（等离子体物理专业论文）托卡马克等离子体双撕裂模不稳定性的mhd研究.pdf

大连理t 犬学博j ：学侮论文 摘要 在t o k a m a k 等离子体磁流体不稳定性中，撕裂模不稳定性占据着极其重要的地位 在先进托卡马克运行模式中，一个重要的改进方案就是建立反剪切的约束磁场位形，但 是，反剪切磁场位彤又会诱导双撕裂模不稳定性发生，即两个安全因子数值相同的有理 面上的磁岛互相驱动快速增长，这反过来对t o k a m a k 的磁约束造成严重破坏作用近二 十年来绝大部分的理论和模拟研究都集中在双撕裂模线性和非线性早期阶段的发展但 是由于问题的复杂性，双撕裂模非线性发展中后期阶段的物理过程还没有完全搞清楚， 尤其是磁场拓扑变化和动力学增长特征还需深入研究 在本论文中，我们采用可电阻磁流体模型来研究双撕裂模的整个非线性演化过程， 着重讨论不同非线性阶段中双撕裂模增长率与电阻的定标关系第一次从理论上初步解 决了在双撕裂模非线性发展的中、后期阶段中磁场拓扑演化和动力学增长特征等问题 第一章，简述了本课题研究的背景，综述了单撕裂模线性和非线性理论以及双撕裂 模线性和非线性理论的发展 第二章，采朋可压缩的电阻磁流体模型来研究双撕裂模的整个非线性演化过程第 一次准确地给出了非线性各个阶段的增长率与电阻的定标关系，丰富了早期研究中对非 线性增长阶段的理解【z c h a n ge ta 1 ，p h y s r e v l e t t 7 7 ，3 5 5 3 ( 1 9 9 6 ) ；y 1 s h i ie ta l ，p h y s r e v l e t t 8 9 ，2 0 5 0 0 2 ( 2 0 0 2 ) 得到：在双撕裂模的非线性发展过程中，第一个阶段是 l i o n c o n s t a n t 一吵s w e e t p a r k e r 模式重联阶段，与电阻定标关系为r “2 ；紧接着的第二个 阶段是r u t h e r f o r d 模式增长阶段，与电阻的定标关系是矿；第三个阶段是由十两个有 理面上磁岛分形线开始合并形成强驱动重联引起的w a n g b h a t t a c h a r j e e m a 模式快速增 长阶段，与电阻的定标关系是r “；最后是系统振荡的衰减在第三个阶段过程。f j ，当 两个有理面中间的反向磁力线被联完之后，磁岛开始和有理面外面平衡磁场的磁力线发 牛重联，新生成的磁力线将两个有理面上的磁岛重新分开这样，从物理本质上解释了 为什么不同有理面上的磁岛在非线性后期互相交换径向位鹭最后，给出了一个判断多 有砰面系统叶i 磁场重联终态的判据 第三章，主要研究了在双撕裂模整个非线性演化过程等离子体流场的变化在第 、二个非线性阶段，磁岛还很窄，等离子体流场分别分布在两个有理面的磁岛内在第 三个非线性阶段，磁岛足够宽以至于两边磁岛里的等离子体运动耦合起来形成大的涡流 双撕裂模不稳定性的m h d 模拟研究 结构，并且在磁岛的两边形成很强的极向剪切流层在分形线合并之后的一段时间里， 大涡流结构和强极向剪切流层依然存在在磁场重联的最终阶段，幅度很小的等离子体 速度沿着磁i = 线形成若干个细长的涡流接着，着重讨论了等离子体极向剪切速度随时 间演化和空间分布最后，分析了电阻率对极向速度，极向速度剪切强度、剪切层宽度 的影响 第四章，主要研究了两个有理面之间的距离和平衡磁场剪切强度对双撕裂模非线性 演化的影响通过模拟发现，当两个有理面之间的距离大约为一0 3 l o 时( 其中厶是磁场 在小半径方向变化的特征尺度) ，由双撕裂模引发的磁流体活动最为剧烈，增加初始磁 剪切强度会有效地加剧磁流体活动这些磁流体活动包括：不稳定模式的演化时间、动 能最大值、极向速度最大值，极向速度剪切最大值、和电流最大值并且从磁能释放的 角度来解释这些影响的物理原因本章得到的数值结果将会对设计t o k a m a k 的平衡磁场 位形有重要的参考意义 第五章，采用了不可压缩的准线性理论研究了双撕裂模线性和非线性发展过程，着 重分析了m = 0 模在m = 1 模线性和非线性早期演化过程中起到的作用当m = 0 模和 m = 1 模耦合的情况下，m = 1 支配着线性阶段的发展过了线性阶段进入非线性早期时， m = 0 模开始支配系统的发展也正是= 0 模和m = 1 模的耦合才使系统的电流被箍缩 在有理面附近形成电流片，进而扭曲了平衡磁场导致双撕裂模的发展在磁场重联的终 态，m = 0 模起着绝对的支配作用当系统中只有t n = 1 单模演化的情况下，系统将长时 问处于线性发展阶段而且，详细地比较了两种情况下磁场、电流和等离子体速度的发 展情况 最后，总结全文并提出工作展望 关键词：撕裂模：磁场重联：反磁剪切：磁流体 大连理工大学博士学位论文 m h ds t u d i e sf o rd o u b l et e a r i n gm o d e si nt o k a m a kp l a s m a s a b s t r a c t t e a r i n gm o d ei sad o m i n a n tm a g n e t o h y d r o d y n a m i c ( m h d ) i n s t a b i l i t yi nt o k a m a k p l a s m a s o n eo ft h ep r o p o s e di m p r o v e m e n t sf o rh i g hp e r f o r m a n c em a g n e t i cc o n f i n e m e n ti n a d v a n c e dt o k a m a k si st h ec o n f i g u r a t i o nw i t har e v e r s e dm a g n e t i cs h e a r o nt h eo t h e rh a n d h o w e v e rt h i st y p eo fm a g n e t i cc o n f i g u r a t i o nw i l li n d u c ed o u b l et e a r i n gm o d e sf d t m s ) t h e i s l a n d sa tb o t hr e s o n a n c es u r f a c e sw i t ht h es a m es a f e t yf a c t o rw i l ld r i v ee a c ho t h e rv i o l e n t l y ， r e s u l t i n gi n s e v e r ed e s t r u c t i o n st om a g n e t i cc o n f i n e m e n ti nt o k a m a kd i s c h a r g e s i nt h el a s t t w od e c a d e s t h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a li n v e s t i g a t i o n sh a v ef o c u s e do nt h el i n e a ra n de a r l y n o n l i n e a rd e v e l o p m e n t so fd t m s o w i n gt oi t sc o m p l e x i t y ，t h el a t en o n l i n e a re v o l u t i o no f d t m s ，i np a r t i c u l a rt h em a g n e t i ct o p o l o g yc h a n g ea n dr e l e v a n td y n a m i cg r o w t h ，a r es t i l lf a r f r o mw e l lu n d e r s t o o d i nt h i st h e s i s w ea d o p tt h er e d u c e dr e s i s t i v em h dm o d e lt os t u d yt h ee n t i r en o n l i n e a r e v o l u t i o no fd t m sw i t he m p h a s i so nr e s i s t i v i t y s c a l i n gl a w so ft h eg r o w t hr a t ei nv a r i o u s r e g i m e s t h 。p r o b l e mo fm a g n e t i ct o p o l o g ye v o l u t i o na n dr e l a t e dd y n a m i cp r o c e s s e si nt h e e n t i r en o n l i n e a rd e v e l o p m e n to f d t m si ss o l v e df o rt h ef i r s tt i m e i nc h a p t e ri ，ar e v i e wo nt e a r i n gm o d e si ns p a c ea n dl a b o r a t o r yp l a s m a si si n t r o d u c e d ， i n c l u d i n gt h eb a s i so fl i n e a ra n dn o n l i n e a ro r d i n a r yt e a r i n gm o d ea sw e l la sd t m s i nc h a p t e ri i ，t h er e d u c e dr e s i s t i v em h dm o d e lf o rc o m p r e s s i b l ep l a s m a si se m p l o y e d t oi n v e s t i g a t et h ee n t i r en o n l i n e a re v o l u t i o no fd t m s r e s i s t i v i t yd e p e n d e n c e sf o rv a r i o u s p h a s e s a r es t u d i e da n ds h o w nb ys c a l i n ga n a l y s i sf o rt h ef i r s tt i m e ，i m p r o v i n gt h e u n d e r s t a n d i n gf o rt h en o n l i n e a rf a s tg r o w t hp h a s ei np r e v i o u sa r t i c l e s ( z c h a n ge la 1 ，p h y s r e v l e t t 7 7 ，3 5 5 3 ( 1 9 9 6 ) ；y ，i s h i ie ta 1 ，p h y s r e v l e t t 8 9 ，2 0 5 0 0 2 ( 2 0 0 2 ) 1 i ti sf o u n dt h a t i nt h en o n l i n e a re v o l u t i o no fd t m s ，t h ef i r s ta n ds e c o n dp h a s e sa r en o n - c o n s t a n t - s w e e t p a r k e rr e g i m ew i t ha r 1 ”s c a l i n ga n dr u t h e r f o r dr e g i m ew i t ha r 1s c a l i n g r e s p e c t i v e l y t h et h i r dp h a s ei st h ew a n g b h a t t a c h a r j e e m af a s tr e c o n n e c t i o nr e g i m ew i t ha 1 s c a l i n gd u et ot h em e r g i n go fm a g n e t i cs e p a r a t r i c e sw h i c hm a yb er e g a r d e da s a s t e a d i l yi n w a r d f l u x d r i v e n f i n a l l y ，a no s c i l l a t i n gd e c a yp h a s e f o l l o w s t h em a g n e t i c r e c o n n e c t i o nb e t w e e ni s l a n d sa n de q u i l i b r i u mf i e l dl i n e st h e ns t a r t sw h e nt h em a g n e t i cf i e l d l i n e si nt h er e g i o nb e t w e e nt h er a t i o n a ls u r f a c e sa r ef u l l yr e c o n n e c t e d a sar e s u l t ，t h en e w l y g e n e r a t e df i e l dl i n e sp u s ht h ei s l a n d sa w a y ，e x p l a i n i n gt h ep h e n o m e n ao ft h er a d i a lp o s i t i o n e x c h a n g eo ft h ei s l a n d si nt h el a t en o n l i n e a r e v o l u t i o no fd t m s i na d d i t i o n ap r e d i c t i o nf o r t h ef i n a ls t a g eo f m a g n e t i cr e c o n n e c t i o ni nm u l t i p l er e s o n a n c es u r f a c es y s t e m si sb r o u g h to u t 双撕裂模不稳定性的m h d 模拟研究 i nc h a p t e r1 1 l ，t h ee v o l u t i o no ft h ep l a s m av e l o c i t yi nt h en o n l i n e a rd e v e l o p m e n to f d t m si s i n v e s t i g a t e d t h ep l a s m av e l o c i t yi sl i m i t e di n s i d eo fe a c hi s l a n dw h e nt h ei s l a n d w i d t hi ss m a l li nt h ee a r l yp h a s e s i nt h et h i r dp h a s eh o w e v e r , t h ei s l a n dw i d t hi sl a r g ee n o u g h f o rf l o w st oc o u p l et o g e t h e ra n df o r mb i gv o r t i c e s ，a n ds i m u l t a n e o u s l yt h ep o l o i d a ls h e a r e d f l o wl a y e r sa l s of o r mi nt h er e g i o nc l o s et ot h et i p so ft h em a g n e t i ci s l a n d s f u r t h e r m o r e ，t h e v o r t i c e sa n dt h ef l o wl a y e r ss t i l lr e m a i nf o raw h i l ea f t e rt h em e r g i n go fm a g n e t i cs e p a r a t r i c e s i nt h ef i n a ls t a g eo fm a g n e t i cr e c o n n e c t i o n ，t h ep l a s m af l o w sd e v e l o pa l o n gm a g n e t i cf i e l d l i n e sw i t hs m a l lv e l o c i t ya n df o r ms e v e r a ln a r r o wv o r t i c e s i nc h a p t e ri v ，t h ee f f e c t so f t h ed i s t a n c eb e t w e e nt h er e s o n a n c es u r f a c e sa n dt h es h e a r s t r e n g t ho ft h ei n i t i a lm a g n e t i cf i e l do nt h en o n l i n e a re v o l u t i o no fd t m sa r es t u d i e d n u m e r i c a l l y i ti sf o u n dt h a tt h em o d ei sm o s tu n s t a b l ei ft h ed i s t a n c eb e t w e e nt h er e s o n a n c e s u r f a c e si si nar a n g eo f 0 3 厶，w h e r e l o i st h et y p i c a ll e n g t hf 研t h ep o l o i d a lv a r i a t i o no f t h em a g n e t i cf i e l d m o r e o v e r ，i n c r e a s i n gt h ei n i t i a ls h e a rs t r e n g t hw i l le f f e c t i v e l yi n t e n s i f yt h e m h da c t i v i t i e s ，i n c l u d i n gt h ee v o l u t i o nt i m e ，a n dm a x i m u m so ft h ek i n e t i ce n e r g y ，p o l o i d a l v e l o c i t y ，p o l o i d a lv e l o c i t ys h e a r ，a n dc u r r e n t t h e s ei n f l u e n c e sa r ee x p l a i n e di nt h ea s p e c to f m a g n e t i ce n e r g yr e l e a s e a na n a l y s i sf o rt h en u m e r i c a lr e s u l t si nt h i sc h a p t e rc o u l dc a s tl i g h t s o nt h em a g n e t i cc o n f i g u r a t i o nd e s i g ni nt o k a m a k s a sas p e c i f i ce x a m p l e ，aq u a s i l i n e a rt h e o r yo fi n c o m p r e s s i b l em h dm o d e li su s e di n c h a p t e rvt os t u d yt h ee f f e c t so ft h em = 0h a r m o n i c so nt h ee a r l yq u a s i - l i n e a rs t a g eo f m = 1d o u b l e t e a r i n gm o d e s i nt h ee a r l yg r o w t h ，i ti sf o u n dt h a t m = 1h a r m o n i c s d o m i n a t e st h el i n e a rg r o w t ha n dt h ee f f e c to ft h em = 0h a r m o n i c sc a nb en e g l e c t e d a st h e m o d eg r o w sn o n l i n e a r l yh o w e v e r , t h ec o n t r i b u t i o no ft h em = 0h a r m o n i c sb e g i n st oe x c e e d t h a to ft h em = 1h a r m o n i c sa n dd o m i n a t e st h em o d e i ti st h ec o u p l i n gb e t w e e nt h em ；0 a n dm = 1h a r m o n i c st h a tm a k e st h et o t a lc u r r e n tp i n c h e da r o u n dt h er e s o n a n c es u r f a c e st o f o r ms h a r pa n dn a r r o wp r o f i l e s a sar e s u l t ，t h ee q u i l i b r i u mp o l o i d a lm a g n e t i cf i e l di s d i s t o r t e dt or e d u c et h ed e s t a b i l i z i n gf r e ee n e r g ys t o r e di nt h ea n t i p a r a l l e lm a g n e t i cf i e l d t h e m = 0h a r m o n i c sp l a y sad o m i n a n tr o l ei nt h ef i n a ls t a g eo fm a g n e t i cr e c o n n e c t i o n i nt h e c a s ew i t h o u tt h em = 0h a r m o n i c s t h em = 1h a r m o n i c sw i l lm a k et h em o d eg r o wl i n e a r l y f o ral o n gp e r i o d t h ep r o f i l e so ft h ec u r r e n lm a g n e t i cf i e l d ，a n dp l a s m av e l o c i t yi nb o t h c a s e sa r ec o m p a r e d f i n a l l y ，ab r i e fs u m m a r ye n d st h et h e s i s k e yw o r d s ：t e a r i n gm o d e ；m a g n e t i cr e c o n n e c t i o n ；r e v e r s e dm a g n e t i cs h e a r ；m h d i v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名 吼- l ；1 y - v q i e 互) l u 汐 日期： 查垄垄三查堂堡主堕窒竺堂堡笙奎 一 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理1 二大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名 导师签名 巫也泸童勉 五堑型 、 月上护 大连理1 = 大学博1 学位论文 1 绪论 1 1 托卡马克和空间等离子体中的撕裂模不稳定性 在托卡马克( t o k a m a k ) 等离子体和空间等离子体中存在着许多爆发现象，在这个过 程当中释放出大量能量，引起等离子体状态的急剧变化导致这些爆发现象的能量主要 来自磁场在t o k a m a k 装置放电过程中出现的破裂不稳定性是最危险、最令人不解的现 象，它是一种无法预料的等离子立体柱膨胀，并伴随着与变压器原有反相的负电堰高峰 它不仅限制着等离子体电流和密度的运行范围。而且还会对t o k a m a k 装置产生巨大的机 械应力和热负荷的冲击，这已经成了在托卡马克装置上实现聚变点火的主要障碍之一 在太阳大气中耀斑是一种强烈的不稳定过程，约在1 0 2 s 一1 0 3 s 内释放出i 酽j 1 0 ”j 能量， 引起局部等离子体的瞬时加热和各种电磁辐射，并伴有粒子辐射的突然增加，耀斑还产 生系列空间物理和地球物理效应。导致电讯中断以及磁暴和极光等现象磁层业暴是 - 一种磁层快速释放能量的过程。引起包括磁尾在内的整个磁层系统剧烈变化在典型的 磁层皿暴期间，磁层中约有1 0 ”j 的能量最后耗散为热f 1 1 1 磁场重联提供了一种将磁能快速转化为等离子体动能和热能的有效机制，同时引起 t o k a m a k 等离子体和空间等离子体中的磁场拓扑位形变化【2 ，3 】在t o k a m a k 装置放电 过程中，磁场重联能引起等离子体约束的瓦解在日冕中，它可将存在于大尺度磁场结 构。p 的磁能快速释放，导致耀斑的发生；小尺度磁场重联对日冕等离子体加热起着重要 作用在行星磁层中，磁场重联形成开放型的磁层磁场位形，导致太阳风动量进入磁层 的有效耦合，以及沿着开放磁通量管的等离子体质量交换【1 ，3 ，4 1 所谓磁场重联，是指在具有有限电导率的磁等离子体中，电流片中的磁力线自发或 被迫断开和重新联接的过程，伴有磁能突然释放并转化为等离子体的动能和热能，引起 带电粒子的加速和加热【1 ，5 】有限电导率不仅仅会引起电流耗散和产牛欧姆加热，更 重要的是它解除了理想方程的某些约束，从而允许等离子体有可能达到一种比原先更低 的势能态，引起新的不稳定性由于有限电阻影响而产生的不稳定性称为电阻不稳定性 ”磁力线不再与等离子体冻结在一起时，磁力线可以断开并重新联接，形成若干个磁岛 的细束，并且使得输运增强这种由于有限电阻效应导致磁力线撕裂和形成磁岛的不稳 定性过程，称为撕裂模不稳定性【6 】 磁场重联的过程如图1 1 所示，图中虚线表示初始电流片的位置，它将等离子体和 磁场分隔成具有反平行的磁场分量的两个区域( t - o ) 在t = t l o 时刻，由于某种原冈使两 侧的等离子体向着电流片运动，同时电流片两侧具有相反的磁力线互相靠近。t = t 2 t l 双撕裂模不稳定性的m h d 模拟研究 时，具有反向的磁力线住x 点处彼此接触由于某种扩散机制或其它原因，在h 3 t 2 时 初始的磁力线断开，重新组成了两条新的磁力线因为重新联接后的磁力线是高度弯曲 的，磁张力加速等离子体，磁能迅速转化为等离子体的动能和热能，磁场位形的拓扑结 构发生了改变 t 2 0 t - t 1 t = h 仁t 3 涨 图11 磁重联的示意图摘自文献 1 】 f i g 11a s k e t c ho f m a g n e t i cr e r 。o r m e c t i o n a d a p t e df r o mr e f 【1 】 x 图1 ，2 磁岛示意图摘自5 f f 我 7 】 f i g 1 2as k e t c ho f m a g n e t i ci s l a n d s ，a d a p t e df r o mr e f 【7 】 图2 ( 上) 显示了撕裂模不稳定性发生的初始磁场位形，即系统具有反平行的磁力线： 图2 ( 巾) 显示了系统发生了磁场重联生成磁岛细束；图2 ( 下) 显示了一个磁岛的具体结构 通常把磁岛的中心点称作0 点( o p o i n 0 ，磁岛最外面的尖点成为x 点( x p o i n t ) ，磁力线 迎爪 大连理t 大学博_ | 学位论文 在此发牛断裂并重新联接磁岛最外面圈磁力线称作磁分形线( s e p a r a t r i x ) ，在分彤线 里面和外面磁场的拓扑结构不样w 是磁岛的宽度 1 2 托卡马克磁场位形 托卡马克装置如图1 3 所示，托卡马克磁场是由外加线圈产生的沿大环方向的环 向磁场吃( 有时也被称为“纵向磁场”) 和一个由等离子体电流丘产生的极向磁场b 迭 加而成的一种轴对称的螺旋形磁场一般情况下，吃 岛，总磁场可表示成： 云= 吃己+ 岛毛 ( 1 1 ) 图1 3l o k a m a k 装置示意图摘自文献( 8 】 f i g1 3a s k e t c ho f t o k a m a ke q u i p m e n t a d a p t e df r o mr e f 【s 】8 s t r o n gt o r o i d a lm a g n e t i cf i e l d 图1 4t o k a m a k 装置中磁场位形示意图摘自文献【8 j f i g 14as k e t c ho f m a g n e t i cc o n f i g u r a t i o ni nt o k a m a ke q u i p m e n t a d a p t e df r o mr e f 【8 】 双撕裂模不稳定性的m h d 模拟研究 在没有扰动的平衡状态下，该磁场的磁面为一组光滑的互相嵌套在+ 起的轴对称偏 心环面，可川环坐标系加以描述，见图1 4 托卡马克磁场是轴对称的螺旋彤磁场，磁 力线绕大环方向延伸同时又绕小环中心轴旋转，而且一般情况下转一周后磁力线不会发 生闭合，这种性质称为托卡马克磁场磁力线的旋转变换性当沿大环方向转n 圈的同时 也沿小环方向转m 圈，当州m 为有理数时，磁力线发生闭合，这种磁力线构成的曲面称 为有理磁面。如果叫珊为无理数，则磁力线总是不能闭合，这样的磁力线构成的曲面称 为无理磁面通常q ( ，) = 脚n 称为t o k a m a k 的安全因子在t o k a m a k 中，撕裂模不稳定 性总是发生在有理磁面上 图1 ，5t o k a m a k 装置中有理面附近磁场位形转换成平板位形下的剪切磁场位形摘自文献【9 1 f i g1 5t h et r a n s f o r mf r o mm a g n e t i cf i e l dn e a rt h er e s o n a n ts u r f a c ei nt o k a m a kt os h e a rm a g n e t i c f i e l di nas l a b a d a p t e df r o mr e f 【9 l 大连理工人学博f 学位论文 通常为了研究的几何位彤简化起见，通过图1 5 所示的磁场位形变换，最终可在 平板位形下来研究撕裂模不稳定性 9 ，1 0 】， 1 3 线性撕裂模不稳定性 假设等离子体是不可压缩的，且忽略粘滞性， 的摹本方程可以写成【l o 】 罢虮( u x b ) + 抑， 户害一”帆b 热传导及其它外力，那么磁流体力学 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 这里b 和u 分别是磁场强度和等离子体速度，7 是电阻率；p ，p 和j 分别是等离子体密 度，压强和电流密度( 1 2 ) 式右端第一项表示等离子体流动对磁场的影响，称为对流项 右端第二项表示由于有限电阻导致的磁场扩散，称为扩散项对流项与扩散项的比值， 即这两项对磁场的影响的相对大小可以用磁雷诺数s = l o g o r 表示( 其中厶和分别为 电流片的特征长度和等离子体的特征速度) 当s 1 时，磁场扩散的影响不重要，磁感 应方程中对流项占主导作用，等离子体随磁力线一起运动，磁场和等离子体将相互”冻 结”当s “1 时，磁场扩散占主导作用，等离子体和磁力线不再相互”冻结”，磁场将穿 过等离子体”扩散” 8 埘 b o 厂 x b o 图1 6 平板模型中的初始平衡剪切磁场 f i g 16t h ee q u i l i b r i u ms h e a rm a g n e t i cc o n f i g u r a t i o ni nas l a b 双撕裂模不稳定性的m h d 模拟研究 在平板模型中，假定磁流体是静止的( u 。= o ) 平衡磁场取成( 见图1 6 ) ， b o = 芝；+ e ( x ) 夕， ( 1 ，4 ) 其中e = 常数，鼠( 功= 盯( 力，( x ) = t a n h ( x l o ) 在t o k a m a k 中，；是导向场方向，夕 是角向场方向如图1 3 所示 由于磁场b 和速度u 的特殊性质，可以引进磁通函数妒y ) 和流函数矿( ，y ) 来描述 b 和u 分别如下。 b = v 缈+ 芝j ， ( 1 5 ) u = v 西三 ( 1 6 ) 将表达式( 1 5 ) 和( 1 6 ) 带入方程( 1 2 ) y f i ( t 3 ) 中，经过推导，那么方程( 1 2 ) 和( 1 3 ) 就可以改 写成 警= 詈m v y = 椤2 。 ， p 妄v 2 矿一纠v 妙印( v 2 妫】 将万程( i 7 ) 和( 1 8 ) 线性化，任一线性扰动量可以写成 爿( x ，y ，f ) = a ( x ，力e x p ( ? t ) 磁通函数e ( x ，y ) 和流函数( x ，y ) 写成扰动的展开表达式是【1 0 】 妒0 ，y ) = c o ( x ) + y l ( x ) c o s 砂， 矿( z ，力= 去珐( 力s i n 砂 这样基本方程( 1 7 ) 和( 1 8 ) 可以整理成 妒o ) 一f ( x ) 魂( j ) ：上【眇：( x ) 一tz 。( z ) 】， 一y 2 【衍( 工) 一k 2 破( x ) = ，( x ) 【眇：( 一k 2 ，( x ) 卜f 。y ，( x ) ， 驯k 等一古= 告， ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 l o ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 人连理r 大学博 ：学位论文 f 。是磁场扩散长度为a 时所需要的时间，即电阻扩散特征时间；f 。是在y 方向上磁场扰 动传播距离为a 时所需要的时间，即所谓的a l f v e n 时问磁雷诺数也就是s = 靠o ，通 常对t o k a m a k 等离子体来说s 1 0 6 方程( 1 1 2 ) 和方程( 1 1 3 ) 是两个耦合的二阶微分方程组，利用分区求解法并且利用在 等离子体内区为常数的假设，经过一系列的推导可以求出不稳定的增长率 1 0 ，1 1 】 ，- 【等等卜”矿， 脚 其中被称为撕裂模不稳定性因子 1 0 ，1 1 】， ：吐型型! 尘 ( 1 1 5 ) y i 这里t 是内外边界，是一个有量纲的量，它和l 在一起才是无量纲的量，而 r 1o s , ( x ) l j2 一b t 因此，当a 0 时， 0 ，撕裂模不稳定而当 0 时，y 2 s ) “9 ，则增长率 ，o c 0 7 5 5 ( a ) 4 ( 1 s ) 5 ( a b 鲫) “ ( 1 l8 ) 当两有理面之间的距离满足o e x s 位4 足) “”，则增长率 ，“( 1 r ) “3 岛。) “ ( 1 2 1 ) 当两有理面之间的距离满足a x , ( 8 ) “”，则增长率 yo c0 8 ( 1 r ) “5 嘭。) “5 这种增长率定标不同发生在 口t ( 口4 r ) “” ( 1 2 0 ) ( 1 2 i ) 这里r = f ，f 。是电子动力学雷诺数，o = 2 。( c 2 从) 是电子粘滞衰变时间，o = 口， 是极向a l f v e n 时间，口= k ，a 是归一化的波矢 通过图1 1 3 和图1 1 4 的本征函数我们可以看到，当有理面间距很小时t = 0 1 ，两 个有理面上的电流和极向速度互相耦合在一起，这就是真正意义上的双撕裂模；伉是? 1 1 有理面间距很大时x = 0 7 ，两个有理面上的电流和极向速度完全解耦，并且分别在各 自的有理面上独自发展，这时虽然有两个有理面，但是应该称之为两个单独的单撕裂模 人连理| t 大学博十何论文 图i 1 3 双撕裂模的扰动磁通函数妒i ，扰动位移，扰动电流厶，极向速度0 的空间分布，对应的 = o 1 摘自文献【5 8 】 f i g ，1 1 3 p e r t u r b a t i o no f t h e m a g n e t i c f l u x a n d t h e d i s p l a c e m e n t f ，a n d t h e p e r t u r b a t i o n o f t h e c u r t e a t d e n s i t yj a n d t h e p o l o i d a lv e l o c i t yj ：i f u n c t i o n so f x f o rx | = 0 1 a d a p t e d f r o m r e f 5 8 1 图11 4 双撕裂模的扰动磁通函数妒。，扰动位移善，扰动电流厶，极向速度的空间分布，对应的 t = 0 7 摘自文献【5 8 】 f i g 1 1 4p e r t u r b a t i o no f t h e m a g n e t i c f l u x 缈la n d t h ed i s p l a c e m e n t ，a n d t h e p e r t u r b a t i o no f t h ec u r r e n t d e n s i t y 上l ，a n dt h ep o l o i d a lv e l o c i t y 上l a sf u n c t i o n so f xf o r = 0 7 a d a p t e df r o mr e f 【58 】 除了对t o k a m a k 装置中双撕裂模的研究，最近a b i e r w a g e 等人通过模型分布预测了 t o k a m a k 中可能存在3 个q = l 的有理面( 见图1 1 5 ) ，即三重撕裂模( t r i p l e t e a r i n g m o d e s ) 他们较详细的研究了这种情况下的本征函数的分布情况以及增长率的定标 5 9 6 1 1 马腾才和宫野在1 9 8 4 年研究了两个有理面的之间的距离对双撕裂模线性增长率的 影响，并且用磁垒的概念给予了物理上的解释；此外讨论了与该工作相关的计算数值方 ：88。心嚣嚣 ；， 嚣：”“：葛 以 双撕裂模不稳定性的m ii d 模拟研究 法 6 2 ，6 3 1 王干专兵和王水等人在1 9 9 8 年和2 0 0 1 年解析地研究了多层电流片中双撕裂模 的耦合 6 4 ，6 5 沈超和刘振兴解析地研究了周期电流片系统中的对称模和反对称模线性 阶段的增长率1 3 5 ，3 6 ! 墨 喜 啊l d 沁sr 图l1 5 三重撕裂模初始磁场位形中的q 分布摘自文献【6 0 】 f i g1 1 5 t h eqp r o f i l e i n t h e i n i t i a l m a g n e t i cc o n f i g u r a t i o no f t r i p l e t e a r i n g m o d e s a d a p t e d f r o m r e f 【6 0 1 6 非线性双撕裂模不稳定性 当双撕裂模进入到非线性发展阶段，其中的磁场重联动力学过程和磁场拓扑结构的 变化非常的复杂虽然国内外很多的学者做了大量的研究工作，但是非线性后期发展阶 段的增长率与电阻的定标关系近十几年来一直没有被完全搞清楚