（运筹学与控制论专业论文）带干扰项的最优投资再保险风险模型.pdf

硕士学位论文 摘要 一个保险公司，在收取保费的同时，也将承担支付保额的风险，有时还会因为 支付保额过高而导致公司破产所以，如何采取合理的手段( 比如：通过再保险或 投资) 来使公司风险达到最小或者使收益最大化成为目前保险公司亟待解决的问 题，保险风险模型中的最优投资和最优再保险问题也因此成为近十年来比较热门 的话题之一本文的目的是了解和整理具有投资再保险的风险模型的最优控制 理论，并讨论保险公司的索赔过程为带干扰因素的风险模型下的相关问题 具体的，我们考虑一家保险公司将盈余投入到股市或债券市场进行投资时， 为了寻求降低使自己遭受巨大损失的概率，也考虑购买比例再保险本文首先介 绍了经典风险模型及其相关结论，并对一些推广后的投资再保险风险模型作了简 单介绍同时将带利率和干扰因素的双广义p o i s s o n 风险模型推广到二维风险模 型，研究了破产概率所满足的l u n d b e r g 不等式其次，通过伊藤公式得出最优投 资模型下生存概率所满足的h j b 方程，作进一步变换得出满足该方程的拉普拉斯 形式，它有利于通过计算机得到破产概率的数值解最后，针对双险种下的最优 投资和最优比例再保险问题进行讨论，并在方差保费原理下，引入期望指数效用 函数，根据h j b 方程研究最优再保险比率与最优投资金额的表达式，得出投资比 不投资盈余期望值大的结论，并通过实例进行分析 关键词：干扰因素：双险种；随机控制：方差原理：h j b 方程：最优投资再保险：拉普 拉斯变换：破产概率 a bs t r a c t a ni n s u r a n c ec o m p a n yr e c e i v e st h ep r e m i u mb u ti ta l s o w i l lf a c et h er i s ko f p a y i n gt h ec l a i m s o m e t i m e s r u i nw i l lo c c u rw h e nt h ec l a i mi sh i g h e rt h a ni t s s u r p l u s t h e r e f o r e ，h o wt og e tt h er e a s o n a b l es t r a t e g y ( f o re x a m p l e ，t h er e a s o n a b l e r e i n s u r a n c es t r a t e g yo rt h er e a s o n a b l ei n v e s t m e n ts t r a t e g y ) w h i c hi s o p t i m a li nt h e s e n s eo fm a x i m i z i n g ( o r m i n i m i z i n g ) s o m eo b j e c t i v ef u n c t i o nb e c o m e st h eh o t p r o b l e mf o ri n s u r a n c ec o m p a n y i nt h ep a s tt e n y e a r s ，o p t i m a li n v e s t m e n ta n d r e i n s u r a n c ep r o b l e m sh a v eg a i n e dm u c hi n t e r e s ti nf i n a n c i a la n da c t u a r i a ll i t e r a t u r e t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st ob ef a m i l i a rw i t ho p t i m a li n v e s t m e n ta n dt h eo p t i m a l i n v e s t m e n tt h e o r yo ft h er i s km o d e li nr e i n s u r a n c ea n dr e l a t e d p r o b l e m so fr i s k m o d e li nw h i c ht h er i s kp r o c e s sf o ra ni n s u r e rh a sac o m p o u n dp o i s s o np r o c e s sa s t h ed i s t r i b u t i o n t ob em o r es p e c i f i c ，w ec o n s i d e ra l li n s u r e ri n v e s t sp a r to fh i ss u r p l u si n t ot h e s t o c ka n db o n dm a r k e ta sw e l la sb u y sr e i n s u r a n c et or e d u c et h er i s kf o rr e d u c eh u g e l o s s e st ot h e i rp r o b a b i l i t y i nt h i sp a p e r ，b a s e do nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e lw i t ht h e c o n c l u s i o n s ，a n dh a v em a d et h e s i m p l ei n t r o d u c t i o na f t e rs o m ep r o m o t i o n s i n v e s t m e n tr e i n s u r a n c er i s km o d e l w ew i l lm a k ed o u b l eg e n e r a l i z e dp o i s s o na b o u t i n t e r e s tr a t ea n dt h ed i s t u r b a n c ef a c t o rp r o m o t et ot h et w o d i m e n s i o n a lr e n e w a lr i s k m o d e l ，a n ds t u d yt h el u n d b e r gi n e q u a l i t yt h a tt h er u i n p r o b a b i l i t yw i l ls a t i s f y f u r t h e r m o r e ，w ep r o v eac e r t a i n i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h es u r v i v a l p r o b a b i l i t yb yu s eo ft h ei t ? f o r m u l aa n dp r o v et h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o no ft h e e q u a t i o n a n dt h e nw eg i v et h el a p l a c ee q u a t i o no ft h es u r v i v a lp r o b a b i l i t yt og e t t h en u m e r i c a ls o l u t i o nt h r o u g ht h ec o m p u t e rw h e nt h ed i s t r i b u t i o no ft h ec l a i ms i z e h a sb e e ng i v e n w ea l s od i s c u s st h eo p t i m a li n v e s t m e n ta n dp r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e f o rt h et w o 。t y p e r i s ki n s u r a n c e a s s u m i n gt h a tt h er e i n s u r a n c ep r e m i u m i sc a l c u l a t e d a c c o r d i n gt ot h ee x p e c t e dv a l u ep r i n c i p l e ，i tg i v e st h ee x a m p l et h a tt h e e x p l i c i t f o r m so fo p t i m a li n v e s t m e n ta n do p t i m a lr e i n s u r a n c er a t ec o n t r a c ta c c o r d i n gt oh j b e q u a t i o n s w ea l s oc o n c l u d et h a tt h ec a s ew i t hi n v e s t m e n tt h ee x p e c t e dv a l u eo ft h e s u r p l u si sa l w a y sb e t t e rt h a nt h eo n ew i t h o u ti n v e s t m e n tt h ee x p e c t e dv a l u eo ft h e s u r p l u s s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e n ，w h i c hi l l u s t r a t et h er e s u l t so ft h i s p a p e r k e yw o r d s ：i n t e r f e r i n g f a c t o r s ；t w o t y p e - - r i s ki n s u r a n c e ；s t o c h a s t i cc o n t r o l ； n 硕士学位论文 v a r i a n c e p r e m i u mp r i n c i p l e s ；h a m i l t o n - j a c o b i - b e l l m a ne q u a t i o n ；o p t i m a l i n v e s t m e n ta n d o p t i m a lp r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e ；l a p l a c et r a n s f o r m ；t h e r u i n p r o b a b i l i t y i i i 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律 后果由本人承担 作者签名：伤嵌日期：沙f o 年历月6 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和 汇编本学位论文同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到 中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务 作者签名：俺最 导师签名：夏荔彪彳 日期：妁f o 年月日 日期：删年多月衫日 硕士学位论文 第一章绪论 1 1 相关背景介绍 金融风险理论是当前精算界与数学界研究的热门课题，在国外己经有上百年 的研究历史许多学者运用概率方法和随机过程取得了不少经典性的结果而 破产论是精算数学的核心内容由于保险业的快速发展，行业内竞争的加剧，破 产风险管理在保险公司的日常管理中起着举足轻重的作用破产论正是为破产 风险管理提供数学上的支持，因此日益受到人们的重视同时由于保险行业竞争 激烈，保险公司通常采取对盈余进行投资，从投资中获得大量的收益来提高自己 的偿付能力，保险公司为了减少自身所面临的大赔付的风险，又必须对赔付进行 再保险安排因此，怎样进行投资和再保险，使得自身的破产概率最小或者期望 财富效用最大也已经成为每个保险公司都必须面对的问题，成为风险理论的一个 新的研究热点有大量的文献对保险公司的盈余投资于金融市场的破产概率和 期望效用进行了研究本节主要介绍了风险模型的背景及最优投资与再保险的 研究现状和研究方法 早在1 9 0 3 年，瑞典精算师l u n d b e r g 在他的博士论文中引入齐次p o i s s o n 过 程的风险模型，从而开创了风险理论研究的先河，在数学界和精算界都引起广泛 关注保险风险理论的研究对象是来自商业保险的各种随机模型，初期的风险理 论主要同寿险发生联系，研究的是个体风险模型( i n d i v i d u a lr i s km o d e l ) 心1 ，此时的 风险论通常被称为个体风险论( i n d i v i d u a lr i s kt h e o r y ) ，集体风险理论( c o l l e c t i v e r i s kt h e o r y ) 较为系统的理论形成应该说始于l u n d b e r g 了集体风险模型 ( c o l l e c t i v er i s km o d e l ) 把全体投保者看成个整体，索赔的产生为一个随机过程， 而不是去考虑单个的保单不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准， 它的严格化是由h a r a l dc r a m 6 r j 1 为首的瑞典学派完成的，与此同时，他们发展了 随机过程的基本理论，建立了它们之间的联系如今在风险领域里研究的各种风 险模型都是在此基础上逐步发展起来的 随机过程理论的逐渐系统化和成熟化为风险理论的研究提供了强有力的方 法和工具继c r a m 6 r 之后，h a n su g e r b e r 成为当代研究破产论的领先学者， g e r b e r 在1 9 7 9 年发表的数学风险论导引口3 一书已成为当今研究这一领域的 经典著作，他以严谨的概率论基础，简练清晰地深化了经典破产论的研究内容，并 取得了重大的突破，获得了众多优美的结果 近几十年来，风险理论的发展十分迅速，其研究基本上是对经典模型的改造 带干扰项的最优投资再保险风险模型 与推广，以使模型更贴近于实际，结果更具可操作性这些改造与推广丰富了风 险理论的研究内容与结果，其最简单的古典风险模型具有以下特点： 1 只描述保险公司保费收入和理赔过程的一维风险模型： 2 保费收入过程与理赔额的随机变量是相互独立的； 3 每单位时间收到的保险费是一个常数； 4 只考虑单一的险种 考虑特点1 时学者在一维经典风险模型的基础上建立新的二维的带干扰的风 险模型：考虑特点2 有学者就提出了保费与理赔具有相依性的风险模型：考虑特点 3 一些专家就提出了双复合p o i s s o n 模型、保费率为随机变量的风险模型等：考虑 特点4 前人已经提出了对两险种风险模型甚至于多险种风险模型 随着保险公司运作限制的放宽以及风险经营险种的多元化，保险公司可以同 时开展包括保险、货币、证券、基金等在内的多个市场的业务，但在风险分析理 论中经常假定保险公司接受到的各索赔量是相互独立的，然而在实际保险公司的 运营中，经常遇到有相依关系的索赔问题例如，在车险中除了车本身的损失外 还会牵连到人身保险、医疗保险等本论文的第一部分首先在一维经典风险模型 的基础上考虑利息和干扰因素，建立新的二维更新风险模型 根据保险公司在各市场的资产配置直接影响公司的收益与风险在未来不 确定的环境下如何进行资源分配和利用，达到分散风险，提高收益的目的，关键是 选择合适的风险和收益的度量标准，在量化的收益与风险之间选择最优的经营策 略( 最优投资策略和再保险策略) 有关保险公司的投资策略和再保险策略选择 问题，已经引起了众多学者的关注，如g e b e r ，b u h l m n n ，m a r t i n 1 0 f 和j e a n b l a n c p i c q u e 刮等在这一方面作出突出成就目前，该类问题主要集中在对不同的保 险公司模型和不同的目标函数下，利用随机控制理论中的动态规划方法寻找最优 投资策略和再保险策略如：s o r e na s m u s s e n ，m i c h a e lh a n s p c t e rs c h m i d l i n m 3 等 人写了大量文章在这些研究中，保险公司的风险过程一般分为两类：一类是经 典的c r a m e r l u n d b e r g 模型，另一类是扩散近似化的模型按最优化目标函数不 同可分为两类：一类是以保险公司的破产概率最小作为优化标准，另一类是破产 时刻预期累计收益最大，如终值期望效用最大、红利支付最大等作为最优化标准 本文在经典的c r a m e r l u n d b e r g 模型的基础上集中考虑了既有投资又有再保险的 模型，分别在破产概率最小和终值期望效用最大限制下研究了保险公司的最优投 资于再保险，并进行了实例分析 1 1 1 投资风险模型 随着金融市场的发展，保险公司对外投资有了很大的可能性：其一，保费收入 2 硕士学位论文 的快速增长，导致可运用的保险资金规模急剧扩大：其二是投资的必要性，保险竞 争大大降低了传统承保业务带来的利润，保险产品的高回报要求保险资金需要更 高的回报率从国际保险业经营的趋势来看，目前保险公司利润主要就是由投资 利润决定的因此，保险投资成为保险经营的重要环节，是现代保险公司生存与 发展的重要支柱 对于带投资的风险模型的研究也经历着一个长期的、由简到繁的过程首 先考虑的是带常利率的风险模型，它是将保险公司的风险盈余全部投入到无风险 的资本市场，比如存入银行生息等，有关常利率风险模型的许多结论可参见文献 【1 2 1 7 随着社会大量资金投入到金融风险市场，纯粹的无风险投资模型不能适 应实际需要，从而使得具有风险投资的风险模型成为当前研究的热点之一在经 典的c r a m 6 r l u n d b e r g 模型下加入有风险的投资项目，将风险盈余的一个固定比 例投入到有风险资本市场( 如股票) ，剩余部分仍投入于无风险市场( 如债券) h i p p 和p l u m u 叫得到该模型下，当索赔大小为指数分布情况下，生存概率的显式解：对 于投资而言，保险公司总希望在保证一定预留金的前提下j 使得公司总资产得到 最大的收益但是，由于不同时间季节保费收入多寡不同，索赔的时间周期不同， 从而保费、索赔、投资利润等均随着时间变化：这样，任意时刻都是以一固定常数 比例的资产投入到风险财富的模型无法满足上述需求为了解决这个问题有必 要进一步改进风险模型，将t 时刻风险盈余投资于风险财富的比例由常数k 变为 时间t 的一个连续函数七o ) ( 0 k q ) 1 ) ，而剩余部分仍投资于无风险财富的风险模 型，并且研究在该模型下破产概率等相关精算量的性质 1 1 2 再保险的必要性 再保险是几乎所有保险公司都要参与的一项主要活动，正如b o r c h 提到的那 样，一家保险公司购入再保险是为了寻求降低使自己遭受巨大损失的概率，这些 损失大到可以动摇这家保险公司的地位甚至使其破产，以下是保险公司购买再保 险的几种原因n 盯： 木发生了数额特别巨大的索赔这里我们考虑那些引起非常严重事故的索赔， 比如核电站事故或者大型医疗事故，还有一种可能是保险公司的投保对象 是价值非常高的物品，比如说航空公司的大型客机、军队的战机、坦克、 大型建筑等等 木短时间内爆发数量巨大的索赔，不管索赔额是大还是小森林火灾就有可能 引起这类事故，其他比如说台风、龙卷风、地震、泥石流、特大洪水都有 可能引起类似的索赔数量的剧增 木意料之外的保费收入的巨大变化，比如说突然的通货膨胀或者操作费用的 3 带干扰项的最优投资再保险风险模型 不可预知的陡增在这些情形下，保险公司实际上没有获得它在年初时期 望的保费收入 宰一般来说大多数国家都有相关的法律政策规定，要求保险公司留有足够 的，盈余以处理未来可能发生的索赔对于较小的保险公司来说，这种规定 使得他们在保费价格上失去竞争力，而购买再保险是一个不错的解决办 法 宰如果一家保险公司购买再保险，它便可以为客户提供更多的服务因此， 再保险可以认为是提高保险公司保险能力的一种途径 再保险有很多种，他们的共性都是为了降低大型索赔的风险，下面主要介绍 其中的两种 设 k ，e ，k o ) j 是直到时刻t 的索赔额序列，对应的索赔数服从p o i s s o n 过程 i v ( t ) ，f 苫0 ) 从而直到时刻f 的总索赔额为z i j f ) 一k 保险公司购买再保险的具体操作是这样的：它自己保留总索赔额x o ) 的一部 分，叫做自留额，记为h ( x ( f ) ) ，剩下的那一部分留给再保险公司，记为 x q ) 一 ( x ( f ) ) 通过这种方式，保险公司成为了再保险公司的客户一线保险公司 仍然通过自己的客户收取保费，然而部分保费转移到了二线保险公司手里，作为 他们之间协商的保费二线保险公司可以继续寻找三线保险公司，从而建立起一 个再保险链，这个链的每一环节中，自留额和相应的再保险保费需要协商确定，不 过最终还是来源于一线保险公司的客户 下面是两种最常见的再保险方式 第一种叫做比例再保险或者定量份额再保险，总索赔额的一个确定的比例被 再保险，比例系数，也叫做自留系数，用k ( o k 1 ) 表示，则有 i t )n o ) j i l o ) ) = k x ( t ) = 七￥= j i l 嘶) 这种形式的再保险几乎在所有的保险里都很常见，主要原因是他计算起来比 较方便，而且，这种再保险方式对于刚起步的小公司来说是个很好的扩展保险 能力的方法一般来说，一线保险公司需要向再保险公司支付差不多比例的保费 收入 对于比例再保险相应的分布函数满足 p 伪( x ( f ” 0 ) 为保险公司的初始准备金，常数0 ) 为单位时间内收取的保费： ( 2 ) 索赔到达的计数过程 n ( t ) ，t e r + ) ，n ( t ) 表示在( o ，f 】内发生的索赔总次数， 为一齐次p o i s s o n 过程，具有参数a ： ( 3 ) 索赔额序列伐，i e n ，五表示第f 个索赔的索赔额，是独立同分布的随机 变量序列，有共同分布函数f ，且e 【置】= p 并与计数过程 ( f ) ，f r + 】- 相互独立 经典复合p o i s s o n 风险模型建立的基础是保险资金不涉及投资，保险公司收 取保费作为资金主要来源，加之自有资金构成了全部保险在风险理论中一个重 要问题是研究破产概率( r u i np r o b a b i l i t y ) ，也就是盈余过程o ) ，t 町在某时刻小 于零的概率，写成数学表达式即为 l 王，( x ) ；p ( 3 t 芝o ，u ( o 0 称为相对安全负载( r e l a t i v es e c u r i t y l o a d i n g ) ：第三个假定是调节系数存在惟一性假定，即要求 m z ( r ) 一o 厦) ；e h d f = 1 + ；厂具有惟一正解r ，称其为调节系数( a d j u s t m e n t 气 c o e f f i c i e n t ) 在上述三个假定条件下，经典复合p o i s s o n 风险模型研究得出的主 6 硕士学位论文 要结果嵋引有： ( 1 ) l f ，( 0 ) ：竺。士： o 上十 ( 2 ) l u n d b e r g 不等式：妒 ) s p m ； ( 3 ) l u n d b e r g c r a m 6 r 近似，存在正常数c ，使得妒o ) sc e - 船, x 呻，即 一l i r ac e 妒 ( 一x 麟) 一1 ： ( 4 ) 当五服从指数分布时，l f ， ) ； i p “1 + 朋 1 + j d 以上结论表明：当初始盈余为0 时，破产概率妒( 0 ) 的确切解仅仅依赖于相对 安全负载p ，而和个体索赔分布的具体形式无关，此外( 2 ) 、( 3 ) 式解释了：若初始盈 余很大，保险公司在经营“小索赔情形的保险业务时，破产不易发生这些结论 为破产理论的发展奠定了基础，也为我们现在进一步研究带投资风险模型的相关 性质起到了很好的启发作用 1 2 2 考虑利率及干扰项的风险模型 在实际操作中，保险公司的大部分盈余来自于再投资的收入，所以常利率的 风险模型受到了人们的关注在含利息率的风险模型中，总理赔过程增量不再具 有平稳性，这就给研究带来了一定困难d e l b a e n 和h a e z e n d o n c k l 2 3 1 利用鞅方法 得到了其最终破产概率：s u n d t 和t e u g e l s 弛引研究了常利率下复合p o i s s o n 模型的最 终破产概率，特别地当单个理赔额服从指数分布的情形下，得到了最终破产概率 的显式解；e m b r e c h t s p 心副和a s m u s s e n 心刚以及t a n g o 乜7 1 等都对常利率风险模型进 行了研究，得到了破产概率的近似式，b r e k e l m a n s 乜引用递归的方法得到了常利率 下复合p o i s s o n 模型在有限时间内破产概率的上、下界等等 l c 经典风险模型只考虑了两部分，保险费收入和保险理赔现实中受通货 膨胀和投资收益等不确定性因素的影响，盈余过程会发生一些变化g e r b e r n 印首次 将b r o w n 运动引入风险模型，用b r o w n 运动来描述不确定性因素对盈余过程的影 响带b r o w n 运动的风险盈余过程为 世， u ( f ) = “+ c t y 墨+ 口口o ) ，t 苫0 ， 筒 d u f r e s n e 和g e r b e r 心叫得到了此模型的破产概率所满足的更新方程，p a u l s e n j b 们对 带b r o w n 运动的破产论也进行了研究 7 带干扰项的最优投资再保险风险模型 1 2 3 双险种风险模型 经典风险模型一般只考虑一类同质风险，但随着保险公司经营规模的日益扩 大，险种的多元化及新险种的不断开发，单个险种的风险模型对于研究保险公司 的生存概率就无能为力了，蒋志明m3 等人在这方面做了相应的研究下面仅给出 双险种风险模型的定义，可逐步推广到万险种的情形 设在完备的概率空间( q ，f ，p ) 上， 1 0 ) ，t 阱和 2 ( f ) ，t 苫0 ) 分别是两险种在 ( 0 ，t 】内发生的各自索赔次数，是参数分别为 和九的齐次p o i s s o n 过 程：硪1 1 ，f = 1 ，2 ，和f _ z _ ( ，f ；1 , 2 , - - 分别表示两个险种的索赔量，是两列独立同分 布的非负随机变量序列，其分布函数分别为e ) 和f 2 ( x ) ：c = c 1 + c ：，常数c l ，c ： 0 分别是两险种的保费率；x ( x o ) 表示保险公司的初始准备金：“o ) ，t 啡， i v 2 0 ) ，t2o 】i ， 4 1 1 ，f l 2 ， 墨孙，f 。1 ，2 ， 两两相互独立模型如下 1 “) ，“) u o ) 一x + c t 一( 罗z f q + 罗墨2 ) 筒衙 郭灵波在其毕业论文2 1 中给出了该模型下索赔服从指数分布时，生存概率 的明确表达式，一般情形下生存概率的估计式，破产概率的上下界估计式等重要 结果 1 2 4 投资比例为常数的风险模型 由于市场的发展、竞争的需要，保险公司考虑将自己的盈余用于投资，投资比 例为常数的风险模型就是在给定的完备概率空间( q ，f ，p ) 上定义的剩余过程 “) u o ) ；x + c t yx i ( 其定义与1 2 1 节中定义完全相同) 的基础上，考虑将每时每刻 倒 资本盈余的固定常数比例k ( o 0 为固定常数，口表示无风险收益 率，b 表示风险波动收益率，彬为标准b r o w n 运动，并独立于u ( t ) ，而o ) ，t 0 ) 为 无任何对外投资下的经典复合p o i s s o n 过程现假定保险公司对外投资后在t 时刻 总资产为y o ) ，将k y ( t ) 投资于股票市( 0 0 ) 为保险公司的初始准备金：r ( r 0 ) 是保险公司投资于无风险项目的 投资收益率：k 为投资于有风险项目的投资比例：定义该模型破产概率 8 硕士学位论文 妒( x ) = p ( 3 t o ，y o ) 0 m i n u 1 u ：，小c0 ) ， k = i i l f r 0 m a x u 1 , 。，u 2 ，小c0 ) ， t - - ；i n f f o i 吼d + u 2 ，。 0 ) 有限时i 司破产概率 妒m i 。 1 ，9 2 ，f ) 一p z 孟 tl 1 ( o ) - u l = 1 2 ( o ) = 9 2 ) ， 妒。 l ，u 2 ，f ) = p z 二。 fi “1 ( o ) 一“1 ，比2 ( o ) ；u 2 ) ， 妒。 1 ，h 2 ，t ) = p z 二 ti u l ( o ) = m 1 ，“2 ( o ) = 1 1 2 】 最终破产概率 妒i n i n 1 ，u 2 ) 一p 0 0ih 1 ( 0 ) 一“1 ，“2 ( o ) ；9 2 ) ， 妒m 。 l ，“2 ) = p z k i “1 ( o ) = “l ，t 2 ( o ) = 9 2 ) ， 妒一 1 ，“2 ) = p 2 幺 i u l ( o = u l ，a 2 ( o = 1 2 ) 假定写= i n f tiu l ，。( f ) o 】，互= i n f ti ) 0 是单个利率u u 2 ，。的破产时间， 对应的破产概率分别为l 王，埘o ，) = p ( 互 0 筒 2 下面是对罗口；ta 1 ，q 0 的情景进行研究 定义带参数口= ( a l , a 0 一维风险模型 玑，。( f ) ) 虬，d o ) a 口，6 p ) + 口：u 2 ，6 0 ) 带干扰项的最优投资再保险风险模型 一a l u l + 口2 u z 矿+ ( a l 吼j + a ：2 a z j 妙1 一户6 ( t - s ) d ( a - z t o ) + a z z z o ) ) + 。q o ) + 口：叫呒( f ” ( 2 4 ) m 其中 虬，a ( f ) ) 的初值为口- “t + 口z “z ，到时刻的保费为( a l c 以+ 口z c z 4 ，) ，时刻的总索 赔额为a l z 。o ) + 口：z ：p ) 其破产概率可表示为 妒。0 1 u 1 + a 2 u 2 ) 一p t o 。d 0 时 日：，) 皿 是独立同分布 3 6 1 7 e 饵j ，) = e 饵姐) m ( 兀1 - e l ( a l c a j + 口：c ：4 弘一奶一【口，( ) + 口：e ( z ：，。) 怛o 。毛) + e 【( 口。q 嵋( 乃) + 4 ：盯：( 巧) 弦。p 弓】 j 口- c 【善4 ，一】+ 口z c z e 【善4 ，z p 。卜 a - e ( z x a ) + a z e ( z z ，) 皿 。五) - 【q e ( ( 互) + 盯：e ( ( 五) 】e 。卜五) p + 6+ 6 安全负荷系数 12 硕士学位论文 j d 一 ! 璺! 刍竺2 1 2 1 竺! 一盟 3 + 6 岱+ 6 九邮 + 6 ，( a l c i o ra 2 c e ) a y 一1 1 = 。- _ 。_ _ 。_ 一一 九渖 假定p 0 g o ) - p ( h 州s 工) ，表示h 硝的分布，则 g ( ，) ；r e “d g ( x ) - - e e - r h , i 卜e p - r h o j 】 定理1 方程g ( r ) = 1 存在唯一正解 证明g p ) 一一r 就“d o ( x ) ，g ( o ) = 一e 旧。，j 】， g 。( ，- ) ；一r x 2 p “d e ( x ) ，g 。( 0 ) - e h 2 0 a 】 只要p 0 ，则g ( 0 ) 0 ，从而曲线g ( r ) 在， 0 内时下凹的，所以在 ， 0 内g ( o 有唯一极小值点，于是方程占p ) 一l 存在唯一正解 定理2e e 一帆j “l f 】s e k 删：小1 】其中掣 o h a j 一0 ，l 2 刀) ， f 日；( 掣，n = 1 ，2 ) 。 证明e p 一帆棚i ，夕】，e e - u ：t ，小一吩i f 夕】 = f e e 一脚q 巧if f f d g ( x ) 2 f e t e - a , , - , f g ) s e 川d g ( x ) - e e 稍1 】 得证 n o w 表示到破产为止索赔的次数，它是一个停时，则破产概率为 吵。( 口一1 + 口2 u 2 ，6 ) 一尸 乙一 n o ) e 【q