（概率论与数理统计专业论文）半参数回归模型的相合性.pdf

致谢 挚j s s 2 ：l r 本文是在林正炎教授、张立新教授、苏中根副教授的 悉心指导下完成的，在此谨向三位导师致以衷心的感谢! 同时感谢已退休的陆传荣教授给予的关怀和帮助! 在数年 的求学过程中也得到了王秀云副教授、张奕副教授等的 关心和指导，在此向各位老师致以诚挚的谢意! 同时也向 关心、支持和帮助过我的同学们和朋友们致以深深的感 谢! 正是您们的指导、关心和帮助使我度过了这段受益匪 浅的时光! 最后，还得感谢我的妻子，感谢她对我求学的全力 支持! 摘要 本文主要分为二部分，分别讨论了半参数回归模型，随机删失半参数回 归模型的大样本的性质。 第一部分主要讨论了固定设计下半参数回归模型玑= x i z + g ( t ，) + 岛，i l ，2 ，n 综合最小二乘法和最近邻估计方法，定义了卢，g 的估计量风，如 并在适当的条件下，证明了误差序列为l 。混和鞅情形下的相合性 第二部分主要讨论了随机删失半参数回归模型孵= q 卢e g ( t d + e i ，i = 1 ，2 ，其中e e ；= 0 ，e 是独立但不同分布的，综合最小二乘法和一般的 非参数权估计的方法，定义了卢，g 的估计量魔，菇，并在适当的条件下 证明了它们的相合性 3 a b s r t a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft w o p a r t s w ed i s c u s ss e m i p a r a m e t r i e r e g r e s s i o nm o d e la n ds e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e lu n d e rr a n d o mc e n s o r s h i p r e s p e c t i v e l y t h em a i np u r p o s eo ft h ep a p e ri st os t u d yt h e i rl a r g es a m p l e p r o p e r t i e s i np a r to n e lw ec o n s i d e rs e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e lu n d e rf i x e d d e s i g ny = z 。+ g ( ) + 晶，i = 1 ，2 ，一，n ，w h e r ee ：sf o r m a n 三口一m i x i n g a l e w ed e f i n et h ee s t i m a t e s ，酞f o r8 ，g + a n de s t i b a l i s ht h e i r c o n s i s t e n c yu n d e r s u i t a b l ec o n d i t i o n su s i n gt h el e a s ts q u a r e sa n dt h en e a r e s tn e i g h b o re s t i m a t o rm e t h o d i np a r tt w o ，w ed e a lw i t hs e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e lu n d e rr a n d o r ac e n s o r s h i p 孵；z 。卢+ g ( t i ) + e i ，i = 1 ，2 ，n ，w h e r ee l sa r ei n d e p e n d e n t ，a n de e l = 0 w ed e f i n et h ee s t i m a t e s 雠，鲩f o r 声，g ，a n de s t i b a t i s h t h e i rc o n s i s t e n c yu n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n s u s i n gt h el e a s ts q u a r e sa n du s u a l n o n p a r a m e t r i cw e i g h t e dm e t h o d 4 第一章导言 回顾回归分析研究的历史，大致在2 0 世纪7 0 年代以前，重点在于参数回 归模型，尤其是线性回归模型。2 0 世纪7 0 年代以来，非参数回归模型的研究 日渐兴起，吸引了一批学者的注意，其中以我国学者的成就尤为突出半参数 回归模型( s e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l ) 玑= 奶卢+ g ( t 。) + 岛，i = l ，2 ，2 是2 0 世纪8 0 年代才发展起来的一种重要的统计模型，它介于参数回归模型 和非参数回归模型之间，该模型既含有参数分量又含有非参数分量，用它描 述实际问题时，更能接近于真实，更能充分利用数据所提供的信息。在理论 上，处理半参数回归模型的方法融合了参数回归中的方法和非参数的方法， 但也并非这两类方法的简单的叠加。总的看来，可以认为其复杂性和难度， 都超过了单一性质的回归模型。因此可以说，半参数回归模型是一个在实用 上有重大意义，而且在理论上富有挑战性的领域 目前，文献中出现了若干研究半参数回归模型中参数分量卢和非参数分 量g 的估计问题的文章至今文献中已积累了多种估计的方法。c h e n ( 文 1 8 ” 利用一种逐点多项式逼近的方法研究了卢估计量的收敛速度；s p e c k m a n ( 文 1 9 】) 利用核和最小二乘法得到了卢估计量的最优收敛速度；e u b a n k ( 文【2 0 ) 采用了三角级数法；洪圣岩( 文 1 3 】) 采用了最近邻回归法；高集体、赵林城 ( 文 14 】) 采用了最小二乘和加权的方法。 以上主要讨论的误差序列为独立不同分布或独立同分布的情形，对于 误差序列为非独立情形考虑甚少。胡舒合( 文 5 】) 考虑了误差序列为混和 情形下，卢和g 估计量的相合性；杨善朝( 文【1 ) 研究了非参数回归模型 玑= 9 ( 翰) + 岛，i = t ，2 ，n ，其中x i 是固定的设计点列，g ( 。) 是未知的回归 函数且有界，误差序列 e 。，。c 。 分别为鞅差序列和即混合鞅误差序列情形 下，卢和g 估计量的相合性文 1 】对于回归函数g ( x ) 采用了权函数估计， 其估计为鼽( z ) = w n i ( x ) y i ，并使用了如下的基本条件： l = l n ( 。) 。( z ) l ，当n + o c ； i = 1 5 ( 6 ) i ”。；( z ) i c ，v n 三1 ；其中c 为常数； 蓑1 ( c ) 。；忙) i t 。一。i 。) ，当n o o ；v a 0 z = l 得到了如下的结果： 定理a ：设矗，矗，；i n ) 为鞅差序列，s u p e ；r 1 ，存在1 ss z n m 。n 2 ，g 使1 w 。( z ) i 。_ 0 ( n - 。) ，其中w n t ( z ) 为权函数，又设基本条件 t = l ( n ) ，) ，( c ) 成立，则当n _ o 。时， f b 。( o ) 一g ( ) f 2 - + 0 定理b ：设豫，7 ；isn 为l q 混合鞅，s u p e k i l 。 1 存在 t n l s r a i n 2 ，q ) 使f w 。( z ) 1 5 + 0 ( n + 。) ，其中。( z ) 为权函数， ；= i e 矗= 0 ，is u p g “ o ，其中鞣。蚤簧，最2 托一薹j ( t i ) x j ， 【3 ) k _ o 。，害墙- 0 当n _ + 时其中o 旺 一土4 q ( 4 ) 1 m 0 ，使得 v l ，2 o ，1 ，有i g ( h ) 一9 ( 2 ) i c l h t 2 1 ( a 2 ) ：基萎立二s c l 。 ( a 3 ) ：n _ + 。o ，鲁_ 0 ，当n 。时 ( 血) ：i ”。；( t ) 而i 墨a ，对于 0 ，1 成立( 这里的d 表示可与t 有关的常 t = l 数) 得到了如下的结果： 定理1 设豫，矗：；i n 为口混合鞅，s u p e l e i l 9 l ，w n 。( t ) 为近邻 权函数。e 旬：0 ，1s u p g “( 。o 又设基本条件( a 1 ) ，( a 2 ) ，( a 3 ) ，( a 4 ) 成立，则 2 当n _ + o 。时，e l 如( t ) 一g ( t ) 1 4o 0 7 本文另一部分研究随机删失半参数回归模型的估计量的相合性考虑 半参数回归模型y 。= 蜀序+ g ( 如) + e i ，其中r ，t ：r ，i = l ，2 ，n 是已 知的固定设计的点列，9 ( t ) 在闭区间f 上连续，卢是一维的未知参数，9 ( t ) 是未知回归函数，k ( i = l ，2 ，n ) 是i i d ，e e 。= 0 ，的随机误差序列 由于实际问题中，诸如生存分析，可靠性寿命试验，医药追踪试验中产生了 大量的不完全数据，其中有耜当一部分为删失数据，如 y i ，l ；s ，； 常常 因随机右删失而不能被完全观察，仅能观察到f ( 以) ，l 墨z n ，其中 z i = m i n y i ，缸 ，氓= f 叭s 如 ，i = l ，2 ，一，n 利用z h e n g 的k 类方法( 文 1 0 】) ，定义综合数据酊， y i + = 以咖1 ( 盈) + ( 1 一蠡) 咖2 ( 蕊) i = 1 ，2 ，一，n 其中毋- 和曲2 是连续函数，使得 ( i ) ( 1 一g ( 口) ) 曲1 ( ) + 厝曲2 ( t ) d g ( t ) = y ( i i ) 机和如与曩独立( 但可能依赖于g ) 由于e y ；= e y i ，因此可以认为 酊；1 i n ) 遵从如下模型( 文( 9 1 ) 菇= 玩卢+ 9 ( 如) + 岛，2 = 1 ，2 ，一，扎 其中岛是独立但不再同分布 该部分综合最小二乘法和一般的非参数权函数估计方法定义卢，g 的估计量 成，踮 一些基本假设条件： 0 ， i ”n ，( t ) i = o ( 1 ) 关于t 1 一致成立 d ：j 幻一t i d ) ( i i i ) 对t j 一致地有1 9 擎i w 。j ( t ) i m 一 ( 1 0 9 n ) “ t 1 t n ( 凰) ：i ”。，( t ) 唧ls a ，对t ，成立( 这里o t 表示可与t 有关的常数) 8 利用b e r n s t e i n 不等式( 文f n j ) 证明了： 引理若日h 凰满足，且e e 。= 0 ，e e ；+ 6 0 ，i = 1 ，2 ，n 臻蚓如一5 1 ( 1 0 9 n ) ，圣n 2 。( 去) 则厶竺i o 。j 勺i _ + 0 j = l 多次运用该引理得到如下的结果： 定理2 若h i , 匝满足，且e e z = o ，e e ；州 o 1 i n 。o , x 。掣 c ( 1 0 9 n ) ， 则兹譬卢( 斗。0 ) 若再满足日3 ，则酩( ) 骘g ( ) m - 。) v t ， 注：文【9 9 也讨论了卢，g 估计量的相合性，但定理2 讨论了比文 9 】更广泛的一 类综合数据孵，文 9 j 讨论的实际上只是币( z ) = f 毫两，也( z ) = 0 的特殊情 形此外，定理的证明简化了文 1 2 的某些证明，比如在证明l e ：i 2 ) s 奇 2 “ 。l o 。# l 。2 所以，p ( f e ? i 0 ，i 。) = 0 ，故 e ? f o o o 一成立 9 第二章半参数回归模型的相合性一l 。混合鞅误差序列情形 一引言及主要结果 半参数回归模型( s e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l ) 是2 0 世纪8 0 年代 才发展起来的一种重要的统计模型，该模型既含有参数分量又含有非参数分 量用它描述实际问题时，更接近真实，更能充分利用数据所提供的信息 文 1 研究了非参数回归模型y 。= g ( x i ) + c i ，。= 1 ，2 ，n 误差序列 f c i , i n 分别为鞅差序列和混合鞅情形下的相合性文 2 j 研究了半参数 回归模型玑= 托卢+ g ( x ，) + 毛，i = 1 ，2 ，n ，误差序列豫，i n ) - 0 ， t = l 证明( i ) 由k 近邻估计的定义，显然成立 ( i i ) 对固定的n ，必存在，当n n 时，有i k l l n 时， 。( ) 川t 一 b ) = k 1 o + 0 - l = 0 证毕 # l；日t 酣 弓l 理2 2 ( 4 ) ( m a r c i n k i e w i c z z y g m u n d b u r k h o l d e r ) 设f 置，l i n 为鞅差序列，则对v r 1 ，存在正的常数c rs g ，使得 c r e ( x ? ) i e i s 。i ge ( 霹) i = li = 1 引理2 3 ( ( 1j ) 设 s ，五；i21 为鞅序列，则对v r 2 有 n e i s 1 7so r ( e i x | l i ) 邵 t = l 证明：由m i n k o w s k i 不等式，对v r 2 ，有 旧( i n 霹晌；壹( e l 霹l i ) ：壹( e i 恐1 r ) ； i = li = l f = 1 结合引理2 2 ，得到 nn e l & i ge ( 霹) ；o r ( e i x d ) ￥ t = lt = l 引理2 4 设 五，l i 墨n 为鞅差序列，1 ) l i = i n + i w 。( t ) ( g ( t ) 一g ( 如) ) ，( 陋一t i l o ) i t = t n 0 + g 叫。( t ) j ( 1 t t , i o ) + 5 ( g ，) i = 1 0 ，当n 充分大，且。充分小时( 2 2 2 ) 其中d ( g ，a ) = s u pi g ( x ) 一g ( y ) z - y f _ a 下证ej g 。( t ) 一e 鲰( ) r _ 0 注意到 g n ( t ) 一e g n ( t ) = w 。( t ) ( 叭一观卢) 一w 。z ( t ) g ( t i ) l = 1t = 1 n = n t ( t ) ( 叭一z ；p g ( t 。) ) ? = l n = 。( t ) 矗 i = 1 n = w 。( t ) b e ( 日i 矗，”m ) j s = l n + ：( t ) 四( 岛j 咒，h m ) 一e ( 矗j 只，i + m 一1 ) j z = 1 上 n + w n ：( ) ( e ( 矗f 矗，。一m + l f ( 毛f 磊，一吖) ；= 1 n + n i ( t ) e ( s d j z = ，；一m ) 1 4 n = 埘砸( t ) 矗一e ( 矗l 矗，i + m ) z = 1 + n i ( t ) e ( e i l & ，一m ) t = l n = w 。( ) 岛一e ( e d j c ，h m ) 1 l = l mn + w 嘶( t ) e t m t t l = - - a f - t - 1i = 1 n 十n i ( t ) e ( e i l 7 ：n ，t - m ) ( 2 2 3 ) 其中e l 。= e ( e 。l 矗i + m ) 一e ( 毛| 矗，。+ m 1 ) ，i = l ，2 ，一，m = 0 ，1 ，一 则对于每一个m 和n ， f ( e 。i 凡，t + 。一1 ) = e ( e ( e i l j z i + 。) 一e ( 岛i 五+ m 1 ) ) 1 五十m 1 = e e ( e i l 2 ：。件。) i 矗，i + m 1 一e e ( e i l j r n ，i + m 一1 ) i r ，i - m l = e ( e d 凡i + m - 1 ) 一e ( 矗i 矗，i + m 一1 ) =n 因此 溉矗，；+ 。；i n 是鞅差序列， 此外s u p e l e 。r 0 ，当n n 时，有 e l ( ) 9 n e l g n ( t ) 一e g 。( t ) 1 9 墨3 q - 1 e l w n t ( t ) ( 岛一e ( e d i , , ，h m ) ) 。 + 3 q 一1 e 1 。( t ) ；m 1 4 + 3 q 一1 e l 。；0 ) e ( 岛i 矗，。一m ) 1 4 3 9 一1 f t ( ) ( 毛一e ( e d t ，h m ) ) 9 + 3 q 一1 ( e l w 。：( t ) s ；m i 。) ； 4 + 3 q - 1 匹。( t ) 旧( 氏i 矗，m ) i i 口 。 3 q - 1 ( w 。；( t ) 。) 4 妒轨l + 等鲤1 q + m = - m + 。赢彝r+ l 【z j d 4 + 3 q 一1 ( 。；( t ) ( k i ) 9 妒 3 9 一1 ( s u p c k 妒 f ) 9 + 昙 其中第一个不等式应用g 不等式，第二个不等式应用m i n k o w s k i 不等式第 三个不等式应用( 2 1 ，6 ) ，( 2 1 7 ) 故得到 e i g 。( t ) 一e g 。( t ) 1 4 _ 0 ( 2 2 4 ) 下证e i 抓( t ) 一g 。( t ) l q 0 ( 2 2 5 ) 1 6 首先计算如( t ) 一抓( ) ，事实上 风一卢= 磊一聂卢 = ( 瓠 n = f 故一) 一t t 锄( t ；) ( 珊一p 巧) j = 1 = g ( t i ) + 矗一g 。( 缸) = 爵2 磊( 承一蕺卢) l = l n = 石2 毛囟( 也) + 矗一弧( t 。) ；= l nn = 石2 五0 俺) 一鲰( 如j ) 十爵2 五矗 l = lt = l nnn = 磊2 磊扫( 如) 一如( 屯) 】+ 夏2 藏f 魄( t ) 一鲰( 如) j + 写2 五岛 “o ) 一鲰( t ) = 。i ( t ) ( y i 一如赢) 一t ( ) ( 弘一墨卢) e = 1i = 1 n = 。( k ( 卢一晶) z = i nn = 埘( 幻巧陈2 五( 9 ( ：) 一e g n ( t i ) ) 1 7 nn e 鲰( 堋+ a i ( e g 。( “卜卧( “) ) 十o ，4 i = l = l 巧 0 。闽 一茁 声 一 驸w 埘 。岸 一 虮 1 | z ” 甜 。一 声 一 蜥 靠 幽 。匹皿 z 犀 p茸 。州 2 一 玑 一z 。赳 2 一z 。爿 2 + 卧 一t 鲰 曰 研 。 2 写巧”唧 眦 。亘 + g 吐 。矧 町 e ， 。闰 | i 靠( t ) 一9 n ( t ) is n ( l n ； 1 9 ( “) 一e g 。( t ；) i ) + a ( l a i l l e g ( t i ) 加( 钏+ o l a i 岛l = 。f 蚓z ) 一e 鲰( 如) + 蚓f 最( 赴) 一鲰f + 。f 吣： 。( 薹i 嚣啪( 啪- e g n ( 啪i + 蚤i 燃蚓卜础圳 + 0 1 a i e i l q n 萎拟岛) 一e g n ( t t ) i + 圣i i ( 屯) 一鲰( 训 1nt + n l 啦毛l 吲郇) 一g n c t ) 1 9 ( g 1 a ) 9 3 q - i e ( 扣( 如) - ( 钏9 = l n 1n + ( g l d ) 9 3 q - - i e ：l e 如( 如) 一g 。( 如) l 】。+ 0 4 3 q - i i e 啦e 。1 4 0 = 12 = 1 n1 ( e t a ) 4 3 ：( e i g ( t 。) 一e g ( t z ) 1 4 ) 印 i = 1 n1n + ( 口n ) 9 3 q - i 砭二( e t e g n ( t ；) 一g 。( 如) 1 4 ) i l r + 。4 3 4 1 i e a i e i l q i = 1 i = 1 垒( c l o z ) q 3 q - 1 ( 。+ 1 2 。) + 口q 3 q 一1 b n( 2 2 6 ) 由( 2 2 2 ) 知： 。_ 0( 2 2 7 ) 由( 2 2 4 ) 知；如。0( 2 2 8 ) 下证= 引叫；r 0 i = 1 r , 首先证明q 1 ，e i a i e i m l 2 _ 0 - + 。o ) 1 = l 证明方法类似于引理2 5 的证明方法事实上， 当l q 2 时，由引理2 , 4 知： 1 8 e l 啦。1 。sc l 啦i 。e | e t m i 。 # 1# 1 c i ：l ( m a x l i 1 ，e 1 t 1 c i m r _ 0 当n - o o 时 ( 2 - 2 t 9 ) = 1 由于lo ( m _ o o ) ， 对于固定e ，存在充分大m 0 ，使得 郴意 ( 3 c 1s u p c n i c m ) 4 ； 由于当n 斗。时，e 1 a i z i 。1 9 0 故对于这个固定m ，存在n 0 ，当n n 时，有 e l ( t ) e l m l 4 2 ( 2 m ) + _ q 3 q 一- l = l 1 9 n 茎吲b e ( 氏i 矗，l _ m ) t = l + i o 。| | e ( 岛i 矗，t m ) i z = 1 茎鲁i 矗一e ( 岛l 矗卅m ) mn + i o 而m i m = - m + 1l = l + 等l e ( 岛1 只一m ) i 如。= e l 啦矗1 4 茎3 q - t ( 詈) 。e 【i 鼠一e ( 矗l 矗，i + m ) i 】9 仁= li = l + 3 q - 1 ( 导) 4 e l e ( 旬矗，：一m ) 目4 一 l = l mn + 3 q - i ( 蚓眯t m 9 n i = 一m + i i = l 3 ( 鲁) 4 【恢一e ( 矗l 矗”m ) ” + 3 q - 1 ( 导) 4 ( i i e c e d y n ，i m ) i i q ) 4 m n + 3 ( e i o t 4 m = - m + l t = l 3 q - i ( 导) 。( g ，蛳+ l ) 9 + 3 q - 1 c 。 1 9 ( g ；妒m ) 4 + 3 q - 1 跚甄葫) i 4 3 州( 鲁ns u p g ；币m + - ) q + 3 q - t ( 导ns p g ：妒m ) 4 + ； 0 。 m eo 。商 十吖埘临 + s 3 q - t ( c ，8 u p g 。咖州) 4 + 3 ( gs ：9 g ；砂m ) 9 + i s ( 3 e l 8 u p c n t 币m ) 9 + i i + ； 由( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) ，( 2 2 1 0 ) 知 e l 如( t ) 一鲰( t ) r - 0 由( 2 2 i ) ，( 2 2 2 ) ，( 2 2 4 ) ，( 2 2 1 1 ) 知： e t 一9 ( t ) l o 0 ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) 证毕 第三章随机删失半参数回归模型估计的相合性 一引言和主要结果 考虑半参数回归模型 y i = o i 卢+ g ( t ) + 矗 其中z i r ，t ，r ，i = 1 ，2 ，n 是已知的固定设计的点列，g ( t ) 在闭区间 ，上连续，卢是一维的未知参数，9 ( t ) 是未知回归函数，忙t ) ( i = l ，2 ，n ) 是i i d ，e e 。= 0 ，e e i = 口2 。的随机误差序列 由于实际问题中，诸如生存分析，可靠性寿命试验，医药追踪试验中产 生了大量的不完全数据，其中有相当一部分为删失数据，如蚀，l 兰i 兰n 常常因随机右删失而不能被完全观察，仅能观察到 ( 磊，反) ，ls 。n ，其中 z i = m i n y i ，赴) ，瓯= f 犰s 屯) ，i = 1 ，2 ，一，n 表示删失的随机变量列1si n i i d ，具有连续的已知分布函数g ，且 与玑，1 z n 独立，玑，的分布函数为e 本文受文f 8 7 8 的启发，综合最小二乘法和一般的非参数权函数估计方法 定义了p ，g 的估计量雠，鲒，并在适当条件下，证明了它们的相合性 假设驮o ，如三0 ，l i n 在生存分析中，若玑表示寿命数据，则 y i 0 ，故这种假设有实际意义 利用z h e n g 的k 类方法( 文( 1o ) ，定义综合数据孵， 醛= 蠢币t ( 旎) + 【1 一最) 如( 名)。= l ，2 ，一，n 其中毋和赴是连续函数，使得 ( i ) ( 1 一g ( g ) ) 机( y ) + 舒西2 ( t ) d a ( t ) = y ( i i ) 加和咖2 与f 独立( 但可能依赖于g ) 满足上述条件的( 咖- ，如) 集合称为蜀类例如可取，( 。) 赴( z ) 西l ( 。) 2 禹，q 5 2 ( ) = o ； l ( z ) 2t ：2 i 可一臂卢d g ( 肛) ，如( z ) = 。( 1 一g ( 。) ) 一后卢d g ( 卢) 咖( z ) = 后裔，如( z ) = 后裔； 毋1 ( z ) = 詹f ：考裔一g 扛) ；? 5 2 扛) = 后c 鲁裔一2 g ( x ) + l ： 由此构作的酊可以这样解释：当y z 被删失时，我们对删失部分进行补充； 而当y i 未被删失时，也可适当地对其进行修饰，以保证重新构作的综合数据 订与饥具有相同的期望 = 厶，州州g 蚓卅厶，矧伽g 蚓，) r r f 哺 = 咖l ( ) ( g ( t ) ) d f i ( ) + ( 赴( t ) d g ( t ) ) d f i ( g ) j 0 7 y 3 0j 0 = 肿_ g ( 训删蚓卅o 。( 上”邮) r i g ( 圳碾 ，o删 = 1 一a ( y ) 1 0 1 _ ( u ) + 如( t ) d g ( t ) ) d f i ( y ) j 0j o 1 o o = ”d 最( ) j 0 = e t h 正是由于e 蝣= e y , ，因此我们可以认为 蝣；1 i n 遵从如下模型( 文 【9 ) 群= 。i 卢+ 9 ( t i ) + e ，i = 1 ，2 ，一，礼( 3 1 1 ) 其中e i 是独立的，e e 。= 0 ，i = 1 ，2 ，n 综合最小二乘法和一般的非参数权函数估计方法定义卢，g 的估计量 熊，g 二 采用二步估计，首先将卢看作已知，基于( x i ，t i ，孵) 定义非参数分量9 ( ) 的估计为 g n ( t ) 竺w 。( ) ( 讲一z 。卢) ( 3 1 2 ) t = l 其中。( t ) 为一般的权函数 然后基于孵= 甄卢+ 9 ( 纠+ e 。i = l ，2 ，n 定义参数分量卢的估计成为 下式的解： 由最小二乘法，可解得 n ( 酊一轨卢一鲰( 也) ) 2 = r a i n i = 1 联= 警( 3 1 3 ) ；= l t l 其中玩= x i 一w 。j ( 。) q ，嚣= 蝣一u 。( 如) 蚵，磅= i ； j = tj = 1 # l 由( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 可得到9 ( ) 的最终估计为： n 菇( t ) = ( t ) ( 蝣一t 成) ( 3 1 4 ) t = l 本文的一些基本假设条件： ( 皿) 注1 0 ， ”研( t ) i - o ( u 关于t 卜一致成立 d ：1 0 一p n ( i i i ) 对t ，一致地有l ( m 。a x 。1 w 可( t ) ls m 一5 1 ( 1 0 9n ) 一1 ( 日3 ) ：i ”n j ( t ) 勺i a ，对t j 成立( 这里。表示可与t 有关的常数) j = l i ：j 定理2 若风，矾满足，且e 龟= o ，e e ；舢 0 1 m 渤a x 警 c ( 1 0 9n ) ， 则犀号卢唧斗o 。) 若再满足日3 ，则菇( t ) 骘g ( t ) ( n - 。o ) v t ， 注2 ：文 9 也讨论了卢，g 估计量的相合性，但定理2 讨论了比文 9 】更广泛 的一类综合数据酊，文【9 】讨论的实际上只是曲t ( z ) = 南，赴( 。) = 0 的特 2 4 殊情形此外，定理的证明简化了文 1 2 的某些证明，比如在证明ki e 2 i ) s 等 0 有 p ( f 妻胁2 e x p 一 8 1 2 v a r ( t l i ) + m 叫 ；= 1 引理3 2 ：若h 1 ，易满足，且。e 岛= 0 ，e 毋+ 6 0 ，i = i ，2 ， 嚣1 。w i 如毛( 1 0 9 圹1 ，圣2 = 。( 去) 则厶竺j n 。j 勺 - 0 ，= l 证明：采用截尾的方法 对v e 0 ，记e ：垒e ，( 1 e ；is5 2 。i 1 ) ，e ：垒岛一e ：= e ；x ( 1 e i 2 ；1 1 ) ， e 。j 垒o 。j ( e ：一e e j ) ，j = l ，2 ，n = n 。，勺 = i ( + e ? ) l j = l i o 。弓l + i a n j e j ” j = tj = l n ( e 。， j = l o 。硝) + j n 。， 只需证明 f 。f _ 0 ，f 尼。 _ 0 ，f 3 。f _ + 0 勺 e ， 。闰 + ”j 声 。硝 + ， e 。同 一 苜先证明 i 。i 一0 由于e q 相互独立，且当n 充分大时， 1 m 9 a ! x 。i e 墨2 e 2 ml m ! j a s x 。 。n ，i 2 2 n m ( 1 0 9 n ) 一1 c z 2 ( 1 。g n ) e 南喃e ( 弓一眈；) 2 南e ( 弓) 2 ， i 1j = 1 j 。1 至。毛 o ( 赤) ， 由于e e 。，= 0 ， 所以，v a r ( e j ) = e 磊 n j 一 j 2 l s 蚤2 。e j 2 0 ，当n 充分大时有 p i e n ，l2 芦) ，：l 茎 取0 、差，则 剐e 唧j p ) 2 n j = l 由b o r e l c a n t e u i 引理知 故j n = j e - - + o j = 1 o o t i t a n ： 。z 。 ) s 量罢掣 2 z ) s 兰譬 。 。2 1 l 。l口1 2 所以，p ( 1 e i l o ，i 0 ) = 0 ，故( 3 2 3 ) 成立 如。i 。唧l5 。m 、，a 。x 。t 酬i e ；1 ) so ( n j 一1，= l b n i = l j ：1 a n j e e ；l s ( 。m ：j a ：x 。i n 1 ) j = l e i 勺i j ( 1 勺l 三e 2 j ) 茎m 一 ( i 。g n ) 一e 一2 ( + 5 j 一“5 e ( e j ) 2 + 6 r ( 1 e j l e 2 j - 5 ：) j = l s c n 一 ( i o g n ) 一2 j 一半 j = i 一 ( 1 0 9 n ) - - 1 7 c ( 1 0 9 n ) 一1 ( 3 2 5 ) 由( 3 2 i ) ，( 3 2 ，2 ) ，( 3 2 4 ) ，( 3 2 5 ) 知：厶譬o - o 。) 定理证明： 首先计算成厣，事实上： 露魂p = 鳝一t ( 以) 蝣一卢( 一u 。，( 如) 。，) j = i j = i nn = ( 蝣一卢z 。) 一( w 嘶( ) 蝣一卢w 。j ( t d z j ) ，= l，= l n = ( g ；一卢筑) 一”。j ( 如) ( 酊一卢z j ) j = l = g t 。) 十e 。一9 n ( 屯) 藤一p = 爵2 毛露磊2 茸卢 i = 1l = l n = 磊2 磊( 嚣一磊声) t = l n = 霹2 面d g ( t d + e i 一鲰( 如) ) 垒b 1 。+ b 2 n( 3 2 6 ) b茁 。州 2 + 鼽 一 t g 嚣 。 2 n b 1 n = 爵2 磊( g ( 如) 一鲰( 赴) ) 2 = 【 n n = 磊2 置( g ( 屯) 一e g n ( t i ) ) + 爵2 最( e 如( 如) 一鼽( 屯) ) 2 = 1 = i b l n l 黝i g ( t j nn ( 如) 磊2 吲+ 衮2 l 黾( e g n ( t ，j - 如( 屯) c l m n ) i n 。 。 “ 十iilag。iwj(ti)(g(ti)一g(幻)州t。tjll s n ) t n 一 j ， 一 7 0 ( 3 2 8 ) 当n 充分大，且a 充分小时 下证b 1 2 。坶0m _ + o 。) n 蜀鼽( 岛) 一9 h ( t ：) = ，f 。j 9 ( o ) 一鲰( ) nn w n ，( 屯) g ( 幻) 一w 嘶( 屯) ( g ( 如) + e ，) j = l，= l 卢 z ，y 町 叫 。赳 一 句矿 t n m 。闰 = = 砜，( b b 1 2 n = 磊2 l 甄( e 9 。( 屯) 一蚰( 屯) ) ；= l nn = i 2 i 甄( 啪( 。) 勺) i l = l j = 1 = f ( 暑，( 乞”勺f t m 亚a x 。i 。”i 。器i 萎蠢州i s t 螂m a x 。1 w n j ( 盏列( 圣争