（运筹学与控制论专业论文）负风险及其推广模型的破产概率与应用研究.pdf

硕 j 学位论文 摘要 随着保险业的发展，出现了一类与经典风险过程运营模式相反的风险过程，即负风险 过程。为了更加贴切的描述这一类风险过程，我们首先引入了基本负j x l 险模型，其次考虑 了常利率因素对负风险模型的影响，并将基本负风险模型改进为同时含有正、负两个相关 类的风险模型。针对以上几类不同的模型主要解决了以下几个问题： ( 1 ) 利用矩母函数的定义及性质对基本负风险模型的主要性质做了较为全面深入的 分析，推导了模型的破产概率及其上界，结合指数效用原理所得到的单位时间的支出c 的 表达式，并将其与一般情形下所得到的c 进行比较。 ( 2 ) 考虑了利率因素对负风险模型的影响，将模型改进为带常利率的负风险模型，用 鞅的方法证明了模型的破产概率的最终表达式，通过数值分析用m a t l a b 绘出了模型的破 产概率随利率因素的变化曲线图。 ( 3 ) 将基本负风险模型改进为同时含有正、负两个相关类的风险模型，分析得出模型 的破产概率满足的最终表达式，并将模型与正、负两类风险过程相互独立时的情况进行比 较，通过数值例说明了相关性对模型破产概率的影响。 ( 4 ) 用鞅的方法分别得到了基本负风险模型及改进后的模型的破产时刻丁的条件期 望的显式。 关键词：正、负风险过程；指数原理；常利率；破产概率；破产时刻；相关性 负风险及其推广模型的忭质与市用研究 a b s t r a c t w i t h 廿1 ed e v e l o p m e n to ft h ei n s u r a i l c e ，at ) ，p eo fr i s kp r o c e s sh a sa r i s e nw h i c hi sd i f i f e r e n t f 如mt h ec l a s s i c a lr i s kp r o c e s s ，i sc a l l e dn e g a t i v er i s kp r o c e s s i no r d e rt od e s c r i b et l l i s 够p eo f r i s kp r o c e s sr e l e v a n t l y ，w ei 1 1 t r o d u c e dt h en e g a t i v er i s km o d e la tt h eb e g i 彻j n go ft h j st h e s i s ， n e x tw ec o n s i d e r e dm ec o n s t a n ti n t e r e s ti n n u e n c et ot h en e g a t i v er i s km o d e l ，a n dt 1 1 e n ，t h e m o d e lw h i c hb o t hc o n t a i n sp o s i t i v ea n dn e g a t i v er i s kp r o c e s s e sw a se s t a b l i s h e d u n d e rt h e d i f - f e r e n tm o d e l s ，w em a i n l yr e s o l v e dt h ef o l l o w i n gi s s u e s ： ( 1 ) b yu s i n gt h ed e f i n i t i o na n dp r o p e r t i e so ft h em o m e n tg e n e r a t i n gf h n c t i o n ，w ed i s c u s s e d m a i l lp r o p e i r t i e so ft h en e g a t i v er i s km o d e l ，d e r i v e dt l l ee x p r e s s i o no ft h er u i np r o b a b i l i 够a n di t s u p p e rb o u n d e r ，a n do b t a i n e de x p e n d i t u r ecp e ru n i tt i m eb yu s i n gt l l ee x p o n e m i a lp r i n c i p l e ， c o m p a r e dw i t ht h eo n ew h i c hi so b t a i n e dj ng e n e r a lc a s e ( 2 ) w e e s t a b l i s h e dt h en e g a t i v em o d e lw i t hc o n s t a n ti n t e r e s t ，d e r i v e dt h ee x p r e s s i o no ft h e r u i np r o b a b i l i 够b yu s i n gt h em a r t i n g a l em e t h o d ，t 1 1 r o u 曲n u m e r i c a la n a l y s i sw ed r a wt h ec u r v e s o ft h em i np r o b a b i l i t yc h a n g e dw i t ht h ec o n s t a n ti n t e r e s t ( 3 ) 7 i h em o d e lw h i c hb o t hc o n t a i n sp o s i t i v ea n dn e g a t i v er i s kp r o c e s s e sw a sd i s c u s s e d ， t 1 1 r o u g ha n a l y z i n gw eo b t a i n e dt h ee x p r e s s i o no ft h em i np r o b a b i l i t ) ，a n dc o m p a r e dw i t hm e m o d e lw h i c ht h ep o s i t i v er i s kp r o c e s sa n dt h en e g a t i v er i s kp r o c e s sa r eu n c o r r e l a t e d ，o b t a i n e d t h er e l e v a n c er e s p o n s et or u i np r o b a b i l i t ) ，b yn u m e r i c a le x a m p l e ( 4 ) b yu s i n gt h em a r t i n g a l em e t h o d ，、o b t a i n e dt h ee x p l i c i to ft h e 丁sc o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o nt h a t 丁i st h er u i nt i m eo ft h en e g a t i v ea n d i t se x t e n d e dm o d e l k e y w o r d s ：p o s i t i v ea n dn e g a t i v er i s kp r o c e s s e s ；e x p o n e n t i a lp r i n c i p l e ；c o n s t a n ti n t e r e s t ； r u i np r o b a b i l i 够；r u i nt i m e ；c o r r e l a t i o n i i 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：胡干眵 醐：7 年朋如日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：娥寺申 翮虢蒯孑u j 日期：年j 月妒日 ， 日期：声月歹。日 硕i ：学位论史 第1 章绪论 风险理论是决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论，主要是利用概率论和随机 过程的知识，处理和分析保险事务中的随机风险模型，进而定量分析破产风险，为保险公 司提供早期的预警系统，以提高保险业的经营管理能力和自身的竞争力。风险理论最初是 来源于保险公司的可行性研究，目前它已经应用于许多涉及风险分析和决策的领域，如投 资分析、资产管理、经营风险分析等。风险理论的研究内容主要有损失分布理论及损失分 布的修正理论、总体风险模型理论、破产理论和效用理论及其应用等。一般随机过程理论 和它的许多分支及应用前景也已经反映在风险理论的发展中了【1 3 1 。 1 1 国内外关于破产理论的研究综述 1 1 1 破产理论的发展历史及现状 破产理论作为风险理论的一个主要研究内容之一，具体应用就是经营稳定性分析，其 有着深刻的研究价值和应用背景。破产理论中关于风险模型破产概率的研究非常活跃，它 以保险公司的实际业务为背景，通过附加各种条件对概率或统计数学模型进行修证、变换， 使得模型更加具有实际价值。这便使得破产理论的研究非常富有挑战性，因此破产概率的 研究一直备受关注，有关这方面研究的文献和专著也很多。 破产理论可以追溯到瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 在1 9 0 3 年发表的博士论文，迄今已有 百年的历史f 3 2 6 1 。他提出了现在得到普遍应用的“集合风险理沦 。该理论首次应用概率 论的方法来研究保险业务计划。在这个方面，该理论对于寿险和非寿险都有其应用。实践 证明，这种描述问题的途径是成功的。近几年，“集合风险理论”的基本假设和应用范围 都极大的扩展了【3 1 。 不过l u n d b e 唱的工作不符合现代数学的严格标准。它的严格化是以h a r a l dc r 锄e r 为首的瑞典学派完成的，c r a m e r 在完善l u n d b e r g 的数学工作中发挥了重要的作用。c r a m e r 将l u n d b e r g 的工作奠立在坚实的数学基础之上，与之同时，c r a m e r 也发展了严格的随机 过程理论，并为精算师处理绝大多数实际的保险问题提供了主要的分析工具。现己公认 负风险及其推广模型的竹质勺戍用研究 l 吼d b e r g 与c r a u m e r 的工作为经典风险理论的基本定理，即l 啪d b e r g c r 锄e r 经典破产模 型【2 6 1 。 l u n d b e r g 和c r a m e r 共同研究的成果为现代破产理论的研究奠定了坚实的基础。随后， f e l l e r 和g e r b e r 分别发展了更新论证技巧和鞅方法，深化了经典破产论的研究内容1 1 0 ，”】。 g e r b e r 在2 0 多年前写的数学风险理论导引一书，已经成为当今研究这一领域的经典 著作。j g r a i l d e u 在为他的著作所些的序言中指出：“任一掌握g e r b e r 著作中所述的风险 论知识的读者皆可视为是一精算师 【3 1 。 经典风险模型虽然简单明了，结果优美，但是忽略了诸如利息、折现等经济环境因素。 而在实际生活中，这些因素客观存在，势必影响到保险公司的经营状况。近年来，带利率 的风险模型也成为风险分析研究中的热点之一。 在经典风险模模型中通常假设保费和理赔之间是相互独立的，并且没有考虑利率因素 的影响。但是在实际情形中，保费的收入和理赔之间并不是相互独立的，理赔额的增加会 刺激保费收入的增长，因此g e r b e r 在保险公司的收入相关时的风险模型，y u e n 则考虑了 时间相关时理赔的达到系数为复合二项过程下的风险模型的性质及破产概率【8 】。s u n d t 和 t e u g l e s 考虑了包含常利率的复合泊松风险模型的破产概率【1 9 】，y a l l g 考虑了常利率下的离 散的风险模型的破产概率【”】，c a i 分别考虑了利率为独立的随机变量序列和利率为一阶自 回归序列的情形，用更新递归的方法给出了模型的破产概率的上界【1 8 】。 1 1 2 国内外关于破产理论的主要研究内容 随着保险业务和基金投资行为在全球的同益普及与完善，有关破产理论及其风险模型 的研究引起了越来越多的国内外学者从随机角度研究的兴趣，当代破产理沦及风险模型的 主要研究体现在以下几个方面： ( 1 ) 离散时间的风险模型的继续研究 离散时间的风险模型的盈余过程一般由下式给出： 尺( 胛) = “+ c 一s 。， 其中u 为本金，c 0 为常数，表示保费的收入率，s 。= x 。+ x ：+ + x 。表示在第舱个时 间末中的理赔总额， x ，：f 1 ) 为独立同分布的随机变量序列，表示第f 次理赔别5 ，6 1 3 1 。 在文献 1 1 中，c o s s e 讹考虑了含有两个相关类的风险模型的最终破产概率以及调节 系数等问题；在文献【2 4 】中，作者考虑了保费收取为泊松过程时模型的最终破产概率以及 最终破产概率的级数表达式和矩阵表达式。 2 硕 j 学位论文 ( 2 ) 对经典风险模型的推广 经典风险模型的盈余过程通常由下式给出： 其中u 为本金，c o 为常数，表示保费的收入率，置表示理赔总额， x ，：f 1 ) 为独立 f - l 同分布的随机变量序列，表示第f 次理赔额，( ，) 为一泊松过程。对于经典风险模型的推 广主要有一下两个方面： a 将经典风险模型中的复合泊松过程推广到更新过程以及c o x 过程( 亦称为双重随 机泊松过程) 的情形【1 2 4 0 l ，或者将索赔到达过程推广为更新过程，得到有限时间内盈余的 瞬时分布。 文献 1 2 将经典风险模型中的索赔到达满足泊松过程推广为更新过程，在此基础上讨 论了模型的最终破产概率以及在连续时问下最终破产啊率的上界和下界；文献【4 0 】讨论了 保费的收入满足c o x 过程带干扰的双险种风险模型的破产概率的上界以及特殊情形下模 型的破产概率的f e u 表示。 b 带扩散扰动项的复合泊松过程f 2 1 2 5 3 3 1 。其中最基本的推广就是将盈余过程改进为如 下表示： 尺( 于) = 甜+ c f s ( f ) + ( f ) ， f o 1 v ( r 1 其中s ( ，) = 置表示 o ，t 】内总的索赔额，扰动项( ，) 为一标准b r o 、n i a n 运动反映对盈 j = i 余的随机干扰，并假设 s ( f ) ：f d ) 和 形( f ) ：，o 相互独立。 文献 1 4 】考虑了带有扩散干扰项的经典风险模型，证明了破产前盈余过程的分布、破 产概率的上确界；在文献【2 5 】中，作者考虑了索赔为多险种的带干扰的风险模型的最终破 产概率的表达式，用鞅的方法证明了破产概率满足的l u n d b e r g 不等式。 ( 3 ) 具有复合资产的破产理论和模型的研究 较早的研究中，绝大部分破产理论和模型的研究不计利率；保费收入一成不变，即不 随瞬时盈余的多寡而有所调整；同时也不涉及投资收益以及分红。近几年，对具投资收益 的破产理论和模型的研究猛增9 ，3 7 1 ，不过目前主要的研究工作还仅集中在确定性的投资收 益上，对涉及随机投资收益的破产论的研究工作已开始起步。 带投资的风险模型由下式描述： 帅斟 一 于c+甜 = 、 矿 j - r 负风险发l c 捧广模型的件质j 膨用研究 】，o ) = r ( f ) + iy ( s ) ( 玎( s ) ( ，) 其中r ( f ) = 甜+ 甜一z i ，( s ) = + 仃形( f ) ，为投资回报率，形( f ) 是一个布朗运动。 七= l 文献 9 】考虑了带投资的风险模型盈余过程的分布以及破产概率的上界，并且讨论了 模型的主要性质；文献 8 】考虑了带投资的双险种风险模型的性质及破产概率；文献【3 7 考虑了同时带有投资和干扰的风险模型，对模型的性质进行讨论并获得了最终破产概率的 l l l i l d b e 唱不等式及其一般表达式。 ( 4 ) 保险数学与数学金融的交叉研究 保险数学与数学金融的交叉研究是一个崭新的、很有潜力的方向，可称之为随机金融 数学的研究。g e r b e r 和s h i u 合作，利用传统精算学的工具，讨论了未定权益和永久性期 权的定价，在文献 1 3 】中，作者用鞅的方法讨论了美式期权定价，这种将保险数学与数学 金融学相结合的方法为经典破产论的研究注入了新的活力。 1 2 本课题研究背景及意义 1 2 1 本课题的研究背景 目前，许多关于破产问题的研究都是基于经典风险模型提出的，并针对其进行改进。 经典风险理论中常采用以下模型描述保险公司在，时刻的盈余【l 。4 】，即： r o ) = “+ c f s o ) ， 其中c ( c o ) 为常数表示保费率；甜o 为初始盈余；s ( f ) 为保险公司在f 时刻的总理赔额。 经典风险模型虽然简洁、完美的描述了某些情形下的盈余过程，但是在保险实务中 同时存在着一类运营过程与其相反的保险业务，例如寿险年金保险。在这类保险中，被保 险人缴纳一笔保险金即准备金，当被保险人死亡即“理赔 发生时，他的准备余便无需保 留，保险公司单位时间以常年金率c ( c 0 ) 向被保险人支付年金，这样可视为负的索 赔额发生【1 ，2 0 之2 1 。又如，被保险人购买一份教育保险，保险公司按照合同预定的时| 、h j 起每 年支付给被保险人一定数额的年金，也可视为负的索赔额发生。同时，随着经济社会的发 展，出现了许多新的类型的经营公司，例如专门从事发明的公司以及投资公司，这些类型 的经营公司的运营模式通常是以单位时问常年金率c 投资一项发明，经过时间，从整个 发明中获利s ( ，) 。因为发明是随机的，由发明所带来的利润也是随机的，因此可以用一个 4 硕卜学位论史 随机过程来描述这种运营模式。那么在以上所述情形下，保险公司或者发明公司在f 时刻 的资金盈余r ( f ) 可描述为【l ： r ( ，) = 甜一c ，+ s o ) 这时具由上式所描述的保险业务同经典风险模型所反映的业务恰好是反方向运营的， 因此称之为“负风险模型”。 目前关于负风险模型的研究并不多见，文献【2 0 】考虑了含有两个相关类的负风险模 型，研究了模型的基本性质以及破产概率满足的表达式并做了数值比较；文献【2 2 】考虑了 含有正、负风险和的风险模型的破产概率满足的积分微分方程以及破产概率的表达式； 文献【2 1 】考虑了带干扰的负风险模型的破产概率等问题。但是以上文献所讨论的模型都是 在经典风险模型的基础上进行改进，形式上与经典风险模型没有区别，说描述的负风险的 意义也不直观。为了能够更加准确的描述负风险模型，反应模型的主要特征，本课题引入 了基本负风险模型，并在其基础上主要考虑了常利率因素的影响，研究了基本负风险模型 及其推广模型的基本性质和应用。 1 2 2 本课题的研究意义 破产概率已成为衡量保险公司偿付能力和其他公司经营能力的重要指标，是评估保险 机构金融风险极其重要的尺度。因此，破产问题是公司业务经营和风险管理面对的重要问 题，历来是经营者极其重视的。研究破产| 口j 题的风险理论，是防范和化解金融风险的重要 理论依据，是度量风险的理论基础，对公司的稳定经营有着重要的指导意义。 基本负风险模型的提出不仅为我们从另一个角度研究破产理论提供了新的思路，而且 找到了一种更贴切的描述那些区别于经典风险过程运营模式的模型，因此本课题的研究意 义主要体现在以下几个方面： ( 1 ) 目前关于正j x l 险模型的研究比较广泛，但是对于负j x l 险的研究并不全面、深入。 本课题针对基本负风险模型做了较为全面、系统的研究，对于保险公司以及经营性公司的 实际运营具有一定的指导意义； ( 2 ) 对基本负风险模型做了合理的推广，首先考虑了常利率因素对模型的影响，其次 考虑了同时含有正、负两个相关类的情形，使其更加贴近保险公司以及经营性公司的实际 情况，因此本课题具有一定的实际意义； ( 3 ) 本课题结合指数效用原理讨论了基本负风险模型中常年金率满足的表达式，利用 鞅的方法研究了基本负风险模型及其推广模型的破产时刻，并且对负风险模型的推广模型 负风险股j c 推广模犁的十牛质了戍用研究 进行了数值比较。 以上这些工作不仅对于保险公司具有一定的指导意义，同样可以推广到一些经营性公 司，因此本课题具有研究的应用价值。 1 3 本课题所做的工作及创新点 1 3 1 本课题的主要工作 g e r b e r 在文献 1 】中提出了“负索赔额 模型，但并未做展开讨论。本课题第2 章首 先针对基本负风险模型做了较为全面、深入的分析，利用矩母函数的定义及性质得出了基 本负风险模型的主要性质；结合全期望公式以及c h e b y s h e v 不等式证明了模型的最终破产 概率所满足的表达式，并且得到了2 个重要推论；利用鞅的定义、定理推导了模型的破产 时刻丁的条件期望的显式；在指数效用原理下得到了模型中常年金率c 满足的表达式，并 与一般情形下c 满足的表达式进行了比较。 在第3 章中，本课题针对基本负风险模型考虑了常利率因素的影响，将模型改进为带 常利率的负风险模型，讨论了改进后的模型的主要性质；利用鞅的方法证明了其破产概率 的上界，以及模型的破产时刻丁的条件期望的显式；通过2 个数值例分别计算了模型的调 节系数及破产概率的上界，并绘出了破产概率随利率的变化曲线图。 在第4 章中，本课题讨论了同时含有相关的正、负两个类的风险模型的主要性质；得 到模型的破产概率满足的最终表达式，以及破产时刻丁的条件期望的显式；将该模型与正、 负两类风险过程相互独立时的情形进行比较，并举例说明了相关性对模型破产概率的影 h i f ! i 。 1 3 2 本课题的创新点 本文引入的基本负风险模型描述了当初始本金为“时收到保费s ( ，) ，理赔发生后，以 常年金率c 向被保险人支付年金，经过时间f 保险公司的盈余。这一过程与经典风险模型 描述的风险过程正好相反，因此称之为“负风险”过程。文献【2 0 2 2 虽然也对负风险模型 做了研究，但是在模型的形式上和经典风险模型并无分别，不能确切的反映负风险的意义， 并且缺乏直观性。本课题严格按照负风险模型的定义，并在其基础上做了合理的推广，创 新点主要体现在： ( 1 ) 对基本负风险模型做了较为全面深入的研究，并结合指数效用原理推导了模型中 6 硕 j 学位论丈 的常年金率c 满足的表达式，得到了指数效用原理下常年金率c 满足的表达式与一般情形 下c 满足的表达式相同这一结论； ( 2 ) 在基本负风险模型的基础上考虑了常利率因素的影响，推导出在常利率因素的影 响下模型的破产概率的满足的最终表达式及破产概率的上界，并举例说明了利率因素对模 型破产概率的影响； ( 3 ) 在基本负风险模型的基础上考虑了同时含有正、负两类相关风险过程的模型的主 要性质，推导了模型的破产概率满足的最终表达式及其上界，并以一个数值例来说明这两 个类之间的相关性对模型破产概率的影响； ( 4 ) 本课题分别讨论了以上各类模型下的破产时刻丁，得到了不同模型下破产时刻丁 满足的l a p l a c e 变换及其条件期望的显式。 7 负风险及l c 推广模型的忭质与庸用研究 第2 章基本负风险模型的主要性质及应用 通过第1 章本课题的研究背景的分析可知，基本负风险模型中支出为订，收入实为 “理赔 s ( f ) ，则其盈余资本： r o ) = 甜一c r + s o ) ， ( 2 1 ) ( ，) 其中设s ( ，) = x ，为复合泊松过程，表示在f 时刻的总的保费收入；( ，) p ( a ) ； j = l 置，f 1 ) 为f f d v 序列，研置】- a ，研x ? 】_ p 2 。 此模型的实际背景在第1 章1 2 1 中已做了叙述，有关寿险年金、教育保险等均可用 此模型描述。文献 1 】首次提出了该模型，但并未做深入研究。本章研究了基本负风险模 型的主要性质、模型的破产概率满足的最终表达式及其上界等相关问题，作为应用考虑了 指数效应原理下模型中常年金率c 满足的表达式，以及破产时刻丁的条件期望的显式。 2 1 基本负风险模型的主要性质及其破产概率 2 1 1 基本负风险模型的数字特征 设x 为连续型随机变量，其矩母函数定义为m ( ，) = f p “卵( x ) ，并且有 m 硝( ，) = m x ( a ，_ ) ，x 的数学期望及方差分别为： 研x 】_ ( 1 n m x ( ，) ) l ，- o ， 玩， x 】= ( 1 n m x ( ，) ) ”ir - 0 吲。 针对基本负风险模型( 2 1 ) ，结合以上矩母函数的定义及性质得到模型( 2 1 ) 的以 下几个主要性质： 性质2 1基本负风险模型( 2 1 ) 中，盈余过程r ( f ) 的矩母函数、数学期望以及方 差分别为： m 尺( f ) ( ，) = e x p ，1 v + j ；l ，m ( ，) 一九，一，c f ) ， e 尺( ，) = z ，一c ，+ a 矽l ， 硕十学f 麓论文 证明： 。m 凡( ，) ( ，) = 研p 脯7 ) 】 哳【r ( f ) - 九矽2 = e e x p p ( 甜+ s o ) 一c f ) 】 = e x p p 一c f ) ) 研e x p 心( f ) ) 】 ( f ) = e x 附 一) 研e x p x ，) 】 ，= l ( ，) = e x p ， 一甜) ) 尸 ( f ) = 甩) e 【e x p 厂x 川( r ) = 刀】 坩= o，一l 一附( f ) ) 薹警e x p e 【e x 附( 即即城) ) 】 吣( m 嵩等e x p 似州脚眠) ) ” = e x p ，( “一c f ) ) e x p 允，( m x ( ，| ) 一1 ) ) = e x p ，甜+ a ，m ( ，) 一九，一彤，) 又研尺( f ) 】= ( 1 n m 即) ( ，) ) i 脚，砌r 【r ( ，) 】( 1 n m 肌) ( ，) ) l ，- 0 ，则： e r o ) = ( ，甜+ 兄m 彳x ( ，) 一a ，一阳，) i ，：o = 甜一c ，+ 九舻l ， 砌r 尺( f ) 】= ( ，“+ a f m x ( ，) 一九，一，_ c f ) ”l ，；o = a 舻2 性质2 2 模型( 2 1 ) 是一个平稳独立增量过程。 证明：令o f l o ，使得g ( r ) = 0 。 2 1 3 模型的破产概率及其l u n d b e r g 上界 无论保险公司还是专门从事发明的公司，所关心的基本问题之一就是对某个时问f ， 随机破产事件 尺( f ) 0 ) 的发生概率及其性质。为此 定义2 1 令r = i n f 叫r ( ，) ，】p r f ) ， ( 2 3 ) 又r o ) = “+ u ( ，) ，则： e 【口一脯】= e 瞳一“一彤】= e x p 一，“) e 瞳一彬】 = e x p p ( | ；l m x ( 一，) 一j ；l + c r ) 一，“) 将( 2 3 ) 式等号右端第l 项记为日。，可将尺( ，) 写为： r ( ，) = 尺( 丁) + r ( ，) 一r ( 丁) = r ( 丁) + u ( f ) 一u ( 丁) ， 对于给定的丁，r ( 丁) 与u ( ，) 一u ( 丁) 之间相互独立，并且有： h 1 = e p 一棚i 丁f 】p 丁f ) = e 【p 一7 凡7 + u 卜u i 丁， p 丁f ) = e e x p 一厂尺( 丁) ) e x p ( 名m ( 一，) 一九+ c ，) ( f 一丁) ) i 丁f 】尸 丁， 令，= r ，即调节系数，利用定理( 2 1 ) 可将( 2 3 ) 式化为： l o 硕十学f 节论文 p 靠= e e 一朋r i r f p r f ) + e e 一艘p f 尸 丁 f ) ， ( 2 4 ) 当f 专时，( 2 4 ) 式可化为： e 靠= e 【p 一艘n i 丁 ) ， ( 2 5 ) 将( 2 5 ) 式右端第2 项记为日2 ，若能证明日2j o ，则定理得证。 设口= 和l c ，臼2 = 和2 ，则有研r ( f ) 】_ “+ 甜，玩，【尺( f ) _ p 2 f ；令人= “+ 彩一晓3 ， 当f 充分大时，人 o 并且当fj 时，a 专o o 。 日2 = 研p 一艘r l r o o ，o r ( 丁) 人】尸 丁 o o ，o 尺( 丁) 人) + e p 一歙7 p o o ，尺( 丁) 人 p r o o ，r ( 丁) 人 p o r ( 丁) a ) + p 一足a ， 由c h e b y s h e v 不等式可知： p 0 r ( r ) 人) p i r ( 丁) 一e 尺( 丁) 】i 研；) 兰掣= f ， ( a3 ) 2 因此当f 专时，日，专0 。再由( 2 5 ) 式可知： 帅) = 南 定理得证。 推论2 1 负风险过程尺( f ) 的破产概率满足不等式： 沙( “) p r “， “o ( 2 6 ) 这是因为尺( 丁) o ，由( 2 2 ) 式知上述推论成立。 称( 2 6 ) 式为风险模型( 2 1 ) 的l u n d b e r g 上界，可以看出这个上界与模型( 2 1 ) 的调节系数以及初始本会有关。 推论2 2 当r o 。时有， y ) g 一砌 ( 2 7 ) 上式虽然夸大了风险模型( 2 1 ) 的破产概率的结果，但是这对于经营公司预警是有 意义的。 负风险及j c 推广模犁的忡质j 应用研究 2 2 基本负风险模型的破产时刻 2 2 1 鞅的定义及定理 鞅方法是破产理论中处理问题的主要方法之一，以下给出连续鞅的定义及定理【2 z 嗣。 定义2 2 对随机过程 x ( f ) ，f o ) 若有： ( 1 ) 研l x ( f ) | ，v f o ； ( 2 ) 对0 气 f l f 。 f 川，恒有： e 【x ( f 州) l x ( f 1 ) ，x ( f 2 ) ，x ( f 。) = x ( f 。) ， 则称随机过程 ( f ) ，f o ) 为一鞅。 定义2 3 若非负随机变量j r 7 与随机序列 x ( f ) ，f 0 ) ，满足如下条件：对任意的 f o ，口f ) e ，其中e = 仃( x ( j ) ，o j f ) ，表示包含一切形如 x ( j ) x ) 的事件的最小 盯一代数，则称丁是关于 x ( f ) ，f 0 ) 的停时。 引理2 1 ( 停时定理) 设( x ( f ) ，f o ) 是鞅，丁是关于 x ( f ) ，f 0 ) 的停时，若 p 丁 ) = 1 ，且e s u p i x m 】 ，则e x ( 丁) = e x ( o ) 】。 f o 引理2 2 设 x ( f ) ，f o ) 是一个非负鞅，则存在几乎处处收敛的有限极限，即有； l i m x ( f ) = x ( ) o 。 a s f o o 下面我们给出构造鞅的一种方法。 引理2 3 设 】，( f ) ，f 0 ) 是零初值且具有齐次独立增量的随机过程，记 x ( f ) = x ( o ) p 7 n ，x ( o ) 为一常数，若研e y 1 】= 1 ，则 x ( f ) ，f o ) 为一鞅。 证明： e j x ( f ) | = 研i x ( o ) p m i 】，因为研x ( o ) 为一常数，则上式可写为： 研i x ( f ) | = i x ( o ) 陋 i 口h 1 = i x ( o ) i 研p h d 】) = i x ( o ) i ， 再对o j f ，恒有 研x ( f ) f x ( ，) ，s = 目x ( s 弦w 。5 i x ( ，) ，r j 】 = x ( s ) 研e 7 。一y 5 】= x ( j ) 研e 7 h 】= x ( j ) 2 2 2 模型的破产时刻 为了得到j x l 险模型( 2 1 ) 的破产时刻的条件期望的显式，我们仿照引理2 3 构造一个 1 2 硕- 学位论文 鞅q ( f ) 。 定理2 4 随机过程q ( f ) = ( m 呻) ( 一，) ) 。e x p 一欣( f ) ) ) 是一个鞅。 证明：。 u ( f ) = s ( f ) 一c f = x 。一c f ，那么有： m c ，( ，) ( 一，) = e e x p 一，( s o ) 一c f ) = e x p 五f ( m x ( 一，) 一1 ) + 陀f ) ，贝0 有： q ( f ) = ( m ，( ，) ( 一r ) ) 叫e x p 一旭( f ) ) ) = e x p 一f ( 力( m x ( 一，) 一1 ) + 阳) e x p _ 旭( f ) ) ， 将尺( f ) = “+ s ( f ) 一甜代入上式可得： q ( f ) = e x p 一棚x ( 一r ) + 五f 一删一心( f ) ) = q ( o ) e x p 一所( m x ( 一，) 一1 ) 一心( f ) ) 根据引理2 3 ，设】，( f ) = 一觑( m x ( 一，) 一1 ) 一心( f ) ) ，则： e e x p 】，( 1 ) ) = e e x p 卜名( ( a f x ( 一，) 一1 ) 一，召( 1 ) ) 】 = e x p 一允( m x ( 一r ) 一1 ) ) e e x p 一心( 1 ) ) = e x p 一兄( m x ( 一r ) 一1 ) ) m s ( 1 ) ( 一厂) = e x p 一名( m x ( 一r ) 一1 ) + 五( m x ( 一，) 一1 ) ) = 1 即证得随机过程q ( f ) = ( m 帅) ( 一，) ) 叫e x p 一旭( f ) ) ) 是一个鞅。 我们接下来推导风险模型( 2 1 ) 的破产时刻丁的条件期望的显式。 定理2 5 对风险模型( 2 1 ) ，若其破产时刻为丁，那么丁满足： 印l 丁 o 。 2 云茜丽 证明： r 为破产时刻，那么有尺( 丁) = o ，由引理2 1 可知随机过程q ( f ) 满足 e q ( 丁) = e q ( 0 ) = e x p _ 删) ，即： e 【e x p _ r ( 允( m x ( 一厂) 一1 ) + 比) = e x p 一，“) ， 再用 ) = p 一砌同除以上式两端可得： e e x p _ r ( 见( m x ( 一，) 一1 ) + 陀) ) l 丁 = e x p 一( r 一尺) “) ( 2 8 ) 上式隐含的确定了破产时刻r 的l 印1 a c e 变换。 再对( 2 8 ) 式两端关于，同时求一阶导并令r = 尺得： ( 脚x ( 一尺) 一c ) e 丁i 丁 o ) ， ( 2 9 ) 式的一个显式解为： 口 p ：三l n ( e p m 】) ， ( 2 1 0 ) ( 2 1 0 ) 式称作指数原理【。 2 3 2 指数效用原理的在负风险模型中的应用 定理2 6 若指数效用函数1 ，( x ) = ( 1 一p 一) 止( 以 o ) ，则负风险模型( 2 1 ) 中总收入 s ( f ) 产生的负索赔总额尸( f ) 满足零效用原理的显式解为： 尸( f ) ：一! l n ( e p m ( ， ) ：一坐( m ( 一口) 一1 ) ( 2 1 1 ) 口口 证明：将v ( x ) = ( 1 一p 一) 几代入零效用原理方程，( “) = 研v ( “+ s ( f ) 一尸( f ) ) 】，得 生：研 口 l 一口一4 ( “+ 一p ( ) ) 】：e 【土一三p n “p n 即) 口a p ( 。】， 订口 1 4 硕十学化论文 已一口p ( f ) ：e p 一舔( r ，即尸( f ) ：一土l n ( e 【p 一心( r 】) ， 口 又因为s ( f ) ：笺x ，所以得尸( f ) ：一生( m x ( 一口) 一1 ) 。 又因为s ( f ) 2 善置，所以得尸( f ) = 一詈( m x ( 一口) _ 1 ) 。 推论2 3 采用指数效用函数，在零效用原理下，负风险模型( 2 1 ) 确定的单位时间 的支出 c = 一兰( m x ( 一口) 一1 ) ( 2 1 2 ) 证明：事实上，根据( 2 1 0 ) 式，负j x l 险模型( 2 1 ) 中单位时间的支出为： c ：掣：一生( m x ( 一口) 一1 ) z口 将此结果与定理2 2 的g ( 尺) = o 比较可以发现口= r ，这一结果给出了确定调节系数 的一个方法。同时，推论2 3 表明负风险模型( 2 1 ) 中采用指数效用函数和零效用原理所 得到的单位时问的支出与一般情形下得到的单位时间的支出是相同的。 2 4 本章小结 本章首先引入了基本负风险模型( 2 1 ) ，利用矩母函数的定义及相关性质得到了模 型( 2 1 ) 的主要性质，结合全期望公式以及c h e b y s h e v 不等式证明了模型( 2 1 ) 的最终 破产概率所满足的表达式并且得到了2 个重要推论，这两个推论对于保险公司或者专门从 事发明的公司是非常有帮助的。随后利用鞅的定义、定理推导了模型( 2 1 ) 的破产时刻丁 的条件期望的显式，作为应用在指数效用原理下讨论了模型( 2 1 ) 的的常年金率c 所满 足的表达式与一般情形下c 所满足的表达式相同等一系列的结论。 负风险及1 e 推广模犁的忡质j 麻用研究 第3 章带常利率的负风险模型的性质及破产概率 在基本负风险模型的基础上考虑了常利率因素的影响，使模型更接近现实情况，从而 更加准确反应模型的性质，为