（运筹学与控制论专业论文）模糊优化中的一些研究结果.pdf

摘要 随著在模糊环境下的优化问题在日常经济生活申的广泛应用；模糊优化问题显得日 趋重要如何用简捷有效的方法解决模糊优化问题，已成为广大学者关注的热点本文 主要研究了两类模糊优化问题一一系数为模糊数的模糊线性规划与模糊关系约束优化 下面简要介绍本文的主要研究结果。 第2 章主要讨论了一类在约束条件中系数为模糊数的模糊线性规划问题由于约束 条件的左右两边都是模糊效。因此必须考虑模糊数的排序本文给出一种新的排序指标， 这种方法直观，易于计算，可以对任意两个模糊数进行比较，从而将该类模糊线性规划 问题转化为经典的线性规划进行求解 第3 章的主要研究对象是一类具有模糊关系方程或模糊关系不等式约束的优化问 题，称为模糊关系约束优化( f r c o ) 由于约束条件是模糊关系方程及模糊关系不等 式，因此求解模糨关系方程及模糊关系不等式至关重要根据模糊关系方程与模糊关系 不等式解集的特点，我们将该类优化问题转化为有限个子问题分别进行求解在3 , 4 节 中，我们研究了目标函数为非线性光滑函数，约束条件为模糊关系不等式的f r c o 问 题，给出了一般的数值算法数值例子表骶i 本文给出的数值算法的迭代次数少，计算 时间短在本文的最后一节中，我们研究了具有线性目标，约束条件为取大一乘积型模 糊关系方程的f r c o 问题，并给出了数值算法及算例 关镰词t 模糊线性规划 模糊关系约束优化( f r c o ) ；模糊关系约束( f r c ) ；模糊 数；模糊数的排序；模糊关系方程( f r e ) ；模糊关系不等式( f r i ) s o m er e s u i 口so nf u z z yo p t i m i z a r i i i o n a b s t r a c t w i t ht h ea p p u c a t i o no ff u z z yo p t i m i z a t i o ni nm a n yf i e l d s ，t h ef u z z yo p t i m a z a t i o n p r o b l e m sa r em o r ea n dm o r ei m p o r t a n t h o w t os l o v et h i sk i n do fp r o b l e m si nt h ew a yo f c o n v i n e n ta n de f f i c i e n th a sb e c o m eah o tp o i n to fr e s e a r c h t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st w o k i n d so ff u z z yo p t i m i z a t i o np r o b l e m s ，i e ，f u z z yl i n e a rp r o g r a m m i n g p r o b l e m sw i t hf u z z y c o e f f i c i e n t sa n do p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t hf u z z yr e l a t i o nc o n s t r a i n t s i nw h a tf o l l o w s ， w ew i l li n t r o d u c et h em a i nr e s u l t so ft h ep a p e rb r i e f l y i nt h es e c o n dc h a p t e r ，f u z z yl i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e m sw i t hf u z z yc o e f f i c i e n t si n t h ec o n s t r a i n t sa r ed i s c u s s e d b e c a u s eo ff u z z yn u m b e r si nb o t hl e f ta n d r i g h ts i d e si nt h e c o n s t r a i n t s ，t h em e t h o d sf o rr a n k i n gf u z z yn u m b e r sm u s tb ec o n s i d e r e d i nt h i sc h a p t e r ， an e wr a n k i n gm e t h o di sp r o p o s e d t h i sm e t h o di s i n t u i t i o n i s t i c ，e a s i l yc o m p u t e da n d i tc a nb eu s e dt oc o m p a r ea r b i t r a r yt w of u z z yn u m b e r s a n db a s e do nv a r i o u sr a n k i n g m e t h o d s ，f u z z yl i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e m sa r es o l v e d t h et h i r dc h a p t e rf o c u s e so nac l a s so fo p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t hf u z z yr e l a t i o n c o n s t r a i n t s a c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e r i s t i co ft h es o l u t i o ns e to ff u z z yr e l a t i o ne q u a t i o n a n df u z z yr e l a t i o ni n e q u a l i t y w ec o n v e r tt h eo r i g i n a lp r o b l e mt oaf i n i t en u m b e ro fs u b - p r o b l e m sa n ds o l v et h e mr e s p e c t i v e l y i ns e c t i o n3 4 ，t h eo p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t h n o n l i n e a ra n ds m o o t h o b j e c t i v ef u n c t i o na n d f r ic o n s t r a i n t sa r e d i s c u s s e d ，a n dag e n e r a l n u m e r i c a la l g o r i t h mi sg i v e n t h r o u g hs o m ee x a m p l e s ，i tc a nb es e e nt h a tt h ei t e r a t i o n t i m e so ft h i s a l g o r i t h ma r ev e r ys m a l la n dt h ec o m p u t a t i o nt i m ei ss h o r t t h el a s t s e c t i o nf o c u s e so nt h eo p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t hf u z z yr e l a t i o ne q u a t i o nc o n s t r a i n t s t h ec o m p o s i t i o ni sm a x - p r o d u c ta n dt h eo b j e c t i v ef u n c t i o ni s l i n e a r f i n a l l yw eg i v ea n u m e r i c a la l g o r i t h ms i m i l a rt ot h eo i l eg i v e ni ns e c t i o n3 4 k e yw o r d s ：f u z z yl i n e a rp r o g r a m m i n g ；o p t i m i z a t i o np r o b l e mw i t hf u z z yr e - l a t i o nc o n s t r a i n t s ( f r c o ) ；f u z z yr e l a t i o nc o n s t r a i n t s ( f r c ) ；f u z z yn u m b e r ； r a n k i n gf o rf u z z yn u m b e r ；f u z z yr e l a t i o ne q u a t i o n ( f r e ) ；f u z z yr e l a t i o ni n - e q u a l i t y ( f r i ) 1 1 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名 秘嗍 逝。! l 绪论 本章首先介绍本文研究工作问题所依据的背景以及目前的发展现状， 而后简要叙述本文的主要内容 1 1 研究背景及发展现状 不确定性是客观世界中广泛存在的一种现象随着对实际问题的不断深入的研究， 特别是在人工智能方面，人们认识到，客观事物的不确定性并不唯一的表现为随机性， 模糊性也是普遍存在的不确定现象，因此，模糊数学的产生是人们对客观实际认识发展 的必然美国控制论专家l a z a d e h 于1 9 6 5 年在杂志i n f o r m a t i o na n dc o n t r o l 上的著 名论文f u z z ys e t s 标志着模糊集合理论的诞生模糊集合理论在数学领域本身以及 许多的实甩领域都得到了广泛的应用到2 0 世纪的9 0 年代，已经形成了具有完整体系 和鲜明特点的模糊拓扑学，模糊分析学，以及模糊逻辑理论等模糊数学的实际应用已 经涉及到了国民经济的各个领域，比如地质勘探、医学、军事、经济学、工业控制等 规划问题或最优化问题在数学中占有十分重要的地位但有时因为数据采集时的误 差或者数据带有一定的模糊性。在约柬条件中出现模糊系数就更加符合实际要求因此， 带有模糊系数的模糊线性规划更适于描述上述情况1 9 8 9 年，c a m p o s 和v e r d e g a y 在 文【1 】中研究了约束条件中以模糊数为系数的模糊线性规翔问题，其模型如下， n m a x ，( z ) = 勺q j = 1 8 t 意墨蟊，江1 ，m ( 1 1 ) j 窖l 巧0 ，j = 1 ，” 其中，瓦是模糊数，岛为实系数，唧为实变量文【1 】采用的方法是在( 1 1 ) 的第 一个约束条件的右靖根据决策者的意愿引入一个模糊效 ：c 和一个决策变量a c ( 0 ，1 】， 即求解下面的模型， n m i n 勺q 5 = 。1 8 t 妻a 巧唧s + 最( 1 一口) ，i = 1 ，一，m j = l z 0 ，8 ( 0 ，1 】 1 大连理工大学硬士学位论文 该方法中盂和口的取值都要由决策者决定，因此比较主观注意到( 1 1 ) 中第一个不等式 两边均为模糊数，因此我们必须给出模糊数之间排序的一个定义在模糊集合中，模糊数 作为一种特殊的模糊集占有十分重要的地位模糊数的排序是一个在模糊数空间中没有 得到完满解决的问题不同的学者针对特定的问题给出了不同的排序方法比较经典的 方法是d u b o i s 和p r a d e 依据可能性理论提出的几个排序指标【3 h i c h i h a s h i 和t a n a k a 在文4 】中给出一种更详细的比较区间数的方法r a n ：l i k 等给出的是梯形模糊数的排序 指标f 5 】l i o u 和f o r t e m p s 则利用面积进行模糊数的排序，见文 6 】，【7 】，【8 等等所有这 些排序方法大致可分为两种t 一种方法是利用经典关系进行排序，如 6 ， 7 】， 8 ，【1 1 ， 1 2 】 在这种方法中，把每一个模糊数由一个排序函数( r a n k i n gf u n c t i o n ) 映射为个实数， 然后根据实数的大小进行模糊数的排序该方法比较直观。如何定义排序函数是关键； 另一种方法是利用模糊关系来排序， 3 ， 9 ，【1 3 】即利用隶属函数来排序，该方法计算相 对复杂本文将给出一种新的排序函数的定义。根据新定义将模型( 1 1 ) 转化为经典的线 性规划，进而求解 在模糊数学及其应用的研究过程中，模糊关系在其中占有十分重要的地位模糊关 系是经典关系的一种推广，描述了客观世界中某些事物之间的不确定性关系1 9 7 6 年， s a n c h e z 在文 3 8 l 中提出了解决模糊关系合成的逆问题，也称模糊关系方程问题，并随 后应用在医疗诊断中【3 9 】模糊关系方程广泛地应用于模糊故障诊断，模糊决策，模糊 控制，专家系统等诸多领域一般的，模糊关系方程是指方程 ao 霉= b ( 1 2 ) 或等价的 n v 叼 q = 氏， l = 1 r 一，m( 1 3 ) j = l 其中a 是一个m n 阶的模糊关系矩阵，即a = ( ) 。【0 ，1 】，z 是各分量取 值 o ，1 1 的n 维向量，b 是各分量取值【0 1 1 的m 维向量。“矿是模糊关系合成运算， “v ”，“ ”分别为取大和取小运算模糊关系方程的研究一直是以取大一取小型关 系方程为重点，但取大取小关系方程对于实际问题的刻画有时也有其局限性，因此， 人们开始探讨其它类型的复合算子，比如取大一乘积型方程以及v t ( 模) 关系方程也 得到了较大的发展，见【3 2 】，【3 3 】， 3 4 】另外，在格或偏序集上关系方程的研究也取得了丰 富的成果，见【3 5 】， 3 6 】， 3 7 】等其中比较常见的是取大一乘积型关系方程， 或等价的 a z = b n v a q q 一岛， i = 1 ，m i = 1 2 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 模糊优化中的一些研究结果 其中a = ( a o ) 。1 0 ，1 】，z 是各分量取值 0 , 1 】的n 维向量，b 是各分量取值 【0 ，1 】的m 维向量，。- 4 是模糊关系合成运算，。v4 ，“”分别为取大和乘积运算 我们称方程( 1 2 ) 为取大一取小型模糊关系方程，简记为m - m 蛩f r e ，称方程( 1 4 ) 为 取大一乘积型模糊关系方程，简记为m - p 型f r e 如不加特殊说明，文中所说的模糊 关系方程均指m - m 型f r e 关于模糊关系方程的解法，从问题提出到上个世纪9 0 年代后期，一直是许多学者关 注的问题s a n c h e z 在文1 3 8 中指出，若方程解集不空，则存在一个最大解，并给出了 解存在的充要条件及最大解的求解方法 1 9 8 2 年c z o g a a 和p r e d r y c a 4 0 1 对模糊关系 方程的解集结构做了进一步的研究，给出了极小解的概念，并证明了模糊关系方程的解 集可由极小解和最大解确定在此基础上，给出了求解模糊关系方程极小解的算法但 不足之处是，算法虽然能求得所有的极小解，但同时也可能得到部分其它勰1 9 8 4 年 h i g a s h i 和k l i m 4 2 l 修正了c z o g a l a 和p r e d r y c a 算法中部分不妥之处，并给出了满足如 下条件的模糊关系方程的极小解的算法， b l b 2 k ( 1 6 ) 对这类模糊关系方程，汪培庄子1 9 8 4 年【5 5 给出了模糊关系方程极小解个数的确定方 法罗承忠等【5 2 l 给出了极小解的筛选方法关于模糊关系方程的其他研究成果参见 4 1 ， 4 2 】， 4 3 】，1 4 4 ，【4 5 ， 4 6 ，【4 8 】等 一般的，若模糊关系方程( 1 2 ) 的解集非空，则它有唯一的最大解i 和有限个极小 解点1 ，套，方程的解集为 z = x 1 3 1 t s ts t 岔茹s - ) 虽然从理论上模糊关系方程问题已基本解决，但在其应用过程中，还会遇到一些更复杂 的实际问题例如，在某些故障诊断中，要求在某种模糊关系约束条件下，求得误差最 小的诊断结果为了解决模糊关系方程在应用中遇到的各类问题。许多学者提出了各种 具有模糊关系方程或模糊关系不等式约束的优化问题，我们称之为模糊关系约束优化， 简记为f r c o 问题 1 9 9 1 年，汪培庄在文 4 9 1 中提出了一种带有模糊关系不等式约束和格运算目标的格 化线性规划问题这是模糊关系方程第一次被引入到规划问题中来 1 9 9 2 年。w a n g 5 7 在应用模糊模式识别解决一类医疗诊断问题中，提出一种具有 模糊关系方程约束的规划问题1 9 9 8 年l u 在解决通讯设备的某些问题中也用到类似的 规划模型一般的，我们可将这类问题描述为 m i l l ，( 茁) s t ao 。= b ( 1 7 ) 筑【0 ，1 1 ，= 1 ，- 一，n 3 大连理工大学硕士学位论文 其中a 是个mx 竹阶的模糊关系矩阵，b 【0 ，1 p ，是个r 上的函数2 0 0 1 年 l u 和f a n g 5 1 】利用遗传算法给出了问题( 1 7 ) 的一般算法。 1 9 9 9 年方述诚在文 5 0 】中饵决了其中一类具有线性目标的问题，即 m i n q q s t ao z = b z t 【0 ，1 ，t = 1 ，n 其主要的思想方法为一根据问题可行域的特殊结构，将原问题转化为两个具有单调目标 函数的子问题。 o ，1 】，i = 1 ，他 m i n 寸 = 1 s t ao z = b z t 0 ，1 ，t = 1 ，- 一，n 其中寸= m a x c ，o ) ，可= l i i l 抽，o ) ，然后转化为整数规划利用分支界定法求解 2 0 0 3 年，张洪涛等在文【4 9 】，【5 0 】的基础上研究了具有线性目标和模糊关系不等式约 束的规划问题【5 8 1 ，其模型如下， r a i n q 甄 t = l s t 6 ao o d 0 勰s 1 ( 1 8 ) 利用文 4 9 】中给出的。路径法。，文【5 剐给出了模型( 1 8 ) 的解法 2 0 0 1 年，l o e t a m o n p h o n g 和f a n g 【5 3 】研究了带有m - p 型f r e 约束的f r c o 问 题，模型如下， ( 1 9 ) 其主要思想是将原规划转化为整数规划利用分支界定法求解 模糊关系约束优化问题的约束函数是非光滑的，可行域也不是凸集。因而不能用一 般的优化方法来解决事实上，其根本原因在于模糊关系方程或模糊关系不等式中的运 算是格运算，而不是加法、数乘等线性空间中的代数运算在这类闯题算法的已有研究 结果中，要么是根据具体问题的特殊性构造算法，要么是利用启发式算法来求解，比如 文 5 1 】中利用的是遗传算法也就是说。到目前为止，并没有给出f r c o 问题的般求 4 戤 | | 。静枷 荟 吼 救 | | q z。汹小 旨 札 模糊优化中的一些研究结果 解方法本文将研究更一般的优化模型， m i n ，( 茹) s t a o x d 1 b o 毋 甄【0 ，1 】，t = 1 ，n ( 1 1 0 ) 不难看出。格化线性规划问题和( 1 7 ) 都是如上优化模型的特例本文将给出，为光滑 函数情况下的一般数值算法 1 2 内容介绍 本文主要研究了两类模糊优化问题一类是约束条件中系数为模糊数的模糊线性规 划；一类是模糊关系约束优化下面简要介绍本文各章节的主要内容 第2 章首先综述了模糊效的几种排序方法，然后给出一种新的排序方法，即定义一 个新的排序函数。新方法对任意类型的两个模糊数都具有可比性最后通过利用已有的 和新的排序方法，解决了一类在约束条件中系数为模糊数的模糊线性规划问题 第3 章主要研究了模糊关系约束优化问题首先比较系统的给出了m - m 型f r e ， m p 型f r e 以及f r i 最大解和拟极小解的求解算法根据模糊关系方程与模糊关系不 等式解集的特点，我们将该类优化问题转化为有限个子问题分别进行求解在3 4 节和 3 5 节中，我们分别研究了两类具体的模糊关系约束优化问题，给出了一般的数值算法及 算例 5 2 模糊线性规划 在这一章中，我们研究第一类模糊优化问题，即约束条件中两边系数均为模糊 数的模糊线性规划由于系数是模糊数，因此必须考虑模糊数的排序问题本章给 出一种新的排序方法，这种方法便于计算，可以比较任意两个模糊数利用这种新 方法，将模糊线性规船转化为经典的线性规划进而求解 2 1 模糊线性规划 线性规划在实际中有着非常广泛的应用在许多实际的优化问题中，由于准确度上 的误差以及数据采集时的模糊性，使得线性规戈! l 中的某些系数并非是确切的“非此即彼“ 的实数此时，系数为模糊数的模糊线性规划问题往往更能深刻地刻画实际问题 2 1 1 模型描述 本文我们讨论在约束条件中两边系数均为模糊数的模糊线性规划问题，其模跫如下， m a xy = c 1 机+ c 2 x 2 + + 岛 s , t 盈1 0 l + 五把2 + + a 讯o 。6 ，i = 1 ，2 ，一，m( 2 1 ) q 0 ，j = 1 ，2 ，一，n 其中5 q ，玩是模糊数，勺是目标函数中的实系数，q 是实变量，i = 1 ，m ，j = 1 ，- 一，n 在模型( 2 1 ) 的第个约束条件中，由于不等式两边是模糊数，因此要解决问题( 2 1 ) ， 关键是如何定义两个模糊数之间的大小比较 2 1 2 模糊数的排序方法概述 关于模糊数的排序问题已有不少的文章对其进行了研究。排序方法多种多样下面 将对已有的几种模糊数的排序方法进行简要的概述首先来看模糊数的定义模糊数是 实数集上的模糊子集，具有正贝性和凸性，即有 定义2 1 【2 2 】称a ：r 一 0 ，1 j 是一个模糊数，如果a 满足下列条件。 ( 1 ) a 是正则的，即存在知r ，使得a ( 跏) = 1 ； ( 2 ) 任给a ( 0 ，1 ，a 的a 一藏来a 。= 和r l a ( x ) 口) 是一个闭区间，记做 ，瓦 7 大连理工大学硕士学位论文 全体模糊数的集合记为，对一个模糊数a ，它的隶属函数可以定义如下 f ，( z ) ，口s 。 6 ； ，、j1 ，bs 。sc ； 蹦叫2 1g ( ，c z d 【0 ，其它 其中，( z ) 为连续单调递增函数，g ( ) 为连续单调递减函数。我们分别称其为左、右隶属 函数为了书写方便，我们将隶属函数定义如上的模糊数记为a = ( 口，b ，c ，回当b = c 且 f ( x ) = 0 一口) ( 6 一口) ，g ( x ) = 一d ) ( b - d ) 时，称a 为三角模糊数。记为a = ( 口b ，d ) 模糊数的排序是一个在模糨数空间中没有得到完潜謦决的问题，每一种排序方法 都有其优点。很难去衡量哪一种是最好的一般的是根据实际问题来选择使用哪种排 序方法我们可将已有的排序方法大致分为两类：一类是利用经典关系进行排序，如 6 】“7 】，i s ， 1 1 ， 1 2 】；另类是利用模糊关系来排序，如f 3 】i 【9 】， 1 3 】等 首先我们来介绍第一类方法。在这类方法中，定义排序函数是关键排序函数是一 个将模糊数映射为实数的函数，然后根据实数的大小来定义原模糊数的大小即，令映 射 i ：乒_ r x 2 c a ) ；1 2 j ( ( + - 口) 如 ( 2 3 ) 腓，一滕篓 模糊优化中的一些研究结果 图2 h 模糊数a 的隶属函数 其中馏是左隶属函数，其反函数记为鳕 屯( a ) = 詹话( v ) 曲，如( 云) = j 0 1g g ( u ) d u ，路是右隶属函数，其反函数记为鳕 l i o u 定义的排序函数为如：，_ + r 厶( a ) = 口如 ) + ( 1 一口) 屯( a ) ，盘【0 ，1 】 ( 2 4 ) 另一类模糊数的排序方法是利用模糊关系，即模糊隶属函数来排序最经典的是d u - b i o s 和p r ：l e 在文【3 中基于可能性理论提出的4 种排序指标，其中的两种定义如下， ( 1 ) a s5 的可能性程度定义为 p e s s ( a b ) = s u pm i n 嘛( 轨) ，( ) 】 q s q ( 2 ) a s5 的必要性程度定义为 n e c ( a b ) = i n s u pm a x 【1 一蜥) ，( ) 】 q2 j z 。 其余两种指标是a b 的可能性程度和必要性程度，可类似如上定义 在实际应用中，给定一个决策变量口 0 ，1 】，当p o ( as5 ) a 或n e c ( 5 冬5 ) q 时，则有a b 当a ，b 分别是三角模糊数时，给定口 0 ，1 】。由式( 1 ) 和( 2 ) 可以分 别得到下面的两个不等式， 丘6 斜p o s s ( a b ) a 甘口6 1 + ( 1 一a ) a l s 口k + ( 1 一o ) c 2 a sb 骨n e c ( a b ) a 铮a b l - i - ( 1 一a ) a i s ( 1 一口) 6 2 + a 口2 其中五= ( a l ，b l ，c 1 ) ，b = ( a 2 ，6 2 ，句) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 1 9 9 8 年，g r z e g o r z e w s k i 在文 1 4 】中介绍了另一种排序方法首先给出了两种模糊 数之问的距离定义昂口和m ( i p o 。，0 口1 ) ，然后定义了个低水平和一个高 水平 9 大连理工大学硕士学位论文 定义2 2 【l 卅模糊数l ( 一4 ) 称为是给定模糊数集一4 的低水平，如果对v a 一4 ，都有 s u p ( s u p p # l ) i n f ( s u p p a ) ，其中比和分别是模糊数工( 一4 ) 和a 的隶属函数 定义2 3 【i 訇模糊数v ( 称为是络定模糊数来a 的高水平，如果对v a a ，都有 i n f ( s u p p # u ) s u p ( s u p p u a ) ，其中芦【，和分别是模糊数矿( 一4 ) 和a 的隶属函数 可以看出。模糊数集一4 的低水平或高水平不止有一个，选取一个固定的低水平l 和 一个固定的高水平u ，利用前面定义的距离函数，模糊效a ，6 4 的排序可定义如下， 定义2 4 【1 訇a - l6 = 辛品g ( a ，l ) s 如口( 6 ，l ) ，a - u6 净屯口( a ，u ) ，口( 6 ， 定义2 5 【“】a - l6 = 净岛( a ，l ) p , c b ，l ) ，a - vb = 亭p w , ，u ) p p ( b ，u ) 该方法实际上可归于第一类方法，m 脚可以看作是排序函数，但该方法要依赖于 低( 高) 水平的选取在本文中，我们将低( 高) 水平选定为模糊数6 ，任意给定两个 模糊数，分别考虑它们与6 之间的距离，从而给出模糊数之间的一个排序下一节中的 方法正是根据上述思想构造的 2 2 一种新的排序方法 给足楱糊效五= ( a ，6 ，c ，d ) ，考虑a 的左隶属函数，【引祁石录属函散g ( ) 与g 釉上 的线段 ( z ，) i 霉= 0 ，0 y l 所围成的面积首先定义下列几个函数，令 即，= 瓤装 g = 鬟象 耶) = 篡 我们定义一个新的排序函数如下， 定义2 6 设a = ( a ，6 ，c ，d ) ，定义从，到r 的函数a 为 a ( a ) = r f ( 茹) 如+ 片e ( 霉) 如+ f g ( 。) 如+ 瞄( 1 一，( 茹) ) 如】+ + 心( 1 目( z ) ) 酬+ 其中 t c 善，】+ = ： ：；： 我们称如上定义的函数a 为a 的面积函数，a ( a ) 为a 的面积函数值 1 0 模糊优化中的一些研究结果 ( 2 2 1 )( 2 2 2 ) ( 2 2 3 )( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 图2 2 ：模糊效a 的隶属函数分类情况 定义2 7 设a ，5 芦，称a 5 ，如果a ( a ) a ( 奶 当a = a r ，5 = 6 r 时，a ( a ) = 口，a ( 5 ) = b ，定义2 , 7 符合实数大小的比较规 则设a = ( 口，b ，c ，d ) f ，根据a 的隶属函数与耖轴的位置不同，a ( a ) 的计算大致可 分为下列几种情况，见图2 2 ( 1 ) d 0 ，a ( 2 , 2 5 ( 动= 罐 其中爿，趣a = 1 ，5 ) 表示各阴影音b 分的面积大小 在图2 1 中利用新的排序函数所得到的结果为 a ( a ) = s 1 + 岛一岛 本节给出的方法属于前面我们提蓟的第类排序方法，即利用经典关系排序与前 1 1 大连理工大学磺士学位论文 面介绍的几个排序函数相比，新的排序函数不必求模糊数的截集而是直接对隶属函数求 积分，对于三角模糊数、梯形摸糊数等这些特殊类型的模糊数来说计算非常简单相对 文【1 4 来说，新的排序方法也不必依赖于低( 高) 水平的选取 2 3 模糊线性规划的求解 本文研究的模糊线性规划模型如下 m 8 x 移= c l 孑l + 臼劫+ - - - + 岛； s t 氲1 茹l + 氐2 。2 + + s 玩，e = 1 ，2 ，仇 ( 2 , 7 ) q 0 ，j = 1 ，2 ，n 应用在2 1 节和2 2 节中介绍的几种排序方法，模型( 2 7 ) 可分别转化为下述几种不同形 式的经典线性规划问题，进而求解 ( ) 由( 2 2 ) 可得 m 8 x 勺巧 s t 三n 【j 。i 口( 岛。+ 殇。) 出) s 詹口池。+ 瓦) 如，江1 ，2 ，m ( 2 8 ) q 0 ，j = 1 ，2 ，n ( b ) 由( 2 3 ) 可得 m a , x c 8 t 三n 【j 0 1 ( 岛。+ 。) 如) q 詹( 虬+ 瓦) d a ，i _ 1 ，2 ，m ( 2 9 ) j = 2 j 0 ，j = 1 ，2 ，魄 ( c ) 给定一个o t 0 ( 0 ，1 ，从( 2 4 ) 可得 m s , x 白 寻 s t 陋。如( ) - 4 - ( 1 一a o ) z l ( a , j ) x dsa o 如( 瓦) + ( 1 一锄) 屯( 蟊) ，i = 1 ，m ，= i 0 ，j = 1 ，n ( 2 1 0 ) 1 2 模糊优化中的一些研究结果 ( d ) 同样的，给定一个固定的0 9 0 ( 0 ，1 ，根据式( 2 5 ) 和( 2 6 ) ，我们分别得到如下 两个经典的线性规划问题 m a x 勺 s t 量 ( 1 一a 。) j + a o b q j qs ( 1 一q 。) 岛+ a o b i ，i ：1 ，m ( 2 1 1 ) j r l 0 ，j = 1 ，- ，” 其中= ( 呦，b ，q j j ) ，6 t = ，b i ，q ) ，与 m a x q q s t 苎 ( 1 一。) q 列+ a o b l j j l 。j ( 1 一a 。) “+ 蛳啦，i = 1 ，一，m ( 2 1 2 ) j = l 0 ，j = 1 ，扎 其中如= ( a i j j ，b q j ，。u j ) ，b i = ( 啦，峨，q ) ( e ) 利用定义2 7 ，我们可得如下模型 m a x q q s t 壹a ( b ) q 茎a ( 茸) ，i ：1 ，m ( 2 1 3 ) j - - - - 1 q 0 ，j = 1 ，- 一，“ 为了求解问题( 2 - 7 ) ，我们需要将( 2 - 7 ) 中每个模糊数的面积函数值算出计算面积 函数值的过程实际上就是对每个模糊数的左、右隶属函数积分的过程因此，新方法可 以比较任意两个模糊数，并且计算起来也比较简便 2 4 数值例子 其中 本节给出一个算例用以比较上述几种方法 算例t 考虑如下的模糊线性规划问题 m a x 3 x l + 0 2 s t 2 z t + 3 x 2 6 4 x t 一8 霉2 s 1 0 z l ，0 2 0 = ( 0 ，2 ，4 ) ，= ( 一1 ，3 ，5 ) ，6 = ( 2 ，6 ，8 ) 1 3 大连理工大学硬士学位论文 问题的求解如下 ( a ) ：由( 2 8 ) 得 其最优解为 a = ( 1 ，4 ，5 ) ，一= ( 一1 0 ，一8 ，2 ) ，内= ( 6 ，1 0 ，1 2 ) 目标函数的最优值为 ( b ) ：由( 2 9 ) 得 其最优解为 目标函数的最优值为 m a x 3 x i + x 2 s t 2 z i + ；z 2 冬警 3 x i 一3 2 2 曼2 9 茁l ，0 2 0 窖+ = ( z i ，z ；) ( 2 8 3 3 3 ，0 ) 矿8 5 1 1 1 8 x 3 x 1 + z 2 s t 4 x i + 5 = 2s 1 1 7 x i 一1 2 = 2 1 9 o l ，2 2 0 = ( 石：，茹；) ( 2 7 3 4 9 ，0 0 1 2 ) ( c ) ：令g o = 0 8 ，由( 2 1 0 ) 得 其最优解为 目标函数的最优值为 y 8 2 1 6 9 m s , x 3 = i + z 2 s t 1 3 = 1 + 1 7 = 2 3 2 4 1 = i 一4 2 = 2 s 1 0 4 z 1 ，z 2 0 矿= ( z ：，蝠) ( 2 4 6 1 5 ，0 ) 64837 2 2 4 一坞 i l y 模糊优化中的一些研究结果 ( d ) ：令a o = 0 8 ，由( 2 1 1 ) 得 其最优解为 目标函数的最优值为 由( 2 1 2 ) 得 其最优解为 目标函数的最优值为 ( e ) ：由( 2 1 3 ) 得 其最优解为 目标函数的最优值为 2 5 结论 m a x 3 x i + z 2 s t 8 x i + 1 1 x 2 3 2 1 7 x i 一4 2 x 2 5 2 z 1 ，z 22 0 z = ( z ：，z ；) ( 3 6 6 3 5 ，o 2 4 4 7 ) 归等州粥s z m a x 3 = i + x 2 s t 8 x i + 1 1 x 2 1 4 1 7 = i 一4 2 x 2 3 4 茁1 ，a 2 0 。+ = ( 。：，茹；) = ( 1 7 5 0 0 ，0 ) 归警 5 2 5 m a x 3 = a - f 0 2 s t 3 = t + 警z 2 7 甄一警。z 1 1 o l 茁2 0 。+ = ( 。：，z ；) ( 2 3 3 3 3 ，o ) y = 7 从计算过程看，新方法是最简单的从比较范围上看，新方法可以比较任意类型的 两个模糊数从结果上看，计算值也是比较准确的考虑到实际计算和操作的简便，我 们仅列出以上几种排序方法，有兴趣的读者可参阅( 4 】，【5 ，【9 ，【1 1 】，【1 2 ，1 1 3 等 1 5 3 模糊关系约束优化 模糊关系矩阵、模糊关系方程及模糊关系不等式是模糊数学中的重要内容，已 经广泛应用于故障及医疗诊断，模糊控制，模糊决策等领域本章将首先系统的给 出求解模糊关系方程和模糊关系不等式的最大解和拟极小解的算法，然后利用模糊 关系方程和模糊关系不等式特殊的解集结构来鹅决类具有模糊关系方程和模糊关 系不等式约柬的优化问题一一模糊关系约束优化( f r c o ) 问题 3 1 模糊关系及其合成 在自然界中存在着这样或那样的关系，有些关系是确定性的，而更多的是界限不明 显的关系。如信息处理中各种信息的相近关系，远远大于关系等模糊关系就是用来描 述这些不确定性关系的 定义3 1 设x ，y 为论域，若兄，( x y ) ，且l i 称r 是x 到y 的模糊关系；若x = y ， 则称r 是x 上的模糊关系 对于z x ，y ，r ( x ，y ) 刻画了z 对于掣的相关程度如果将丑限制为x y 上的分明集，则此时r 即变为普通的关系，所以，模糊关系是经典关系的推广 定义3 2 设r e f ( x y ) 。q 珂y z ) ，称模糊关系r o q ，( x z ) 为冗与 0 的合成，其中 ( r 。q ) 0 ，名) = v ( r ，y ) q ( y ，z ) ) v e y 3 2 模糊关系方程 模糊关系方程是由s a n c h e z 于1 9 7 6 年在文【3 8 】中提出的，用于解决医疗诊断中的 问题它是模糊关系合成的逆问题一般的可以描述成 ao 茁= b ( 3 1 ) 其中a = ( o 玎) 。，a q f o ，1 是一个mx 佗阶模糊关系矩阵，= ( 。l ，z 。) t 【0 ，1 1 “，b = ( 6 l ，k ) r 【o ，1 】”，“o ”表示m a x - m i n ( 取大一取小) 复合运算 1 7 大连理工大学硬士学位论文 模糊关系方程的应用十分广泛，包括模糊故障诊断，模糊决策，模糊控制等下面就 来介绍模糊关系方程的解的结构和解法不矢一般性，为方便讨论，我们总是假设b 1 b 2 b 。一般来说，一个模糊关系方程若有解，则它的解集由其最大解和若干个 极小解确定其中最大解比较好求。但其解集极小点处的结构比较复杂因为本文我们 给出的求解f r c o 问题的数值算法中只需用到最大解和拟极小解，因此，下面将分别总 结m m 型f r e 和m p 型f r e 的最大解和拟极小解的求解方法 3 2 1 取大一取小型模糊关系方程 e s a a c h e z 在讨论模糊关系方程的相容性与最大解时引出一种算子a ， 枷= r ：；： 设q 是x 到y 上的模糊关系，兄是y 到z 上的模糊关系，规定 ( 0 r ) 扛，z ) = 八( q 扛，”) a r ，。) ) 则方程xo r = s 相容的充分必要条件是贾= ( r o s r ) r 满足方程。此时贾为方程 x o r = s 的最大解 注；在本文中，我们约定加= 1 ，v d = 0 在本节中，模糊关系方程指的是取大一取 小型模糊关系方程 下面讨论模糊关系方程拟极小解的求解方法c z o g a l 于1 9 8 2 年在文 4 0 1 还给出了 求解拟极小解的算法( 极小解一定是拟极小解) 罗承忠等1 5 2 给出了从拟极小解中筛 选极小解的方法下面介绍的m mf r e 拟极小解算法是根据汪培庄【5 5 】的特征矩阵理 论和罗承惠降2 的极小解筛选方法来构造的。下面将列出构造算法所需要的主要命题和 定理，这些命题和定理的证明可参见 4 0 】，【5 2 】， 5 5 】等首先介绍一些辅助概念称矩阵 c = ( ) 。为( 3 1 ) 的m - mf r e 特征矩阵，其中 q = r 茹驴k 定义指标集j ：= d l = 1 ) 。称为第i 行的备选指标纂，其中i = 1 ，m 。p = 0 1 ，) 称为a 的个路径。其中p l ，i = 1 ，m ， 定理3 1 1 5 n 】设p = ( p i ，p m ) 是( 3 1 ) m mf r e 特征矩阵g 的一个路径，令x p = ( 舛，