（运筹学与控制论专业论文）离散线性投资组合模型和算法研究.pdf

2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 摘要 投资组合理论是现代金融理论和投资理论的基础它主要研究的是投 资者如何在不确定环境下对资源进行合理分配和利用，以减少风险且最大 化收益随着现代金融业的发展和对国外金融行业的全面开放，我国金融 机构对投资组合理论的应用实践提出了更高的要求，因此研究更符合实际 的风险投资组合模型具有很重要的现实意义 本文针对金融市场交易的离散特征，主要提出了期望绝对偏差离散模 塑和极大极小投资组合离散模型，并给出了离散模型的分枝定界算法按照 从理论到实证研究的思路，我们分别用随机产生的数据、美国n a s d a q 股票 市场和中国a 股的真实数据进行了数值实验数值结果表明在一定的收益 下期望绝对偏差离散模型在风险控制上优于极大极小投资组合离散模型， 而在计算效率上极大极小投资组合离散模型优于期望绝对偏差离散模型 本文总共分为五章，第一章主要介绍了投资组合理论的研究现状，以 及对投资组合问题研究的背景和意义，同时简单介绍了本文各章的内容 第- - 章甥r 绍了投资组合最优化现有的主要模型，如t 均值一方差模型、因素 模型、均值绝对偏差模型、极大极小模型、均值风险价值模型、c v a r 模 型，并重点分析了每个模型的优缺点第三章我们主要考虑了带凹型交易 费用、无风险资产和整数交易手数的m i n i m a x 模型和m a d 模型，提出了 离散模型相应的分枝定界算法，以求解具有实际操作性的离散最优解第 四章给出了相关问题的数值试验结果第五章是结论部分，是对本文结果 的总结以及对未来研究的展望 关键词。金融优化，整数规划，离散线性投资组合模型，交易费用，分枝 定界法 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t m o d e r np o r t f o l i ot h e o r yp r o v i d e st h ef o u n d a t i o nf o rm o d e r nf i n a n c et h e o r y a n di n v e s t m e n tt h e o r y i te x p l o r e sh o wi n v e s t o r sa l l o c a t er e s o u r c ee f f i c i e n t l y u n d e ra nu n c e r t a i na n de v e r - c h a n g i n ge n v i r o m e n t ，t o8 d h i e v em o r ep r o f i tw i t h l e s sr i s k n o ww i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e r nf i n a n c ea n dt h eo p e np o l i c y t of o r e i g nf i n a n c i a li n d u s t r y , h i g h e rd e m a n df o re f f i c i e n tp o r t o f o l i oo p t i m i z a t i o n m e t h o d sa r er e q u i r e db yf i n a n c i a li n s t i t u t i o n s t h e r e f o r e ，i ti so fg r e a ti m p o r t a n c e t oi n v e s t i g a t et h ep o r t o f o l i oo p t i m i z a t i o nm o d e l sp r a c t i c a l l y r e c o g n i z i n gt h ed i s c r e t ec h a r a c t e r i s t i c si nr e a l - w o r l df i n a n c ep r a c t i c e ，w e p r o p o s eb r a n c ha n db o u n da l g o r i t h m sf o rm e a n - a b s o l u t ed e v i a t i o nm o d e la n d m i n i m a xm o d e lu n d e rt r a n s a c t i o nr o u n d l o t sa n dc o n c a v et r a n s a c t i o nc o s t f o l - l o w i n gt h ec o n c e p tf r o mt h e o r yt op r a c t i c e ，n u m e r d a le x p e r i m e n t sa r ec a r r i e do u t f o rt e s tp r o b l e m sw i t hd a t af r o mr a n d o m l yg e n e r a t e d ，u s n a s d a qs t o c km a r k e t a n dc h i n aas t o c km a r k e t t h en u m e r i c a la n a l y s i si n d i c a t e st h a tf o rag i v e nl e v e l o fr e t u r n d i s c r e t em a dm o d e lo u t p e r f o r m sd i s c r e t em i n i m a xm o d e li nt e r mo f r i s kc o n t r o lw h i l ed i s c r e t em i n i m a xm o d e li sm o r ee f f i c i e n ti nc o m p u t a t i o nt h a n d i s c r e t em a dm o d e l t h et h e s i si so r g a n i z e da 8f o l l o w s i nc h a p t e r1 。w ei n t r o d u c et h eb a c k - g r o u n do fp o r t f o l i os e l e c t i o np r o b l e m sa n dt h es i g n i f i c a n c eo ft h ei n v e s t i g a t i o n o fd i s c r e t el pm o d e l s c o n t e n to ft h et h e s i si sa l s ob r i e f l ys u m m a r i z e d i nc h a p t e r2 ，w er e v i e ws e v e r a ld i f f e r e n tp o r t f o l i oo p t i m i z a t i o nm o d e l s ，s u c h a sm e a n - v a r i a n c em o d e l ，i n d e xm o d e l ，m e a n - a b s o l u t ed e v i a t i o nm o d e l ，m i n i m a x m o d e l m v mm o d e la n dc v 哦m o d e l t h ea d v a n t a g ea n dd i s a d v a n t a g eo ft h e m o d e l sw i l lb ea n a l y s e d i nc h a p t e r3 ，w ep r o p o s eb r a n c ha n db o u n da l g o r i t h m s f o rd i s c r e t em a dm o d e la n dd i s c r e t em i n i m a xm o d e lf o rf i n d i n gt h ee x a c tr o u n d - l o to p t i m a ls o l u t i o no ft h ed i s c r e t em o d e l s c o m p u t a t i o n a lr e s u l t sa r er e p o r t e di n c h a p t e r4 f i n a l l y , c h a p t e r5c o n t a i n ss o m ec o n c l u d i n gr e m a r k s ，es u m m a r i z e t h em a i nr e s u l t so ft h et h e s i sa n ds u g g e s ts o m ef u t u r er e s e a r c hd i r e c t i o n s k e yw o r d s ：p o r t f o l i oo p t i m i z a t i o n ，d i s c r e t el i n e a rp o r t f o l i om o d e l ，i n t e g e r p r o g r a m m i n g ，t r a n s a c t i o nc o s t ，b r a n c ha n db o u n da l g o r i t h m 上海大学硬士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：缨 导师签名：占垒：! ! ：蔓垒日期：坦墨：1 2 第一章前言 1 1 投资组合研究进展 现代金融理论作为一门新兴科学，主要研究经济主体与资源在时问和空间上配 置相关的行为，而时间和不确定性是影响经济主体金融行为的核心因素由于这些 因素互相作用的复杂性，我们需要非常有效的手段和方法来分析这种相互作用的效 果现代投资理论就是顺应这样的需要而产生并不断发展和完善的 1 9 5 2 年美国经济学家马科维茨( h a r r ym a x k o w i t z ) 发表了其著名的论文资产 组合选择( 见【2 6 1 ) ，在这篇论文中，他第一次用方差来量化股票的风险，提出了投 资组合选择的均值一方差分析方法这篇论文是金融数学在历史上的第个突破， 揭开了现代金融学研究的序幕在此之前，经济学家和投资管理者一般仅致力于对 个别投资对象的研究和管理，投资者对投资组合的应用依靠的是直觉和经验，缺乏 系统科学的计算方法与评价标准马科维茨认为，投资者在进行投资选择时，总是 期望获得较高的收益，同时又希望尽可能地回避风险，因此寻找满足。一定风险水 平上能够获得的最大收益或在不降低收益的前提下具有最小风险”的投资组合是投 资者所希望的于是马科维茨首先提出了以证券收益率的方差来量化风险，开创了 证券投资组合理论定量化研究的先河1 9 5 9 年，他出版了同名专著【2 8 】，详细论述 了“投资组合”的基本原理他运用了复杂的二次规划数学方法，解答了如何使多 元化投资组合最有效的问题其投资组合多元化的理论基础是t 投资组合的风险不 仅依赖其所含个别证券的特性，而且依赖于它们之间的关系该理论的核心是通过 每一证券的期望收益率、收益率的离差以及该证券对其他证券之间的协方差确定有 效投资组合 六十年代中期，在马科维茨的资产组合理论的基础上，夏普( w i l l i a ms h a r p e ) 、 林特纳( j o h nl i m n e r ) 和莫森( j a nm o s s i n ) 通过对资产价格均衡结构的研究，三人分 别独立地提出了著名的。资本资产定价理论”( c a p i t a la s s e tp r i c i n gm o d e i ：c a p m ) ( 见 【3 8 】) 这是一个在不确定条件下探讨资本资产定价理论的数学模型，它为金融市场 收益结构分析提供了理论依据他们证明了在均衡市场中，市场投资组合是有效的 投资组合，而且每种组合资产的预期收益率和它们与市场投资组合的收益率之间有 线性关系，这就是资本资产定价模型( c a p m ) 后来( c a p m ) 在证券估价、投资组 合的绩效的测定、资本预算和投资风险分析中得到广泛应用 虽然马科维茨的理论比较完善，但是在证券组合实际应用中，需要进行大量繁 1 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 2 重的计算工作，而且证券市场特别是股票市场上的价格变动十分频繁，因此很多时 候该模型会失去实际意义因此，众多经济学家在该领域又开展了广泛而深入的研 究和探索其中代表性的是马科维茨的学生夏普，在1 9 6 3 年他发表了一篇题为证 券组合分析的简化模型( 见【3 7 1 ) 论文，提出了简化的计算形式，建立了组合投资 的另一种方法，即现在的单因素模型该模型仍然属于均值方差分析的范畴，夏 普用单因子收益模型来估计风险资产的均值和协方差，大大减少了参数估计数量， 节约了计算资源不过它仍然突出了收益刻画在投资组合选择建模中的重要性，且 在形式上与c a p m 和a p t 相一致k o n n o 和y a m a z a k i 2 0 1 用期望绝对偏差来刻画 风险，给出了个投资组合选择的线性规划模型，常被称为均值绝对偏差模型， 并在收益服从正态分布的条件下，期望绝对偏差与方差相一致y o u n g 4 5 】利用极 小极大规则建立了一个投资组合选择的线性规划模型，该模型实际上是以投资组合 收益的最小顺序统计量作为风险度量c a i 等【1 0 】用投资组合各项资产收益中的最 大期望绝对偏差来刻画风险，也给出了个投资组合选择的线性规划模型，同时给 出了解析的投资组合策略 上述模型都是在。收益一风险。框架下考虑问题，我们可统称它们为收益风险 型模型马科维茨发表均值方差投资组合选择的同年，r o y 也发表了一篇关于投 资组合选择的论文舯】，称为安全第模型，这篇文章的思路和收益风险型投资 组合选择模型的思路不同，它是极小化投资组合收益小于给定的“灾险水平”这一事 件的概率，即控制损失的概率后来实践中流行的v a r 可以看作是这种提法，即给 定概率置信水平内最坏情况下的损失上世纪末，a r t z n e r 等【9 1 提出了所谓相容性 风险度量的概念，其中相容性以四条公理假设条件为判别标准，由于v s r 不满足四 个条件中的次可加性条件( 意味着在某些情况下拒绝投资组合分散化) ，基于这个原 因，实践中又给出了条件风险值c v a r 来改进w r ( 见r o c k a f e l l a r 和u r y a s e v 3 4 l 。 a c e r b i 和t a s c h e 6 ) ，c v a r 被定义为损失超过v a r 部分的条件期望，即给定概 率置信水平内最坏情况下损失的平均值c v a r 还可以通过线性规划方法求得( 见 【3 3 】) ，这给c v a r 的实际应用提供了极大方便，c v a r 以其优点正在被越来越多的 机构投资者所重视 当然，还有其它的投资组合选择模型，比如说以某个指标为基准的跟踪模型 ( d e m b o 和k i n g 1 3 ) ，以信息理论中的熵为风险度量的模型( p h i l i p p a t o s 和w i l 跚f 3 l 】) 以及用模糊集理论来描述不确定性的模型( i n u i g u c h i 和r a m i k 1 5 】等) 然而，投资行为，特别是机构投资者的行为往往是长期的，对于一个长期投资者 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 3 来说，他将随着投资环境的变化适时地调整投资组合头寸，改变投资组合策略而不 会一成不变地保持到投资计划到期末这种动态的均值方差投资组合选择的研究 到2 0 世纪末几乎还是空白( 见s t e i n b a c h 4 1 】的综述文章) ，1 9 9 9 年z h o u 和l i 4 6 4 7 l 用嵌入方法以及在随机控制领域中最近发展起来的不定二次最优理论解决了连续时 间均值一方差问题到2 0 0 0 年，l i 和n g 【2 3 】终于取得了突破性的进展，他们用 嵌入的方法成功的把动态规划应用于离散时间多阶段均值方差投资组合上在2 0 0 1 年，s t e i n b a c h 【4 1 】研究了基于离散情景( 离散收益分布) 的多阶段均值方差投资组 合选择问题总的来说，在动态投资组合选择研究中，连续时间模型已经取得了比 较丰富的成果，离散时间的均值方差模型有待进一步深入研究 作为金融学和金融工程的一个重要内容，投资组合选择的发展和其它学科一 样，是一个不断完善的过程，是需要在实践和理论相合的过程中前进总之，现代投 资理论研究的目的不仅在于使投资组合理论模型得到发展，更重要的是能将投资组 合理论与技术应用到金融实践活动中 1 2研究背景及意义 经过半个多世纪的发展，投资组合选择的理论研究已经取得了丰富的成果，不 过许多投资组合理论忽略了市场摩擦的存在，在现实的金融市场中总是存在这样或 那样的摩擦，如完全忽略市场摩擦的存在，分析的结果就会缺乏较大的实际应用价 值，考虑摩擦市场情形下的投资组合的结果能更接近实际金融市场的情形 投资组合理论要受到实践环境和条件等因素的影响和限制，那么投资组合模型 在实际交易过程中会出现很多离散特征的变量( 见【1 6 1 ) ，如交易手数、交易次数上 限、交易量下限、买进卖出差价、税收、交易成本以及风险资产买卖之间的依赖关 系，从而现实中的投资组合问题往往会成为混合整数规划问题当然对于具有离散 特征的投资组合模型有了一些研究，如把交易量上限引入模型( 见【1 1 1 2 ) ，带有 整数交易手数的模型( 见【2 5 】f 1 7 】) ，带y 型交易费用( 见【4 3 1 ) ，分段线性交易费用 ( 见f 删) 和凹型交易费用( 见【2 1 】) 的模型，还有如风险资产买卖之间的依赖关系反 映在模型中( 见【4 2 1 ) 2 0 世纪末的亚洲金融风暴使国内进一步认识到了金融风险管理的重要性，某些 量化的风险管理方法已被一些金融机构接受，科研机构与金融业界的交流与合作也 在加强，随着国内金融改革和经济全球化进程的加快，我国金融业在发展的同时也 面临着风险与挑战，因此需要我们对金融优化在实践中的应用更加具体和加强( 见 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 4 【1 1 ) 本文正是在这样的背景下，研究摩擦下的离散m a d 投资组合模型和离散m m i m a x 投资组合模型，实证分析和比较了两离散模型在实际投资市场上的表现 1 3 本文的主要工作 随着全球经济的发展，金融市场日益成为整个经济体系的核心，而投资组合选 择理论和实践又是现代金融市场中个重要的研究领域本文主要介绍了投资组合 选择的主要模型，并分析每个模型的优缺点在此基础上，我们重点研究了期望绝 对偏差离散模型和极大极小投资组合离散模型，主要工作有， 1 、考虑到实际的交易市场中，受到的很多市场磨擦条件我们主要考虑了带凹 型交易费用、无风险资产和整数交易手数的m i n i m a x 模型和m a d 模型，这样原来 的线性投资组合模型变为非线性优化模型，不能用通用的最优化算法和软件求解 2 、我们针对非线性投资组合优化模型的特点，采用分段线性下逼近凹型交易 费用函数，从而提出了基于转变后模型的分枝定界算法，从而能够精确的求解原来 非线性投资组合模型的离散最优解 3 、我们采用美国股票市场数据、中国a 股市场数据和随机产生的数据分别对 算法进行了测试数值测试结果表明在一定的收益下期望绝对偏差离散模型在风险 控制上优于极大极小投资组合离散模型，而在计算效率上极大极小投资组合离散模 型优于期望绝对偏差离散模型 第二章投资组合最优化主要模型综述 本章主要介绍投资组合最优化中现有的主要模型，它们分别是均值方差模 型、期望绝对偏差模型、极大极小模型、风险价值投资组合模型和c v a r 模型首先 简要的介绍了均值方差模型，该模型是马科维茨于1 9 5 2 年最先提出的，以期望收 益率和方差( 或标准差) 表示风险进行了资产组合研究，揭示了在不确定条件下投资 者如何通过对风险资产的组合建立有效边界，如何从自身的效用偏好出发在有效边 界上选择最佳投资决策，以及如何通过分散投资来降低投资风险随后着重介绍了 期望绝对偏差模型和极大极小投资组合模型，基于对投资组合最优化模型中风险度 量方式的探索，k o n n o 和y a m a z a k i 在 2 0 1 中提出了用绝对偏差代替方差来表示投 资的风险即期望绝对偏差模型，而y o u n g 在【删中提出了用最大损失表示投资的风 险的极大极小投资组合模型，模型都将投资组合问题巧妙地转化成线性规划问题， 从而有效的解决了大规模的投资组合有效计算问题接着我们介绍由j p m o r g a n 公 司提出的v a r 方法( 见【2 9 1 ) 及以v a r 为风险度量的均值一风险价值投资组合选择 模型( m - v a r ) 最后我们介绍r o c k a i e l l a x - 3 4 】等在修正v a r 的基础上给出的条件风 险值模型，即c v a r 模型 2 1m a r k o w i t z 均值- 方差模型( m v ) 马科维茨在【2 7 】中提出的均值方差模型假设条件包括，( 1 ) 证券市场是有 效的，证券价格反映了证券的内在经济价值，每个投资者都能掌握充分的信息和了 解各种可能的收益率的概率分布；( 2 ) 投资者在投资决策中只关注投资期望收益率 和方差，期望收益率反映了投资者对未来收益水平的衡量，方差反映了投资者对风 险的估计；( 3 ) 投资者是风险回避的，即在一定的风险下追求收益最大化或在一定 的收益下最小化风险；( 4 ) 各种证券的收益率之间有一定的相关性，之间的相关程 度可以用相关系数或收益率之间的协方差表示；( 5 ) 每种资产的收益率服从正态分 布；( 6 ) 资产供给的无限弹性，其购买和出售不影响市场的价格和期望收益率l ( 7 ) 证券都是可分的；( 8 ) 税收和交易成本忽略不计 为了建立以下所有模型，首先我们引进变量- 戤：表示第i 种证券的投资比例，i = 1 ，n ； 冠：表示表示第i 种证券收益率的随机变量，这里可以定义为证券i 收益与对证 5 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 6 券i 的投资的比例； ：是收益的协方差矩阵，表示第i 种股票和第歹种股票的协方差； 似= e ( 足) ，表示第 种股票的期望收益； 令r = ( r l ，飓，碥) tz = ( x l ，z 2 ，x n ) t ，那么投资组合z 的收益的期望和 方差分别是e ( r t 力2 量地甄和墨l 跺l x i x j a o 目标函数是在给定收益的基础上最小化投资组合风险的模型可以表示为- ( m v l ) v a i nx t ez n s t 触戤p ， i - - - - 1 墨1 规= 1 ， 甄0 ， = 1 ，仇 其中p 表示投资者的期望回报率，甄非负表示投资时不允许卖空 通过对期望回报率p 的改变，解相应的二次规划问题，从而得到的解可以构成 有效集在均值方差平面内，我们描出相应的点，就可以得到该模型的有效前沿 由于该协方差矩阵为半正定矩阵，所以目标函数是凸函数，约束为线性等式和不等 式约束，因此该问题是凸二次规划 对凸二次规划很多算法可以求解( 见【4 】) ，如对偶方法、线性互补方法、内点 算法、有效集法等其中应用最广泛的是有效集法有效集法是通过求解一个等式 约束子问题来确定搜索方向在进行线性搜索时，考虑那些不起作用的不等式约束 以保证迭代序列的可行性，从而通过求解有限个等式约束的二次规划问题来解决一 般约束下的二次规划问题内点法提出时主要是针对线性规划问题的，基本思想是 在可行域内部生成收敛于最优解的序列，并使得它在多项式时间界限内收敛到最优 解不过现在内点法已推广到了非线性规划 如果用投资的收益作为目标函数，投资者能承受的最大风险水平是，y ，那么相 应的模型可以表示为。 ( m v 2 ) n m a x 地瓤 i - - - - i s t z t z ，y ， ：l 甄= 1 ， 戤0 ，i = 1 ，仇 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 7 问题中不等式约束把变量定义为凸集，而其它约束为线性约束，因此该模型是定义 在个凸集上对线性函数进行优化的问题如果给定一个z o ，就可以判断它是否为 问题的可行解，如果不是可行解，那么在定义域凸集上就可以得到一个关于z o 的 超平面，因此该问题可以在多项式时间内由椭球法求解( 见【3 1 ) 若用效用函数来作为目标函数，即均值方差的风险容忍模型a 表示投资者 的风险偏好水平，则相应的模型就可以表示为 ( m v 3 ) m i n 警l 冬1 嗣叼一a n i = 1 锄地 s t 翟1 毛= 1 ， x i 0 ，i = 1 ，n 参数入的大小直接反映了投资者对风险的偏好，入的值越大，说明投资者越注重收 益，而对风险不太在意，亦即投资者越能容忍风险，通过变化风险容忍度a ，我们 就得到相应投资组合的收益和风险，也可以得出有效前沿模型( m y l ) ，( m v 2 ) 和 ( m v 3 ) 本质是相似的，它们的解都可以用来确定投资组合的有效边缘 均值方差方法在理论上比较完善，但由于其约束条件，它在实践运用中有很 大的局限性为了增加该模型的实践价值，我们有必要结合具体的市场情况对假设 条件放宽比如我们考虑带交易费用和无风险资产的均值方差模型设q 是资产 i 的单位交易额的交易费用，z o 是投资无风险资产的比例，此时的均值方差模型 可以表示为。 ( m v 4 ) r a i n 翟le t - _ 1 z 巧 s t r x o + ( ，q c ) 甄p ， i = 1 ：o x i = 1 ， 毛0 ，i = 0 ，n 并且均值方差模型是一个二次不可分离规划模型，对于大规模的问题其计算 十分复杂，而且该方法仅适用于投资者的效用函数是二次函数的情形以及证券收益 率的随机分布是对称型甚至是正态分布的情况在收益率不服从正态分布时，均值 方差模型往往会得出错误结论 同时作为经典的均值方差模型存在着很多其它缺陷，首先它仅是一个静态模 型，但是对于投资行为，特别是机构投资者的投资行为往往是长期的对于长期投 资者来说，他将随着投资环境的变化适时地调整投资组合头寸其次是它用方差度 量风险，把高于均值的收益与低于均值的损失一样看待，也计入风险，这在肥尾分 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 8 布普遍存在的金融市场的上难以反映真实风险因此，众多学者在该领域又开展了 广泛而深入的探索和研究 2 2 期望绝对偏差模型( u a d ) 1 9 8 8 年，k o n n o 第一次介绍了证券组合选择的m a d 模型，这是对传统的均值 方差投资组合选择模型的个重大修改，它把均值方差模型的二次规划问题转化为 m a d 投资组合选择模型的一个线性规划问题该模型以资产组合收益率的绝对偏 差即一阶中心矩作为一种新的风险度量方式，称为工1 风险即将风险测度定义为 r in n 1 1 u ( z ) = e | i r 瓤一刀( 忌毛) i l i t = l i = l i j 在该风险测度下，我们建立投资决策的期望绝对偏差模型( m a d ) ( m a d ) r a i nu p ) = e 【i e 墨l 忍戤一e ( ：l 皿甄) l l 8 t e 翟1 甄j e 7 ( 尼) p ， 篓1 戤= 1 ， 戤0 ，i = 1 ，n 需要说明的是，如果n 种风险资产的收益率呈多元正态分布，那么投资组合的绝对 偏差和标准差在本质上没有什么区别，也就是说，无论是用标准差度量风险还是用 绝对偏差度量风险都是一样的，这可以从下面的定理可知 t h e o r e m2 2 1 当竹种资产的收益率r 服从多维正态分布，则资产组合收益率的 绝对偏差 ( z ) 2 、署口( 。) 证t 根据收益率r 服从多维正态分布的假设，投资组合的收益率：lr 奶服从一 元正态分布，其标准差为 根据绝对偏差的定义有 ) = 高e ( 一南) 咖= 居 证毕 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 9 但利用真实数据所作的大量实验表明，许多经济变量并不服从正态分布，所以 两种模型的计算结果有一定差异 假设已知投资组合的n 种资产在t 个周期的历史收益率r i l ，r i 2 ，t i t ，( i = 1 ，2 ，n ) ，则资产i 的收益率期望e ( p q ) 的估计值r i = t t - l r i t ，投资组合的 风险可以估计为u ( z ) = 李i h n t ) 甄i 则模型m a d 可改写为 ( m d 1 ) m i nu ( z ) = 手i ( r 一，矗) 毛l t = li - - - - 1 s t 冬l 以e ( 忌) p ， 冬1 以= 1 ， 甄0 ，i = 1 ，t 1 这是个非光滑的最优化问题，直接求解比较困难，但可以转化为线性规划问题的 形式求解令 毫 n 犰= i ( n n t ) i i - - - - 1 模型( m a d l ) 就转化为下面的光滑优化问题t ( m a d 2 ) r a i nu ( z ) = 士y t t - - - - 1 s t y t + n i - - - - 1 ( n n t ) 戤0 ，t = 1 ，正 玑墨1 ( r 一r i t ) x i 0 ，t = 1 ，正 銎1x i r i p ， 翟l 毛= l ， 以0 ，i = 1 ，1 这是一个关于n + t 个变量的线性规划问题，可以采用单纯形方法，或内点算法来 求解它的最优解单纯形算法不是一个多项式时间算法，而内点算法是一个多项式 时间算法经过这样的转换，问题的维数从原来的n 增加到n + t 对于证券数目n 比较大，或者历史时间t 比较大时，那么模型( m a d 2 ) 就形成个规模相对较大的 线性规划问题，本文采用的是单纯形算法，不过采用内点算法要优于单纯形方法 从理论上看，m a d 模型较m v 模型的优点在于z ( a ) m v 模型需要估计两种风险资产收益率之间的协方差由于该模型需要太多的估 计参数，导致它的应用面相对较小 ( b ) 利用m v 模型时，数据收集过程中的协调工作也会出现困难，而m a d 模型只 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 0 需要估计每一种证券的收益率以及历史绝对偏差的估计，这是比较容易做到的，从 而可以避免由于分工不同造成数据收集和处理过程中不协调问题 ( c ) m a d 模型经转化是一个线性规划问题，而且模型的约束条件只有汀+ 2 个，与 证券数目n 无关，也就是说可行集是不随证券数目变化的，而m v 模型是个二次 规划问题，求解难度相对要大一点因此，m a d 模型特别适合大规模的投资组合 选择问题，而m v 模型主要用于解决资产配置问题 f e i n s t e i n 和t h a p a 在文【1 4 l 中对m a d 模型进行了简化，将约束条件个数从 砑+ 2 减少为t + 2 个引入非负变量2 v t 和2 w t 后有 住 班+ ( n r i t ) z i 一2 饥= o ， i = 1 n 纨一( n r i t ) z i 一2 w t = 0 ， i - - - - 1 化简可得 l i t 。v t + t 比， 。 住 ( n 一 i t ) x i v t + t 吨= 0 i = 1 所以模型( m a d 2 ) 可化为下列线性规划模型t ( m a d 3 ) w a n 乏l 她+ 妣) s t 仇一姚一墨l ( n r i t ) x i = o ，t = l ，2 ，t 叁1x i r i p ， ：lx i = 1 ， x i 0 ，i = 1 ，n ， v t 0 ，t o t 0 ，t = 1 ，2 ，z 实际研究中，文献【2 0 】利用m a d 模型和传统的m v 模型对东京股票交易所的 历史数据进行了计算，发现这两个模型的结果非常相似，这也说明了m a d 模型的 可行性但s i m a m a 3 9 】也对m a d 模型的优缺点进行了讨论，他指出在该模型中忽 略了协方差矩阵，这样对收益的测定和风险的估计上就会造成很大的误差 2 3 极大极小投资组合模型( m i n i m a x ) 1 9 9 8 年，y o u n g 4 5 1 给出了极大极小化投资组合模型( m i n i m a x ) ，模型考虑了投 资者在证券市场上投资时的心理，即投资者大多数情况下都是风险厌恶的，他们考 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 1 虑的不仅仅是投资收益最大，而且考虑投资过程中不能出现太大的损失m i n i m a x 模型用最大损失表示投资的风险，建立了线性的投资组合模型不过与其他模型不 同的是m i n i m a x 模型中的随机收益必须是已知的历史数据或者是随机模型的预期 收益的模拟值，否则该模型就不适用 现假设我们可以得到n 个证券在t 个阶段的历史数据，这里记t r j t = 在阶段t 时，股票j 的收益率； 乃= 亭躁1 伽：股票歹的平均收益率； 哟= 投资在股票歹中的比例； 啊= 饕1 0 吩r j t ：在阶段t 的总收益； 昂= 跺1 哟乃：该投资的平均收益； = r a i n t 啊：最小收益 在给定投资预算为和收益的最小水平为g 的约束条件下， m i n i m a x 模型 为i ( m m ) m a x m p ， m p 8 t 冬1 屿巧t 一鸩0 ，t = 1 ，t 跺1 哟乃g ，7 。 ：l 哟彤 哟0 ，歹= 1 ，n - 这里目标函数是最大化最小收益，与最小化最大损失等同，第一个不等式约束保证 朋p 由最小收益而得到了上界从模型可以看出，当给定股票歹在第t 阶段的收益 f 靠时，就可以用最大最小化模型来构造线性规划模型 比较m i n i m a x 模型和m v 模型可知，m v 模型隐含风险厌恶假设和正态分布假 设，但在投资市场中风险厌恶的投资者真正希望的是避免极低的收益率，而均值方 差方法即使在收益率较高的情况下仍然对方差进行惩罚一般投资者对超过期望收 益率水平的部分是欢迎的，故方差并不能全面权衡投资组合期望收益率与风险之间 的关系但m i n i m a x 模型虽然也刻意避免风险，但其目的是为了避免较低的收益， 决策是在最不利中取最优，可达到较高的收益率 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 同时，m i n i m a x 模型可以根据有代表性的数据来计算，因此并不要求收益率服 从正态分布，只要有收益率的历史数据就可求解文献f 2 1 显示将2 0 0 1 年上证3 0 指数的实际数据分成两部分，一部分作为样本数据进行优化组合分析，另一部分作 为非样本数据进行模拟投资结果发现t 将两组不同模型的最优解分别用在样本数 据上进行优化组合，这两种模型的解描绘的风险收益有效前沿具有非常类似的形 状；而将两组不同模型的最优解分别用在非样本数据上进行模拟投资，m i n i m a x 模 型的结果明显优于m v 模型该实证结果也检验了极大极小投资组合模型的理论结 论，表明其具有良好的可操作性和使用价值 m i n i m a x 模型与m a d 模型都是线性规划模型，因此避免了均值方差模型需 要求解二次规划的计算困难在本文第3 部分和第4 部分数值分析表明，在一定的 收益下期望绝对偏差离散模型在风险控制上优于极大极小投资组合离散模型，而在 计算效率上极大极小投资组合离散模型优于期望绝对偏差离散模型另外m a d 模 型也具有在收益率较高的情况下仍然对绝对偏差进行惩罚的缺点 2 4 因素模型( f m ) 尽管最基本的均值方差模型是二次规划问题，因而可以在多项式时间内求 解当存在个证券时，就需要计算( + 1 ) 2 个协方差系数，随着的增大，计 算量也会非常的大，更重要的是协方差矩阵是不可分离的，这使得求解大规模问题 存在困难，因此很多人对模型进行了不同的改进尝试和探索夏普通过对股票价格 的观察，发现当股市上涨的时候，大多数股票价格也会上涨，当股市下跌的时候， 大多数股票价格也会下跌，这表明股票收益之间可能相关的原因之一是由于市场变 动的共同作用于是，夏普在1 9 7 1 年提出了单因素模型( 见f 3 7 3 8 1 ) ，他指出资产 的收益率主要与市场因素有关，从而可以用市场收益率进行表示即股票的收益可 以表示为 忍= a + 3 r m + 岛 其中 风是随机变量，表示在一定时期股票i 的收益率； r m 表示在一定时期市场指数的收益率，且r m = a n + 1 + + 1 其中a n + 1 为参 数，e n - i - 1 是随机变量，它们满足e ( e n + 1 ) = 0 ，v a r ( e n + 1 ) = q l ，c o v ( e + l ，) = 0 ，i = 1 ，n ； 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 3 a 表示股票i 的收益率独立于市场表现的部分； 屈是个常数，用来表示股票i 的收益对市场收益的敏感程度； 日是随机变量，且满足j e 7 ( s i ) = 0 和v a r ( e i ) = q i 因此股票i 的收益的期望和方差分别是t 刀( 尼) = a + 角厶+ 1 ， v a r ( p h ) = 群q n + 1 + q 股票i 和歹之间的收益的协方差为。 c o v ( 皿，马) = 屈岛q n + 1 n 令r ( x ) = 戤皿，故投资组合z = ( ：v l ，) t 的风险和收益分别可以为 i - - - - 1 nn 勘( z ) = 甄e ( 皿) = ( a i z i + 厶+ 1 展戤) ( 2 4 1 ) i f f i lt = 1 。，= 刀t 玩c 茁，一r 。h 2 = e 砉甄c 风一e c 忍， 2 nnn = ( 辟q n + l + q ) 霹+ 屈岛q n + i x i 茹j - - 1i = 1j = 1 n 若设x n + 1 = 施展，则投资组合的风险和收益分别可以表示为 = 1 这样单因素模型就可以表示为一 ( f m ) 昂= 戤a ， = l n + l 露= 霹轨 m i n z = 搿霹q t s t + l = 戤屈 i - - - - 1 搿甄a p ， 銎1 甄= 1 ， 甄0 ，i = 1 ，n ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 4 单因素模型隐含地假设引起股票收益率变化的有两类事件，第类事件是宏观 事件，如通货膨胀的变化、市场因素的变化等它们对每一家公司都会产生一定的 影响，从而对股票价格产生一个整体的影响，这里认为股票预期收益率的变化就源 于市场的推动单因素模型中引起股票收益率变化的第二类事件是微观事件，微观 事件会对某个公司产生影响，但是不会影响其他公司因而微观事件影响了单个股 票的收益率，它们导致股票收益率与正常收益率产生偏差，从而微观事件导致了残 差的出现 f m 模型与m v 模型比较而言，f m 模型更好地估计了预期收益率和协方差， 简化了计算，不过f m 模型适用于某一类别内的资产( 通常是普通股) 组合最优化 m v 模型适用于在每一类别的资产中选择单个证券，决定其投资份额，以达到其最 优化的目的 r o s e n b e r g 【3 5 l ( 1 9 7 4 ) 和p e r o l d 【3 0 】( 1 9 8 4 ) 又把单因素模型推广到了多因素的情 况如今已有很多证据说明股票收益率可以用四个或五个因素来解释，因此寻找合 适的因素和估计相关的参数以建立多因素模型引起了很多投资专业人员的兴趣 2 5 均值- 风险价值模型( m - v a r ) 2 0 世纪9 0 年代中期，由j p m o r g a n 公司提出了新的风险度量方法一风险值 ( w r ) p h i l i p p e 3 2 l 介绍了其含义，是指在一定的时间范围内和给定的置信水平 下，当市场发生最坏情况时，投资组合面临的最大可能损失金额，用公式表示为一 p r o b ( a p v a r ) = l q 其中a p 表示投资组合在持有期内的损失，v a r 为在置信水平q 下处于风险中的 价值，v a r 及收益或