第二部分 方程和方程组.doc

第二部分 方程和方程组知识点的把握 新的课程标准对方程和方程组提出了如下要求：1.能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型;2.经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程;3.会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）;4.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程;5.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理. 命题方向 考查方程知识的题目在试卷中占有很大比重，直接考查本章知识的试题约占6%，主要以填空、选择的方式出现，更多的是融合在函数、不等式等知识点中.因此，熟练地将方程、函数、不等式等各知识点有机地结合在一起，对提高学生的探究能力和创新思维能力有很大的帮助. 纵观近三年的中考命题，可以预见：应用方程的思想解决实际问题是今后中考的热点，其涉及的问题又将是与我们的生活紧密联系的客观问题.因此，运用方程解决实际问题的能力将是今后中考的一种趋势.考试重点一、方程和方程组的解法 本考点为方程和方程组的解法，我们要明确的基础知识有：方程、方程的解、解方程及一元一次方程、元二次方程、分式方程、二元一次方程组的有关概念.掌握一元一次方程、一元二次方程、分式方程、二元一次方程组的解法，并能熟练的解上述方程或方程组是本考点的重点.还要理解“消元”“降次”“换元”解方程和方程组的思想方法，从而获得对事物可以转化的认识. 解一元二次方程，首先面临的是对方法的选择，根据题目特点，灵活选择解法非常重要.虽说公式法是解一元二次方程的一般解法，有时计算量大，容易出错.直接开平方法、因式分解法有时能更迅速、准确地求解.当然因式分解法或直接开平方法也有失效的时候，此时应改选公式法。配方法也是一种解方程的方法，它一般有三个步骤：(1)把常数项移到方程的右边；(2)方程二次项系数化为1后，在方程两边都加上一次项系数一半的平方；(3)配方后，如果右边是非负数，则两边同时开平方，用平方根的概念求出根，这种方法虽然不常用，但它是一种非常重要的恒等变形，一定要熟练掌握这种方法。【例1】 (2006四川攀枝花，17)方程x2-3x-6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积是_.解析：x2-3x-6=0的两根之积是-6,x2-6x+3=0的两根之积是3.故两个方程所有根的乘积是-18.答案：-18【例2】 (2005吉林长春，4)以1、3为根的一元二次方程是（ ）A.x2+4x-3=0 B.x2-4x+3=0 C.x2+4x+3=0 D.-x2+4x+3=0解析：选项B中方程可以化为(x-1)(x-3)=0，故此方程的根是1、3.答案：B【例3】 (2005江苏南充，16)解方程组：解：原方程组得把代入得x-2(3-6x)=7.解得：x=1，把x=1代入,得y=-3.所以原方程组的解为二、列方程或方程组解应用题 本考点中，我们要掌握列方程（组）解应用题的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程(组)；(4)解方程(组)；(5)写答案.能够列方程或方程组解应用题.还要提高把实际问题转化为数学问题的能力，从而提高分析问题和解决问题的能力. 列方程（组）解应用题，前提条件是准确，正确的找好等量关系.因为等量关系是列方程（组）的依据.把问题中的变量与不变量明确之后，将不变量用变量的不同形式表示出来，即成等量关系.需要注意的是，在应用问题中，时常对未知量给以限制条件，因此对求得的值要根据限制条件，决定取舍. 【例4】 (2006上海闸北，23)本市进入汛期，部分路面积水比较严重.为了改善这一状况，市政公司决定将一段路的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工.如果甲、乙两队合做需12天完成此项工程；如果甲队单独完成此项工程需20天，求：（1）乙队单独完成此项工程需多少天？（2）如果甲队每施工一天需要费用2万元，乙队每施工一天需要费用1万元，要使完成该工程所需费用不超过35万元，那么乙工程队至少要施工多少天？解析：（1）设乙队单独完成此项工程需x天，由题意得：12=1,x=30.答：乙队单独完成此项工程需30天.（2）设甲、乙两工程队合作完成此项工程各需m天和n天，由题意得：解得： 40-n+n35,n15.答：要使完成该工程所需费用不超过35万元，那么乙工程队至少要施工15天.【例5】 (2005广东三明，16)某施工队挖掘一条长96米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖x米，则依题意列出正确的方程为（ ）A.=4 B.=4C.=4 D.=4解析：由题意知，等量关系为：原计划用的天数-实际用的天数=4.原计划用的天数=，实际用的天数=.答案：C历年真题一、选择题1.(2006湖北宜昌，8)已知方程=2,若设=a，则原方程变形并整理为（ ）A.a2-2a+1=0 B.a2+a-2=0 C.a2-2a-1=0 D.a2+2a-1=0答案：C解析：=a,.所以方程=2可变形为a-=2，整理为a2-2a-1=0.2.(2006黑龙江鸡西，19)为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元.经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（ ）A.11支 B.9支 C.7支 D.5支答案：D解析：设购买甲、乙、丙三种钢笔分别为x,y,z枝,则：方程组消去y可得x=z.因为三种钢笔共12枝，所以x6.3.(2006江西南昌，7)一副三角板按如图2-1方式摆放，且1的度数比2的度数大50.若设1=x，2=y，则可得到方程组为（ ）图2-1A. B. C. D.答案：D解析：由1的度数比2的度数大50得x=y+50；由图知1与2互余，即x+y=90.4.(2006湖北襄樊，3)方程x2+4x=2的正根为( )A.2- B.2+ C.-2- D.-2+答案：D解析：方法一：利用公式法x=-2,正根为-2+；方法二：排除加代入检验法，首先排除A、C两个负数，再将B、D代入检验即得.做选择题时用代入检验法有时是一条捷径.5.(2006四川内江，2)方程x（x+1）=3（x+1）的解的情况是（ ）A.x=-1 B.x=3C.x1=-1,x2=3 D.以上答案都不对答案：C解析：方程变形为x（x+1）-3（x+1）=0，分解因式得：（x-3）（x+1）=0,所以方程的解为x=3,x=-1.6.(2005湖北恩施，14)某校学生暑假乘汽车到外地参加夏令营活动，目的地距学校120 km.一部分学生乘慢车先行,出发1 h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达目的地.已知快车速度是慢车速度的1.5倍,如果设慢车的速度为x km/h,那么可列方程为（ ）A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案：A解析：这是一个“追及问题”，利用“慢车用的时间-快车用的时间=1”这一等量关系来列方程即可,即=1.7.(2005福建福州，8)如图2-2射线OC的端点O在直线AB上，AOC的度数比BOC的2倍多10.设AOC和BOC的度数分别为x、y，则下列正确的方程组为（ ）图2-2A. B.C. D.答案：B解析：本题有两个等量关系：AOC的度数比BOC的2倍多10，列方程得x=2y+10;AOC和BOC组成一个平角，列方程得：x+y=180.将两个方程联立成方程组即可.8.(2004北京海淀，9)当使用换元法解方程-3=0时，若设y=，则原方程可变形为（ ）A.y2+2y+3=0 B.y2-2y-3=0C.y2+2y-3=0 D.4x4y2(-2xy2)=-2x3答案：B解析：换元法是一种重要的数学思想方法，通过适当的换元，可将不易求解或求解过程较为繁杂的方程转化为较为简洁易解的方程.换元的方法不一定是唯一的，但通过换元后得到的新方程应该是较原方程易解的方程.y=,y2-2y-3=0.二、填空题9.(2006山东德州，12)已知方程组的解为,则2a-3b的值为_.答案：6解析：把代入方程组中，得解得：10.(2006福建泉州，5)某商品每件进价200元，现加价10%出售，则每件商品可获利润_元.答案：20解析：利润=卖价-进价=200(1+10%)-200=20.11.(2006浙江淮安，13)已知实数x满足4x2-4x+1=0，则代数式2x+的值为_.答案：2解析：4x2-4x+1=0，即(2x-1)2=0,2x=1,所以2x+=2.12.(2006江苏扬州，16)已知方程xy=16，写出两对满足此方程的x与y的值_.答案：x=2,y=4;x=4,y=2解析：试着将16写成幂的形式.13.(2005广西玉林，7)把如图2-3折叠成正方体，如果相对面的值相等，则一组x、y的值是_.图2-3答案：2,3解：折叠成正方体后，相对面分别是：“-1”与“-1”，“xy”与“6”,“x+y”与“5”.因此，解方程组得：14.(2005山东枣庄，17)两个数的和为6,差(注意不是积)为8,以这两个数为根的一元二次方程是_.答案：x2-6x-7=0解析：设这两个数为x、y，由题意得：解方程组得，所以以这两个数为根的一元二次方程是(x-7)(x+1)=0,化简,得x2-6x-7=0.15.(2005福建温州，17)杉杉打火机厂生产某种型号的打火机，每只的成本为2元，毛利率为25%.工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15%，则这种打火机每只的成本降低了_元.(精确到0.01元.毛利率=100%)答案：0.21解析：由毛利率=100%求得售价为2.5元.设这种打火机每只的成本降低了x元，则，25%+15%=.解方程得：x0.21.16.(2004江西，1)据报道：某省2003年中小学共装备计算机16.42万台，平均每42名中小学生拥有一台计算机；2004年在学生数不变的情况下，计划平均每35名中小学生拥有一台计算机，则还需装备计算机_万台.答案：3.284解析：等量关系为：2003年的学生人数=2004年的学生人数.设还需装备计算机x万台，则35(16.42+x)=16.4242.解得x=3.284（万台）.17.(2005黑龙江，7)小华的妈妈为爸爸买了一件衣服和一条裤子，共用306元.其中衣服按标价打七折，裤子按标价打八折，衣服的标价为300元，则裤子的标价为_元.答案：120解析：设裤子的标价为x元，则0.8x+3000.7=306，解得x=120.三、简答题18.(2006浙江诸暨，18)有一根竹竿,不知道它有多长.把竹竿横放在一扇门前,竹竿长比门宽多4尺;把竹竿竖放在这扇门前,竹竿长比门的高度多2尺;把竹竿斜放,竹竿长正好和门的对角线等长.问竹竿长几尺?解析：门高、门宽和门的对角线构成一个直角三角形，利用勾股定理解决.设竹竿长x尺,则门高（x-2）尺，门宽(x-4)尺.由题意得：(x-2)2+(x-4)2=x2,解得x1=10,x2=2(舍去).答：略.19.(2006山东济南，21)已知关于x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根x1,x2，且满足(x1+x2)2=1，求k的值.解：根据题意，得k0， =22-4k(-1)0,解得k-1.(-)2=1,解得k=2.所以k=2.解析：x2+x2=-，还要注意方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，即0.20.(2006重庆，23)机械加工需要进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备需要润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克.为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%.这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克.问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少？解：（1）由题意，得70(1-60%)=7040%=28（千克）（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克，由题意，得x1-(90-x)1.6%-60%=12，整理，得x2-65x-750=0，解得：x1=75,x2=-10（舍去）.(90-75)1.6%+60%=84%.答：(1)技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克.(2)技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克；用油的重复利用率是84%.21.(2006四川广安，20)甲、乙两地间铁路长2 400千米, 经技术改造后, 列车实现了提速. 提速后比提速前速度增加20千米/时, 列车从甲地到乙地行驶时间减少4小时. 已知列车在现有条件下安全行驶的速度不超过140千米/时. 请你用学过的数学知识说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速?解：设提速后列车速度为x千米/时,则:=4,解之得: x1=120,x2=-100(舍去).经检验x=120是原方程的根,120140,仍可再提速.答:这条铁路在现有条件下仍可再次提速.分析：求出当前的速度，只要小于140就可以提速.22.(2006福建南安，26)某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元.若商场经营该商品一天要获利润2 160元，则每件商品应降价多少元？求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2 160元？解：（1）若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100（100-80）=2 000（元）（2）依题意得：(100-80-x)(100+10x)=2 160，即x2-10x+16=0，解得：x1=2,x2=8.经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2 160元，则每件商品应降价2元或8元. 依题意得：y=(100-80-x)(100+10x),y=-10x2+100x+2 000=-10(x-5)2+2 250,当2x8时，利润不少于2 160元.23.(2006辽宁大连，16)已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个解与方程=3解相同.（1）求k的值；（2）求方程x2+kx-2=0的另一个解.解：（1）解方程=3得x=2，将x=2代入方程x2+kx-2=0得k=-1.（2）解方程x2-x-2=0得x1=2,x2=-1，所以方程x2+kx-2=0的另一个解为-1.分析：两个方程具有相同的解的题型经常考到，利用其中一个方程解出未知数的值，再代入另一个方程，进而解决问题.24.(2005福建台州，21)解方程：x3-3x2+2x=0解：原方程变形得：x(x2-3x+2)=0，x(x-1)(x-2)=0.方程的根为：x1=0、x2=1、x3=2.25.(2005江苏无锡，26)某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40 kg到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：品名西红柿豆角批发价（单位：元/kg）1.21.6零售价（单位：元/kg）1.82.5问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？解：设他这天批发的西红柿和豆角分别是x kg与y kg，则解得(1.8-1.2)10+(2.5-1.6)30=33（元）.答：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚33元钱.26.(2005湖北武汉，39)2004年8月中旬，我市受14号台风“云娜”的影响后，部分街道路面积水比较严重.为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1 200 m的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工.若甲、乙两队合作需12天完成此项工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工.问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？又已知甲队每施工一天需要费用2万元，乙队每施工一天需要费用1万元，要使完成该工程所需费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工多少天？解：设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x天,y天.依题意得经检验知它们适合方程组和题意.则甲队每天施工1 20020=60 m，乙队每天施工1 20030=40 m.设甲、乙两队实际完成此项工程分别需要a天，b天.依题意得解之得b15.答：甲、乙两队单独完成此项工程分别需要20天，30天；要使完成该工程所需费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工15天.27.(2005浙江丽水，25)为宣传秀山丽水，在“丽水文化摄影节”前夕，丽水电视台摄制组乘船往返于丽水（A）、青田（B）两码头，在A、B间设立拍摄中心C，拍摄瓯江沿岸的景色.往返过程中，船在C、B处均不停留，离开码头A、B的距离s（千米）与航行的时间t（小时）之间的函数关系如图2-4所示.根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）船只从码头AB，航行的时间为_小时、航行的速度为_千米/时；船只从码头BA，航行的时间为_小时、航行的速度为_千米/时；（2）过点C作CHt轴，分别交AD、DF于点G、H，设AC=x，GH=y，求出y与x之间的函数关系式；（3）若拍摄中心C设在离A码头25千米处， 这里是一个图片摄制组在拍摄中心C分两组行动，一组乘橡皮艇漂流而下，另一组乘船到达码头B后，立即返回.求船只往返C、B两处所用的时间；两组在途中相遇，求相遇时船只离拍摄中心C有多远.解：（1）3 25 5 15（2）解法一：如右图，设CH交DE于M，由题意：ME=AC=x ，DM=75-x，GH/AF，DGHDAF，,y=8-x.解法二：由（1）知：AB（顺流）速度为25千米/时，BA（逆流）速度为15千米/时，y即为船往返C、B