（运筹学与控制论专业论文）投资组合中的离散多因素模型及其算法.pdf

2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 摘要 m a r k o w i t z 于1 9 5 2 年首次提出了科学的投资组合选择方法：均值方 差方法，奠定了现代投资组合理论的基础然而传统的均值一方差模型大都 讨论具有连续决策变量的投资组合问题，但在实际金融交易中还有许多其 它离散特征，如交易次数上限，交易量下限，交易手数整手限制，这使得连 续均值方差模型的最优解远离实际整数最优解 本文研究均值一方差方法中带有交易手数整手限制的离散多因素投资 组合模型，与传统的投资组合模型不同的是，该模型中投资组合的决策变 量是交易手数( 整数) ，从而化为求解一个二次整数规划问题利用该模型的 可分离性结构，本文提出了一个基于拉格朗日对偶和连续松弛的分枝定界 算法从最初的整数箱开始，每迭代一次都会产生两个新的整数子箱，对每 个整数子箱，通过解相应的对偶问题得到一个下界，由于次梯度法计算出 的对偶界并非是精确界，因此如果这个子箱没有被拉格朗日下界去掉，我 们再在这个整数子箱上计算连续松弛问题的下界，取下界最大的值做为子 箱的下界为测试算法的有效性，本文分别采用美国股票市场真实数据和 随机产生的数据，数值结果表明该算法是有效的，可以求解多达1 2 0 个风 险证券的离散投资组合问题 本文总共分为五章，第一章简要地介绍了投资组合问题的研究背景和 现状，并介绍了本文的主要内容第二章首先简单介绍了投资组合中经典 的m a r k o w i t z 均值一方差模型，同时介绍了几个改进和简化的模型第三章 是本文的主要工作，我们建立了带有交易手数整手限制的离散多因素投资 组合的模型，利用此模型的可分离性提出了一个新的算法第四章是数值 是试验部分。我们采用两组数据来说明本算法的有效性第五章是结论部 分，是对本文结果的总结以及对未来研究的展望 关键词：金融优化，离散多因素模型，拉格朗日松弛和连续松弛，分枝定 界法，交易费 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t t h em e a n - v a r i a n c em o d e lw a sf i r s tp r o p o s e db ym a r k o w i t zi n1 9 5 2 ，w h i c h e s t a b l i s h e dt h ef o u n d a t i o no fm o d e mp o r t f o l i os e l e c t i o nt h e o r y a l t h o u g ht h e r e a lf i n a n c et r a d ep r a c t i c ep o s s e s s e sc e r t a i nd i s c r e t ef e a t u r e s ，s u c ha sc a r d i n a l i t y , r o u n dl o t s ，b u y - i nt h r e s h o l d ，t h ec u r r e n tl i t e r a t u r eo np o r t f o l i os e l e c t i o nh a sb e e n p r i m a r i l yd e v e l o p e df o rt h ec o n t i n u o u ss o l u t i o nt h a tc o u l db ea w a yf r o mt h er e a l i n t e g e ro p t i m u m i nt h i sp a p e r ，w ep r o p o s ean e wb r a n c h - a n d - b o u n da l g o r i t h mb a s e do nt h e l a g r a n g i a nd u a lr e l a x a t i o na n dc o n t i n u o u sr e l a x a t i o nf o rm u l t i - f a c t o rp o r t f o l i o s e l e c t i o nm o d e lw i t hr o u n d l o tr e s t r i c t i o ni nm e a n - v 撕a n c er o o d e l t h i sd i s - c r e t ep o r t f o l i om o d e li so fi n t e g e rq u a d r a t i cp r o g r a m m i n gp r o b l e m s t h es e p a r a r b l es t r u c t u r eo ft h em o d e li se x p l o i t e db yu s i n gl a g r a n g i a nr e l a x a t i o na n dd u a l s e a r c h s t a r t i n gf r o mt h ei n i t i a li n t e g e rb o x ，t w on e wi n t e g e rs u b b o x e sa r eg e n - e r a t e da te a c hi t e r a t i o n f o re a c hi n t e g e rs u b b o x ，al o w e rb o u n di sc o m p u t e db y s o l v i n gt h ec o r r e s p o n d i n gd u a lp r o b l e m t h es u b b o xw i t hl o w e rb o u n dg r e a t e r t h a no re q u a lt ot h ec u r r e n tb e s tu p p e rb o u n do ft h eo p t i m a lv a l u ei sf a t h o m e d f o rf u r t h e rc o n s i d e r a t i o n s i n c et h el a g r a n g i a nb o u n dc o m p u t e db yt h es u b g r a - d i e n tm e t h o di sn o te x a c t ，w ea l s os o l v et h ec o n t i n u o u sr e l a x a t i o no nt h ei n t e g e r s u b b o xi ft h es u b b o xi sn o tf a t h o m e db yt h el a g r a n g i a nb o u n d c o m p u t a t i o n a l r e s u l t ss h o wt h a tt h ea l g o r i t h mi sc a p a b l eo fs o l v i n gr e a l - w o r l dp o r t f o l i op r o b l e m s w i t hd a t af r o mu s s t o c km a r k e ta n dr a n d o m l yg e n e r a t e dt e s tp r o b l e m sw i t hu p t o1 2 0s e c u r i t i e s t h i st h e s i sj 8o r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 w eg i v es o m eb r i e fi n - t r o d u c t i o no fp o r t f o l i os e l e c t i o na n dr e c e n tr e s e a r c hp r o g r e s s i nc h a p t e r2 ，w e d i s c u s st h ec l a s s i cm e a n - v a r i a n c em o d e la n do t h e rp o r t f o l i os e l e c t i o nm o d e l s b a s e do nd i f f e r e n tr i s km e a s u r e s i nc h a p t e r3 ，w ef o r m u l a t et h em u l t i - f a c t o r p o r t f o l i os e l e c t i o nm o d e lw i t hr o u n d - l o ta n dp r o p o s ean e wb r a n c h - a n d - b o u n d a l g o r i t h m c o m p u t a t i o n a lr e s u l t sa r ep r e s e n t e di nc h a p t e r4 f i n a l l y , c h a p t e r5 c o n t a i n ss o m ec o n c l u d i n gr e m a r k s w es u m m a r i z et h em a i nr e s u l t so ft h et h e s i s a n ds u g g e s ts o m ef u t u r er e s e a r c hd i r e c t i o n s 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 i i i k e yw o r d s ：p o r t f o l i oo p t i m i z a t i o n ，d i s c r e t em u l t i - f a c t o rm o d e l ，l a g r a n g i a n r e l a x a t i o na n dc o n t i n u o u sr e l a x a t i o n ，b r a n c h - a n d - b o u n dm e t h o d ，t r a n s a c t i o nc o s t 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：率址日期：呈嗥邸 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：毒盐导师签名：径掣生日期：回：墨堡 i i 第一章前言 1 1投资组合选择理论的研究背景和发展现状 1 1 1 投资组合选择理论的研究背景 最初的金融资产投资理论具有显著的经验性人们对于如何投资怎样选择证 券以及如何减少或避免风险损失的理论主要通过经验和常识的方式表现出来例 如，“不要把所有鸡蛋放在同一个篮子中。，。分散你的风险”等等以后，在此基 础上发展起来的金融资产投资理论，包括。公式投资计划”、“常数投资计划”，。资 金成本投资数”等，也基本上以历史经验为基石，要求投资者按照某种固定或机械 的方式来进行投资活动这些理论实际上是指导人们进行投资活动的具体方法其 中最为权威的是格雷厄姆( b g r a h a m ) 、达德( d d o d d ) 和科托尔( s c o t t l e ) 三人 合著的证券分析【1 4 一书 现代组合理论最早是由美国著名经济学家哈里马科维茨( h m a x k o w i t z ) 于 1 9 5 2 年提出的在1 9 5 2 年3 月金融杂志发表的题为证券组合的选择的论 文中【3 2 】，他提出了确定最小方差资产组合集合的思想和方法，第一次从风险资产 的收益率与风险之间的关系出发，讨论了不确定经济系统中最优资产组合的选择问 题，获得了著名的基金分离定理，为资产定价理论奠定了坚实的基础，开辟了对投 资进行整体管理的先河，奠定了投资理论发展的基石应该说，m a r k o w i t z 的资产 组合均值方差理论既是现代资产组合理论的奠基石，也是整个现代金融理论的奠基 石m a r k o w i t z 将他的这一理论收集在1 9 5 9 年出版的资产组合选择：投资的有 效分散化【3 3 】一书中 m a r k o w i t z 的证券组合理论回答了，在给定风险水平的基础上，如何使证券的 可能预期收益率最大，或为获得既定的预期收益率，如何使承担的风险极小 m a r k o w i t z 在创立组合理论的同时，也用数量化方法提出了确定最佳资产组合 的基本模型在以后的岁月中，经济学家们一直都在利用数量化方法不断丰富和完 善组合管理的理论和实际投资管理方法，并使之成为投资学中的主流理论 m a r k o w i t z 的模型对资产之间的相互关系没做任何假设，其风险计算结果是十 分精确的但是，这一方法涉及计算所有资产的协方差矩阵，面对上百种可选择资 产，其计算量是相当可观的，在当时的技术条件下难以应用，也不利于组合管理者 对市场整体进行分析和研究 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 2 六十年代，诺贝尔奖获得者夏普( s h a r p e ) 以及另外两位美国经济学家林特纳 ( l i n t n e r ) 以及莫辛( m o s s i n ) 分别在1 9 6 4 年的文章资本资产价格：理论市场均衡 条件下风险【4 9 】和1 9 6 5 年的文章风险资产的估价和挑选风险资本投资在股票 投资组合与预算【2 8 】，以及1 9 6 6 年的文章资本资产市场均衡 3 6 】中，在比较 强的市场假设下，给出了m a r k o w i t z 均值一方差模型的均衡版本，即资本资产定价 模型( c a p i t a la s s e tp r i c i n gm o d e l ) 简称( c a p m ) 这一模型阐述了在投资者都采用 m a x k o w i t z 的理论进行投资管理的条件下，市场价格均衡状态的形成，把资产预期 收益率与预期风险之间的关系用一个简单而又合乎逻辑的线性方程式表示出来 尽管c a p m 由于其假设条件的非现实性而一直难以得到验证，但对其讨论却 长盛不衰七十年代，当罗尔( r o l l ) 对其有效性提出质疑后，这种讨论发展到了个 新的阶段，一方面，其他定价模型开始出现，其中以套利定价理论( a p t ) 【4 7 】最为著 名；另一方面，人们通过放宽传统c a p m 的假设条件而发展了多种改进的c a p m ， 使其更接近现实情况 1 1 2 投资组合选择理论的发展现状 m a x k o w i t z 的理论虽然比较完善，但由于它以一系列假设条件为前提，在实际 应用中因假设条件不满足而存在较大偏差，或者因计算成本太大而失去现实意义 因此，众多经济学家在该领域又开展了广泛而深入的研究和探索，其中代表性的 是s h a r p e 在1 9 6 3 年发表了一篇题为证券组合分析的简化模型【别论文，建 立了证券组合投资的另一种方法他通过引入描述证券收益的指数模型而大大简化 了m a r k o w i t z 的模型，从而使组合投资理论进入了实际运用中m a r k o w i t z 3 3 】和 m a o 【3 1 】等讨论了均值下半方差模型高于均值的超额收益实际上是投资者所喜 好的，而在均值方差模型中却被当作风险来处理一个更确切的风险刻画量是下 半方差，即相对于均值的负偏差的平方的期望值当然，在收益分布对称的情况下， 这种改进意义并不大，因为该情况下的下半方差刚好是方差的一半，均值- 方差有 效前沿与均值下半方差有效前沿完全一致k o n n o 和s u z u k i 【1 9 给出了均值方 差偏度模型这种模型在收益分布不对称的的情况下是有价值的因为在该情况 下，具有相同的均值和方差的投资组合很可能具有不同的偏度，而偏度大的投资组 合获得较大收益的可能性也大但是该模型是三次非凸规划模型，求解比较困难 k o n n o 和y a m a z a k i 【2 1 】用期望绝对偏差来刻画风险，给出了一个投资组合选择的线 性规划模型，常被称为均值一绝对偏差模型在收益服从正态分布条件下，期望绝 对偏差与方差相一致( 只差一个常系数) ，该模型后来如同均值下半方差模型那样 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 3 发展成均值一下半绝对偏差模型y o u n gf 5 4 利用极小极大规则建立了一个投资组 合选择的线性规划模型，该模型实际上是以投资组合收益的最小顺序统计量作为风 险度量c a i 【4 l 等用投资组合各项资产收益中的最大期望绝对偏差来刻画风险， 也给出了一个投资组合选择的线性规划模型，同时给出了解析的投资组合策略 上述模型都是在。收益一风险”框架下考虑问题，我们可以统称它们为收益 风险( r e t u r n - r i s k ) 型模型基于公理假设体系基础之上的效用( u t i l i t y ) 理论( 按期 望效用极大化原理进行决策，参见v o nn e u m a n n 和m o r g e n s t e i n 4 0 】) 被广泛接受 效用理论是精致的，但仍有许多缺陷t 比如说选取合适的效用函数不太容易，并且 效用函数刻画风险的方式是隐式的f i s h b u r n 【1 0 ，l e v y 和m a x k o w i t z 【2 4 ，k r o l l 【2 2 】 等，o g r y c z a k 和r u s z c z y n s k i 4 1 】以及g o t o h 和k o u n o1 1 3 】等研究了收益一风险型 模型与效用理论和随机优势准则的相容性问题当采用下半方差，下半绝对偏差， c v a r 等下滑风险度量方法时，相容性更高理论上，均值方差分析只在收益为 正态分布或效用函数为二次形式时才与极大化期望效用原理相合( 当然二次效用函 数模型与均值方差模型有本质区别) 迄今为止，均值方差模型和v a r 在现代投 资组合和风险管理的理论研究和应用实践上都占据主要地位其主要原因不仅在于 它们被实践检验有效，而且易于分析，理解和实现 m a r k o w i t z 提出的均值方差组合投资理论仅研究了单期的，静态的组合投资决 策方法然而，投资行为，特别是机构投资者的投资行为往往是长期的对一个长 期投资者来说，他将随着投资环境的变化适时地调整投资组合头寸，而不是将初期 构建的投资组合一成不变地保持到投资计划期末这就是动态投资组合选择，上世 纪6 0 年代以来，动态组合投资决策方法和理论的研究备受学界和业界的关注，例 如m o s s i n 【3 7 ，s a m u e l s o n ，m e r t o n 【列，f a m a 【9 】，h a k a n s s o n 【1 5 ，e l t o n 和g r u b e r 【8 】，d u m a s 和l u c i a n o | 7 】，o s t e r m a r k 【4 2 1 ，l i 和n g1 2 5 】以及z h o u 和l i 【5 5 】等 m a x k o w i t z ( 1 9 5 2 ，1 9 5 6 ，1 9 5 9 ) 创立的均值一方差分析方法为投资组合选择提供了 个基本的分析框架，奠定了现代金融学的基础，并广泛应用于投资实践然而此类 模型大都讨论投资组合选择问题的连续形式的解，这可能远离实际的整数最优解 尽管实际交易中还包括许多其它离散特征，如交易次数上限，交易量下限，交易成 本以及风险资产买卖之间的依赖关系金融学家也一直在探索求解带有离散特征的 投资组合模型的方法c h a n g 等【5 】用启发式算法( 遗传算法，模拟退火算法) 求 解了带有基数限制的投资组合问题j o b s t 等【17 】人用启发式方法求解了带有基数 限制和交易手数整数手限制的均值一方差模型m a n s i n i 和s p e r a n z af 2 9 】使用建立 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 4 在启发式方法上的线性规划算法求解了带有交易手数整数限制的均值一绝对偏差模 型k e l l e r 等【1 8 】也用启发式算法求解了带有基数限制的均值一半绝对偏差模型 s y a m 【5 2 】假设各个风险证券之间不相关，从而使得协方差矩阵成对角阵，目标函数 成可分离性结构，用分枝定界法求出了其精确解最近，“等【2 7 】在整数最优策 略方面取得了重大的突破，提出了收敛拉格朗日方法和等高线域切割方法，从而求 出了静态均值一方差模型的精确最优整数策略同样，这一方法为今后研究离散动 态模型的最优整数策略奠定了方法论基础，为解决考虑离敬特征下投资组合选择的 整数规划模型这一挑战性课题提供了一个大有前途的平台 1 2 本文的主要工作 本文主要研究组合优化问题中带有交易手数整手限制的离散多因素投资组合 选择模型，考虑有n 种风险资产( 例如就讲股票) 和一种无风险的具有固定收益率 的资产所构成的资本市场由于变量的离散特征，所建立的模型为二次整数规划问 题，通过变量替换的方法，使得模型转化为可分离的二次混合整数规划问题根据模 型的可分离特征，本文提出了一个基于拉格朗日对偶和连续松弛的分枝定界算法， 此算法的主要思想是；在每次分枝得到的子问题中，首先解拉格朗日对偶问题获得 子问题的下界，若此子问题没有被剪枝，再求解子问题的连续松弛获得一个下界， 如果子问题都没有被剪枝，取最大的下界作为子问题的下界，继续进行下次分枝 为测试算法的有效性，我们分别采用美国股票市场真实数据和随机产生的数据，数 值结果表明该算法是有效的，可以求解多达1 2 0 个风险证券的离散多因素投资组合 问题我们还讨论了带有凹的交易费用的离散多因素投资组合模型，用数值试验比 较了离散多因素投资组合模型与连续多因素投资组合模型投资策略的差异，并比较 了不同离散多因素投资组合模型的数值结果 第二章投资组合基本模型介绍 为了分散风险并取得适当的投资收益，投资者往往采用组合投资的方式，即把 一笔资金同时投资于若干不同的证券，以此来增加他的财富投资者对风险和收益 的定义有不同的理解，有些人认为未来收益的不确定性即是风险，也有人认为只有 当未来收益低于预期收益时才存在风险，根据这些不同的看法，新的风险模型也不 断的被提出此外，为了使得模型更符合实际生活，如交易次数上限，交易量下限， 交易成本以及风险资产买卖之间的依赖关系等，带有交易费用和整数变量的投资组 合模型也被许多人讨论本章将扼要地介绍几个最基本的投资组合模型 2 1 连续变量的投资组合基本模型 2 1 1 m a r k o w i t z 均值一方差模型( m v ) 1 9 5 2 年。m a r k o w i t z 提出的均值方差模型为现代投资组合理论奠定了基础， 在他的模型中，用均值来表示收益的好坏，用方差来度量风险的大小该理论依据 以下几个假设。 1 投资者在考虑每一次投资选择时，其依据是某一持有时间内的证券收益的概 率分布 2 投资者是根据证券的期望收益率估测证券组合的风险 3 投资者的决定仅仅是依据证券的风险和收益 4 在一定的风险水平上，投资者期望收益最大；相对应的是在一定的收益水平 上，投资者希望风险最小 根据以上假设，m a x k o w i t z 确立了证券组合预期收益、风险的计算方法和有效 边界理论，建立了优化资产配置的均值方差模型假设有n 种证券，它们的收益率 分别用r l ，r 2 ，来表示，这些r i 都是随机变量，并且假定n 的期望值和它们的 协方差都是已知的记r = ( r l ，) r ，则p = e r = ( p 1 ，蚴) t ，v = v a rr = ( ) ，并 且协方差矩阵是非退化的考虑一个投资组合p ，其在各个证券上的投资比例用向 量x = ( x l ，) r 表示，自然有墨1 = 1 投资组合p 的期望收益为r p = f t t x ， 收益的方差为a 刍= x t v x m a r k o w i t z 指出，理性的投资者总是寻求这样的投资组 5 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 6 合茹，它在给定期望收益水平硒的条件下使风险达到最小，即求解 ( m v z ) m i n 昂= x t v x s t # t x g c i = 1 或在给定风险水平的条件下使期望收益达到最大，即求解 ( m v 2 ) m a xi - t x s t x t v x v o n x i = 1 = 1 或者我们亦可考虑此模型的二次效用函数 ( m v 3 ) m i nx t v x p p t g g n s t ：r i = 1 j 一 i = l 其中p 为风险厌恶因子，当p 越大时表示投资者越冒险，通过p 的不同取值，我 们可以得到此模型的有效前沿由于该组模型协方差矩阵为半正定矩阵，所以模型 ( m ) 及( m ) 目标函数是凸函数，约束为线性等式和不等式约束，因此是凸二次 规划解该模型的方法有单纯形法，对偶方法，线性互补方法，或者是把目标函数线 性化模型( m ) 的目标函数是线性的，受约束于凸集，现有的线性规划模型就可 以求解此问题上述三个模型实际上是等价的，我们取相同的参数画出以上三个模 型的有效前沿，则三个模型的有效前沿曲线是重合的下面我们只讨论模型( m h ) 的解的解析形式t 由l a r a n g e 乘子法解得此模型的最优解x a 为t 相应最小风险值为z x a = v 一1 ( a 1e ，l + a a e ( r ) ) 昂= 0 确一2 b r o + c ) a 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 7 其中 相应的收益为 口= e - 1 ， b = e ：y _ 1 e ( x ) ， c = e 僻) r v 一1 e ( x ) = o , c 一6 2 a l = ( c 一a ) a ， a 2 = ( 口凰一b ) a e ( 郧) = b a + 一以莎 在方差均值坐标系下，它是抛物线方程；在均方差均值坐标系下，它是双曲线 方程 2 1 2 均值绝对偏差模型( m a d ) m a x k o w i t z 均值方差模型是一个二次规划模型，由于它一系列假设条件为前 提，在实际应用中因假设条件不满足而存在较大偏差，或者因计算成本太大而失去 现实意义k o n n o 和y a m a z a k i 【2 1 1 提出用绝对偏差( a b s o l u t ed e v i a t i o n ) 函数度量投 资组合的风险，并将其与方差相比较，发现当资产的收益率呈正态分布时，这两种 风险度量函数仅差一个常数项这一模型提出后，受到人们的普遍关注他们给出 的风险函数如下s ln竹i u ( z ) = e l i 尼甄一e ( 忌瓤) i i li = 1i = lj 在该风险测度下，我们建立投资决策的均值绝对偏差模型( m a d ) ： ( m a d ) a r i au ( z ) = e l i 冠戤一层( 跳) | l s t 以m p m o ， f 缸= m o 从计算角度看，( m a d ) 模型最终要解决的是一个线性规划问题，而( m v ) 模型最 终求解的是个二次规划问题目前已经有很多比较成熟的软件用于线性规划的计 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 8 算在k o n n o 的文章中，还考虑了交易费，给出了求解该模型的算法：分枝定界方 法与( m v ) 模型进行比较，( m a d ) 不需要计算协方差矩阵，极大的减少了计算 量 2 1 3 极大极小模型( m m ) y o u n g 【叫介绍了一个线性规划模型；他把最小化最大的损失或者最大化最小 的收益作为出发点来建立模型这个线性规划模型的投资模型比较简单，而且与正 态分布假设下的均值。方差模型具有类似的效果但是与其他模型不同的是模型中 的随机收益必须是已知的历史数据或者可以预测的随机数据，否则该模型就不能运 用在r 个阶段，对个证券，现设数据如下； 盼t ：在阶段t 时，股票，的收益； 毋= 器1 珊t ：股票j 的平均收益； 屿：股票j 中的投资比例； 鳓= 墨1 哟协t ：在阶段t 的总收益； m p = m i n t 姒：最小收益 在给定约束的情况下，资财预算为w ，收益的最小水平为g ，该线性模型为t ( m 吖) 屿i n a ，x 。 知 n 8 t | 吻协t m p 0 ，t = 1 ，t j = a n 屿易g ， j = l 哟彬 f 互1 吣20 ，j = 1 ， 从模型可以看出，当给定随机收益掰t 时，翡舸就可以用最大最小模型来构造线性 规划模型很多数值实验也表明在一定条件下，最大最小模型得到的解与二次规划 的解是非常相似的 2 1 4 因素模型( f m ) m a x k o w i t z 均值一方差模型主要应用于资金在各种证券资产上的合理分配根 据前面的讨论。应用m a r k o w i t z 模型时可分为以下几步进行； 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 9 第步；估计各单个证券的期望收益率，方差，以及每一对证券之间的相关系 数 通常对期望收益率、方差及相关系数的估计可利用历史数据通过统计估计技术 来完成在市场相对稳定的情况下，这种估计具有较好的精确性，在不稳定的情况 下还需要投资者在对未来形势作出分析判断的基础上对这些估计作出改进 第二步：对给定的期望收益率水平计算最小方差组合当允许卖空时，为求得 每一给定期望收益率水平的最小方差组合，实际只要对两个不同的期望收益率水平 分别计算其最小方差组合即可，因为此时的最小方差集可由其上的两个组合的再组 合产生在不允许卖空的情况下，其计算会更加复杂 无论如何，m a r k o w i t z 模型在应用时面临的最大困难是计算十分复杂把该理 论运用于实际工作中时，需要投入大量的数据：组合中包含的资产期望收益和方差 的估计值及相关系数的估计值共有2 n + n ( n + 1 ) 2 = n + 3 ) 2 若n = 1 0 0 ，则需估 计4 9 5 0 个相关系数和1 0 0 个期望收益和1 0 0 个方差，运算量相当大，并且证券分析 者不易估计这些数据，故实际工作中不便于直接运用该理论因素模型为我们解决 了此问题 2 1 4 1 单因素模型 1 9 6 3 年，夏普( s h a r p e ) 【s o 提出了单因素模型，为解决m a r k o w i t z 模型应用于 大规模市场所面临的计算问题提供了行之有效的途径对股票价格稍加观察即知， 绝大多数股票的价格随股市的升降( 可用股票市场指数来测度) 而升降这种现象 表明：不同种类的股票收益相关的原因之一可能是各种股票对股市的共同反应，即 股票收益与股市指数收益之间存在函数关系许多研究者利用纽约证券交易所上市 的股票收益数据对这种函数关系作了实证分析在单因素模型中股票t 在t 期的收 益率可以表示为； 忍t = 啦+ 岛届哪+ e “，( 2 1 1 ) 其中冠t 表示股票i 在t 期的收益率，蠕n 表示股市指数在t 期的收益率，啦，屈 为参数屈为证券l 的贝塔因子这实际上就是s h a r p e 提出的市场模型( 或叫市 场特征线( c h a r a c t e r i s t i cu n e ) ) 他假定： ( 1 ) 证券之间的关系仅在于它们都与。市场收益”这一基本因素有一种共同的 关系 ( 2 ) 每种证券与市场收益间的关系为线性关系 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 0 于是，某种证券收益与市场收益间的关系可用( 2 , 1 1 ) 式表示，也即时间t 上的 某种证券l 的收益足t 是同期市场收益j 的线性函数，如图( 2 1 ) 所示图中的直 线为某证券与市场收益的实际观测值的最佳拟合这一模型叫市场模型特征线，其 中：为回归直线的误差，其均值为零它表示与市场指数收益及其他证券收益 不相关，且无自相关，压为证券i 的贝塔系数，啦为证券i 的截距，它表示当市 场收益为0 时，证券i 的平均收益图( 2 1 ) 中直线的斜率岛= g 0 r u ( 蜀，j 乙) 靠， 夕 一 0 图2 1 ：市场特征线 其中c o v ( 忍，) 为证券 的收益与市场收益的协方差靠为市场收益的方差 s h a r p e 提出的单因素可表示为以下的形式； m a xa a 墨一q 碍 i = li = 1 n s t 五= 1 ， i = l n + 1 = 屈五， i = 1 置0 其中e = 省a 五为投资组合的收益，v = 搿q 碍为投资组合的风险 s h a r p e 证明了通过应用市场因素及辅助变量和约束可以把协方差矩阵对角化， 利用该模型的可分离性结构，用临界线法( c r i t i c a ll i n e ) 求解这个模型，并用f o r - t r a n 编程求解作者比较了此对角化模型与m a r k o w i t z 均值方差模型在计算上 的优势：其一，需要的计算时间远远小于二次规划模型，在i b m7 0 9 0 计算机上求解 1 0 0 变量此模型仅须3 0 秒的时间，而二次规划模型的运行时间为3 3 分钟；其二 此模型求解变量可达2 0 0 0 只风险证券，而m a r k o w i t z 均值方差模型求解的变量个数 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 1 不能超过2 4 9 个 2 1 4 2 多因素模型 r 0 8 e n b e r g 4 6 】和p e r o l d 【删又把单因素模型推广到了多因素的情况，该理论认 为资产的实际收益并不是笼统地受对“市场组合”变动的敏感系数的影响，而是分 别受对经济中许多因素变动的敏感性的大小的影响，即它假定资产i 的收益率是由 因素模型生成的，则此时股票i 的收益率即为； r i = 啦+ 砌乃+ 矗，i = l ，2 ，n j = 1 其中，乃是影响资产i 收益率的第j 个因素值，励是资产i 的收益率的第j 个因 素的敏感度( b e t a 值) ，j = 1 ，2 ，m ，o t t 是影响资产i 收益率的所有因素值都为0 时 资产i 的预期收益率水平，e i 是随机误差项在前述的单因素模型中，我们画出了 一条与数据( 股票收益率和市场收益率) 拟和的最好的直线类似的，在双因素模型 中，我们同样可以得到一个与数据拟和的最好的平面 2 1 5 投资组合基本概念介绍 2 1 5 1 有效前沿 理性的投资者具有。收益宁多勿少”和“风险宁少勿多”或风险回避的特性 因此，他寻求满足上述条件的资产组合z( 1 ) 在既定风险水平下，收益最大；在既 定收益水平下，风险最小满足条件( 1 ) 的组合被称为有效组合，所有有效组合形 成的集合称为有效集，有效集在风险收益空间上的轨迹称为有效边界，它是理性 投资者的机会集 e l 图2 2 ：有效组合 v 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 2 图( 2 2 ) 中e 点以下的组合为无效组合，因为在同样的风险水平上，存在着期 望收益更大的组合，例如b 点为无效组合点，因为在同一风险水平下，存在收益更 大的点d 由图可知c f 段曲线上任一点都是有效的，故曲线段c f 称为此投资组 合的有效前沿 2 1 5 2 期望效用函数 所谓效用就是一种投资的收益能给投资者带来的满足程度当两个不同的投资 方案产生的结果不易直接比较时，如一个投资方案的期望收益大，但风险也大，另 一个投资方案的期望收益小，但风险也小时，可采用效用函数来选择方案，见【2 】 某投资方案的效用是该投资方案的结果给予投资者的满足程度的度量，因此它是一 种主观评价，故不易测度但即使投资者不相信能正式地导出其效用函数，也可通 过分析效用函数的性质来更好地洞察投资者行为，并简化他作出投资决策时的机会 集常见的效用函数有以下几种； 1 指数效用函数 v ( x ) = 一e 一”， 其中a 为大于零的某一参数注意这个效用函数值为负由于对于效用函数而言只 有相对值是重要的，因此，这里函数值是正是负并无关系，该函数逐渐趋向于零 2 对数效用函数 矿( z ) = l n ( z ) ， 注意该效用函数仅当霉 0 时才有定义当z “0 时，该效用函数具有一个显著的 负激励事实上，如果有任何正的概率使得收益为零，则期望效用将为一o o 3 幂效用函数 u ( z ) = b x 6 ， 其中b s1 ，且b 0 的某一参数这一效用函数族包括风险中性效用( b = 1 ) 3 二次效用函数 u ( $ ) = z b x 2 ， 其中b 0 注意这一函数仅当z 1 2 b 时递增 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 2 1 5 3 无差异曲线 运用均值方差准则可以得到如图( 2 2 ) 所示的有效前沿为了了解不同投资 者在有效前沿上所做出的进一步选择我们必须结合其效用的无差异曲线来进行分 析一般而言，收益越高，效用越大；风险越大，效用越小根据收益与风险对称 原理，较小的预期收益对应着较小的风险，而较大的预期收益则往往伴随着较大的 风险对于任一投资者而言，我们总能够找出能够给他带来相同满足程度，但具有 不同的收益与风险的投资组合将这些组合描绘在横轴表示方差，纵轴表示收益的 平面上，就得到如图( 2 3 ) 所示的无差异曲线其中，( o ) 图为风险回避型，( 酌图 为风险偏好型，( c ) 图为风险中立型 图2 3 ：无差异曲线 e 从无差异曲线的定义可看出，其有两个重要的特性：1 位于同一条无差异曲 线上的所有证券组合，具有相同的偏好这一特点反映在图上就是无差异曲线之间 不能相交2 在坐标系中，越是位于西北方向的无差异曲线上的证券组合，期望 效用越大，越为投资者所偏好 2 1 54 最优证券组合 在m a r k o w i t z 假设下，每个投资者均会在有效边界上选择一个组合，但由于不 同投资者偏好态度的具体差异，他们会选择有效边界上不同的组合，其原因在于 m a r k o w i t z 假设未对有效边界上的组合之间的比较关系作出限定，而投资者个人根 据自身的偏好态度拥有自己的无差异曲线通过无差异曲线，投资者能够对任何证 券之间的满足程度作出比较，特别是，他也就能对有效边界上不同组合的满意程度 作出比较如图( 2 4 ) 所示， 与如为无差异曲线，l 为有效前沿，其交点为a ，b ，c 三点，因为无差异曲线 上的组合满意程度越高，所以a 点为该投资看来最优的 l u 2 u 3 v 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 4 组合这一组合事实上就是无差异曲线族与有效边界相切的切点所对应的组合 0 图2 4 ：最优证券组合 2 2 离散变量的投资组合基本模型 v 前面所述的投资组合类模型大都讨论投资组合选择问题的连续形式的解，但实 际金融交易中还包括许多其它离散特征，如交易次数上限，交易量下限，而且买卖 股票时是必须整手交易的，所有这些条件使得模型的解具有离散特征【3 5 】下面作 一简单介绍 ( n ) ：最小交易量限制( ab u y - i nt h r e s h o l d ) ：通过给股票的权重引入有限的上界 h 和下界蛳以及二元变量盈，相应的最小交易量限制可表示为以下形式， z 盈s s t q 盈，焉= 0 ，l ，i ；1 ，2 ，n ( 6 ) ：基数限制( c a r d i n a l i t yc o n s t r a i n t s ) ：为了控制交易费用或者是其他的目的， 一些投资者希望限制买卖资产的种类，在以上( b u y - i n ) 模型里我们控制买卖资产 的数量就可获得以下表示t 其中k 为限制可投资的证券的最大种数 k l | 面 耐 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 5 ( c ) ：交易手数整手限制( r o u n d l o tt r a n s a c t i o n ) ：在传统或者是连续变量的投资组 合选择模型里，交易变量是指买卖某一资产的权重，而在本模型里，交易变量限制 为整数，即整数手 当附加了以上限制以后，在此条件下我们重新考虑均值一方差模型或者是因素 模型，就等于给问题引入二元变量或者是混合整数变量，即使得问题的规模和计算 复杂性都增加 m a a s i n i 和s p e r a n z a1 2 9 】已经证明如果考虑交易手数整数手限制， 那么找到此投资问题的可行解是n p - 完备问题 c h a n g 【5 j ，s p e r a n z a 【5 1 】等用启发 式算法求解了带有基数限制的投资组合问题，s y a m 【5 2 】假设各个风险证券之间不 相关，从而使得协方差矩阵成对角阵，目标函数成可分离性结构，用分枝定界法求 出了带有离散变量的投资组合模型的精确解最近， l i 等【2 7 】在整数最优策略方 面取得了重大的突破，提出了收敛拉格朗日方法