（理论物理专业论文）量子力学部分精确可解问题研究.pdf

摘要 在量子力学中部分精确可解问题( q e s ) 是介于精确可解问题和完全不可解问 题之间的一系列问题。量子力学精确可解问题的哈密顿量都隐含着一类特殊的代 数结构，如果放宽对这种代数结构的要求就可以得到一类特殊的势能，其部分的 本征值和本征方程能够通过特定方法精确地给出。此类问题称为量子力学部分精 确可解问题，部分精确可解问题可以看作是对完全可解问题的推广。本文通过对 部分精确可解问题的研究，尝试用s 矾2 ) 代数和s 矾1 1 ) 代数构造部分精确可解问 题，进一步将原本运用在薛定谔方程上的构建方法推广到迪拉克方程中，并计算 了相应的哈密顿量。 本文第一章简单介绍了部分精确可解问题的历史和简单原理。第二章普遍的 讨论了什么样的系统是部分精确可解系统，并且将其运用到s 矾1 1 ) 群。第三章 举例说明如何构造薛定谔型部分精确可解系统，并尝试求解几个势能。第四章把 部分精确可解问题推广到迪拉克方程中。 关键词：量子力学部分精确可解问题，群，李代数，薛定谔方程，迪拉克方程 a b s t r a c t as e r i e so fp r o b l e m sb e t w e e nt h ee x a c t l y - s o l v a b l ep r o b l e m sa n da l lo t h e r s b e l o n gt oq u a s i e x a c t l ys o l v a b l ep r o b l e m so fq u a n t u m m e c h a n i c s t h eh a m i l t o n i a n s o ft h ee x a c t l y s o l v a b l ep r o b l e m sc o n t a i nv e r ys p e c i a la l g e b r a i cs t r u c t u r e s b y r e l a x i n gt h er e s t r i c t i o no fs u c ha l g e b r a i cs t r u c t u r e s ，ak i n do fu n u s u a lp o t e n t i a l e n e r g yc a l lb ea c q u i r e d ，w h o s ea c c u r a t ee i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n sm a yp a r t l y d e d u c e df r o mg i v e nm e t h o d s t h ei s s u em e n t i o n sa b o v ec a l l e dq u a s i e x a c t l y s o l v a b l ep r o b l e m sw h i c hc a nb ed e f i n e da sa ne x t e n s i o no ft h ee x a c t l y - s o l v a b l e p r o b l e m s t h e t h e s i sa t t e m p t st o a p p l ys u ( 2 ) g r o u pa n ds u ( 1 1 ) g r o u pt o c o n s t r u c tq u a s i e x a c t l ys o l v a b l ep r o b l e m s ，f u r t h e r , c a l c u l a t e st h eh a m i l t o n i a n so f d i r a ce q u a t i o nb ya d o p t i n gt h ec o n s t r u c t i v em e t h o dt r a n s p l a n t e df r o ms c h r 6 d i n g e r e q u a t i o n i nt h ef i r s t c h a p t e r , t h et h e s i s i n w o d u c e st h eh i s t o r ya n dp r i n c i p i u mo f q u a s i - e x a c t l ys o l v a b l ep r o b l e m sb r i e f l y a n dt h e n ，i nt h es e c o n dc h a p t e rt h et h e s i s o r e se x a m p l eo fh o wt oc r e a t eaq u a s i e x a c t l ys o l v a b l es c h r o d i n g e re q u a t i o np r o b l e m s y s t e m i nt h et h i r dc h a p t e r , t h et h e s i sd i s c u s s e st h es t r u c t u r eo ft h es y s t e mw h i c hi s q u a s i e x a c t l ys o l v a b l e i nt h el a s tc h a p t e r , t h et h e s i se x t e n d sq u a s i 。e x a c t l ys o l v a b l e p r o b l e m t od i r a ce q u a t i o n k e y w o r d s ：q u a s i e x a c t l ys o l v a b l es y s t e m s ，g r o u p ，l i e - a l g e b r a i c ，s c h r o d i n g e r e q u a t i o n ，d i r a ce q u a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：j 二位力签字日期： 2 。j 尸年否月；日 学位论文版权使用授权书 - 本学位论文作者完全了解苤盗盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：王讴力 签字日期：劭j 尸年6 月3e l 导师签名：谚憾云日 签字日期：j 。罗年6 月3 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 量子力学部分精确可解问题的历史回顾【l ，2 】 起源于二十世纪初的量子力学，已经经历了一个世纪的发展。在这一百年当 中，量子力学领域产生了一大批重要的理论，并且预测了许多重要的物理发现。 毫无疑问，量子力学是近代历史上最重要的科学发现之一，并且已经成为了当代 物理学的基础，引导着物理学前进的方向。 如今，任何学习物理的人几乎都是从量子力学开始接触现代物理。量子力学 的基本理论已经广为人知，量子力学和其他领域的联系也被广泛的研究。众多优 秀学者的多年研究，似乎让我们觉得，在量子力学领域中做出新的重要发现已经 成为了一件不可能的事情，但是事实并非如此。在二十世纪八十年代早期，一 类被称作部分精确可解问题( q u a z i e x a c t l ys o l v a b l e ) 的量子力学问题被发王见【3 1 。 之所以被称为“部分可解”，是因为在这类问题当中，我们只能解析地得到哈密 顿量的一部分本征值和本征方程的形式，而不是所有的谱结构。 现如今，量子力学部分精确可解问题是一个蓬勃发展的领域，但是远非达到 成熟的水平。如果我们回顾一下这个领域的发展历史，我们会十分惊讶，因为看 上去我们花费了很长的时间才开始进入这一看似简单的领域。m r a z a v y 3 , 4 1 = 于 1 9 8 0 年发表了一篇文章，开始涉足这一领域。实际上，在这一篇文章中，他通 过双曲函数构造了一系列部分精确可解的势能。在1 9 8 5 年，p g l l e a c h t 5 】第一 次得到了多项式型的部分精确可解势能。a t u r b i n e r 和a u s h v e r i d z e 6 】于1 9 8 7 年 系统地研究了多项式型的部分精确可解势能，并且“部分精确可解” ( q u a z i e x a c t l ys o l v a b l e ) 一词在他们的文章中首次出现。就在那时候，大家开 始把隐藏的代数结构看作是这一特殊现象的原因。1 9 8 4 年，在数学领域，k a m r a n 和0 1 v e t 7 】独立地重新发现了和部分精确可解系统相关的李代数结构。同年 o b z a s l a v s k y 和v v u l y a n o v t 8 , 9 1 首次尝试用群结构解释部分精确可解系统，然后 在这个方向上，很多人又获得了重要的结果。 回顾这些量子力学部分精确可解问题的早期历史我们会发现，这些结果的得 到都是毫无关联和逻辑的，直到用群的理论来重新审视这一类问题。我们可以肯 定，这类问题是存在的。有很多种方法可以得到部分精确可解系统：可以通过数 1 第一章绪论 学物理的方法，或者是具有明确代数结构的纯代数方法。现有的几种方法是相互 独立又相互补充的。在这篇论文中主要讨论代数方。 1 2 什么是部分精确可解问题 对于“可解”的概念，我们需要做出定义。在此并不想给出一个普遍的表述， 而是给出一个操作定义。一个量子力学问题，如果可以通过有限步的代数过程获 得它的解，那么我们就说这个问题是可解的。如果这个问题所有的谱的本征值和 本征方程都能够得到，那么它就是精确可解的( e x a c t l ys o l v a b l e ) ，例如著名的 谐振子模型和氢原子模型。但是如果所有的谱都不能够解析地得到，那这类问题 就是不可解的。量子力学中绝大多数问题都是不可解得。部分精确可解问题是指 介于精确可解问题和不可解问题之间的一类问题，在这类问题中，我们只能通过 有限的代数步骤得到一部分谱的精确解，而谱的剩余部分则是完不可能得到的。 然而这个定义仍然缺少实际的操作意义。比如，我们可以很容易的构造一个 只有一个能级的问题，可是我们不会将这个系统称为部分精确可解系统。在此我 们可以采用如下的定义【1 】：对于任意给定整数聍，无论1 取多大，如果总是能找 到一个势，使其中有n 个能级属于能谱代数结构的一部分，我就说这是一个部分 精确可解的系统。对于完全精确可解的系统我们可以认为玎= 0 0 。 如果一类量子力学系统的能谱具有特殊的代数结构，那么唯一的原因就是隐 藏在哈密顿量中的奇特代数结构。李代数结构可以明确这种代数结构。我们可以 认为，李代数的特殊性质正是令这种方法如此完美，并且与之相应的普遍原理如 此简单的原因。一旦掌握这种完美而简单的原理，我们就会情不自禁地去尝试构 造具这类有特殊性质的哈密顿量。在二维问题中这种方法就更丰富更具有吸引 力，因为它可以描述在弯曲空间中运动的子力学部分精确可解问题，其中哈密顿 量的独特代数结构将会转化成为相应空间里的奇异的几何结构。 我们都知道，解决任何一个量子力学问题包括三个步骤：第一步，我们分析 出系统的相关自由度，然后找出起边界条件，第二步，写出哈密顿量，第三步， 解出哈密顿量的本征值和相应的本征方程。通常情况下，哈密顿算符是一个二阶 线性微分算符，这样的话，我们可以把求解本征值问题转化成在特定的边界条件 下，求解二阶微分方程解的问题。很显然，这个过程并不是代数过程。而且，在 最一般情况下，我们并不能得出解析的能谱结构，这种问题被称做完全不可解问 2 第一章绪论 题。学习过量子力学的人肯定会知道，这也有少数的例外每一本量子力学教 科书都会有关于谐振子和无限深方势阱的地讨论，它们就是精确可解的。下面我 们将简单讨论一个完全等价的问题能谱问题的提出。任何一个系统的哈密顿 量日都能表示成一个厄密矩阵， ： h = ： 啊。啊：。 吃。：吃。 h 。lh 。2 h 。 任意选择一组正交完备的函数族甲，每一个甲，都满足定界问题的边界条件， 然后我们定义， h u = ( 一h ) ( 1 2 ) 一般来讲，所有的日都是非零的。这样求解能谱的问题解就化简成为无穷 维的矩阵日的对角化问题，哈密顿量的本征方程就可以用矩阵日的本征矢来表 示。对于有限维矩阵的情况，我们可以找到一个普遍的方法将其对角化，但是并 不存在一个能把无穷维的矩阵何对角化的普遍代数方法。 量子力学中的精确可解问题有着一些独特的特点，那就是它们的哈密顿量矩 阵日存在很特殊的性质，能够使其通过代数方法对角化，化简成如下的形式， h = h l l 00 0 h 2 2 0 0 0 h 3 3 最著名的例子就是一维简谐振子。它的哈密顿量h 可以写成， 日= 抄口+ 缈) 其中a ，a + 是两个微分算符， 他们满足如下的对易关系 d一出d奴 + r 一 邓 。= 第一章绪论 【口，a + 】= 2 t o 如果下降算符口作用在波函数k 上等于零，即口k = 0 ，其中 并且甲。选择如下的形式， ( 1 2 ) 制4e 文一爿 3 ， 甲。：g ! ( 2 缈) ”) 啦g + y 甲。 ( 1 4 ) 那么我们能够通过式( 1 2 ) 计算出哈密顿量的矩阵元， h = 三国ooo 一 0 三国00 ， 00 二国0 ( 1 5 ) 恰好为对角化矩阵。其中甲。为哈密顿量的本征函数。还有其它一些一维精确可 解的量子系统，如p 6 s c h l t e l l e r 势、m o r s e 势、c o u l o m b 势等。他们都只含有但 参量，相应的哈密顿量都可以写成与相应的二阶微分算符，并且形成一个封闭的 代数结构。 总之，一般量子力学问题可以分为两类：一类是可以用代数方法将哈密顿量 完全对角化，例如式( 1 6 ) ，这一类情况非常稀少。另一类情况是不能对角化 哈密顿量矩阵，如式( 1 1 ) 。 但是我们考虑以下情况。假设一个哈密顿量矩阵能分块对角化，如 h = h l l h 1 2 h 2 lh 2 2 h l oo 00 h l _ v 00 o0 | l 删00 o 0 h ，) o 4 ( 1 8 ) 第一章绪论 其中是一个固定的整数。很明显，这个矩阵可以分为四个部分，左下角和右上 角都是零元，左上角是一个维矩阵，右下角是无穷维非零矩阵。我们可以对左 上角的有限维矩阵进行对角化而不影响右下角的无穷维的矩阵。左上脚的维 矩阵和任何有限维矩阵一样，都可以通过有限步代数方法对角化。也就是说，在 哈密顿量矩阵能够化成式( 1 8 ) 的情况下，我们就能够部分的得到本证方程和 本征值得解析形式。 显而易见的是，如果我们任意选取一个哈密顿量，通常都会是一个式( 1 1 ) 那样的一个任意矩阵，而很难会出现式( 1 8 ) 那样的分块结构。物理学中没有 奇迹，只有更深层次的原因。实际上对一些特殊的量子力学系统，会有一种常规 的方法来保证能够化简成这样的分块结构。每一个部分精确可解问题本身都隐藏 着一个这样的特殊代数结构。更准确的说，一部分能谱具有代数解的情况是哈密 顿量是有限维群生成元表示的二次方程式。考虑有限生成元丁4 的一些群g ，其 中口= l ，2 ，v ，v = d i mg 。我们假设群g 具有有限维的表示识，j 。如果哈密顿量 日能够写成与之相关的群的生成元丁4 线性组合的形式， 日= 巳丁4 丁6 + c 。t 4 + c 。，b n ( 1 9 ) 那么，这个哈密顿量自动具有( 1 8 ) 的形式，这个哈密顿量就能够部分精确求 解。下面给出证明。对圣，选择一组完备基， 辟) = 营。，孝1 ，只，f 2 j , 2 j + l 哦矽一) 任意都可以在这组基上展开。算符声x c 前2 j + 1 项封闭，而晕：+ 1 ，吼+ 2 ， 只需满足 jf 4 k j + k 出= j 孝n e - a 甲：卅p - a d x = o 咒= 0 ，1 ，2 ，2 j ；k = l ，2 ，3 ， 因为态空间辟) 对于圣是完备的，所以p ) p d “) x c 于- v = 争g ) p 一口( x 也是完备 的。原波函数甲的哈密顿月，在基辟 p 一4 ( 而) 上可以表示成矩阵( 1 8 ) 的形式。 这是因为矩阵元 s 第一章绪论 k ：卅：p 也啄m 青芋一出：j e 五a 吒+ j 兰q 善，1 出：o ，= 0 这样可以把左上角的矩阵对角化，就可以精确得求出( 2 ，+ 1 ) 个本征态波函数。 1 3 规范变换 个任意系统的薛定谔方程为， 胛g ，) = 胖g ，) ， ( 1 1 0 ) 一1 2 2 帆，) ( 1 1 1 ) l 苏，j “7 其中x ，是坐标变量，y g ，) 是势能，甲g ，) 是波函数，并且甲g ，) 满足正交规一化 条件， 删。d x = 1 ( 1 1 2 ) 如果变量薯的取值范围值是全空间，那还要要求波函数甲k ) 在无穷远处衰减。 对于薛定谔方程的波函数来说，可以差一个相位函数，也就是说薛定谔方程 在甲g ，) 甲( x ，) e x p ( f 口) 的变换下保持不变。考虑薛定谔方程 一三( 毒) 2 + 矿g ，) 甲= e 甲 c - 3 ， 在进行以下变换 甲g ，) = t e 口( 而 ( 1 1 4 ) 可以得到以下的方程 一三( 毒+ 谢，g ) 2 + 矿g ) 争= e 币， c - 5 ， 其中a ，= o a o x ，。它与原薛定谔方程有着相似的形式。 6 第一章绪论 以上的变换且口为规范变换。我们在方程( 1 1 4 ) 中引入两个新的函数 早k ) 和口g ，) ，用来代替薛定谔方程中的原波函数甲k ) 。如果方程( 1 1 5 ) 中 a ，= 0 ，他就变回了原来的薛定谔方程。 可以证明，规范变换不会改变几率密度。可以假设函数口是一个纯虚数，即 口= a ，( 1 1 6 ) 那么波函数的变换就可以写成 甲( x ) = c e ( x ) e 一口b ) ( 1 1 7 ) 可以把方程( 1 1 5 ) 写成如下形式， 莉= e g , ， 珏妊叫卜 2l 舐i 1 j 。 彳，：婴 ( 1 1 8 ) 这里引入了形势哈密顿量百。由于规范是可以任意选取的，也就是说任意 选定口b ) ，都会有一个单b ) 与之对应。如果我们把规范选作口g ) = 0 ，那么 单b ) = v ( x ) ，是原薛定谔波函数。与之相反的，我们也可以简单的令早g ) 三1 ， 那么所有的动力学信息都表现在规范口g ) = 甲g ) 上。 以上介绍了两种极端的情况，是否存在介于两种情况之间的情况呢，我们可 以适当的选取口以使疗可以表示成一个关于算符的二次组合： 膏= c 柏丁8 丁6 + c o t 4 + c ( 1 1 9 ) 我们将在第二童讨论这种形式的形式哈密顿量的重要意义。 7 第二章部分精确可解系统的构造 第二章部分精确可解系统的构造 本章将讨论如何在普遍情况下构造部分精确可解系统，并且探讨部分精确可 解系统与完全精确可解系统的关系。 正如已经在1 2 节中提到过的，如果一个系统的哈密顿量可以用特定的群的 生成元的线形组合表示出来，那么这个系统就是完全可解或者是部分精确可解。 如果是这样，我们完全可以先找到特定的群，以及它的生成元丁。，那么就可以 构造出一个可以部分精确可解的哈密顿量。在本章中将要通过这样的方式找到一 种能够构造部分精确可解系统的普遍方法。 2 1 一组简单的算符实现 我们可以证明，任何规范变换和变量代换均不改变李群的代数结构，即所有 通过规范变换和变量代换得到的群的生成元算符的实现都是等价的n 1 。这样就能 得到一个结论，一个李群生成元的所有可能的一维一阶微分算符实现全部等价， 稍后将证明这个结论。由此知道，只要找到了一种一维一阶微分实现，就能通过 规范变换和变量代换得到所有的一维一阶微分实现。所以我们在本章中得到的结 论是具有普遍性的。 s u ( 2 ) 群是最简单的非阿贝尔李群。以下主要考虑s u ( 2 ) 群的生成元。s u ( 2 ) 群这个群有三个生成元r + 、丁一、丁o ，这三个生成元之间满足如下的对易关 系 丁+ ，t o 】= 一t + 【r 一，t o 】- t 一 r + ，t - 】= 2 t o ( 2 1 ) 这是s u ( 2 ) 代数特有的代数结构。有了这组对易关系，可以为三个生成元算符找 到一组实现。因为哈密顿量动能项中含有微分项，所以算符的实现中也要含有微 分项，假设微分实现的具体形式是 第二章部分精确可解系统的构造 r + = 口( 孝) + d ( 孝) 磊d 丁。= + p ( 手) 磊d r - c ( 卅雕) 丢 其中口、b 、c 、d 、e 、，都是关于善的函数。两个算符不同算符相继作 用在任意函数上的结果如下 r + t o 甲= a b w + e a w + d b 、壬，+ d b w + d e 、王，+ 如甲” r o t + 、壬，= b a w + d b w + e a7 甲+ e a w + g d 、王，+ 洲” 丁一r o 甲= c b w + e c w + 1 o 甲+ 归甲+ 户甲+ 弦甲 丁o r 一甲= b c w + 乃甲+ e c 甲+ e c w + e f 甲7 + e r i e ” ，+ 丁一甲= a c w + f a 甲+ 出甲+ d c w + a f t 壬，7 + 4 t w ” 丁一丁+ 甲= c a w + d c w + i a 、壬，+ f a 甲+ f a 甲+ y a w ” 其中甲7 是、壬，关于孝的一阶导数，甲”是甲关于孝的；阶导数。将其带入到对易关 系武( 2 1 ) 中，能够得到 p + ，p 】= 丁+ 丁。一丁。丁+ = 彩+ 如7 丢一阳一甜丢= 一丁+ r - , r o = t - t 。_ t o t - = 归+ 乃- e c - 矿善= r 防+ ，r 一】= t + t - _ t - t + = 比+ 矽丢一力一7 面d = 2 丁。 对比微分项前相应的系数并且化简能够得到 fb 4 2 + 口孝= 口 6 一c = c i c f 2 + 口：- 2 b 经观察发现，如果口、b 、c 都是关于毒的多项式，那么口比6 高一次，而b 比c 高一次。考虑最简单的情况，即c = 0 ，那么得到 p = 2 j 孝 6 一 【c = 0 其中j 是常数。最后能够得到一组s 职2 ) 群生成元的一维一阶微分实现 9 第二章部分精确可解系统的构造 t “= 2 j 芎一考2 夏d 儿小孝丢 ( 2 2 ) r 一：+ 旦 d 告 这样，在此实现下，s 职2 ) 群的卡西米尔算子可以表示为 丁2 = 三( 一面d ( f 2 面d 一2 劈卜( 孝2 专一2 善) 丢) + ( 一手喜+ = 刖+ 1 ) ( 2 3 ) 由以上的推导我们可以发现，s u ( 2 ) 代数的一个实现中只有一个待定常数， 因为代数结构不会因规范变换和变量代换而改蛮，所以这个事实县普谝的 2 2 部分精确可解系统的构造 以上得到了一种简单的s 2 ) 代数的算符实现，我们通过这个实现，构造一 种普遍的部分精确可解系统。 2 2 1 部分精确可解系统的普遍形式 在1 3 节中已经得到结论，如果把薛定谔方程作规范变换，则哈密顿量日 变成了形式哈密顿量疗。还知道，如果形式哈密顿量疗能够表示成群生成原 算符的线性二词组合的形式， h = c 。b t t + e 丁4 + c ( 1 1 9 ) 那么这个系统就是部分精确可解的系统。 我们把( 1 1 9 ) 具体的表示展开得到 詹= c + + t + t + + c 0 0 丁o r o + c 二r 一丁一十c + o 丁+ r o + g + 丁o r + + c + 一丁+ 丁 + c - + 丁一丁+ + c r 一丁o + c o - t o t 一+ c + t + + c o r o + c 一丁一 ( 2 4 ) 这里的常数可以省略，可则共计有1 2 个未定的参数。但是不要忘记有s 2 ) 代数 性质的限制，他们必须满足一定的对易关系，所以其中有些系数c 是相关的，所 以可以化简一下形式。 1 0 第二章部分精确可解系统的构造 首先看一f 以f 两项的和， c 。j ，i 一七c j t 。 因为r + ，丁一满足对易关系【丁+ ，t 一】= 2 t o ，所以有 c + - r + r 一+ c - + r r + = 丢( c + 一十c - + ) p + r 一+ 丁一r + ) + ( c + - 一c - + ) r 。 所以c + 、c 叶、c o 并不是线形独立的，可以互相表达。 在3 1 节中我们得到了算符的具体形式 t “= 2 j 芎一芎2 夏d p 一+ f 丢 ( 2 5 ) 丁一：旦 d 善 这样的话还能得到另一个关系， 丁+ 丁一+ 丁一丁+ = _ 2 丁o t o 一2 a j + 1 ) 这个关系与s u ( 2 ) 代数的结构无关，仅与算符的具体实现形式有关。所以e 一、 - 、c o o 是线性相关的。把詹写成如下的形式更为方便 詹= c + 十p p + c o o p p + c p p + c + 0 ( p p + 尹p ) + c _ o ( t - t o + p p ) + c + p + c o t o + c p 再把算符的具体形式( 2 5 ) 代入上式，得到【4 】 疗= 一互1p ，, 万d 2 + b 面d + 最 ( 2 6 ) 这里只是关于f 的f 次多项式， 只g ) = 一2 c + + 孝4 2 c + o 孝3 + c 。亭2 + 2 c - 。手+ c 二】 只g ) = 一2 k c + + 3 + ( 3 k c + o q ) f 2 + ( - 后c o o + c 0 ) 孝+ ( _ 七c 0 + c ) 最g ) = 2 j k c + + 善2 + ( - 2 以c + 。+ 2 ，c + ) 孝 k = 2 j 1 第二章部分精确可解系统的构造 这个形式并不好，我们希望把形式哈密顿量膏构造成哈密顿量啪勺形式，只需做 代换 瑚= 砉 8 ) 在此代换下，行使哈密顿量疗就可以写成 肚三嘉+ ( 击一+ 剖知 9 ， 得到这个结论后，我们可以把它与1 3 节中得到的结果对比。在1 3 中我们得到了 一个关于规范变换的结果 膏：一昙f 晏- a ，( x f ) 1 + v ( x ，) 2l 叙， j “ ( 2 1 0 ) ：一! 皇+ 彳旦+ ! 彳，一三彳：+ y 通过对比我们能够能够看出 彳：士堕+ 垒 4 1 lp 4d 芎0p 4 y ：只一三蔓兰+ 一1 彳2 ( 2 1 1 ) 通过前面的讨论能够知道这个势能的能级可以得解出2 j + 1 级，这样得到的势能 矿就是一个部分精确可解的势能。所以给定一组8 个待定参数就会得n - 个部分 精确可解得势能。 2 2 2 部分精确可解势举例 下面例举一些部分精确可解势的情况 ( a ) 多项式型 矿= 兰8x 6 一鲨4 ，+ ( 等一2 巧一荨) 工2 i8 。 4j 曰= 一2 t o t 一一( 2 j + 0 r 一一v 2 + + 丁o 第二章部分精确可解系统的构造 ( b ) 指数型 ( c ) 周期势 ( d ) 双曲型( i ) ( e ) 双曲型( 1 1 ) 矿= 扣。+ o 叫) + 三p + ( 6 + - ) 膏= 一三t 。t 。- a t + + c t - + ( 6 一+ 三) r 。 2i 。 2j = 一圭手2 毒+ ( 口冉蜘c ) 丢删孝 矿= 等2c o s 2 ( 2 + 三) s m 工2 k 。2 詹= 三p 。丁。一丁一丁一) + 口p + + 刁一) + p = 拉手2 ) 等+ ( 冉李) 杀删孝 矿= 譬s m 2 一( 2 + 乎妣 2 。 2 ， 膏= 一圭p 甲彳r 一) 一at + t - ) 叩。 = 抄善2 唔一( 冉喜) 杀删孝 y ：冬c o s h 4x - - i a ( 口+ 4 j + 2 ) ( c o s h z ) 2 22 、 7 第二章部分精确可解系统的构造 存= 一三p 下仃r 一) r 。+ = 拉孝2 ) 2 若一睡( 2 川) 孝) ) 善+ 肌口) 一j ( 2 j w 】 2 2 3 完全精确可解势 前文中得到结论，部分精确可解势能可以看作是对完全精确可解势能的推 广，那么怎样从部分精确可解过渡到完全精确可解呢? 部分精确可解当中有一个 可调参数_ ，如果势能中出现，那么就有2 j + 1 个能级可解，如果不出现昵? 那么这个势能就是精确可解的势。只需令 c = 氏= c + = 0 而c - 、c - 0 、c o o 、( - k c o o + c o ) 、( - k c _ o + c 一) 是与j 无关的常数， 做代换 蚓2 嵯 那么，形势哈密顿量疗就变成了 疗= 一j 1 鲮憎万d 2 + q 1 皓) 丢 ( 2 1 2 ) 其中 粥三兹毫管瓷+ c _ ) q l 瞎) = 【- 七c 矗+ c o ) 善+ 【- 敝+ c _ ) 与2 2 1 节类似，我们可以得到如下的结论。 这就是精确可解的势能。以下列举出几个常见的完全精确可解势能 1 4 ( 2 1 4 ) 丢旦蚶扣嚎娩上2 “ 堕蝣 星知苊摆 ，一2 1一色 一| 2 一 一心 一 川一跳 。一俐 ，一2 第二章部分精确可解系统的构造 ( a ) 简谐振动： ( b ) m o r s e 势： ( c ) p 6 s c h l t e l l e r 势： q 2 = 1 q = c o # v ：! 功2 2 2 2 q 2 = 口2 孝2 q 1 ：压盈一( 疡+ 口k ； v ( x ) = a e x p ( - 2 a a f ) 一2e x p ( 一锨) 】 q ：= 口2g 2 + 1 ) q 。= 一口2 + 三口2 l 8 口u ：o ， 1 2 善； 矿；一旦 c o s h 2a 筑 2 2 4 与s u ( 1 1 ) 代数相关的部分精确可解系统 如果不选取s 川2 ) 代数的生成元作为基础，而是选取其他的代数结构，会得 到什么样子的势能呢? 下面以s u i t 1 ) 代数作为例子进行讨论。 s u ( 1 1 ) 群的生成元有如下的对易关系 p 防 p = 一丁+ = t 一 ( 2 1 5 ) ：一2 t o 这个对易关系与s 以2 ) 代数类似。通过类似的计算，我们可以得到的简单的一组 实现 卜捌2 丢 p 一，+ f 丢 ( 2 1 6 ) 丁一：+ 旦 d 告 与s 职2 ) 类似的，我们得到了形势哈密顿量， 第二章部分精确可解系统的构造 疗= 一互1p ，虿d 2 + 只面d + 最 其中 只皓) = _ 2 【c + + 孝4 + c + 。2 孝3 + c 0 0 孝2 + c _ 2 孝+ c l 】 只g ) = 一2 k c + + 善3 + ( - 3 配+ o + c + ) 孝2 + ( - 厅c o o + c 。) 手+ ( - 南c 加+ c 一) 最g ) = 2 j k c + + 善2 + ( 2 j k c + 。- 2 j c + ) 孝 足= 2 j 一1 同样可以做代换 这样 蚓= 着 膏_ 嘉+ ( 赤等+ 南侈昱 彳2 赤等+ 寺 y = 尸：一专警+ 专 ( 2 这个结论与s 职2 ) 类似。 同样，如果势能y 中不出现j ，那么这个势能就是精确可解的势。最后得到 疗=一1q2(#)d-鲁22+ 品 q 2 ( 孝) = 一2 c o o 孝2 4 c _ o 孝一2 c i _ q l g ) = ( _ 妖+ c o ) 孝+ ( - 七l + c ) 得到的结果与s u ( 2 ) 的形式完全一样。 1 6 第三章部分精确可解系统举例 第三章部分精确可解系统举例 本章主要举例讨论一维部分精确可解问题的求解方法，并且讨论当趋近于 无穷时，系统的渐进行为。 3 1 最简单的部分精确可解系统 下面我们将构造一个最简单的部分精确可解系统，x 6 相关的部分精确可解 的系统。 3 1 1 构造x 6 相关势 在第二章中已经得到了在s u ( 2 ) 代数结构中，最简单的一组微分实现是 才+ = 2 乡_ 善2 面d p 叫+ 孝善 ( 3 1 ) 丁一：旦 d 告 这里是半整数。对于这组实现，可以找到一个巧+ 1 维的表示， r = 善0 4 i ，9 2 ，孝2 7 ) ( 3 2 ) 其中孝7 表示孝的i 次幂。在这个表示中，t + 、t 一、t o 作用在表示的基上能够 得到 丁+ 孝“= ( 2 j 一刀) 孝肿1 t o 孝“= ( 一+ 刀) 孝“ ( 3 3 ) t 一孝”= 力孝”。1 这就能证明群表示的空间b 对于群的生成元算符丁土。是封闭的，当然对其现行组 合也封闭。 为了下文方便，不妨引入变量代换善= x 2 。当然，选择善与x 之间的不同函 数关系可以得到不同的结果，选择孝- - - - x 2 是为了能够得到简单的偶宇称的势能。 第三章部分精确可解系统举例 如果能够找到一个规范口g ) ，可以让规范变换后的形式哈密顿量疗表示为 s u ( 2 ) 群的三个生成元，丁千，丁。的二次线形组合的形式 疗= 巳丁4 t 6 + c 口丁4 + c ( 3 4 ) 其中c 是数字参数。对于中，可以选择一组完备基， p ) = 咎。，善1 ，孝2 ，孝“，哑川，显m ， 任意荦都可以在这组基上展开。算符丁如对前2 + l 项封闭，而哦+ i ，豇，+ 2 ， 只需满足 弦4 d x = 肛1 、= f 2 j + k e d x = 0 ( 3 5 ) ，z = 0 ，1 ，2 ，2 ；k = 1 ，2 ，3 ， 为了得到哈密顿量的具体形式，我们做变量代换 3 】 x 2 亏 ( 3 6 ) p 这样就有 旦：堂旦：2 x 旦 d x d xd 芎d 孳 垂：2 x 旦f 2 x 旦1 = 4 x 2 乓+ 2 旦 d 聋d 考d 毒) d 考z d 专 那么哈密顿量中动能项k 为 k 一专案一2 毒等一舌 7 ， 下面把动能项k 表示成关于丁如的函数。因为k 是哈密顿量日的一部分，所以设 k 的形式为 k = c 0 丁+ t + + c 矗丁o r o + c 二丁一丁一+ c _ 丁+ r o + g + 丁。丁+ + c 0 r + r 一 + c - + i t 哇+ c 0 一t n + c o j o t 一+ c j + c j 。+ c j 一 但是由于丁如是s u ( 2 ) 群的生成元，由其对易关系可知 第三章部分精确可解系统举例 q 晰一十l 丁下= 半盱盯丁+ ) + c + o t + 丁。+ c o + r 。r + = 兰二业妄立仃+ r 。+ r 。r + ) 一 c _ o t r 。+ c o _ t 。丁一= 兰兰业妄兰立仃一，。+ 丁。丁一) + 可见所有的系数并不完全独立。并且对于算符丁0 把k 的形式简化一下 卜( 2 舻善2 杀) 丁。= h 孝丢) 卜+ ( 杀 2 2 2 k = c * p p + c o o 尹尹+ c p r + c + 0 ( p 1 o + 尹p ) + 氏( p p + p p ) + c + p + c o t o + c 一7 - ( 3 8 ) 把算符的具体形式带入k k = c 孝4 一c + 。2 孝3 + 孝2 + 氏2 孝+ l 】万d 2 + - c + + ( 4 ，一2 ) 善3 + ( c + o ( 6 j 一3 ) 一c + ) 孝2 + ( - c o o ( 2 j 一1 ) + c 。) 孝+ ( - c _ o ( 2 j 一1 ) + c - ) 】丢 + c + + ( 4 2 2 皓2 + ( - c + 。( 4 2 2 _ ，) + c + 2 诰+ c o o 2 一c o j ) 与下式比较 要求对应系数相等，于是有， k = 一2 孝虿d 2 一面d “ “ 第三章部分精确可解系统举例 所以动能项的形式为 ( 3 9 ) k = 一p 一丁。+ r 。丁一) 一( 2 一1 ) 丁一 = 一p 一，叫一2 t 。丁一一( 2 ，一1 ) 丁一 ( 3 1 0 ) = - 2 t o t 一一( 2 j + 1 ) r 一 再来构造势能项。设势能项有如下形式 p 、仃是常数，那么哈密顿量为 v = p t + + 砑o ( 3 1 1 ) 膏= - 2 丁o t 一一( 2 - ，+ 1 ) t 一+ p 丁+ + 刀o ：一j 1 万d 2 + 去( _ 肛4 + a x 2 ) 丢+ ( 2 廖2 一巧) 1 2 ) 与以前的方法类比得到 珏1 2 浯删2 州l 苏，” “7 ：一三：+ 彳旦+ 三彳，一三彳z + y = 一一十以十一以一一以十y 通过相关系数相等可以确定出v 和a 陆p 8 2x 6 一 9 4 0 - h 等+ 争盯 口= ，触= 一譬+ 等 ( 3 1 3 ) 这样我们就得到了一个部分精确可解的势能。如果我们不知道真正的原因，我们 当然会对非简谐x 4 和x 6 能够通过代数方法获得部分解感到吃惊。 一 可 o 0 o o 一0 0 时没有零点； e = - ( - 3 0 _ 1 2 钟，口= ( 3 0 - 1 2 硝，f l = 4 - 2 以- ，厂= i 2 , 8 ， 在善 0 时有一个零点； e = ( 3 0 1 2 拈y 胆，口= 一( 3 0 1 2 店y 2 ，p = 4 2 拈，厂= i 2 f l ， 在善 0 时两个零点； e = ( 3 。+ 1 2 压y 2 口= 一( 3 。+ 1 2 括) i 胆，= 4 + 2 压，= i 2 3 ， 在善 0 时有三个零点。 我们观察到能级都是关于零点对称的，而且靠近零点的地方能级越密集。 如果取y = _ 2 ，= 0 ，i = 1 有 疗：一三f ，旦- - x 3 1 2 + 1 x 6 _ 1 1 x ： 2ld x 22 因为，= 1 ， 申应该是关于毒的2 ，次多项式，设 第三章部分精确可解系统举例 带入薛定谔方程 重= 1 + 掰1 + 僧2 ， h = 殴 一专案+ x 3 舌一叙2 ( 1 + 肛2 + p 4 ) = e ( 1 + 肛2 + 弘4 ) ( 2 f l + e y ) x 4 + ( 6 y + 4 + e 卢) x 2 + ( p + e a ) = 0 专三； y 筵j 莹 1 。此时 矿= 一( 专) 弛 2 。， 把矿g ) 在x = x o 展开 喇= 一面3 2 协h 0 ) 2 + 啮) 3 “ 萼h o ) 4 + ( 3 2 ) 其中省略号表示省略掉的高阶项。对于这个形势的势能，可以把 一x o ) 看作 x ，这样把 矿佃) ：一筹+ 2 2 看作是势能的主要项，把 矿( 3 ) = 1 0 g ) 3 心x 3 y ( 4 ) = 萼g ) 1 他x 4 看作是微扰项，有矿：矿( o ) + 矿( 3 ) + y ( 4 ) + 可以近似计算基态能量e o 的大小。 势能的主要项 排一辔脚2 是最低能量为 ( 7 ) 3 佗 一i 万，国2 = 4 y 2 4 第三章部分精确可解系统举例 = 一翳坨 再考察微扰y