（计算数学专业论文）非线性双曲守恒律方程组的初值问题.pdf

2 0 0 7 上海大学博士学位论文 摘要 本文研究了几类双曲守恒律方程的初值问题tr i e m a n n 问题和非自相似初值问 题我们利用广义特征分析法分别构造性地得到了几类守恒律方程初值问题的整体 解 第二章首先介绍了关于双曲守恒律系统的一些基本概念然后对一维和= 维双 曲守恒律方程的般性理论分别给出了介绍 第三章研究了e u l e r 方程个简化模型带有三片常状态初值的非自相似初始问 题本章中主要研究了d e l t a 波与其他基本渡的相互作用由于本章关于d e l t a 波的 广义b a n l c i n e - h u g o n i o t 关系式的提出，d e l t a 波从速度，位置和权上分别得到了精 确的描述从而我们可以分别根据不同的初值情况给出问题的整体解本章发现了 个奇特的现象，在熵条件的约束下，当d e l t a 波跨过前向稀疏波和后向稀疏波的 分界线时会突然消失，取而代之的是个激波和个接触间断 第四章研究了般的零压流方程初始具有集中的硝e 问题本系统的基本 解包括常状态，d e l t a 波和真空利用关于d e l t a 波广义h u g o n i o t 关系的研 究，我们得到了d e l t a 渡解的总体特征对于d e l t a 波解的存在唯性在本章中也 得到了证明根据不同的初始条件，本章分别得到了四种结构的整体解特别是当 m o = 0 时。本文的结果就是文【8 5 】的结果从而我们的结果是其结论的推广，同时 也证明了d e l t a 波解初始权值扰动的稳定性另外当l ( u ) = ”时，我们所研究的系 统就是一维( 零压流) 输运方程，当，( “) = - 7 7 i _ = 时，是天体物理模型 v 1 十u 。 第五章研究了二维输运( 零压流) 方程的非自相似初值问题利用广义特征分 析法，我们发现了个求解二维输运方程非自相似初值问题的基本引理利用该引 理。我们可以把空间问题巧妙的转化成平面问题从而使解决问题难度降低，同时 也能够给出问题的显式解我们分别研究了初始间断是个圆环和初始间断为任意 光滑凸曲线分初值为两片常状态的非自相似初值问题的情况同题的整体显式解也 分别被构造性地给出由于我们的问题没有标度不变性的要求，从而我们的方法可 以用来求解初始间断为任意曲线的情形 第六章研究了无粘弹性力学中退化波方程组的r i e m a n n 问题对于该方程在 0 的特征区域是真正非线性的，从而可以通过简单波和激波来构造问题的解 由于应力函数是非凸及激波条件退化，从而我们可以像【6 3 j 那样定义退化激波 根据左右状态u l 和珥的相对位置，本章利用稀疏波r 激渡s 及退化激波分 情况构造性地得到了r i e m a n n 问题的整体解 i i 非线性藏曲守恒律方程组的初值问题 关键词t 双曲型方程组。守恒律，输运( 零压流) 方程，退化波方程，r i e r a a n n 问 题，非自相似初值问题，熵条件，广义p , a n k i n e - h u g o n i o t 关系，d e l t a 渡，退化激波， 2 0 0 7 上海大学博士学位论文i i i a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，w es t u d yt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mf o rs e v e r a lc l a s s e so fh y p e r b o l i c s y s t e m s o n e i s t h e r i e m a a u p r o b l e m a n d t h e o t h e r i s n o n - s e l f s i m i i a r i n i t i a l v a l u e p r o b l e m b yi l 目eo f t h ec h a r a c t e r i s t i ca n a l y mm e t h o d t h eg l o b a ls o l u t i o nf o rt h eh y p e r b o l i cs y s t e m i sc o n s t r u c t i v e l yo b r a i n e d s e c t i o n2i n t r o d u c s o l n eu s e f u lc o n - p t bf o rt h eh y p e r b o l i cs y s t e mf i r s t l y , t h e n s o m eg e n e r a lt h e o r i e sa b o u to n e - d i m e n s i o n a la n dt w o - d i m e n s i o n a lh y p 盯b o l i cs y s t e m sa r e i n t r o d u c e di nt h en e x tp a r to ft h i ss e c t i o n ，r e s p e c t i v e l y t h eo n e - d i m e n s i o n a ln o n - s e l f s i m i l a ri n i t i a lv a l u ep r o b l e m ，w h i c hc o n t a i n st h r e ec o i l - s t a n ts t a t e s f o rar e d u c e dm o d e lo fe u l e re q u a t i o n si ss t u d i e di s e c t i o nt h r e e t h e a t t e n t i o ui sp a i dt ot h ei n t e r a c t i o no ft h ed e l t a - s h o c ka n dt h eo t h e re l e m e n t a r yw a v e s d u et ot h ei n t r o d u c t i o no fbs u i t a b l eg e n e r a l i z e dr a u l d u e - h u g o “i o tr e l a t i o n ，d e l t as h o c k g e t 8aw e l ld e p i c t i o nf r o mv e l o c i 饥】o c a t l o na n dw e i g h t t h e nt h eu n i q u es o u t i e nt od i f - f e r e n ti n i t i a lc o n d i t i o n sa c o n s t r u c t i v e l yo b t a i n e d u n d e rt h ee n t r o p yc o n d i t i o n an e w p h e n o m e n o na p p e a r s ，w h i c hi st h ed e l t a - s h o c kw i l ld i s a p p e a ra n db er e p l a c e db yas h o c k a n dac o n t a c td i s c o n t i n u i t ys u d d e n l yw h e nt h ed e l t as h o c kp e n e t r a t e st h eb d e r l i u e0 f f r o n tr a r e f a c t i o n 删a n db a c kr a r e f a c t i o nw a v e s i ns e c t i o n4 w es o l v et h er i e m a n np r o b l e mw i t ht h ei n i t i a ld a t ec o n t a i n i n gd i r a c d e l t af u n c t i o n sf o r8d a 黯o fc o u p l e dh y p e r b o l i cs y s t e m so fc o n s e r v a t i o nl a w s t h ee l - e m e n t a r ys o l u t i o n si n c l u d ec o n s t a n ts t a t e ，d e l t a - s h o c ka n dv a c u u m u n d e rt h es u i t a b l e g e n e r a l i z e dr a n k i u e - h u g o n i o tr e l a t i o na n de n t r o p yc o n d i t i o n ，t h ee x i b t e n c ea n du n i q u e - n o fs o l u t i o n si n v o l v i n gd e l t as h o c kw a v e sa n dv a c u u ma r ep r o v e d w ea l s og e tt h e g j o b a lq u a l i t yo ft h ed e l t as h o c k f u r t h e r ，f o u rk i n d so fd i f f e r e n ts t r u c t u r e so fs o l u t i o n s me s t a b l i s h e du n i q u e l y e s p e c 讪y , w h e nt ，t o = 0i nt h i sp a p e ri st h er e s u l t si n 8 5 1 t h e ni ti st h eg e n e r a l i z a t i o no ft h e r e s ot h es t a b i l i t y0 ft h ed e l t p s h o c kt oi n i t i a lw e i g h t v a l u ep e r t u r b a t i o ni 8p r o v e d f u r t h e r m o r e ，w h e n ，( u ) = t h es y s t e mw i n c hw es t u d i e d i sc h a n g e di n t ot h eo n e - d i m e n s i o n a lt r a n s p o r t a t i o n ( z e r op r e s s u r ef l o w ) e q u a t i o n s ，w h e n 弛) 2 赤，蚀l y 8 妇劬处”砒删扛姗d 吐l y h y p 砷出掣细缸咖 p h y s i c s i ns e c t i o n5 ，w es o l v et h en o n - s e l f s i m i l s ri n i t i a lv a l u ep r o b l e mf o rt h et w o - d i m e n s i o n a l t r a n s p o r t a t i o n ( 7 j a op r e s s u r en o w ) e q u a t i o n s b yu o ft h ec h a r a c t e r i s t i ca n a l y s i sm e t h o d ， i v 非线性双曲守恒律方程组的韧值l ；l 是 w ef i n dab a s i cl e m m at os o l v i n gt h et w o - d i m e n s i n n a lt r a n s p o r t a t i o ne q u a t i o n s t h e nt h e s p a c ep r o b l e mc a n b et u r n e di n t obp l a n ep r o b l e mt os o l v e i tm a k e st h ep r o b l e me a s i e r a n dt h ee x a c t l ys o l u t i o nc a n c a nb eg i v e n w es t u d yt h ec a 蛸t h a tt h ei n i t i a lv a l u ea r e d i v i d e di n t ot w oc o n s t a n ts t a t e sb yac i r c u l a rc u r v ea n da l la r b i t r a r ys m o o t hc o u v e gc u r v e r e s p e c t i v e l ya n dt h eg l o b a ls o l u t i o n sa r eo b t a i n e dc o n s t r u c t i v e l y t h ep r o b l e m w h a tw e s t u d i e d ，h a sn or e q u i m e n to fs c 9 - l ei n v a r i a n t ，t h e nt h em e t h o d ，w h a tw eg o t 。c a nb eu s e d t os o l v et h ei n i t i a lv a l u ep r o b h mw h i c hi sd i v i d e db ya na t b i t r a r yc u r v e hs e c t i o n6 t h er i e m a n np r o b l e mf o rao n e - d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rd e g e n e r a t ew r v e e q u a t i o ns y s t e mi ne l a s t i cm a t e r i a l si ss o l v e dc o n s t r u c t i v e l y w h t t 0 t h ec h u r a c t e r i s - t i cf i e l di s 事n u i n en o n l i n e a r i t y , t b e ut h er i e m a n np r o b l e mc a l lb es o l v e db ys i m p l ew t v e 8 a n ds h o c kw 毪嘲f o rt h es t r e s sf u n c t i o ni sn o t 伽v 缓o rc o n c a v ea n dt h es h o c kc o n d i t i o n i sd e g e n e r a t e ，w ec a d e f i n et h ed e g e n e r a t es h o c ks dl i k ep a p e rf 6 3 d e p e n d i n go nt h e r e l a t i v el o c a t i o nb e t w e e nu la n d 坼，t h eg l o b a ls o l u t i o ni so b t a i n e dc o n s t r u c t i v e l yb yu s e o fr a r d a c t i o nw a v er s h o c k 帮黼sa n dd e g e n e r a t es h o c ks d k e yw o r d s ：h y p e r b o l i cs y s t e m ，c o n s e r v a t i o nl a w ，t r a n s p o r t a t i o n ( z e r op r e s s u r ef l o w ) e q u a t i o n s ，d e g e n e r a t ew e q u a t i o n ，r i e m a n np r o b l e m ，n o n - s e l f s i m i l a rp r o b l e m ，e n t r o p y c o n d i t i o n ，g e n e r a l i z e dr a n k i n e - h u g o n i o tr e l a t i o n ，d e l t as h o c k ，d e g e n e r a t es h o c k 原创性声明 本人声明；所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表和撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了说明并表示了谢 意 貉哗嗍嘲嘲 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留使用学位论文的规定，即，学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查河和借阅；学校可以公布沦文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 铭哔枷，掣嘲 第一章绪论 1 1 引富 非线性双曲守恒律是数学物理领域的重要组成部分同时也是当代数学的一大挑 战近几十年来引起国际上数学界和物理学界的充分关注，研究工作十分活跃，涉 及范围日趋广泛这是因为。它不仅具有广泛的物理背景而且有很强的应用价值， 如空气动力学大气理论，水波理论、等离子体物理、燃烧理论及与其相关的科学 领域由于方程的非线性性，无论初值给的是多么光滑，解中都可能出现间断，即 激波、滑移面等这给理论研究带来了很大困难 关于守恒雒理论的严格定义可以追溯蓟1 9 5 0 年e h o p f 做出的奠基性工作( f 3 3 】) 。 及p l a x ( 1 4 2 】) ，o o l e i n i k ( 1 6 6 1 ) ，b r i e m a n n ( f 6 8 1 ) 的工作在这之前已经有了些关 于流体动力学的研究，最著名的是1 9 4 8 年的经典著作c o u r a n t 和f r i e d r i c h s 的总结 性研究报告t 超声速流与冲击波( 【2 0 1 ) 特别是自第二次世界大战跨声速航天器的出 现，人们对激波现象及空气动力学方程理论性研究，数值计算及科学试验给予了越 来越多的关注因此，激波理论的研究是数学物理领域的重要课题，也是非线性科 学的前沿课题同时也推动了关于守恒律方程的研究 1 1 1 空气动力学与e u l e r 方程组 对于空气动力学的研究主要是对理想流体的研究，这是因为大自然中的大量流 体都可以归结为理想流体所谓理想流体。是指忽略粘性和热传导的流体描述理 想气体的模型是e u l e t 方程组 m + v ( p u ) = 0 ，( 质量守恒) ( p ) t 十v 胁o + 却= 0 ， ( p e ) t + v ( m e + u p ) = o p = ( p ，回 ( 动量守恒) ( 1 1 1 ) ( 能量守恒) ( 状态方程) 其中a ，p ，s , e 是理想流体的密度，速度，压力，比熵和内能是e u l e r 坐标，的函 数，e = i u l 2 + e ，v = ( 如，西，以) ，圆是张量积e t l l e r 方程是非线性双曲守恒律最 重要的例子之一 2 非线性双曲守恒律方程组的初值问意 1 1 2 弹性介质与弹性力学方程组 在忽略粘性的情况下。弹性力学方程组也是非线性双曲守恒律的个例子在 弹性力学中，在一定条件下固态物质会发生弹性形变，在另一些条件下会发生塑性 形变物质是弹性形变还是塑性形变的由物质的属性表征应力和应变的关系表示出 来 旷妒0 ( 1 1 2 ) 【u t 一疗( ) z = 0 ，z r ，t 0 ， 其中。是物质的应变，“是速度，口( a ) 是应力函数g , t - k 多数物质有以下不等式 。d o 0 (11，3)dv 到处满足。也就是说应变增加意味着应力增加 当应力线性的依赖于应变时，物质称为弹性的当应变不超过一定的极限即临 界应变矿时，大多数物质是弹性的这时应力应变满足关系 口= e v ，m 矿，( 1 1 4 ) 其中e 是弹性模量 当物质是塑性的时，也就是应变大于临界应变时，有 0 0 ( 1 2 2 ) 的研究才完全秀清了方程的解及其性态。他首先通过讨论( 1 。2 2 ) 的积分方程 ( “ + 譬厶+ 坤k ) 出出= 。， ( 1 2 3 ) 其中，俨，及当p = 0 时( 1 2 2 ) 的积分方程 卜 + 萼厶) 出出_ o ( 1 z 4 ) 即当肛= 0 时，方程( 1 2 2 ) 的解并没有包含当_ i 一0 时方程( 1 2 2 ) 的间断解，然 而它的积分方程( 1 2 4 ) 包含了这种间断解并对p 一0 和t 一的先后顺序得到 的解不同的原因及解的不可逆性给出了数学分析及物理解释及由此以后人们关于 守恒律方程的研究( 4 1 1 ，【4 2 l ，1 5 5 】等) 奠定了维偏微分方程激波理论的基础由此 r i e m a n n 问题对非线性方程研究的重要性也得到了公认从此以后对于守恒律系统 r i e m a n n 同题的研究也届时彼人仍所重视和得到了发展( 1 7 】，1 8 】，1 6 2 】，1 7 3 j ，1 7 4 】，i 叫， 【l 0 0 1 ) r i e m a n n 问题就是最简单的初值问题，是具有标度不变量初值的c a u c h y 问题 对于一维空闯变量的守恒型方程 矾+ a - n ( 配t ，z ) 【k = 0 ，( ) 的r i e m a n n 初值取如下形式 f 奶，z 0 ， 其中u = ( “i ，) t 是z 和t 的n 维矢量函数 高维问题被国际上公认为十分重要又艰难的研究领域，高维双曲型守恒律方程 组的初值问题至今虽未取得实质上的成果，但仍为国内外的研究热点，在本世纪将 是个方兴未艾的研究领域即使是对二维双曲守恒律方程 阢+ x ”似t ，) + 晶n 姒t ，硝= 0 ，u = “1 ，t 2 ，t ，i ) ( ) 4 非线性双曲守恒律方程组的韧值问意 r i e m a n n 问题的研究相对于一维问题来说还不近人意，有些结果还有待于进一步分 析或数值验证。甚至对r i e m s n n 问题的提法本身就没有统一的约定在文( 【4 啦中， 张同等提出二维r i e m a n n 问题是最简单的具有间断值的初值问题，是具有标度不变 性的分片常状态的初值问题初始间断线在原点汇聚成几何奇异点一般取如下形 式 u l t f f i o = u o ( 0 ) ，0 = 删n ( 兰) 是极角 ( 1 2 ，6 ) 其是有限个常状态其意义在于原方程能够进行自相似变换 对二维单个守恒律方程的研究，巳取得一定的结果( 见【3 0 【3 2 l ，( 5 1 1 ，【8 2 1 ，【8 7 1 ， f 9 8 】等) 1 9 6 7 年，e c o n w a y 和j s m o l l e r ( f 1 9 1 ) 及sk r u s k o v ( 【4 0 j ) 分别得到了高维 单个守恒律方程初值问题勰的存在惟性在1 9 9 9 年，张朋和张同( 【9 7 】) 研究了单 个方程的守恒律系统 u t + ，( u k + g ( u ) = 0 ，( 1 2 7 ) 给出了在， 0 ，矿 0 情况下，初值是三片常状态的完全解其中对于某些初值， 解中有g u c k e n h e i m e r 现象产生类似于物理中的m a r c h 反射盛万成在文【7 1 l 中解 决了( 1 2 7 ) 在条件，0 ，( u t 1 0 ) 矿 0 下，初值为三片常状态的r i e r n a n n 问题， 并给出了g u c k c n h c i m e r 现象产生的充分条件文【8 7 】和文【9 5 1 分别研究了( 1 2 7 ) 初 值是四片常效的r i e m a n n 问题，给出了g u c k e n h e i m e r 结构的解 在1 9 8 3 年，a m 8 j d a ( 1 6 1 ) 得到了高维守恒律方程组局部解的存在性到日 前，高维问题的研究虽已有一些结果( 如关于二维r i e m m m 问题的研究聊，【l0 】，【4 8 ， 1 7 8 】，f 7 9 j 等) ，但对于整体解的存在惟性稳定性、解的大时间性态、奇性形成机制 等问题仍需花大力气研究对二维以上守恒律方程的研究，一般是采取自相似变换 的方法，把问题化为一维问题或以达到将维饵决的目的( 1 5 0 】，l s g ) 在二十世纪八十年代，张同和郑玉玺研究了二维气体动力学e u e r 方程组( 1 1 1 ) 的绝热流形式，带有初值 ( p ，t ，力l t = o = ( i ) ，在第i 象限 = 1 ，2 ，3 ，4 ， 其中( i ) = ( p t ，蜘，q ，以) “= 1 ，2 ，3 ，4 ) 是四个常状态他们把解归结为1 8 种情形，对 每种解的全局结构提出了一套猜想( 见【9 9 】) ，它们包含了两维跨音流中可能出现的 冲击波，稀疏波、滑移线及漩涡的各种不同组合，包含了非线性混合型方程的若干 崭新而十分困难的定解问题 为了验证( 1 1 1 ) 解的结构，在1 9 9 4 年，谭德春，杨树礼和张同研究了( 1 1 1 ) 2 0 0 7 上海大学博士学位论文5 的简化模型 e = 慧 m 。 带有以下r e m a n n 初值 ( u ， ) i 酬= ( i ) ，在第象限i = l ，2 ，3 ，4 ，( 1 2 1 0 ) 其中( t ) = 池，耽) ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是常状态构造了2 3 个大类5 7 种情况的解并 且基本波也由j 士，r 和s 取代了户，裔，盖。了和苔其中有意思的情况是4 j 一和 2 ，一十2 j + 在前一种情况，4 个j 会在相交前弯曲而会合于奇异点而后情 况将会有一种新类型的非线性波一d e l t a 激波出现( 见【7 8 1 ，c 7 9 】) 对二维守恒律方程r i e n m n n 问题的数值模拟也已具有了很多的研究对于空 气动力系统中的e u l e r 方程的数值模拟已有多种格式( 见f 4 4 】，f 6 9 】，f 9 3 j ，1 5 4 j ) ，分别 是正则格式。二阶c , o d t l s o 格式m m b 格式，无振荡格式( e n o ) ，本质无振荡格式 ( w e n o ) ，有限体积法等由此，文阳1 的结论褥到了很好的数值验证，但对每一种 情形的解析证明还无进展 黄飞敏和扬小舟在1 9 9 8 年也研究了简化模型( 1 2 9 ) ，带有以下初值见f 3 5 j ) i ( u l ，t ，1 ) ，- 0 a 0 ) ( 1 2 1 3 ) 并且利用数值方法，d j k o r c h i s k i 构造了方程的唯解解中出现了d e l t a 激波， d j k o r c h i s k i 叫其为广义d e l t a 函数但在他的工作中没有给出解的稳定性的研究 另外，k t j o s e p h ( f 3 6 j ) 考虑了 7 卜t 知 。， 1 吨+ ( u ”k = e t ，嚣， 6非线性双曲守恒律方程组的初值问意 带有初值( 1 2 1 3 ) 在他的工作中证明了当e 一0 时，有d i r a cd e l t a 测度函数的出 现 d e l t a 激波也出现在严格双曲的系统中 i 毗十( “2 ) = 0 ， ( 1 2 1 5 ) i 仇+ ( t ( 2 让+ 1 ) k = 0 ， 在b a m p i 和z o r d a n 的线性系统中( 【2 j ) ，及r a u c h 和r e e d 的半线性系统中( f 6 7 】) 都 有d e l t a 激波出现在k e y f i t z 和k r a n z 口( 3 7 1 ) ，及k r a n z e r 和k e y f i t z ( 【3 9 】) 的完全非 线性严格双曲系统 lu t + ( t 2 一口k = 0 ， i 州咄= o 0 2 1 6 中也有d e l t a 激波出现对于d e l t a 激波的研究可参见【2 6 l ，1 4 9 1 ，【7 田，1 8 5 1 等 在1 9 9 9 年，盛万成和张同( f 7 2 】) 在忽略了压强只考虑惯性的情况下，解决了二 维输运方程的r i e m a n n 问胚 m + ( p u ) 。+ ( p ) 。= 0 ， ( p t ) t 十( 肚2 k + ( 舢口) ，= 0 ， ( 1 2 1 7 ) i 【( ) t + ( p u v ) 。+ ( 舢2 ) v = 0 ， 带有初值 扫， ，圳i = o = ( f ) ，在第i 象限i = 1 ，2 ，3 ，4 ， 其中( i ) = ( 以，如，仇) “= 1 。2 ，3 ，4 ) 是四个常状态作者利用广义特征分析的方法发现 了d e l t a 激波解的存在性，同时也分情况构造了包含矗激渡与真空的r i e m a n n 解 在广义积分的意义下给出了用来描述乒激波的广义r a n k i n e - h u o g o n i o t 关系，从而 d e l t a 激波得到了很好的描述在其论文中作者同时利用粘性消失研究了粘性系统 解的存在性及粘性解的极限情况，从而证明了输运方程解的存在性和稳定性 对于e u l e r 方程，2 0 世纪五六十年代苏美学者曾考虑过静止气体向真空的膨 胀。但问题远未解决( 4 3 1 ，【6 0 1 ) 在2 0 0 0 年，李杰权研究了空气动力系统的等熵流 方程 ia + ( p u k + ( p 口) ，= 0 ， ( p 钍) t + ( 2 + p k + ( p 札妒) 口= 0 ， ( 1 2 i s ) ( ) t + ( 肚u k + ( 舢2 + ，= 0 ， 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 7 带有下面初值的r i e m a n n 问题 ， l 汹，t 0 ，) ，- - 8 n 0 ， 【p ，u ) = ( 1 2 2 1 ) l 她，巩) ，各l 啦以 0 ( x = ( z 1 ，z 2 ，$ n ) ) ，u = “l ，1 1 2 ，u 。) ，v = ( 巩l ，如2 ，) ，o 是张量积，幽是初始间断面的单位法向作者利用自相似变换的方法构造出了包 含d e l t a 激波的解是低维零压流方程结果的个推广 1 3 非自相似初值问题 非自相似初值问题是也是一种最简单初值问题，是在r i e m s n n 问题的基础上提 出的，非自相似初值问题就是初值不具有标量扩张不变性的最简分片常状态的初值 问题对于双曲守恒律方程的r i e m a n n 问题，般都是采用自相似变换的方法，以 期达到将维简化的目的而对于非自相似问题，不能用原有的自相似变换的方法， 对阅题的求解必须另辟蹊径。 在1 9 9 9 年。杨小舟研究了n d 单个方程( 阳】) t t 十窭掣= o ，i t t 十掣= o ， t l 一 ( 1 3 1 ) 8 非线性双曲守恒律方程组的初值阿意 的非自相似初值问题 lt 一。m ( 。) 0 其中z = ( z l ，z ”一，z 。) ，u = u ( t ，功， ( “) c 口( ) 作者利用广义特征分析的方法 构造出了问题的解，并证明了解的嚯性 在2 0 0 4 年，杨小舟研究了二维b u r g e r s 方程初值被一凸曲线分为两个常状态的 初值问题( f 9 1 j ) 作者利用一种变换，构造出了问题的整体解解中包含稀疏波的相 互作用，最后形成像字母”y ，的结构2 0 0 5 年，研究了n 维b u r g e r s 方程 n 1 t + 。= 0 ， ( 1 3 3 ) - 盛l 的初值问题 l ：l z ； 8 2 ， “b = ( 1 , 3 4 ) 【t + ，：l z a 2 作者通过一种新的n 维方法，丽不是自相似方法构造出了问题的解( 1 9 2 1 ) 对于高维双曲守恒律方程组非自相似初值问题的砚究还不多见目前关于双曲 守恒律方程的c a u c h y 问题的研究的重大突破还仅限于对单个空间变量如关于严 格双曲守恒律。小。初值b v 弱解的适定性理论，等熵与等温气体动力学。大”初 值弱解( 含真空) 的整体存在性等( 见【1 2 l ，f 1 3 l ，【1 5 j ，f 2 4 j ，【7 4 j 等) 对一维边值问题的 研究也有很大进展( 见1 2 3 】。1 5 3 1 ，1 5 7 】等) 对于高维双曲守恒律方程组的初边值问题 的研究一般也是通过变换化为一维来解决，如关于活塞问题的研究( 见【1 4 】【1 6 】，f 8 3 】 等) 1 4 论文的主要工作 本文研究了几类双曲守恒律方程的初值问题r i e m a n n 问题和非自相似初值问 题我们利用广义特征分析法分别构造性地得到了几类双曲守恒律系统的初值l 司题 的整体解， 第二章首先介绍了关于双曲守恒律系统的一些基本概念然后分别对一维和二 维双曲守恒俸方程的一般性理论做了简单介绍 第三章研究了e u l e r 方程个简化模型带有三片常状态初值的非自相似初始同 题在文【8 0 1 中，谭得春、张同和郑玉玺研究了该简化模型的r i e m a n u 问题和c a u c h y 问题他们解释了d e l t a 激波产生原理，并利用粘性消失法证明了解的存在性在 2 0 0 7 上海大学博士学位论文9 本章我们首先提出了合理的用来描述d e l t a 激波的广义r a n k i n e - h u g o n i o t 关系。从 而能够对d e l t a 波分别从速度。位置和权来很好地描述为了更好的研究d e l t a 波的 特性。我们在本章研究了初值带有三片常状态的非自相似初值问题分情况研究了 d e l t a 波与其他基本波的相互作用并构造性地得出了该简化模型的显式解在研究 d e l t a 波穿透稀疏波的过程中发现了个奇特的现象，在熵条件的约束下，当d e l t a 波穿越前向稀疏波和后向稀疏波的界线时会突然消失。取而代之的是个激波和一 个接触间断 第四章研究了般的零压流方程初始具有集中的r i e n l a l l n 问题即初值带有一 个d i r a cd e l t a 函敷由于系统是重特征而且线性遢化。解中也出现了d e l t a 波本 系统的基本解包括常状态，d e l t a 波和真空在本章中，我们利用关于d e l t a 波广义 r a n k i n o - h u g o n i o t 关系的研究。得到了d e l t a 波解的总体特征对于d e l t a 波解的存 在唯性在本文中也得到了证明根据初始条件我们得到了四种情况的整体解特 别是当m o = 0 时，本文的结果就是文【艏1 的结果从而我们的结果是其结论的推 广，同时也证明了激波解初始权值扰动的稳定性当f ( - ) = u 时。该系统就是一维 输运( 零压流) 方程，当，( u ) = _ 7 ：l - _ = 时，就是非线性几何光学模型 、1 + 铲 第五章研究了二维输运e 零压流) 方程的非胄相似初值问题在文f 7 2 】中，盛 万成和张同利用自相似变换的方法解决了二维输运方程初值为四个象限都为常状态 的r i e m a n n 问题作者清晰的刻画了d e l t a 波，并利用粘性消失法证明了解的存在 性问题本章利用广义特征分析法，发现了个用来求解二维输运方程非自相似初 值问题的基本引理和用该引理，我们可以把空问问题巧妙的转化到平面来求解 从而使解决问题难度得到了降低，同时我们也能给出问题的显式解这里值得说明 的是，我们采用的并不是自相似变换的方法。从而对初值并没有标量不变量性的要 求，从而我们的方法可以用来求解初始间断为任意曲线的情形在本章中我们分别 研究了初始间断是个圆环和初始闻断为一任意光滑凸曲线分初值为两片常状态的 非自相似初值问题的情况1 可题的整体显式解也分别被构造性地得到 第六章研究了无粘弹性力学中退化波方程组的r i e m a n n 问题对于该方程在 # 0 时特征区域是真正非线性的，从面可以通过简单渡和激渡来构造问题的解 由于应力函数是非凸及激波条件退化，从而我们像1 6 3 l 那样定义了退化激波，我 们利用该系统的基本波一退化激波s d ，激波和稀疏波，根据r i e m a u n 初值阢和 珥所处地相对位置分别构造了问题五种情况的整体解 第二章守恒律方程的基本理论 作为后面几章的准备，本章在第一节和第二节分别给出了一维和二维守恒型方 程的一些基本概念和理论本章的主要概念和理论可参见【6 】，1 2 1 ，【5 2 】，【5 8 1 ，【7 4 】，f 7 5 ， 伶4 】 2 1 一维守恒型方程 对于一维空间变量的偏微分方程组 m + ，( t ) z = 0 ，( 2 1 1 ) 称为守恒型方程组，其中t t = ( t i ，地，t ，1 ) 是关于t 和z 的n 维矢量函数， 称为守恒量。或状态量，如流体动力学中的质量，速度能量等更精确点就是t i 是第t 个状态变量的密度函数j ：啦( z ，t ) d x 表示该状态变量在区间陋l ，x 2 j 中t 时刻的总量我们称这个状态变量是守恒的是指j = ：t ( 文0 d x 关于t 是不变的 ，( n ) = 恢( “) ，丘( u ) ，厶( “) ) 称为流函数该守恒型方程是由物理定律在任意两点 z l 和x 2 之间如下形式积分得到的 云上( 毛= 似( 轧。) ) 一m ( ) ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 2 ) 表示在区间k l ，z 2 】中的总流量( 如质量，动量能量等) 的变化仅仅与两端 点处的流量有关，这就是守恒的基础，其中，( ( 。l ，) ) 和，( u ，e ) ) 分别表示在z l 和z 2 点的流入流出量 对于方程组( 2 1 1 ) ，若其n n 的j a c o b i a n 矩阵 f ，籍箍躲、1 m ，：m ，：i 肇肇：第1 仁。锄 i ： l i 籍箍赫 的特征值 1 ( u ) ，沁( “) ，k ( u ) 都是实数时，方程组( 2 1 1 ) 称为双曲的；当所有的特 征值山( u ) ，扛1 ，n 互不相等时，则称方程组( 2 , 1 1 ) 为严格双曲型此时月( “) 的 特征值可以按大小顺序排序为a i ( ) a 2 ( u ) k ( n ) 与矩阵a ( u ) 的特征值 对应右特征向量记为q ( u ) ，有关系 ( u m ( “) = ( u h ( u ) 成立全体 ， = 1 ，n 构成一个完备的向量空间 1 0 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 2 1 1l u e 不变量与简单波 方程( 2 1 1 ) 可以重写为 t t +