 2 n w i t h n o c r o s s i n g s ( o r w i t h n o n e s t i n g s ) i s t h e n - t h c a t al a n n u m b e r c= 击( 切. a m a t c h in g c a n b e e x p r e s s e d b y i t s c a n o n i c a l s e q u e n t i a l f o r m 3 6 ( a ls o c al l e d t h e d a v e n p o r t - s c h i n z e l s e q u e n c e 1 4 , 4 7 ) p=a l a 2 . . . a 2 n w h e r e a ; =j i f t h e e le m e n t is a n e n d - p o in t o f j - t h e d g e e j w it h e l =( i i , i l ) , ( e 2 =( i 2 , j 2 ) , ， =( i n , 人 ) ， i 1 : 。 . f o r e x a m p l e ; t h e m a t c h i n g i n f i g u r e 1 . 1 c a n b e e x p r e s s e d 勿 1 2 3 1 2 3 . = = * p = 1 2 3 1 2 3 f ig u r e 1 . 1 : a m a t c h i n g w i t h e d g e s e l =( 1 , 4 ) , e 2 =( 2 , 5 ) , e 3 =( 3 , 6 ) . t h e c a n o n i c a l s e q u e n t i a l f o r m i s 1 2 3 1 2 3 . l e t a=a l a 2 a k a n d i t 二a l a 2 . . . 7 r k b e t w o s e q u e n c e s . we s a y a a n d 7 r a r e o rd e r - i s o m o r p h i c i f f o r a n y 1 i , j k , a ; a ; i f a n d o n l y i f t r s 7 rj . s u c h a i t is u s u a ll y c a ll e d a p a t t e r n . we s a y t h a t a c a n o n i c a l s e q u e n t i a l f o r m尸a v o i d s a ( o r a - a v o i d i n g ) i f n o s u b s e q u e n c e o f p i s o r d e r - i s o m o r p h i c t o 二d e n o t e b y m ( 二 ) t h e s e t o f a ll t h e m a t c h i n g s o n 2 n w h i c h a v o i d t h e p a t t e r n 二 . i n c h e n , m a n s o u r a n d y a n s p a p e r 9 , t h e y s h o w t h a t t h e n u m b e r o f 1 2 3 1 2 - a v o i d i n g m a t c h i n g s o n 夕 川is a 3 - c a t a l a n n u m b e r , n a m e l y m (12312) 一 击/3n c h a p t e r 1 . i n t r o d u c t i o n t h e f o l l o w i n g i s t h e b a d p a t t e r n , w h i c h w i l l p r o d u c e t h e p a t t e r n 1 2 3 1 2 w h e n - e v e r t h e r i g h t h a n d e n d p o i n t o f t h e t h i r d a r c i s p l a c e d . 1 . 4 l a t t i c e p a t h s a n d l a t t i c e p o l y n o mi a l s a fi n i t e ; n o n n e g a t i v e l a t t i c e p a t h i n t h e p l a n e ( w i t h u n i t s t e p s t o t h e r i g h t a n d u p ) i s a s e q u e n c e l=( 。 ， ， ， v k ) , w h e r e v i n z a n d v : + ; 一 v ; =( 1 , 0 ) o r ( 0 , 1 ) . we p i c t u r e l b y d r a w in g a n e d g e b e t w e e n v i a n d v i + i , 1 i k 一1 . f o r i n s t a n c e , t h e l a t t i c e p a t h ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 3 ) i s d r a w n i n f i g u r e 1 . 2 . f i g u r e 1 . 2 : l a t t i c e p o l y n o m i a ls a r e p o l y n o m i a l s c r e a t e d fr o m l a t t i c e p a t h s i n w h i c h c e r - t a in e d g e s a r e m a r k e d a n d e v e ry m a r k e d e d g e a c t s t o m u l t i p ly t h e n u m b e r o f p a t h s t h r o u g h t h a t e d g e 妙 x . i n t h i s t h e s i s , w e j u s t s t u d y t h e l a t t i c e p o l y n o m i a l s c r e a t e d妙 t h e l a t t i c e p a t h s i l l u s t r a t e d in f i g u r e 1 . 3 , w h i c h c o n s i s t s o f 2 n e a s t s t e p s a n d n n o r t h s t e p s fr o m ( 0 , 0 ) t o ( 2 n , n ) a n d ly i n g w e a k l y b e l o w t h e li n e ， =x / 2 , a n d a ll t h e o d d n o r t h s t e p s a r e m a r k e d . f o r e x a m p l e t h e e d g e s fr o m ( 5 , 0 ) t o ( 5 , 2 ) a r e m a r k e d 场t h e h e a v y l i n e s t h e n u m b e r o f l a t t i c e p a t h s fr o m t h e o r ig in t o ( 5 , 2 ) is 2 + 3 x + 2 x 2 , c o n s is t in g o f 2 +二 p a t h s fr o m ( 4 , 2 ) a n d 2 +2 x t i m e s x p a t h s fr o m ( 5 , 1 ) . c h a p t e r 1 . i n t r o d u c t i o n 1 4 +2 1 s +1 6 二 ， + ， ， 6 +6 x +2 x 2 6 +1 0 . +1 0 x 2 +5 二 ， 2 +s 2 +3 x +2 x 2 6 +b z +2 x 2 1 6 +b s +6 x 2 1 b +1 1 .+b . l +x 2 +二1 2 +2 s 1 3 +2 =1 3+肠 1 4+3 z f i g u r e 1 . 3 : i f t h e t e r n a r y l a t t i c e p a t h s a r e g i v e n a w e i g h t o f x o n v e r t i c a l e d g e s w i t h o d d h o r i z o n t a l d i s t a n c e , t h e n t h e p o l y n o m i a ls o b t a i n e d a r e t h e d e s c e n t p o ly - n o m i a l s . 1 . 5 s c h r 6 d e r p a t h s a n d l a r g e s c h r 6 d e r nu mb e r s a s c h r o d e r p a t h o f l e n g t h n is a l a t t i c e p a t h fr o m . ( 0 , 0 ) t o ( 。 ， 。 ) c o n s i s t i n g o f s t e p s e a s t ( 1 , 0 ) , n o r t h ( 0 , 1 ) a n d n o r t h e a s t ( 1 , 1 ) , a n d n e v e r l y in g u n d e r t h e l i n e ，=x . t h e n - t h l a r g e s c h r o d e r n u m b e r ， w h i c h c o u n t s t h e n u m b e r o f s c h r o d e r p a t h s o f l e n g t h n .t h e f ir s t f e w t e r m s o f t h e l a r g e s c h r o d e r n u m b e r s a r e 1 , 2 , 6 , 2 2 , 9 0 , 3 9 4 , 1 8 0 6 . i t is t h e s e q u e n c e a 0 0 6 3 1 8 i n t h e d a t a b a s e o n - l i n e e n c y c l o p e d i a o f i n t e g e r s e q u e n c e s ( o e i s ) 5 9 . f o r i n s t a n c e , t h e r e a r e 6 s c h r o d e r p a t h s o f l e n g t h 2 , s e e f i g u r e 1 . 4 f i g u r e 1 .4 : c h a p t e r 1 . i n t r o d u c t i o n 1 . 6 ca t a l a n nu mb e r c a t a l a n n u m b e r s a r e c o m m o n l y d e n o t e d c . ( g r a h a m e t a l . 1 9 9 4 2 6 ; s t a n l e y 1 9 9 9 b , p . 2 1 9 6 1 ; p e m m a r a j u a n d s k i e n a 2 0 0 3 , p . 1 6 9 ) o r ( g o u ld e n a n d j a c k s o n 1 9 8 3 , p . 1 1 1 ) , a n d l e s s c o m m o n l y ( v a n l i n t a n d wi ls o n 1 9 9 2 , p . 1 3 6 ) . t h e fi r s t f e w c a t a l a n n u m b e r s f o r ”=1 , 2 ， 二a r e 1 , 2 , 5 , 1 4 , 4 2 , 1 3 2 , 4 2 9 , 1 4 3 0 , 4 8 6 2 , 1 6 7 9 6 , ( s lo a n e s a 0 0 0 1 0 8 5 9 ) . a n e x p li c it f o r m u l a f o r 氏 i s g i v e n b y c = - 共l 2 n 、 一(2 n )! n十1n/七 n十i 厂 n : ( 1 .6 . 1 ) w h e r e 食 ) d e n o t e s a c e n t a l b i n o m i a l c o e f fi c i e n t a n d 。 ! is t h e u s u a l f a c t o r ia l. t h e c a t a l a n n u m b e r s o n n o n n e g a t i v e i n t e g e r s n a r e a s e t o f n u m b e r s t h a t a r i s e i n t r e e e