（概率论与数理统计专业论文）一类倒向随机微分方程及其反射方程解的存在性.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 一维倒向随机微分方程是定义在【o ，t 上f 述形式的方程的方程： 鬈= 孝+ j f r g ( j ，乓，z s ) d s j f r 乏但 ( 1 1 ) 这里( 忍) 曲s r 为定义在完备概率空间( q ，f ，p ) 上的d 一维标准布朗运动， z ，o s f t 为布朗运动生成的标准信息族，即z 完备且= 伊 忍，o s ssf ，函数 g ：f i x 0 ，t x g t x 吼d 一吼为方程( 1 1 ) 的生成元，t 为终端时刻，取值于吼的日适应过 程孝为终端价值，( g ，t ，孝) 为方程的构成要素。其解( r ，z f ) 为( c ) 。；鹾r 上的循序可测过程 非线性倒向随机微分方程( b s d e s ) 最早由p a r d o u xa n dp e n g ( 1 9 9 0 ) 提出，他们 证明了当方程的牛成元g 和终端价值亭满足一定条件是方程的解存在唯一，其中最著名 的条件是生成元g 对y 、z 满足l i p s c h i t z - - 条件，终端价值孝平方可积。从此以后，b s d e s 引起了人们的广泛兴趣。特别的，人们对于放宽l i p s c h i t z - - 条件做了大量的工作。 l e p e l t i e ra n ds a nm a r t i n ( 1 9 9 7 ) 证明了当g 对( y ，z ) 只满足连续、线性增长条件 时，方程的解存在；k o b y l a n s k i ( 2 0 0 0 ) 证明了当g 连续、对z 满足二次增长，终端价 值孝有界时，方程的解存在唯一。 与之相伴随的，e l k a r o u r i ，k a p o u d j i a n ，p e n ga n dq e n e z ( 1 9 9 7 ) 年引入了倒向 随机微分方程的反射方程理论( r b s d e ) ( 单边) ：在标准倒向随机微分方程中附加了一个 连续、单增过程，使得方程的解位于被称为下端反射( 障碍) 的连续有界过程的上方。 更确切的说，r b s d e 包括生成元g ，终端价值孝，连续边界l ，其解为取值于吼“1 的平方 可积的适应过程，若记为( r ，z f ，k ) ，则其满足下述方程： iz = 孝+ r g ( s ，r ，乙) 凼+ 巧一墨一r 互担 i 厶，怄坯f ， i r ( e g ) d k , = 0 其中( k ) o s 田为非负连续过程使得始终位于l t 上方。并且在论文中证明了当生成元g 山东大学硕士学位论文 对( y ，z ) 满足l i p s c h i t z - - 条件时解的存在唯一性。随后，m a t o u s s i ( 1 9 9 7 ) 证明了 当g 对y ，z 至多满足线性增长条件时，r b s d e 存在极大解和极小解。 c v i t a n i c 和k a r a t z a s ( 1 9 9 5 ) 引入了倒向随机微分方程的双边放射方程理论。该方 程是一个标准倒向随机微分中加入了两个连续、单增过程，这两个过程保证了方程的解 在预先给定的下端反射( 障碍) l 和上端反射( 障碍) u 之间。并证明了当牛成元g 满足 l i p s c h i t z 条件时解的存在唯一性。 j i a ( 2 0 0 6 ) 证明了一维b s d e s 解的广义存在定理，在该定理中，生成元g 对y 满足 左- - l i p s c h i t z 条件，对z 满足l i p s c h i t z 条件；随后，z h e n g 和z h o u ( 2 0 0 8 ) 证明 了在j i a 给定条件下r b s d e 解的存在性。j i a 和x u ( 2 0 0 6 ) 又证明了当g 对z 一致连续 时解的唯一性定理。 在以下篇幅中，我们主要研究当牛成元g 对y 满足左- - l i p s c h i t z 条件，对z 一致连 续时，b s d e s 以及r b s d e s 解的存在性。 关键词：b s d e r b s d e s ；y 满足左- - l i p s c h i t z 条件；z 一致连续时；解的存在性 2 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t o n e d i m e n s i o n a lb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( b s d e s ) a r e e q u a t i o n so ft h ef o ll o w i n gt y p e ： y t = 专+ 鼍g b ，y s ，z , ) d s 一毫z s d b i ( 1 1 ) w h e r e ( b , ) 雠r i sas t a n d a r dd - d i m e n s i o n a lb r o w n i a nm o t i o no nap r o b a b i l i t y s p a c e ( q ，f ，p ) ，w i t h e ，o f qt h es t a n d a r db r o w n i a nf i l t r a t i o n t h e f u n c t i o n g ：q 【o ，r 】吼孵d _ 吼i sg e n e r a l l y c a l l e dac o e f f i c i e n to f ( 1 1 ) ，t t h e t e r m i n a lti m e ，a n dt h e 吼- v a l u e d 箩- r - a d a p t e dr a n d o mv a r i a b l efat e r m i n a l c o n d i t i o n ：( 品zf ) a r et h ep a r a m e t e r so f ( 1 1 ) as o l u t i o ni sac o u p l e ( y ，z ) o fp r o c e s s e sa d a p t e dt of i l t r a t i o n f ，o t t ) n o n li n e a rb s d e sw e r ef i r s ti n t r o d u c e db yp a r d o u xa n dp e n g ( 1 9 9 0 ) ，w h op r o v e dt h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fas o l u t i o nu n d e rs u i t a b l ea s s u m p t i o n so nga n df ， t h em o s ti m p o r t a n to fw h i c ha r et h el i p s c h i t zc o n t i n u i t yo fga n dt h es q u a r e i n t e g r a b i l i t yo ff s i n c et h e n ，b s d e sh a v eb e e ns t u d i e di n t e n s i v e l y i n p a r t i c u l a r ，m a n ye f f o r t sh a v eb e e nm a d et or e l a xt h ea s s u m p t i o no nt h eg e n e r a t o r g ：f o ri n s t a n c e ，l e p e l t i e ra n ds a nm a r t i n ( 1 9 9 7 ) h a v ep r o v e dt h ee x i s t e n c eo f as o l u t i o nf o r ( 1 ) w h e ngi so n l yc o n t i n u o u sw i t hl i n e a rg r o w t h ，a n dk o b y l a n s k i ( 2 0 0 0 ) o b t a i n e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fas o l u t i o nw h e ngi sc o n t i n u o u s a n dh a saq u a d r a t i cg r o w t hi nza n dt h et e r m i n a lc o n d i t i o ni sb o u n d e d i nt h e i r p r o o f s ，t h ec o m p a r i s o nt h e o r e mp l a y sa ni m p o r t a n tr o l e k a r o u i ，k a p o u d ji a n ，p a r d o u x ，p e n ga n dq u e n e zi n t r o d u c e di n1 9 9 7t h en o t io no f r e f l e c t e db s d e ( r b s d ei ns h o r t ) o no n el o w e rb a r r i e r 1 ：t h es o l u ti o ni sf o r c e d t or e m a i na b o v e ac o n t i n u o u sp r o c e s s ，w h i c hi sc o n s i d e r e da st h el o w e rb a r r i e r m o r ep r e c i s e l y ，as o l u t i o n f o rs u c he q u a t i o na s s o c i a t e dt oac o e f f i c i e n tg ，a t e r m i n a lv a l u e 毛，ac o n t i n u o u sb a r r i e rl ，i sat r i p l e ( z ，z f ，k ) a d a p t e d p r o c e s s e s v a l u e do n吼1 + “1 ，w h i c hs a t i s f i e sa 3 s q u a r ei n t e g r a b i1it yc o n d iti o n 山东大学硕士学位论文 卜= 孝+ f 如，k ，z , ) d s + 巧一k r 互担 z 厶，0 t t lj c r ( 嚣一丘聪= 0 f u r t h e r m o r e ，t h ep r o c e s s ( k t ) o s ，s ri sn o nd e c r e a s i n g ，c o n t i n u o u s ，a n dt h e r o l eo f ( k t ) 以f ，i st op u s hu p w a r dt h es t a t ep r o c e s si nam i n i m a lw a y ，t ok e e pi t a b o v el t h e yp r o v e de x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fas o l u t i o nw h e nfi sl i p s c h i t z i n ( y ，z ) u n i f o r m l yi n ( t ，( ) ) c v i t a n i ca n dk a r a t z a s ( 1 9 9 5 ) s t u d i e dt h eb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t ht w ob a r r i e r s i nt h i sc a s e ，as o l u t i o nyh a sr e m a i nb e t w e e nt h e l o w e rb o u n d a r yla n du p p e rb o u n d a r yu ，a l m o s ts u r e l y t h i si sa c h i e v e db yt h e c u m u l a t i v ea c t i o no ft w oc o n t i n u o u s ，i n c r e a s i n gr e f l e c t i n gp r o c e s s e s 。i nt h i s p a p e r ，a u t h o r sp r o v e st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n ，u n d e rc e r t a i n c o n d i t i o no f 毛，la n du ，a n dl i p s c h i t zc o n d i t i o no fg e n e r a t o rg 。 m o r er e c e n t l y ，j i a ( 2 0 0 6 ) o b t a i n e dag e n e r a li z e de x i s t e n c et h e o r e mf o r o n e d i m e n s i o n a lb s d e sw h e r et h ec o e f f i c i e n ti sl e f t l i p s c h i t zi ny ( m a yb e d i s c o n t i n u o u s ) a n dl i p s c h i t zi n 五s h i q i uz h e n ga n ds h e n g w uz h o u ( 2 0 0 8 ) c o n s i d e r t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fo n e d i m e n s i o n a lr b s d e sw i t ht w oo b s t a c l e s ，u n d e r t h e s ea s s u m p t i o n s j i aa n dx u ( 2 0 0 6 ) o b t a i n e ds o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h eu n i q u e n e s sf o rs o l u t i o no fo n e d i m e n s i o n a lb s d e sw h e r et h e c o e f f i c i e n ti su n i f o r m l yc o n t i n u o u si n 五 i nt h i sp a p e r ，w ew i11o b t a i ng e n e r a li z e de x i s t e n c et h e o r e m sf o r o n e d i m e n s i o n a lb s d e sa n dr b s o e sw h e r et h ec o e f f i c i e n ti sl e f t l i p s c h i t zi ny a n du n i f o r m l yc o n ti n u o u si nz k e yw o r d s ：b s d e s r b s d e s ：l e f t l i p s c h it zi n ，：u n if o r m l yc o n ti n u o u si nz ： 4 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：塑! 塑堑日期：圣翌翌! ：竺翌 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：盈：塑塑导师签名： 山东大学硕士学位论文 第一章引论 1 1b s d e s 方程提出及发展 一般认为金融学从一门描述性的科学向金融数学的转变始于h a r r ym a r k o w i t z 【1 9 在1 9 5 2 年的开创性工作，他为现代有价证券的组合理论奠定了基础，他韵理论引发了所谓 的第一次“华尔街革命 许多学者进一步发展了他的理论下一步重要的发展是1 9 6 4 年s h a r p e 2 0 和1 9 6 5 年l i n t n e r 2 1 提出的资本资产定价模型( c a p m ) 及1 9 7 6 年 r o s s 2 2 把c a p m 模型扩展成套利定价模型( a p t ) 1 9 7 3 年，f i s h e rb l a c k 和m y r o n s c h o l e 2 3 发展了“期权及公司债务的定价，提出了第一个完整的期权定价模型同一 年，r o b e r tm e r t o n 2 4 发表了“计算期权合理价格的理论”这些里程碑式的成果， 引发了第二次“华尔街革命 ，在理论和实践中都有特别重要的意义f i s h e rb l a c k 和 m y r o ns c h o l e 的期权定价模型提出之后，金融数学以前所未有的的速度发展许多现代 的数学工具，如随机微积分，鞅方法，凸分析，随机最优控制，多元统计分析，数学规划，现 代计算方法等在金融理论与实践中起着关键作用许多经济学家和数学家都为金融数学 的发展作出了贡献他们中的佼佼者不少已先后获得了诺贝尔经济学奖。 金融数学的发展，也促进了一类新的随机微分方程理论相i 向随机微分方程的 出现，发展和逐步完善 倒向随机微分方程理论研究的历史较短，但进展却很迅速，除了其理论本身所具有的 有趣数学性质之外，还发现了重要的应用前景1 9 7 3 年，法国数学家b i s m u t 2 6 在研究 随机最优控制时，研究了线性b s d e 的适应解。而一般形式的非线性倒向随机微分方程： j dx ( t ) ：b ( ，x ( t ) ) d + 仃( ，x ) d b ( t ) ， ( 1 ) ix ( t ) = 孝，0 t t 实际上是伊藤随机微分方程初值问题的反向问题，即终值问题在金融理论中，递归效用， 微分效用，期权定价等经济理论研究都需要考虑终值问题但由于终值变量j 是f t 可测的， 如果要考虑具有e 适应过程x ( t ) 满足( 1 j ，且x ( t ) = 亭，方程( 1 ) 往往无解，为此众 多学者作了不懈努力 1 9 9 0 年，我国学者彭实戈和法国学者e p a r d o u x 受控制问题的启发，在众多学者研 究的基础上，发现了下面形式的有限维倒向随机微分方程是可解的 山东大学硕+ 学位论文 i d y ( t ) = g ( 咒，z , ) a t 一乞d e i y ( v ) = 孝 ( 2 ) 当方程的牛成元g 和终端价值善满足一定条件是方程的解存在唯一，其中最著名的条 件是生成元g 对y 、z 满足l i p s c h i t z - - 条件，终端价值孝平方可积。从此以后，b s d e s 由于 其与随机控制、金融数学、偏微分方程的关系引起了人们的广泛兴趣。巧合的是，1 9 9 2 年， 著名经济学家d u f f i e 和e p s t e i n 1 8 提出，不确定环境下的效用函数应当由一种新的 “随机微分效用”来递归解出，独立地获得了如下特殊情况的倒向随机微分方程： f a y ( t ) = g ( 儿，z , ) a t - z , a b , i y ( r ) = 0 ( 3 ) 此时，g 中的z 刻画了效用函数的“风险厌恶”丘i s ka v e r s i o n ) 程度但他们的理论 只能处理g 是z 的平方或g 不含z 的两种情况k a r o u i ，p e n g 和o u e n e z 1 0 的文章对 此进行了系统的论述，合理地解释了为什么需要更一般的倒向随机微分方程来刻画效用 函数 ( 2 ) 有下面的一般形式 咖( f ) 2g ( 只，乞) 以一( 厂( 儿) + 乙) 丝( 4 ) l y ( r ) = 孝 p e n g 和p a r d o u x 1 2 证明了对固定t ，g 关于y ，z ，关于y 满足l i p s c h i t z 条件下 解的存在唯一性定理一般说来，l i p s c h it z 条件太强，许多学者放宽了，所满足的 条件，证明了阻) 解的存在唯一性，并在d = l 情况下，建立了相应的比较定理 p e n g ( 1 9 9 3 ) 1 5 证明了方程陀) 在觥足局部l i p s c h i t z 条件下，解的局部和整体存在 唯一性；d a r i n g 和p a r d o u x 1 6 证明了方程( 2 ) 在联于y 满足单调性条件，关于z 满足 l i p s c h i t z 条件下，解的存在唯一性陈增敬 1 7 考虑了方程陀) 在d = 1 ，t 被一个停 时z - 取代，在条件h l h 3 ( 见 1 8 第二章) 下，解的存在唯一性在 1 8 第二章，我们给 出了其相应的比较定理 p a r d o u x ( 1 9 9 6 ) 研究了当g 满足( x y ，g ( f ，x , z ) - g ( ，y ，z ) ) a i x y 1 2 条件时解的唯 一性并将其应用于二阶办抛物线和椭圆方程的粘性解；k o b y l a n s k i ( 2 0 0 0 ) 证明了当g 连续且对z 满足二次增长条件时解的存在唯一性；b a h l a l i ( 2 0 0 1 ) 证明了当g 对y 、z 满足局部l i p s c h i t z 一条件时解的存在唯一性；h a m a d 6 n e ( 2 0 0 3 ) 得到了多维 6 山东大学硕士学位论文 b s d e s ( g ，t ，善) 在g 对( y ，z ) 一致连续时且其i 维分量的对z 一致连续时时解的存在性。 l e p e l t i e ra n ds a nm a r t i n ( 1 9 9 7 ) 证明了当g 对( y ，z ) 只满足连续、线性增长 条件时，方程的解存在；k o b y l a n s k i ( 2 0 0 0 ) 证明了当g 连续、对z 满足二次增长，终 端价值毒有界时，方程的解存在唯一。 j i a ( 2 0 0 6 ) 证明了一维b s d e s 解的广义存在定理，在该定理中，生成元g 对y 满足 左- - l i p s c h i t z 条件，对z 满足l i p s c h i t z 条件。 在第二章中，我们主要研究当生成元g 对y 满足左_ l i p s c h i t z 条件，对z 一致连续 时，b s d e s 解的存在性 7 山东大学硕士学位论文 1 2r b s d e s 方程提出及发展 e l k a r o u r i ，k a p o u d j i a n ，p e n ga n dq e n e z 于1 9 9 7 年 2 6 引入了倒向随机微分方 程的反射方程理论( r b s d e ) ( 单边) ：在标准倒向随机微分方程中附加了一个连续、单增 过程，使得方程的解位于被称为下端反射( 障碍) 的连续有界过程的上方。更确切的说， r b s d e 包括生成元g ，终端价值孝，连续边界l ，其解为取值于倪h 以1 的平方可积的适应过 程，若记为( r ，互，k ) ，则其满足下述方程： i = 专+ 鼍g 吼，z s ，k s ) d s + k t k t 一鼍z s d b ， k 厶，0 t t ， 【r ( r g ) d k s = 0 其中( k ) 蚴；r 为非负连续过程使得r 始终位于厶上方。并且在论文中证明了当生成元g 对( y ，z ) 满足l i p s c h i t z - - 条件时方程解的存在唯一性。 随后，m a t o u s s i ( 1 9 9 7 ) 2 7 证明了当g 对y ，z 至多满足线性增长条件存在常数口 0 ， 使得对 o ，国) 【o ，r 】q ，k ( f ，y ，z ) i 口( 1 + l y f + l z i ) 时，r b s d e 存在极大解和极小解。 c v i t a n i c 和k a r a t z a s ( 1 9 9 6 ) 2 8 3 引入了倒向随机微分方程的双边放射方程理论。该 方程是一个标准倒向随机微分中加入了两个连续、单增过程，这两个过程保证了方程的 解在预先给定的下端反射( 障碍) l 和上端反射( 障碍) u 之间。 ( i ) k = 孝+ l e g ( s ，鬈，z s ) d s + 群一群一群+ k 7 一r 忍蛾， ( i i ) l , z u ，p - a a o t t ( i i i ) g ( y , 一厶) 田= r ( u y ，) d k - = 0 ( i v ) z h 2 ( o ，r ) ；j ，k + ，k 一s 2 ( o ，t ) ( v ) k + ，k 一为连续单增函数，且k g = k o = 0 并证明了当生成元g 满足l i p s c h i t z 条件时解的存在唯一性。 j i a ( 2 0 0 6 ) 4 证明了一维b s d e s 解的广义存在定理，在该定理中，生成元g 对y 满足左一l i p s c h i t z 条件g ( z ) 对y 左连续，且存在常数口0 ，使得p - a s v t 【o ，t 】，v ( 以，z ) 孵贸d ( f = l ，2 ) ，y l 奶， 山东大学硕士学位论文 g ( t ，咒，z ) - g ( t ，y 2 ，z ) 一f l ( y t 一) 对z 满足l i p s c h i t z 条件；随后，z h e n g 和z h o u ( 2 0 0 8 ) 证明了在j i a 给定条件下 r b s d e 解的存在性。j i a 和x u ( 2 0 0 6 ) 又证明了当g 对z 一致连续时解的唯一性定理。 在第三章中，我们主要研究当g 对y 满足左l i p s c h i t z 条件，对z 满足一致连续条 件时，解的存在性。 9 山东大学硕士学位论文 1 3 符号说明及条件假定 ( q ，f ，p ) 为完备概率空i 司，e2 ( 倒彬) 旧玎为l o ，t j 上的d 一维布朗运动， z ，o f t ) 为布朗运动生成的标准信息族，即c 完备且z = 盯 e ，o s t 。 引入下列空间： r ( e ) = r ：e 可测实值随机变量，h e ( t 7 7 1 2 ) 0 0 ) h ：( o ，丁) = ( 仍) 。“r ：取值于吼“的可测过程，且e ( r i 仍1 2d t ) o 。 s 2 ( 。，丁) = ( 够) 晒；r ：循序可测实值连续函数，且e ( s u p i 吧1 2 ) ) 么2 ( o ，丁) = ( 仍) 。；。；r s 2 ( o ，r ) ，且伊( o ) = o ，e ( 矽( 丁) 2 ) ) 引入以下条件： ( i ) 终端价值善r ( e ) ； ( i i ) 边界l 和u 为循序可测的实值连续函数，e ( 晒s u s p r ( l + ) 2 + s u 玎p ( u i ) 2 ) 0 ，使得对( f ，缈) 【o ，丁】q ，i g ( t ，y ，z ) f 口( 1 + i 少l + h ) ( h 3 ) g ( t ，国，) 连续 ( h 4 ) ( 对y 满足左一l i p s c h i t z 条件) 2 化，z ) 对y 左连续，且存在常数口0 ，使得p - a s l o 山东大学硕士学位论文 v t e 0 ，r l ，v ( 咒，z ) 吼吼d ( i = l ，2 ) ，乃蜴， 有g ( f ，乃，z ) - g ( t ，y 2 ，z ) 一( m - y 2 ) ( h 5 ) ( 对z 一致连续) 存在连续非降函数矽：吼+ 寸吼+ 。且满足矽( o ) = 0 ，使得对 v t e 0 ，r 】，j g ( t ，y ，z 1 ) 一g ( t ，y ，z ：) i 矽( 4 毛一z ：i ) ； 矽线性增长系数为a ：o 矽( x ) a ( x + 1 ) ，坛吼+ 在接下来的文章中，取= m a x a ，a ( h 6 ) 存在上鞅玎和秒，使得厶仇- o , q ， ( h 7 ) 存在两个b s d e ( g i ，t ，善) ，( i = 1 ，2 ) ， 且吐腮( ”il e , i ) 2 。o 瑚m 使得对v ( f ，y ，z ) 【o ，r 】吼吼d 有& t ，巧，乏) 平方可积且g 。( t , y ，z ) g ( f ，y ，z ) 9 2 ( f ，y ，z ) a s ， 它们至少各存在组解，记为 ( k i ，么i ) 且j 墨j ：，f “o ，_ ：】a s ，a o ( h 8 ) 存在两个r b s d e ( 孝，蜀，厶u ) ，( i = 1 ，2 ) 它们至少各存在一组解，记为 ( 夥，z ，霹一，霹一) ，使得对v ( f ，y ，z ) 【o ，r 】吼吼d 有g ，t ，f ，乏) 平方可积且 g l ( f ，y ，z ) g ( f ，y ，z ) 9 2 ( f ，y ，z ) a s 山东大学硕士学位论文 第二章一类b s d e s 解的存在性 2 1 理论背景 定义2 1 我们说( r ，互) 为b s d e ( 孝，g ，t ) 的解，当其满足方程 誓= 善+ r g ( s ，乓，z ，) d s f 。乏识 ( 1 2 1 ) 设厂：吼pj 吼为线性增长的连续函数，即：存在常数k ，v x e ；r p ，i 厂( x ) | k ( 1 + t x l ) 令厶( x ) - 剐i n f m ) + 甩i z j ，1 ) ，z ( x ) _ s 脚u p ， f ( y ) 一以i 工一y l 引理2 1 1 上述条件下，当以k 时，下列结论成立： ( i ) 线性增长性：孵p ，- k ( 1 + l x ) - 二( x ) 厂( x ) z ( x ) k ( 1 + h ) ( i i ) 单调性：，( x ) 单调非降，歹( x ) 单调非增 ( i i i ) l i p s c h i t z 条件： z ( z ) 一z ( y ) - k x - y ，l 二( 工) - f _ ( y ) l 。，使得s u p n e r l o 艘 a t - ii 1 2 + r l 彳1 2 衍 o 可得 e lr kj 2 以l 蟛2 + 2 e c r y t f ”( r ，剪，z ? ) 以 c l + 2 e r z ”t ，z ? ) k ( 2 7 ) 由不等式8 a 2 + b 名8 2 口6 和不等式( 2 6 ) e j c r l 才1 2 以 c 2 + i 1ej i n ( i z ? 1 2 + i 零。1 1 2 ) 出 故即e j c r i 彳1 2 出 弓8c ：+ 专e r 衫一1 2 以 故s u p e r i 彳1 2 出 证毕 引理2 2 3 存在过程只s 2 ( o ，t ) ，z ，h 2 ( o ，t ) ，使得当nj o 。时 吐器旷乃m 彳一刁h 证明：由引理( 2 2 1 ) 可知，存在过程以，使得p - a s个只b s 刀j 且e 艘弦1 2 o o ，故 y ? ) 收敛到s 2 ( o ，砷中的以 由控制收敛定理：e ir 弦一只1 2 d ti ( 2 8 ) 由( 2 6 ) 式和引理( 2 2 2 ) 可知s u 。p | - e r i 厂一，t ，z ? ) 1 2 d t o o ( 2 9 )由( 2 6 ) 式和引理( 2 2 ) 可知s if ：i 厂”，z ? ) i - g ( t ，1 1 ，乏) 岛( f ，r 1 ，刁) 显然g ( f ，f ，掣) h 2 ( o ，t ) 由引理( 3 1 1 ) 、引理( 3 1 2 ) ，方程( 3 1 ) 有唯一解，记为( 一，之，g l t * + 9 霹一) 且由引理 ( 3 1 3 ) y 1 e l y 2 t i 当n 2 2 时，由( h 4 ) 、( h 5 ) 和y ，1 e l y ，2 ，可证 g ：( f ，r e 2 ，彳) + ( r 2 一) + 矽( 1 彳一一1 ) g ( f ，一，之) g ( f ，r e l ，乏) 一( 一一z 1 ) 一矽( 1 z ? 1 一才1 ) 故 g ( t ，一，之) h 2 ( o ，t ) 则由引理( 3 1 1 ) 、引理( 3 1 2 ) ，方程( 3 1 ) 有唯一解，记为( 彳，彳，砰”，砰一) ， 且由引理( 3 1 3 ) p - a sy z y 2 ，砰+ f + ，群一砰，v t o , t 】 2