（应用数学专业论文）求解自由退保边界的新方法.pdf

摘要 本文重点探讨允许提前退保的投资连结保单的定价问题。由于投资连结保单 的价值依赖于帐户价值这一随机量，其定价问题传统的精算学方法难以胜任。文 中采用金融经济学处理随机因素的方法， 归结为具有自由边界的偏微分方程模型。 中的自由边界。 将允许提前退保的投资连结保单的价值 其中，自由退保曲线对应于偏微分方程 在本文的第三章，作者对保单临近期末的情况进行了局部分析，准确地获得 了自由退保曲线临近保单期末的位置。 在第四章，作者对第二章建立的保单价值的偏微分方程模型进行求解，获得 了保单价值关于时间变量、帐户价值变量和自由退保点的积分表达式。 第五章的工作是具体数值求解自由退保曲线。 关键词：提前退保；自由边界；局部分析。 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sf o c u so nu n i t l i n k e di n s u r a n c e p o l i c y w i t hs u r r e n d e rn a t u r e b e c a u s et h e r ea r es o m es t o c h a s t i cf a c t o r si n f l u e n c i n gt h ep r i c eo ft h i sk i n do fp o l i c y ， i ti sh a r dt os o v et h ep r i c ew i t ht r a d i t i o n a la c t u a r i a lp r i c i n gm e t h o d t h e p a p e r u s et h et h e o r yb u i l ti nf i n a n c i a le c o n o m i c sw h i c hi su s e dt oh a n d l es t o c h a s t i cf a c t o r s t od e v e l o pp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nm o d e la b o u tt h ep r i c eo fu n i t l i n k e dp o l i c y ， ( f o rd e t a i li n f o r m a t i o n ，r e f e rt oc h a p t e rt w o ) t h ep u r p o s eo ft h ep a p e ri st og e tn u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ep o i n t si nf r e e b o u n d a r y f o rt h i sp u r p o s e ，w en e e dd os o m es t u d yi nc h a p t e rt h r e ea n dc h a p t e r f o u ri na d v a n c e i nc h a p t e rt h r e e ，b l ya n a l y z i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nm o d e l ，s u r r e n d e r c o n d i t i o ni ss o l v e dn e a rt h ee n do fp o l i c yc o v e rt e r m ，l i m i tp o i n to ff r e e b o u n d a r y i so b t a i n e d i nc h a p t e rf o u r ，b a s e do nt h ep d em o d e lb u i l di nc h a p t e rt w o ，i n t e g r a t i o n f o r m u l aa b o u tt h ep r i c eo fu n i t l i n k e d p o l i c yi s f o r m e d f r o mt h i sf o r m u l a ，i ti s o b s e r v e dt h a tt h ep r i c ei st h ef u n c t i o na b o u tv a r i a b l et i m e ，a c c o u n tv a l u ea n d t h ep o i n t si nf r e eb o u n d a r y a f t e rl i m i tp o i n to ff r e eb o u n d a r ya n di n t e g r a t i o nf o r m u l ai so b t a i n e di nc h a p t e rt h r e ea n dc h a p t e rf o u r ，i ti st i m et og e te n t i r ef r e e b o u n d a r y t h ep r o c e s si s d e t a i l e di nc h a p t e rf i v e k e y w o r d s ：s u r r e n d e ri na d v a n c e ；f r e eb o u n d a r y ；l o c a la n a l y s i s 。 2 第一章引言 1 1 投资连结保险介绍 在国际保险市场上，保险产品的发展一般经过了三个发展阶段，即从储蓄 型产品到保障型产品，再从保障型产品到投资型产品。在现今的寿险市场上，投 资连结型产品作为最年轻的一类寿险产品，阱其独有的特点已成为寿险市场中的 主流产品。在一些发达的欧美雨家中投适险早已成为销售最多的寿险险种。而 在2 0 0 1 年的中国寿险市场中，投连险产品也十分畅销。其快速增长的因素有：银 行及债券利率长期偏低，对传统产品造成压力，保险人和投保人需要不受利率波 动影响的投资理财型产品；股票市场的发展提高了客户对投资连结保险产品的接 受程度；人嗣老龄化增加了社会对养老金和投资产品的需求，政府为了减少社会 养老福利的开支，鼓励个人养老计划；客户需求从单一保障型产品逐渐转变为具 有个性化，能够提供更多功能的理财保障结合型产品。 从传统精算学的角度来看，投资连结保险相对于传统寿险产品的最大不同 在予风险的承担和保单定价的不确定性。传统的寿险产品都拥有固定的受益，投 保人不承担投资风险。而投连险产品为每一份保单设立个独立的投资账户，被 保险人的受蒜，其中包括牛存受益、死亡受益和退保受黼均依赖于账户的资产价 值。即对每一份保单，其持有人完全承担投资风险。而由于市场上众多不确定因 素，其投资账户价值为随机值，当保单价值低于退保受益时，投保人有可能选择 退保。 3 1 2 保单定价问题的历史和现状 最初采用的保单定价方法是传统的精算定价方法，它主要是建立在一系列确 定性的假设的基础上，例如假定死亡效率为确定性的函数或服从确定的生命表， 假定利率的变化是确定的，等等。然而在实际中，影响保单价格的因素常常是不 确定的，例如投资连结保单的投资帐户。此时，传统的定价方法就显得难以胜 仃，需要新的能够对这些随机性的因素进行处理的方法。 对于这些随机因素的影响，在金融经济学的期权定价中已有了一套比 较完整的理论。1 9 9 2 年，s c h i m k o 将此方法成功地运用于财产保险保单的定价问 题( 见【4 】) 。随后，众多学者的研究有了不断的突破( 见【1 ，6 1 ) 。投资连结保单的定价 问题，与期权定价问题之间有一定的相似性。如果我们将投资帐户的资产作为基 础资产投资连结保单的价值作为依赖于该基础资产的衍生资产的话，很显然， 这种保单正是一种期权形式。对于无退保情况下的投资连结保单的定价问题，采 ，。 用类似于期权定价理论中对于欧式期权的定价方法，可以获得保单价值的显示 解。而对于允许自由退保的投资连结保单的定价问题，通常的处理方法是运用期 权定价理论中对于美式期权的定价方法，用有限差分法求出保单价值的数值解。 1 3内容简介 本文的主要工作在于对自由退保曲线的分析以及数值求解。随着允许提前退 保的投资连结保荦在保险市场上的日益普及，保险公司对已售出的该类保单的经 验分析和评估日益重要。而对投保人的退保率分析是保险公司经验分析的一个重 要内容，能否获取自由退保曲线的精确位置对于保险公司分析客户退保行为和控 制退保率有着重要的现实意义。由于有限差分法的局限性，所获得的允许提前退 保的投资连结保单的数值定价结果较难精确地给出自由退保曲线的具体位置，从 而需要新的求解自由退保曲线的方法。而在偏微分方程领域，如何求解自由边界 也是卜分热门和有趣的课题。 本文首先采用了金融经济学处理随机因素的方法，将允许提前退保的投资连 结保单的价值归结为具有自由边界的偏微分方程模型。其中，自由退保边界对应 于偏微分方程中的自由边界( 详见第二章) 。 第二章中的偏微分方程模型中包含许多参数，参数取值的不同将导致存在一 条自由退保曲线和存在两条自由退保曲线这两种不同情况。文章的三至五章针对 这两种不例情况，分别展开了详尽的讨论。 在第三章，作者运用变量代换的方法，分别对保单临近期末的情况进行局部 分析，准确地获得了自由逼保曲线临近保单期末的位置。 在第四章，作者避开传统的有限差分法，而直接运用处理偏微分方程的方法 去求解投资连结保荦的价值模型，获得了保单价值关于时间变量、帐户价值变量 和自由退保点的秋分表达式。由于无法状得自由退保曲线的显式解，也就不能得 出保单价值的显式解。 第五章的工作是具体数值求解自由退保曲线。将保单在每个自由退保点的价 值代入保单价值的积分表达式，从而导出了以自由退保点的坐标为未知数的代数 方程。求解该代数方程，便可以获得自由退保曲线了。 需要特别指出的是，作者对于存存两条自由退保曲线这前人较少涉及的领 域，做了许多有益的工作，获得了令人满意的结果。 5 第二章模型的建立 本章讨论一类具有最低保障利率的投资连结保单，在原模型的基础下，我们 做如卜假定： ( 1 ) 丁为保单划限，r 为被保险人参加保单计划时的年龄，为从被保险人参加 计划开始的时间，显然有t 0 ，t 】。 ( 2 ) 本文中假定无风险利率为常数，记为r 。并记儿( t ) 为z 岁投保的被保险人 在z + 岁时的死亡效力，同样假设“为常数。 ( 3 ) 对于每一份投资连结保单，都拥有一个独立的投资账户，假定时刻投资 账户资产的市场价值为随机过程a ( t ) ，若投资账户的投资资产为可交易资产， 且资产交易市场为无套利市场，由参考资料 2 ，5 j 知，此时a ( t ) 满足随机微分方 程：d a t = r a d t + a a d w e ，其中口为随机波动率，这里假设它为常数。w 。为风险中 性概率测度下的标准布朗运动。 ( 4 ) 在保单合同的责任有效期内，保单的保险责任为： ( a ) 生存保险金：若被保险人于保单生效期满时仍生存，则可以得到一次性支付的 生存保险金s ( t ，a ) = m a x g e 7 “，a ) ，其中r g 为保障利率且满足：r g r ，g 为 定值。 ( b ) 身故保险金：若被保险人在保单生效期内的某个时刻t 身故，则保单立即终 止，被保险人可以得到一次性支付的身故保险金6 ( ，a ) = a ，比例系数k 满 足：0 a 1 。 ( 5 ) 被保险人仅在退保受益大于等于当时的保单价值时选择退保，且被保险 人在时刻t o ，丁】退保的受益为 ( t ，a ) = m a x 撬m a x g e 7 一，j 4 ) ，o ) 。 记t 时刻椒户为a 的保单价格为v ( ，a ) ，由参考文献1 3 ，7 ，8 1 知，允许提前退保 6 的此类投资连结保单价值的偏微分模型为 罾+ r a 。o 。v + ；盯2 a 2 筹善一( r + p ) 矿+ p 七a50 ， t = t ：v ( t ，a ) = m n z ( g e 7 “，a r ， a = a i ( t ) ：v ( t ，a ) = ( ，a ) ，酱( ，a ) = 器( ，a ) ， ( 2 1 ) v ( t ，a ) ( t ，a ) ， a 一+ o 。：l 器i + 。 其中，a = a ，( ) 为自由边界即自由退保曲线。由下文可知，根据参数选取的不 同，自由退保曲线可能不存在、存在一条或存在两条。 7 第三章保单临近期末时的退保分析 在以上归结出的模型中，包含了许多参数，如r ，r g ，g ，t ，t o ，盯，等。这然参 数的选取无疑会对自由退保曲线的存在性以及保单的价格产生影响。对此，前人 已经做了大量的工作。胥会平在他的毕业论文一类具有利率保障的投资连结保 单的定价问题中已经征明了： ( 1 ) 当“ i = 坛一( r r g ) 时，不存在自由退保曲线，客户没有退保的可能： ( 2 ) 当于一( r r g ) 芦 ) 和二维区 域 ( ，a ) i g e * = 。 a ) 中的 自由退保曲线出现在时间范围( t o + 再i 1 石，明中，而( ( t ，a ) i g e 。 a 中的自 由退保曲线出现在时间区间t ( t o + 。1 。+ ( 丁一t o ) ，t 中。 胥会平给出了自由退保曲线存在的必要条件。实际上，运用变分法自j 以证 明，上述条件也正好是自由退保f f | j 线存在的充要条件。 为了能最终数值求解自由退保点，下面对存在条自由退保曲线和存在两条 自由退保曲线的两种不同情况分别做临近保单期末的局部分析，以求获得自由退 保曲线临近保单期末时的极限点的具体位置。 3 1存在一条自由退保曲线时的情形 本小节假设参数满足万一p r g ) 芦 f 可占两，此时在二维区 域 ( t ，a ) i g e 7 c 。a ) n ( t ，a ) i a 垃等着喾象产量g e 7 。 中存在条自由退保曲 8 线，且自由退保曲线在( 而+ 再鬲1i ，丁】中存在。根据金融经济学中的市场无 a 图3 1 套利原则和决定退保的因素一当且仅当退保的受益大于等于保单当时的价格 时，被保险人退保，将模型( 2 1 ) 做如下改写：把区域 ( ，a ) 1 0 a ，( t ) 时： 姜麓 + 1 u2 2 砰0 2 v 一( r + 拉) y + p 自a = o 、 ( t ，a ) 面o v 十，- - 。丽a v + 12 丽0 2 v 一( r + 肛) v + 础a 0 f 翥冀 + 旁一1 ) 舞一铲+ 日( ”l ( 3 5 ) 0 其中 日( - 茁) = 蜚一! = 二；蓦茅。由模型( 2 1 ) 可得以卜约束 w ( o ，z ) ：0 ，比 0 ， 吣，州枷= 筹( 硼小) ) = 0 ， w ( r ，。) o ，v ( r ，z ) ( r ，z ) i o r z o 。 z o ) 1 0 ( 3 6 ) ( 37 ) ( 3 , 8 ) ，、【 由( 36 ) 知，v z h ( 0 ，z ) ( 丁，z ) = 0 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 这里h ( o ，z ) = 管一她紊誊三；j 产生为。的单调递增函数，且跏= 2 n 止业孟葛学为日( o ，z ) 的零点。 下面分两种情况讨论自由退保曲线临近保单期未的位置即a ，( 丁一) ： ( a ) 当虹专等箬磊姓 1 时，z o 0 。任意。 印，若成立警( o ，z ) = h ( 0 ，z ) 。因为h ( 0 ，z ) 单调递增，h ( 0 ，z ) 0 ，从而当r o + 时， ( r ，z ) 0 ； 由筹( o ，。) h ( o ，z ) 知，当r o + 时，w ( r ，z ) 0 。从上面的分析知， 当r 一0 + 时，2 ；0 为( r ，z ) 由零值过渡到正值的自由退保曲线的极限点，即 有。，( 0 + ) = z o ，从而a ，( 丁一) = g e r a t r + t t 础- r a ( t ) 一 t 罚- ) t o ) - i 。 ( b ) 当止丝2 # k 剑( t - 坠t o 型) l 时，跏0 。任意。 0 ，若成立筹( o ，z ) = h ( o ，z ) ，因为h ( 0 ，。) 单调递增，h ( 0 ，z ) 0 。r 一0 + 时，w ( 7 ，z ) 面面占j 可，此时在二维区域( ( t ，a ) i g e 吲 a 和 二维区域 ( t ，a ) i g e 吲 a ) 中的自 由退保曲线出现在时间范围t ( t o + r + “l - r g ，丁】中，而 ( t ，a ) i g e 7 6 。 a ) 中的自由 退保曲线出现在时间区间( 孔+ ：1 + k ( t t o ) ，t 中。 a 图3 2 将模型( 2 1 ) 做如下改写：把区域 ( t ，a ) i o t 0 ) 划分为三个互不 相交的区域：退保区域( 如图( 3 2 ) 中的区域b 1 ) 、保单持有区域( 如图( 32 ) 中的区 域b 2 ) 和退保区域( 立图( 3 2 ) 中的区域b 3 ) ，图( 3 2 ) 中曲线l l 表示退保区域b 和保 单持有区域b 2 之间的自由退保曲线a = a f l ( t ) ，曲线岛表示保单持有区域b z 与退 保区域岛之间的自由退保曲线a = a 止( t ) ，曲线l 3 表示曲线a = g e m 。在保单持 1 2 有区域b 2 * ，即a ( t ) a h ( t ，a ) ； 在退保区域b l 和退保区域b 3 中，即a a n ( t ) 时： r j o 瓦v + r a 舞+ a 2 a 2 箬# 一( r + 芦) y + # k a 再可占二面，有七 1 ，从而，( 3 1 4 ) 式被改写为 a ( t 一) = g e ”7 ( 3 1 5 ) 为了求解自由退保曲线a = a t e ( t ) 在临近保单期末的位置即a ，2 ( 丁一) ，在区 域( ( t ，a ) 1 0 t t ，g e 吲 a ) 引入如下变量代换： 卜7 1 一旁， a = g e 吲酽， ( 3 1 6 ) 【y = a 垃t - t o + g e ”2 ( r ，z ) 此时， t ，a ) 平面上的二维区域 ( t ，a ) 1 0 t 丁，g e 吲 4 ) 变换成为( r ，。) 平 面上的二维区域 ( - z ) j o r 矿t ，0 z + o 。 ，而二维区域 ( t ，a ) 1 0 t 丁，g e 吲 a 卜e 的自由退保曲线a = a f 。( t ) 变换成为二维区域 ( r ，x ) 1 0 7 一 ；口2 t ，0 z + 。) 上的曲线z = 。，( r ) 。似ta ) 平面上的二维区域 ( ，a ) 1 0 1 3 ，iij【1l f 慧u 等一妒乩 慨忉 黧了瞻一铲巩 c s 其中，( r ，z ) = f 参+ 1 - # ( 一t - ( r t o 一- 孔盎) ) j 扩。由模犁( 2 1 ) 可得以下约束： 嘶，州r ) ) = 筹( 叩小) ) _ o ， ( 3 2 0 ) 叫( r ，z ) o ，v ( 叫) 骶。) i o 7 _ i 口2 丁，0 f 雨两1历d a h ( o , z ) = 参十 粼 0 ，当r o + 时t 若群( o ，。) = 日( o ，z ) ，n y q u ( o ，x ) h ( o ，z ) ，即此时客户已退保。从而有。 ( 0 + ) o ，即a ，2 f 一) g e r v t 。同 时，由丁自由退保曲线a = a l ：( t ) 只在区域 ( ，a ) 1 0 t ，g e 吲a 中存 在，a f 2 ( t - ) g e 7 “，所以有 a ，2 ( t 一) = g e w 7f 32 4 ) ( 3 1a ) 式、( 31 5 ) 式和( 3 2 4 ) 式给出了自由退保曲线临近保单期末的位置，在第五章 中我们将看到，( 3 1 1 ) 式、( 3 1 5 ) 式和( 3 2 4 ) 式为逐个数值求解自由退保曲线点提供 了初始位置。 1 5 第四章保单价值的积分表达式的导出 本文第一章已经提到，对于允许自南退保的投资连结保单的定价问题，通常 的处理方法是运用期权定价理论中对于美式期权的定价方法，用有限差分法求出 保单价值的数值解，而不能像欧式期权那样最终获得保单价值的显式解。笔者尝 试用处理普通偏微分方程的方法求解允许自由退保的投资连结保单的价值，发现 它足时间变量、资产价值变量及自由退保点的积分函数。由于不能获得自由退保 曲线的显式解，因此无法得到保单价值的显式解。但是，这样的积分函数表达式 却为我们数值近似估计自由退保曲线的位置创造了条件。本章将具体阐述获得保 单价值积分表达式的过程。仍然像上一章那样，对存在一条自南退保曲线和存在 两条自由退保曲线这两种不同情况分别做详尽的说明。 4 1 存在一条自由退保曲线时的情形 本小节假设参数满足毒瓦一( r 一阳) p f 可占= 可，此时在二维区 域 ( z ，a ) a e 吲a ) nf ( t ，a ) i a 妞气箫篙杀产生g e r g 。) 中存在一条自由退保 曲线a = a ( t ) ，且自由退保曲线a = a ( t ) 在t ( t o + 去，t 】中存在。 由( 31 ) ( 3 2 ) 知， 当a a 1 ( t ) 酬i ，v ( t ，a ) = 危( ，a ) = 舞g e 7 。2 ，此时， 罾俐券+ 扣22 殍0 2 v 叶刊y = f 1 面u c r v t + 面t - t o ；叼g e r g t _ ( r + 肛，) t t - 一t 乃o g e 吲 ：! ! 苎二：丛生型g 。吲 1 6 豢+ r a 券+ ；。2 a 2 筹善一p 十肛，v = 二：g 。，。，三! 三：， i t = t ：y ( t ，a ) ：m n z g c r g t ，a ) 上述偏微分方程定解问题的解由三部分组成：y ( ，a ) = ( t ，a ) + k ( ，a ) + k ( t ，a ) 。其中，( ，a ) 为下述问题的解： 瓷川鬻+ ；搠2 滞寸刊扎( 4 2 ) l t = 丁，( 丁，a ) = m a x g e 7 。r ，a ) k ( ，a ) 为下述问题的解： j 警州霈+ ；搠2 祭- ( r 刊k 一脚，( 4 3 ) i k t ，k ( 丁，a ) = 0 k ( t ，a ) = a e 一”( t - t ) n ( d 1 ) + g e r g t - ( ”“) ( 7 一。) ( 一d 2 ) ，( 4 4 ) k ( t ，a ) = k a 1 一e 一“( 丁一。】( 4 5 ) 其中，( ) 为标准正态分布函数，d z = 塑壹二! 甓葺学- d z = d ，一 盯2 ( r t ) 。 这里，k ( ，a ) + k ( t ，a ) 的值即为不能自由退保的相应的投资涟结保单的价值。 不妨记矿( t ，a ) = ( t ，a ) + k ( ，a ) 。 ( ，a ) 为下述问题的解： 磐十r 磺+ 冲2 游一( r + p ) = 仲，a ) t = t ，v 3 ( 丁，a ) = 0 1 7 剐班k _ ! 错型甜。，篙： 墨：竺，三jta：2a一2歹82wa ，1 7 + 肛) = n c a ， 则k ( ，a ) = w ( t ，以；r ) 打。 州= 赤e 廿刊卜。e m ) e _ r e 叫= z 2 _ 兆 其中， = 口2 ( r 一) ，y = l n a + ( r i 盯2 ) ( r t ) 。 对参数卢的约束矗万一( r r g ) 面面& ( 葡，此时在二维区域 ( f ，a ) t a e 吲 a t f l 】 二维区域 ( ，a ) i g e 吲 舢中的自 由退保曲线出现在时间范围( t o + r + _ l d - - 一r g ，丁】中，而 ( t ，a ) i g e 。 a 中的自由 退保曲线出现在时间区间( t o + i 1 + k ( t 一蜀) ，t 】中。仍然像( 32 ) 节那样，把 1 9 区域 ( t ，a ) t o 再丽苦= 葡保证t f ( t ，a ) 非正，从 而v 3 ( t ，a ) 非负。这样便有v ( t ，a ) 矿( ，a ) 。这与美式期权的价值大于等于 相应欧式期权价值的理论相一致。因为当a ( r ) e 2 a ，2 ( r ) 对，f o ，e 。) = o ， 所以 ，“m 叩；) 。一哮胁 ：广”m 。) 。一喏阱 ” _ ，( 叩z ) e 一哮皿 一j n 一，2 ( t ) ：一( f 【- ，( r ，e = ) e 一血】出的求解过程参见( 4 1 ) 节，这里不再赘述而 fm，e掣az=-li 等删反i e z e 掣池n aj n ( r ) 11 u o l “4 ，2 令z = 气铲，则成立 一【等掣懈】仨p e 掣冲 一 掣铲埘矽k 屈昏e 写如 l j nj j i - ；l = 一 等埘矽+ 俪【l - ( 坐芸v 塑) 一n w ( t ，a ；r ) 1 一( r + 弘一r g ) ( 7 丁一r 一。g e 。7 ( ! ! ! ! ! f ! ! ：；：；：；：；： - i ；：! ! 型) 一卢一ae一”cr一，(!：!f：!；i萨) 一【l 等+ p 翻a e - “( r - o 【一( 堡量! 鳘兰毛云警掣) 2 2 ( t ，a ；r ) 是变量t ，a ，r 及中间变量a ，1 ( r ) 、a ( r ) 的函数，将其记作函 数9 2 ( a ，a ( r ) ，a ( 7 _ ) ，t ，f ) ，从而 ，了1 化a ) = q d a ，a s 。( r ) ，a h o - ) ，t ，t ) d t ( 4 1 7 ) j ，丁 v ( t ，a ) = y ( ，a ) + 9 2 ( a ，a s 。( t ) ，a h ( t ) ，t ，r ) d r ，( 4 1 8 ) 这便是保单价值的积分表达式。与上一节相似，虽然获得t v ( t ，a ) 的显式解，但 由于无法事先确定自由退保曲线a = a ( t ) 和a = a 丘( ) 的显式解，也就不能获 得v ( t ，a ) 的显式解。 第五章数值求解自由退保曲线 在第三章，我们获得了自由退保曲线临近保单期末的准确位置( 详 见( 3 玎) 、( 3 1 5 ) 、( 3 2 4 ) 式) 。在第四章，我们得到了保单价值的积分表达式( 详 见( 4 9 ) 、( 4 1 8 ) 式) 。本章中，我们将使用上述结论最终获得自由退保曲线的具体 位置。 5 1存在一条自由退保曲线时的情形 本小节假设参数满足f 1 而一p r g ) 上 t 面丽1 ，此时在二维区 域( ( ，a ) l a e 。4 ) n ( ，a ) a 王! 二坐纛寄铲g e 佑。) 中存在一条自由退保曲 线a = a l ( t ) ，且自由退保曲线a = a f ( t ) 在t ( + r + p l - - r g ，列中存在。 由( 3 2 ) 式及保单价值的连续性知：v ( t ，a t ( t ) ) = 擒g e 吲。将该等式代 a 4 9 ) 式，得： 喜二罢要g e r 。t ：矿( ，a ， ) ) + ，19 l ( a ，( ) 、a ，( r ) ，r ) 打 ( 5 1 ) 1 1 0j t 将t 轴作如下划分：t ( ) = t 1 t l = t 一5 t ，t 2 ：t 一2 5 t ，而( 3 1 1 ) 已经给出了自由 退保曲线临近期末的位置a ，( ? 一) 。在此基础上，f 文将采用回溯的方法逐个数 值求解自由退保点。具体地说：第一步，运用己知条件( 5 1 ) 和a ，口一) 的位置来 获得自由退保点a ，( t 1 ) 的位置；以此类推，第露步，运用已知条件( 5 1 ) 自由退保 董a i ( t - ) ，a ，( t 1 ) ，a l ( t 2 ) a i ( t ，1 ) 的位置来获得自由退保点a ，( k ) 的位置。在 l ! _ t z _ 刖，焉妥分狮设枳幽数 9 1 ( a ，( t ) ，a s ( - ) ，t ，r ) ：一生堕堡竺迎二旦。廿枷- f ) g 。( 坚塑! 些! 生二生 t t o 。“ 、厣盱习一 叫e 州一) v ( 鲻缘幂挈型) ( 5 z ) 、盯。【r fj 的性质。容易看出，函数9 l 是关于自x z - j * 。- 7 _ ( t ，7 1 的光滑函数，但当r 一件时， 函数9 1 可能会有奇性，现做具体分析： 当r 一+ 时， 因为a ，( r )一a ，( t ) ， 从而抚( 鲁髂) 一0 ，由 洛必达法则，竺主姜挚一。，( 竺主兽竽) 。z 2 。同 、口2 ( f t 1 、 d o f r ， 。 4 理州蚓警) 矗枞 9 ( a ，( t ) ，a ，( t + ) ，f ，t + ) = 一1 - ( r 1 + 再1 1 f - 二j r a i ) 广( t 一- t o ) g e r a t _ ；p a ，( ) ( 5 ，3 ) 下面具体数值求解每个自由退保点。为求解a ，( t 1 ) ，对积分表达 式j 1 9 。( 4 ，( 1 ) ，a ，( r ) ，t 。，r ) d r 作如下近似估计： z 2 引州f 1 ) ，矧咄丸r ) 打= 誓蹦a ，( ，州? - ) i 丸r ) 怕( 州 ( t 1 + ) , t 。, t t 4 - ) j 等号右边的9 l ( a ，( t 1 ) ，a i ( t 一) ，t l ，q 由( 52 ) 式给出，9 1 ( a ，( t 1 ) ，a t ( t l + ) ，t l , t 1 + ) 由( 53 ) 式给出。将上式代入( 5 1 ) 式，得 丁h 一- 死t o g e 甜l = 矿( 1 ，a 心1 ) ) + 弘6 t 1 ( a 巾1 ) ，a 舸一) ，f 1 ，丁) + 9 l ( a 以。) ，4 巾l + ) ，l + ) 这足一个关于术知数一，( ) 的一元方程，可以使用竹n z 。6 软件中的弦g f o f 焉i 数获得a ，( 1 ) 的数值解。以次类推，在求得a ，( 2 ) 、a ，( 3 ) 一、a l ( t 。一。) 之后， 对正t 。9 1 ( a ，( “) ，a f ( r ) ，k ，r ) d r 作如下近似估计： ，4 引削，“n k ，) ：誓州，削丁屯刁+ 2 引“纠州埘 + + 2 9 l ( a i ( t n ) ，a i ( t n 一1 ) ，t n ，t 。一1 ) + 9 i ( a f ( t 。) ，a l ( t 。+ ) ，t 。，t 。+ ) 其中，g t ( a ，( 。) ，j 4 ，( r 一) ，t 。，丁) ，9 l ( a ，( 。) ，a ，( l ) tt 1 ) 一，g l ( a f ( t 。) ，a f ( t 。一1 ) ，t n ，。1 ) 由( 5 2 ) 武给出，g l ( a y ( t 。) ，a ，( k + ) tt 。+ ) 由( 5 3 ) ，给出。将上式代入( 5 1 ) 式，得： f t ni 而t o u e r t n = 郧。，酬) + 知t ( 州，姒t t ) + 2 “州，a ，( ， + - + 2 9 1 ( a ，( t 。) ，a ( t 。1 ) ，t 。，k 一1 ) + g l ( a ：( t 。) ，a ( t 。+ ) ，t 。，t n + ) 】 这是一个关于未知数a ，( t 。) 的一元方程，亦可以使用，z e r o 函删a ( t 。) 的数值 解。在逐个获得自由逼保点之后，自由退保曲线便牛成了。 图5 1 假设参数p = 0 1 9 ，r = o 4 ，r = 0 ，1 5 ，7 g = o 1 ，= 0 9 ，t = 3 0 ，t o = 2 0 ，g = 5 0 0 ，5 t = 0 0 5 ，则：志一( r r g ) 肛 a ) 和 二维区域 ( ，a ) l g e 删 a 中的自 由退保曲线出现在时间范围( t o + 再未丽，丁1 中而“t ，a ) g e 6 。 a 中的自由 退保曲线出现在时间区间( t o + i 1 + k ( t t o ) ，t j 中。 由( 3 1 3 ) 式及保单价值的连续性知； r j 矿( t ，a ，。( t ) ) = 事鲁g e 删， iv ( t ，a y e ( t ) ) = 锪a 将上述两等式代k ( 4 1 8 ) 式，得： j 溉吲巧( 1 州啪+ f 鲋椭州咄划砒喇丁1( 5 4 ) l 事曩a = p ( t ，a ( ) ) + 上t a 丘( ) ，a s 。( r ) ，a ，2 ( 丁) ，t ，r ) d r 将t 轴作如下划分：t o = t ，1 = t 一6 t ，2 = t 一2 6 t ，而( 3 1 5 ) 式和( 3 2 4 ) 式已经 给出了自由退保曲线临近期末的位置a ( t 一) 和a ( 丁一) 。本节仍然采用回溯的方 法逐个求解自由退保点。即：第一步，运用已知条件( 5 4 )