（概率论与数理统计专业论文）可进行再保险并具破产值的扩散模型的最优风险控制策略.pdf

摘要 摘要 本文考虑了在可进行非廉价比例再保险并带有破产值的扩散模型中的最优风 险控制问题。此处“非廉价”指的是再保险公司所要求的安全负荷大于原保险公 司要求的安全负荷的情况。最优化的目标是使原保险公司盈余的折现与破产值折 现之和最大。这里“破产”指的是公司流动资产为零的状态。 扩散模型中的最优比例再保险问题已被许多文章考虑过。如h o j g g a a r da n d t a r k s a r ( 1 9 9 8 a , 1 9 9 8 b ) 、t a k s a r a n d h u n d e r u p ( 2 0 0 7 ) 等。h o j g g a a r d a n d t a r k s a r ( 1 9 9 8 a ) 只考虑了廉价比例再保险的问题，h c j g g a a r da n dt a r k s a r ( 1 9 9 8 b ) 将之前的结果扩 展到非廉价比例再保险中。t a k s a ra n dh u n d e r u p ( 2 0 0 7 ) 考虑了带有破产值的廉价 比例再保险问题，是对h # j g g a a r da n dt a r k s a r ( 1 9 9 8 a ) 的另一种扩展。 在本文的扩散模型中，非廉价比例再保险和破产值同时被考虑了。因此，本 文不仅是t a k s a ra n dh u n d e r u p ( 2 0 0 7 ) 的扩展，也是h o j g g a a r da n dt a r l s a r ( 1 9 9 8 b ) 的 扩展。文章采用了随机控制理论的方法，找出了最优风险控制策略及相应的最优 回报函数。由于这里的最优策略及最优回报函数不仅依赖于再保险公司与原保险 公司所要求的安全负荷之间的关系，还依赖于破产值所处的范围，因而计算变得 相当复杂。其中，如何区分不同的状况成为一个难点。 关键词：扩散模型比例再保险破产值h a m i l t o n q a c o b i b e l l m a n 方程 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i d e r st h ep r o b l e ma b o u to p t i m a lr i s kc o n t r o lf o rd i f f u s i o nr o o d e l sw i t hn o n c h e a pp r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e h e r e n o n c h e a p ”m e a n st h a tt h es a f e t y l o a d i n go fr e i n s u r e ri sh i g h e rt h a nt h es a f e t yl o a d i n go f i n s u r e r t h eo b j e c t i v eo fo p t i m i z a f i o ni st om a x j n i z et h et o t a ld i s c o u n t e dr e s e r v ea n dt h eb a n k r u p t c yv a l u e b yt h e t e r m b a n k r u p t c y ”，w er e f e rt ot h es t a t eo fac o m p a n yw h o s el i q u i da s s e t sv a n i s h o p t i m i z a t i o no fp r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c ei nd i f f u s i o nm o d e l si st r e a t e di nm a n y p a p e r s ，e g h 0 j g g a a r da n dt a r k s a r ( 1 9 9 8 a , 1 9 9 8 b ) ，t a k s a ra n dh u n d e r u p ( 2 0 0 7 ) h o w - e v e r , i nh 0 j g g a a r da n dt a r k s a r ( 1 9 9 8 a ) ，o n l yt h ec a s eo fc h e a pr e i n s u r a n c ei sc o n s i d e r e d h 0 j g g a a r da n dt a r k s a r ( 1 9 9 8 b ) e x t e n d st h ep r e v i o u sr e s u l t st ot h ec a s eo f n o n c h e a pr e i n s u r a n c e i nt a k s a ra n dh u n d e r u p ( 2 0 0 7 ) ，a n o t h e rk i n do fe x t e n s i o ni s m a d e ，w h e r et h eb a n k r u p t c yv a l u ep i sc o n s i d e r e d i no u rp a p e r , t h ec a s eo fn o n c h e a pr e i n s u r a n c ea n dt h eb a n k r u p t c yv a l u epa r e b o t hc o n s i d e r e d s oi ti sn o to n l ya ne x t e n s i o no ft a k s a ra n dh u n d e r u p ( 2 0 0 7 ) b u ta l s o a ne x t e n s i o no fh 0 j g g a a r da n dt a r k s a r ( 1 9 9 8 b ) h e r et h em e t h o dw eu s et oh a n d l e t h ep r o b l e mi ss t o c h a s t i cc o n t r o lt h e o r y w ef i n dt h eo p t i m a lr i s kc o n t r o lp o l i c i e sa n d c o r r e s p o n d i n go p t i m a lr e t u r nf u n c t i o n s s i n c et h eo p t i m a lp o l i c i e sa n dr e t u r nf u n c t i o n s n o to n l yd e p e n do nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es a f e t yl o a d i n go fr e i n s u r e ra n dt h e s a f e t yl o a d i n go ft h ec e d e n t ，t h e ya l s or e l yo nt h eb a n k r u p t c yv a l u e ，t h ec a l c u l a t i o n b e c o m e sm o r ec o m p l i c a t e d ，a n dd i f f e r i n gt h ec a s e si sa d i f f i c u l t y k e yw o r d s ：d i f f u s i o nm o d e l sp r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e b a n k r u p t c yv a l u e h a m i l t o n - j a c o b i - b e l l m a ne q u a t i o n n 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 夕i t 娟毕 加略年f 月杉日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年 月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 羔嘏咩 汾硌年j 月“口i - 1印- dtj j ，7 ， c h a p t e r1 i n t r o d u c f i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i np r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e ，t h er e i n s u r e ri sr e q u i r e dt op a yac e r t a i nf r a c t i o no f e a c hc l a i m , w h i l ei nr e t u r nt h ec e d e n t ( i n s u r e r ) d i v e r t st h es a l n eo ral a r g e rf r a c t i o no f a l lt h ep r e m i u m st ot h er e i n s u r e r i ft h es a f e t yl o a d i n go ft h er e i n s u r e ra n dt h ei n s u r e r a r et h es a m e ，t h a ti s ，t h ef r a c t i o no ft h ep r e m i u md i v e r t e dt ot h er e i n s u r e ri st h es a m ea s t h ef r a c t i o no fe a c hc l a i mc o v e r e db yt h er e i n s u r e r , t h e nt h ec o n t r a c ti sc a l l e dac h e a p r e i n s u r a n c e ；i ft h es a f e t yl o a d i n go fr e i n s u r e ri sh i g h e rt h a nt h a to ft h ec e d e n t ，s u c ha c o n t r a c ti sc a l l e dan o n c h e a pr e i n s u r a n c e o p t i m i z a t i o no fp r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c ei nd i f f u s i o nm o d e l si st r e a t e di nm a n y p a p e r s ，e g h 0 j g g a a r da n dt a r k s a r ( 1 9 9 8 a ，1 9 9 8 b ) 1 , 2 】，t a k s a ra n dh u n d e r u p ( 2 0 0 7 ) s t h es e t t i n go ft h e s ep a p e r si sa sf o l l o w s ：w h e na p p l yap r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c ep o l i c y 1 1 ，t h er e s e r v eo ft h ei n s u r a n c ec o m p a n y 霹) i sg o v e r n e db yas d e 埘= 0 一( 1 一( t ) ) 入) 出+ 盯a 。( t ) d w t ， w h e r e t u t ) i sas t a n d a r db r o w n l a nm o t i o n ，p ，入，o ra r ea l lc o n s t a n t sw i t h 入p t h e s t o c h a s t i cp r o c e s s 0 丌( 亡) ) s a t i s f y i n g0 ( t ) 1i st h ec o n t r o lp r o c e s s ，a n d1 一口霄( ) d e n o t e st h ef r a c t i o no fa 1 1i n c o m i n gc l a i m s 。w h i c hi sr e i n s u r e da tt i m et t h eo b j e c t i v e i st ok e e pt h er e s e r v eo nah i g hl e v e l t h a ti s ，t h eo p t i m a lp o l i c y7 r s h o u l ds a t i s f y w h e r ezi st h ei n i t i a lc a p i t a l ，ri sag i v e nd i s c o u n tf a c t o r , i st h er u i nt i m e ，a n d d e n o t e st h es e to fa l la d m i s s i b l ep o l i c i e s t h i sc r i t e r i o no fo p t i m i z a t i o ni sf i r s tu s e di n h 0 j g g a a r da n dt a r k s a r ( 1 9 9 8 a ) 1 1 h o w e v e r , i nh 0 j g g a a r da n dt a r k s a r ( 1 9 9 8 a ) 1 1 。o n l y t h ec a s eo fc h e a pr e i n s u r a n c e ，i e 入= 胁i sc o n s i d e r e d h o j g g a a r da n dt a r k s a r ( 1 9 9 8 b ) 2 j e x t e n d st h ep r e v i o u sr e s u l t st ot h ec a s eo fn o n - c h e a pr e i n s u r a n c e ，i e a 弘i nt a k s a r a n dh u n d e r u p ( 2 0 0 7 ) i s ，a n o t h e rk i n do fe x t e n s i o ni sm a d e - - - - t h eb a n k r u p t c yv a l u ep i s 1 1纠j 矽 丌 尼 n e 靠o l e p n叭眶 = 、l ， 丌 ， 厶 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n c o n s i d e r e d t h a ti s 。t h eo p t i m a lp o l i c y 丌s h o u l ds a t i s f y 五( 丌) - s 御u p e i e 州形( t ) 出+ e p b u ti ta l s oo n l yd e a l sw i t ht h ec a s eo fc h e a pr e i n s u r a n c e i no u rp a p e r , t h ec a s eo fn o n - c h e a pr e i n s u r a n c ea n dt h eb a n k r u p t c yv a l u epa r e b o t hc o n s i d e r e d s oi ti sn o to n l ya ne x t e n s i o no ft a k s a ra n dh u n d e r u p ( 2 0 0 7 ) i s b u t a l s oa ne x t e n s i o no fh 0 j g g a a r da n dt a r k s a r ( 1 9 9 8 b ) 2 1 h e r et h em e t h o dw eu s et o h a n d l et h ep r o b l e mi ss t o c h a s t i cc o n t r o lt h e o r y , w h i c hi sa l s ou s e di nh 0 j g g a a r da n d t a r k s a r ( 1 9 9 8 b ) 2 ，t a k s a ra n dh u n d e r u p ( 2 0 0 7 ) 3 s i n c et h eo p t i m a lp o l i c i e sa n d r e t u r n f u n c t i o n sn o to n l yd e p e n do nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n 入a n d 胁t h e ya l s or e l yo nt h e b a n k r u p t c yv a l u ep ，t h ec a l c u l a t i o nb e c o m e sm o r ec o m p l i c a t e d ，a n dd i f f e r i n gt h ec a s e s i sa d i f f i c u l t y b yt h et e r mb a n k r u p t c yw e r e f e rt ot h es t a t eo fz e r os u r p l u s t h a ti st h ec a s ew h e n c o m p a n y sl i q u i da s s e t sv a n i s h w ea s s o c i a t eav a l u ep t ob a n k r u p t c y w h e nt h ev a l u e pi sn e g a t i v e t h ec o m p a n yi s 丘n e df o rg o i n gi n t ob a n k r u p t c y w h e np i sp o s i t i v e ， w ec a nv i e wi t 笛t h ev a l u eo fn o n 1 i q u i da s s e t s t h i si ss i m i l a rt ot h ei n t e r p r e t a t i o ni n t a k s a ra n dh u n d c r u p ( 2 0 0 7 ) i s i nt h en e x ts e c t i o nw er i g o r o u s l yf o r m u l a t et h em a t h e m a t i c a lm o d e la n dd e s c r i b e t h es t o c h a s t i cc o n t r o lp r o b l e ma s s o c i a t e dw i t hi t i ns e c t i o n3 ，w es e tt h ec o r r e s p o n d i n g h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n ( h j b ) e q u a t i o na n df i n dt h eo p t i m a ls o l u t i o n s i nt h e4 t h s e c t i o n w em a k es o m en u m e r i c a lc a l c u l a t i o nt oi l l u s t r a t et h ed i f f e r e n c e sb e t w e e np = 0a n d 尸 0 i nt h el a s ts e c t i o n , w em a k eac o n c l u s i o no ns u m m a r i z i n gt h em a i n r e s u l t s 2 c h a p t e r2t h es t o c h a s t i cc o n t r o lm o d e l c h a p t e r2 t h es t o c h a s t i cc o n t r o lm o d e l t h ef r a m e w o r kh e r ew et a k et os o l v et h ep r o b l e mi ss i m i l a rt ot h a ti nt a k s a ra n d h t m d e r u p ( 2 0 0 7 ) s f i r s t l y , w ec o n s i d e rt h er i s kp r o c e s si nt h ec a s ew h e nt h e r ei sn o d i f f u s i o na p p r o x i m a t i o n ，w h i c hi sm o d e l e db yac o m p o u n d p o i s s o np r o c e s s ( t ) r ( t ) = x + p l t 一阢， ( 2 1 ) i = 1 w h e r ezi st h ec o m p a n y si n i t i a lc a p i t a l ，p li st h ep r e m i u m r a t e ， ( t ) ) i sap o i s s o n p r o c e s sw i t hi n t e n s i t yp ，w h o s ev a l u ec o r r e s p o n d st ot h en u m b e ro fc l a i m so c c u r r i n g i i lt l l et i m ei n t e r v a l 0 ，1 】，a n dt h ec l a i m s 巩，巩，i n d e p e n d e n to f ( 亡) ) ，a r ei i d r a n d o mv a r i a b l e sw i t hf i n i t ef i r s ta n ds e c o n dm o m e n t sm ，8 2r e s p e c t i v e l y i nt h ec a s eo fp r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e ，t h ec o m p a n yr e i n s u r e saf r a c t i o no ft h e c l a i mb ys e t t i n gt h er e t e n t i o nl e v e la 【0 ，1 】，n a m e l yt h el i a b i l i t yo ft h ei n s u r a n c e c o m p a n y ( t h es oc a l l e dc e d e n t ) f o rt h ep a y m e n to nt h ei t hc l a i mi sr e d u c e df r o m 阢t o 口阢a tt h es a m et i m e ，t h ep r e m i u mr a t ei sa l s or e d u c e df r o mp lt op l 一( 1 一a ) p 2 ， h e r ep 2i st h er e i n s u r a n c ep r e m i u mr a t ew i t hp 2 p z t h u st h ec o r r e s p o n d i n gs u r p l u s p r o c e s sb e c o m e s ( t ) r ( ) = z + ( p 1 一( 1 一n ) p 2t 一n 阢 ( 2 2 ) i = l t h i sp r o c e s sc a nb ea p p r o x i m a t e db yab r o w n i a nm o t i o nw i t ht h ed r i f tp 一( 1 一o ) a a n dd i f f u s i o na o - ，w h e r ep = p l p m ，入= p 2 一p m ，a n do r 2 = p ( s 2 + m 2 ) 。t h ec a s eo f c h e a pr e i n s u r a n c e ，w h i c hm e a n sp 2 = p l ，a n ds o 入= p ，h a sb e e nd e a l tw i t hi nt a k s a r a n dh u n d e r u p ( 2 0 0 7 ) n t og i v eam a t h e m a t i c a lf o r m u l a t i o no ft h eo p t i m i z a t i o np r o b l e m ，w es t a r tw i t ha p r o b a b i l i t ys p a c e ( q ，厂，p ) ，e n d o w e dw i t ht h ef i l t r a t i o n 【兀) a n das t a n d a r db r o w n i a n m o t i o n 毗) a d a p t e dt o ) a na d m i s s i b l ep r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c ep o l i c yi sa p o l i c yt oc h o o s et or e i n s u r a n c e af r a c t i o n1 一口 r ( t ) o f t h ei n c o m i n gc l a i m sa tt i m et ，w h e r e ( t ) ) i s 乃) m e a s u r a b l e a n ds a t i s f i e s0 o 仃( t ) 1f b ra l lt 0 t h es e to fa l la d m i s s i b l ep o l i c i e si sd e n o t e d 3 c h a p t e r2t h es t o c h a s t i cc o n t r o lm o d e l b y u n d e rt h ep o l i c y7 ft h ed y n a m i c so ft h ec o n t r o l l e dp r o c e s s 【忌) i sg i v e nb y 哪= 0 一( 1 一( t ) ) 入) 出+ 盯a 霄( t ) d w t ， 瑶= z ， ( 2 3 ) ( 2 4 ) h e r ezi st h ec o m p a n y si n i t i a lc a p i t a l t h e b a n k r u p t c yo rt h er u i nt i m ei sd e f i n e da st h ef i r s th i t t i n gt i m eo f0b yt h er i s k p r o c e s s ，r e p r e s e n t e da s ： = i n f t ：r 7 o ) ， f o rag i v e na d m i s s i b l ep o l i c y7 1 ，w ed e f i n et h er e t u r nf u n c t i o nb y 殛 厶( 丌) = 硪卜叶2 彤( 懒+ e 叫叫， ( 2 5 ) b h e r et h es u b s c r i p tzr e f e r st ot h ei n i t i a lc a p i t a li n ( 2 4 ) o ft h ec o n t r o lp r o c e s s 碍) ，ri s ag i v e nd i s c o u n tf a c t o ra n dpd e n o t e st h eb a n k r u p t c yv a l u e t h eo b j e c t i v ei st of i n dt h eo p t i m a lr e t u r nf u n c t i o n v ( z ) = 五7 1 ) = s u p 以( 7 r ) ， i r e w h e r e7 r d e n o t e st h eo p t i m a lp o l i c y , w h i c hw ew i l la l s of i n d 4 ( 2 6 ) c h a p t e r3t h ei - i be q u a t i o na n d i t ss o l u t i o n c h a p t e r3 t h ei - d be q u a t i o na n di t ss o l u t i o n t h ef o l l o w i n gt h e o r e ms h o w st h a t i no r d e rt of i n dt h eo p t i m a lr e t u r nf u n c t i o n y ( z ) ，o n en e e d st os o l v ean o n l i n e a ro d e c a l l e dt h eh a m i l t o n - j a c o b i - b e l l m a n ( h j b ) e q u a t i o n t h e o r e m3 ia s s u m e ，c 2 ( ( o ，o o ) ) nq ( 【o ，o o ) ) ( 俨( ( o ，。) ) 括t h ec o l l e c t i o n 盯a l l2 - t i m e sc o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n so n ( 0 ，o o ) jq ( 【o ，o o ) ) i s 舭c o l l e c - t i o no f a l ls u c h f u n c t i o n sw h o s el - t i m ep a r t i a ld e r i v a t i v ea r ep o l y n o m i a l l yg r o w i n go n 0 ，。o ) a f u n c t i o nq i sc a l l e d p o 枷o m i a l l yg r o w i n gi f t h e r ee x i s tc o n s t a n t sn ，m 0 ， s u c ht h a ti q ( z ) i n ( 1 + z m ) ，比 0 ，o o ) ) i s 口s o l u t i o nt ot h e f o l l o w i n gh j be q u a f i o n ： 口m e i a x o , i 睦t r 2 a 2 f ( z ) + ( 弘一( 1 - a ) a ) ，协) - r f ( z ) + z _ 0 ( 3 1 ) w i t hb o u n d a r yc o n d i t i o na to ： f ( o ) = p ( 3 2 ) a n da ti n f i n i t y ： 面l f ( x ) l 弘s i m i l a rt ot h em e t h o du s e di n t a k s a ra n dh u n d e r u p ( 2 0 0 7 ) 3 1 ，w es u p p o s et h a tfi sf o u n da n dt h e r e e x i s t s 秒【0 ，o o ) ， s u c ht h a ta ( z ) s a t i s f i e s0 bi s x ( z ) = 【c ( p a ) 日( ) e z g ( ) + 七2 e y g ( e 翟) 】劫+ = k ( e 。) + 乜， ( 3 1 6 ) w h e r e k ( z ) = 【c 一入) 日( 可) 夕( y ) + 扔夕( y ) 】匆，d r z e b ( 3 1 7 ) c 口 b yx ( b ) = 0 ，w eg e tk s = 0 s ow eo b t a i nx ( z ) = g ( e 。) 7 c h a p t e r3t h eh j be q u a t i o na n di t ss o l u t i o n n o wa s s u m ek ( ) i si n v e r t i b l eo n as u f f i c i e n tl a r g es e t ( t h i sw i l lb es h o w nl a t e r ) t h e nf r o mt h ed e f i n i t i o no fx ( z ) w eh a v e l n ( 八圳- l n ( 南) ， w h i c hr e s u l t si n w h e r e ，7 ( z ) = f 由x 、= 一 k - 1 ( z ) k ( k q ( z ) ) ( k 。( z ) ) 2 k ( z ) = c 一a ) h ( z ) g ( z ) + k 2 9 ( z ) i st h ed e r i v a t i v eo fk ( z ) i n s e r t i n g ( 3 1 8 ) ，( 3 1 9 ) i n t o ( 3 8 ) ，w eo b t a i n a ( z ) = - 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