（课程与教学论专业论文）中学生数学知识网络的探索.pdf

中文摘要 人的一生之中，将要学习大量的知识，如果这些知识杂乱无章的储存在人的 头脑中，既不利于新知识的学习，也不利于已学知识的提取，更谈不上知识的灵 活应用，因此必须使头脑中的知识结构化、网络化。研究数学知识网络的意义在 于：( 1 ) 构建数学知识网络的过程是数学理解的过程；( 2 ) 构建完善的数学知识 网络有利于解题能力的提高：( 3 ) 构建完善的数学知识网络，有利于知识的迁移。 接下来本文主要阐述了数学知识网络的涵义及特点，指出了构建数学知识网络的 基本途径、方法，并通过调查了解了学生在解题过程中知识网络的构建情况，并 在此基础上给出了提高学生构建数学知泌网络能力的教学策略。 本文提供了大量、详实的数学知识网络，可供广大数学教师参考。 关键词：认知结构，数学知识网络，构建 a b s t r a c t p e o p l ew i l ll e a r nal o to fk n o w l e d g ei nt h e i rl i v e s i ft h ek n o w l e d g ei ss t o r e do u t o fo r d e ri nt h em i n d ，i ti sd i s a d v a n t a g e o u sn o to n l yf o ro b t a i n i n gt h en e wk n o w l e d g e b u tu s i n gt h eo l dk n o w l e d g e ，w h i c hc a n n o tb eu s e df r e e l y s ot h ek n o w l e d g ei nt h e m i n ds h o u l db es t r u c t u r a l i z e da n di n t e r c o n n e c t e d t h es i g n i f i c a n c eo fs t u d y i n gt h e n e t w o r ko fm a t h e m a t i c sl i e si n ：( 1 ) t h ep r o c e d u r eo fb u i l d i n gt h en e t w o r ko f m a t h e m a t i c sk n o w l e d g ei st h ep r o c e d u r eo fu n d e r s t a n d i n gi t ( 2 ) e s t a b l i s h i n gt h e n e t w o r ko fm a t h e m a t i c sk n o w l e d g ec a ni m p r o v et h ea b i l i t yo fs o l v i n gp r o b l e m s ( 3 ) b u i l d i n gt h en e t w o r ko fm a t h e m a t i c sk n o w l e d g ei sh e l p f u lt ou s i n gk n o w l e d g e t h e f o l l o w i n gi st h ed e f i n i t i o na n dt h ec h a r a c t e ro ft h en e t w o r ko fm a t h e m a t i c sk n o w l e d g e a sw e l la st h ew a yo fb u i l d i n gi t ，a n da f t e ri n v e s t i g a t i n g ，t h ew r i t e ra l s oe x p o u n d st h e c o n d i t i o n so ft h es t u d e n t s b u i l d i n gt h en e t w o r ko fm a t h e m a t i c sk n o w l e d g e t h e r ea r e s o m es u g g e s t i o n sa b o u th o wt oi m p r o v et h ea b i l i t yo fb u i l d i n gt h en e t w o r ko f m a t h e m a t i c sk n o w l e d g e t h ef o l l o w i n gp a p e rp r o v i d e sal o to fd e t a i l e di n f o r m a t i o na b o u tt h en e t w o r k o fm a t h e m a t i c sk n o w l e d g ef o rm a t h e m a t i c st e a c h e r s k e yw o r d s ： r e c o g n i t i o ns t r u c t u r e ，t h en e t w o r ko fm a t h e m a t i c sk n o w l e d g e ，c o n s t r u c t 一、问题的提出 日l j舌 首先，知识，不管是陈述性知识还是程序性知识都对人生具有重要的现 实价值，人的各种实际能力的形成和实际成就的取得都以知识为重要的条件 之，知识在记忆、理解、问题解决等认知能力的发展上起着重要作用。 培养学生的数学能力是中学数学教学的主要目的之一，能力是更稳定的 心理特性，对人的活动有更普遍、更一贯的作用，而知识是能力发展的重要 基础，能力的形成、发展与知识的获得、积累不能割裂开来，它是知识、技 能进一步概括化和系统化而形成的高度整合性的心理结构，是个体通过对知 识、技能的广泛迁移作用而实现的。因此，在强调培养学生全面素质的今天， 如何使学生形成深层的、灵活的知识，如何提高知识获得的效果和效率，成 为教师日益关注的课题。 其次，认知心理学关于“专家知识”的研究认为，一个领域内善于解决 问题的专家必须在头脑中积累5 万2 0 万个知识组块，没有这些专门知识，专 家就不能解决该领域内的技术问题。因此，数学教学首先是数学知识的教学， 掌握数学知识在数学教育中显得尤为重要。但头脑中的知识越多并不意味着 解决问题的能力越强。有时即使头脑中具备了解决某个问题所需的全部知识， 也不能保证这个问题得到解决。作为教师常常会碰到这样的情况：学生不仅 具备解决问题所需的全部知识，也知道相应的解题方法，但仍是苦苦思索不 得其解，稍加指点后却又恍然大悟。究其原因这和学生头脑中的知识组织混乱、 结构性差不无关系。在许多专门领域的研究都证明解决问题能力取决于个人 所获得的知识的多少及其性质和组织结构。奇等人认为( c h i ，g l a s e r & r e e s ， 1 9 8 2 ) 吐新手在解决问题上的缺陷是因为知识构造上的问题，并不是由于缺 乏解决这个问题所必需具备的智力水平。图1 和图2 是新手和专家关于斜面 的典型知识网络结构。新手具有表面化的结构特征，构造的主要依据是表面 特征，如斜面所成的夹角、长度、高度以及斜面上是否有一木块。叙述的最 后部分才提到了能量守恒。相反，专家一开始就提到了应用于斜面问题的物 理定律：能量守恒和牛顿定律。然后，专家阐述了牛顿定律适用的条件：假 如有加速度，用f ：m a ( 牛顿第二定律) ；假如没有加速度，系统平衡，合力 为0 。只有到这一步，专家才提到斜面的表面特征。物理定律和什么时候使用 这些定律才是专家图式的核心内容，表面特征仅处于边缘部分。 心理学研究还发现，优等生和差生的知识组织是不一样的【3 1 。差生头脑中 的知识是零散的和孤立的，呈现水平排列方式、列举方式，而优等生头脑中 的知识是有组织和系统的，知识点按层次排列，并且知识点之间有内在联系， 呈现出一个层次网络系统。可见如果知识在头脑中无条理地堆积的话，那么 堆积的知识越多，越不利于问题的解决，就像是进入图书馆借书一样，当书 按一定顺序整齐地排列着，那么书会很容易找到；但书如果无顺序、杂乱无 章地堆放着，我们就很难找到需要的书。因此，在数学教学时，不仅要让学 生掌握数学知识，而且还应当让知识在学生的头脑中组织的好，有一定的结 构性，要使学生头脑中的数学知识网络化。 二、研究的理由或意义 1 研究的理由： 数学知识网络是一种结构化的知识，科学发展到今天，几乎各门学科都 要对本领域的知识内容进行结构分析，利用结构这一种概念或形式来反映事 物的特征，使对象或问题表述得简单明了。布鲁纳指出：“不论我们选教什么 学科，务必使学生理解各门学科的基本结构。这是在运用知识方面的最低要 求，它有助于解决学生在课外所遇到的问题和事件或者在日后训练中所遇到 的问题。”f 4 】 2 研究的意义： ( 1 ) 构建数学知识网络的过程是数学理解的过程 建构主义学习观认为：“要对知识形成深刻的、真正的理解，这意味着学习 者所获得的知识是结构化的、整合的，而不是零碎的、只言片语的。”希尔伯 特也说：“我们认为一个数学的概念、方法或事实是理解了，是指它成了内部 网络的一个部分。更确切地说，数学是理解了，是指它的智力表示成了表示网 络的一个部分，理解的程度是由联系的数目和强度束确定的。”1 5 】在数学知识 网络中，知识点越多，联系得越紧密，越有助于数学的理解。例如：在刚学三 角形时，对三角形的理解为内角和为1 8 0 度，随着学习的深入，不断的有新知 t 连接或纳入到知识网络中，从勾股定理到三角形的余弦定理、正弦定理，面 积公式从底乘以高到毛6 s i n c 等，使得对三角形的理解不断的扩展、深化。 1 ( 2 ) 构建完善的数学知识网络有利于解题能力的提高 “问题是数学的心脏”，数学教学的一个很重要的任务就是教学生如何解 数学题，任何解题都是以一定的数学知识，包括运算技能、作图和算法等作 为必要条件的，在实际解题时，更为重要的还在于解题者要拥有一个组织良 好的数学知识结构。波利亚指出：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解 题者的重要资本。良好的组织使得所提供的知识易于月上，这甚至比知识的 广泛更为重要。把你记忆里的知识安放得有条不紊只会对你有更多的帮 助。”1 6 l 数学知识网络是一个组织良好的数学知识结构，它使学生头脑中的 知识变得更加系统和有条理，有利于问题解决能力的提高。 f 3 ) 构建完善的数学知识网络，有利于知识的迁移 学习能够迁移，使学习中的普遍现象。例如，学习了方程的知识，有利 于不等式的学习：学习了分数的知识，有助于分式的学习等。数学学习的迁 移存在于整个数学学习系统中，它有如下作用：首先，通过数学学习迁移， 使学生习得的各种数学知识建立更加广泛而牢固地联系，使之概括化、系统 化，有利于形成良好的数学认知结构，促进数学新知识的有效吸收，并逐渐 发展为能够自我生成新的数学知识，而且数学学习迁移是数学知识、技能转 化为数学能力的关键。数学学习的迁移不是自动发生的，它受制于许多因素， 重要的有学习材料的因素，数学活动经验的概括水平等。心理学的研究表明， 相似程度的大小决定着迁移范围和效果的大小，而学习任务之间的相似性是 由共同因素决定的，共同因素越多，相似性越大。其次，已有数学活动经验 的概括水平对迁移的效果有较大影响，概括水平越高，迁移的可能性就越大， 效果也越好。在数学学习中，基本概念、基本原理、数学思想方法等数学知 识的学习，都是一些概括水平高的数学知识，容易实现广泛的效果良好的迁 移。数学知识网络中的知识具有定的联系，具有一定的共同因素。数学网 络中的知识相关程度高，并且包含概括水平高的知识，易于实现知识的迁移。 三、国内外研究综述 人的知识不是零乱地“堆积”在人的头脑中，而是按照一定的逻辑关系 “集成”在人的头脑中，形成一定的认知结构。认知结构具有一定的层次性， 有些概念、规则、原理的抽象概括水平比较高，处在认知结构的上层，向有 些知识则相对更为具体，概括水平较低，处在认知结构的下层。由于人的各 种具体经验以及各种各样的联想、推理，各种知识经验之间会形成复杂的网 状联系。知识网络是一种结构化的知识。关于结构化的知识，布鲁纳提出了 认知结构学习理论。他指出：“获得的知识如果没有完满的结构把它联在一起， 那是一种多半会被遗忘的知识。一串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜 的寿命。”1 他认为，学习的实质是一个人把同类事物联系起来，并把它们组 织成赋予它们意义的结构。知识的学习就是在学生的头脑中形成各学科知识 的知识结构。这种知识结构是由学科知识中的基本概念、基本思想或原理组 成的。知识结构的结构形式是通过人的编码系统的编码方式构成的。编码的 方式和编码系统决定着知识的获得、理解、掌握和组织。 国内学者喻平针对数学学习的特点，提出了数学学习心理的c p f s 结构理 论。它的涵义是：( 1 ) 个体头脑中内化的数学知识网络。各知识点( 概念、 命题) 在这个网络中处于一定位置，知识点之间具有等值抽象关系、或强抽 象关系、或弱抽象关系、或广义抽象关系。( 2 ) 正是由于网络中知识点之间 具有某种抽象关系，而这些抽象关系本身就蕴含着思维方法，因而网络中各 知识点之间的连结包含着数学方法，即“连线集”为一个“方法系统”。 第1 章理论基础 1 1 信息加工理论 信息加工理论以信息处理的过程来说明人的认知过程及其机制，解释人 的复杂的行为。信息在执行、控制机制下，经感知、筛选、识别、编码、提 取后，组织起来进入记忆系统。信息加工理论将记忆机制分为三种：感觉登 记、短时记忆和长时记忆，它们各自有不同的加工方式，信息在它们之间传 递和变化，形成了认知的基础。当人们注意到刺激时，这些刺激就处于短时 记忆中，要习得外来信息，则它必须有感觉登记进入短时记忆，并在短时记 忆中得到加工，短时记忆不但保持时间短暂，而且容量有限，只能容纳7 t2 个“项目”。短时记忆中的信息是以“组块”为单位的，它实际上是一种信息 的组织或再编码，每个组块的“容量”越大，我们即刻能够记住的信息就越 多，我们头脑中的知识组块越多，我们短时记忆的能力就越强。将有关联的 信息整合，浓缩起来，安排成有序状态组成新的单元，让尽量多的信息进入 工作记忆的信息通道，作加工处理，从而实现高效率的利用。经过学习和复 习巩固而在我们头脑中储存下来的记忆称为长时汜忆，其容量是无限的。长 时记忆中的信息常常需要回忆出来参与加工，为了能迅速、准确地提取信息， 长时记忆中的信息不应是孤立的、散乱的，而必须组织起来，思维加工时， 能将类似的经验组织成“图式”，进而组成复杂的网络，以便在需要时作为组 块进行提取。组块的作用就在于减少短时记忆中的刺激单位，增加每一单位 所包含的信息量，从而可以在短时记忆容量限度内增加信息量。数学知识网 络中的知识不是零碎的、孤立的存在的，它的每个知识点之间都有紧密相连 的关系，这些联系就形成了组块，从而大大减轻了短时记忆的负担。例如： 在学生学习平行四边形这一节时，如果将平行四边形、矩形、菱形、f 方形、 一6 梯形等知识点孤立的来记忆时，这些知识点不容易记忆，但将有关概念构成 知识网络( 如图3 ) ，这些知识点彼此之间形成组块，大大减轻了短时记忆的负 担。 学生在学习新知识，解决新问题时，需要使用长时记忆中已经习得的知 识，信息加工理论将这一过程称为信息的提取。信息提取过程是一个能动的 “重建”过程，需要把记忆的内容重新改造，而不是简单的复述。认知心理 学家认为，人在学习新命题时，将激活与这新命题有关的旧命题，并通过 这些旧命题来理解新命题的意义，而学习的最终结果则是将新命题同知识网 络中的这些有关命题单位储存在一起， 8 1 也就是说当我们需要运用长时记忆中 的有关知识时，必须首先激活它们。 淼暑辟二 f 分 l 止 宦 丁 对角斗 弁j 形 峰! 霉 激活的传播是一种借助于网络的结点联结的结构，将激活传至其他有关的结 点联结的过程。f 9 1 处于良好组织结构中的具有紧密联系的知识的提取比只有松 散结构的、随机联系的知识的提取要容易得多。认知心理学家将凡是与现在 所学的信息建立起更多联系的这种增加或扩充的过程称之为精致或精深。【1 0 】 安德森认为精深至少可以从两方面来改善记忆。首先，精深给回忆提供了冗 余的提取通路，也就是说，信息得到加工以后，该信息与其他信息之问建立 7 起紧密的联系，并将信息保持在一个结构网络中，这种网络为学生提供了可 以互换的提取路线；其次，精深能帮助个体推论出自己实际上已不再记得的 信息，而构建数学知识网络的过程实际上就是将信息进行精深或者称为加工 的过程。正如安德森所说：“精深的另一种重要的作用在于对记忆赋予一种有 层次的组织，这种有层次的组织将能够使人对记忆的搜寻表现出结构化，并 使人能够更有效地提取到信息。”例如：在三角函数公式的学习中，公式多， 记忆难度大，如果学生对公式作精深的加工，构建如下知识网络( 如图4 ) ，掌 握两角和与差三角函数的整体结构，就可以将已经忘记的某个公式推倒出来， 既有利于知识的提取又有利于知识记忆。 1 2 奥苏贝尔的有意义言语学习理论 奥苏贝尔认为有意义学习有两个先决条件：( i ) 学生表现出一种有意义 学习的心向，即表现出一种在新学的内容与自己已有的知识之间建立联系的 倾向( 2 ) 学习内容对学生具有潜在意义，即能够与学生已有的知识结构联系 起来。任何学习，只要符合上述两个条件都是意义学习。他认为当学生把教 学内容与自己的认知结构联系起来时，意义学习便发生了。所以，影响课堂 教学中意义学习的最重要的因素是学生的认知结构。所谓认知结构，就是学 生现有知识的数量、清晰度和组织方式，它是由学生眼下能回想出的事实、 概念、命题、理论等构成的。 1 2 1 认知结构对新知识获得和保持的影响因素主 要有三个：( 1 ) 学生认知结构中能新教材建立联系的有关概念是否可以利用； ( 2 ) 这些概念与要学习的新概念之间可辨别性程度：( 3 ) 认知结构中起固定 点作用的概念是否稳定、清晰，具有起固定作用的旧知识或旧观念对学习是 否有意义起重要作用。由于学生的认知结构是由知识结构“内化”而来的， 因此有效的知识结构是形成良好的认知结构的关键。 数学的学习过程也不是简单的知识积累过程，而是一个认知过程，是学生 调动已有的知识和经验对新的概念、原理进行选择、推理、判断等同化新知 识，使数学知识结构内化为学生认知结构的过程。所谓数学认知结构是学习 者头脑中的数学知识结构，即数学知识结构通过内化在学习者头脑中形成的 观念和组织。【1 3 l 数学教育的任务之一就要优化和发展学生的数学认知结构， 即培养学生形成良好的数学认知结构，使之具有不断吸收新数学知识的能力 和知识的自我生成能力。数学知识网络中各知识点之间关联紧密，学生在学 习新概念时，可利用的同化点多，同时知识点之间的密切联系又扩充和加深 了对原有概念的理解，这样就增加了“可利用性”；其二，知识网络各知识点 上的异同之处明显，因而“可辨别性”强；其三，知识网络中各知识点之间 的相关程度很高，连通性强，所以“稳定性”好。 第2 章数学知识网络的界定及特点 2 1 知识的涵义 “所谓知识，就它反映的内容而言是客观事物的属性和联系的反映，是 客观世界在人脑中的主观映象。就它反映活动的形式而言，有时表现为主体 对事物的感性知觉或表象，属于感性知识，有时表现为关于事物的概念或规 律，属于理性知识。” j 4 j 从心理学的观点看，知识是个体头脑中的一种内部状 态。当代认知心理学把知识看作是储存在个体长时记忆中的信息，这种信息 是有组织的信息，并不是从外部世界直接移入人脑的，也不是先天存在于人 脑中的，而是通过主体与客体的相互作用而进行构建的结果。正如皮亚杰所 说：“知识是主体与环境或思维与客体相互交换而导致的知觉构建，知识不是 客体的副本，也不是由主体决定的先验意识。”【1 5 】因此知识可以定义为主体通 过与其环境相互作用而获得的，储备在长时记忆中的关于各种事物的特性与 关系以及个体自身如何完成各项任务和解决各种问题的信息及其组织。 2 2 知识的分类 当代认知心理学家主张把知识分为两类：陈述性知识和程序性知识。所 谓陈述性知识是指人知道某事是什么的知识，程序性知识是指人知道如何做 某事的知识，也包括认知技麓和认知策赂。 也有人将知识分为“明确知识”和“缄默知识”，所谓明确知识是指可以 用语占、文字或符号的方式加以明确表示的知识，而缄默知识是指那些不能 或很难用语言、文字、符号来表达的知识。 2 3 数学知识的涵义 我国数学教学大纲指出，“数学知识是指数学的概念、性质、法则、公 0 式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。” 曹才翰先生认为“：“数学知识就是客观事物在数与形方面的特征与联 系在人脑中的能动反映，具体地说： ( i ) 数学知识是个体通过与客观事物在数与形方面的特征和联系的相互作 用后获得的信息及组织； ( i i ) 数学知识不仅表现为数学概念、定理、法则、公式等“陈述性知识”， 而且还表现为数学思想等“程序性知识”； ( i i i ) 作为人脑对客观事物在数和形方面特征的能动反映，需要个体对反映 过程进行主动地调控，而调控的前提是个体具有相应的技能，因此，主体有 关对自己的数学学习过程的知识，也就应该成为知识的一个有机组成部分。 在实际教学中，作为教师更多地侧重于陈述性知识即数学的概念、性质、 法则、公式、公理、定理的教学。 2 4 数学知识网络的界定及特点 2 4 1 数学知识网络的界定 现代认知心理学研究发现，陈述性知识是以命题和命题网络的形式在学 习者头脑中呈现和表达的，陈述性知识最基本的单元是命题，如果两个命题 之间具有共同的成分，那么这两个命题就可以彼此联系起来，这样许多彼此 相互关联的命题组合到一起就构成了一个命题网络。与命题网络类似，所谓 数学知识网络就是如果两个数学知识之间具有共同的成分，它们就可以彼此 联系起来，这样许多彼此相互关联的数学知识组合到一起就构成了数学知识 网络。它是数学知识在头脑中系统化和程序化的储存方式，是知识在头脑中 通过多维度的联系所构成的开放性知识系统。 2 4 2 数学知识网络的三个特点 ( 1 ) 网络系统中知议的整体性 在网络中的知识不是一盘散沙，而是一个相互f d j 具有清晰逻辑关系的整 体，其中每个知识点都有特定的位置，从而使大脑对知识的提取、应用变得 容易。例如：圆的标1r 臣了任1 7 1 2 2 + y ：；，z ( ，一o ) 、椭圆的标准方程芝+ 善；1 ， 吾+ 事= 1 。) b0 ) 双曲线的标 r 匪, 了任t a x2 一矿y 2 = 1 6 x ：2 _ 。y z ：= 1 ( a o , b c i ) 可 以构建如图5 所示的知识网络，利用一个方程将三种曲线的标准方程统一起 来，体现了知识网络中的知识的整体性。 ( 2 ) 网络系统中知识问联系的多维性 即每个知识点都可以通过不同的线索与其他多个知识点相联系，同时两 个知识点之间可以有多种联结方式。 例如：在数学中垂直的概念就可以与多个数学知识相联系，如图6 ( 3 ) 网络系统中知识的开放性和发展性 随着学习的不断深入，新的知识源源不断地补充到原来的网络中，使网 络中的知识点不断增加，知识点间的联系更广泛、更优化。例如：在初中时 学生对函数的概念只能初步的了解，可构建如图7 所示知识网络 e 哥的h 怔 f 剥型i 兰卜阿 图7 进入高中以后，学生在不断进行函数知识的学习之后，可构建如图8 所 示知识网络 三三薹一殊的映射 2 5 构建数学知识网络的基本途径 学生构建数学知识网络，主要有三种基本途径：添加与组织；筛选与提 炼：调整与重组。 2 5 1 添加与组织 学生完成了对数学某一知识的理解和已忆后，该知识便进入了学生的知识 库中，成为“库”中的一个知识单元，这就是“添加”。随着相关知识单元和 不相关知识的不断增加，学生对它们的理解和记忆就会出现混乱，因此必须 对增加的知识进行适当的整理和组织，以便纳入到原有知识网络中，并对原 有知识网络进行改造。 2 5 2 筛选与提炼 建构主义的学习观认为，学生在理解和掌握知识的过程中不可能是教学内 容在头脑中的简单复制，而是根据自己的体验与经验，对知识有自己的理解 和看法，而这些理解和看法有可能是错误的，因此，学生在构建自己的知识 网络时，需要有多次筛选和提炼的过程。所谓“筛选”是指学生只接受自己 所理解的知识，将这些知识纳入自己原有的知识网络中，“提炼”就是学生将 那些应用范围广泛的思想、方法类知识置于知识网络中最突出的位置。 2 5 3 调整与重组 知识的掌握，经验的积累是一个持续不断的过程。经过一段时间的学习， 学生可能构建出某一部分知识的知识网络，但随着学习的深入，新知识、新 经验的不断获得，会与原有的知识经验发生冲突。例如：在平面几何中“垂 直于同条直线的两条直 线平行”这个命题是个 真命题，但在立体几何中 肆篓 f 位置关系l $ 自 图9 平行 垂直 异面 这就是个假命题，因此必 须调整和改变在平面几何中形成的知识网络，重新调整自己的知识网络。由 图9 的知识网络调整重组成图1 0 的知识网络。 2 6 构建数学知识网络的方法 2 6 1 利用知识间联系的逻辑包含关系构建知识网络 1 4 奥苏贝尔认为学生在学习时，新旧知识之间存在三种联系方式即上位关 系、下位关系和并列关系。当要学习的新知识比已有知识的概括程度更高、 包容范围更广，可以把一系列已有知识包容其中时，新旧知识之间便构成一 种上位关系；当新学习的知识从属于学生认知结构中已有的、包容范围较广 的知识时，构成下位关系：如果新知识是已有认知结构中某些观念的合理组 合而成，那么新旧知识之间产生并列关系。上位关系、下位关系使知识之间 形成纵向层次，并列关系使知识之间产生横向联系，从而形成知识网络。例 图1 1 绝对值模 部 r o 向量 三角 2 6 2 利用类比的方法构建知识网络 类比法就是根据两个或两类事物在某些属性上相同或相似，而推出它们在 其他属性上也相同或相似的推理方法。纵横沟通、类比发现是常用的一种数 学方法。类比的基础是相似，借助类比，可以找到知i 点之间的内在联系， 有点及面，由孤立到系统，构建知识网络。例如：利用三角形的概念、性质 与四面体的性质、概念作类比，可构建如图1 2 所示知识网络。 三角形四面体 直角三角形直叫面体 等边三角形等面四面体 三角形内切圃( 内心)四面体内切球( 内心) 三角形外接圊( 外心)四面体外接球( 外心) 顶点到对边中点连线( 重心)顶点到对面重心连线( 重心) 正三角形三心重台 等面凹面体三心重台 图1 2 数 数 理 理 胄 无 数整 数， 觳然 零 数 自 整 2 6 3 利用知识间的等价性来构建知识网络 在中学数学中，许多知识是等价的，如等价方程、等价命题等，利用这 种等价性，可构建知识网络。例如：利用等价命题可构建以下知识链 口：b ：0 一口2 + 6 2 ；0 一i 口l + 1 6 l - 0 一i + i ：0 2 6 4 利用图形的直观性来构建知识网络 我们常用正六边形的几何关系来构建同 角三角函数间的关系的知识网络。( 如图1 3 ) 以上是构建知识网络常用的方法，但是 知识网络的构建往往是几种方法有机地结合，图1 3 从而形成了知识点高度集中，纵横贯通的知识网络。例如 誊巷 口a l lji 亭单 l 与三角仃关的知识绝对值 上 与绝对值肯关的知识 说明：a 为类比方法：b 为下位关系；c 为等价关系。 可夏 第3 章学生构建数学知识网络情况的调查研究 3 1 调查目的 了解学生在解题时数学知识网络的构建情况。 3 2 调查对象 所任教的江苏省徐州市第三中学2 0 0 2 级高二( 1 ) 、( 3 ) 班，这两个班是 文科班，其中( 1 ) 班是文科的重点班，数学基础相对较好，( 3 ) 班是普通班， 在年级中数学成绩居于下游位置。 3 - 3 调查过程 制作调查问卷( 见附录) ，并于2 0 0 4 年4 月2 0 闷发放，该问卷设计了 三个解答题，问题1 是函数的综合应用题，问题2 是关于当前所学的立体几 何题，问题3 是高二上学期所学的解析几何问题，目的是了解在当前学习情 况下，学生在解决问题上有无差别，知识网络的构建有无差别。将每个班的 学生分成三个大组，每组解决一个问题，时间大约是3 0 分钟，然后当堂回收 问卷。 3 4 调查结果 问题1 ：他) 是定义在r 上的奇函数且满足，( 抖2 ) i ，0 ) ，又当石( o ，1 ) 时， 只x ) = 2 r 一1 ，则f o o g ；) 的值等于 ( 1 ) 班和( 3 ) 班均无人能得出正确答案，同是回答错误，但两个班的 同学在构建该题所涉及的知识网络时，还是存在着不同。( 1 ) 班大部分同学 都能抓住奇函数这个关键知识点，在此基础上来构建。如图1 5 ( 3 ) 班大部分同学构建 的知识网络( 如图1 6 ) ： 对比两种网络图，可以看出( 3 ) 班的学生只能将题目所涉及的较明显的知识 点平面的罗列出来，缺少有效的组织，对题目中所涉及的一些等价命题、等 价性质不能提取，例如该题的奇函数与，f - - x ) = - - f ( x ) ，0 + 2 ) 可耻) 体现的是函数 的周期性这些知识。( i ) 班的学生比( 3 ) 班的学生构建的知识网络更完善， 更有层次，能将题目中一些等价性质提取出来。虽然结果都是回答错误，但 两个班学生思考问题的过程却存在差异，构建的知泌网络存在差异。 问题2 ：如图：删上平面a b c d ，四边形a b c d 是矩 一 形，p a = a d = a ，m ，n 分别是a b , p c 的中点 ( 1 ) 求平面p c d 与平面a b c d 所成二面角的大小 ( 2 ) 求证：平面m n d i 平面p c d ( 3 ) 当a b 的长度变化时，求异面直线p c 与a d 所成角的可能范围。 ( 1 ) 班有2 0 人回答该问题回答出前两问的有1 5 人，回答出所有三问的有 三人，( 3 ) 班有1 6 人回答问题2 ，回答出前两问的有8 人，第- f o 没人能回答 出。在回答该问题的3 6 人中，有4 人建构了如图1 8 所示较完善的知议网络 1 8 ， 图 图1 8 异面蘸线 所成的珀 求函数 值域 求函数值域 的方法 平行线一 工 竺竖争 构肆函暂 销形 工 巾点 反函数 土 判别式法 没有回答出问题的同学构建的知识网络图均缺少利用函数的值域来求角 的范围这部分网络。 问题3 ：过抛物线y = a x 2 0 o ) 的焦点f 作一直线交抛物线于p 、q 两点 若线段p f 与f q 的长分别是p ，q ，则古+ = 在回答该问题的3 2 名学生中，没有一个能得出正确答案。能想到焦点弦、 斜率、建立一元二次方程、韦达定理等关键知识点的学生只有8 人。 这些同学构建的网络图有下面几种形式( 如图1 9 ) 口 1 9 6 3 5 调查结果分析 1 学生对知识网络的构建存在个体差异，对题目的理解不同，对题目中 的关键知识的看法不同，学生构建的知识网络存在差异，例如图1 9 所示的知 识网络，有的学生是从抛物线出发构建的知识网络，有的学生对题目中v = s x 更注意，构建出了如b 所示的知识网络，而有的学生却采用分析法的方法， 由所求问题出发构建出了如c 所示的网络图。学生构建的知识网络还存在层 次上的差异，有的学生构建的知识网络是平面的如图1 6 ，是在单元知识内部 2 0 + 构建出的，因而不利于解决综合问题，而有的学生构建的知识网络既有横向 联系，又有纵向联系，构建的知识网络是立体的，如图1 8 ，各知识点之间联 系紧密，利于问题解决。 2 学生的知识网络的建构依赖于原有的知识网络，原有知识网络是否完 善直接影响现有知识网络的构建，如问题3 中，学生关于抛物线知识的构建 不完善，缺少焦点弦与抛物线定义间的联系，致使无法解决该问题。 3 学生的数学基础是影响知识网络构建的很重要的因素，( 1 ) 班学生总 体的数学基础要好于( 3 ) 班的学生，因此他们构建的知识网络就要比( 3 ) 班的学生构建的要完善。影响数学知识网络的因素还有对知识的遗忘程度 对于现在所学知识遗忘较少，因此构建的知识网络就较完善，如图1 8 ，对学 习时间较长的知识遗忘较多，因此构建的就不完善，知识间的联系也不紧密。 第4 章帮助学生构建数学知识网络的教学策略 为了帮助学生建构完善的、有效的知识网络，从而提高他们的数学解题 能力，作为教师在教学中应该注意以下几点 4 1 注意教学的整体性 任何一门学科都不仅仅是一条条孤立知识的集合，孤立的知识教学不可 能建立起层次分明和紧密联系的观念系统。数学是一门结构化的学科，数学各 个分支、各章节内容之问是相互渗透、相互蕴含的，因此，在平时的教学中 新知识的教学不能孤立地进行，应把新知识纳入学生原有的观念系统中进行整 体考虑，使新知识与原有的相关知识相联系。既要注意知识之f a j 的纵向联系 把孤立的知识组成知识链，又要注意知识之间的横向联系，把知识链进一步组 成知识网，使学生在头脑里形成一个经纬交织、融会贯通的知识网络，这样的 教学既有利于知识的记忆，又有利于知识的提取。例如，在一元二次方程学完 之后，可以让学生把所学的代数方程整理进行系统化，网络化( 如图2 0 ) 。 既可以克服学生对所学知识的呆板死记，又可以将所学的方程知识迁移到不 等式的学习过程中去。 在知识的巩固与应用中，集中且联系各个知识点的题组练习比分散、孤 立的练习效果要好。例如：在复数模的知识结构中，其基本点包括复数模的 定义、几何意义、基本性质、三角形式、基本联系( 与解析几何、三角函数、 方程等) ，为了使学生形成这方面的知识网络，教师可设计如下关于复数模的 训练题组： 已知：1 + i ，求垦二兰型旦的模； 珏盟黼掣，琳 酰1 1 1 z + 3 + 4 i 1 2 + l z 3 4 i 1 2 = 8 0 ，求| z i ； 求i z - 2 + 3 i l - l z + 1 - 2 i j 的最大值； 方程l z + 3 l - i z 3 = k 2 - k ( k g r ) 表示双曲线，求k 的取值范围； z ；c o s 口+ f ( 1 一s i n a ) ，w = z 2 一勉，求w 对应点的轨迹； 关于x 的方程2 x 2 + 3 “+ 2 一n 一0 至少有一个模为1 的根，求实数a 的 取值范围； 设0 口 1 , 0 ( b 0 ) 的焦点f 作一直线交抛物线于p 、q 两点，若线 段p f 与f o 的长分别是p , q ，则古+ 古= 构建的知识网络图： 解题过程： 主要参考文献 i 吴庆懿教育心理学( m ) 北京：人民教育m 版社2 0 0 1 2 酱才翰章建跃数学教育心理学( m ) 北京：北京师沲人学 f 扳朴2 0 0 1 3 f 畦汪安圣认知心理学( m ) 北京：北京大学出版社2 0 0 3 4 郑君文张恩华数学学习论( ) 南宁：广西教育出版社 1 9 9 6 5 张庆林当代认知心理学在敦学中的戍用如何教会学生学会学习和世维( m ) 重庆：西南师范大学- i 版钆1 9 9 6 年