（运筹学与控制论专业论文）线性时不变切换系统能控的充分必要条件的简化.pdf

摘要 线性时不变切换系统能控的充分必要条件的简化 专业名称：运筹学与控制论 作者：罗尚辉 指导老师：殷朝阳副教授 摘要 本文主要研究一类混杂系统一一线性时不变切换系统的能控的充分必要条 件的简化。尽管在稳定性方面的研究结果比较丰富，但由于切换系统的复杂性， 能控性方面的结果相对比较少。一些能控性结果的条件还很难验证。注意到非切 换线性系统存在有p b h 判据，而且还发现一类特殊的有两个切换子模式的线性 时不变切换系统具有类似的结果，从这里我们得到启发。基于矩阵分析理论，给 出了一个系统矩阵可交换的条件下有两个子摸式的线性时不变系统的类似p b h 判据的充分必要条件。在这个结果的证明过程中，提出了切换系统不能控的结构 分解引理。接着给出了该类切换系统的能控规范型的定义及其结构。最后晚明上 述大部分结论可以平行推广到多个切换子模式下的情形。到此为止，初步建立起 来了类线性切换系统的知识框架。 关键词：线性切换系统，可交换，能控性，结构分解，规范型。 中山人学硕i ：学位论文 a b s t r a c t s i m p l i f i c a t i o no f t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n o fc o n t r o l l a b i l i t vo f l i n e a rt i m e i n v a r i a n ts w i t c h e d s y s t e m s m a j o r ：o p e r a t i o nr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s n a m e ：l u o s h a n g h u i s u p e r v i s o r ：y i nz h a o y a n g a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h es i m p l i f i c a t i o no ft h es n f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no f c o n t r o l l a b i l i t yo fas p e c i a lc l a s so fh y b r i ds y s t e m s ，l i n e a rt i m ei n v a r i a n ts w i t c h e d s y s t e m s ，i ss t u d i e d t h o u g ht h e r ea r ep l e n t yo fr e s u l t si ns t a b i l i t y ，t h e r ea r ef e wr e s u l t s i nc o n t r o l l a b i l i t yb e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t yo fs w i t c h e ds y s t e m s s o m eo ft h e c o n d i t i o n si nt h o s er e s u l t sa r ee v e nh a r dt ob ev a l i d a t e d t h ei d e ao ft h i sp a p e rc o m e s f r o mt h ep b hc r i t e r i ai nn o n s w i t c h e d1 i n e a rs y s t e m a sas i m i l a rr e s u l ti sf o u n di n c e r t a i nk i n do fl i n e a rt i m e i n v a r i a n ts w i t c h e ds y s t e m sw i t ht w os u b s y s t e m s b a s e do n t h em a t r i xa n a l y s i st h e o r i e s ，as i m p l es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no f c o n t r o l l a b i l i t yo fc o m m u t a t i v el i n e a rs w i t c h e ds y s t e m sw i t ht w os u b s y s t e m s ，w h i c h i ss i m i l a rt ot h ep b hc r i t e r i a ，i sg i v e n d u r i n gt h ep r o o fo ft h i sr e s u l t ，t h ee x i s t e n c eo f s t r u c t u r ed e c o m p o s i t i o no ft h eg e n e r a ll i n e a rt i m e i n v a r i a n ts w i t c h e ds y s t e m si s p r e s e n t e d m o r e o v e r f l o r w l a lf o r mo fc o n t r o l l a b l ec o m m u t a t i v el i n e a rs w i t c h e d s y s t e m si sa l s og i v e n f u r t h e r m o r e t h e s er e s u l t sc a na l s ob ee x t e n d e dt oc o m m u t a t i v e l i n e a rs w i t c h e ds y s t e m sw i t hm o r et h a nt w os u b s y s t e m s t od a t e w eh a v e e s t a b l i s h e dap r e l i m i n a r yk n o w l e d g ef r a m eo fac e r t a i nk i n do fl i n e a rt i m e i n v a r i a n t s w i t c h e ds y s t e m s k e yw o r d s ：l i n e a rs w i t c h e ds y s t e m s ，c o m m u t a t i v e ，c o n t r o l l a b i l i t y ，s t r u c t u r e d e c o m p o s i t i o n ，n o r m a lf o r m 中山人学硕，i 学位论文 l i 第一章绪论 第一章绪论 这一章将主要介绍切换系统的理论提出及其发展和研究现状，并简要说明本 文的主要工作。 1 1 切换系统概述 1 1 1 切换系统理论的提出与发展f 1 7 1 “切换”作为一种控制思想，很早就在控制理论中得到了应用。在经典控制 理论中，为解决非线性系统出现的周期性振荡，特别是伺服系统的稳定问题，提 出了开关伺服系统，即包含有继电器的伺服系统，简称继电系统。这种丌关系统 的一个最大优t l 足用非常简单的“丌”与“关”操作很大的功率。 在2 0 【| = ! = 纪5 0 年代初期，在航空航大领域，为节省宝贵的燃料，提出了d 寸r h j 最优控制和时卧燃料最优控制问题。b a n g b a n g 控制实际上是一种时间最优控 制，其最优解的形式就是一个分段常值型的雨数，其特点是控制量在r ，_ 控输入卜 下边界值之问跳变。b a n g b a n g 控制的控制作用为丌关函数，属于继电型，也是 种位式丌关控制，但其中由于提出“切换而”的概念，所包含的“切换”控制 思想更加明显易见。 当被控对象的模型参数发生变化时，意昧着系统模型参数演变中的不确定性。 为了解决系统参数不确定性问题，发展起来另外两套理论：鲁棒控带l j ( ( r o b u s t c o n t r 0 1 ) 平1 白适应控带1 ( a d a p t i v ec o n t r 0 1 ) 。鲁棒控制使系统对模型的变化不敏感： 自适应控制经过在线辩识，不断修改模型参数。然而这两种方法都有其一定的局 限性，印要求系统参数的变化不能太大，要在一定范围之内，或系统的结构不能 发生类型上的变化，否则将失效。因此为了进一步提高鲁棒控制与自适应控制的 适用范围，这两种控制方法有时也要引入切换来提高其总体控制性能。 “切换”的思想贯穿了从最基本的开关控制到相对高级的智能控制等多种不 同的控制算法，切换的方式不仅包括“硬切换”而且包括“软切换”，是解决复 杂系统控制问题的有效工具之一，而且这种控制思想也符合人类控制器解决复杂 性问题的基本特征，即“分而治之”的控制思想。类似的例子非常多，比如积分 分离p i d 控制、f u z z y p 1 d 双模控制等都具有明显的切换控制思想。 1 1 2 切换系统研究内容与研究现状 切换系统是一类重要的混杂系统，也是与控制理论f 经典控制理论、现代控 制理论和智能控制理论) 联系最为密切的一类混杂系统，主要研究内容包括切换 系统的建模、分析和控制等，切换系统是混杂系统理论与应用研究中非常活跃的 一个分支。 1 ) 切换系统的建模 目前切换系统的建模方法有很多种，以下为其中两种较常用的建模方法。其 中一种模型可用下面的四组表示 1 6 ； 中山人学硕l 学位论文 线性时不变切换系统能控的充分必要条什的简化 h = ( x ，q ，f ，s ) ，( 1 _ 1 ) 公式f 1 1 ) m 各元组的说明如下： x ：x 表示切换系统的连续状态空间。x c r ”，u 为状态空间维数； q ：q 表示切换系统的离散状态集合。离散状态的一种取值与一种子系统运 行动态相对应。假设切换系统中子系统数目有限，则q 为个有限集，记为 o = 1 ，2 ，3 ，q ，q = 2 ， f ：f 表示各c o n t i n u o u sv a r i a b l ed y n a m i cs y s t e m sf c v d s ) 子系统运行动 态的向量场l ( k q ) 的集合，记为f = 五l k e q ； s ：s 表示切换系统中的一组切换集，记为s = 靠i ，k q ，j t 。其中s m 表示系统从离散状态j 切换到离散状态k 所对应的切换集，它是连续状态空问中 的一个子区问。 切换系统的模型还j 表示如f 1 1 ： “i ( t 譬g m ( x ( o o 搬i ( tu “( o 泌 ( 1 2 ) ) =，) ，f ) ， 、 其中x c r “是系统的连续变量。 i l = 件，一，i 矗，每个 i ，= k ，f ：，r e r “是+ 个d 维向量，i 可以是有限集合，也可以是无限集合。 f 表示i ( t 1 是分段时不变右连续函数。“e r 一是系统的p 维控制输入向量。 无论采用切换系统的哪科t 建模方法，都要体现出系统中连续变量与离散变量 的共存性，同时还要刻画出两者之i u 的相互作用。 2 ) 切换系统的稳定性分析 目前关于切换系统的研究主要集中于系统的能控性和稳定性方面。切换系统 的稳定性分析是目前切换研究中的一个热点，主要集中于l y a p u n o v 稳定性的判 定1 1 ，7 。由于“切换”的引入，使切换系统的稳定性发生很大的变化。例如， 尽管每个子模式稳定，但不恰当的切换又会导致整个系统不稳定：再如，每个子 模式不稳定，但通过恰当的切换又会导致整个系统稳定。因此，研究切换系统的 稳定性，必须同时考虑各子模式的稳定性和系统的切换策略。 p e l e t i e s 和d e c a r l o 8 在1 9 9 1 年研究了线性切换系统的稳定性问题，以二次 型形式的类李雅普诺夫函数( l y a p u n o v l i k ef u n c t i o n s ) 为研究工具，给出系统渐进 稳定的充分条件。b r a n i c k y 1 9 ，2 0 研究了非线性切换系统的李雅普诺夫函数稳定 性，并提出了多李雅普诺夫两数( m u l t i p l el y a p u n o vf u n c t i o n s ) 的概念，并随后成 为研究切换系统稳定性的主流方法。h o u 等f 1 1 1 3 1 提出弱类李雅普诺夫函数 ( w e a kl y a p u n o v l i k ef u n c t i o n s ) 的方法，降低 9 】的保守性。p e t t e r s o n 和 l e n n a r t s o n 1 4 4 q - 1 1 1 中的充分条件进一步弱化，由要求弱类李雅普诺夫函数连续 可降低为连续，同时针对线性切换系统，将寻找李雅普诺夫函数的问题转化为线 性矩阵不等式问题( l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yp r o b l e m ) ，并指出了如何得到鲁棒性 的途径。b l o n d e l 和t s i t s i k l i s 1 5 研究了稳定性的判定复杂性问题，指出即使只有 中1 1 1 人学顺f 学位论文 第一章绪论 两种子模式，系统的稳定胜是不可确定( u n d e c i d a b l e ) 问题。b r a n i c k y 9 ，1 0 1 还应用 l t e r a t e d f u n c t i o ns y s t e m s 理论给出了系统l a r a n g e 稳定性的充分条件。刘玉忠 1 6 研究了一类具有m 个开关系统的渐近稳定性，借助于多重l y a p u n o v 函数，给出 了该系统全局渐近稳定的充分条件。翟长连 a 7 1 利用l y a p u n o v 函数法，给出了 确保由微分方程和差分方程描述的切换系统渐近稳定的充分条件，在此基础上给 出了不受切换条件限制的，但能使切换系统渐近稳定的镇定控制器设计方法。 切换系统的稳定性分析，特别是线性切换系统的稳定性分析，是同前切换系 统理论研究领域中取得成果最多的。 3 ) 切换系统的能控性、能观性分析 e z z i n e 和h a d d a d f 6 1 首先定义了周期性切换系统的能观性，给出能观性的充分 必要条件：依据对偶原理，给出周期性切换系统能控性的充分必要条件，进一步 证明能控性等价于完全能控性，也等价于一致完全能控性，并推广到非周期性切 换系统，同时指出系统完全能控等价于系统可镇定。杨镇宇f 7 给出了一个般 线性切换系统能控性的必要条件和充分条件。孙振东【8 提出基于剀换策略和控 制输入的能控性概念，并给出一个充分条件和必要条件。l i 平u s o h 9 研究参数不 确定离散线性切换系统的鲁棒能控性和鲁棒能观性，不仅允讷：系统在切换时刻演 变模式发生跳变，而且允许系统状态重新赋值。b l o n d e l 乘l t s i t s i k l i s 5 研究了能控 性的判定复杂性问题，指出即使只有两种子模式，系统的能控。r e | 土i 是n p 难题。 谢广明f 1 8 1 给出一类线性切换系统能控性、能达性的充分必要条件，此类系统的 特征是具有相同的系统矩阵和不同的输入矩阵。关于切换系统的稳定性和镇定问 题，文 2 71 给出比较系统的综述。关于能控性方面，文【2 8 首先研究了周期型切换系 统的能控性和能观性，给出了单周期能控的充要判据。文【2 9 提出了周期型切换系 统的多周期能控性和多周期能观性，给出了多周期能控能观的充要判掘。文 3 01 给出了非周期型系统能控性的一个充分条件和一个必要条件文 3 1 进一步给出 了非周期型系统能控性的一个充要条件。文f 3 21 研究了类2 阶线性切换系统的 可达性。 4 ) 切换系统的鲁棒性分析 p e t t e r s o n 4 在给出系统稳定性条件的基础上，分析了稳定的鲁棒性，指出在 一定切换区域内，系统的稳定性是鲁棒的，特别给出了确定出正常切换集合周围 的不确定区域的算法。b r a n i c k y 9 提出了个线性鲁棒性引理( l i n e a rr o b u s t n e s s l e m m a ) ，用于分析切换系统的某些奇异扰动问题。王泽宁 1 9 1 对一类离散状态存 在不确定性扰动的混杂系统进行了鲁棒稳定分析，并针对离散状态不确定性扰动 对系统的影响给出了切换控制及各个子控制器的设计方案，保证了整个系统的鲁 棒稳定性。谢广明2 0 乖f j 用多项式插值的方法，将线性切换系统的一般形式模型 转换为矩阵系数多项式模型，然后以矩阵奇异值为分析工具，针对线性切换系统 的切换规则不确定性，讨论了系统渐近稳定的鲁棒性问题，并给出了两个系统鲁 棒稳定的充分性条件。 5 ) 切换系统的控制 w i c k s 2 2 等研究了含两个线性子系统的切换系统的镇定问题，指出在存在子 系统的凸组合为稳定矩阵的条件下，可计算确定切换集合( s w i t c h i n gs e t ) ，且根 据一定的切换规则使系统达到l y a p u n o v 稳定，但很难推广到多个子系统的情况。 中山大学颀 ：学位论文 线性时不变切换系统能控的充分必要条佴。的简化 谢东2 1 给出了一个镇定算法用以解决输入流切换系统中不稳定周期轨道的镇 定问题。b c l d i m a n 和b u s h n e l l 3 3 采用l m i 的方法进行系统镇定控制器的设计。 h u 2 4 研究了含有两个线性子系统的2 维切换系统的鲁棒镇定问题。翟长连 1 7 1 研究了由多个稳定的独立子系统构成的切换系统，给出在任意切换条件下系统均 保持渐进稳定的一个充分条件，并基于此给出镇定控制器设计方法。张宵力f 2 5 1 研究了子系统存在共同l y a p u n o v 函数的切换系统对非线性不确定性的鲁棒镇定 问题，给出状态反馈和输出反馈鲁棒控制器的综合方法。 1 2 本文主要工作 本文重r 撕开究了一类切换系统一一状态矩阵可交换的条件下能控性理论，给 出一个能控性的可以简单描述的充分必要条件和能控规范型。同时，存不能控的 情况下给出系统的能控性结构分解。主要工作如下： 从谢广龙、下明在f 2 6 1 推导出的线性切换系统能控的充分必要条件 r a n k 彬= n 出发，考虑到彬子空间的结构复杂性，尝试寻找类似p b h 的判据。 文章先通过列举证明所有2 阶两切换子模式的译输入切换系统，其系统矩阵 在都是上约标准型的情况下，r a n k 形：n 等价于 r a n k l 一4 ，e ，九，一a ，e 1 = 2 ，v ，九。然后在两个剀换子模式多维的一般情况 卜证明后者确实是一个必要条件，但是举出一个反例说明不是一个充分条件。 在推导的过程中，用到系统的非奇异变化的有关性质，推导出类似非切换线 性系统的不能控切换系统的能控性结构分解，并证明一些相关的引理。继而在证 明交换矩阵的有关性质下，推出本文的主要结果，就是当系统矩阵是可以交换的 前提条件下，它们构成一个充分必要条件。 最后，对于此类能控系统，给出一个能控性规范型。至此，构造了一类切换 系统的比较完整的知识体系。并说明在多切换模式的情况下各个结论可以类似地 推广。 4 中ljj 人学硕l 学位论文 第一二章切换系统能控性相关理论 第二章切换系统能控性相关理论 在第一章绪论中，对切换系统的提出与发展以及切换系统的主要研究内容及 研究现状进行了简要介绍。本章主要是分析本文将用到的线性系统和线性切换系 统已有的能控性方面的研究成果。 2 1 线性系统能控性方面的理论 3 3 】 能控性是从控制角度表征系统结构的基本特征。自卡尔曼( r e k a l m a n ) 在2 0 世纪6 0 年代引入这个概念以来，已经证明它划于系统控制和系统估计问题的研 究具有基本的重要性。本节简要系统地提出能控性的基本概念和基本属性，内容 包括定义，1 n i l 准则，规范型，系统结构分解等。本节内容对于切换系统能控性 的研究有基础性的意义。 2 1 - 1 线性系统能控性 考察连续时m 陛时变系统： t = a ( t ) x + b ( t ) u ，t j ， ( 2 1 1 ) 其中，x 为n 维状态，u 为p 维输入，j 为时问定义区间，a ( t ) 和b ( t ) 为n x n 和n x p 时变矩阵，a ( t ) 的元在j 上为绝对可积，b ( t ) 的元在j 上为平方可积。 定义2 1 1 ：【状态能控】对连续时问线性时变系统( 2 1 1 ) 和指定初始时亥l j t o e j ， 称一个非零状态x 。在时刻气为能控，如果存在一个时刻f l ，t 1 ，f 。，以及一个无 约束容许控制“( f ) ，t f 。，t 。】，使系统状态由z o 。) = 转移到x ( t 。) 2 0 。 定义2 1 2 ：【系统完全能控】对连续时间线性时变系统( 2 1 1 ) 和指定初始时刻 t ，i ，称系统在时刻f 。为完全能控，如果状态空间中所有非零状态在时刻f 。i ， 都为能控。 定义2 1 3 ： 一致完全能控】 对连续时间线性时变系统( 2 1 1 ) ，称系统为一致 完全能控，如果系统在任意初始时刻0 e j 都为完全能控，即系统的能控性与初 始时刻无关。 考察连续时间性时不变系统： 拈当柏“，( 2 1 t 2 ) y = l x 其中，x 为n 维状态，u 为p 维输入，j 为时间定义区间，a 和b 为n h 和n x p 时不变 巾山k 学俩 学位论女 一5 一 线性时不变切换系统能控的充分必要条件的简化 簇豢。21 f 能控性秩判据】对于n 维线性时不变系统( 2 ，2 ) ，构造能控性判 结论4 ：【能控性秩判据1 对于n 维线性时不燹系统( 2 ，1 2 ) ，刊造日e 住。旺刑 据矩阵： q = f ba b a - 1 曰】， ( 2 1 3 ) 则系统完全能控的充分必要条件为： r a n k q , = r a n k ba b a - 1 b 一月， ( 2 1 4 ) 结论2 1 5 ：【能控性p b h 判据】对于n 维线性时不变系统( 2 1 2 ) ，则系统完全 能控的充分必要条什为： 阳础“一a ，b = n ，v s c ， ( 2 1 5 ) 或 r n k i 一爿，曰 = h ：j = 1 州2 ，n ， ( 2 1 5 ) 其中，c 为复数域，4 ( i = 1 ，2 ，月) 为系统特征值。 结论2 1 6 ：【能控性约当规范型判据】 对丁n 维线性时小变系统( 2 - 1 2 ) ，设n 个特征值为凡( 代数重数是呸，几何重数足。) ，屯( 代数重数是仃z ，几何重 数是。：) ， ( 代数重数是q ，几何重数是“，) ，则系统完全能控的充分必 要条件为：对系统( 2 1 2 ) 通过线性非奇异变换导出的约当规范型： 其中 i = a s ：十b u ， a= x ”) j * = ( x ) 1 1 j 胍 口= x ”1 b 1 岛 ，e = ( q p ) b k = ( h p ) 西。j 瓦 哎。 j l b * 中山人学硕l ：学位论史 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 第二章切换系统能控性相关理论 l + r ：+ + r 。2 q ， q + 盯2 + + q - - n ， f 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) 出宣，摩：，一，毒。术行组成的矩阵行线性无关对i = 1 ，2 ，f 都成立，即有 一 钆：，z ；口。v i = 1 ，2 ，f ，( 2 1 1 2 ) 引理2 1 7 - 比较结论2 6 ，我们可以给出一个另一个约当规范型判掘，条件不 唰在于 a 1 1 【) 1 f 2 1 1 3 ) 则由赢，毒：，摩。第一行组成的矩阵行线性无关对j ：1 ，2 ，l 都成立，即有 乜n b 1 1 2 ； 乜蛐 = o 。v i = 1 ，2 ，l ，( 2 1 1 4 ) 2 1 2 能控性规范型 能控性规范型定义为完全能控系统的标准形状空问描述。能控性规范型能凸 显系统的能控特征和结构特性。在状态反馈控制和状态观测器的综合问题中，舰 范型有着重要的应用。 容易看出，在线性非奇异变换下，系统能控性的程度没有改变。对于完全能 控多输入多输出连续线性时不变系统( 2 1 - 2 ) ，找出系统能控矩阵q ，中的n 个线性 无关列向量，可以构造非奇异矩阵t ，给出系统的旺纳姆能控规范型。 结论2 1 8 ：【旺纳姆能控规范型】对于完全能控的多输入多输出连续时间线性时 不变系统( 2 1 2 ) ，基于线性非奇异变换i ：t 。工，可导出系统的旺纳姆能控规 范型为： i = a ；c 王- + 即( 2 1 a 5 ) y2 l 。z ， 中山人学碗l 学位论文 其中， 线性时不变切换系统能控的充分必要条件的简化 爿一= t a t = 4 。4 ： 4 ： 一a f 一口f 1 。 一o q 1 4 ， 一 4 ， f 2 1 1 6 ) ?毫，。：，=i+， c z - - - s ， 曰= 丁叫口= c c = c t ( 无特殊形式) ， ( q x n ) 式( 2 1 1 9 ) 中，用+ 表示的元为可能的非零元。 2 1 3 按能控性的系统结构分解 结构分解的实质是以明显的形式，将不完全能捧的系统区分为能控部分和不 能控部分。系统的结构分解的目的，既在于更为深入地了解系统的结构性质，也 在于更为深入地揭示状态空间描述和输入输出描述l 司的关系。 结论2 1 8 ：【系统按能控性结构分解】对不完全能控n 维多输入多输出连续时间 线性时不变系统( 2 1 2 ) ，r a n k q = c h，通过引入线性奇异变换=z可使。k 2 - t 得系统实现按能控的结构分解，即有： ( 量) 2 ( 舌龛) ( 量) + ( 吾) “， ，2 ( 巨己) 中山人学颂l 学位i = 仑文 f 2 l 2 0 ) l l o ：0 0o 1 o 1 0 l 第一二章切换系统能控性相关理论 其中，瓦为k 维能控分状态，露为n k 维不能控分状态。 2 2 线性切换系统能控性方面的理论 2 2 1 线性时不变切换系统一般模型 关于切换系统的研究主要集中于系统稳定性的分析；而对于系统能控性的 研究，由于难度较大，结果则很少。一般说，切换系统模型具有如下形式f 2 8 1 i = a 。( ，】x + 见( ，) m ，y = c 。( ，) x ， ( 2 2 1 ) 其中，x 为n 维状态向量，u ) b p 维输入向量，y 为q 维输出向 量；。( f 】： 0 ，+ m ) 一 1 ，2 ，n ) 为分段常值函数，n 为全部切换模式的总数； 4 ，b i ，c i 均为相应维数的常阵，一组实现( 4 ，譬，e ) 称为个切换模式。 为了便于描述系统的演变过程，定义切换序列如下： 定义2 2 1 【切换序列】将t 。 1 ，2 ，- ，) 表示为切换模式序号，h 。，0 为切换模 式持续时阳j 则称 ( ! m ，h 一m2 ( i t ，乜) ，( i z ，h z ) ，( 0 ，h ”) 为一个切换序列，记为 啊，。其中m 表示切换序列的长度。 对于给定的一个切换系统，当给定初始时刻f 。和一个切换序列后，切换 模式的变化过程便完全确定。即在【f 0 + 善f 【j + 善鼻j 内，切换模式为 模式的变化过程便完全确定。即在【 倒 倒j 内，切换模式为 ( 气，气) ，v 埘= l 2 , - - - , m 一 2 2 2 线性时不变切换系统能控性 定义2 2 2 【完全能控性】 对于切换系统( 2 2 1 ) ，设初始时刻f 。= 0 。如果对任意非 零初始状态x o ，都存在一个切换序列”： ( ，h 。) = ，和一个无约束的容许控制u ( t ) ，使得状态由初始时刻转移到f ，= 岛时，有x ( f ，) = 0 ，则称系统为完全能 控。 另外给出有关列空间和循环不变子空间的定义 定义2 2 3 列空间】矩阵b “的列空间为r “中如下定义的一个线性空间 中山人学预j j 学位论文 线性时不变切换系统能控的充分必要条件的简化 r ( b ) ； b x i x r ) ( 2 2 2 ) 定义2 2 4 【循环不变子空间】对矩阵a “”和r ”中线性子空间w ，称如下的一个线 性空问 ( a1 w ) = w + a w + + w ， ( 2 2 3 ) 为子空间w 经矩阵a 循环而生成的a 的不变子空间。有性质： ( a 1 0 i w ) ) = ( a i w ) ， ( 爿i + 彬) ) = ( 爿| 彬) + ( 爿i ) ， ( 2 2 4 ) v k e z + ，a w ( a l ) ， v t r ，e x p ( a t ) w ( a i ) ， 结论2 2 5 给定矩阵a “，b “，受q x , t v 。t ，r 。 t ( = 0 ，有【4 4 】 fx 2 e x p ( a ( t ，一s ) ) 口“( s ) d s ，u 为所有容r t ：控制 = ( ar ( b ) )( 2 _ 2 - 5 ) 注意：为了方便，以下片j ( a i b ) 表示( a i r ( b ) ) 。 定义2 2 6 1 f i 徽1 给定切换序列： ( ，h 。m ，经过的能控集为 4 5 丁( z ) = ( 4 。l e ) + = = ：f i - e x p ( 一4 ， ，) ( l e 。) ) ，( 2 2 6 ) 系统的能控集为丁= u 。r 缸) 。 结论2 2 7 【非奇异变换不变性】【3 5 】系统( 2 2 1 ) 与经过非奇异变换i = q 。z 后的 系统的能摔集于与原系统的能控集丁有如下关系： t = et ，( 2 2 7 ) 说明：结论2 2 7 的结论说明，对线性切换系统作非奇异变换，不改变线性切换系 统的能控性，也不改变其不完全能控性的程度，或者晓线性切换系统在非奇异变 换卜能控性不变。 定义广义循环阵( 子空间) 序列如下： w 1 = ：。( 41 e ) ，= 二( 4l 啊) ，w2 ：，( 4i 睨一- ) ，( 2 2 8 ) 在此基础上谢f 、明，王龙给出了一个线性时不变切换系统( 2 2 1 ) 能控的一个充 分必要条件如下： 结论2 2 8 【能控的一个充分必要条件1 1 3 1 线性时不变切换系统( 2 2 1 ) 能控的 一个充分必要条件是比= r ”，即r a n k 彬= n 。 说明：此结论是卜面第4 章有关结果推导的主要出发点。 中l h 人学硕h 学位论文 第三章问题的提出 第三章问题的提出 在上面的第2 章早，已经有了线性时不变切换系统( 2 2 1 ) 能控的一个重要 的充分必要条件，但是从形的构造过程可以看出，要验证w = r “或者r a n k 彬：n 比较复杂。从2 1 节知道，线性时不变系统( 2 1 - 2 ) 结论2 1 4 能控性矩阵蛙的 秩判据可以导出结论2 1 5 能控性p b h 判据和结论2 1 6 能控性约当规范型判据， 很明显，后面两个判掘的验证容易理解很多，也比较好验证。那么，很容易联想 到，对于线性时、变系统( 2 2 1 ) 是否具有类似的p b h 判据和能控性约当规范 型判据呢? 另外，要推导线性时不变切换系统能控性约当规范型判据，必然用到 能控性规范型，而线性时1 i 变切换系统是否类似非切换系统的能控性规范型呢? 在系统不能控的情况下是否又具有不能控的结构分解呢? 因为这一切从第二二章 l u 知存非切换线性时不变系统中都是存在的。 在本文中，为了方便讨论，引入下面的定义： 定义3 1 ：【上约当标准型if ：约当标准型是指在约当型中的所有约当块都是类 似 j j = s ，1 s ，l ( 3 1 ) 的约当块。 对于两个切换模式2 维的线性时不变切换系统，在系统矩阵都是上约当标准 型的情况下，列举证明个引理。 引理3 1 ： 单输入上约当标准型2 维两模式线性时不变切换系统完全能控的充分 必要条件】具有两个切换模式，而且系统矩阵都是上约当标准型的2 维线性时 不变单输入切换系统，完全能控的充分必要条件是 r a n k ) q 1 2 4 ，轨，九1 2 4 ，b 2j _ n ，v ，te c ， ( 3 2 ) 证明： 列举证明。从结论2 1 6 能控性约当规范型判据可以知道，系统矩阵是 上约当标准型的2 维不能控线性时不变系统有且仅有以下3 类： 舡( 九护， ( 3 3 ) 爿2 ( 如) ，。2 ( ；) ， 一九，c d = 。， c s a ， 小( 九护 中山大学硕士学位论文 ( 3 5 1 线性时不变切换系统能控的充分必要条件的简化 其构成的曲个切换模式都不单独能控的切抉系统p 回有6 种：组合1 ， ( 3 3 ) ， ( 3 3 ) ) ；组合2 ， ( 3 3 ) ，( 3 4 ) ；组合3 ， ( 3 3 ) ，( 3 5 ) ；组合4 ， ( 3 4 ) ，( 3 4 ) ) ； 组合5 ， 1 ( 3 4 ) ，( 3 5 ) 1 ，组合6 ， ( 3 5 ) ，( 3 5 ) 1 。在此限于篇幅，只验证组合1 和组合6 ： 组合1 ， ( 3 3 ) ，( 3 3 ) 1 得到的切换系统是由下面两个系统构成： 4 2 ( 九二) ，岛5 ( 言) ；42 ( j ) ，也2 ( 名) ， 一方而，有厂义循环阵 形，：f c l 0 。九q8 - “” q 九 。 吒九1 ， 10 0000000j 明显，r a n k c2 ，故不能控： 另一方面， m n t f l h j 2 - a i , q ， ，：一屯，。： = 。n t f ：j ：0 1 = 。， 表明用 二述两种方法都得山该切换系统小能控。 组合6 ， ( 3 5 ) ，( 3 5 ) 得剑的切换系统足由下面两个系统构成： 4 2 ( 如九) ，b2 ( ：) ；42 ( 九 ) ，也2 ( ；) ， 一方面，有广义循环阵 敝：f “如。九8 九九。屯九。九1 ， 2 1 66 屯dd 九b a 3 2 。d 如6 九6 j 一t 一础( ：孙 故该切换系统完全能控当且仅当r a n k = 2 ； 另一方面， ，n n t 九l 一4 ，岛，九1 z - a z , b 2 2 ，n n t ( ：0 。；) = r a n k ( ：；) ， 故该切换系统完全能控当且仅当，。kf ? 。1 ：2 1 由d 表明用上述两种方法都得出该切换系统完全能控的条件是一样的。 对于其他4 种组合一样类似分析，结果是一样的。 综上所述，具有两个切换模式且系统矩阵都是上约当标准型的2 维线性时不变切 换系统，完全能控的充分必要条件是 r a n k l ，：一4 ，岛，如，2 4 ，b ：l = n ，v ，九c 1 2 一 中山人学彻f 学位论义 证毕。 第三章问题的提出 说明：上面的引理3 1 条件是比较苛刻的，对与单输入2 维两切换模式的线性时 不变切换系统，首先要求同是约当标准型，其次要求同时上约当标准型。那么， 若系统状态矩阵不同是约当标准型时就需要先化为标准型，但是在此过程中广义 循环矩阵形是否保秩呢? 这是不一定的。举例如下： 例题3 2 ：若某切换系统的两个模式为： 爿。= ( j ：) ，岛2 ( ：) ；42 ( ? ) ，也2 ( ：) ， 由结论2 1 6 和引理2 1 7 可以知道上述两个系统是单独不能控的。 w2=rank(a。“6“6)=rank(rankwe r a n k rank00 b b abab 0b 。1 ， i ， j 对第一个系统做非奇异变换，而第二个系统不变，有 五= ( ，1 ) ( j ：) ( ，1 ) 12 ( ：? ) ，瓦2 ( ：) ；爿z2 ( ；) ，。z 。( ：) ， ”础= r a n k 66 口白a6 | q ， 可见r a n k 瞰一r a n k 厩。在4 1 3 节中将有关于这一点的补充说明。 本文在发现上述结论之后，主要二 作就是为了推广引理3 1 ，使之具有更广 泛的应用。 中山_ = 学硕十学位论文 第四章一类线性时不变切换系统的能控性 第四章一类线性时不变切换系统的能控性 在这一章罩，将继续探讨线性时不变切换系统的能控性判据的简化工作。在 给出两个切换模式线性时不变切换系统般情况下能控的必要条件之后，给出在 系统状态矩阵可交换的条件下能控的充分必要条件。最后给出在一类多个切换模 式的线性时不变切换系统的充分必要条件。 4 1 一类两个切换模式的线性时不变切换系统能控的条件 4 1 1 两个切换模式的线性时不变切换系统能控的必要条件 注意：为了表述方便，用a 1 8 代表所有a i b , ，i = 1 ，2 ，n ，用鼠代表所有 爿：戗，i = 1 ，2 ，n ，j = 1 ，2 ，n ，k = 1 ，2 ，n ，以此类推。 引理4 1 1 【能控的一个必要条件1 两个切换模式的线性时不变切换系统 l = a l x + 暖( ，产，y2 c 。( ，) x ，n = 2 ， ( 4 1 1 ) 完全能控的必要条件是： r a n l a l , b 1 ，九，。- a 2 ，b 2 = 月，v ，如c c ， ( 4 1 2 ) 证明：反证法。若 r a n k ) l 1 l 。一a 1 ，b 1 ，t 。一a z , b z = + 1 ， = ，= ， 中l 山人学顶i 学位论文 依据弓 第四章一类线性时不变切换系统的能控性 定理4 1 3 【两切换模式线性时不变切换系统能控性结构分解】对不完全能控n 维两个切换模式的连续时间线性时不变切换系统( 4 1 1 ) ，通过引入线性非奇异 变换i = p x ，可使得系统实现按能控的结构分解，即有： 2 熊“ h 、 y = ( e 。己) 悻x c 卜1 ，2 ， 其中，瓦为k 维能摔分状态，丢为n k 维不能控状态。 证明： 由性质( 4 1 4 ) 可以马上得出非奇异变换后的系统形式是( 4 2 5 ) 所示。下面 证明i 为k 维能控分状态，- _ 为n k 维小能控状态： 2 n 七彬。n k b i 爿：b 】_ 一k 竭p a i b e 叫吾慨0i i i l = r a n 巨。以 ， c d 见，( 4 1 5 ) 确实是能控的结构分解 4 1 3 一类线性时不变切换系统的能控的充分必要条件 首先看个例题 例题4 1 4 若一个切换系统由下面两个系统构成： 4 2 ：； ，岛2 ： ；爿z2 ? 】，缸。 ： ， 显然，由于= 0 ，系统是不能控的。 但是r a n k 2 h i ：一4 ，e ，屯，：- a ：，b 2 = 2 ，v ，t c 从卜面的例题可以看出引理4 1 1 的逆命题不一定成立。那么，我们希望找出 类系统，使之是充分必要条件。 结论4 1 5 【公共特征向量】【3 6 设a 与b 都是n 阶复方阵， | r a n k ( a b b a ) s 1 则a 与b 有公共的特征向量。 说明：从上述结论也可以看出，若a ，b 可交换，则有公共的的特征向量。 考察系统矩阵可交换的条件下两个切换模式线性时不变切换系统： i2 以z + b a ( 0 u ， y 2t ( ，) x ，n = 2 ， ( 4 1 6 ) 4 4 = a 2 a 1 下面给出系统矩阵可交换的条件下两个切换模式线性时不变切换系统的能控的 中山人学顾i ：学位论文 线性时不变切换系统能控的充分必要条件的简化 充分必要条件： 定理4 1 6 【一类线性时不变切换系统的能控的充分必要条件】两个切换模式线 性时不变切换系统在系统矩阵可交换的条件下的能控的充分必要条件是： r a n k i l 一4 ，e ，如l 一4 ，岛j = n ，v ，t e c ( 4 1 7 ) 证明：必要性引理4 1 1 已经证明 只需要证明充分性：反证法。若切换系统不能控，设 r a n k 睨= k n 取无关列： q l ，q 2 ，。，吼， 扩充成彤中的基，组成矩阵o ： q = 【q l , q 2 ，q k , q ，q 。 令： p = d = p l p 2 7 ： 只