（应用数学专业论文）随机变量序列的极限定理.pdf

摘要 概率极限理论不仅是概率论的主要分支之一，而且也是概率论其它分支和数理 统计的基础和工具多参数的概率极限理论广泛应用于生物信息科学、计量经济学、 金融经济学等学科它的方法和结果将继续对其它领域产生巨大影响因此多参数的 的极限理论仍然是当今概率论的重要课题，各国数学家已经将部分单参数的极限理 论的一些主要结果推广到多参数的情形【l 】国内林正炎，苏淳，白志东，苏中根等教 授在这方面也做出了重要的贡献本人在他们的工作基础上做了一些工作 本论文第一章介绍了随机变量序列极限理论的背景第二章介绍了大数定律， 各种收敛性概念，相关结论及他们相互之间的关系第三章论述了两参数两两独立随 机变量序列加权和的强大数定律第四章论述了两两n q d 列的极限定理，运用概率 极限理论的一些基本方法将独立随机变量序列的经典结论进行推广第五章是结论， 总结性列出了本文的主要结果 关键词：随机变量序列；大数定律；极限定理 a b s t r a c t p r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r e mi sn o to n l yt h em a i nb r a n c ho fp r o b a b i l i t yt h e o r y , b u ta l s oi st h eb a s i s a n dt o o l i no t h e rf i e l d so fp r o b a b i l i t yt h e o r ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s m u l t i p l ep a r a m e t e rl i m i t t h e o r e mi s e x t e n s i v e l ya p p l i e d t o b i o l o g i c a li n f o r m a t i o ns c i e n c e ，e c o n o m e t r i c s ，a n d f i n a n c i a l e c o n o m i c s i t sm e t h o d sa n dr e s u l t sc o n t i n u et oh a v eg r e a ti n f l u e n c eo no t h e rf i e l d s s om u l t i p l e p a r a m e t e rl i m i tt h e o r e mi sm a i nr e s e a r c hs u b j e c t m a n ym a t h e m a t i c i a n sh a v eg e n e r a l i z e ds o m e r e s u l t so fo n e p a r a m e t e rl i m i tt h e o r e mt ot h a to fm u l t i p l ep a r a m e t e r i no u rc o u n t r y , l i n gz h e n gy a n ， s uc h u n ，b a iz h id o n ga n ds uz h o n gg e nh a v ec o n t r i b u t e dt oi t id os o m ew o r ko nt h eb a s i so ft h e i r s t u d y t h i sp a p e ri n c l u d e sf i v ec h a p e r s t h ef i r s tc h a p e ri n t r o d u c e sb a c k g r o u n do fl i m i tt h e o r e mo f r a n d o mv a r i a b l e t h es e c o n di n t r o d u c e sl a wo fl a r g en u m b e lc o n c e p ta n dt h e o r e mo fc o n v e r g e n c e ， a n dr e l a t i o n s h i pi na l lk i n do fc o n v e r g e n c e ，i n e q u a l i t yi np r o b a b i l i t y t h et h i r dd i s c u s s e st h es t r o n g 1 a wo fl a r g en u m b e r sf o rd o u b l ea r r a y so fp a i r - w i s ei n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s t h ef o u t h d i s c u s s e st h el i m i tt h e o r e mo fp a i r w i s en q ds e q u e n c e s i tg e n e r a l i z e sc l a s s i c a lr e s u l t so f i n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s t h el a s ts u m m a r i z e st h em a i nr e s u l t s k e yw o r d s ：r a n d o mv a r i a b l e ；l i m i tt h e o r e m ；l a wo fl a r g en u m b e r s u 本人声明 我声明，本论文及其研究工作由本人在导师指导下独立完成，完成论文所用的 一切资料均己在参考文献中列出。 作者：幺志梅 签字：厶芒据 2 0 0 9 年4 月10 日 第一章绪论 1 1课题在学术理论和应用方面的意义 概率极限理论是概率论的主要分支之一，而且是生物信息科学、计量经济学、金 融经济学等学科的基础和工具 在重复抽样中，随机抽取一个单位，登记后再放回，继续参加下一次的抽选 这样，样本的单位数在理论上说可以多至无穷，而总体也成了无限总体人们很容易 提出这样的向题：当样本单位数不断增加时，样本平均数是否也不断增大，它们是否 随单位数的无限增加而趋于无限大? 或情况并非如此，而是抽样平均数随样本单位数 的无限增加而趋于一个有限的数? 这个问题即使在总体很大的不重复抽样中也类似 存在如果我们能证明，抽样平均数随着单位数的增加而趋于一个有限的数，而且这 个数正是总体的平均数，这就为抽样工作提供了重要的理论依据 抽样平均数和总体平均数总存在着某种误差，这种误差的可能性通常都利用概 率的分布原理进行估计但是抽样平均数的概率分布是怎样的? 当随机变量增多时， 它是不是趋于一个己知的分布? 如果我们能证明，不论随机变量的分布如何，其抽样 平均数的分布随着变量的增多而趋于一个已知的分布，而且这个分布就是正态分布， 这就为抽样误差的估计提供了极为简便的方法 这就引出了随机变量依概率收敛的概念在概率论中，一系列用极限的方法表示 的概率收敛定理，统称为概率极限定理其中，解决上述第一类问题的极限定理称为 大数定律，解决第二类问题的极限定理称为中心极限定理 大数定律是概率统计中一个非常重要的课题，而目是概率论与数理统计一个承 前启后的重要纽带人们在实践中认识到频率具有稳定性，进而预见到概率的存在 性，并且在实际应用中常用频率去估计其概率，这也是概率极限理论的源起因此可 以这样说，大数定律它揭示了大量的统计数据背后所隐藏的客观规律以上这些都是 一些众所周知的常识 1 2 所选课题的历史和现状 雅各伯努利( j a c o bb e r n o u l l i ) 在1 7 1 3 年出版的其遗著猜度术中首次提出了 后来以“伯努利定理”著称的极限定理并于1 7 1 7 年给出了证明棣莫弗在1 7 3 2 给出证 明了最早的中心极限定理伯努利之后，棣莫弗( d em o i v r e ) 于1 7 3 3 年和高斯( g a u s s ) 于1 8 0 9 年各自独立引进了正态分布1 8 0 1 年拉普拉斯推广了d em o i v r e 定理泊松于 1 8 3 2 年将伯努利大数定理推广到更一般情形并在1 8 3 7 年陈述了泊松大数定律 1 9 世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫 在这方面做出了重要贡献他在1 8 6 6 年建立了关于独立随机变量序列的大数定律，使 伯努利定理和泊松大数定理成为其特例切比雪夫在1 8 8 7 年进一步推广概括了大数 定理，他在证明过程中引入矩方法，这一方法后来成为概率论中证明极限问题非常 有用的方去之一切比雪夫还将棣莫弗一拉普拉斯极限定理推广为更一般的中心极 限定理切比雪夫的学生马尔可夫将大数定理和中心极限定理推广了它们的应用范 围，使它们能够应用于相依的随机实验 1 9 0 0 年到1 9 0 1 年，李稚普诺夫给出了非常广泛的条件下的中心极限定理作为测 度论的奠基人，博雷尔( b o r e l ) 1 9 0 9 年他提出并在特殊情形下解决了随机变量序列 服从强大数定律的条件问题博雷尔的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系 列探索，其中尤以原苏联数学家科尔莫戈罗夫的研究最为卓著 从2 0 世纪2 0 年代中期起，科尔莫戈罗夫开始从测度论途径探讨整个概率论理论的 严格表述1 9 2 6 年，他推导了弱大数定律成立的主要条件，后又对博雷尔提出的强大 数定律问题给出了一般的结果他推广了切比雪夫不等式，提出了科尔莫戈罗夫不等 式 从1 9 2 5 年至1 9 4 0 年，中心极限问题经过河尔莫哥洛夫、辛欣、l e v y , l i n d e r b e r g ， f e l l e r 等数学家的研究，已经获得满意的解决 关于经典的独立随机变量族的概率极限理论，在2 0 世纪三四十年代已获得完善 的发展1 9 5 4 年g n e d e n k o 和k o l m o g o r o v 将其基本结果被总结在他们的专著相互 独立随机变量和的极限分布中但在许多实际问题中，所研究的随机变量族不一定 是独立的 自2 0 世纪5 0 年代起，混合随机变量序列、相依随机变量序列及鞅的强极限理 论又有了很大的发展，我国学者在这方面做了许多出色的工作 2 五邑太堂亟堂僮论室 两两独立随机变量序列的概念被e t e m a d i 提出来，并引起许多概率统计学家的 兴趣和研究，取得了不少研究成果e t e m a d i 【2 1 在1 9 8 1 年将经典的相互独立同分布的 随机变量序列的强大数定律推广到两两相互独立同分布的情形c h o i 和s u n g p l 在 1 9 8 5 年证明了两两独立且被一个随机变量控制的随机变量的强大数定律至今尚未 发现更好更新的结果 两两n q d 列这一概念是l e h m a n n 4 提出的两两n q d 列是一类非常广泛的随 机变量序列，后来的负关联序列都是在此基础上繁衍出来的，如著名的n a 序列 ( j o a g d e v 和p r o s c h a n 提出的) 就是它的特殊情况之一因此对两两n q d 列的研究 就显得更为基本，更为困难 m a t u l a 嘲获得了与独立情形一样的两两n q d 列的k o l m o g o r o v 型强大数定律， 王宝岳旧获得了两两n q d 列的b a u m 和k a t z 完全收敛定理，但还未建立起一般的 两两n q d 列的矩不等式因此，两两n q d 列的研究很少达到独立情形的完善结果 如何解决这一实际问题，各国数学家进行一系列有益的探索 1 3 课题研究的内容 本论文第一章介绍了随机变量序列极限理论的背景第二章介绍了大数定律， 各种收敛性概念，相关结论及他们相互之间的关系第三章论述了两参数两两独立随 机变量序列加权和的强大数定律第四章论述了两两n q d 列的极限定理，运用概率 极限理论的一些基本方法将独立随机变量序列的经典结论进行推广第五章是结论， 总结性列出了本文的主要结果 2 1 弱大数定律 第二章预备知识 定义川：设善，考：，为概率空间上 q ，f ，尸) 的上的随机变量，e ( 考，) ，i = l ，2 ，3 ，都 存在，并且。三去喜 考，一e ( 依概率收敛于零，即对任给 。，有 脚尸 i 巴主i = 1 畴一言喜e 引f s = 。，则随机变量序列瑶) 服从弱大数定律( 简称大 数定律) - b 尔司天足理 设 考，) 为随机变量序歹u ，如果对任蒽正整数聆 。( 喜色 。，。l i + m 。pf | 1 门善 岛一去喜e 鲁j ) = 。 伯努利大数定律( b e r n o u l l i ) 设( 考，) 为相互独立同分布随机变量序列，且 尸 丢= 1 ) 2p ，尸 毒t = 0 ) = 1 一p ，0 p 0 有 掣隆，斗啦。 4 即舰尸僻一p 一o ，= 净i , t 在伯努利试验中，事件a 出现的频率丛依概率收敛于在一次试验中a 出现的概 刀 率p 泊松大数定理( p o i s s o n )设豫) 为相互独立随机变量序列，每个考，都服从0 - 1 分布，且p 考，= 1 ) = p ，i = 1 ，2 ，则 考， 服从大数定律 即舰p 峥丢剖斗一o 辛钦定理( k h i n t c h i n e )设 毒，) 为相互独立同分布随机变量序列，则 专) 服从大 数定律的充要条件是考，有有穷的数学期望 即。l i m 。p0 _ 门1 善 ，一肛l ) = 。 2 2 强大数定律 定义m ：设考。，考2 ，是概率空间 q ，f ，p ) 上的随机变量， ( ，) ，i = 1 ，2 ，3 ，都存 在，并且。三去喜瞻一e ( 釉 依概率收敛于零，即 律 尸 1 册。i 1 善n 睡一去喜鹾， = 。) = 1 则称随机变量列乳考：，服从强大数定 柯尔莫哥洛夫判别法 设 毒，) 相互独立随机变量序列，如果d 邑，七= 1 ，2 ，均存 在，且喜警 ，则随机变量序列 酗服从强大数定律，即 尸 ! 受去喜c 考，一e 善，= 。) = ， 下面给出柯尔莫哥洛夫定理的三个推论 切比雪夫定理的推广 设 邑) 相互独立随机变量序列，如果存在常数c ，使得 对任意正整数k 有d 邑c ，则 邑) 服从强大数定律 5 波莱尔强大数定律( 伯努利定理的推广) 设己是相互独立随机变量序列，且 p 邑= 1 ) = p k ，尸 靠= 0 ) = 1 一见，k = l ，2 ，则 邑) 服从强大数定律 泊松定理推广 设 考。) 为独立同分布随机变量序列，如果d ( 毛) o 。，则 毛) 服 从强大数定律 柯尔莫戈洛夫定理设 善) 对于独立同分布随机变量列，则 r1h1 尸i 舰吉善考，= 口，_ 1 的充要条件是e ( 磊) 存在且e ( 毛) = 口 m a r c i n k i e w i c z 强大数定律 设( 以；甩1 ) 是独立同分布的随机变量序列，则对 某一有限常数口及p ( o ，2 ) ， 力_ ，1 i ( 正- - a ) 一。口矗的充要条件是2 f 五l p ， k = l 则当1 p 2 时，a = e x i ；当0 p 1 时，口可取任意值 2 3 随机变量的收敛性 k r o n e c k e rz j i 理 设 巳；刀1 ) 和 毛；，z 1 ) 是两列实数序列，0 a n 个，若果 a n 收敛，那么 ，= 1 x j a n o ，门j 1 = 1 定理1 设 x ，以；刀1 ) 是随机变量序列，若e i 以- x l p o ，则 打葺1 x n j x a 。s 推广的b o r e i - c a n t ei ii 引理 ( 1 ) 若p ( 4 ) c ) ； n = l ( 2 ) ye x 收敛； j _ 月；l ( 3 ) v a r e 充分条件是对某一c ( 0 ，o o ) ，上述三级数收敛 b o r e10 1 律 设 4 ，；，2 1 ) 是独立事件序列，那么 尸 4 ，i 0 ) = o o 0 ，有 尸以一x i s ) 0 有舰p 司以一x i s ) = o ，则称 以) 依概率收敛于随机变量序列x ，简记为 x n j x 平均收敛 设 x ，以；以1 ) 是中的随机变量序列，若! 受ej 以一x 厂= 0 ，则 称随机变量序列 k ) p 阶平均收敛于随机变量序列x ，简记为以b x 依分布收敛 设，( z ) ，c ( x ) 分别为石，以的分布函数，如果在f ( x ) 的一切连接 点工处都有。l i + m 。e o ) = ，( x ) ，则说 以) 依分布收敛于x ，记为以 彳 4 4 ，i 、 ，二， 以 k 。嘲。硝 仉 l ，j、l 定理2 若k 山石，则k x a s ，定理3若咒一x a s ，则以山彳 定理4 若鼍三q x ，则以山x 定理5 设以山x ，则以与x l e b e s g u e 控制收敛定理 设置山x ，随机变量序列j ，厶，即e l 卅 o o ， 使得i 以l t a s 1 ) ，那么以，x 厶且以山x ，这时e x , 专e x 单调收敛定理 设咒0 且咒个x a 矗， ( 1 ) 我们有1 i me x = e x ，如果l i r a e x 1 ，三+ 1 ：1 有 pq 柯西一施瓦兹不等式 冽( e l x l p ) 形( 鹾2 ，切2 0 ，e i x i p 0 ，有 眦圳等 c ，不等式设置，以是随机变量，则 。i 五十+ 以i r e ( e i 五1 7 + + e i x 1 7 ) 8 _ in k o w s ki 不等式 k oim o g o r o v 不等式 e x , = o ，磷 0 ， p m a x l s 七s ” e 拈 o 1 设厂l ，! + ! ：1 ， 则对v ，1 ，工，】，都有 厂s ( e i x + y 1 7 ) 彤e ( i x l 7 ) 彤+ e ( 1 1 ) 彤 设 x k ；1 k 疗 是独立随机变量序列 9 冽击主磷 一k = l x 。一 第三章两参数两两独立随机变量序列 3 1 引言与引理 加权和的强大数定律 定义8 1 设4 ，4 ，4 是刀个事件，如果对于任意的七( 1 k 刀) 和任意的一组 1 f l 2 玎，都有等式p ( 4 , a j ：4 ) = 尸( ) 尸( 彳b ) 尸( 以) 成立，则称4 ，4 ，4 是力个相互独立的事件 由此可知，拧个事件的相互独立性，需要有砉l ：i = 2 - n - 1 个式子来保证 事件的独立性可以使得实际问题的计算得到简化，从而得出较好的结论但独立 性的条件达不到时，可以研究两两独立的情形 引理11 7 ( b o r e l c a n t e l l i 引理) ( i ) 若p ( a 。) ，则尸( a 。f d ) = 0 n = l ( i i ) 若 a 。) 相互独立， p ( a 。) = ，贝j j p ( a 。，幻) = 1 一 n = l 引理2 州( c h e b y s h e v 不等式)对任意随机变量考，若e 考= a ，又d e 存在，则 对任意的正常数s ，有 尸 睁叫s ) 譬 引理3 例 设常数序列 ，若存在正数m ，对一切正整数m ，n ，都有i a m 。i m 成立，则称 a m ) 一致有界 引理4 邮1 设 ) 是两参数两两独立的随机变量序列，若 户司叉l ，) 尸司x i f ) ，o ，则， 对1 p f 尸 i x i 以，ej 工i p ( 1 0 9 + i x i ) 5 o o ，1 p i ，) i = 1j = l i = 1 ，司 = c t l o g t p ( t x ， f + 1 ) c i x 厂l o g + i x l p p ( t l x l ， f + 1 ) f = l - c e l o g + 吲p e l x l ，i ( t - l x l ， f + 1 ) t = l 1 2 形 、， 疗聊 ，l 、， p r 一 七 ，l p 以 。纠 l i 、， p r 一一矽，l p 。一 。瑚 一 d +， p r 一o p 以 。褂 。h 一 d +r p r 一o p 以 ，捌。闽 = _ c l o g + i x l ex l ， 由引理l 知尸( 矗f d ) - - 0 所以互旦o o 再证明互与o 由引理3 和引理4 ( 2 ) 得 乙= m a x ，r s m s 2 + 1 2 ，如s 2 n m a x r s m s 2 上“ 2 ，血2 “i m a x 2 m 蔓2 “i 2 ，s 月2 ，一 e i 巧l i = lj = 1 ( 聊，z ) 彤 e i 巧i i = i = l l ( r a n ) 。p ，2 7 e i 巧 i = 1j = l ( 2 t 2 ，) + 型 ( 2 t 2 侈 翱哪i 甜弋矿1 孥 2 ，s s 2 “ h，+li e 1 巧i 2 匆* 2(。) ， ，r 善2 k + l 蔷2 j 4 - ie p e i x 舛薪2 * 2() ， + 型 2 州2 ，h ( 2 t 2 侈 e f 巧j i = 1 ，= l ( 2 2 7 ) 尼 所以首先证明 l 砷塞妻 筹霉：o k v l - - - * oi = l ；1 ( 2 2 。) p 由引理3 知 5 , k - - i ，+ l 艺e 1 巧j 。 ( 2 t 2 ，) 彤 yy j ，一j ，一m a x l 吻 l 白s 2 i l s j 虹， 1 3 e l x ；i 壹芝e l 巧e l 巧i i = lj = l ( 2 t 2 ，) 形 巧 e 一川 巧 e ，一 步一 一 坠彬一q 髫 c 可知 - c m e i x j 卢l o g + 吲 小叭( 2 川) 办一一i ( 2 川) 乃i 由引理2 和引理4 ( 1 ) 得 k = l1 = 1尸c 鬻圳喀喜赫 = c yy j - 一, j r 一 上= ll = l c yy j r j r 一 上- 1i = l ，2 ， 陆墨 - 一一，v 苎争c ( 2 2 7 ) 7 ， m a x 1 , , 1 2 1 _ , 2 4 7 l s j d c m 2 上= l1 = 1 妒 2 ， 矿 2 ， r = l ，= l ( 矗) 2 i = 1j = l ( 2 2 ，) ( 矗) 2 i = l ，= i ( 2 t 2 1 4 2 2 ， e ( q ) 2 i = lj = l ( 2 2 7 ) 彩 巧 e c m ：妻主掣 扭1 2 1 ( i j ) p c m 2 e 吲，l o g + 例 又由引理1 知墨兰二鸳! 兰 些o ( 2 2 7 ) 乃 再证明 即证明 m a x s 册( 2 上+ 1 2 ，s n 鲁】 争 v a r m a x s 2 s ，“ 2 t 5 击 少1 e m a x s 。】2 2 - m 2 “1 2 ，s 2 ( 七+ 1 ) 2 ( ，+ 1 ) 2 ( 2 t 2 ，) 乃 伽2 ，= 1 z l ( 1 0 9 2 l 0 9 2 t + j ，“ 窆1 f 2 ，= l j z l 亟e ( 扩) 乃 1 5 矗1 2 芝主e l 蜀i z e 蚓2 ，= 1 _ l 。 型彤生 搿 研 刍一 掣计一0器 h 。脚。脚 学 矿一 坚侈塑 一 。脚 。瑚。 c c 由引理1 知 c m z 宝宝e l 蜀1 2 地垫旦掣 5 1 ，2 1 ( 0 3 p c m z 主妻号铲l 巧1 2 矧产l 协j ” 。 叫2 喜言警榭 一扣l i 学以， c m ：主以旦坚譬j x l 2 尸( 1 x i j j 形) = 1 ( 七) p c m ：妻掣吐吲p ( 1 x l w _ k = l k 7 c m z 妻芝嗡w 即 f + 1 ) k = 1t = o p c m ：妻妻垦掣矾l x l 2 p ( f l x i p f + 1 ) t = ok = t + l t ，p c m z 主主嗡时心 i x p t + i ) r = o k = t k r c m 2 ( 1 0 9 + i x l p ) 5 e i x i p i ( t l x l p f + 1 ) t = o c m 2 e l x l p ( 1 0 9 + i x l ，) 5 o o m a x 掣一。 二_ 1 7 _ 。专u 2 j 2 k 如 _ m 2 k + 。( 肌刀) ， 所以互三o o ，可推出丁! ：与o ， 定理得证 1 6 + 一 o p 2 一p dg 0 几：， 。枷 伽 一 d + 一 x o pp 卢 y g o 几：一 。间 叫 一 推论 设 厶) 是两参数两两独立的随机变量序列，而且它们是同分布的，对 l p 2 , e l x , 。l ( 1 0 9 + i x , 。1 ) 5 ，1 f m ，1 刀) 是一致有界的常数序列，则 1i m v n ( 五一) ( m , 0 l = 0 注记对于r 维参数随机变量阵列的情形在条件 el x i ，( 1 0 9 + l x r ) ，1 p 2 下，亦有相应的结论 1 7 第四章两两n q d 序列的一个强极限定理 4 1 引言与引理 两两n q d 列是包含n a 等负相关列在内的一类随机变量序列到目前为止，还 未建立起一般的两两n q d 列的矩不等式因此，对两两n q d 列的研究非常困难， 所获得结果很少达到独立情形的完善结果 定义0 2 随机变量序列x 和】，是n q d 的，若对坛，y r ，有 e ( x z ，y y ) p ( x x ) p ( y y ) 随机变量序列 以；刀1 ) 是两两n q d 的，若对v i ，五与x ，是n q d 的 引理1 设 见，刀1 ) 和 吼，栉1 是两个非负数列，且见吼，v n 1 则无穷级数 佃j 川如 佃 ( 1 ) = l n - 1 证明：由k r 0 ( 不妨假设 1 ) ，存在自然数l ，当，z l 时， n = l 对于任意自然数j = 1 ，2 ，都成立， 川i m + i + ：i 2 + + p 。，l s ( 2 ) 仍由k i 几 o 。知，存在自然数2 ，当力2 2 时有 * l 川 1 ( 3 ) 取= m a x 1 ，2 ) ，则由( 2 ) 和( 3 ) 式知，当以时，对于任意自然数j = 1 ，2 ，都成 3 一l i u n + i r 4 - l l + 2 r + + k + 爿 c ) 鸭善麟： o ，当h 增加时有 掣山 ( 4 ) h n 一 又若存在q 。满足 则有 9 。 三。；f 兰j 1 1 【以见 岁删 l 0 9 2n 错卜且地纠时 v y 乌j 收敛 “1 , 1 = - 1q ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) 证明： 记c ) 为以的分布函数，e = 以以】若能证明下面三个级数 噬，l 0 9 2r v a r 一，尸日以i 巳) 都收敛，则由引理2 知定理结论成立 n = l刀皇ln = l 首先证尸( | 以l ) 收敛 一号l t og ( 圳e 降和i 以j 有端 1 得 1 9 p o 以i 口，) = l ，叱啪) l ，静鬻( 8 ) 注意到吼l ，从而上1 由( 6 ) ，( 8 ) 式及引理1 得 吼 再证壹l 。9 2 门e x ， 2 ) 月= 1n = l 丝墨! 佃 g 。( ) 记。 。x = 一a 。i 。x 一。) 七xn i 瞎墙、七n n i t x 。0 1 1 对任意疗，由引理4 有 。 e ( 彳) 2 3 e ( 口：以。一口- ) - t 。2 i 以i s 口- ) + 以，口1 ) ) 3 e ( 防。i ，d ) t 霹阮i 铒) ) 而 磁w 磁等等k h ，磁等等 妻l 0 9 2 n e a ：i ( 冬争!堕：=!窒!圣2：2 i i x 。) 百 篙岛( ) 由邑 ) 是非降的正值偶函数和当i 以i 时有 晶 ) l 岛( x ) 、g 。( q ) g 。( 工) 、f x l n v 一一一一 i x l 几i x l 岛i a 1 n 岛( ) 川丹 当0 p 。2 时，由( 4 ) 式得 e 阿= k 磐l i ；謦k 静蚰器 则有 e 2 互l 0 9 2 砸量盟1 0 9 2 吼eg ( & - - - - - - - 盟) 2 时，由引理3 和( 4 ) 式得 ( 9 ) ( 1 0 ) ( 1 1 ) e 1 0 9 n 兰1 2 妒办枷 k 2 甩孵 苁 恤缈玎警叫兑 咖器酬纥卜几，z 器h e l o g q ng 引 ( x 训, _ 、- i 兀， 注意到当o 见 2 时有- 1 2 时有土三由( 6 ) ，( 1 0 ) ，( 1 1 ) ，( 1 2 ) q nq np 。 得 最后证明z e x ： 主1 。9 2 ，z e ( 霹) 2 志一( 以) ( 13 ) 争兰垒量吐丝! 手丝圣2 ( 1 4 ) 鲁 a n鲁g 。( q ) 当0 1 时，由引理3 和( 4 ) 式得 e 阱k 鞋_ k 瓢h k 器h e 器r ， 注意到当o 1 时有土土由( 6 ) ，( 1 毒) ( 1 5 ) ，( 1 6 ) 得 童e i 霹f 佃 ( 1 7 ) 由( 9 ) ，( 1 3 ) 和( 1 7 ) 知结论成立定理证毕 若0 p 1 ，取以兰p ，( x ) 三i x l ，q 。毫1 ，则有下列结论 2 1 推论1 设 以，胛1 ) 是两两n q d 列， 口。，刀1 是一正数列如果对某正数0 o , 邑( x ) = h p ，兰1 有以下结论 推论2 设 以刀1 ) 册jn q d 列， q ，z 1 ) 是一正数列如果对某正数p 0 ， 存在q 。p ，v n 1 ，且 g 。 三。；兰手1 满足 1 。g z 刀但i t i ，) 以尸司x i f ) ，l x l p ( 1 0 9 + l x l ) 5 o o ，l 0 ，当h 增加时有 墨盟上 l 叫儿 又若存在q 。满足 则有 、f10 。爿- l 0 9 2n 鬻r 喜净蝴 参考文献 1 张立新概率统计极限理论及其相关问题 j 国际学术动态，2 0 0 7 ，3 2 ne t e m a d i a ne l e m e n t a r yp r o o f o f t h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r 【j z w 1 9 8 1 ，5 5 ( 1 ) ：1 1 9 - 1 2 2 3 】 b d c h o i ， s m s u n g o nc o v e r g e n c eo f ( s n e s n ) n y , 1 ， 2f o rp a i r 、斩s ei n d e p e n d e n t r a n d o mv a r i a b l e s j a u l lk o r e a nm a t hs o c ，19 8 5 ，2 2 ( 2 ) ：7 9 2 【4 】l e h m a n ne l s o m ec o n c e p t so fd e p e n d e n c e j 】a n n m a t h s t a t i s t i c s ，19 9 6 4 3 ：1 1 3 7 - 1 1 5 3 【5 】m a u t l ap an o t eo nt h ea l m o s ts u r ec o n v e r g e n c eo f s u m so fn e g a t i v e l yd e p e n d e n t r a n d o mv a r i a b l e s 嘲。s t a t 。p r o b a b l e t t e r ，1 9 9 2 ，1 5 ：2 0 9 - 2 1 3 6 王宝岳，苏淳，刘许国关于两两n o d 列的若干极限性质 j 应用数学学报， 1 9 9 8 ，2 1 ( 3 ) ：6 1 7 6 2 4 7 林正炎，陆传荣，苏中根概率极限理论基础 m 北京：高等教育出版社，1 9 9 9 8 魏宗舒概率论与数理统计教程 m 北京：高等教育出版社，1 9 8 3 9 中山大学概率论教研室测度与概率基础 m 广州：广东科技出版社，1 9 8 1 1 0 3 钱能生两参数两两独立的随机变量序列强大数定律 j 五邑大学学报，2 0 0 l ， 3 1 1 ghh a r d y ，emw r i s t a ni n t r o d u c t i o nt ot h et h e o r yo fn u m b e r s 【m 】n e wy o r k ： a c a d e m i cp r e s s ，19 7 4 1 2 吴群英混合序列的概率极限理论 m 北京：科学出版社，2 0 0 6 1 3 吴群英两两n o d 列的收敛性质 j 数学学报，2 0 0 2 ，4 5 ( 3 ) ：6 1 7 - 6 2 4 1 4 吴群英两两n q d 列的广义j a m i s o n 型加权和的强收敛性 j 。数学研究，2 0 0 1 ， 3 4 ( 4 ) ：3 8 6 3 9 3 1 5 杨卫国，刘文关于任意随机序列的强收敛性 j 。数学物理学报，2 0 0 3 ，1 0 。 1 6 吴群英，王清远混合阵列行和的若干极限定理 j 纯粹数学与应用数学， 2 0 0 7 ，1 2 1 7 施建华，黄可明关于任意b 值r v 序列的强收敛性 j 应用数学学报，2 0 0 7 ， 0 9 1 8 陈平炎，戴永隆b 值混合随机变量的强大数定律 j 应用概率统计，2 0 0 6 ， 0 5 。 1 9 袁德美随机变量的截尾与任意随机变量序列的强极限定理 j 数学的实践 与认识，2 0 0 7 ，2 2 2 0 陈平炎混合随机变量序列加权和的极限结果 j 数学杂志，2 0 0 3 ，0 4 2 1 陈平炎。两两n q d 列的强大数定律 j 数学物理学报，2 0 0 5 ，0 6 。 2 2 陈平炎混合序列加权和的强大数定律 j 应用数学，2 0 0 5 ，i 0 2 3 陈平炎，甘师信。b 值随机变量序列加权和的收敛结果 j 。数学研究与评论， 2 0 0 5 ，1 1 2 4 】a c o j a o g h l a n ，j m i c h a l i 6 e k l i m i tt h e o r e m sf o rn o n - c o m m u t a t i v er a n d o m v a r i a b l e s j j o u r n a lo ft h e o r e t i c a lp r o b a b i l i t y ，2 0 0 5 ，0 7 【2 5 】f a n gw a n g ，s k ih o n gc h e n g a l m o s t s u r