（应用数学专业论文）模糊环境下的更新理论.pdf

摘要 摘要 更新过程是一种带有不确定时间信息的动态模型很多情况下更新过程中更新 发生的时间间隔以及报酬都表现为一种模糊信息，这时我们就需要使用一套处理模 糊不确定性的理论工具来研究更新过程本文正是基于可信性理论，对模糊环境下 的更新过程进行了分析和研究 本文首先考察了p 独立模糊变量序列的收敛性质，并得出了若干关于模糊变 量和的强极限定理在此基础上，本文研究了带有模糊时间间隔的更新过程，其中时 间间隔是用p 独立的正模糊变量来刻画的在探讨了长期状态下的更新频率后， 本文通过模糊变量的期望值分别建立了模糊基本更新定理i 和i i ，它们和随机基本 更新定理的结论是一致的最后，本文将模糊报酬引入更新过程，研究了带有p 独 立模糊报酬的报酬更新过程进一步，基于模糊变量的期望值，本文分别得出了模 糊报酬更新定理i 和i i ，它们和随机报酬更新定理的结论也是一致的 本文的主要工作包括：( 1 ) 研究了模糊环境下的更新过程，建立了两个模糊基 本更新定理；( 2 ) 探讨了模糊环境下的报酬更新过程，得到了两个模糊报酬更新定 理；( 3 ) 讨论了d 独立模糊变量的收敛性质，证明了一些强极限定理；( 4 ) 建立 了可信性函数连续性的充分必要条件，并给出了可信性关键值函数的若干新的数学 性质 关键词模糊变量；正独立性；可信性理论；模糊更新过程；模糊报酬更新过程 a b s t r a c t a b s t r a c t r e n e w a lp r o c e s si sak i n do fd y n a m i cm o d e lw i t hu n c e r t a i ni n f o r m a t i o nr e l a t e d t ot i m e f o rm a n yp r o c e s s e s ，b o t ht h ei n t e r a r r i v a lt i m e sb e t w e e nt w or e n e w a l sa n d t h er e w a r d sa r ew i t hf u z z yi n f o r m a t i o n ，i ns u c hc a s e s ，w en e e dt ou s ea t h e o r yt h a t a r ea b l et od e a lw i t hf u z z yu n c e r t a i n t yt os t u d yt h er e n e w a lp r o c e s s e s t h i sd i s s e r - t a t i o n ，b a s e do nc r e d i b i l i t yt h e o r y , s t u d i e st h er e n e w a lp r o c e s si nf u z z ye n v i r o n m e n t f i r s to fa l l ，t h ec o n v e r g e n tp r o p e r t i e so ft - i n d e p e n d e n tf u z z yv a r i a b l e sa r e d i s c u s s e d ，a n ds o m es t r o n gl i m i tt h e o r e m sf o rt h es u mo ff u z z yv a r i a b l e sa r eg i v e n t h e n ，b a s e do nt h eo b t a i n e dr e s u l t s ，ar e n e w a lp r o c e s sw i t hf u z z yi n t e r a x r i v a lt i m e s w h c i ha r ec h a r a c t e r i z e db yt i n d e p e n d e n tp o s i t i v ef u z z yv a r i a b l e sa r es t u d i e d a f t e r d i s c u s s i n gt h el o n g - t e r mr e n e w a lr a t e ，t w of u z z ye l e m e n t a r yr e n e w a lt h e o r e m sia n d i ia x ed e r i v e d ，b o t ho fw h i c hc o i n c i d ew i t ht h er e s u l t so ft h es t o c h a s i ce l e m e n t a r y r e n e w a lt h e o r e m a tl a s t ，t a k i n gf u z z yr e w a r d si n t oa c c o u n t ，ar e n e w a lr e w a r d p r o c e s sw i t ht - i n d e p e n d e n tf u z z yr e w a r d sa r es t u d i e d ，a n dt w of u z z yr e n e w a lr e w a r d t h e o r e m sia n di ia r ep r o v e d ，b o t ho ft h e ma r ea l s oc o n s i s t e n tw i t ht h er e s u l t so f t h es t o c h a s i cr e n e w a lr e w a r dt h e o r e m t h em a j o rn e wr e s u l t sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ：( a ) af u z z yr e n e w a lp r o - c e s si ss t u d i e d ，a n dt w of u z z ye l e m e n t a r yr e n e w a lt h e o r e m sa r ee s t a b l i s h e d ；( b ) a f u z z yr e n e w a lr e w a r dp r o c e s si sd i s c u s s e d ，a n dt w of u z z yr e n e w a lr e w a r dt h e o r e m s a r ed e r i v e d ；( c ) t h ec o n v e r g e n tp r o p e r t i e so ft i n d e p e n d e n tf u z z yv a r i a b l e sa r ed i s - c u s s e d ，a n ds o m es t r o n gl i m i tt h e o r e m sa r ep r o v e d ；( d ) t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r y c o n d i t i o n sf o rt h ec o n t i n u i t yo fc r e d i b i l i t yf u n c t i o n sa r ee s t a b l i s h e d ，a n ds o m en e w a n a l y t i c a lp r o p e r t i e sa b o u tc r e d i b i l i t yc r i t i c a lf u n c t i o n sa x eg i v e n k e y w o r d s f u z z yv a r i a b l e ；t - i n d e p e n t e n c e ；c r e d i b i l i t yt h e o r y ；r e n e w a l p r o c e s s ；r e n e w a lr e w a r dp r o c e s s i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名： 生苎墨塑日期：上型r _ 年生月上日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 1 、保密ll ，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密吵。 ( 请在以上相应方格内打“ ) 作暑签名：墨竺盈塑 导师签名： 日期：卫生年j 月e 1 日期：芝z 年j 生月l 日 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 问题的提出及研究现状 随着科学技术的高速发展，当今社会正处于一个信息多元与多变并存的时代， 各种不确定信息分布于时空维度的每一点与此同时，人们认识与处理这些不确定 现象的能力也在逐步提高当前，对复杂系统中所包含的各种不确定信息加以分析 和处理，并基于这些信息作出决策，已成为众多领域所研究的前沿课题 更新过程是一种带有不确定时间信息的动态模型，它是工程领域中较为常见的 不确定现象比如，人们在可靠性系统中常常会遇到如下的部件更换过程考察某 设备的一种重要部件，其在使用过程中由于磨损或老化等原因会遭到损坏假定， 一旦该部件损坏而使得设备不能正常工作时，我们能够立即更换同类新部件( 即发 生一次更新) 一般说来，由于所更换部件的损坏往往是相互独立的，并且同类部件 的寿命都是差不多的( 可认为服从同一分布) ，于是我们用相互独立且具有相同分布 的变量，7 1 , = 1 ，2 ，来刻画部件的寿命，并且用( 亡) 表示截止时刻t 已更换 部件总数( 已发生更新的总次数) 这就是一个典型的更新过程，该更新过程所研究 的一个关键问题是：更新发生的期望频率，即w v ( t ) t ，在长期状态下的极限值是 多少进一步，考虑到每次更换部件都要支付一定的费用( 也称作报酬) ，由于是同 类零件，所以也用独立同分布的变量k ，礼= 1 ，2 ，来刻画该费用，并用c ( t ) 表 示截止时刻t 已经支付的总费用( 总报酬量) 此时这种带有报酬的更新过程就称为 报酬更新过程这里，单位时间内平均报酬的期望值，即e c ( 亡) 】亡，在长期状态下 的极限值，则是报酬更新过程一个极为重要的结论在上述更新过程中，部件寿命 以及更换费用都表现为一些不确定信息，并且不同类型的不确定信息必将导致所对 应的更新过程不同，进而也就需要借助不同的研究不确定性的理论工具对其加以研 究 在各种不同性质的不确定性现象中，随机现象是人们较早认识并研究的不确定 现象所以对于更新过程，人们最早也是基于随机信息并通过概率论加以研究的， 即所谓的随机更新过程比如对于上述部件更换过程，在随机环境下，部件的寿命 以及更换费用都用独立同分布的随机变量来刻画如今，随机更新过程已经有了长 足的发展，其在机器维修，生物遗传，排水工程，可靠性工程，人口增长，保险金 融以及经济管理领域都有着广泛的应用并且在随机更新理论中，著名的基本更新 河北大学理学硕士学位论文 定理( 参见【1 ) 已经告诉我们；在长期状态下，更新的期望频率收敛到单位期望时 间间隔内的更新频率，即 掣_ 高 - * 0 0 ) x 1 ； 亡 e 1 r 而著名的报酬更新定理( 参见 1 】) 则告诉我们：单位时间内平均报酬的期望值收敛 到单位期望报酬与单位期望时间间隔的比值，即 趔t _ 器( t 刊e i x “r 一厂 有关随机更新过程的研究工作可参见r o s s 1 ，2 】，a l s m e y e r 3 ，a l l a n 4 】，以及f e r - r e i r a 5 等等 在很多情况下，系统更新的时间间隔往往就表现为一种模糊不确定性，它和随 机现象不同，是自然界和人类社会中广泛存在的另一类不确定现象比如，对于很 多精密设备而言，要想获得其寿命的统计信息，就需要大量的实验数据，而这些一般 来说是极其昂贵甚至是不可获得的，于是只能通过专家的经验给出该系统的模糊信 息，这时如果还用随机变量来刻画它并用概率论加以研究显然是不合理的因此， 对于带有模糊信息的更新过程，我们就需要通过一套处理模糊不确定性的理论来进 行研究 为了更好地研究模糊不确定性，继1 9 6 5 年创立模糊集理论后， z a ，( i e h 6 】于 1 9 7 8 年又提出了可能性理论，以后，很多学者如n a m i a s 【7 】，y a g e r 8 】，以及d u b o i s p r a d e 9 ，1 0 】进一步发展了这套理论基于可能性测度，l i u l i u 1 1 】于2 0 0 2 年提出了一种自对偶的非可加测度一可信性测度，并且通过可信性测度和c h o q u e t 积分，定义了模糊变量的期望值随后，l i u 【1 2 】于2 0 0 4 年建立了可信性理论的 公理化体系，这标志着可信性理论已成为处理模糊不确定性的有利的数学工具作 为可能性理论的发展，可信性理论已经在模糊优化领域得到了广泛的应用 1 3 - 1 9 自二十世纪九十年代以来，对含模糊参数的更新过程的研究已经被越来越多 的学者所关注由于模糊集理论以及可能性理论自身的局限性，很多早期的研究 工作都是围绕着带有模糊随机参数的更新过程而展开的，如w a n g z h a n g 2 0 ， h w a n g 2 1 】以及p o p o v a w u 2 2 】等等然而，研究( 纯) 模糊环境下更新过程的 文献并不多，主要有z h a o l i u 【2 3 】和h o n g 【2 4 2 0 0 3 年，z h a o l i u 2 3 】首次 通过可信性测度以及模糊变量期望值算子对模糊环境下的更新过程进行了研究他 们假定更新时间间隔以及更新报酬都是独立( “取小独立”) 同分布的正模糊变量， 第1 章绪论 基于模糊变量的期望值研究了模糊更新过程以及模糊报酬更新过程，并分别得出了 一个关于期望意义下更新频率的模糊基本更新定理，其结论为 掣_ e 目c 亡刊， 以及一个关于期望平均报酬的模糊报酬更新定理，其结论为 掣叶e 圈( - 毗 其中 厶) 以及 ) 分别为“取小”独立的模糊时f - ji ；t n 驼a 及模糊报酬序列最近， 利用t - 独立模糊变量( 模糊数) 的相关结论 2 5 - 3 0 1 ，h o n g 2 4 】基于可能性理论讨 论了满足大数定律的t - 独立的正l 冗型模糊时间间隔及报酬的更新过程，他通过 必要性测度得出了一个模糊更新定理以及一个模糊报酬定理，其结论分别为 i 华一1 1 卜m 一。o ， 和 l 盟t 一将) _ 邶刊， 其中a ，b 为常数，分别由时f - i i 司隔以及报酬的隶属函数确定 目前对于带有口独立时间间隔及报酬的更新过程，刻画其期望更新频率以及 期望平均报酬更新定理还没有得出；进一步，模糊环境下的更新定理是否具有和经 典更新定理相一致s j 结论，这个1 7 题也没有得到解决而这些正是本文的主要研究 动机 1 2本文主要内容 自l i u 【1 2 】于2 0 0 4 年建立了可信性理论的公理化基础以后，可信性理论的体 系结构在不断的充实和发展，这也为模糊更新过程的研究提供了一个更为优越的理 论平台本文正是在可信性理论体系下结合模糊变量的弘独立性来研究模糊环境 下的更新过程一方面，与z h a o l i u 2 3 】不同的是本文中更新过程的时间间隔和 报酬都假定为弘独立的正模糊变量而不是“取小”独立的模糊变量；另一方面， 与h o n g 【2 4 】不同的是本文主要是基于模糊变量的期望值而不是必要性算子来对模 糊更新定理加以研究的基于上述假设，本文建立了刻画期望更新频率的模糊基本 更新定理以及刻画期望平均报酬的模糊报酬更新定理，而它们的结论恰恰和随机更 河北大学理学硕士学位论文 新定理是相一致的此外，本文也讨论了可信性函数及可信性关键值函数的数学性 质 本文主要内容及结构大致如下： 第二章首先介绍了可信性理论的一些基本知识，然后建立了可信性函数连续性 的充分必要条件，并讨论了可信性关键值函数的若干新的数学性质本章的主要结 论已发表在文献【3 1 】和【3 2 】中 第三章重点研究模糊更新过程首先讨论了d 独立模糊变量的性质并得出了 若干重要极限定理；进而，对模糊更新过程中的更新频率加以研究并基于模糊变量 的期望值分别建立了模糊基本更新定理i 和i i 第四章主要讨论模糊报酬更新过程首先对单位时间平均报酬的收敛结果进行 了讨论，在此基础上，基于模糊变量的期望值分别得出了模糊报酬更新定理i 和i i 第五章归纳了本论文的主要工作和创新点并对模糊更新理论今后的研究重点进 行了展望 垂 第2 章可信性函数及关键值函数的数学性质 第2 章可信性函数及关键值函数的数学性质 可信性理论是建立在可信性测度的基础之上的，它是可能性理论的进一步延伸 和发展本章首先介绍可信性理论基础，进而讨论可信性函数及关键值函数的数学 性质本章的主要结论已发表于【3 1 ，3 2 】 2 1 可信性理论基础 可能性测度是z a c l e h 【6 】于1 9 7 8 年提出的，随后，文献 7 ，9 ，1 0 ，3 3 】对其进行 了详细的讨论我们首先给出它的定义如下s 定义2 1 设i 、为论域，p o s 是定义在备域p ( i 、) 上的一个集函数称p o s 是一个 可能性测度，如果它满足下面的条件 ( p o s l ) p o s ( 0 ) = 0 ，且p o s ( f ) = 1 j ( p o s2 ) 对任意a icf ，都有p o s ( u 叫a ) = s u p i e ，p o s ( a i ) 称三元组( f ，p ( r ) ，p o s ) 为一个可能性空间，在文献 7 】中，n a h m i a s 称之为模式 空间( p a t t e r ns p a c e ) 由可能性测度的定义，我们知道它是一个下半连续的模糊测 度( 参见 3 3 】) 基于可能性测度，可信性测度定义如下 定义2 2 ( l i u l i u 【1 1 ) 设( r ，p ( r ) ，p o s ) 是一个可能性空间c r 是定义在 p ( r ) 上的一个集函数称它是一个可信性测度，如果对任意的acf ，有 c r ( a ) = 互i ( i + p 。s ( a ) 一p o s ( a c ) ) ( 2 1 ) 三元组( f ，p ( r ) ，c r ) 一般称为可信性空间容易验证c r 满足下面的条件： ( 1 ) c r ( d ) = o ，且c r ( r ) = 1 ； ( 2 ) 对acb cf ，有c r ( a ) c r ( b ) ； ( 3 ) 对任意acf ，有c r ( a ) + c r ( a 。) = 1 ； ( 4 ) 对任意a ，bcr ，有c r ( a u b ) c r ( a ) + c r ( b ) 河北大学理学硕士学位论文 在可信性理论中，模糊变量定义为一个从可信性空间r 到实数轴驼上的实值 函数 定义2 3 设( r ，p ( r ) ，p o s ) 为可能性空间，为定义在其上的模糊变量那么的 可能性分布定义为 p e ( 亡) = p o s 7 r i ( ，y ) = 亡) ，亡跄 称模糊变量是连续( 或，左连续、右连续、上半连续、下半连续) 的，当且仅 当其可能性分布比是一个连续( 或，左连续、右连续、上半连续、下半连续) 函数 在不发生混淆的情况下，也可将模糊变量的可能性分布直接记为肛 称一个模糊变量是非负的，如果模糊事件 o ) 的可信性为零，即c r 0 都成立，则称 厶) 依可信性测度趋于无穷，记为厶一c r o o 容易验证，对于非负的模糊变量厶，n = 1 ，2 ，而言，厶3o o 等价与l f , , 旦0 定义2 6 ( l i u 【1 2 ) 设靠，n = 1 ，2 ，和都是模糊变量，其对应的可信性分布函 数分别为，n = 1 ，2 ，和g f 我们称序列 靠) 依分布收敛到专，记为靠三专， 如果在g 的连续点集上有g 如_ g e 6 第2 章可信性函数及关键值函数的数学性质 定义2 7 ( l i u 【1 6 】) 假定 厶) 以及都是定义在可信性空间( f ，p ( r ) ，c r ) 上的模 糊变量如果对任意的s 0 ，都存在bcf 使得c r ( b ) 以及 l i m s u pl 厶( 7 ) 一专( ，y ) l = 0 ，( 2 3 ) n - - - * c o7 e r b 那么称序列 厶) 几乎一致收敛到专，记为厶兰当 定理2 1 ( l i u 1 6 】) 设 厶 及都是定义在可信性空间( f ，p ( r ) ，c r ) 上的模糊 变量则 矗) 依可信性测度收敛到模糊变量当且仅当 矗) 几乎一致收敛到 定理2 2 ( l i u 【1 2 ) 设 厶) 及f 都是定义在可信性空间( f ，p ( r ) ，c r ) 上的模糊 变量若序列 厶】依可信性测度收敛到模糊变量，则 矗) 依分布收敛到 基于可信性测度，模糊变量的期望值算子定义如下 定义2 8 ( l i u l i u 1 1 ) 设是一个定义在可信性空间( f ，p ( r ) ，c r ) 上的模糊 变量的期望值定义为 ，r 0 e 膳】= c r f r d r 一 c r r d r ，( 2 4 ) j0 j 一 其中m i n s oo r 代r ) d r ，f o c r r 灿) 0 使得当z 满足i z - - x o i 0 使得当。满足 i z x o i f ( x o ) 一g 显然，如果f ( x ) 既是上半连续的又是下半连 续的，那么它是一个连续函数 对于上述的函数厂( z ) 及x o 蹰，f ( x ) 在x o 点的上极限定义为 l i ms u p f ( x ) = i n ! s u p ，( z ) ； $ + z o 0 00 z - z o l 6 f ( x ) 在z o 点的右上极限定义为 1 i ms 。u + pm ) 2 跏i n fs u p o x - x o 6 他) ； 蕾呻茁o + o ) u f ( x ) 在x 0 点的左上极限定义为 l i ms 。u p 弛) 2 跏i n f s u p - - 6 z - - x 0 。弛) 2 + 霉0 一 ”u 0 关于实函数的上半连续性，有如下命题 命题2 1 设f ( x ) 为实值函数，：t o 跄并且f ( x o ) o o 那么f ( x ) 在x o 点是上 半连续的当且仅当 l i r a s u pf ( x ) ( z o ) 茹+ z 0 接下来，我们将分别给出可信性函数g l 以及g u 的连续性定理 3 1 1 引理2 1 设是一个下半连续的模糊变量，那么对任意的z 睨，有 ( 1 ) p o s z ) = p o s z ) 证明我们只给出命题( 1 ) 的证明，命题( 2 ) 类似可证 用反证法假定对某一点z o ， p o s x o = 肛( z o ) vp o s p o s 专 p o s p o s x o + o 这样，由 p o s x o = s u p p ( 亡) ， t 0 ，当t 满足0 x o t p ( 亡) + e o ，与p ( z ) 在 z o 的下半连续性矛盾引理可证 口 引理2 2 设是一个模糊变量，则有 ( 1 ) p o s z ) 是关于z 右连续的函数 证明只证明命题( 1 ) ，命题( 2 ) 的证明是类似的 对于( 1 ) ，我们只需证明对任意的z 蹰，以及任意序列 岛) ，s n 上0 ( 佗_ ) ， 有 1 i m p o s z 一) = p o s z ) n + 由于 ( - - ( x ) ，z 一) ) t 专( 一。，z ) ) ，进而由p o s 的下半连续性，我们有 熙骶z ) 出s 骶( 嘲z 嗝) ) ) 地球 l i ms o + u p # ( z ) 2 跏i n f 。s u p x o z - - z o 0 ，使得 。 裟 叩p ( z ) 一g 瓯 翟 6 肛( z ) p 。s 黝一 这样，对任意的z 满足0 z x o 7 7 ，有 进而我们有 即 p o s z o 专z ) 一s u p o x - x o y p ) 一e p o s f x o ， p o s x o p o s 荨z ) p o s 善x o + ， p o s z ) 一p o s 冬x o l g 这就证明了p o s z 在2 ：0 是右连续的 必要性：用反证法假设 p 0 s z 。) 2 罂p ( z ) l i ms 。u + p # ( z ) 2 跏i n f s u p x o d x - - x n 删肛( z ) ， z z z n 十 u ，u 0 ，使得 瓯 0 ，我们有 s u pp ( z ) p o s x o + 2 e o o s u pp ( z ) p o s x o + 2 e o o x - z o z ) ) ， 由引理2 2 及2 3 ，不难得出定理结论 口 定理2 4 如果模糊变量荨是左连续且下半连续的，那么可信性函数g l ( x ) 是左连 续的 证明由于p ) 是左连续的，知道p o s z ) 和p o s z ) 都是左连续的，又 p ( z ) 是下半连续的，于是p o s 专z ) = p o s z ，从而p o s z ) 是左连续 的那么由 c r z ) = 去( 1 + p o s z 一p o s z ) ) ， 厶 立即可得g l ( z ) = c r z ) 是左连续的 口 以下两个定理是关于可信性函数g u 的连续性的，由于证明方法和g l ( x ) 完全 类似，这里只列出结论 定理2 5 设亭是一个模糊变量，其可能性分布为p ) 则可信性函数g u ( x ) 左连 续的充分必要条件是对任意的z 跄，有 l i ms u p p ( 亡) s u p 弘( t ) t - - * x - - t z 定理2 6 如果模糊变量是右连续且下半连续的，那么可信性函数g u ( x ) 是右连 续的 最后，我们给出可信性函数连续的充分条件 定理2 7 设是一个下半连续的模糊变量，其可能性分布为p ) 如果 l i m s u p # ( x ) s u p 肛( z ) 霉+ z o +茁x o 并且 l i ms u p # ( x ) s u pp ( z ) ， 霉- z o 一茹之x o 那么可信性函数g l ( x ) 以及g v ( x ) 都在x o 点连续 同北大学理学硕士学位论文 证明这里只对g l ( x ) 在x o 点的连续性加以证明，对于g u ( z ) 的情况，类似可证 由于是一个下半连续的模糊变量，由引理2 1 及可信性测度的定义，对任意 的z 瓣，我们有 g l ( x ) = c r 代 z = 1 一g u ( z ) ( 2 5 ) 一方面，由于l i m s u p $ 。z 。+ p ( z ) s u p z 知p ( z ) ，由定理2 3 ，可得g l ( x ) 在 点是右连续的 另一方面，由于l i m s u p 茁。2 。一肛( z ) s u p z 。肛( z ) ，由定理2 5 知道g u ( z ) 在 z o 点是左连续的这样，由( 2 5 ) 式g l ( x ) 在x o 点是连续的定理由此得证 口 例2 1 设是一个模糊变量，其可能性分布为 p ( z ) = 曼 z04 “二 一 z + i ，0 z 2 三 z=24 w z 一否1 ， 2 4 由于肛( z ) 是下半连续的，并且 l i 茹m ，s 。u + p ( z ) = j 1 s u p x 0 及z 满足一6 g v ( x o ) 茹+ 茹o 一 河北大学理学硕士学位论文 取咖= l i m 一知一g u ( z ) ，进而g u ( x o ) 咖如果我们可推导出 x o = 6 u p ( a o ) = s u p xic r z ) q o ， ( 2 8 ) 那么，g u ( 靠u p ( q o ) ) 劬，这显然和对于任意的a ( 0 ，1 】，g ( u p ( q ) ) q 矛盾， 于是命题( 1 ) 的必要性得证下面我们就来证明( 2 8 ) 式 一方面，注意到g u ( x o ) 0 1 0 ，于是有g u ( x ) g u ( x o ) 口。对任意的z z o 成立也就是若g u ( x ) d o ，则z 0 ，存在着x + 满 足z o e z + x o 使得有 g u ( x 4 ) l i mg u ( x ) = q o 正+ z 0 一 于是，由上确界的定义可推得( 2 8 ) 式成立 定理2 8 设是一个模糊变量，可能性分布为p 那么 g u ( 已u p ( q ) ) q 口 对每个q ( 0 ，1 】成立的充分必要条件是l i r as u p t 。茹一p ( t ) s u p 。p ( t ) 对任意的 z 睨成立 证明由定理2 5 和引理2 5 ，上述结论是显然成立的 定理2 9 如果模糊变量是右连续且下半连续的，那么 g u ( 毛u p ( q ) ) q 对每个口( 0 ，1 】成立 口 证明由定理2 3 和引理2 5 ，立即可得上述结论 口 关于乐观值函数已u p ( a ) 的连续性，我们有以下定理 定理2 1 0 设是一个模糊变量，a ( 0 ，1 】那么已u p ( q ) 在o l 处是连续的当且仅 当至多存在一个留q 使得g u ( x a ) = q 成立 证明由l i u 【1 2 1 中定理3 3 0 ，我们已经知道，s u p ( o r ) 是关于0 f 的左连续函数，于 是我i l r 需x 寸靠u p ) 的右连续性证明定理中条件的充分必要性即可 第2 章可信性函数及关键值函数的数学性质 充分性：由于靠u p ( q ) 是一个关于q 的非增函数对于o t ( 0 ，1 ，设 叱) 是任 意的正数序列满足上q 那么 已u p ( a t ) ) 是一个递增序列，若其极限等于毛u p ( q ) ， 则已u p ( 口) 的右连续性得证用反证法，假定n 驰。o 。矗u p ( q t ) 6 u p ( a ) 设两个实数 z 1 ，勿满足 h m6 u p ( q t ) z 1 钇 6 u p ( 口) 则有u p ( a t ) z l 勿 靠u p ( q ) 对所有的i 都成立于是c r ( z 1 ) 钒，c r ( 勿) 啦对所有的i 都成立因此有 c r z 1 ) sq 且c r 2 圣) 0 f 如果c r z i ) q ，i = 1 或2 ，那么z i 6 u p ( a ) ，i = 1 或2 ，这与z 1 z 2 岛( a ) 矛盾于是有c r 锄) = o t ，i = 1 ，2 ，与假设矛盾，因为至多存在一点z a 使得 c r _ ( z a ) = a 成立这样，我们就证明了 1 i m u p ( 吼) = & u p ( q ) 1 o 。 必要性：用反证法，假定存在着两个点t 1 ，t 2 使得t a 0 ，如果我们取q 7 满足0 a 7 0 f a ， 都有z t 1 由此，我们可得 u p ( a 7 ) = s u p xlc r z ) q 7 ) t 1 于是，我们推出毛u p ( q ) 亡1 亡2 8 u p ) ，这和毛u p ( q ) 在q 点连续矛盾必要 性得证 口 对于悲观值函数，相应地，我们也有如下主要结论 3 2 】 河北大学理学硕士学位论文 定理2 1 1 设是一个模糊变量，其可能性分布为p 那么 g l ( 6 n f ( q ) ) a 对任意的q ( 0 ，1 】成立当且仅当l i m s u p 扣舛p ( t ) s u p zp ( 亡) 对任意的x 驼 成立 定理2 1 2 设是一个模糊变量，q ( o ，1 】那么悲观值函数6 n f ( q ) 在a 处连续 当且仅当至多存在一个。使得g 三( ( 孙) ) = q 成立 第3 苹模糊更新过程 第3 章模糊更新过程 本章主要研究模糊更新过程在此之前，我们先讨论p 独立模糊变量的性质， 这是模糊更新理论的基础 3 1 模糊变量的n 独立性 称函数t ： 0 ，1 】2 一 0 ，1 】是一个三角模( t r i a n g u l a rn o r m ) ，简称为t - 模，当且 仅当t 是对称的、单增的、满足结合律并且t ( x ，1 ) = z 对所有的z 【0 ，1 ( 参见 s c h w e i z e r s k l a r 3 5 ) 显然，取小算子“a ”，乘积算子“都是t - 模 称一个t - 模t 是a r c h i m e d e a nt - 模如果对每个( z ，y ) ( 0 ，1 ) 2 ，都存在着 n n 使得了瓷1 。 可容易验证乘积算子“”是a r c h i m e d e a nt 一模，而取小算 子“a 不是a r c h i m e d e a nt - 模 进一步，每一个连续的a r c h i m e d e a nt 模t 都可由一个连续且严格递减的函 数，：【0 ，1 】一 0 ，o o ，f ( 1 ) = 0 表示： t ( x 1 ，z n ) = 厂【一1 j ( f ( x 1 ) + + f ( x n ) ) ， 既( 0 ，1 ) ，1 i 佗，( 3 1 ) 其中，【一1 】是函数，的伪逆( p s e u d o - i n v e r s e ) ，定义为 f - 1 = ；茎凇岛 函数，称为t - 模t 的可加母函数 以下列出了一些常用的连续型a r c h i m e d e a nt _ 模及其可加母函数 ( 1 ) y a g e rt - 模( 入( 0 ，) ) ： t ( x ，y ) = m a x 1 一y ( 1 一z ) 入+ ( 1 一可) 入，o ) ， 可加母函数为f ( x ) = ( 1 一z ) a ( 2 ) d o m b it - 模( 入( 0 ，。) ) ： t 彬卜i 葫1 + 影( 警) a + ( 宁) a 可加母函数为， ) = ( 警) a ( 3 ) 乘积t 模：t (