（应用数学专业论文）一类二阶hamiltonian系统及常plaplacian系统周期解和次调和解的存在性.pdf

独创性声明 学位论文题目：二差三堕幽! 丝! 塑垒经垒裳2 二鲤业奎缝! 亟 盔鸯翌坌逡塑垫盘：颦盘盘蕉笠童 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中己知 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：仁另芳签字日期：y 吁年么月，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止)。 学位论文作者签名：位焉掺 签字日期：妒子年年月2 ，日 导师签名： 灵钉军 签字日期：勿必年夕月移日 一类二阶h a m i l t o n i a n 系统及常p l a p l a c i a n 系统周 期解和次调和解的存在性掌 学科专业：应用数学 指导教师：吴行平教授 研究方向：非线性分析 研究生s 伍君芬( s 2 0 0 5 0 9 6 7 ) 摘要 考虑二阶h 弧n t o n 系统 。 c 删 张i 淤激悱。 其中丁 o ，f ：冗r 一兄满足条件， ( a 7 ) f ( t ，$ ) 对每个z r 关于t 是以t 为周期的，f ( t ，z ) 是r + 1 到r 上的连续函 数，并且 v 批加( 筹，筹) 删卅1 ) 本文利用临界点理论中的极大极小方法及局部环绕定理研究了以上二阶非自治哈密尔 顿系统非平凡周期解的存在性，并得到了一些新的可解性条件主要定理如下， 定理1 设f 满足条件( a ，) ，且满足下面的条件- ( f 1 ) 存在某正数7 1 及常数口 o ，三 o 使得 f ( t ，z ) 蚓2 对r 中所有的h l 及t 【o ，明都成立 ( f 3 ) 存在常数弘 2 使得 脚8 u p 鲤盟锫掣 o ，f ：【o ，卅r 一r 满足上述条件( a ，) 本文利用相应空间的一致凸性及广义山路引理，证明在超二次条件的假设下，紧 性条件成立，从而可以获得常p l a p l a c e 系统周期解及次调和解的新的存在性条件主 要定理如下； 定理3 设f 满足条件( a ，) 假设 ( f 4 ) 对任意z 冗，【o ，卅，都有f ( t ，z ) o ； ( f 5 ) 存在r l o ，a o ，r 2 o 使得 f ( t ，z ) 纠z 尸 对r 中所有的 r 2 及t 【o ，卅都成立； ( f 7 ) 存在常数p p 使得 1 黑晋巡坐产 印一1 u p 和7 3 o 使得 f ( t ，z ) 卢i z l p 对冗中所有的 r 3 及【o ，列都成立，其中u = 挚 则存在一个整数列( 码) c ，b 一。o ，及相应存在系统( o p s ) 的不等的b t 周期解 关键词二阶哈密尔顿系统；周期解；局部环绕；超二次条件；常p l a p l a c e 系 统；次调和解；广义山路引理 2 1 一 n 11 1 o e x l s t e n c eo tp e r l o d l ca n ds ub n a r m o n l c s o l u t i o n sf i o rs o m es e c o n d o r d e r t t 11 h a m l l t o n l a ns y s t e m sa n do r d l n a r y p l a p l a c i a ns y s t e m s 上 m a j o r ： a p p l i e dm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ： n o n l i n e a rf l u n c t i o n a la n a l y s i s s u p e r v i s o rl p r o f w ux i n g p i n g a u t h o r ：w hj u nb e n ( s 2 0 0 5 0 9 6 7 ) a b s t r a c t c o n s i d e rt h ef o u 洲i n gs e c o n d o r d e rh 锄i l t o n i a ns y s t e 滩 c 删 裂乏粱毅粹。 w h e r et 0a n df ：r 冗_ rs a | t i s f i e st h ef o l l o w i i l ga s s u m p t i o n ： ( a 7 ) f ( t ，z ) i sp e r i o d i ci i ltw i t hp e r i o dt f b re a u c hz r ，a n df ( t ，$ ) i 8c 伪n i n l l o u s 行o m 冗+ 1t o 冗w i t h v 批加( 筹，筹) 吲卅1 腓 i nt h i sp a p e r ，t h em i n i m a xm e t h o di nc r i t i c mp o i n tt h e o r ya n dl o c a ll i n k i n gt h e o r e ma r e e m p l o y e dt or e s e a r c ht h ee x i s 七e n c eo fn o n t r i v i a 】p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rn o n a u t o m o u ss e c o n d o r d e rh 甜n i l t o n i a ns y s t e m s ，a i l ds o m en e ws o l v a b n i 锣c o n d i t i o n 8a r eo b t 咖e d t h em a i l lr e s u l t sa r et h ef o l l 佣r i n gt h e o r e m s t h e o r e m1 s u p p o s efs a t i s 如s ( a ) a n dt h ef o l l 0 w 纽ga 鹃u m p t i o n 8 ： ( f 1 ) t h e r ee x i 8 tr l o ，口 o 孤dl o8 u 曲t h a t f ( t ，z ) p 蚓2 f 0 ra ui z i 三i 1 1 兄，【o ，刀 ( f 3 ) t h e r ei sac o n s t a n tp 28 u c ht h a t l 嬲煎生产 os u c ht h a t f ( t ，z ) f ( 厶o ) f o rm 1i z is7 7i i l 冗，t 【o ，卅 t h e ns y s t e m ( 日s ) h 嬲a tl e 硒tan o n t r i v i a ls o l u t i o n n r t h e r m o r e ，c o n 8 i d e rt h ef o u a w i n go r d i i l 甜y 矿l 印l a u c i 如s y s t e m s c 。删 嚣端篇：端掣 w h e r ep 2 ，t oa j l df ：【o ，卅冗_ 冗s a t i s f i e 8t h ep r e v i o u sa s s u m p t i o n ( a ，) u s i n gt h ep r o p e r 锣o ft h eu n i f o m l yc o n v e xb a n a c hs p a c ea n dg e n e r 2 l l i z e dm o u n t a i n p 嘲t h e o r e m ，w ep r o v et h a tt h ec o m p a u c tc o n d i t i o na l s oi np o s i t i o nu n d e rt h e 嬲s u m p t i o n s o fs u p e r q u a d r a t i cc o n d i t i o n ，a n ds o m en e ws 0 1 v a b i l i t yc o n d i t i o n sa l r eo b t a i n e d t h em 越nr e s u l t s 缸et h ef o l l o w i n gt h e o r e m s t h e o r e m3 s u p p o s efs a t i 8 f i 镯( ) a n dt h ef o h o w i l l ga 黯u m p t i o i 墉： ( f 4 ) f ( ，z ) o ，比冗，t 【o ，卅 ( f 5 ) t h e r ee x i 8 t ，- 1 o ，口 oa d l d 您 o8 u c ht h a t f o r 俎li z i 您i i lr ，t 【o ，卅 ( f 7 ) t h e r ee x i s t 8p p8 u c ht h a t f ( t ，z ) p l z p l 嚣普鲤止产 3 p 一1 扩觚d 他 os u c ht h a t f ( t ，z ) 纠z i p 4 f o rm li 。i r 3i i l 冗，z 【o ，卅，w h e r eu = 筝 t h e r ee x i s t sas e q u e n c e ( b ) c ，向_ o o ，a n dc o r r 鹤p o n d i i l gd i s t i i l c tb tp e r i o d i cs o l u t i o n s o fs y s t e m ( 0 p s ) k e y w o r d s s e c o n d o r d e rh 锄n t o n i a ns y s t e m s ；p e r i o d i cs o l u t i o n s ；l o c a ll i i l k 缸1 9 ；8 u p e r q u a d r a t i cc o n d i t i o n ；o r d i n a vp l 印l a c i 眦s y s t e m ；s u b h 鲫 i l o n i cs 0 1 u t i o 璐；g e n e r a l l i z e d m o u n t a i l lp 嬲st h e o r e m 5 一前言 变分原理是自然界中的一条普遍原理，变分方法是一种将自然界中的大量问题( 称 为变分问题) 归结为某个泛函在一定条件下的极值问题或临界点问题的方法，其中极 值问题和条件极值问题是变分原理中最简单又最基本的问题，而临界点问题是极值问 题的进一步发展它主要研究泛函的临界点的存在性与多解性以及临界点附近的拓扑 性质近年来变分原理在数学、经济管理、优化与控制理论、经典力学等各个不同的 领域都得到了广泛的应用，并取得了许多有重大意义的成果古典变分法的基本内容 是确定泛函的极值和极值点，因此要求其相应的e u l e r l a g r a n g e 泛函是下方有界的 极值点是最简单的临界点，但是在一些具体问题中我们要研究的泛函是不定的或强不 定的，即使是一些下方有界的泛函也可能存在一些鞍点，这些鞍点在物理上是微分方 程的不稳定的解因此需要新的工具去寻找更一般的临界点特别是鞍点 应这种要求，近几十年来，近代变分法( 又称为极小极大方法) 逐渐完善地发展起 来，近代变分法主要包括极小极大理论和m o r s e 理论这两种理论都是依靠拓扑方法， 研究一般的、未必是极值点的临界点1 9 7 3 年，a a m b r o s e t t i 和p 耽b i n o w i t z ( 【1 】) 的 山路引理( m o u n t 越np a s sl e m m a ) 可以说是临界点理论发展史上的一个重要里程碑， 随后的鞍点定理( s a d d l ep o i n tt h e o r e m ) 和环绕定理( l i n k i n gt h e o r e m ) 是对山路引理 的进一步推广这些抽象的定理被广泛用于寻求h 锄i l t o n 系统的周期轨道和波的受迫 振动以及椭圆问题非甲凡解的存在性和多解性等，只要与其相应的e u l e r - l a 黟a n g e 泛 函满足紧性性质( 通常称为( p s ) 条件) h a m n t o n 系统理论是既经典而又现代化的研究领域，它广泛存在于数理科学， 生命科学以及社会科学的各个研究领域，特别是经典力学和场论中的很多模型都以 h a m i l t o n 系统的形式出现近两百多年来，h a m i l t o n 系统一直是数学家和物理学家的 重要研究领域，而且对非线性分析，数学物理和微分几何等诸多学科产生了重大的影 响h a m i l t o n 系统的解可分为：周期解，次调和解，同宿轨，异宿轨等我们注意到， 自1 9 7 8 年以来，由于变分法的发展而建立起来的周期解理论，使得h a m i l t o n 系统周 期解的研究与近3 0 年来飞速发展的临界点理论相结合，取得了引人入胜的结果 本文利用变分法中的极小极大原理研究了二阶h a m n t o n 系统周期解和常少l a p l a u c e 系统周期解及次调和解的存在性，推广和丰富了该系统的已有结果 二 文献综述 6 考虑二阶h a m n t o n 系统 c 删 者器瓣徊 其中t o ，f ：r r 一r 满足条件， ( a 7 ) f ( t ，z ) 对每个z 冗关于t 是以t 为周期的， f ( t ，z ) 是r + 1 到r 上连续函 数，并且 v 姚加( 筹，筹( 胛1 ) 早在1 8 9 2 年，p o i n c a r 色( f 4 】) 就开始用变分方法研究二阶h a m i l t o n 系统，他考虑 了= 1 且f 自治( 即f 与无关) 的情况1 9 1 5 年，l i c h t e n s t e i n ( 【5 】) 考虑了= 2 且f 非自治( 即f 与有关) 的情况后来越来越多的人利用变分法对二阶h 锄i l t o n 系统进行了研究，同时也给出了许多可解性条件1 9 8 9 年，m a w h i n 和w n l e m 在文献 f 7 】中总结了之前的研究成果，给出了有界性条件、凸位势条件、周期性条件、超线性 条件等许多学者又推广和补充了这些条件，其中唐春雷和吴行甲两位教授在这方面 做出了大量的结果，参见文献f 8 j 一【2 2j 在文献【8 】中，唐教授把有界性条件推广为次 线性条件之后，有不少文献又对此进行推广和丰富譬如；【1 2 】，【2 2 】，【2 l 】i 【2 3 】，【2 4 】 文献【1 6 】和【2 l 】又将周期性条件推广为部分周期；文献【9 】和【1 0 】将凸位势条件推广 为次凸位势条件自1 9 8 0 年，r a b j n o w i t z 在f 6 1 】中提出次二次条件之后，次二次条件 也不断被推广和丰富，如： 【2 6 卜【3 1 】，f 7 】【9 】，【1 2 】关于超二次条件，其结果更是层出 不穷，如【3 2 】一【5 0 】，【6 l 】 1 9 7 8 年，r a b i i l 侧i t z 在文献【4 3 】中提出如下超二次条件存在常数弘 2 ，z o o ， 使得 o 2 ，p r 一1 ，d o ，l o ，使得 ( v f ( t ，z ) ，z ) 一2 f ( t ，霉) a o i z i p 对所有蚓芝l 和t f o ，1 】成立；文献【4 8 】进一步推广为t 存在常数r 2 ，p r 一2 ， 使得 l i mi n f ! 里墨堡! 兰! ；兰；：o 兰l ! 型 o 一 陋卜o ol z i p 对口e t 【0 ，卅一致成立；文献【4 9 】给出了另一新的超二次条件，存在常数弘 2 ，使 得 1 黜罂咝坐产o i 霉l + o o l “l 对z 冗，t 【o ，卅成立并结合其他条件证明了系统( 日s ) 的非常数解的存在 本文的第一部分内容考虑利用文献【4 9 】中的超二次条件，并且在更弱的其他条件 下应用局部环绕定理及山路引理的推广定理得到系统( 日s ) 非平凡周期解的存在 在第二部分中，我们研究如下常p l 印l a c e 系统 ( d p s ) 一袅( i 也( t ) l p 一2 也( t ) ) = v f ( t ，t ( t ) ) 、7 lu ( o ) 一“( t ) = 也( o ) 一也( t ) = o 其中p 2 ，? o 以及f ：【o ，卅冗一r 显然，当p = 2 时，该系统即为二阶h a m i l t o n 系统由于相应空间睇p 不再是 h i l b e r t 空问，研究难度增大，其解的存在性结果与二阶h 锄i l t o n 系统相比要少得多 因此近年来对常p l a p l a u c e 系统的讨论也是学术界的一个热点到目前为止，已有不少 作者用不同的方法研究了常p l a p l a c e 系统如变分法中的对偶极小作用原理【5 l 】；广 义山路引理【5 2 】；极小作用原理和山路引理【5 3 】；s h a u d e r 不动点理论【5 4 】；也有作 者用非光滑分析对相应结果进行推广，见【5 5 】和f 5 6 】；还有作者用鞔点定理得到一些 存在性结果，如； 5 7 】和【5 8 】其中文献【5 7 】既推广了文献【9 】，也推广了勋b i n o w i t z 在【6 1 】中提出的次二次条件至于( d 尸s ) 系统的次调和解，与成果极其丰富的二阶 h a m i l t o n 系统( 见【2 2 】，【3 2 】，【3 3 】，【3 4 】，【6 l 】，【2 7 】，【2 8 】，【5 9 】，【6 0 】等) 相比，常p l a p l a u c e 系 统次调和解的结果相当少，见【5 8 】他推广了文献【2 2 】的相应结果文献【6 2 】研究了 相应的微分算子的性质，而文献【6 3 】研究了算子的谱，为我们深入研究( d p s ) 系统提 供了方便 本文推广了文献【4 9 】中的超二次条件，利用广义山路引理，得到了( d p s ) 系统周 期解及次调和解的存在性定理 三预备知识 为了后文叙述方便，在这节中简单介绍一些相关的概念和定理 设x 为b a n a c h 空间且具有直和分解： x = x l0x 2 。 考虑下面两个子空间序列t 粥cx c cx 1 ，瓣c 研c cx 2 且 = u 霸，j = l ，2 n 我们假设 d i n l 碣 a ， 则称 为容许的 定义1 ( 见文献【3 7 】) 设j c 1 ( x ，r ) 若对每一列( 。) 都使为容许的且满足 t a 。x 0 。，s u p ，( 缸a 。) o 满足i j ( ) i c ，( u n ) _ o ，则( ) 包含一个收敛于j 的临界点的子列 定义4 ( 见文献【3 7 】) 设x 为b 觚a c l l 空间且具有直和分解s x = x 1ox 2 ， d 1 ，冗) 如果存在r o 使得 ，( t 1 ) 芝o ，u x 1 ，i i “0 r ， ，( t 丘) o ，让x 2 ，l l 心l f r 则称j 关于伍1 ，x 2 ) 在。处构成局部环绕 引理( 见文献【6 】) 设x 为实b a n a c h 空间，泛函，g 1 ( x ，冗) 满足( p s ) 条件， 存在实数。和j d o ，u o ，1 l x 并满足0 t o t 1 | i p ，使得 m a x ( ，( 伽) ，( 铭1 ) = 口，i a 吼) ( 1 ) 其中a b p ( 1 1 0 ) = t x ：一伽l | = l p 】，那么存在点霞蜘，“1 并满足，( 面) = o ，( 面) = 口 注此引理是经典山路引理的推广，把( 1 ) 中的”= ”改为” u 时有 g ) sc 局且，l s a ， ( 施) q 有界且j i u ， ( 谢) s 与a q 环绕 则j 有临界值c n 用变分方法研究二阶h a m i l t o n 系统就是将求方程( 日s ) 的解的问题化为求一个在 h i l b e r t 空间三r 刍连续可微的泛函 出) = 辑1 2 d t f 脚) d t 或者 妒) = 主z t 阻( 幻1 2 蹴一z r ( f ( t ，u ( ) ) 一f ( t ，。) ) 出 在磷中的临界点问题( 【7 】) ，其中x = 砩= u ：【o r 卜r i ：蔷登蓑豸且也职。丑r ) 具有范数 忆l i - ( 小( t ) 阳+ 小阳) ? 讹玛 若妒( u ) 在丑孚上有临界点，则( 日s ) 有解 此外，对任意t ，u 日；有 “) ，影) = ( 舌) ，痧( ) ) 如一l | | ! ( v f ( t ，缸( t ) ) ，t ，( t ) ) 蹴 对常p l a p l a c e 系统则是将方程( o p s ) 的解的问题化为求一个在b 勰8 出空问噼巾 连续可微的泛函 妒( 乱) = 三z r i 吐 ) i p d t z ? f ，u ( t ) ) 出 在峨舻中的临界点问题，其中 咿= 卜霸硝憾鬻置溉嗍 具有范数 晒| | 一( n 卵斑+ 小矿 若( 黏) 在醇芦上有临界点，则( 馥系统有姆。 此外，对程意珏，零p 矿产，有 ( ) ，掣) 。z t ( 1 也( 圳p 一2 雹( 班曲( ) ) 班一f ( v f ( t ，器( d ) ，掣。) ) 斑 ， 当让彬时，我们记 | | 稚| | 酗= rl 锚8 尹瘫) 旦| | 缸| | = 瓣| 锚( 磅| 由1 7 】中命题l ，l 知，存谯c o 使得 酗# e | l 珏l 2 ) 对一切“吩p 都成立 对任意鬈基吩筘，设 霞一皋f 戗( 薯) 斑，西p ) 一牡0 ) 一霸 及弼拶尝扛咿 磐珏( 妻冲= o ，剥存在慕常数岛 o ，使对所有越盼都有 l ps 岛b ( 3 ) 玎如川埘( 小) 刍 一? ；( 胁酬妒幽) 砉( 瓣钏 对程意锃盼戚立。蠢越推凄 l | 孙s t ；r z 搏( 酬p 幽出 对任意“磷糟都成立 扶文献1 7 】中簿遭吩筘是妻反空海秘一致凸b 勰诎空勰。从交裁辩半颦道鼹部 一致凸b a n a c h 空闻具有k 掰e c - k l e e 性质，那就是对任意序列 ) 只要一t 鹃收 敛，弗且8 珏珏| | 嘶i ，就熊推出虹扎_ 铭强收敛 1 1 主要结果 4 1 一类超二次二阶哈密顿系统非平凡周期解的存在性 本节考虑如下系统 c 删 裂i 淤激盼。 非平凡周期解的存在性我们的主要结果如下s 定理4 1 设f 满足条件( a ，) ，且满足下面的条件t ( f 1 ) 存在某正数7 - 1 及常数口 o ，l o 使得 f ( t ，z ) 纠2 p 对r 中所有的蚓 三及【o ，列都成立 ( f 3 ) 存在常数p 2 使得 脚8 u p 巡监铝删 o - 川_ o 。 i z l 。 则系统( 日s ) 至少有一个非平凡解 注1 定理4 。1 推广了文献【4 9 】中的定理1 2 此外，这里的结论与其他文献中得 到的结论不同例如对所有z 冗及t 【o ，明，有函数 f ( t ，z ) = 芋陋1 2 ( 1 茹1 2 一1 ) ( 1 圳2 2 ) 其中o 口 o ，q o ，r 2 o 使得 f ( t ，z ) 剜z i p 对冗中所有的h r 2 及t 【o ，列都成立； ( f 7 ) 存在常数p p 使得 1 嬲盟生产 o i z i i i 则系统( d p s ) 在孵护中至少有一个非平凡解 注2 定理4 2 推广了文献f 4 9 】中的定理1 2 事实上，当p = 2 时，即是那里的结 论这里的结论与其他文献中得到的结论不同例如对所有。冗，t 【o ，t 】有函数 f ( t ，茹) = 詈i z i p ( 1 叫p + 1 ) ( i z l p + 2 ) 其中o o 使得 f ( t ，孑) p p 对兄中所有的 铂及t 【o ，t 1 都成立，其中u = 筝 则存在一个整数列( 岛) c ，如一o o 及相应存在系统( d 尸s ) 的b ? 周期解 五 主要结 果的证明 1 3 5 1 定理4 1 和定理4 2 的证明 引理l在定理4 1 的条件下，泛函9 满足紧性条件( c ) 。 证明： 设 。】c 蜀。为( d ) 序列( 其中口n 为容许的) 且满足s u p 垆( u 口。) o 使得 i 妒( t n ) i 峨( 1 + l l t 瓴f 1 ) 0 ( 妒l x 。) 7 ( “n ) | | 够 由( f 3 ) 知，存在一常数脶 厶使得对所有m ，t 【o ，列都有 肛f ( t ，z ) 一( v f ( t ，z ) ，z ) c b l z l 2 其中岛= 学卢 由( a 7 ) 知，存在一常数q o ，使得对所有蚓舰，t 【o ，卅都有 因此有 肛f ( t ，$ ) 一( v f ，z ) ，茹) q ( v f o ，茹) ，z ) p f ( t ，z ) 一c f o i z l 2 一q( 5 ) 对所有r ，t 【o ，卅成立当茹r o ) 且t 【o ，卅时令 ，( s ) = f ( t ，s z ) ， 那么，我们可以由( 4 ) 推导得到 这说明 解上式左边的方程得 所以，对s 酱有 v s 罂 一i z i ，怕) = 三( v f ( 如z ) 川) 等f ( ，s z ) 一岛s 即 = 等m ) 一岛s 卯 夕( s ) = ，7 ( s ) 一鲁邝) + 岛s 衅o m ，= ( 掣咖+ g ) 矿 m ，= ( 名掣咖+ q ) s p 7 一p_ ， 1 4 且 解得 把仍= ( 拱) p ，( 酱) 代入( 6 ) 有 则 ，( 酱) = 岛( 箐) p ， 仍= ( 龆) p ，( 酱) 。 m ，= ( 名掣西+ 岛) = ( 后磐办一岛2 后，p 办+ 仍) 鲥+ ( 筹尹儿高耘川p ) 矿 ( 町郎箐2 ) 一d 知) 川能 f ( t ，z ) = ，( 1 ) ( 圻坼酱z ) 一d 耘) 吲p 对r 中所有h n 以及t f o ，卅成立由条件( f 2 ) 和上面的不等式可得 f ( 毛霉) 芝岛p 对所有 尬，t 【o ，卅成立，其中岛= 归一岛) 研一p = 鲁聊一。 o 由f ( 厶z ) 的连续性知，存在常数瓯 o 使得 对所有 n ，z 【o ，卅成立 令g = 侥衅+ q ，则有 i f ( t ，。) i 吼 f ( t ，z ) 岛p 一瓯 一方面，由( 5 ) ，( 8 ) 及h 6 l d e r 不等式，可得 3 肘2 妒( t n ) 一( 妒i ) 7 ( ) ，t ，1 ) = ：2 妒( t h ) 一( 妒( t h ) ，t 正n ) = f ( v 脚 啪一z t 2 脚n ) 班 1 5 ( 8 ) f0 f ( t ，) 一岛i 1 2 一q ) 如一f 2 f ( 岛) 出 似一2 ) r f ( t ，) 如一岛 丁i 1 2 出一a t似一2 ) f ( t ，) 如一岛i i 出一a t 一2 ) 岛 tl u n r 出一岛f tl 1 2 蹴一侥丁 一2 ) 岛zl u n r 出一岛上l 1 2 蹴一侥丁 其中常数倪 o 所以口i t n p 蹴有界则由h 6 l d e r 不等式知i t n 1 2 d t 也是有界的 另一方面由f 5 1 右 + 1 ) 拟 2p 妒【j 一( 妒l ) ，【j ，t ，1 ) = p 妒( t 瓴) 一( ( 乱n ) ，牡忭) = 等z rj 1 2 蹴一z t p f ( t ，) 出一z 丁l 1 2 蹴+ z t ( v f ( t ，) ，) 疵 = 字z ? 蚶出一z t ( p f ( 驰n ) 一( v f ( ) ，) ) 班 字小蹴一z ? ( 酬2 班 字小n | 2 蹴一岛小出一q t 因此口i 1 2 d t 有界 综上知，f | “竹0 有界用文献【7 】中的命题4 3 的同样的方法，我们能够证明 p 显然l l t 10 充分大时必有妒( 1 ) so 综上所述，泛函妒满足引理中的所有条件从而妒在珥上至少有一个临界点面且 露o u 1 5 2 定理4 3 和定理4 4 的证明 引理2在定理4 3 的条件下，泛函妒满足紧性条件( c ) 证明：令 乱n c 略，p 且满足妒( u n ) 有界及( 1 + i i l i ) i i ( ) l l 叶。当佗一o o 那 么存在常数m o 使得对每个佗都有 i 妒( u n ) i 西，( 1 + i i t 上n 1 1 ) i l 妒7 ( u n ) l i - 圩 由条件( f 7 ) 知，存在常数m 1 r 2 使得 p f ( t ，z ) 一( v f ( t ，z ) ，z ) c f o l z 严 对一切m l 和t f o ，列成立其中岛= 宇 由( a 7 ) 知，存在常数c l o 使得 酗f ( t ，$ ) 一( v f ( t ，z ) ，o ) q ( 1 0 ) 对一切h m l 和【o ，明成立因此有 ( v f 0 ，z ) ，z ) p f ( t ，髫) 一c b i z i p q ( 1 1 ) 对一切z r 和t 【o ，卅成立与引理l 类似地讨论可得：存在常数瓯 o 使得 f o ，z ) 岛l z l p q ( 1 2 ) 1 8 对一切z 兄，t 【o ，t 】成立其中岛= 一舄) 嵋一p = 鲁m p p o 由( 1 1 ) ，( 1 2 ) 和h 6 l d e r 不等式，与引理1 类似地讨论，一方面我们可以得到铲l u n 尸出 有界，另一方面也可得到i 也n i p 如有界因此| | u 洲在空间略p 中有界根据嵌入 吩pcc ( 【o ，卅；冗) 的紧性，序列 “n 】必然有一个收敛子列，仍记为 【) ，满足 一t 弱收敛w p ， ( 1 3 ) _ ”强收敛c ( 【o ，卅；冗) ( 1 4 ) 注意到一 ( ( t ，i ) ，让一) = z ri 心n i p 一2 ( “，也一也n ) 出一z ? ( v f ( t ，) ，t 一) 斑 和 ( ( ) ，t 一) _ o 当nq o 。 由( 1 4 ) 可得 t t l 在c ( 【o ，卅；r ) 中有界那么由条件( a 7 ) 有 i z t ( v f ( t ，) ，札一) 出l z t i v f ( t ，) | 1 u 一l 如 q f “一“n l 班 侥丁i i u 一心n 0 对某个正数瓯成立再结合( 1 4 ) 即得 ( v f ( t ，) ，”一) 班一。当n o o 从而 i 疵n i p 2 ( “，心一) 出一。当n o o ，o 另一方面，由( 1 4 ) 易知 z t i 牡n r 2 ( t ，i ，让一) 出一。当n o o 设 则有 和 惭神训p = 三( 肌叭脚p 出) ( ( ) ，u t ，i ) = z ri r 2 ( ，u 一) d t + z r l 也n r 2 ( “，也一) 班 ，0- ，0 ( 妒，( ) ，t 一) _ o 当n 一 1 9 ( 1 5 ) 利用h 6 l d e r 不等式，有 os ( 1 | t ，i 酽一一m i p 一1 ) ( n t ，ij l 一删i ) ( 妒7 ( ) 一( 让) ，t ，i 一) 再加上( 1 5 ) 可得l l u n 8 _ 1 根据空间咿的一致凸性，就能推出_ t 在嵋护中 强收敛 下面给出定理4 3 和4 4 的证明， 定理4 3 的证明 文献【2 】证明j ，在( g ) 条件下，形变引理也成立，从而广义山 路引理在( c ) 条件下也成立因此根据广义山路引理，我们只需证明如下两个条件 ( 妒1 ) 撼妒( 邳 o ， ( 忱)s u p 妒( t ) d o o ，s 1 1 p 妒( so ， u e q“ 这里s = 访蛩p n a 岛，岛= 。w 孕p il l 别i ， p 显然，存在一正常数三1 使得 妒扣) 二l ，魄q( 1 7 ) 毗删= 三r 一z t 脚栅冲 刍z 丁i 的l p 如一c 3z 丁i z + 5 e i p 出+ c 5 7 s 三扩f f e 垆一c 3 z 丁l z + s e i p 如+ c 5 t 秒卜仍t 学( 删疵) 羞懈 渺i l p 唧孕( 知1 2 + s 2 | e 1 2 ) 毗) 爹郴 ( 1 8 ) 当r 充分大时，对每个z + r 占q ，由( 1 8 ) 和l l 可得 幽+ r e ) s 扣旷唧学( 知附| e | 2 ) d 弘c s r 抄垆哪学( “2 出) 羞瑚 。 ， 当8 = o 时，对任意z r ，由( f 4 ) 可得 ) 一一z 丁讯z ) 出。 ( 2 0 ) 当蚓= r 时，对任意刃+ s e q ，由( 1 8 ) 可得 + s e ) 渺酽哪学( 胁2 + s 2 l e l 2 ) d 产岛t 刍妒i l e i l p c 3 丁础+ c 5 r o ( 2 1 ) 故由r 1 9 ) 一r 2 1 1 及f 】7 、可得 8 u p 妒( u ) o ( 妒1 ) 得证 下面我们证明( 忱) 当七2 时，在定理4 3 证明( 妒2 ) 的部分把? 替换成詹t 则与( 1 7 ) 和( 2 1 ) 同理可推出 及 s u p 妒南( “) l 2 2 时，假设 e l ，e 2 ，叫) 为r 的标准正交基，且磐= r os p a n e ) 其 中e 彤留，e = s i n ( 七一l u t ) e 1 于是对任意u 砩拳，都存在口 r ( i = o ，1 ，) 使 得珏= 口0 e 18 i n ( 奄一1 u ) + 篓1 戗e 1 因此疵= 七一1 口o e lc o s ( 七一1 u t ) 取q 七= s e l o s 毋o 茹r 2 n 其中6 2 他所以容易证到 弛卓饕。慨( 毒e + z ) 。o 当。三z 打i s 卵出刍2 l p 扩t 矿 ( 2 7 ) 弛+ z q 七罩抖卫q 每p ，o p 我们知道，当川= 2 6 时，对任意t 【o ，七卅，都有l s e + z l 例一s 2 否一6 6 成立 于是当吲= 2 6 时，对每个s e + z a 饥，由( f 9 ) 可得 慨( s e + z ) = 刍z 打i 始i p 疵一z 惫丁f ( t ，s e + z ) 出 圭2 l p 扩? 矿一芦 七t i s e + 圳尹疵 p i ，o 1 圭2 1 一p “尸丁矿一p 砖t 酽o ( 2 8 ) p 当s = 6 时，取e 一例1 6 e + 圳 ) ，其中z r 我们断言m e