（应用数学专业论文）三进制四点法的连续性与误差估计.pdf

三进制四点法的连续性与误差估计 摘要 细分算法是c a g d 中受到广泛关注的领域。它可以分为两种类型，一种是曲线型细分 算法，另外一种是曲面型细分算法。本文讨论的是前者。1 9 8 7 年，d y n 提出了四点细分算 法，它形式简单最高具有四次收敛阶，并可以生成一阶连续的极限曲线，由于这些明显的 优点，四点法成为c a g d 中经典的细分算法。 在实际问题中，一阶连续常常是不够的。曹沅在一篇文章中讨论了四点法的连续性质， 得到了四点法二阶连续的充要条件即在参数为1 1 6 的条件下，初始数据满足一定的条件， 但是这样生成的极限曲线是一条不超过三次的参数曲线。 2 0 0 2 年，h a s , s a n 提出了三进制四点法，与四点法不同的是，三进制四点法每次在二个 点之间插入二个新的节点，而四点法每次只插入一个。h a s s a n 给出了三进制四点法二阶连 续的充要条件。其中在充分性条件的证明中，h a s s a n 采用了d y n 在1 9 9 2 年提出的一种新方 法，而不是d y n 在1 9 8 7 年发表的四点法中更加直接的办法。在必要性条件的证明中，h a s s a n 主要是对细分矩阵的特征值进行分析。 本文在h a s s a n 研究工作的基础上，全面讨论“三进制四点细分算法”的性质。首先给 出了算法的几何意义，然后我们用d y n 在1 9 8 7 年发表的四点浩中使用的办法，详细讨论了 极限曲线c o 连续，c 连续，c 2 连续的充分条件。随后我们讨论了极限曲线c o 连续c 1 连 续，c 2 连续的必要条件，并给出了极限曲线在顶点以及中点处的一阶导数与二阶导数显式 公式，我们还证明了在一般情况下。极限曲线无法达到c 3 连续讨论了在特殊参数情况下， 极限曲线的连续性质。最后研究了算法的收敛性，根据算法的二次多项式再生性质，我们得 知极限函数具有三次逼近阶。 关键词：细分：插值；曲线：三进制 c o n t i n u i t ya n de r r o re s t i m a t eo f 4 - p o i n t t e r n a r ys t a t i o n a r ys u b d i v i s i o ns c h e m e a b s t r a c t s u b d i v i s i o ns c h e m ei so d eo ft h ef i e l d st h a th a v eb e e nw i d e l ys t u d i e di nc a g dt h e yc a l lb e d i v i d e di n t ot w oc a t e g o r i e s o n ei st h es u b d i v i s i o ns c h e m e sf o rc u r v e ，t h eo t h e ri st h es u b d i v i s i o n s c h e m e sf o rs u r f a c e i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s so n eo ft h es u b d i v i s i o ns c h e m e sf o rc l l r v e i n1 9 8 7 ， d y nd e v e l o p e dt h ef o u r - p o i n ts u b d i v i s i o ns c h e m e i ti sv e r ys i m p l ea n dh a so b v i o u sg e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n i th a st h ec o n v e r g e n c eg a t eo fo r d e rf o u r t h el i m i tc l l i v ec a l lb ec 1 i ng e n e r a l 生 s i n c et h e s em e r i t s ，d y n 两f o u r - p o i n ts c h e m ei so n eo f t h ec l a s s i c a ls u b d i v i s i o ns c h e m e si nc a g d b u ti ns o m es i t u a t i o n ，c 。c o n t i n u i t yi sn o te n o u g h c a nd i s c u s s e dt h ec o n t i n u i t yp r o p e r t yo f d y n 籍f o u 卜p 。ns c h e 姥a n dh cg o tt h es u 伍c i e n ta n dn e c e s s a r yc 。n d i t i 。n sf o ri tt ob ec 2 ：w h e n 瑚= 素，m e i n i t i a lp o i n t ss u l dm e e tc e n a i nc o n d i t i o n b u tt h el i 面tc u r v eg e n e r a t e d 的ms 咄 p o i n t sw i l lb eap o l y n o m i a lp a r a m e t e rc u r v ew i t hi t so r d e ra tm o s tt h r e e i n2 0 0 2 ，h a s s a nd e v e l o p e dt h es o - c a l l e dt e r n a r yf o u r - p o i n ts u b d i v i s i o ns c h e m e i tc a l lb e d i 氍r e n t i a t e df r o md y n 篱f o p o i n ts c h e m ei n 血a th a s s a 矗惫c h e m ei n s e r tm 。n e wp 。洫s b e t w e e nt h et w oo l dp o i n t si l a s ts t e p h a s s a ng o tt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h e t e r n a r yf o u r - p o i n ts c h e m et ob ec 2 i nt h ep r o o fo ft h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n ，h a s s a nu s e dan e w m e t h o dw h i c hw a sd e v e l o p e db yd y ni n1 9 9 2 t h em e t h o di sd i f f e r e n tf r o mt h ed i r e c tm e t h o d u s e db yd y ni 1 1h e rp a p e ri n1 9 8 7 i nt h ep r o o fo ft h en e c e s s a r yc o n d i t i o n ，h a s s a nm a i n l y d i s c u s s e dt h ee i g e n v a l u eo f t h es u b d i v i s i o nm a t r i x t h i sp a p e ri sb a s e do l lh a s s a n 。担w o r k w ed i s c u s st h ep r o p e r t yo ft h e 蜘? u r - p o i n tt e m a r y s u b d i v i s i o ns c h e m 蹲i nd e t a i l f i r s t l y , w e g i v et h eg e o m e t r i ci n t e r p r e t a t i o no ft h es c h e m e s e c 。n d l y w eu s et h em e t h 。dd e v e l 。p e di i ld y i l 氛r i g i n a lf o * p 。i i l tp a p 盯t 。d i s c u s st h es u m c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h el i m i tc u i a r e t ob ec 。，c 1 ，c 2 r e s p e c t i v e l y t h e nw ed i s c u s st h en e c e s s a r y c o n d i t i o n sf o rt h el i m i tc u r v e ；ob ec o , c 1 ，c 2r e s p e c t i v e l ya n dg i v et h ed e r i v a t i v ea n ds e c o n d d e r i v a t i v eo ft h el i m i tc l l r v ea tv e r t e xa n dm i d p o i n t w ea l s op r o v et h a tt h el i m i tc u r v ec a l ln o tb e c 3i ng e n e r a ls i t u a t i o n i nl a t e rs e c t i o n ，w ed i s c u s st h ec o n t i n u i t yp r o p e r t yo ft h el i m i tc u r v ea t s o m es p e c i a lp a r a m e t e r a tl a s tw es t u d yt h ec o n v e r g e n c ep r o p e r t yo ft h es c h e m e s i n c et h e s c h e m ec a l lr e p r o d u c eq u a d r i cp o l y n o m i a l ，w eg e tt h er e s u l tt h a tt h el i m i tf u n c t i o nh a st h e c o n v e r g e n c er a t eo f o r d e rt h r e e k e y w o r d s ：s u b d i v i s i o n ；i n t e r p o l a t i o n ；c u r v e ；t e r n a r y 第一章绪论 1 1 d y n 四点法的提出 1 9 8 7 年，d y n 提出ji l t 惠捌分舁珐。算、珐如f ： 算法：给定初始控制点 竹 一n * 2 ：，只r 4 ，记皇只，i = - - 2 ，n + 2 假设己得到第尼阶的 控制点 只k j 一2 n ：+ 2 ，七= o ，1 ，则递归地定义第_ 】 + 1 阶的控制点为 f 砖1 = ， - - l i 2 k n 十l ， ，器= 匕+ w ( + 成) 一w ( t + 藏：) - l _ i 2 a n , 苴中w 县自由参数。 。y n 的四点法表示形式简单，具有明显的几何意义t 当_ 叫 土4 时t 算法可以生成连续 的极限曲线，当。 w 一l 。 所以( 一i ，一；) 时，m - io 所以e 一三，一；) 时，肘 t 成立。 ，瓠c 一扣时，m i = ；，m 2 = - 扣吾。 m a x ( 吖。，m ：) = 一；+ ； ，一；。所以e 一；，。) 时，m t 成立。 a 当e o ，；) 时，m l = ；卢+ j 1 ，m 。- i i 卢+ ；。 若 0 ，争m a x ( 虬肘：) ：一扣吾 矿；。 若一e 话l ，了1 ) ，m a x m i , m ：) ；+ ；。- 铮。；。 所以卢 o ；) 时，m i 成立。 s 当川扣时，m l = ；十i 1 ，m 2 = 1 ，。 m a x ( m 。，吖：) = ；+ ；1 ， 圭。所以引；，三) 时，吖c 成立。 e 当卢ec - ，十。，时，ml = ；+ ；，m 2 = ；一；。 m a x ( ”。，：) = ；+ ； t 曹 兰。 j jz 综上所述，当e ( 三 时，m t 。 证毕 引理2 在算法2 中，如果( 一1 ，与，则有： 3 一懋+ ：一川肌。m a 。x 。炉一盛 其中m 在引理1 中定义。 证明由算法的特点，可以归结为以下三种情况： a l - a , ，( 爿( 肛川+ ( ；7 i ) ( 席 1 ) + ( 糕) ( 熊1 ) 其中i = 一l ，0 ，1 2 ，3 “n - 1 盛：以，= 一；( 或1 谢) + ( 量f ) ( 盾1 卅。1 ) 一；一( 肛剖 其中i = 一l ，0 ，1 ，2 ，3 2 月， 丘。叫= ( 去+ i 1 础矿一f - ；) + ( 挂一 ( 席1 叫。1 ) + ( 一西1 + i 1 妙- 府) 1 乜，一丘：卜i - ：+ 爿+ 悟一爿+ 陪卢一划) - 。m a x 。f 广1 一f 3 ；1 | ， 1 胁腓眵h 争批n 划i t i f l x 卅| ， 防露卜1 1 6 p + 卦弦排芦一扎。飘剖l 所以由引理1 有： ，毋擎i ，+ 一z ! 。l - m ，珊， j ( “一，! i l l 。 证毕 定理1 在算法2 中，如果p ( 一l ，= 1 ) ，那么存在，c o ， ，满足厂( 3 一f ) = 0 蔓i 3 月，k 0 。 证明i a f 是 ：2 的分段线性插值函数，“是 “1 ) ：“的分段线性插值函数 则厂+ 与厂“的最大差异只可能出现在3 一。i + 3 一“或者3 i + 2 3 一“上( 一1s f 3 n ) 。 在3 一f + 3 一“上有： ，：f 一( ；+ z ：) = ( ，一，：) 去+ 卢) + ( ，：一z ：，) ( 一去+ 卢) + ( 矗一，) ( 一 在3 一f + 2 ，3 一“上有： 露墨一( ；，+ ；，：。) = ( ，一，：。) ( 去一i 1 + ( z ：一，。) ( ； + ( ，：一，：) ( 一去一i i 卢) 两边取绝对值，然后作不等式变换后有： 露：一( ；，+ j 1 ，竺， ( i ：+ 去l + i 一去 + ；i 1 。h ； b ，3 x 。+ ：i z 一，：i c z z ， 崩一( 引( 融梆h “n 。m a x ：l 肛芷。i 汜。， * 1 1 i i 。是 o ，” 上的最大值范数，即l l f l l 。= o r n 0 7 i f ( x ) i ，由式( 2 2 ) 和式( 2 _ 3 ) 可知： o ，“i 一，2 i l ( 1 去一吉芦 + b + f 去+ 一i 一。m 。a 。x 。+ ： ，。一z ! 。i c z 。， 反复利用引理2 的结论得到： 。m 。a x ：防一劂墨m 。m 。a x ：p 一劂 c 。引 其中m 的定义见引理1 。由式( 25 ) ，式( 2 4 ) 可以写成 l f ，“l 一，f f 。 1 去一 + 陪 + 去+ 0 肘- 一m 。；a 。x + ： ，。一，： 由弓i 理l 可知，当卢( - 1 , 1 ) ，成立m 1 ，所咀 ， 是柯西序列，故有 ! i m f = f c o ，n 】，并且对任意的肌女，”( 3 。2 f ) = ( o f s j n ) ，所以结论成 2 2 算法一阶连续的充分条件 引理，令m = ( 陪+ 剖+ 陪一部，眠= ( 卜一爿+ f 一一爿) ，吖= n 砒c 尬，甄， 若( 0 ，i 1 ) ，则m l 。 证明参考引理l 的证明过程g - 易得到以上结论。证毕 引理4 - 在算法2 中，如果( o ，；) 一考察差商钟= 3 ( ，：，一，) ，一2 s f 3 h + l 。 那么有： 黔+ 。阿一d 厶 肌一：艄+ 。矽一蛎l | 其中m 在引理3 中定义。 证明由算法2 易得、 5 d 3 女i “= ( 丢+ j i 。+ ( 一) 影+ ( ；一吉 敲 d k + ：= 一卢+ ( 1 + 2 卢) 影一， 曼= ( 圭一 。+ ( ，一) 钟+ ( + 互ip ( 0 i 3 + n ) ( 一l f 3 k n ) ( 2 6 ( 一1 f s3 k n - 1 ) 现在估计m a 。xj 钟一吐。i ，与引理2 一样r 这里也可以归结为三种情况 一l s i 9 3 。n * l 。 陇d k + 3 - 以+ ：f ，f 一1 ，0 ，1 2 ，3 “记1 “+ ：一以+ 。【，f 一1 ，0 ，1 2 ，3 k - i n _ 1 l 愫一础| 汪o ，1 2 ，3 “1 一 将式( 2 6 ) 代八上式，再作不等式变换后有 爿+ i 吾p 爿 t 一。m ：，a 。x 。+ ；1 d 一d 矗、l ，r = 。，t ，z ，。n 一牝卢+ 肌。m 产a x 协卜吼叫，z 。“川 抖铘一。黔p 如 z ，“ 一。窑燮+ ，【封一。卜m 。m a 。x 。k 一一d 兰1 l 。 证毕- 定理2 在算法2 中，如果卢( o ，：1 ) ，那么算法2 生成的极限函数厂c l 【o ，n 】。 证明由定理1 可知，如果卢( o ，i 1 ) ，那么存在厂c o ，n 】下面我们进一步说明 厂c 10 , n 】，继续考察引理4 中的差商影。令钟是定义在3 一i ( 一2 i 3 k ? + 1 ) 上的函 数值。钟+ 、是定义在3 。f ( 一2 f s3 k + t n + 1 ) 上的函数值，d + 是 露l ：二的分段线性插 值函数，而d “。是 d j ：“的分段线性插值函数。d 和d “1 之间的最大差异只可能出现 在3 。“i ( 一2 - i 3 k * l n + 1 ) a z 。其中在3 。i ( o - i - 3 。h ) 上有： l d ：“一钟 ( 1 + 丢l + l ：一；0 。；m 。；a ，x 。l 钟一d ：。【 在3 一i + 3 一。一f 一1 i 3 。n ) 上有： 6 + p 一 卢 3 2 p 32九u九u 川u 一 一 一i新 蘸 一 一 一 “ 心 订 吒 “嚣一( 詈+ j 1a 二。 1s ( 1 芦l + i 掣+ 割) 一。m ；a ，x 。+ 。i a ? 一a ： 在3 一i + 2 3 一“( 一l i 3 k ? l 1 ) 上有 所以 堪一( 钟+ 引排一制1 m m a x 。阱一 一d 忙m x 反复利用引理4 的结论，得到： 一罢燮+ j d ? 一诅- m k m a x 。i 秽 其中m 在引理3 中定义，由式( 2 8 ) ，式( 2 7 ) i f 卅| | s 一( 陟牲瑚卅+ 。曼曼+ 、i 一d ：t ( 2 7 ) ( 2 8 ) 由引理3 ，当( o ，j 1 ) 时，m 1 。所以 d ) 是柯西序列，l i r a d = d c o ，”】。为了 完成定理的剐姗蝴，一d 。考察卜+ 封上数据3 。n + l 的姗t e 血多项 式序列 钆( f ) j ： 卅影 其导函数序列为 “( f ) ) 7 ：3 。n + l 、， l 一2 一 1 2 ， + 川1_刮_吾叫引 一 一 。r n 恬i叫引叫卜 卜 一2 ，。l 以 掣 燃 村 l 一2 f 一2 瓢甘叫牝 r 卜 七 w 川八七 篓( y ) 姗玎卅， ：掌f _ 1 智li 显然， 瓯( f ) j 定义在【o ，n 1 上，且对任意的t ， 瓯( f ) j 关于f 是连续的a 又由b e “8 。i n 多 项式的一致收敛性，当尼，。时， 仇( f ) ) 在【o ，一】上一致收敛于厂， 麟( f ) ) 在【o ，n 上 一致收敛于d 。所以f 7 = 矗。证毕 2 3 算法二阶连续的充分条件 引理s 令，：l a 一t l + 悟卢一剖，埘。= i ，i ，m = m a x ( m s ，肘s ) ，若e ( 西i ，争 则m 1 。 证明与引理l 的证明过程相同。 证毕 引理6 在算法2 中，如果( 去，尹1 。考察二阶差商 g 则有： 证明 ? = 3 。( 。一钟) ；9 ( 他一2 丘。十) ，一2 f 5 3 n 2 m 。m d a x “1 矿“一g , 。- i 、净m 。m 。a x 。陋一蘸- 1 a 其中村在引理5 中定义。 由式( 2 9 ) 弦 ( 2 1 0 ) 现在估计m a x 。1 岔一蘸。l ，与引理2 ，引理4 一样，这里也可以归结为三种情况，再将上 一1 9 5 3 月 式代入后得 8 吁 i i 、j“r醛 爿”七吩 r“ii飞 蘸 酵 阱 肋0 0： | ! 引纠 二 一 1 “愕r n u 也 n o 、， g g 孙牡牡 ，r n旺愕一 线 蒯 划一g 葛i s ( 阻刊i ：伊r 删f l a x 。i g ： g 嚣一g 1 i - 1 9 1 _ m 耐a x 。一威i ， k 端一烈i 6 , “- 1 1 十f 主一三( 一m 。a ；，x 。岔一g 厶 。m a x “阱“一盛j m 。m 。a x 。陆一醴。 。 证毕 定理3 令厂c m 是由式( 2 1 ) 得到的极限函数，那么当咭1 ，石1 ) 时， f c 2 o ，一】。 证明发9 2 足 占? ：的分段线性插值函数，g k + l 是 酵+ 1 删3 k + l ”的分段线性插值函数，在区间 3 - , 。i ，3 “( “1 ) 上，g 和g “1 之间的最大差异可能出现在四个位置上，即3 - 。, i ， 3 。i + 3 + 1 ，3 “i + 2 3 。，3 “( i + 1 ) 。现在设 k = f g 1 一g ? f ，k z = l g 描一( 詈g ? + ；g 。；) f ，k ，= i g 象：一( ；g ? 十；g 墨。 ，k 。= i g 印k + + l 。，一g 。 那么有： 一。m ，a x “悟“1 ( z ) 一矿( z ) j = m a x ( k ，屹，墨，e ) 由式f 2 1 可得： k 峨扎m a x 妒吐。l 量( 1 ；一；i + ； t m 。a x 。岔一g 三。i ， 如0 ；一；j + f ；一；叫 一翟爹f 彰一蘸。f ， 2 - 1 1 丘睢扎m 划a x 酽越j ， 令洲。是【o ，月 上的最大值范数，由式( 2 1 1 ) 可知，k i ，k 2 ，巧，k 4 与具体的区间 3 - k i ，3 “( f + 1 ) 无关于是有： 9 l l g t + l - - g m ：a 。x p g ( z ) 一g ( 刮 ( 桃7 9h 净i + | j 一刘嚣。 加_ l 眨1 2 ) f 面讨论。m 。a x 。j g ? 一硅。 ， 反复使用引理6 可得： 于是式( 2 1 2 ) 可以写成 器彗。时一威卜m 。m a 。x g 。一醴。 j ：* l - g h m 。a x 。矽g ( z ) 唯州b i 9 叫 当川吉，；) 时，蚓酞埘 o 成 立。 f # 1 【：叫瞄q 叶州略+ f 羔t南寸砖 l ： ： 二 o j l 3 l - j l 3 + r 。 n j 图2 顶点的细分过程。标志点露对应的参数是3 一i - 3 + l j i 3 r 。 n j 由算法2 可知：f ”= 爿，细分矩阵为a 而一的特征值为凡， ，五，五，五，右特征 向量，0 ，_ ，吒，5 ，4 ，左特征向量厶，厶，f 3 ，都在附录中给出，当卢一吾，土1 5 时，容易验 证，0 ，屯，巴，4 是线性无关的，所以f o 可以写成f o = a o r o + q 吒+ 口2 r 2 + 盘3 吒+ 口_ ，：i ，且 有= 霹。 注：= 一；，去的情况在后面讨论。 ；+ ，妻u ，i+；+k#m 气f+弋；至v 地t ； + 1 ) 地t；k+一等 他；5 定理4 当“一 ( 一1 ，) ， 证明显然有 如果由算法2 定义的极限函数在顶点处是连续的，那么必须满足 f 。= 爿。( 口o r o + 口【+ + 口3 吒+ 口4 ，4 ) ( 31 ) 由于极限函数是连续的，所以在3 ”if 0 i 3 ”n 1 上左极限必须等于右极限( 如图2 所示) ， 即 ，斗露p ，( t 哼0 0 ) ( 3 2 ) 其中e = ( 1 ，1 ，l ，1 ，1 ) 。 将式t 3 1 ) 代入式( 3 2 ) ，著将附录中a 的特征值代入后可以得到 口。+ 。( ；) 一十a ：( ；) 匕+ q 一；) 吒+ 壶一；卢 + f e 上式成立仅当睚卢 乩 抖t ，于跚取值范职c 争辞 3 3 标志点是顶点时算法一阶连续的必要条件 为t 分析极限函数的商阶连续性质，我们在这里引入差商。考察实轴上的分划 t os t i t 剃t 和实函数f ( f ) 。由函数的差商的定义和性质 f 【f 0 】= f ( z 。) f r o ，r 。】：! ：掣，乇 = f ( f 。) ，r ，= f 。 f t o 】= 兰= j 蔓二! i 掣，。f 0 ：掣， 铲屯 现在将上面的结果推广到向量值函数，= ( 砭，e ，露，鼻。，露) 。r 5 上 定义： 1 r ， = f 。 lj 2 吼上沁 一：2 5 9 5 9 ：旷“， = q ( f 一p ) 1 + + l r ”， 其中。= a 抽g ( 一；，一，t ，； a ：筹q 驴， - 一 引理7 ：p “， = ，p 1 ) 。 1 3 一“i - 2 3 - - * 3 4 i 一2 3 一m 。一1 ，- ，3 一“f 一2 3 一。 厂 3 一”i 一3 ：”- k3 1 i - 3 - - k - i ，3 一“i 一3 一一7 0 1 1 3 一”i + 3 - - - * - , 3 4 i + 3 - m - k - i + 1 ，, 3 i + 3 “一 1 1 3 一“i + 2 - 3 - m - k 4 , 3 一”i + 2 3 一7 + ，3 一”i + 2 3 一 证明：数学归纳法，当，= 1 时 1 m + k + lm + k + l p “，。 = 等q ( n f t + l ) = 年 1 十i + l l _ _ 2 1 2 l 一一 2 磋一磷1 e e “ 式一f ，：。一f “1 f ：一f ；h ，( 3 一”i - 2 3 一) 一1 ( 3 一i 一2 ，3 一1 ) s ( 3 一”i 一3 一) - s ( 3 i - 3 ”一n o s ( 3 i + 3 ”一) - ( 3 i + 3 “一、 厂( 3 1 i + 2 - 3 一) 一，( 3 一“i + 2 3 一一1 ) i ( 3 一”i 一2 - 3 2 ) 一f ( 3 一”f 一2 3 一一1 ) ， 一4 - 3 一m 一1 ，( 3 1 3 一“) 一巾1 3 - m - i - t ) 也3 一“ 0 ( 3 4 i + 3 一) 一，( 3 一”i + 3 - m - k - i ) 2 3 一一1 厂( 3 一”i + 2 3 一) 一1 ( 3 一“i + 2 3 - - , t - i ) 4 3 一 1 1 3 一”i - 2 3 - “- k , 3 一”i - 2 3 一一1 1 1 3 一“i 一3 - - - , 3 一”i 一3 一”一 0 1 1 3 i + 3 “一一1 ，3 i + 3 “一 1 3 4 i + 2 3 - “- * - t , 3 一i + 2 3 一。 显然当j = l 时结论成立，假设对一般的l 结论成立，现在考察，+ 1 时的情况 胪、， = 籍d j 护， _ 产- ， m + + j 3 f “一1 4 m + k 十t t l 3 7 “一1 i _ - 2 i 2 l 一 2 ，p 。，1 3 一“f 一2 - 3 一，3 一”i 一2 3 - ”- k - i ，3 一”i 一2 3 一一。1 ，1 3 一“i 一3 一，3 i - 3 ”一。1 ，3 一”i 3 一。 0 厂【3 ”i + 3 - - k - i3 1 i + 3 - r , - k - t - i ，一, 3 i + 3 “ ，1 3 一“i + 2 3 - m - k - i , 3 一”f + 2 3 一+ 1 ，3 一”i + 2 3 一 厂1 3 一”i 一2 - 3 一。一1 ，3 一”i - 2 3 一一2 ，3 4 f 一2 3 一一7 1 3 一”f 一3 - m - k - i ，3 一“f 一3 - m - k - 2 ，- ，3 ”f 一3 一i ，一1 o ， 3 一- m - - i - i ，3 1 m - m - k - i 3 1 十3 “ 厂 3 一”f + 2 3 - m - k - i - i ，3 一”f + 2 - 3 - m - k - i ，3 一“f + 2 3 一一1 丌3 1 f 23 - m - k - i3 1 2 3 - m - k - 2 ，3 1 2 _ 3 _ m 一一- 一 3 - - ；- 2 3 一，3 一”f 2 3 一一、，3 一“f 一2 - 3 一一 ，p 卜3 - “- k - l , 3 - - i _ 3 - , - k - z ，3 - ”i 3 - k - - _ 1 - i - 3 - m - k ，3 一”f 一3 一一1 ，3 f 一3 一。j f 厂 3 一”i + 3 一。，3 4 i + 3 一t ，+ z ，3 一m l 3 i + 31 一7 1 ，3 4 i 十3 一+ 。，3 。口 f 3 1 i 十2 丁“_ ，3 一f + 2 3 一“m ， 1 ，p i + 2 3 m - - - t , 3 一i + 2 3 一一，一 阵：三- 一m - k “翌- r n - k - “i ，3 ，篡= 讹l 3 一”f 一2 3 3 ”f 一2 3 ，3 一* f 一2 3 一开咕一17 l z 陇：= 3i = 3 - m - k + - i2 , 3 芝= 3i ：h ，( 割 ( 厂f3 “卜3 一，一一一f w 。17 l f t 雨j ( ，f 匕 譬3-i+，3-。-t,3，-1i+盯3-。k-z+,，,了3-i+3-i-m-k-l-i 3 3 - - 。- - ，( 斋 i 3 4 f + 3 ，。”f + 3 一一。，3 一m f + 1 j l3 “+ ：+ ij 譬i22=3-。“-i-=t3 ：2 善：笼2 - 3 ：瑚( z 3 一+ ，一”f + 3 一女，3 一一f +一t 一1 f 7 i 4 f + 3 一 r + 3 一。一 j ，3 1 i + 2 3 一 - ，3 - m 1 23 一“1 j 3 “一1 、 两j 兰“ 竺严 厂 3 一”i 一2 3 - - - k , 3 一”i 一2 3 - - k - i , 3 一”i 一2 t 3 一。2 ，- ，3 4 “i - 2 3 一一。一 3 一”i 一3 - m - k , 3 4 i 一3 - , - - 1 , 3 一”i 一3 - “- k - z , ，3 i - 3 ”一一7 1 0 厂 3 一“i + 3 - , - - t - l , 3 一”i + 3 - ”- k - t , 3 i + 3 “一一+ 1 ，3 i + 3 “一 。r 3 一“i + 2 3 - m - k - t - 3 1 i + 2 3 - m - - l , 3 1 i + 2 3 - “- k - t + l , 3 一“i + 2 3 一 假设成立 证毕 定理5 延嚣 f “， = 万1 ( 。( 3 一”f ) q ，其中e 。= ( 1 ，1 ，o ，1 ，1 ) 证明：由引理7 得到 f “，1 厂 3 一“i 一2 3 - , - k , 3 1 i - 2 3 - m - k - i ， 3 一“i 一2 3 一一7 ， 3 一”f 一3 - 4 - k , 3 一“f 一3 - m - k - t , , 3 一”f 一3 一一7 0 ， 3 一“f + 3 - m - k - i ，3 一”i + 3 - m - k - * 1 , 3 一”i 十3 一 厂 3 一“i + 2 3 - - - k - i , 3 一“i + 2 3 一一7 + 1 ，- - ，3 一”i + 2 3 一 由差商的性质，当a ，m 时，憋 f “，f = 去，f ) ( 3 “j ) e 。 定理6 当卢一言，土1 5 时，如果算法2 定义的极限函数在顶点处是c 1 连续的- 那么必须满 足b 卦去，并且对r0 i 3 n ) ，拙 厢q 叫“b 昔( 磋一g ) t 篱( e 刮 证明由于极限函数是一阶连续的，由定理5 ，用一阶差商逼近一阶导数，有： m 咏= 壁眇，f = 憋孚d l ( n 叫 地下3 m + ) d l l r 口。扣杰i = 2 州，硝( z 刊， 上式成立必须满足b 一言p j - 陪一三一j ，于是得到的取值范围( 一号，；) ，并 5 。； ，2 q 对。盘，( 。 将附录中的数值代人即得结论。 、7 证毕 3 4 标志点是顶点时算法二阶连续的必要条件 定理7 _ 当喾一；，去时，如果算法z 定义的极限函数在顶点处是c ：连续的，那么必须满 足e 挣并且州汀。) ，成立 矿。2 靠n 3 ) + 讣3 ( 1 + ) ( e + 仆4 ( i + 3 ) 露1 证明用二阶差商逼近二阶导数有 。 主，”( 3 一”) e ，2 = 。l i m + 。u f * + 2 ，j ，女+ 1 ，i ， 2 t l i m 。二i 一- 三i 一研 ，。，“ 一3 ，“一，。+ ： 唆等研髯w 喜地九) ( i 蛳l 上式成立必须满足三一芋纠 i ，隆；卅 t ，于是得到卢。( 去，；) ，而且 ，( 3 ”。= 2 9 ”呸，同样由左右特征向量的两两正交性质得到： ，2 ，2 = 吒斛 代入附录中的数值即得结论。 主； 3 s 标志点是中点时算法连续的必要条件 。；：竺黼舯翩概壤媚绷撇o ) t 襁恂州川? 记为= 2 ，叉记： 几2 ，9 2 ( 瑶，m 谨m 谨。曙。瑶。) 7 ，一2 。3 。一3 其中譬是3 一( 乇= ，+ 1 。，+ 上的细分值。 1 6 b t 一 哼”7f 孰+ 8日”l o c “j j f 一 j i ? ( j j 。 妒 ： u 33 。+ o j ， ： r ) i i 图3 中点的细分过程标志点对应的参数是3 一+ 量3 一。 尹1 = ( 致。e ：。& 。e k 。咄。磕。) 7 其中爿是3 1 ( = 3 + 5 ，3 + 1 0 ) 上的细分值细分过程可参考图3 由算法2 ，容易得到f 1 = j 户o ，其中j 是细分矩阵，在附录中给出更一般的有 p = l f r k ，掣j 、+ 挚。，e 。+ 掣。：，。掣。，孳。粤。，e 、卑。丁 其中舸“t ( + 挚n 川毗，s 卜细艏且 f “1 = j f = j “f o ( 3 - 3 ) 虽然没有点定义在3 “飞