（计算数学专业论文）保结构算法的研究.pdf

摘要 这篇硕士论文总结了我们在哈密尔顿系统保结构算法方面的一些研究工作。 首先我们在经典哈密尔顿系统j e t 辛差分格式 8 的基础上，给出了一般哈密尔顿 系统的j e t 辛差分格式的定义。并利用带有变系数辛矩阵的一般哈密尔顿系统中 构造辛差分格式的生成函数法的思想，来建立由一般的反对称矩阵所确定的微分 二形式与生成函数的关系，再利用哈密尔顿一雅可比方程来构造j e t 辛差分格式。 另外我们还证明了 9 】中的d e l ( 离散e u l e r l a g r a n g e 方程) 存在个离散形式 的几何结构，它沿着解是不变的，这个结构可以通过对离散的作用量函数求导得 到。由此，我们也就证明了此格式的j e t 辛性质。利用这个结构我们还证明了此 d e l 方程满足离散的动量守恒形式。 关键词：哈密尔顿系统，辛算法，生成函数，j e t 辛，动量守恒 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r w ef i r s td e f i n et h ej e t s y m p l e c t i c d i f f e r e n c es c h e m e so ft h e h a m i l t o n i a ns y s t e m si ng e n e r a ls y m p l e c t i cs t r u c t u r ew i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sa n d c o n s i d e rt h ec o n s t r u c t i o no fj e t s y m p l e c t i c d i f f e r e n c es c h e m e s f o rc l a s s i c a l h a m i l t o n i a ns y s t e m s i nt h es e c o n dp a r tw es h o wo n ed e l e q u a t i o nw h i c hw a n g h a s g i v e d e x i s t e n tt h ef u n d a m e n t a lg e o m e t r i cs t r u c t u r e sa sw e l la st h e i r p r e s e r v a t i o na l o n g s o l u t i o n st h a tc a nb eo b t a i n e dd i r e c t l yf r o mt h ev a r i a t o n a lp r i n c i p l ei np a r t i c u l a r ，w e p r o v e t h i sd i f f e r e n c es c h e m e sa r ej e t s y m p l e c t i c a n du s et h i ss t r u c t u r et o p r o v e n o e t h e r st h e o r e m k e y w o r d s ：h a m i l t o n i a ns y s t e m e s ，s y m p l e c t i cm e t h o d ，j e ts y m p l e c t i c ，m o m e n t u m p r e s e r v i n g i i 独创性声明 x 6 6 2 9 7 4 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知除了文中特别女e 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国工程物理研究院或其他 教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者豁氽锋平签字瞧哗卵弓旧 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解并接受中国工程物理研究院研究生部有关保存、使 用学位论文的规定，允许论文被查阅、借阅和送交国家有关部门或机构，同时授 权中国工程物理研究院研究生部可以将学位论文全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 学位论文作者签名 余辞平 签字日期：瑚千年孑月3 日 一名：妒阳 导师签名： 寸，r7 口l 碳 签字日期：加午年j 碉；f 日 保结构算法的研究 第一章前言 哈密尔顿系统开始是由h a m i l t o n 在1 8 2 4 年提出的，当时仅仅是为了给几何 光学问题一个适当的数学描述。但是后来发现这种形式非常优美，并且具有很好 的对称性，不仅如此，h a m i l t o n 于1 8 3 4 年成功地把它应用于一个完全不同的领 域解析动力系统。接下来j a c o b i 也作了非常重要的工作，他将其发展成经典 力学中的一个完整的数学框架，并且指出了它可以通过l e g e n d r e 变换与牛顿和 拉格朗同力学等价起来。到此为止实际上己经建立了分析力学的初步框架。但是 在后来的相当长一段时间里，哈密尔顿系统并没有引起数学界的足够重视，其理 论价值和应用价值没有被完全的认同。 到了十九世纪九十年代，庞加莱首先建立了哈密尔顿系统的，l 何框架，加上 后来c a k a n ，b i r k h o f f , w e y l ，s i e g e l 等人在二十世纪所作的一系列工作，现在哈密 尔顿系统的思想已经渗透到了力学的各个学科，如连续介质力学、量子力学等。 k o l m o g o r o v a m o l d m o s e r 关于可积哈密尔顿系统在小扰动下的周期轨道的不变 性的研究进一步触发了大家的兴趣，他们的研究让人们看到了哈密尔顿系统的重 要性。接着，k e l l e r m a s l o v 利用基于辛几何的w k b 方法来研究波动方程，特别 是薛定谔方程的渐进问题，从而拓展了w k b 方法在散焦的奇异情况下的应用范 围。至此，到最近的几十年里，在纯数学和应用数学的各种领域里，人们对哈密 尔顿系统的研究兴趣及其重要性的认识不断增加。目前哈密尔顿系统除了作为分 析力学，几何光学的基础外，还与李群的酉表示( k 训l ov ，k o s t a n t ) ，伪微分算子 ( h r m a n d e r ，e g o r o v ) ，奇点的分类( a r n o l d ) ，非线性发展方程的可积理论，优化 控制理论等等，有着紧密的联系。同时它还可延展到多种理论的无限维领域，包 括流体力学，弹性力学，电动力学，等离子体物理，相对论等等。现在看来，所 有可忽略耗散的实际物理过程都可以与哈密尔顿系统建立起某种联系。哈密尔顿 系统正在成为物理和工程科学领域最有用的数学工具之一。不仅如此，作为哈密 尔顿系统基础的辛几何的研究目前也一t 分被大家重视。 众所周知，哈密尔顿系统具有许多重要的性质 1 0 1 ：如动量和能量的守恒定 律等等。对于自制哈密尔顿系统，相流的正则性，是其最重要的性质之一，它确 保结构算法鲍研究 保了相体积的守恒性。可想而知，保持差分格式从一个时间步长到另一个时间步 长变换的正则性在哈密尔顿系统的数值计算中将是非常重要的事情。以此为出发 点，冯康f 1 系统提出了辛差分格式的概念，要求由差分格式诱导的变换是正则 的。 自冯康提出辛算法以来，人们发现哈密尔顿系统的辛差分格式具有高分辨 率、高逼真度、长期跟踪，误差线性增长等优点，因此，它一经提出便引起了国 内外研究人员的广泛关注r u t h 0 9 8 3 ) 1 3 ，c h a n n e l l ( 1 9 8 3 ) 1 4 m e n y u k ( 1 9 8 4 ) 1 5 】， f e n g ( 1 9 8 5 ，1 9 8 6 a b ) 1 ，1 6 ，1 7 】。 早期的辛差分格式构造方法主要可分为两类，一类是冯康发展起来的生成函 数法 6 ，另一类与一般r u n g e k u r a 方法的构造过程类似。生成函数最早是十九 世纪为了求解经典力学中的哈密尔顿系统而被引入的，它利用哈密尔顿一雅可比 偏方程的解简化哈密尔顿系统。f e n g k a n g ，w u h m ，q i n m z ，w a n g d l 6 等通过 建立哈密尔顿系统相流的生成函数所满足的哈密尔顿一雅可比偏方程，寻找其形 式幂级数解并截断而得到了辛差分格式。此方法除了可用于构造辛差分格式外还 有其重要的理论价值。但是，它作为一种微分方程数值格式的构造方法，对于 般工程技术人员而言太过艰深，要求掌握的数学基础太多，特别是在构造高阶格 式时非常复杂而且不直观。第二类构造方法要简单一些，它基本上与一般差分格 式的构造方法样，不过要额外附加一个保结构的方程。但其可应用的范围较小， 主要适应于r u n g e - k u t t a 类方法。参考s a n z - s e r n a 5 ，l a g a s n i 1 8 和s u r i s 1 9 】。 由于r u n g e k u t t a 方法的阶数条件较为复杂，加上辛条件以后，侵其更加复杂以 至于构造高阶格式变得十分困难。 另外，辛算法的概念也在被不断地拓广。例如，在将辛算法思想应用于无源 动力系统中时，由于无源动力系统相流保持体积不变，因此，在选择差分格式时， 就要求差分格式保持这种性质【2 0 。此外，还可以将其思想推广到切触动力系统， 其保结构算法称为切触格式 2 2 。以及n a m b u 系统的保结构算法等等。人们统 称之为几何算法或保结构算法。如何自然地用保结构算法求解无穷维系统也是人 们普遍关心的问题之，譬如如何应用辛算法于流体力学数值计算中去 2 3 】，如 何应用辛算法求解薛定谔方程1 4 8 等等。 保结构算法的研究 综上所述，h a m i l t o n 系统的辛差分格式的研究已经取得了很大进展。但是， 作为一种数值方法，最好它能象有限元方法一样为广大工程和科学技术人员所掌 握。这里遇到的第一个问题就是格式的构造问题，就上面这两种构造方法的特点 而言显然是不够的。而且我们也没有构造出更多更好的的辛格式供工程技术人员 选择。相对于以上两种方法构造的算法而言，多步格式和显式格式在大规模科学 工程计算中的优势是很明显的。所以如何系统而有效的构造多步辛格式和显式辛 格式一直是辛算法研究中的一个重要问题。许多研究者进行过此方面研究，譬如 f e n g 2 4 提出了步进算子的概念，从而给出了一种辛多步法的标准，但是t a n g 2 5 证明了对一般哈密尔顿系统没有线性多步法满足这个如此严格的要求。 经过近几年的工作，我们已经知道，保结构算法的思想同样适用于欧拉一拉 格朗日系统，而它的保结构算法可以通过欧拉拉格朗日系统的离散变分原理得 到。 我f i n n 道，欧拉一拉格朗目系统可以通过勒让德变换变为哈密尔顿系统，而 对于哈密尔顿系统，大家公认的好的数值方法是辛算法。那么自然产生如下的问 题，能否直接针对欧拉一拉格朗日系统构造和哈密尔顿系统的辛算法一样好的数 值算法? 此想法的产生主要基于如下几个方面的考虑：( 1 ) 欧拉一拉格朗日系统 是物理空间的问题，而哈密尔顿系统是相空间的问题，如何在物理空间完成保结 构算法设计对求解偏微分方程( p d e ) 非常重要；( 2 ) 对实际问题，欧拉一拉格 朗同并不总能转换为哈密尔顿系统，譬如，当勒让德变换不能显式得到时，或当 对欧拉一拉格朗日系统提以边值条件时；而最重要的是( 3 ) 欧拉一拉格朗日系 统包括了许多重要的p d e ，对他们而言，目前还没有勒让德变换及与之对应的 哈密尔顿系统的概念，但如何适当地数值求解这些p d e 又是微分方程数值方法 研究者的首要任务。 如果随便地离散哈密尔顿原理，那么我们不可能期望得到的算法具有很好的 守恒性质。 m a d a e ( 1 9 8 1 ) 3 0 】，v e s e l o v ( 1 9 8 8 1 2 7 ，1 9 9 1 2 8 1 ) ，m o s e r 和v e s e l o v ( 1 9 9 1 ) 【2 9 考虑哈密尔顿原理对时间的离散时，使其依旧是求离散的作用量函数的极小 堡笪塑塑整塑堕塑 值问题。而且证明了由此导出的d e l 方程保持了一个辛形式。b a e z 和o i l l i a r n ( 1 9 9 5 ) 3 1 导出了相同的力学离散过程，而且他们还建立了无穷小对称的离散 的若特定理。 构造积分算子的出发点不同，能导8 1 许多离散的力学形式。m a e d a ( 1 9 8 i ) 3 0 1 基于d i f f e r e n c es p a c e 的概念构造了一种离散的力学形式，作者告诉我们如何从哈 密尔顿变分原理的离散形式导出离散方程来。后来v e s e l o v ( 1 9 8 8 ) f 2 7 1 也同样用 到这种离散。m a e d a ( 1 9 8 1 ) 3 0 也给出了若特定理的一种形式。l a b u d d e 和 g r e e n s p a n ( 1 9 7 4 ，1 9 7 6 a ，b ) 3 2 ，3 3 ，3 4 也给出了种离散形式，但是它并不是从变分 原理推导而来的。相应的这种算法保持了能量和动量守恒。而m a c k a y ( 1 9 9 2 ) 3 5 1 则探讨了变分原理的离散问题，也包括l e w i s 和k o s t e l e c ( 1 9 9 6 ) f 3 6 。m a r s d e n 等人( 1 9 9 7 ) 则在v e s e l o v ( 1 9 8 8 ) 的理论基础上，作了大量的工作，他们证明 了离散的若特定理，而且给出了数值试验。然而，通过这种方法获得的辛积分通 常并不是保持能量守恒的。这是由于固定了时间步长的缘故。为了获得能量守恒 的辛积分，可以通过变时间步长和离散的全变分来实现，参看m a r s d e n ( 2 0 0 0 ) ，h a n y i n gg u o a n dk e w u ( 2 0 0 t ) 。其基本思想是构造一个离散的作用量 函数，然后对它进行全变分来导出d e l 方程。当这种方法固定时间步长时，在 某些时候，它与m a r s d e n ( 1 9 9 7 ) 中的离散方法等价。 s i m o 和他的同事们发展了许多种能量一动量积分。例如s i m o 和t a r n o w ( 1 9 9 2 ) 3 9 。在g o n z a l e z ( 1 9 9 6 a ) 中，能量一动量积分是基于离散的方向导 数和哈密尔顿力学的离散形式推导出来的。能量一动量方法还可参看 g o n z a l e z ( 1 9 9 6 b ) 。多体问题的辛的，能量和动量守恒的差分格式在l e w i s 和 s i m o ( 1 9 9 5 ) q = 已经给出了。 还有些作者离散最小作用量原理来代替哈密尔顿原理。i t o h 和a b e ( 1 9 8 8 ) 3 7 基于差商的思想推导出了保持哈密尔顿函数的算法。不用微分，而用变分的差商， 使作用量极小化。这个发展成变时间步长的多步法。最小作用力原理被 s h i b b e r u ( 1 9 9 4 ) 以另一种不同的方式离散。摄后得到的方程明确的使能量守恒， 而且方程保持了二次不变量。 保结构算法的研究 切丛为微积分建立了一个恰当的几何框架，从而也成为了一阶微分方程研究 的有用工具。 e t 丛作为切丛的一种推广，自然成为了微分方程几何理论研究的 基础，它也被应用于刻画变分问题。所以j e t 丛是保结构算法研究的理想平台。 通过将微分j e t 丛理论推广到差分， 8 将哈密尔顿系统与辛结构延拓到差分j e t 丛上，从而给出了审视辛算法的另一个观点。进一步王双虎于1 9 9 6 年提出了i e t 辛差分格式的概念【7 。推广了辛算法，避免了上述两种构造方法的难点。它还 可以构造出多步保结构格式，从而可以对一般h a m i l t o n 系统得到显式格式。 本文中，我们推广j e t 辛差分格式的概念到般哈密尔顿系统，并进一步通过 一般哈密尔顿系统的生成函数法的思想，构造了一类新的j e t 辛差分格式。把j e t 辛思想应用到欧拉一拉格朗日系统中，证明了t ( 1 9 9 9 ) 中给出的差分格式的j e t 辛性，给出了它所保持的二形式的具体形式。以及证明了在此种离散下，所得到 的d e l 方程满足离散的若特定理。 这篇文章分为两部分，第一部分主要是介绍构造i e t 辛格式的生成函数法。 第二部分是证明了所给的d e l 方程满足离散的若特定理。具体安排如下：第一 部分第一节主要是一些基本概念的简单介绍。第二节是回顾了一般哈密尔顿系统 的生成函数法。第三节首先介绍了正则哈密尔顿系统的j e t 辛差分格式的概念， 然后给出了一般哈密尔顿系统的j e t 辛算法的概念。第四节利用一般哈密尔顿系 统生成函数法的思想，通过生成函数来构造正则系统j e t 辛的差分格式。并进行 了数值试验。第二部分第一节介绍了欧拉一拉格朗日系统的哈密尔顿原理，若特 定理以及拉格朗日系j e t 辛算法的概念。第二节主要是介绍了欧拉一拉格朗日系 统的一个d e l 方程满足离散的若特定理。 保结构算法的研究 第二章构造哈密尔顿系统j e t 辛差分格式的生成函数法 1 基本概念 1 1 哈密尔顿系统 我们考虑具有n 个自由度的动力系统，它的相空间r “= r ；r ；是2 n 维实 空间，其上代表元为2 n 维列向量：= ( ：。，= 。，z 2 n ) 7 ，t 表示矩阵的转置。z 通常 也记成z 这里：q = ( g 一，吼) 7 。= ( ：。，z ：。) r ：，p = ( a ，p 。) 7 ( z ，乙) 7 r ；，r ；是构型空间，它的点q 表示系统的位置，r ；是动量空间 它的点p 表示系统的动量。 在相空间r2 ”上，给出一个标准的辛结构一“基本”的微分2 一形式 ：窆印，n 由，：窆出，n 出。= 丢出7n 胧 f = l净1 也就是说，对v z r “，一个双线性的反对称形式 心，叩) ：= 却 这里 = ( # 一，孝：。) ，7 _ ( 叩一，口：。) 7 是在z 点的任意一对切矢量，j 是标准的 反对称矩阵： ，= 一：。台 ，7 = 一，= = ，d e t j = 1 微分形式是非奇异的，闭的，也就是说，d o ) = o 。 ，0，j巴 保结构算法的研究 为 令厂：r 2 ”jr 2 ”是个可微映射，zer 2 ”。厂( z ) r “，其相应的雅可l i l y 4 可 & 甄 ， 阢。 5 z ， 映射厂，对于任意一点ze r “，诱导出一个从z 点的切空间到厂0 ) 点的切空间 的线性映射工： 善= 偕l ，考：。) 7 斗工g = 笔 同样，对于r2 “上的任意_ 个微分二形式历，f 也能诱导出r 2 ”上的一个微分二 形式f 面： 厂撕) = = 面( 耜割。、 ，+ 也称为f 的拉回。 如果西心，叩) ：= 掌7 爿( z ) 7 7 ，爿7 0 ) = 一4 ( ：) ，那么厂面皓，叩) = 善7 8 0 h ，这里 醉爿妙( ：”篆 定义：r2 上的一个微分同胚( 可微的，一对一的，到上的映射) 厂称为正则变 换，如果它保持标准的辛结构，也就是说：厂+ = 国，等同于： 。，笔= ， 还可以是对任一点：它的雅可比矩阵霎是辛矩阵! 选择一个光滑函数h 0 ) ：h t ，：。) = h ( 所，p 。，扎g 。) 。方程 保结构算法的研究 称为哈密尔顿系统。h ( z ) 称为哈密尔顿函数。为了方便，我们也可以把( 1 1 ) 写成为： j = j 1 v h ( z 1 对于哈密尔顿系统( h 1 ) ，存在r 2 ”上的一个单参数微分同胚群g ，至少在t 和z 的局部是存在的，满足： g o = i d e n t i t y g 1 + 2 = g “g 2 还满足，如果选取z ( o ) 为初始条件，那么系统( 1 1 ) 的解可以由下式生成 z o ) = g t z ( o ) g 。也通常称为是哈密尔顿系统的相流。 哈密尔顿系统( 1 1 ) 最基本的一个性质就是g 是正则变换 g ”0 9 = 国 正则变换妒：r 2 ”寸r “：妒( p ，g ) = ( p ( p ，q m - ( p ，g ) ) ，那么1 一形式p 由一p d q 是一个全微分：p 由一p d q ：砸( p ，口) 。若变换妒是自由的，即在某点b ，g ) 附近 可取( q ，g ) 为独立坐标，这时函数s 就可以局部的用新坐标表示： s ( p ，g ) = sl ( q ，q ) 。s ；就是正则变换妒的生成函数。 每个函数也可以通过下式给出一个正则变换妒 盟翌印 一一 = p g 保结构算注的研究 堕幽：p 坠蝗：! ! ：一尸 a q 此时h ( p ，g ) ：h ( p ，q ) ：h f 塑掣j g ，h ( p ，q ) 是( p ，q ) 的哈密尔顿函数 o qj 满足正则方程。 一般而言，r2 “上的一般辛结构形式如下 = 妻艺t 。( ：) 出。 出，= 去出7n k o ) 出a 。f ，i 一 方阵k ( z ) = ( 女。( z ) ) ，f ，= 1 , , - - , 2 n 。此二形式是非退化的，封闭的，且还满足 。皓，叩) ：1 7 k 0 h ，k7 ( ：) = 一芷0 ) ，d e t x ( z ) o 这里f ，r 同上。二形式脚。的j 退化性和封闭性等价于d e t k ( z ) ：0 ，以及女f ( z ) 满 足条件： 型+ 掣+ 掣_ 0 ，训- 1 勘。 ( 1 2 ) 0 z 0 z i e ：i 在此情况下，哈密尔顿系统的形式为 _ d z = k - 1 0 妒日( ：) ，t 。= 一女 出 一 。” 这里，h ( ：) 是哈密尔顿函数。 同样地，系统( 1 3 ) 的相流也是保持二形式0 9 。不变的。 ( 1 3 ) 定理( 达布) ：令( 0 2 是r2 ”的x 点邻域中的闭的非退化2 - g - 删，则在x 的某 个邻域中可以选一个坐标系( p l ，一，p 。，q ，q 。) 使此微分形式有标准形式 m 2 = 咖n 幽= 咖。，、面。 保结构算法的研究 达布定理建立了所有辛结构之间的等价性：每个非奇异的闭的2 - 形式。都能在 局部通过坐标变换：寸w ( ：1 变成标准的形式： t 。o 皿，n 出。= 咖。a d w + 不过，通常找到这个变换是比较困难的。 1 2 辛差分格式 由于辛性是哈密尔顿系统一个重要的性质特征，那么一个很自然的想法就是 希望所选择的数值方法也具有这个性质。 定义：一个数值的一步方法称为是辛的，如果这个一步映射y ，= 中。) 应用到 一个光滑的哈密尔顿系统上，它是辛映射。 下面给出几个辛差分格式的例子： a 隐式的中真格式：儿+ ，：y 。+ a - - v h f 半 它是二阶辛格式。 b辛欧拉方法： h o h ( d 。岛) ，。+ 掣硪) o qo p 它的伴随虢，鸹一a 等。) + 1 - ” 掣o p 。) 这两个辛方法都可以通过生成函数法构造出来。 c四阶高斯方法 保结构算法的研究 l311 , 3 26446 13 1 ，, 3 1 ，44 1l 22 它是辛r u n g e k u t t a 方法。 2 一般哈密尔顿系统辛差分格式的生成函数法 龇 七。小 豆( 乏= ) = k 乎一羔( ：) ，一个光滑映射 g ：r 2 ”斗r 2 “，j = g ( ：) ，称为k ( z ) 一辛的，如果它的雅可比矩阵m ( ：) = gz ( z ) 满 足： m ( = ) k ( g ( ：) ) m ( z ) = l q z ) l ，。一霞( j ，= ) 定义了r 4 ”上的两个辛结构 咖2 ，q“如i k 。( z ) d z | a d zj 1 定义：一个2 n 维子流形上c r4 “是一j 。( 詹( 毛z ) ) 一拉格朗日子流形，如果 这里i l ：。r 4 ”是包含映射。 假定l 的局部坐标为 t q = 0 ( f ：q = 0 ) 上： 2 。r 。i ：( 。l j ：x ) , xe u c r 2 n , 开集1 j 1 j 那么l 是j “一拉格朗日子流形，当且仅当 冯康等人首先给出了正则系统的生成函数方法，后来又推广到了一般哈密尔顿系统中去，本小节主要是回 颇一般哈密尔顿系统的生成函数法，为后面构造j e t 辛格式做准备。 茔 xp、= f h 州 1 2 p 谚 n h i l q 保结构算法的研究 i 息，( x l = 孙) 1 鬈。私l - l 。) 1 ) ) = 。 l 是足( j ，：) 一拉格朗日子流形，当且仅当： 帆) j 1 霞( ：( x lz g ) 汲上= 0 i 息，o ：g l ：g 4 k 吾。 一k 吕扛) ) ( 耋凄匀= 。 我们容易证明它的图像：= 舡习e 矿忙= g c 巍ze 月2 ”) 是霞c j ，z ，一拉格朗日 子流形。 令“一i = ，( “) 是一从r 2 ”到尺2 ”的梯度映射。那么类似地，我们有映射f 的 图像：r 一，= 暖 e r “忙= g c ，“er 。1 ) 是，“一拉格朗日孑流形。 给出一个从r4 ”到自身的非线性变换 蚓斗 o 的雅可比矩阵记为a 。 口，仨，z ) = d z t6 u e zo z a “o u 0 zo z 口- 斗( 习 j = 口1 ，“) ：= 口2 0 ，列) r a 。b 。 2 l c 。见j 力刁协眨 = 1 i “ 材 e “川0 o k i 0 o ， k 一 l br1j 露 吃眈 以d ，丌i 且 杉 k o 斛 。巩 足叮1 0黼纠腿陋 分微是口令 保结构算法的研究 由d a r b o t k x 定理可知，这样的微分同胚映射至少是局部存在的。 我们考虑一般的哈密尔顿系统 _ d z ：k ( z ) v t t ( z ) ，：r 2 ” ( 2 1 ) 盘f 其中日( ：) 为哈密尔顿函数。它的相流为：g7 ( z ) = g ( z ，) = g 。( ：，f ) 。g ( z ，) 是x ( z ) 一单参微分同胚辛群。如果z 。是一初始点，那么：4 0 = g ( ：。) = g ( z 。，f ) = g h ( ：。，r ) 是( 1 1 ) 以初始值为的解。另外： g 沁，t ) k ( g ( z ，r ) k ：( ：，r ) = k ( z ) ，v t r ( 2 2 ) 定理2 1 ( n n 7 i ) ：口如上所定义，z j j = g ( z ，f ) 是哈密尔顿系统的( 2 1 ) 的相 流，它的雅可比矩阵记为m 0 ，r ) = g zz ，t ) 。如果在某个z 。点， l c 。z 。，氐) + d 。z 。，z 。1 0 ，那么，对于充分小的m 在毛e r 2 ”的某个邻域里， 存在一个时间相关的梯度映射“斗i = f ( u ，f ) ，它的雅可比矩阵( “，f ) = l ( u ，r ) 是 对称的，以及一个时间相关的生成函数丸。0 ，) = 0 ，) ，满足： ( “，r ) = v 0 ，t ) 至! ! 坚型：一日忙( v o ，f l “) ) ：一疗( v 庐( “，f l “) d r 0 2 1 k ( ：，f ) ) z ) = v 扛：皓( ：，x ：l f ) ， 在：。的某个邻域 ( 2 3 ) ( 2 4 ) f 2 5 1 、r ：。m + b 。x c 。m + d a ) ，肘= a 。n + b “x c 8 + d “) _ 1 ( 2 6 ) 这里疗，“) = 0 ) 。盘1 ，“) 。 f 24 ) 也称为哈密尔顿系统( 21 ) 和非线性变换口的哈密尔顿一雅可比方程。 走理2 2 ( 参看【7 】) ：令h 0 ) 丰t l a 是解析的，那么对于充分小的，生成函数 州( “，r ) = 哆0 ，f ) 可以写成按f 展开的收敛列的形式： 保结构算法的1 | l = 究 ( “，f ) =0 1 2 其中矿【。0 ) ，k o 可以有下列方程递归地确定 0 ) = f 厂( “，o 胁+ c o h s i ( “) = 一f - ( f ( u ，o l “) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( ( “) 一击童去”乏，：。w 膏庐h o ) ，v o ) l t 1 ( 21 。) 其中，( 2 8 ) 的积分是沿着连结“和= 0 2 ( 知，z 。) 的曲线进行的，豆( 番。“) = h 。口1 ( 二，“) 。这里，我们用到了多重线性形式的记号，例如： 硝曰( v 扩( “) ，v 步( “” = 芝疗“， 汐0 ，o ) ，“) ( v 庐( ) f 勺驴( k i ，= h 虮丘。u 恤，o “胛”“h 甲， f 【，_ = 1 ( v ? 1 。是列向量( v ) 的第f 。个元素。 定理2 3 ( 参看【7 】) ：令口如上所定义，h 0 ) 是解析的。对于充分小的时间步长 r 0 ，取 ， y 0 ，f ) = 。0 弦，m = l ，2 ( 2 1 1 ) ，；0 这里( ，0 ) 由( 2 8 ) ，( 2 9 ) 和( 21 0 ) 所给定。那么：i = y “0 ，r ) 给出了哈密尔顿系 统的k ( z ) 一辛差分格式：z = z 。斗；三：。+ o t ( ：。，z 。) = v 。妒”如! ( ：。z 。l r ) 它具有m 阶精度。 3 哈密尔顿系统的j e t 辛算法 考虑平凡丛( 尺”qr “，品，r ”) 其光滑截面的全体即所有的光滑映射 保结构算法的研咒 o ：r 一只”， 妒b 一，b ) = ，y 。) 记为0 ，它是实线性空间。令e 。，k = 1 ，m 为r 上的平移变换 e 。g 。，x 。，一，x 。，) = ( x 。，一，x 。+ h 。，一，x 。) ， 这里所有h 。都是实的常数，称为步长。e 。的逆巧1 ，以及e 。与e ，的乘积通常定 义为： e i l b ，一，x 。，一，x 。) = ( x ，一，x 。一 。，一，x 。) e k e 。( x ，一，x 。，一，x 。) = ( x 。+ ，- t ：x 。+ 。，一，x 。) 容易看出e ，e = e j e ，( i 1 ) 7 = e i 7 。 给定两个整数指标9 = 扛1 ，口。) ，卢= 】，- ，卢。) ，这里“，屈ez 。自然， 口卢z m 。如果a ，卢。，v f = 1 ，m ，我耵j 就说d p 。让e = ( e 1 ，一，e 。) ，那么定 义：e “= e ? - e ：。 给定一点x r “，对于妒。，p ： ，如果er g o 。伍) = e r e ：伍) ，对所有整数 指标y ，满足：a y 卢，我们就说妒，与妒：等价，记为：妒。印妒：，或者等价 于：妒。一妒：。o ，这里。是( r ”。尺”，z ，r “) 的零子集。让。：伍) = 扫l 妒印o 。 我们容易看出：伍) 是。的一个子集。 定义微分j e t 空间i ，：伍) 为 ，：( x ) ：。中：( x ) = 移i 妒e 。，砬= 妒+ 伍) ) 当口：卜。，。，一。) ，卢= b ，。) 时，我们记，：( ) 为i ，”哆) 。让 保结构算法的研究 j 。= u 。j 。) ，：= u 。，：伍) ，0 ：，寿，r “) 就称为微分j e t 丛。 现在我们考虑一个映射z ：r 圆r ”卜r ”o r ”，对于任意一p o ，如果z 近 似于恒等映射1 ：r ” r ”一r ”or ”我们得到另个映射，记为= z ( 妒) 。 它由妒的相图自然地定义， ( ，妒伍列e 尺j 。可以证明对于任意的整数指标 d ，以及固定点x ，妒，。妒：，有z 如。) 叩z 如：) ，如果z ( x ，l ，) = 瞄，矿) 其 形式为： i 叉= x + p 1 矿：尹( x ，l ，) 这里p ，x ，戈r ，j ，歹r ”且p 是常向量。 延拓这样映射z 到，! 上，还是记为z ，在x 点其定义为：z 临) = z 如) 。事 实上延拓的概念可以类似的建立在更一般的情况下，当z ：，参卜r “o r ”。 现在我们给出详细的表达式。假定x = ( 。【，一，h ) 是r ”的坐标， ，：一，y 。) 是r 一的坐标，那么，。的一般坐标可以记为伍，y 。，) ，这里a 是整数指标，且r 。= b ? ，群) = e 。r 。延拓是： 叉：x + p ，= 矿( x ，y ) 罗a ：e 。矿( ，y ) = f ( e “爿，y 。) 让z ( ) 是r o r ”一个单参数变化群，也就是说z ( o ) 2 1 z 0 ) 。z ( f ) = z ( s + f ) ，相应的向量扬形势为： q 击+ ，未q ( 础) 毒一一y ) 毒q 瓦+ 札一，丽制t 两- 。n u 叫瓦 保结构算法的研究 向量场：c ，毒”+ 妾+ 互，喜e v 暇，y ) 蠹称为上面向两场的延拓，也 就是对应于z ( s ) 的延拓。 一- - 。f l 一, 数, ，z = f ( x ，y “，y 9 ) ，其延拓一定是定义在等价类上 的一个函数。自然地它司以定义为： j = e 7 j ( x ，“，y 4 ) = z s ( e 7 ，e 7 y 。，e y 4 ) = z s ( e 7 x ，y ，y 聊) y 2 “ 微分形式的延拓类似的可以定义为：d o = 。e z c o ，这里假定e 7 方? = 咖j 以及e ，d y f d y ：= d y l ”k 妙：”。 考虑辛流形r “，其上标准2 - 形式c o = 印 由= 咖。, i x 内+ + 印。，、内。 对于哈密尔顿系统( 11 ) ，首先介绍一个r 2 “ r 上向量场 旦+ 里旦。望旦一型旦一塑旦( 3 1 ) a f 劫，硇。印。o q 。 却印 。印。 它延拓到无限微分j e t 丛。= r 。舾二r2 ” 为： 、 昙+ 霎喜p 塑。p ；旦8 q j 叫瓦o h 瓦j 将( 3 2 ) 改写成微分系统的形式 ( 3 2 ) 保结构算法的研究 p = 一e “a n 8 q 口= e 。a u l 印 i 3 = 一a h l 匀 0 = a h i a p p 1 = 一e 8 h a q 口1 = e a h i 劫 ( 3 _ 3 ) 它称为哈罾尔顿系统( 1 1j 的延拓。相应于建立在本节前面部分的思想，卯的 延拓是：面+ 咖1 由1 + 咖a 由+ 印“a 由。1 + ，而且哈密尔顿函数h ( p ，q ) 的延拓是疗= ：。h b 。二g ) ，这里我们用0 ，p - i , q - l , p ，g ，p l , 9 ，) 表示，”的 坐标。 定理3 1 ( 参看【8 】) ：给定无限维流形： 蔓尺“= 一p - i ，q - 1 ，p ，g ，p 1 ，g ，) j = ，。， 以及2 形式面如 所定义，那么： 1 微分形式面= 量。印n 由是辛形式，于是0 。，而) 是无限维流形。 2 ( 3 3 ) 是一个哈密尔顿系统，其哈密尔顿函数为疗= ：一。h ( p 2 ，q 1 ) ，相应 的2 - 形式为面，且其相流保持击。 我们注意到，当将r “= 如- ，g - ) ) 嵌入到r “= 如，q ) l 时，( 33 ) 是可分离的， 它确定了一族“平行”的积分曲线。一旦初始点b j ：鲥) 选择正确，从几何的角 度来看，这族“平行”的曲线就会缩并成( 1 1 ) 的一条积分曲线。假定k ( z 。，z ，) = 0 是( 2 1 ) 的个一步差分格式。它的延拓，足扛晶，= i 1 ) = 0 ， k ( ：，：? ) = 0 ，k g k z j ) = 0 ，是( 3 3 ) 的相同阶的一个差分格式。特别地，如果 k ( ：，：? ) = 0 是辛的，那么它的延拓也是。我们再来考虑逆问题。给定( 33 ) 的一 个差分格式，可以用丛下的过程将它自然的缩并成( 2 ，1 ) 的一个计算方浩：利 用方程j 。= 厂如。) 的格式导出= 。斗z 。，利用方程1 = 厂e 1 ) 的格式导出 + 乏寸z 订。，对于面的缩并的演化过程，我们可以按照类似的方法定义。 塑堕坚 定义( 参看( 8 j ) ：( 3 3 ) 式的一个差分方法称为缩并的辛方法，如果在缩并的意 义下保持0 3 。 定义( 参看【8 j ) ：( 1 i ) 式的一个差分方法称为j e t 辛方法，如果它的延拓是缩并 辛的，也就是说在缩并意义下保持面。 对于般的情况，可以证明 定理3 2 ( 参看f 8 】) ：正则系统( 1 1 ) 一差分格式是j e t 辛的，如果它有一个二次 微分形式的不变量，当时间步长趋于零时，此二次形式趋于标准二次形式。 由于正则差分格式保持标准二形式不变，是上述定理3 2 的一个特例，i n c h 所有正则差分格式也都是j e t 辛的。 哈密尔顿系统的梯形格式 圣! ! 二刍 f 这里f = a t 为时间步长。 梯形格式是j h 辛的，这是因为 喜l ，、1 v h o 。) + l ，v h ( z 。) - 三一v 日( ) = 乙+ 三一v h ( 。) j 出“一号，。日。出。= 出。+ 吾，。h 。出。 ( d z , , s - 三i ，1 h 。如。) ，( 出。一吾l ，。日。出。) 2 ( 出。7 + 三，。h 。d z 。7 ) 、，( 出。+ 吾，1 h 。出。) j 出“r n ( ，+ ；h 。埘。 出。= d 。rn ( ，+ ；也。埘。 电 这里h 。为哈密尔顿函数h 的h e s s e n 矩阵。 当f 斗。时，+ h z 腰n 斗，因些，由定理3 2 知道，梯形格式是j e t 辛 的。但是，我们知道梯形格式并不是辜差分格式。 保结构算法的研究 下面对于一般的哈密尔顿系统：j = k 。( z ) v h ( z ) 建立类似地理论。记 k i ( z ) = 皓”( = ) ) ，于是将哈密尔顿系统改写为： - ) 善扩”( = ) 罢= - ) 等，v ，一勘 0 ：、o z ，。一1 o z j 考虑在r2 “0 r 上与之相应的向量场 昙+ 。( ：) 等毒一”+ 2 。) 等去 = 昙缓；小参引 它延拓到无限微分j e t 丛，。= r 。徊二r2 ” 为 西6 9 + 一。：毗虿3 h i ) 将它改写成微分系统形式 一：e - 1 f g ) v h ( 瑚 j = k 。0 弦日( = ) j ：e k 一1 ( z ) v h 洲 ( 3 4 ) 这就是一般哈密尔顿系统的延拓。类似地，二形式w = 出7nk ( z 皿的延拓为 访：+ d ( z ) ，n 世( ：1 k + 出7a x ( ：) 出+ d ( z - 1 ) 7a x ( z 一1 皿一1 + 以及哈密尔顿函h ( z ) 的延拓为疗= ：一。h 0 ) ，这里用( , , z - i z ，z i - , ) 表示l ，。 的坐标。 我们可以得到与经典的哈密尔顿系统延拓相同的结论： 保结构算法的研究 定理3 3 ：给定无限维流形： 二月”= * 一，：，z ，：1 ，* = j 。，以及2 一形式谛如 上所定义，那么： 1 微分形式西是辛形式，于是d 。，谛) 是无限维流形。 2 ( 3 4 ) 是一个哈密尔顿系统，其哈密尔顿函数为青= ：一。h 0 1 ) ，相应的2 - 形式为协，且其相流保持谛。 证明：1 咖：。d 他7 ) k ( z l k ) = ：一。d 医：= 1 小1 皿jn 出；j = 蔓：= i 2 。掣舭 二。掣m m ； 孺撕：一。掣监j 饯n 出； ：r _ - 一嚣。掣：倒叫 舡z t _ - 一。，磐；删碱 ：z t _ - 尤，：。掣砷j 将上面三个式子相加，由( 1 2 ) 式得：3 莉= 0 ，由此，我们得出： 咖= 0 ， 即谛是封闭的。由w 的非退化性可知，d e t k ( z ) ；a 0 ，那么访也是非退化的。因 此，谛是，。上的一个辛形式，于是0 。，协) 是无限维流形。 2 李导子工：i d + d i ，由于h ( z ) 是哈密尔顿系缉( 1 2 ) 的哈密尔顿函数，其二形 堡塑兰鲨螋塞 式是w ，那么：l w = 0 ，于是： 三纰)