（课程与教学论专业论文）基于模型及建模观的问题解决教学理论及实证研究.pdf

a bs t r a c t c o n t e n t ：b a s e do nt h es t u d yo ft h ei n t e r n a la n de x t e r n a lo n p r o b l e ms o l v i n ga n dm a t h m a t i c a lm o d e l i gi n s t r u c t i o n ，w ed e f i n e w h a ti s ”g o o dp r o b l e m ”，a n dg i v ed e f i n i t i o no fm o d e l s m o d e l i n g p e r s p e c t i v ea n dp r o b l e ms o l v i n gb a s e do nm o d e l s & m o d e l i n g p e r s p e c t i v ei nt h i sp a p e r w ea l s od i s c u s sr u l e s o f i t s i n t r u c t i o na n d o fm o d e lt h a tw h c ns t u d e n t sa r ei nt h ep r oc _ e s so fp r o b l e m w ec a r r i e d o u te x p e r i m e n to fp r o b l e ms o l v i n gb a s e do nm o d e l s m o d e l i n g p e r s p e c t i v e ： f i r s t l y ，t e a c h e rs h o u l dc h o o s ed i f f e r e n ta c c o r d i n gt od i f f c f e n i l e v e ls t u d e n t s ，d e v e l o pi n t r u c t i o no fp r o b l e ms o l v i n gb a s e do n m o d e l s m o d e l i n gp e r s p e c t i v e t oh e l ps t u d e n t sm a s t e rc o n c e p u t a l s y s t e ma n di m p r o v et h ea b i l i t i e so fp r o b l e ms o l v i n gw h i l et h e ya r c c a r r y i n gt h o u g hp r o b l e ms o l v i n ga n dc o n s t r u c t i n gm o d e li n e x p l o r a t i o a n dc o o p e r a t i o s e c o n d l y ，t e a c h e r sc a nw e a v e “r e a l1 i f e ”p r o b l e mc o n t a i n e d c o n c e p t u a ls y s t e m ，s ot h a td e v o l e ps t u d e n t s t h i n k i n g sc h a r a c t e ra n d p r o m o t ec h a n g eo ft h e i rt h i n k i n g s o m er e s u l t so ft h er e s e a r c hh a v eb e e np o i n t c d ，a n ds o m c e x p e c t a t i o n so ft h ei n s t r u c t i o no fp r o b l e ms o v l i n gb 矗s e do n m o d e l s m o d e l i n gp e r s p e c t i v e k e yw o r d ：m o d e l s & m o d e l i n g ；p r o b l e ms o l v i n g ；c o n c e p t u a l 8 y s t e m ；i n s t r u c t i o n 论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：年月日 导师签名： 签字日期：年月 日 基王拦型厘建搓盈鲍回基益迭蒸堂星监厘羞运盈荭 第一章绪论 1 1 问题提出 “新数运动”后，问题解决再次成为人们关注的焦点。1 9 7 7 年，美 国数学督导委员会( n c s m ，1 9 7 7 ) 宣布：“学习数学的根本目的是学会 问题解决”。1 9 8 0 年，全国数学教师协会在行动的议程中提出： 。问题解决教学应该成为8 0 年代数学教育的核心。”这一口号得到 各国数学教育界的响应，并掀起了一股问题解决研究的热潮。我国 新一轮课程改革也明确把问题解决列为数学课程的目标之一心理 学、教育学、数学、数学教育学等对问题解决的研究已取得了很多 成果，我国在问题解决的研究中也取得了一些进展。但问题解决研 究也存在一些问题：一、好“问题”的界定不清楚：二、问题解决 的功能目的界定偏窄。三、没有把握好基本技能、概念理解、问题 解决三者的平衡。“老师，书上的东西我总是搞不懂，数学太难学 了：，要不就是我太笨了”。“老师，这也是数学问题吗? 我没有见 过书上的题目我一般都会做，学好数学不就是为了考个好成绩 吗”? 学生常对我提出这样的问题。上述问题说明：在传统数学教 学中，只i 烧中段”的做法让大部分学生学起来吃力，学校数学和 现实数学的严重脱节又导致学生的问题解决能力差。所以中学数学 教学应了解学生的知识和经验，尊重学生的个性差异，立足教材， 把握其中的数学核心概念，寻找合适的建模材料，使学生在解决问 题的同时，掌握有用的概念系统。从而打通学校数学和现实数学的 联系，使学生在进行建模的过程中掌握概念系统，并用已掌握的概 念系统去学习新知识和去解决“实际问题”。从而使学生在真正掌 握数学知识、提高数学应用能力问题解决能力的同时，数学思维能 力也得到相应的发展。 1 2 本课题研究的理论基础 基于维果茨基理论的社会建构主义 在当今建构广义思潮中，以维果茨基的理论为基础的社会建构 镣赋艳最掌教育晨蔓上毒：华东师范大学出版社，2 0 0 l 基士拦型区蔓搓理盟回基笸迭盘堂垄监厘塞垂噩窀 主义是重要的范型之一，它将知识视作对社会的建构，社会建构主 义认为： 一、知识的基础是语言知识、约定和规则，而语言是一种社会 的建构。 二、人类知识、规则和约定对某一领域知识真理的确定和判定 起着关键作用。 三、个人的主观知识经发表而转化为使他人有可能接受的客观 知识这转化需要人际交往的社会过程。因此，客观性本身应被理 解为社会性。 四、发表的知识须经他人的审视和评判，才有可能重新形成并 成为人们接受的客观知识。 六、无论是在主观知识的建构物创造过程中，还是参与对他人 发表的知识进行证券并使之再形成的过程中，个人均能发挥自己的 积极作用。我们用下图勾画关于知识的社会建构的循环过程( 图1 l 图l 知识的社会建构 上述理论强调个体对新知识的主动建构，但同时更关注社会性 的客观知识对个体主观知识建构过程中的中介，更重视社会的微观 2 和宏观背景与自我的内部建构、信仰和认知之间的相互作用，并视它 们为不可分离的、循环发生的、彼此促进的、统一的过程。而基于 模型及建模观的问题解决中的“问题”“现实生活”中的，学生在 解决“现实生活”过程中完成对新知识的建构。可见；基于维果茨 基理论的社会建构主义在一定程度上说明了基于模型及建模观的 问题解决对数学教学的意义。 ， 1 3 问题的阐述与论文结构 ， 本研究关注的是问题解决教学。本文旨在探讨两个问题：一、 基于模型及建模观的问题解决教学；二、此教学是否有利于学生理 解掌握概念系统、提升问题解决能力、促进学生的思维发展。 本论文共分六章。第一章介绍了研究的背景及必要性。第二、 三章介绍了国内外问题解决和数学建模教学研究的概况。第四、五 章是本文的核心部分。分别从理论和实证两方面回答了上述两令饲 题。第六章总结了本研究的结论并简述了对数学教师和问题解决教 学的建议及及进一步研究的建议。 第二章问题解决与教学 2 1 问题解决 2 1 1问题与问题解决 ” 一个人在生活中每时每刻都会遇到大大小小，形形色色的问 题那么什么是问题? 早在1 9 4 5 年，卡尔登克尔( k a r ld u n c k e r l 就曾提出有关问题的定义，即：问题产生于当某一生物具有一个目 标，但不知如何达到这一目标时。美国哲学家杜威( j de w e v ：) 指出，问题存在于人们遇到困难时。美国心理学家纽厄尔和西蒙 ( n e w e l l s i m o n ) 提出，问题是这样一种情境，个体想做某事，但不 能即刻知道做这件事所采取的一系列行动。西蒙还通俗地指出，当 一个人接受一项任务，但又不知道如何去完成它时，他所面临的就 是一个问题。现代认知心理学的研究也表明，一个问题包括一个既 定的状态( 即，对现存情境的描述) 和一套算子( 即从一种状态到另 一种状态的规则和程序) 当情境处于某一种状态而问题解决者希 望该情境向另一情境的顺利转换，问题就是在这种情况一下产生的。 上面对问题的论述是从一般的角度来论述的。具体到数学问题，各 国数学家，数学教育学家对此有不同的论述。哈尔莫斯( p r h a l m o s ) 曾经说过：“问题是数学的心脏”。波利亚在数学的发现中从教 学的角度对问题作了如下的分类： 一、鼻子底下就有现存的法则。这类问题只要机械地应用某个 法则就可做出来，而所说的法则又是刚刚讲过的或论述过的； 二、带有选择性的应用。这类问题可以应用课堂上先前讲过的 某一法则或算法获得解决；然而，究竟应当用哪一条法则或算法却 不是一目了然的，需要学生本人去作出判断； 三、组合的选择。这类问题也要对法则或例子进行组合，但需 要学生对课堂讲过的两个或更多的法则或例子进行组合； 四、接近研究水平。这类问题也要对法则或例子进行组合，但 需要更多的创造性，如必要的改进，对于合情推理的成功应用等。 奥加涅相从系统论的角度对所谓的“题系统”进行了说明2 。 2 置冷元，易凌峰聂必凯寻找中阃地带上鼻：上教育出版社2 0 0 4 4 假设r 是一个“题系统”。如果一个主体接触r 后，r 中足以 使他认定r 是一个系统，那些r 的全部元素，元素的性质及关系， 都是他所知道的，那么我们称系统r 是相对于该主体的稳定系统， 我们还把主体不与之发生接触的任何系统r 也称之为相对于该主 体的稳定系统。如果与r 接触的主体对r 的哪怕是某一个元素，性 质和关系不了解，而这些元素、性质、关系对于主体认定r 是一个 系统是必需的，那么我们便称系统r 是相对于该主体的问题性题系 统( 记作r x ) 某系统属于稳定系统还是问题系统，取决于主体的知 识，经验等，换言之，系统的问题性是个相对的概念。 奥加涅相通过对“题系统”的基本成分： 一、初始状态( s ) 系统r 的问题特征( 对于数学问题 来说，即题的条件) ； 二、最终状态( e 卜系统r 的稳定性特征( 即题的结论； 三、解( p ) 由初始状态向最终状态的转化； 四、解题的基础( o ) 由最初状态到最终状态转化的理，论 和实践基础 将问题划分为： 、 一、标准性题四个成分均已知，或者仅不知结论： 二、训练性题其中三个成分已知； 三、探索性题其中两个成分已知； 四、问题性题仅知道其中的一个成分。 我国学者顾冷元也对问题提出了分类： 按照问题状态明确度，可分为封闭题和开放题； 按照问题解决者知识经验，可分为常规题和探索题； 按照数学过程的完整性，可分为演绎题和应用题。 对问题的分类还有很多，那么什么是“好问题”昵? “好问题” 应符合以下几个标准： 第一、一个“好”的数学问题应当具有较强的探索性。 第二，、具有一定的启示意义。也就是说，应有利于学生掌握有 - - - - - j _ 一 关的数学知识和方法。 7 第三、具有多种不同的解法，或多种可能的解答。 第四、具有一定的发展余地，也就是说，由此可以引出新的问 题。 第五、具有一定的现实意义，或与学生的实际生活有着直接的 联系，从而可以使学生感到数学是有意义的活动。即逐步认识数学 的价值。 一 第六、问题的表述是要简单易懂，富有趣味。 模型及建模观认为，一个“好”的问题应是“现实”问题且概 念系统蕴含于其中。且概念系统是可修改的、可共亨的、可迁移的， 也即是说，学生在解决问题过程中掌握的概念系统可用于类似的问 题情境中，通过修改后也可以用于不同的问题情境。我在第四章有 专门的论述。 遇到问题就要解决问题，那么什么是问题解决呢? 波利亚将问 题解决说成是“发现一种摆脱困难的途径”，卡尔登刻卡认为： 问题解决是当一个人不能简单地从一既定情景进入目标情景时，寻 找现有情景与目标情景问的中介行动的过程。纽厄尔和西蒙问题解 决定义为寻找某一问题的既定状态与目标的路径。从问题解决的性 质分析，人们对“问题解决”有不同的理解，大致可以分为三种观 点3 ： 一是作为背景的问题解决。 在这种观点下，问题解决被作为一种学习课程内容和实现其他 课程目标的工具。由于课程中的有些问题与实际生活经历相联系， 因此，通过问题解决可以使老师和学生相信数学的价值，激发和提 高学习数学和人类天生的探索非常规情境的兴趣，并强化所习得的 技能和概念。 二是作为技能的问题解决。 这一观点认为数学问题解决之所以重要，并不是因为它能使一 3 置 争元易凌峰聂必帆寻找中同地带j 上毒；上教育出版杜2 0 0 4 6 基土拦型丞爰拦丑鲮蛔基簋甚熬芏堡监盈塞堑匠荭 个人成为好的问题解决者，而是因为解决数学问题本身具有重要价 值。 三是作为艺术的问题解决。 这一观点归功于波利亚的著作，波利亚认为数学是一种创造活 动，不要把数学理解为一种常规的，形式主义的演绎学科，而应类 似于自然科学，取决于猜测、顿悟和发现。 上面三种观点都有其合理的成分，也都有其局限性。但上述三 条主线是互相割裂甚至是相互对立的，因而造成了对问题解决的偏 见和问题解决的种种弊端，美国加州对问题解决教学的重新评估在 很大程度是对问题解决的理解上出现了偏差，以至导致学生基础知 识和基本技能的削弱，反过来影响学生问题解决能力的提高。因而， 对问题解决的再思考显得尤为必要，鲍建生教授认为： 首先，问题解决是一种人类活动，因此除了考虑。问题”和“解 题”外，还应考虑“解题者”，更多地关注人的全面发展。- ，其次，问题解决是一种创造性的活动，这是问题的解决的本质。 它意味着在教学中要强调的是：探寻解法，而不单是记忆步骤；探 索模式，而不单是记忆公式；形成猜测，而不单是做些习题。只有 在教学中反映出这些重点时，学生才有机会把数学作为一门动_ 态 的，发展的学科来学，而不是把它作为一种死板的，绝对的，封闭 的定律来记忆。 第三，问题解决是一种数学活动。真正的数学活动应该包含三 个方面：数学抽象、数学符号变换和数学应用。这里所要强调的是 有现实背景的又有真正数学含义的问题解决。 最后，问题解决是一种数学活动。这意味着问题解决是设计课 程，编写教材和组织内容的一种方式；也是教师课堂教学的一种方 式；同时也是学生数学的一种方式。 2 1 2问题解决的一般模式4 高文将问题解决的一般模式归结为五个阶段：问题的识别与定义、 高文藏学模式论上膏：上_ 较育出版社2 0 0 2 7 策略的选择与应用、问题的表征、资源的分配、监控与评估( 图1 ) 图1 问题解决的一般模式 一、问题的识别与定义 问题的识别与定义是指解题者必须意识到自己所面临的问题 的性质，影响解题者正确识别或定义的因素有四个：( 一) 对问题 定义经验的缺乏；( 二) 具体领域内的知识的缺乏；( 三) 在清晰地 定义问题之前，就急于得到解决方案的倾向；( 四) 习惯于复合思 维的倾向。 二、策略的选择与应用 问题解决的策略一般分成两在类：算法和启发法。算法是一种 规则系统，是解决某一特定问题的方法或程序。定义不良的问题和 一些定义完善的问题缺乏相应的算法，这类问题一般采用启发法。 启发法是一种适用范围较广的问题解决策略。通用的方法包括从无 组织的策略详细制定的行动计划，例如：试误法、目的分析法、提 取类比物法、逆向工作法等。 三、问题的表征 从信息加工理论的角度看，问题的表征实质是用问题解决者内 部心理表述形式来替换成问题本身的描述。问题表征的形式有很 多，我们可以用如抽象方法、图表、图片等方法简化对问题的思 考不同的方式影响问题解决的难度。四、资源的分配合理分配资 源是有效解决问题的关键。任何形式的资源，无论是时间资源、空 间资源、信息资源还是其他资源，这些资源的整合配置有利于问题 得到有效合理的解决。五、监控与评价问题解决者对问题解决全过 程的把握与关注就是监控，对问题解决进程及其结果的质量做出评 定为评价。监控和评价对问题解决的成功具有举足轻重的作用，若 不对问题解决过程实行监控和评价，容易进入错误的解题方向而使 8 问题得不到解决，或者得出错误的结论。以上的五个步骤不是一成 不变的，它们视问题解决的实际情况而定。 2 2 数学问题解决 2 2 1波利亚的启发法 就问题解决的现代研究而言，美国著名数学家。数学教育家波利 亚关于数学启发法的研究具有特别的重要性，他在这方面的工作可 被看作是问题解决现代研究的先驱他的工作为问题解决的研究和 发展奠定了必要的理论基础他的启发法被组织在解题的四个过程 中形成了“怎样解题表”： 怎样解题表5 弄清题意 第一。你必须 弄清问题。 第二，找出已知数 与未知数之间联 系 如果找不到直 接的联系，你 可能不得不考虑 r 辅助问题。 你应该最终得出 一个求解的计划。 未知数是什么? 已知数据是什么? 条件是什 么? 是否充分? 或者不充分? 或者是余的? 或者。是 矛盾的? 画张图，引适当的符号。把条件的各个 部分分开你能否把它们写下? 拟定计划 你以前见过它吗? 你是否见过相同的问题 而形式稍有不同? 你是否知道与此相关的问题? 你是否知道 一个可能用得上的定理? 看着未知数! 试想出一个具有相同未知数 或相似未知数的熟悉的问题。 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决 的问题。你能不能利用它? 你能利用它的结果 吗? 你能利用它的方法吗? 为了能利用它，你 是否应该引入某些辅助元素? 回到定义去。 如果你不能解决所提出的问题，可先解决 5 郜t 信高柏荣簟萍教学思维与赣学方法论四川：四川教育出版社2 0 0 i 9 第三，实行你的 计划 第四验算所得 的结果 一个与此有关的问题你能不能想出一个更容 易着手的问题一个更普遍的问题? 一个更特殊 的问题? 一个类比的问题7 你能否解决这个问题 的一部分? 仅仅保持条件的一部分这样对于未 知数能确定到什么程度? 它会怎样变化你能 不能从已知数据导出某些有用的东西? 如果需要的话，你能不能改变未知数或数 据。或二者都改变，以使新未知数和新数据彼此 更接近? 你是否利用了所有的已知数据? 你是 否利用了整个条件? 你是否考虑了包含在问题 中的所有必要的概念? 实现计划 实现你的求解计划，检验每一步骤 你能否清楚地看出这一步骤是正确的7 你能否证明这一步骤是正确的? 回顾 你能否检验这个论证? 你能否用别的方法 导出这个结果? 你能否一下子看出来? 你能不 能把这结果或方法用于其他的问题? 波利亚的启发法在世界范围内内引起过积极的反响，但却受 到来自实践和人工智能方面的挑战。一些从事学生数学训练工作的 数学专家们断言：波利亚对培养年轻的问题解决者没什么用处，根 据他们的经验。学生是靠自己的天赋并通过解决大量的问题来学习 问题解决的。人工智能专家学者曾尝试用波利亚的启发法来编制 g s p ( 一般问题解决者) 的计算机程序时，结果失败了，尝试另外的方 法却成功了。于是他们怀疑波利亚所描述的策略是虚构而非真实可 行的，即使是真实可行的，也远没有我们采用的方法重要。 l o 2 2 2阿兰施恩菲尔德的四要素。 2 0 世纪8 0 年代以后。人们对问题解决过程的研究已不再停留在 波利亚的启发法水平上，而是更加注意对影响问题解决过程的分析， 其中知识、启发法、调控、态度和信念都是影响解题的主要成分， 后者是对问题解决研究的重要突破。阿兰施思菲尔德的研究在这 方面走在了前列。在他为期两年的研究中，他和其他数学专家对被 试学生的出声思维和解题过程( 录像) 进行比较分析，从中提炼出问 题解决的四个要素：资源，启发法，调控，信念。 表1数学问题解决的四个要素 资源；在解决问题时个体所拥有的数学知识 相关领域内的直觉和非正规知识 事实( f a c t s ) 算法( a l g o r i t h m i cp r o c e d u r e s ) ”常规的”非算法程序 对相关领域的默认规则( a g r e e u p o nr u l e s ) 的理解 启发法：处理非熟悉或者非常规问题的策略与技术：影响问题解 决的重要规则，包括*， 画出图形：引进适当的符号 探索相关的问题 重新表述问题：退一步考虑 试验与确定程序 调控：选择，运用资源和策略的一般法则( g l o b a ld e c i s i o n s ) 计划( p l a n n i n g ) 监控与评价( m o n i t o r i n ga n da s s e s s m e n t ) 决策( d e c i s i o n m a k i n g ) 有意识的元认知活动( c o n s c i o u sm e t a c o g n i t i v ea c t s ) 信念：一个人的”数学世界观”，个体行为的决定因素( 不一定是 6 郑t 信向量_ 决与教学赣育伍苏：扛苏教育出版牡1 9 9 4 意识的) 的总和 关于自己 关于环境 关于课题 关于数学 信念：一个人的”数学世界观”，个体行为的决定因素( 不一定是 意识的) 的总和 关于自己 关于环境 关于课题 关于数学 续表l 2 2 3郑毓信的五要素1 我国著名的数学教育专家，南京师范大学教授郑毓信先生在总 结国外国内的问题解决的理论及实践成果的基础上提出了问题解 决的五要素：知识的良好组织、启发法、调节、观念、情感。所谓 知识的良好组织，就是人们不仅要注意教学问题的事实性内容和表 述形式，更重要的是要去深入地分析其内在的数学结构，比如其所蕴 含的广泛应用的思雒模式，一般知识和概念体系等。由中国学者提 出的“抽象度分析法”是对知识进行良好组织的一种有效方法“启 发法”美国著名数学教育专家波利亚有详尽的论述，我国学者在这 方面也有深入的研究并取得重大进展。 所谓“调节”是指对于所从事的解题活动的自我意识，自我分 析，自我评价和自我调整。调节包括三种水平：一，盲目地干；二，调 节起到防止“一条道走到黑”的效屎，即由于及时的反省和调整方 向和策略，防止了盲目干到底或才始终处于探索阶段而得不到正确 的结论。三，“专家”的水平，即对知识，策略的恰当选择，对解题过程 的及时调整等。在解题活动中，经常自问“什么”，“为什么”，“如 7 牟麓信闯置解决与鼙学教育让荔。旺莽曩育出版社，1 9 9 4 何”这样三个问题，是达到自我调节的有效方法之一。观念是指解 题者的数学观，数学教育观及解题者对自己解题能力的认识等。郑 毓信教授在论述“情感”时指出“情感”是指解题者从事问题解决 的意愿和决心等。因此，在数学教学中，应根据学生的情况，设置难易 适当的问题，使问题贴近学生的生活，具有一定的趣味性和挑战性， 激起学生的学习积极性，才能收到事半功倍的效果。 2 3 问题解决教学模式一课题学习 现在人们普遍认识到所谓的“讲解、实例、练习”模式并不适 合问题解决的教学，因此迫切需要引入新的模式。到目前为此，已 经实验和正在实验的问题解决教学模式主要有以下几种：研究性学 习；专家演示法：小组合作学习；学徒式教学；示例演练；课题学 习等；这里我只简要介绍课题学习。 首先我们要明确指出的是这里的课题指的是一类综合性的问 题，或者更确切地说，是一种问题情境；课题学习侧重于数学的广 泛联系，培养合作精神和科学的态度，强调任务的综合性。课题学 习一般具有以下几个特点： 一、一项课题是一件比较大的工作，学生在长时间内把注意力 和兴趣集中在上面； 二、涉及到多种活动，如形成和解决问题，计算，实践工作， 讨论，参观，报告，上机等，工作方式是个人、或者小组，也可以 是全班； 三、学生经历解决某个问题的“从头到尾”的过程； 四、学生自发、自主地从不同角度得出结论； 五、这种方式在课堂外发生影响，到在比较宽松的情况下进行 活动，增加了与其他学生、教师和家长交流数学活动的机会。 在这方面，荷兰的数学教育界一直走在前列。在弗赖登塔尔 ( h a nf r e u d e n t h a l ) 所倡导的“现实的数学中”，课题学习是最重要 后种数学学习方式。在课题学习中，他们不仅重视数学的现实性以 及现实的数学意义，同时还强调以下几点： 。曩降元，易凌峰聂必凯寻拽中闻地带上鼻，上教育出版社2 0 0 4 1 3 基王拦型基羞搓理鲤回墨篚老筮生垄监厘塞适噩左 首先，现实世界问题将被用来发展概念。这过程可称为概念的 数学化：其目的不是为了解决问题，而是揭示隐藏在现实背景下新 数学概念。 其次，在最初的数学化( 把现实世界的问题表述为数学的问题) 后，将给学生提供抽象化、形式化和一般化的机会。 第三，在对概念进行抽象化和形式化后，学生将把新学习的知 识应用于机关报不同情境的问题中，利用这种方式，可以达到几个 目的：一是概念可以在应用中得到强化；二是这种过程对技能的迁 移是必需的。 最后，必须在概念理解和过程、数学理解和基本知识的技能的 掌握上达到平衡。 课题学习不仅是数学教学，也是教育中的一种新方法，其目的 是让学习者根据已有经验和知识构造动态的、有意义的知识知识 不是与学习者的世界、他的现实相隔绝的，这咱理想的学习过程非 常接近作为学科数学的特性。 1 4 第三章建模与数学建模教学 3 1 中学数学建模教学 3 1 1 数学模型及建模 我们经常用模型的思想来认识和改造世界。数学模型、数学 建模是应用数学理论和计算机解决实际问题的重要手段。大量的事 实表明，数学知识是应用数学解决实际问题必要条件，在当前实现 数学作为一种职能的过程中使用数学解决实际问题的技能的培养 也是非常重要和必需的。这主要是指数学模型的有关知识和数学建 模能力的培养。 在近几届国际数学教育大会中，“问题解决、模型化和应用” 被列为几个主要的研究问题之一。其课题报告中明确指出，“问题 解决、模型化和应用必须成为从中学到大学所有的数学课程的一部 分”在我国普通高中数学课程标准r 实验j 中提出“数学探究、 学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内 容不单独设置，r 渗透在每个模块或专题中乞 所谓模型是相对原型而言的，原型是指从们在社会活动和生产 实践中所关心和研究的实际对象，模型是人们为一定的目的对原型 的一个抽象。所谓数学模型是指通过抽象和简化，使用数学语言对 实际现象的一个近似刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对 象。数学模型是一种符号模型，是反映特定问题具体事物系统内在 规律性数学关系的结构系统。所谓数学建模就是在分析实际问题的 基础上，通过简化、抽象、符号转换、明确变量和参数间的一个明 确的数学关系( 即数学模型) ，然后求解刻数学问题，并对此结果进 行解释和验证( 若通过则可投入使用，否则返回重新择问题题的假 设进行改进) 的一个多次循环执行的的过程。 3 1 2 中学数学模型及建模教学概述 在近几届国际数学教育大会中，“问题解决、模型化和应用” 被列为几个主要的研究问题之一。其课题报告中明确指出：“问题 解决、模型化和应用必须成为从中学到大学所有的数学课程的一部 分名在我国普通高中数学课程标准侯验，中提出“数学探究、 1 5 菱王搓型丞茎搓基数臼基簋老羞生堡监区塞适爱宜 学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内 容不单独设置，渗透在每个模块或专题中”。我国数学教育专家、数 学教育工作者对模型及建模进入数学教学从不同的角度进行研究， 对建模教学的教育价值、教学原则、建模过程了有益的探索。 一、中学数学建模教学的教育价值可以从三个层面来看。： ( 一) 、数学课程层面：还“数学以本来面目”。新数学课程标 准指出：要切实培养学生解决实际问题的能力、增强学生用数学的 意识，培养学生能逐步运用数学模型解决实际问题，逐步学会把实 际问题归结为数学模型，然后应用数学方法进行探索、猜想、判断、 证明、运算、检验，使问题得到解决，从而切实改变传统数学教学 片面强调“双基”和。三大”能力而忽视学生解决实际问题能力的 培养： ( 二) 、教育对象层面：促进学生的全面发展。它包括改变学 生单一的智力结构、培养学生发现问题的能力及促进学生学会竞争 与合作； # ， ( 三) 、教师层面：有效地改进教师的教学行为。利用建模教 学，有利于教师正确评价学生及完善自己的教学结构。 二、中学数学建模教学原则上有”： ( 一) 、时间近体原则中中学数学建模教学中，师生要不断吸 收新知识、新信息必新材料，及时了解社会执点问题，把课本内容 引出课堂。把生活实践引入课堂，用课本知识分析解决社会热点问 题： ( 二) 、空间近体原则在建模教学中，教师应审时度势，尽量 选用当地典型事例，用最直观、最感性的材料，让学生体验数学； ( 三) 、心理近体原则则是要求教师从实际出发，了解学生的身 心发展规律，通过创造性的思维和生活实际，引起学生的注意，诱 9 方向东，缸囊牟蠹学建模的教育价值 中学羲研( 教学) 2 0 0 3 “一4 6 1 0 洪立叠中学教学建模教学中应掌曩的几十曩爿福建中学蠹学2 0 0 6 i i2 一l 1 6 发学生的思维与探讨，从而达到最佳的教学效果。 ( 四) 、活动近体原则是指教师应适时让学生在自己动手动脑中 寻求发展，在实践中体验数学，在活动中学数学、用数学，真正实 现从传统的教师中心向学生中心的转变。 颜俐从另一个角度提出了中学数学建模教学的原则：“ ( 一) 、循序渐进原则数学建模设计要考虑学生认知水平，螺旋 上升： ( 二) 、因才施教原则数学建模要考虑学生的知识和个性差异， 不同层次的学生提出不同要求，合理评价： ( 三) 、适应性原则数学建模的设计应与课堂教学内容相配套， 体现数学建模的思想方法。 3 2 中学数学建模一般过程” 数学建模的过程可以用一个流程图来表示： 流程图中的每一个方框表示建模过程的一个阶段下面对每个 阶段作一个简单的说明。 一) 、对于面临的实际问题，我们首先需要明确研究的对象和目 的问题所依据的事实和数据资料的来源是什么，它们否真实、以及 问题有关的背景知识。需要明确我们所研究问题的类型：是确定型 的还是随机的，是需要建模还是模拟。 i i 簟匍最学建模教学曩_ _ 州师专学报2 0 0 2 71 2 0 1 2 2 i 2 捌来稿_ 文艺 教擘模墅与救学建筷北囊：北京师范大学出版社2 0 0 2 1 7 + 二) 、辨识并列出与问题有关的因素，通过假设把所研究的问题 进行简化，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用。 以变量和参数的形式来表示这些因素。通常在建模之初总是把问题 尽量简化在最简单的情形下组建模型以降低建模工作的难度，然后 通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际。 三) 、运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之 间的关系。通常它可以用数学表达式来描述，从而得到所研究问题 的数学模型。 四) 、使用观测数据或实际问题的有关背景知识对模型中的参 数给出估计值。 五) 、运行所得的模型，解释模型的结果或模型的运行结果与实 际观测进行比较，看模型结果的解释是否与实际状况相合或与实际 观测基本一致。若不一致，就应返回前面的问题假设，看因素是否有 缺少或多余，或对假设作出必要的修正，直到组建出经检验符合实 际问题的模型鬼止 3 3 总结 数学教育工作者、数学教育学家对模型及建模进入中学数学教 学进行了有益的探索，并给出了数学建模的一般过程。我们认为， 建模教学研究还处在一个初级阶段，对数学建模的含义还存在分歧 但总体来说，中学数学建模教学在很大程度上只是提高学生的数学 知识应用能力和问题解决能力的一种辅助教学手段。而且，对用于 建模所用到的数学知识和策略如何获得。和问题解决教学一样，建 模教学也没有给出一个明确的答案。因而，和问题解决教学一样， 它们在致力于提高学生的问题解决水平时不经意地忽略了学生基 础知识和基本技能的掌握。建模教学和问题解决教学存在的问题有 一部分要归因于此。 1 8 第四章基于模型及建模观的问题解决教学 4 1 基于模型及建模观的问题解决 4 1 1 概念系统 喻平教授在论及数学概念时概念域( c o n c e p tf i e l d ) 和概 念系( c o n c e p ts y s t e m ) 指出：”现代认知心理学将观念按属性组 合的知识贮方式称为图式。图式是对同类事物的命题的或知的共性 的编码方式。我们利用图式概念来描述概一个概念f 的所有等价定 义韵图式，叫做概念c 概念域。具体地说，概念域的涵义是指某 个概念的一些等价定义( 知识) 在个体头脑中形成的知识网络，个 体对数学知识的表征在对一个概念进行描述的一组等价定义中， 有一个是最基本的定义( 在教科书中往往选择它作为念的定义) ， 我们称概念f 的基本定义为f 的典型定义。典型定义是指最易于学 生学习而又不失数学严谨性的定义，这与概念结构的原型说有柑近 的涵义，即，把典型定义的图式作为概念域中的一个实例。喻平教 授在论及概念系统时指出：如果一组概念c 1 。c 2 ，c n 如下关系： c l r 1c 2 r 2r n l c n ( ) 其中r i ( i = 1 ，2 ，3 ，n ) 表示强抽象、弱抽象、广义抽象这3 条关 系中的任意一种，那么称( ) 为一条概念链，记为九= c 1 ，c 2 ，c n ) 如果2 条概念链的交 集非空，则称这2 条链相交如果m 条概念链中至少有一条与其余的 链都相交，那么称这m 条链的图式为概念系。 简单地说，概念系就是在个体头脑中形成的概念网络，这个网络中的 概念间存在一些特定的数学关系。概念域是概念系的子图式。 4 1 2 模型及建模观 模型及建模观并没有一个明确的定义，但我们要避免以下两个 误解：一、当我们说起模型教学或模型课堂时模型是个形容词，这 里不采用这观点，它的含义近似于概念；二、我们所说的模型也不 是老师或是研究人员用来描述学生思维发展的模型。我们认为，模 1 3 - 平蠡学教育心理擘广西，广西教育出版社2 0 0 4 、 1 9 型及建模观就是以这样的观点看模型及建模：模型不仅是相对原形 而言的，是对原型的近似刻划，它本质上是个概念系统( 包括元素，关 系，运算以及决定它们相互关系的规则) ，概念系统是用外部符号系 统描述的，它被用来建构，描述，解释其他系统而且，概念系统是可修 改的、可共享的、可操作的、可重复使用的因此，我们认为，特别 是对小学和中学数学教学而言，建模过程实际上是在解决实际问题 中建构概念系统的过程 4 1 3 基于模型及建模观的问题解决 据模型及建模观的定义，我们认为。基于模型及建模观的问题 解决实际上是以模型及建模观审视问题解决，或者说，问题解决过 程实际上是一个建模过程，是在解决问题的过程中建构概念系统的 过程。表2 中给出了对传统观点和模型及建模观点审视问题解决的 比较1 4 传统观点模型建模观点 1 问题解决的特征是从已 真实生活问题解决最重 知条件到结论但路径不要的方面涉及建立解释 明显的过程但是，在很己知条件、目标和可能 多数学课上，问题解决的解决路径的有用的方 问题解决的本质 被狭隘地认为就是回答 法以及隐藏在事实里 问题从问题到结论是面的模式和规则典型 被第方用一系列严格限 的解决 、 。 定的规则和程序确定方法涉及多重建模循 的从这点上来说，上述 环在上述过程中，描 情境是人为的、不真实 述、解释和预测会得到 的极大的优化和精致 表2 传统观点与建模观的点视角下的问题解决 1 4 r ic h 8 dl e hh e n l e n _ d o e r rb ey o n dc o nb tr u c t i vs - - o d e ls _ o d e l in gp e r b p e c t jve5o n p r o b le- s 0 1v i n g l e a r n i n _a n dt e b c h in bl o n d o n ：l - e r e n c ee r l b u _ s s o c i t e s p u b l is h e r sl a h - a hn e - j - r s e ， 2 0 0 3 加 正如表中所提及的，模型及建模观对问题解决赋予了新含义。进一 步说，在设计良好的建模活动中，问题解决不仅导致新的学习方式 的产生，而且其活动过程所产生的对话记录文本会展示出学习的本 质。从这个意义上来说，建模活动实际上也是一个思维暴露的过程。 在传统应用题和问题解决的关系上，传统观点认为，学习解决 “真实生活”问题要比解决书本和测验中的应用题要困难得多而 模型及建模观认为正好相反。( 表3 ) 传统观点模型及建模观点 应用问题解决被看作是传统问题解决被看着是 传统问题解决的特例建模活动特例 一 严面 学会解决”现实生活”问题被解决“现实生活“问题被假定 假定涉及三个步骤：比有意义的说明( 解释，画图等) 1 在去情境化环境中学习必更容易，有意义的说明且须在合 备的概念和技能 一1 理的解决步骤之前考虑到理解 2 学习独立于问题解决过程不再被理解为一种全部或无谓 与方法的一般内容的存在概念的形成。以及解决” 3 如果时间允许，学会在繁杂的”现实生活”问题所需的知识结构， 现实生活”中应用学过的概念与过程知识，能力等多数处于发展 方法 阶段 表3 应用问题解决基于模型及建模观的问题解决 4 2 基于模型及建模观的问题解决教学设计原则 4 2 1 基于模型及建观的问题解决教学模型设计原则 基于模型及建模观的问题解决模型设计原则基于如下假设： 2 l 差土拭型丛生拦盈鲍问墨篚甚筮堂矍进区塞重匠窟 一、数学推理在实际生活和问题解决中是有用的；二、理解能力对 于在上述情境中取得成功是起作用的在这个假设的的基础上我们 给出以下模型设计原则”： 一、“真实性”原则：这在实际生活情境中会真的发生吗? 应 该鼓励学生在个人知识和经验的基础上去理解上述情境吗? 学生 的思想应该受到重视还是学生被迫去适应老师关于问题情境( 唯 一) 正确的思维方式? 二、模型结构原则：所给任务能保证学生能清楚地认识到建构、 修改、拓展、优化模型的需要吗? 所给任务涉及到对结构性的重要 系统进行建构、描述、解释、操作、预测或控制吗? 三、自我评价原则：用于学生评价所得出的结论的标准是否明 确? 学生能自己判断自己的结论已经足够准确? 为什么需要这样 的结论? 谁? 时间? 四、模型外化原则：结论需要学生清晰地展现他们对情境( 已 知条件、目标、可能的解决路径) 的思考吗? 他们思考的是何种系 统( 数学对象、关系、运算、模式、规则) ? 五、简化原型原则：情境简单到到直接提供一个有用的原型用 来解释其它结构类似的情境，还是需要构建一个重要的模型? 你的 经验能描述还是能理解结构类似的情境? 六、模型一般化原则：建构的概念系统是仅仅能应用于特定的情 境，还是经过修改或拓展后能应用于更广的情境? ? 学生应该超越 单一叙述的思维模式以构建出能再利用的、能共亨的和能修改的模 型 4 2 2 基于模型及建模观的问题解决教学原则 丹尼斯对于模型及建模教学提出了以下原则：“ i ，r ic h a dl e t hh e h i e ni d o e r rb e ，o n dc o n s t r u c t i ￥s - i o d e l8 誓o d e l i n 量p e r s p e c t i ￥e so n p r o b ie s o l t in g l e a r n in bb dt e b c h in bl o n d o n ：l - e r e n c ee t l b u _ s s o c i t e s p u b l is h e r s _ a h - b hn e - j - r s e r2 0 0 3 l r ic h b d l e b h h e n le n _ d o er rb e ，o n dc o n 。t r u c t jv s 2 2 差士搓型超差搓理盟咀基簋遗筮生壅监厘塞适盈盔 一、结构化原则：丹尼斯为认为，初等数学的最重要的一些