（概率论与数理统计专业论文）几类统计模型的估计和预测理论.pdf

摘要 摘要 本文主要是研究凡类统计模型的参数估计帮有限总体中未来观察值的预测 等统诗接断问题， 对于一般线蛙混合模型，考虑了固定效应帮髓规效应线性缀合以及协方差阵 的估计问题+ 当观测向量的协方差矩阵可以奇异时，给出了这个线性组合的最佳 线性无偏估计的明确表达式利用上述结论，关于一般线性混合模型的特别情形： 三个小域模型，首次给出了小域均值的谱分解估计进一步，基于方麓分量谱分解 估计，褥妥了两步估计的淘方误差豹二阶遥近。注意到在含两个方差分量的一般 线性混舍模壁和一般多翔分类平衡数据混合模型中游方差阵熬结构特征，利瑗观 测向爨蜘方差阵的谱分解中的幂等阵对原模型进行线性变换，从而将协方差眸的 估计蛔题转化为其所有置不相同的特征值的同h 雩估计闯题，给出了协方差阵的谱 分解估计类，并且得到了这个谱分解估计类中的最优不变估计应用统计决策理 论，比较了谱分解估计，方差分拆估计和最小范数二次无偏估计的德趄性，导出了 谱分解估计优于方差分析值计和最小范数= 次无偏估计的一些充分条 孛 在沓蠢随凝回妇系数的一般线性横型中，营次提出了随机回归系数帮参数 的m 汹m 估计问题，分别在齐次线性 鑫计类鞍一切佑诗类中研究了一个线性 估计的m i n i m a x 性首先，在观测向量的协方蓑阵可以是非负定阵的情况下、对 文献中的二次损失甬数进行适当的修改，考虑了一个可估函数在齐次估计类中 的m i n i m 粼估计的存在性，给出了其存在的充要条件；无需正态假设，证明了一 个线性信计是可估函数在齐次估计类中麴唯一m i n 瓢a x 售诗。接蓦考虑了一个 一t 北京工业大学理学博士攀能论文 自然的问题，即上述的线性m i n i i n “估计是否也是可估函数在一切估计类中的 m i n i m a x 估计，在联溯向量服从正态分布假设下，我们给出了肯定的回答，虽证 明了冀在几乎处处意义下的唯一性。 在一般生长越线模型中，考虑了强! j 萋系数矩降兹可绩邈数的信诗润题研究 了在实际中当模型麴观溅矩簿不簸完全获得，雨只能观涎到它的蔡煞线蛙黼数 时，可估函数的b l u e 的存在性。通过将般g a u 8 s - m a r k o v 模型中的关于全体 可倍瀚数的线性充分性概念推广到一般生长曲线模型中的任一可估函数上，绘出 了线性充分性的一般性结论，导出了观测矩阵的线性变换保持可估函数的b l u e 的充螫条律 最盾，我们讨论了有隈总体中几稀优囊性准则下来来观察谯的预测阏题在 超总体的观点下，分别研究了线性可预测量的最佳线性无偏预测的稳健性，二次 损失下线性预测的m i n i m 毡x 性以及多元线蛙模粼中线性预测盼泛容许性蓖先， 考虑了当真实模型的协方差阵扰动情形下，线性可预测量的b l u p 保持其优良 经的充要条件，给出了b l u p 具有稳健性的特征其次，对于任意秩的有限总体， 研究了线性可预测鳖的一个线性预溺在一切预测类中的m i n i m a x 性，利雳预测 的可容许性理论，在正态分布下证明了其为线性可颈测量的唯一m 觚m a x 预测 最后，对于一般的多元线蛙模型，考虑了未来观测矩障的线牲预测的泛容许性 在一个统一的标准卜 研究了预测的可容许性，给出了泛容许性预测的定义，得到 了线性可预潮变量的一个线性预溯在齐次和非齐次线性预测类中的泛容许性特 征 关键谰： 线性模型；有限总体；方差分羹；谱分解倍诗；m i 越m “估计 一i i a b s t r a c t a b s t r a c 屯 t h et h e 8 i si 8c o n c e r e dw i t hs t a t i s t i c a li n f e r e n c e si n c l u d i n gp a r a m e t e re 8 t i _ m 毹i o n 糊讨p r e d i c t i o no ff u t u r eo b 8 e r v a t i o n si n 基n h ep o p u l a t i o n su n d e rs e v e r a l s t a t i s t i c a ii n o d e l s f o rg e n e r 越l i n e a rm i x e dm o d e l s ，t h ee s t i m a t i o o fal i n e a rc o r r l b i n 觚i o no f 显x e da n dr a a d o me g e c 括i si n v e s t i g a e e d 。 e x p l i d te x p r e s s i o 珏o f 强eb e s e 莨n e a r u b i a s e de s t i i n 舭o r ( b l u e ) o ft h ec o m b i 眦i o ni sd e r i v e da n dw es h o wt h a tt h i s 8 l u ei se s s e n t i a l l y u n i q u ew h e r et h ec o v a r i a n c em a 埘xo ft h ev e c t o ro fo b 8 e r _ v a t i o l l sm a yb es i n g u l a r 。f 0 rt h et h r e es m 赫l a r e am o d e l sw h i c ha r e 址lg p e c i 破 c a s e 8o ft h eg e n e r 出l i n e a rm i x e dm o d e l ，w ed e r i v e8 p e c t r a ld e c o m p o s i t i o ne s t l m 扣 t o r 8 ( s b e ) o fs m a l la r e 8i e a n n l r t h e r m o r e ，s e c o n d _ o r d 贫婶p r 。x i m a t i o n st ot h e m s eo ft w o l 8 t 聪ee s t i m a t 。r sb a s e do ns d eo fv a r i a n c ec o m p o n e n t 8a r eo b t a i n e d u n d e rn o r m a i i t hn o t i n gt h a ti nt h eg e n e r 以l i n e a rm i x e dm o d e lw i t ht w ov 缸i a 噩c ec o m p o 珏e n t 88 n 硅t h e b a l & a e e dl i n e a rm i x e dm 。d e l 磷嫩u l t o w 8 yc l a 8 8 呈羲e a t i o 珏 r a n d o me f r e c t 8 ，t h ec o v a r i a n c em a t r i xo f 。b s en f a t i o nv e c t o rh a ss p e c i a l8 t r l l c t u r e ， 8 n du s i n gt h el i n e a rt r a n s f 。r m a 七i o nf o ro r 璩i n 8 lm o d e lb ，i d e m p o t e n tm a t r i c e s i nt h es p e c t r “d e c o m p o s 主t i o n 。ft h ec o v 拄r i a n c em a t r i x ，t h ep r 。b l e mo fe s t i m a _ t i o no ft h ec o v a r i a n c em a t r 恢b e c o m e s8 i m u l t 帆e o u se 8 t i m a t i o no fa 1 1t h ed i s t i n c t e l g e n v 8 l u e so f 呈tw ep r o v i d eac l a s s 。ft ks p e e t r 羹d e c o m p 。8 i t i 。ne s t i m a 七。r so f t h ec a v a r i a n c em a 七r 故，a n dt h eb e s ti n v a r i a n te s t i m a t o ri 80 b t a i n e di nt h i sc i a s s b yu s i n g8 t a t i s t i c a ld e c i s i o nt h e o r e t i ca p p r 。a c h ，w ei r l v e 8 t 逗a 七et h ed o m i n a t i o no f l 一 北京工业大学理学博士学位论文 8 d e ，a n o v a ea n dm i n q u e ，a n d 。b t a i n8 0 m e8 u 瓶c i e n tc o n d i t i o n sf o rs d et o d o m i n a t ea n o v a ea n dm i n q u e i n 柏eg e n e r 缸1 i n e a rm o d e lw i t l ls t o c h g 蕊cr e g r e 8 8 i o ne o e 擞c i e n t 8 ，w ea d d r e s 8 t h ep r o b l e mo t h e 菇娃珏i 飙默豁t i m 雠i 。娃o f 珏n e a rc 。m b i n a 耄i o n so f8 t 。c h 矗8 髓er e g r e s _ s i o nc o e 嫩c i e 弘七8a n dp 甜姐l e t e r 8 ，a n d8 t u d yt h e “l i n i m 矗撕t yo fai i n e a re s t i m a t o r i nt h ec l a s 8 e so fh o m o g e n e o u 81 i n e a re s t i m a t o r sa n do a 越e s t i m a t o r 8r e 8 p e c t i v e l y f h s t ，w h e nt h ec o v 驰i a n c em a t r 谴o b s e r v a 土i o nv e c t 。rm b yb en o 丑n e g t i v e 如豇 n i t em a t r 歉，m a k i 珏ga p p r 。p r i 8 t ec h a 丑g ef o rq u 8 d r a t i cl 。s s 遮l i t e r 8 t w e sw e8 t u 曲 e x i s t e n c eo ft h em i n i m a x 鹤t i m a t o ri i lt b bd 船so fh o m o g e n e o u 8l i n e a re s t i m 破o r s w i t h o u tt h e8 8 s 珏m p t i o 珏o fn o r m 鼓i 妣毓恺o b t 8 i n 貔el i n e a rm i n i 搬8 xe s 屯打n a t o r o fa ne 8 t i m a b l f u n c t i o na n dp r o v ei t su n i q u e e 8 si nt h es e n 8 eo f a l m o s 七e v e r y _ w h e r e s e c o n d w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mw h e t h e rt h e 嚣n e a rm i n i m 8 xe s t i 瑚a t o r i n 七h ec l a s 8 o fh o m o g e n e o u sl i n e 氇re 8 t i m 鑫t o r si so ri sn o tt h eu n i q u em i n i m a x e s t i m a t o ro fa ne s t i m a b l ef u n c t i o ni nt h ec l a s so fa l le s t i m a 七o r s u n d e rn o r m a l i t y a s s 诅m p t i o nw e 酉v eap 0 8 i t i v ea n s w e ra n dp f a v e 也a tt h e1 i n e 雎m i n i m a x e s 谊皿a t o r i s 越s 。t h eu n i q u em i 珏i m a xe 8 t i m 融。ro ft h ee s t i m a b l e 鼬h e t i o n 谗谯ec l a s s 越a 珏 e s t i r h a 土o r s f o rt h eg e n e r 虹g r a 矾hc u r v em o d e l ，七h ee s t i m a t i o no fe s t i m a b l ef u n e t i o n s o fr e g r e s s i 。nc o e 壬王i c i e n tm a t r i xi 8i n v e s t i g a t e d w h e nt h eo b 8 e r v a t i o nm a t r i xo f t h em o d e lm 时n o tb e 删l a b l ei np r a c t i c e ，h o w e v e r ，i t 8l i n e a rf u n e t i 。nc 猷lb e o b s e r v e d ：w e8 t u d yt h ee x i s t e 垃c eo ft h eb l u e 。fe s t i i i l 如l ef u 丑c t i o 丑s t h e1 1 t i o no f1 i n e a r8 u 韪c i e n c yf 。rt h ew h o l es e t 。fe s t i m a b l ef u n c t i o n si nt h eg e n e r a l g & u s s m a r k o vm 。d e li se 妣姐d e dt oa 盎ys p e e 城8 e t e s t i m a b 王em 矬c 耄b n 8j ：王l 毡 a b 8 t r a c t g e n e r 越g r ，也e 醢抖em o d e l s o m eg e 鞋e r 8 lr e s h l t sw i t hr e s p e c tt 。穗ec o 致c e p to f h n e a rs u 摄c i e n c ya r eo b t a i n e d ，f r o mw h i c han e c e s s a l ya n d8 u 最c i e n tc o n d i t i o ni s e 8 t d b l i s h e df o ra1 i n e a rt r a 触s f 。r m a t i o no ft h eo b s e r 土i 。nm a t r 波t op r e s e n 他t h e b e 8 ti i n e a ru n b i a s e de 8 t i l n a t o ro ft h ee 8 t i r n a b l ef h n c t i o n s i 珏t h el a s tc h a p t e r ，t h ep r o b l e m 。fp r e d 呈c 专i o 珏o ff l 王t 毪r eo b s e 张e i o n si 8d 呈8 c u s s e di i l 矗n i t ep 。p u l a t i o n s u n d e rs u p e r _ p 。p 畦a 七i o 丑v i e w p o i t ，o u ra t t e n t i 。ni s d e d i c a t e dt ot h er o b u s t n e s so ft h eb l u po ft h ei i n e a rp r e d i c t a b l ev a r i a b l e ，t h e i i l i n i m a x i t yo fl i n e a rp r e d i c t o r su n d e rq u a d r 8 t i cl o s s ，a n dt h eg e n e r a la d m i s s i b i l ， i t yo fl i n e a rp r e d i c t o r si nt h em n l t i 瑚i a t el i n e a r l o d e l ，r e s p e c t i v e l yw h e i lt h e c o v a r i 卸c em a t r 奴o ft h et r u em o d e li 8d i s 七t l r b e d ，w e 扭v e 8 t 逗a t ea n do b t a i nt h e n e c e s s 8 巧a n ds u 妊i c i e n tc o n d i t i o nf o f 转l u po ft h el i n e a rp r e d i c t a b l ev a t i a b l et o p r e s e r v eo p t i m a h t y s e c o n d i ) ，f o r 矗n 北ep o p u i a t i o nw i t ha r b i t r a r yr 毡n k ，w ec o 小 s i d e r 瞧e 搬i n i m 嫡t yo fa 薹主n e 氇rp r e d i c t o ri nt h ed a s s 。f 啦lp r e 匹c t 。r s b y 璐i n g t h et h e o r yo fa d m i s s 主b i 珏t yo fp r e d i c t 。r ，w ep r a v et h a tu b d e rn 傩m 8 1d 呈s t r i b u t i o n sa l i n e a rp r e d i c t o ri st h eu n i q u ei i l i n i m 强p r e d i c t o ro ft h el i e a rp r e d i c t a b l ev a r i a b l e mt h ec l 黼so f 氇1 lp r e d i c t o r s ，t h i r d l y ，u n d e r1 l n i 匆i n gc r i 七e r i o nt h ea d m i s s i b i l i t y o fi i n e a rp r e d i c t o r so ft h ef u t u r eo b s e r v a t i o n sm a t r 呔i si n v e s t 逗a t e d w bg i v et h e d e 矗n i t i 。nf 。rg e 工l e r a la d m i s s i b l 。p r e d i c t o ro f l i n e a rp r e d i c t o ra n d 地en e c e 8 s a r y8 n d s u 最c i e 丑tc o n d i 七i o n sf o ral i e a rp r e d 沁。rt ob eg e n e r a la d m i s s i b l ei nt h ec l a s 8 e s o fh o m o g e n e o u sl i n e a rp r e d i c t 。r sa n do fi n h o m o g e n e 。u sl i n e a rp r e d i c t o r s k e y w o r 娃s ： l m e a rm o d e l ；最n i t ep o p u l a t i o n s ；r i a n c ec o m p 。n e n t s ；s p e c t r 颤硅e c o m p o s 至t 王0 ne s t i m a t o r i n i n i m a xe s t i m a t 。r v 北京工业大学理学博士学位论文 a 0 a 0 a 口 a 一 直+ 4 1 r k ( a ) | a | ；al l t r ( a ) 朋( a ) f a ) p a 瓢 1 = ( 1 ，1 ) v e c ( a ) 且圆b e ( 爿) v a r f x l c o v 伍，y ) “( 肛，) u 一( 地) 符号表 “定义为”或“记为” a 为对称半正定方阵 五为对称正定方阵 a 0 ，b o 且4 一b o 矩阵a 的任一广义逆 矩阵a 的m o o p e n r o s e ，+ 义逆 满足a 7 a 1 一o 且具有最大秩的矩阵 矩阵a 的秩 矩阵a 的彳亍列式 矩阵a 的范数 方阵a 的迹 矩阵a 的列向量张裁的予空间 矩阵a 的零空间 向m ( a ) 的延交投影变换阵 n a = i p a 分量皆为1 的列向量 将a 的列向曩依次排成的列向量 a 与b 的k r o n e e k e r 乘积 随机变量或向量x 的均值 随机变量x 的方差 随机变量城向量x 、y 筋协方差 均值为“，协方差阵为的随机向量 均值为芦，协方差阵为e 的p 维正态向量 一一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特鄹加以标注和致谢兹地方夕 ，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育 枧构的学位或证书弼使用过静材料。与我一弱工作的同恚对本研究所做的任健 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：歪童查蔓塞日期：兰! 生生三 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保露、使用学位论文的靛定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或豁分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存沧文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：缝邀删签名：眺 日期：州- 第l 章绪论 第1 章绪论 线性模型是几类统计模型的总称，它包括了线性回归模型，方差分析模型， 协方差分析模型，混合效应模型，纵向数据模型，生长曲线模型和半相依回归模 型等许多生物、医学、经济、管理、地质、气象、农业、工业、工程技术等领 域的现象都可以用线性模型来近似描述因此，线性模型成为现代统计学中应用 最为广泛的模型之一 1 1 模型简介 线性模型的一般形式为 f = x 卢十g ，e ( e ) = 0 ，c o v ( ) = ( 1 1 ) 其中g 为n 1 的观测向量，x 为n p 的已知设计阵，卢为p 1 的未知参数 向量，e 是随机误差向量，c o v ( ) = o 或o ( 根据具体情形而定) 在经济 和社会科学等领域中的许多模型可以表示成( 1 1 ) 的形式【1 一 若参数向量p 中既包含固定效应也包含随机效应，则模型( 1 1 ) 称为线性混 合效应模型，其一般形式为 g = x _ 8 + z + ( 1 2 ) 这里为n 1 的观测向量，卢为p 1 的非随机参数向量，称为固定效应，x 为对应于固定效应的设计阵；为q 1 的随机向量，称为随机效应，z 为对应于 随机效应的设计阵；e 是随机误差向量一般我们假设e ( ) = o ，e ( ) = o ，和e 互不相关且 c o v ( ) = g ，c ( e ) = r 于是c o v ( ) = = z g + r ，这里g 和r 分别为己知或未知的非负定和正定 阵，在它们未知时，它们可以依赖于一个未知参数向量8 即此时模型( 1 2 ) 的随 1 北京工业大学理学博士学位论文 机部分联+ 可以分解为联+ e = 巩l + 巩岛+ + 巩靠，则得到一般的方差 分量模型 = x _ 8 + 巩6 十巩已+ + 巩矗( 1 3 ) 其中靠为虢l 的随机效应向量，阢为nx 承的已知设计阵，我们常常假设 e 海) = o ，e 。v 缘) = 霹，g o v 婚，白) = o ，l j 于是 k 嚣( 口) = x 成c o v ( g ) = 醇砜 = l 碍称为方差分量，最后一个随机效应向量磊建遁常的随机误差向量，而 仉= 厶+ 模型( 1 3 ) 包含多类具有，“泛应用背景的线性模型【6 1 6 ) ，如p a n e l 数 据模型，单向( 两向，多向) 分类混台模型，套分类混合模型。 当模型( 1 _ 3 ) 中固定效应只有常数项，即x p l 。乱，这里1 。表示元素皆 为1 的扎维列向量，从上下文知道其维数时，下标侍可略去，u 是未知的总体均 值，兹瞬，模型( - 3 ) 又常常被豫为睫机模型 另一方面，若( 1 1 ) 中的未知参数向量是随机回归系数，即卢的各分量看 作是来自于相应总体的随机抽样，可得如下模型 掣= x 芦8 ，e ( 卢) = a n ，c o v ( p ) = 拶2 ke ( 声e 7 ) = o( 1 4 ) 这里x 和a 分别是已知的n p 和p 的矩阵，矿是已知的p p 的对称非负 定矩阵当回归系数随时闻、个体、单元、区域等变化面发生变化时，随机回归 系数模型建狠好的选择( 见b u m e t t 【”，s w a h l y “，r 0 8 e n b e r g 【1 9 帮s a r r i s ) 当问题的因变量不是一个而是多个，这就导致多因变量的线性模型，如多 元线性回娲模型，生长藏线摸型等其中生长夔线模蓬是一种在生物医学邪社会 科学等领域被广泛应用来处理重复测鬃数据的多元模型它的一般形式为 y = 五日为+ ， e ( 占) = o ，c o v ( v e c ( ) ) = k o u ( 1 5 ) 这里y 楚扎2 豁隧规鼹测矩阵，x l 郛恐分别是n p 昶g 翦已知矩阵， q 第l 罩绪论 _ 日是未知的参数矩阵，是随机误差矩阵，k h 是v e c ( ) 的协方差矩阵，其中 k 表示和k 的k r o n e c l 乘积，v e c ( ) 表示将的列向鬣依次排成的 列向量 例1 1 1p a n e l 数据模型 这类模型被广泛用于计量经济学中( 冕b a l t a g i 嘲) 强设我髑砖个个体( 如 个人，家腹，公司，城市或国家) 进行了? 个时刻的观测，观测数据可表示为 虮t = z ：卢+ & + e m = l ，- ，t = 1 ，一，t( 1 6 ) 萁中靴表示第i 个个辱搴第t 个时翔的菜项经济指标，z n 是p l 的已知自量，象 刻画了第i 个个体在第t 个时刻的一然自身特征，矗是i 个个体的个体效应，g “ 是随机误夔项 若我们的露的是研究整个市场的运行规律，而不是关心这特定的个个体， 这个个体只不过是从总体中抽取的随机样本，这时个体效应就是随机的我们 假定所蠢6 和e n 互相独立，且矗一( o ，) ，毛一( o ，) 记 拶嚣( 飒1 ，l ? ，拶2 1 ，- ，可r ) ，x = ( 。l 1 ，。l r ，。2 l ，z ? ) g = 临，白) ，e = ( e 1 1 ，1 r ，2 h 一，s t ) 7 ，仉= 如 1 t 则模型( 1 6 ) 可以表示成 = x f + 巩+ 由上面的假设可知 c o v ( f ) 一蠢现巧+ 氏， 这里畦和f ；即为方差分量模型( 1 6 ) 有时也称为纵向数据1 7 ，8 】( 1 0 n g i t u d i n a l d a t a ) 模型，常用于生物医药统计的研究领域中 在上述问题中，若把i i 寸间效应也考虑进来，刘模型( 1 矗6 ) 可以改写为 掣# = z ：e 卢十6 + 吼+ e 批t = 1 ，一，t = 1 ，t 其中啦袭示与第t 个对亥i 摆联系的时间效应，若把箕看成随撬的，并且覆设 一3 一 j t 京工业大学理学搏士学位论文 v a r ( 叩t ) 一醇，吼与所有的岛和e ”相互独立，记沈= 1 _ o 而，”= ( 卵1 ，坩) ， 则可得船下模型 g = 茁声巩+ 巩日+ 此时，观测向量的协方差阵为 c w ( g ) = 巩嘣+ 巩醍+ 一；抽 其中，a ；和为方差分量 倒1 12 生长曲线( g r 删辩c w v e ) 模型 生物学家欲研究翔鼠的某个特征随辩间变化情瑟，醛辊选用缸只小岛甄傲试 验在时刻t l ，岛对每只小白鼠观察该特征的值设第i 只小臼鼠的p 次观测 馕为执l ，i = l ，假定不闰自鼠的观测值是不相美的，黼同一必自 鬣的鼹测帮蹩相关的，且英协方差阵为矿默理论上分糖认隽，这些躔测值与观 测时间t 的关系为一1 阶的多项式： y = ，( d = 岛+ 区t + - + 觑1 t 轴1 ( 1 7 ) 这就是所谓的理论生长曲线生物学家的嚣的是估计廓，斑，凤“以得到经 验生长曲线若以记为黝所含的误差，则对戏溯数据淞，我们有模型 如蜘 ll p 2 9 寸 鼽t 2 。p f l 1 1 ll ( 岛属熙。) | 赴屯知l 水。) i ；：! ；l l 中t 中t 它具有( 1 5 ) 的形式，虽= ( e ；力也满足所锻的缓设 l 。2 参数估计的研究遴震和有关问题 对予一般的线性混合横型，我们主要感兴趣的统诗推断有：固定效应与髓机 效应的组合、方差分量以及协方差矩阵的估计和检验褥对于模型( 1 一却，我们主 要讨论回归系数矩阵及其可估函数估计的性质荧予以上问题，已经肖了丰富的 i 、；，0，。，；，。 第i 章绪论 研究内容，下面我们将对此做简要的介绍 1 2 1 固定效应和随机效应组合的估计 在线性混合模烈中，只对固定效应部分估计的研究文献相对较少，对于w 估 医数c ，反较为常见的蠢最小二乘估诗( 墨氇el e a s t8 祭a r ee s t i m a t e ，筒记为l s e ) 和最健线性无偏估计( t h eb e s “i n e a ru n b i a s e de 8 七i m a t e ，简记为b l u e ) ，它们分 别为 j 矿；j ( x x ) 一x ( 卜8 ) 和 d 蜃= c ，( x 7 一1 x ) 一爿7 e 一1 9( 1 9 ) 在实际应用中，观测向量的协方差阵常常未知，因此选择最小二乘估计作为 一种可行的估计，由于其未能乖j 弼协方蓑阵结构所含的信息，有时会带来较大 的健计孝毒度上的损失另一秘常用的可行镳计是彳8 憋两步估计( t h e 栅o _ s t 8 9 e e s t i m a t e ，简记为t s e ) 方法是首先求解出的估计量，将其代入( 1 9 ) 中得到 c ，卢的两步估计：j 声= c ( x7 童一1 x ) 一x 釜一1 可由于两步估计往往是观测值很复 杂的非线性墨数，对其统计性震硪究的难度大，目前辩其小群本的糍礁分布知 之甚少在较特殊的p a n e l 数据模型下，王松桂和范永辉【2 1 】绘出了一个两步估 计协方差阵的精确裘达式，同时获得了该两步估计在均方误差意义下优于l s e ， w i 也法估诗豹一些篱单的充分条 牛t o y 。k 8 等口2 ，王松桂等 2 3 】在协方差薛吴 有某些特殊结构下，研究了两步估计均方误差阵的上界及其相关性质最近，王 松桂和尹素菊【2 4 在模型的随机效应部分为一般多向分类平衡数据模型中、利用 对协方差痒述行谱分解的方法，遥过对模型进行线性交换，给出了固定效盔和方 差分爨的同时估计，称为谱分解估计( t h e8 p e c t r a ld e c o i n p 。s i t i 。ne s t i m a t e ，簿记 为s d e ) ，并证明了它们的一些优良的统计性质 而在许多的实际应用中，我们经常要考虑固定效应和随机效应线性组合估计 一5 一 问题例如，质量指标的估计、纵向数据研究、植物育种试验和小域( 8 m a l la r e a ) 估计睡题( 见r d b i n s o n 罨) 记p = f 芦+ m f ，这羹j 和m 是已知鼹常数向量在 模型( 1 _ 3 ) 中，h e n d e r s o n p 6 】得到了p 的最佳线性无偏估计 。矿三嚣：2 ，g 玎，一。，一x 声， c ，一t 。， = 厣+ m g 矿一1 白一x 角 这里声= 瞵一1 x ) 一1 x 一1 是卢的b l u e 口2 = ( 盯 ，口；，f 2 ) 为方差分量 向量t ( 矿) 称为肛的无偏估计，如果对一切参数，有e 辟( 口2 ，) 一川= o 肛称为 可信函数，黧粱f 黟楚一个线性莓偿函数( 口2 ) 的均方误差( m e a n8 q u 壮e de r r o r ， m s e l 可以表示成 m s e 碡( a 2 ) = e p ( 口2 ) 一埘2 = 9 1 ( 口2 ) + 口2 ( a 2 ) ， 其中 孽l ( 盯2 ) = m ( g g v e 一1 v g ) m 9 2 ( 矿) = ( f x e 一1 u g m ) ，( x e 一1 x ) 一1 ( f x 一1 c ，g m ) ( 参见h e n d e r s o n 2 6 】) 当o ，h a r v i l l e 研究了肛的最佳线性无偏估计问题， 但没有给出一个其体的表达式 出于弘的最睦线性秃偏估计t ( 扩) 含有来知参数囱鬃口2 ，戳龆在实际应用时， 我们必须用口2 的一个估计铲代入t ( 口2 ) 褥到舻的两步估计( 章2 ) ，估计矿的 方法有很多，如极大似然估计( t h em a x i m l ml i k e l i h 0 0 de s t i m a t e ，m l e ) 和限制 极大议然估计( t l l er e s 糠c 七e dm a 函m ml i k e l i h o o de s t i m a 毛e ，r e m l e ) 、方差分 析估计( t h e n a l y s i so fv a r i a n c ee s t i m a t e ：a n o v a e ) 莘鲢最小范数二次无偏估计 ( t h em i i i n u mn o r mq u a d r a t i cu n b i a 吕e de s t i m a t e ，m i n q u e ) ( 参见陈希孺和王松 桂陶) ，这些估计都是观测向量的偶函数和交换不变的，也就建说 对一切g ，有 占2 ( g ) 一占2 ( 一g ) ，且对一切的f 帮反有毋2 + x _ 8 ) = 8 2 ( 目) 王 o 是未知参数形式上，这个模 型与一般的线性模型( 参见 2 ，3 ，5 ，1 0 ) 并无两样，但两者有本质不同这里的总体 是有限的，且向量g 是部分被观测的，因而在抽样调查的文献中称其为超总体 ( s u p e r - p o p u l a t i o n ) 模型在抽样调查理论和应用研究中，我们最感兴趣的问 题是对的函数日( g ) 进行有效的预测，例如要预测总体总量t = ：。虮和有限 总体回归系数风= ( x y _ 1 x ) 。x7 y - 1 等 1 3 2 预测的优良性 关于有限总体中的预测问题，文献中在不同的优良性准则和不同的模型假 设下，已经有了较系统的研究r 0 y u 和h e r s o n p 7 】使用“超总体”方法研究了有 限总体中线性预测的稳健性问题；在x 列满秩和v 为对角阵的情形下，p e r e i r a 和r o d r i g u e z 应用线性模型理论研究了最佳线性无偏预测( t h eb e s tl i n e a r u n b i a s e dp r e d i c t 。r ，简记为b l u p ) 的稳健性；考虑到设计矩阵x 的列之间有时 会存在复共线性关系，王松桂【”】研究了线性函数27 的自适应岭型预测，给出了 其优于b l u p 的一些充分条件；b 0 1 f a r i n e 和z a c k s 【7 。 研究了总体总量和总体方 差以及有限总体回归系数的b a y e s 预测、m i i l i m “预测和b l u p ；喻胜华，何灿 芝n 7 2 】研究任意秩一维有限总体和多元有限总体中的线性可预测变量的b l u p 喻胜华等研究了线性预测在齐次和非齐次线性估计类中的可容许性特征关 于线性预测在一切预测类的可容许性以及多元有限总体中的有关研究的文献还 一1n 一 第l 章绪论 较少 1 4 本文的研究成果和结构 本文主要目的是研究上述几类统计模型中的参数估计和有限总体中未来观 察值预测的理论与方法对于观测向量协方差阵可以为奇异阵的一般线性混合模 型，给出了固定效应和随机效应线性组合的最佳线性无偏估计和谱分解估计的明 确表达式提出了随机回归系数和参数线性组合的m i n i m “估计问题，在齐次线 性估计类中，得到了线性可估函数的唯一线性m i i l i m a x 估计并且，在正态假设 下，利用估计的可容许性理论证明了这个线性m i n i m a x 估计也是可估函数在一 切估计类中的m i n i m “估计考虑了混合模型中协方差阵估计的问题，通过谱分 解方法，对协方差阵进行适当变形，从而将协方差阵的估计问题转化为对其所有 互异特征值的同时估计问题，给出了其特征值的几种不同估计，比较了它们的优 良性在一般的生长曲线模型中，给出了线性充分统计量的概念，得到了一个观 测矩阵的线性变换保持最佳线性无偏估计的充要条件再者，考虑了未来观察值 的预测问题对于超总体模型中的协方差阵不做任何关于秩的限制，得到了线性 可预测变量的b l u p 关于协方差阵具有稳健性的充要条件类似于m i n i m a x 估 计的性质，在二次损失下，利用预测的可容许性理论，证明了文献中在齐次线性预 测类一个子类中的唯一线性m i n i m “预测在一切预测类中保持m i n i m 性最 后，考虑了一般多元线性模型中线性预测的泛容许性给出了泛容许预测的定义， 并得到了一个线性预测在齐次和非齐次线性预测类中的泛容许性特征本文的内 容安排如下： 在第2 章，我们研究了形如( 1 2 ) 的一般线性混合模型中固定效应和随机效 应线性组合肛= 27 卢+ m 的谱分解估计，这里f 和m 是已知的常数向量首先 研究了协方差阵可以是奇异矩阵的一般线性混合模型中“的最佳线性无偏估计 给出了在几乎处处意义下唯一的最佳线性无偏估计的明确表达式由于通常的两 一】1 一 北京工业大学理学博士学位论文 步估计形式的复杂性，落们的均方误麓估计多采用逼近的方法，难度较大我们利 用谱分解的思想方法，将强模型转化为协方差阵为奇异矩阵但只禽有一个未知因 子的薪模獭，从而得到扯的谱分解估计，且不含有未知的参数另外，在三个小域 模型中，利用方差分量的谱分解估计，也研究了模型均值两步估计的均方误差的 二阶逼近闫题。另一方谶，应用统计判决理论，在二次损失下考虑了线性混合模型 中观测向量协方差阵的估计，利用谱分解方法，将协方差阵的估计问题转化为其 所有互不相同特征值的同时估计问题，通过对原模型进行线性变换，给出了协方 差阵的一个谱分解估计炎，求出了这个估计类中最傀的谱分解佑计同时，我们诞 明了在定条件下，这个最优谱分解依计优于方差分析估计和最小范数二次无偏 估计 在第3 章，对于带毒蕤援皤归系数的一觳线控摸勰，砑究了可健蠹数s a + q 声 的一个线性估计在不同估计类中的m i n i m 缸性众所周知，m i n i m 估计和损 失函数以及所考虑的估计类有关我们对文献中的损失函数作适当的修改，分别 研究了s a + q 毋豹一令线性佶毒 在齐次线性健专 类斧一螺估计炎中的m i n i m 性在3 2 节，我们给出了在齐次线性估计类中m i n i m a x 估计存在性的有关结 果，得到了可估函数s 。+ 0 卢的线性m i n i m 估计，并证明其在几乎处处意义 下的唯一性在3 3 节，对于正态假设，证明了3 2 节褥到豹线性m i i m “估计 也是s d + q 卢在一切估计类中唯一m i n i m “估计 在第4 章，考虑了一般生长睦线模型( 1 5 ) 中线性统计量的线性充分性问题， 一般g a u s s - m a r k o v 模擞可以看俸它的特铡首先，线性充分洼的概念被拓展和 推广到模型( 1 5 ) 中的任一可估函数风b 砭上在4 2 节，介绍了线性充分性 相关的一些定义