（运筹学与控制论专业论文）不确定奇异时滞系统的时滞相关保性能控制：状态反馈情形.pdf

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i x ( t ) = 订( t ) 1 t 式中y l ( t ) 印，伽( ) 舻呻这样，所讨论的系统( 1 ) 及其对应标称奇异时滞系统( 2 ) 分别变换为： k ，v ，“( t 二n 囊- + ，西( t ) a ) 9 ) + ( a r + a 。一7 - ) + ( 宜+ 豆) u ( t ) ，。、 【可( ) = , 。f - t , ，o 1 t 0 t o ) y ( t ；三黜黧t 鬟0 】 【( t ) = 。西( t ) ，【一r ，1 r 7 式中 a2m a n = l a 五 d = m d = l 显然，系统( 1 ) 与( 3 ) ，( 2 ) 与( 4 ) 之间为r ，s e ( r e s t r i c t e ds y s t e me q u i v a l e n c e ) 等价f 1 1 1 ， 因而系统状态之间只差一满秩坐标变换，且两系统有相同传递函数，故问题的讨论可由 系统( 1 ) 转换为系统( 3 ) 第二节叙述了这一过程 第三、四两节为本文主要工作第三节通过引入l y a p u n o v 。k r a s o v s k i i 泛函 r，、1 y ( 玑) = 可r t - ( t ) + 正，f 好( s ) l 国p1 5 ) fd 。 + ，正：日口 ( q ) z 1 9 。( n ) d a d 卢 2 y r ( t ) p e ( t ) + 丘，y t ( s ) 国( s ) d s + ，伫8 。( q ) 丁2 z ( a ) d a d 卢，t2r 给出了标称奇异时滞系统( 4 ) 的时滞相关型稳定性判据即定理1 这一结果较之于文献 【9 】与【1 0 给出的时滞无关型稳定性判据有本质进步第三节末给出的数值例子说明了本 文结果的有效性 第四节利用广义二次稳定技术给出了不确定奇异时滞系统( 3 ) 的时滞相关型状态反 馈保性能鲁棒控制器存在的充分条件，并给出了控制器设计方法，即为文中的定理2 2 = v e 叫 a z 心一小 ? m k 舡 州 州 一 ： 卜一一 “锄引，r=叫刈 h h 蝴q 现 山东大学硕士学位论文 此外，为了便于运用m a t l a b 软件包求解，本文将定理2 中的矩阵不等式变换成为线性 矩阵不等式定理3 及其证明叙述了这一过程第四节末的数值例子指出了所给出的保 性能鲁棒控制器设计方法的有效性 第五节，结语 关键词：奇异时滞系统；范数有界参数不确定性；保性能控制；时滞相关型稳定性判据； 线性矩阵不等式组( l m b ) 3 山东大学硕士学位论文 d e l a y d e p e n d e n tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o r u n c e r t a i ns i n g u l a rt i m e d e l a ys y s t e m s ：t h ec a s eo f s t a t ef e e d b a c k g a oh u & nl i ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i d e r st h ep r o b l e mo fs t a t ef e e d b a c kg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e rd e s i p m f o rs i n g u l a rt i m e d e l a ys y s t e m sw i t hi l o r m b o u n d e dp a r a m e t e ru i c e r t a i n t v t h ew h o l e p a p e ri sd i v i d e di n t of i v es e c t i o n s s e c t i o no n ei st h ei n t r o d u t i o n s e c t i o nt w oa r ep r o b l e mf o r m u l a t i o na n dp r e l i m i n a r yd e f i n i t i o n s w ec o n s i d e rac l a s s o fu n c e r t a i ns i n g u l a rt i m e d e l a y 町r s t e mr e p r e s e n t e db y e x 扪( t 三篡- 皇； 2 + 1 h 醐。卜叫“b + b 沁( t )(1)t 0 【z ( t ) = 西( t ) ，【一- p7 w h e r ex ( t ) r “，“( ) r ”a x et h es t a t ea n dc o n t r o li n p u t ，r e s p e c t i v e l y e ，a ，a f a n dba r ek n o w nr e a lc o n s t a n t m a t r i c e sw i t ha p p r o p r i a t ed i m e n s i o n sa n d0 r a n ke = p 几 7 i sa nu n k n o w nc o n s t a n td e l a ya n ds a t i s f i e s0 丁t r n 曲0 ) c n ti sa c o m p a t i b l ei n i t i a lf u n c t i o n a a ，a a ta n da ba r et i m e i n v a r i a n tm a t r i c e sr e p r e s e n t i n g n o r m b o u n d e dp a r a m e t r i cu n c e r t a i n t i e sw h i c ha r eo ft h ef o l l o w i n gf o r m a 蛆b = d f e 1 西易 f r f ，f r 2 。j w h e r ed ，e 1 ，j n 丁，e 2a r ek n o w nr e a lc o n s t a n tm a t r i c e sa n df i sa nu n c e r t a i nr e a lc o n s t a n tm a t r i xg i v e np o s i t i v ed e f i n i t es y m m e t r i cm a t r i c e sra n ds ，w ec o n s i d e rt h ec o s t f u n c t i o n a l j = ( 工丁( t ) & ( t ) + u t ( t ) n u ( t ) ) d t t h ep r o b l e mi st od e s i g nac o n t r o l l e r 4 u ( t ) = k x ( t ) ，k r ”“ 山东大学硕士学位论文 ki sac o n s t a n tm a t r i x ，s u c ht h a tf o ra l la d m i s s i b l eu n c e r t a i n t i e s ，t h ec l o s e d l o o ps y s t e m i sr e g u l a r ，i m p u l s ef r e e ，z e r os o l u t i o na s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n dt h ec l o s e d l o o pv a l u eo f t h ec o s tf u n c t i o n a ljs a t i s f i e sab o u n dj + t h en o m i n a lu n f o r c e ds i n g u l a rt i m e - d e l a ys y s t e mo f ( 1 ) i s z ( 。t ；篡a x ) ( t ，+ 【- a t x ( 丁t i - t 0 ( 2 ) 【) = 西( t ) ， 【一7 ，】 r7 f r o m0 r a n k e2 p 0 及p 满足t p e = e t p t 0 ， a r p r ：p ，a + q p a rl 0 ) 表示实对称矩阵x 为半正定( 正定) 矩阵； 上标丁表示转置； 符号+ 用于一些矩阵描述中来表示对称结构，即若给定适维矩阵x = x r ，z = z r 则| ：三i = ly x ，y zi g ，：= c ( 【一7 - ，o ，r “) 表示由 一下，0 映到即中的所有连续向量值函数构成的b a n a c h 空间； z t ：= z ( t + 8 ) ，o 【一t ，0 】表示由n 维实向量值连续函数工( t ) ，t 一t ，+ 。) ，生成的 定义在 一7 - ，o 】上的函数族显然，。g ，； l 2 o ，) 表示 o ，。) 上的所有平方可积向量值函数构成的空间 ”i i 指向量的e u c l i d e a n 范数或矩阵的谱范数； 0 咖| | c = = s u pi | 币( t ) 【| 表示g ，空间中函数西的范数； 9 山东大学硕士学位论文 第二节问题的描述及预备性定义 2 1 问题描述 考虑一类不确定奇异时滞系统： e 童? 12 0 - a ：o ) ：a r + a r ) z o 一下) + ( b + a b ) “o ( 1 ) lz o ) = 毋( t ) ，t 【一下，o 】 、 其中x ( t ) 舻，u ( t ) j p 分别为系统的状态与控制输入， e ，a ，生为已知适维常矩 阵，o r a n k e = p o ，存在6 ( e ) 0 ，使得当初始函数l i l b ( 0 ，6 ( e ) ) ns 时有 0 x ( t ) l i t e l 则称系统( 5 ) 零解稳定 2 ) 若系统( 5 ) 零解稳定，且存在b o o ，使得当初始函数西b ( o ，b o ) ns 时有 l i mx ( t ) = o ，则称系统( 5 ) 零解渐近稳定 引理2 【1 2 假设。( - ) r n 。，6 ( ) r 仉及( ) 舻“a 在n 上有定义且连续，那么 对任何实常阵x 口。”。，y 彤。“- ，z r “e ”- ，如果 三。 成立，那么有： 一z a t ( a ) n ( a ) b ( a ) d q 雕汀x y 一( 。) 口( a ) ， z 儿) j 妇 引理3 1 13 1 给定适维实阵q ，r 及三，其中q 为对称阵，则对所有满足f f t i 的适 维实阵f ， q + f f - - + ( r f 三) r 0 ，使得 q + e r r r + e 一1 三r 三 0 引理4 对于任给的适维实阵g ，日和正实数e ，成立下面不等式i g h + h r g t e - - 1 g g r + e 日丁h 山东大学硬士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ：= 2 3 问题的转换 由于0 0 及 户酽“，p r 2 “。“满足下列不等式： 户豆：豆r 户t 0 牛 0 1 2 0 2 2 x 1 2m x 2 2k 一 z 0 1 3 0 2 3 一 一q 0 ( 9 0 ) ( 9 6 ) ( 9 c ) 式中x o r “。“，k r “。“，i = 1 ，2 ，j = 1 ，2 ，e 1 1 r “，0 1 2 r “。p ，0 1 3 r “。“，0 2 2 r p ”，e 2 3 f p “，并且 e l l = a 丁户t - t - p 五+ 鞴豆+ 豆丁印+ 贾1 1 + 国， 。n = c a t p t + 豆t f y + r m 2 1 2 ) 台 ， e 1 3 = p 府一或啻， ( 9 d ) 。船= 。 l - c 户+ 户丁，+ c 君z ：+ 2 ， 台 ， e ：。= o ( p 五，一玩豆) 则对于任一常时滞r ，0 0 将 ( 6 ) ，( 7 ) 式代入( 9 c ) ，可得 。) 2 2 4 2 2 _ 。孕2 3 2 ；1 p q 2 2 j ) 2 - 2 q 。4 2 7 2 2 2 c ：。 c ， i + l 。 其中q ：2 0 这说明a 2 2 ，p 2 2 非奇异，由a 2 2 非奇异即知( 啻，鼻) 正则，无脉冲模 矩阵对( 亩，a ) 的正则，无脉冲模意味着存在非奇异矩阵厨，使得( 啻，五) r s e 等价于下述w e i e r s t r a s s 标准形( 啻，鼻) ： 啻= 厨雪对= 台： ，= 府a = 乇10 ， 为方便起见，不妨仍沿用( 6 ) ，( 7 ) 中的记号，要强调的只是 a = a l 甜 这样，系统( 5 ) 即改写为： f9 1 0 ) = a l l ( t ) + a r n y t ( t 一7 ，) + a n 2 9 2 ( t r ) l0 = 北( t ) + a r j l y l 0 一f ) + a ，2 2 2 0 一r ) 1 可 ，= 1 咖。，= ： 弓 ，t 一l 。， ( 1 2 ) ( 1 3 ) 1 5 山东大学硕士学位论文 式中1 ( t ) 印，l ? 5 2 ( ) j p 一注意到1 ( t ) 一y l ( f 一7 ) = j ：，雪1 ( a ) 如，t r ，因而系 统( 1 3 ) 还可改写为t e y ( t ) 1 主三7 1 1 ”c t ，+ 0 ， 可：c t ，一 三： ，：，。c q ，a 乜 ，篓矧她t e 1 - 7 。砒, o ta 1 0 tt aa 卜吨t 0 叫， l 妒l ( ) = ( ) +，1 1 1 ( t 一丁) +，1 2 2 ( t 一7 ) ， ，丁】 【妒2 0 ) = 一a ，2 l l ( t f ) 一a ，2 2 西2 ( t r ) ，t 【0 ，t 】 显然，砂( t ) 为系统( 1 4 ) 的相容初始函数由( 1 5 ) 易知，若西( t ) 8 ( 0 ，6 ) ns ，则有 1 l 妒。( t ) 1 1 | | e 4 - 2 咖。( o ) i i + i i e “1 ( 一5 a ，1 - 咖t ( s r ) + a ，1 2 6 2 ( s r ) 】d si i f z2 ( 1 + r ( 1 1a r l - i i + i i a t l 2 | 1 ) ) 。m 0 a ，x ，】i i e “1 i i ， m 2 = 1 1a l i + i | a ，2 2 ( 1 6 b ) 亦即砂( t ) b ( o ， 死d ) ns ， 如= m 1 + 坞+ 1 ，t 一丁，丁- 这说明，若系统( 1 3 ) 的相容 初始函数曲( t ) b ( 0 ：6 ) ，则由( 1 5 ) 生成的，定义于 一r ，7 - 的妒( t ) 必为系统( 1 4 ) 的相容 初始函数，且属于b ( 0 ：m 0 5 ) 再注意到，系统( 1 3 ) 与系统( 1 4 ) 尽管不是相互等价的， 但系统( 1 3 ) 的解必为系统( 1 4 ) 的解加之系统( 5 ) 与系统( 1 3 ) r s e 等价，因此，考察 系统( 5 ) 的零解渐近稳定性可代之以考察系统( 1 4 ) 的零解渐近稳定性 2 证系统( 5 ) 零解渐近稳定前已述及，只须证明系统( 1 4 ) 零解渐近稳定证明思 路：先证系统零解的前p 维分量渐近稳定，再证零解渐近稳定为此，引入如下辅助性 引理5 f 若存在连续泛函i ，( 玑) ：g - r 及非减连续函数u ，u ，叫：r + _ r + ， a _l = 4 r l 一 一 l t 丁 一1。j ，； 心冰1lj妒妒 2 2 rl l 2鼻 = r，【幻 + 妒 = v 山东大学硕士学位论文 其中u ( o ) = v ( o ) = 0 ，u ( s ) 0 ，v ( s ) 0 ，v s 0 ，y ( 玑) 满足t i ) u ( | iy l ( t ) 1 1 2 ) v ( w ) v ( i ly ti l ：) ，t 7 i i ) d + ( y ( 玑) ) 一伽( | ls ，l ( t ) 0 2 ) ，t 7 式中y t = y ( t + 口) ，p 【一2 t ，o 】，t 丁，则系统( 1 4 ) 零解的前p 维分量稳定，即对于任给 的正数e ，存在正数6 ( ) ，使得当初始函数妒( t ) b ( o ，6 ( e ) ) n s 时有l ly l ( t ) | | e ，t r 进一步，若s 0 时有叫( s ) 0 ，且存在常数l o ，m o ，使得当0y l ( t ) i i l o ，t r ，时有 0 雪。( t ) l l sm o ，t 7 ，则系统( 1 4 ) 零解的前p 维分量渐近稳定，即i ) 零解前p 维分量稳 定；i i ) 存在足够小的正数5 0 ，使得当初始函数妒( t ) s ( o ，5 0 ) ns 时有j i m y l ( t ) = 0 记f 1 4 】 7 7 t 群y t ( i th z t 掣 y 2 t 。? j 0j ， i( t ) = 1 )( t ) i = i( t ) z ( ) 、 引入l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函 川= 汛籼1 ( t ) + 正，m ) 蜘) 蚓测1 d s + ，丘8 订( q ) z t 9 1 ( a ) d a d 卢 = y t ( t ) p e y ( t ) + 正，y t ( s ) q , y ( s ) d s + ，伫口z ( q ) t 2 z ( a ) d a d 卢，t r ， ( 1 8 ) 式中p l ，磊l 如( 1 0 ) 所示注意到 ，正毛z ( 。) 丁易( o ) 如筇 茎篙艺a 熏竺端湎+ a 一州a t ) ) d a ， 7 - j 王，( a 可( q ) +，可( 一丁) ) r z ( a ( a ) + 礼f ( a 一 、。 嚅( i ia 了、2 ai i + 2i ia r 牙a ，| i + 1 | a 2 五，i i ) 1 1y t 幢，t 丁- 式中1 1 饥i i c = s u p i iy 0 + 8 ) i | 。故有 a 。“。( p 1 1 ) i ly l ( t ) 1 1 2 v ( v ) ( 7 磊2 ( | i 五r 2 ai i + 2i l 五t 牙a ，l i + | i2 t 2 ，i i ) + a ( p l ，) + i i 国i i ) i iy 。l i ：，t 7 -( 2 0 ) 计算v ( y ) 沿系统( 1 4 ) 的状态轨线的导数，推得 矿( 玑) 1 ( 1 4 ) 5 y t ( t ) p e y ( t ) + 9 t ( t ) f p y ( t ) + t ( t ) 国( t ) 一y t ( t f ) 国( t f ) f 2 1 ) + t z r ( t ) 2 z ( t ) 一正，z t ( a ) 2 z ( a ) d a 、 户pi ( 2 2 ) 1 7 一d。0 _l = r g 记 由( 9 a ) ，( 1 4 ) 及 t ( t ) p e y ( t ) = 2 叩r ( t ) 伊 一2 叼t ( t ) g t = 2 叼t ( t ) g 丁 注意到 1 8 = 一2 叩了、( t ) g 丁 a ，l l 0 a r 2 l 0 汪tz ( a ) d a 山东大学硕士学位论文 以q ( t ) ，z ( t ) 及g 丁 引理2 推得 一2 ，( t ) g t 00 a r l l 0 a f 2 1 0 00 a f l l 0 a r 2 l 0 分别为引理2 中的o ( d ) ，6 ( q ) 及( a ) ，由( 9 b ) 并应用 趾，z ( a ) d a sr 7 7 t ( t ) 贾q ( t ) + 2 7 t 0 ) p g t 00 = 7 - 1 t ) 支q ( t ) + 2 叩r 。) pl 台i g 丁 + 2 7 丁( t ) g t o a f l l a f 2 1 将( 2 3 ) 一( 2 5 ) 代入( 2 1 ) ，得 0 0 0 a f l l 4 t 2 l 、i t _ t z ( a ) d a + l ：一t z t ( a ) 2 z ( a ) d a ) y 1 ( t ) 一p 台 ，v 。一丁，+ 丘，z r c d ，2 zc q ，a q v ( y 圳( 1 4 ) 2 r l 丁( t ) g t y 1 ( t ) + 2 7 7 丁( t ) g 丁 + z ”丁c t ，g t 二 z 。，+ z 叩t 。，g r + 7 - 叩t c t ，足”。，+ z 叩t 。，t p 台 一g r 0 a r l 2 a r 2 2 0 0 厶呻 0 a r l l 4 t 2 1 y 2 ( t ) y 2 ( t 一7 _ ) ) g ( t ) ( 2 5 ) 1 9 山东大学硕士学位论文 + 2 7 7 t ( t ) g 丁 0 a r l l a r 2 l p 台 ，玑。一7 - ，+ 可了1 c t ，国 ， 蛐t 叫三卜豆) y ( t ) + 2 叩r ( t ) g t 都m 川嗍幻 + z ”丁。) t g t 呈 一p 虏) 。一r ) + 旷( t ) 国( t ) 一r 0 7 - ) 国0 一r ) + r m z r ( t ) 2 z ( t ) 叫妒b 三 + 羔乏卜川+ 叫t n 贾 + 言0 2 ，”。，+ z 町丁c t ，t g t 呈 一p 豆，。 一r ，一g 丁。一r ，国。c t r ， 端h 巴1 黑。 端 y t ( t ) w y ( t ) ( 2 6 ) ) = r ( t ) z 丁( t ) y t ( t r 西= p 五+ 互t 户t + 蟊啻 + 豆t 蹿+ 灾1 l + 国 卜丁( t ) = 牝可丁( t - t ) a t 户丁+ 豆丁垮+ 元1 2 户五，一蜀豆 一( 户+ 户丁) + ( 2 + 2 ) 户五，一硗豆 半丰 一q w = q l l + q 1 2 q 2 - 2 i3 t 1 2 q 。= p a + a t 户t + 霸豆+ 豆丁翠+ 丁m 贾- 。+ 国+ ( p a ，一蜀啻) 国一1 ( p a ，一霸雷) 丁 q - 。= c p 五+ 羁豆+ 贾五+ c 户a ，一玩豆，国- 1 c 户a ，一霸豆，t ，t 台 q 。z = o ( 户+ p 丁、一( 忌：+ 字) 一( 户a ， 由( 9 c ) 式知e 0 ，因而 吼2 i o n 2 2 d 0 o l r 、j 一目 玩一 r 一4p ，【 一 一0 一e 羁 一 吼+ ril 山东大学硕士学位论文 并且，进一步有w 0 ，故 9 ( y t ) i ( 1 4 ) a 。t 。( w ，) t ( t ) ) a 。i 。( w ，) 0 ) 1 0 ) ，t _ r ( 2 8 ) 式( 2 0 ) 及( 2 8 ) 分别给出了v ( y t ) 及y ) b ) 的估计显然，这一估计符合引理5 的全 部条件，应用引理5 ，知系统( 1 4 ) 零解的前p 维分量渐近稳定 下证系统( 1 4 ) 的零解渐近稳定 将式( 1 1 ) 左乘 一a 乏。i 】，右乘 一a 乏：，】1 ，注意到 一a 毛。，】行满秩， 故有 a 毛2 【p 2 2 ( 4 2 2 一，) + ( a 2 2 一，) r 磁】a ，2 2 + a 毛2 q 2 2 a ，2 2 一q 2 2 o 联系到式( 1 2 ) ，由a 2 2 = i 及上式推得 a 毛2 q 2 2 a ，2 2 一q 2 2 0 ，故上式导致p ( a ，2 2 ) 1 因而 1 ia ：2 2i i m 2 ，= o ，1 ，2 ， ( 2 9 ) 式中m ，口为常数，m 1 ，( 0 ：1 ) 按式( 1 3 ) 计算2 ( t ) ：推得 k 驰( t ) = ( 一4 ，2 2 ) y 2 ( 一7 - ) 一芝二( 一a ，2 2 ) 一1 a ，2 1 y l o i 7 _ ) ，t k r ，( + 1 ) f 】，k = 1 ：2 ， i = 1 ( 3 0 ) 注意到系统( 1 4 ) 零解的前p 维分量渐近稳定，故对于任给的正数e ，存在正数6 ( e ) e ，使 得当初始函数妒( t ) b ( 0 ，6 ( ) ) n s 时有| | y 1 ( t ) i i e ，t 一7 - 因此，当妒( t ) b ( o ，d ( e ) ) 时，y 2 ( t ) 可按( 2 9 ) ，( 3 0 ) 估计为 jjy 2 ( t ) l i m ( 1 + 亡j ja ，2 1j ) e ，t 一r ( 3 1 ) 下证y 2 ( t ) - 0 ，t - 。注意到系统( 1 4 ) 零解的前p 维分量渐近稳定，故存在足够小 的正数5 0 ，5 0 5 ( c o ) e o ，使得当初始函数妒( t ) s ( 0 ，5 0 ) n s 时有| i l ( t ) i e o ，t 一f ， 且y l ( t ) _ 0 ，t - - + 0 0 又，据( 2 9 ) 有o q 0 ，p ，p 及霞满足( 9 a ) ，( 9 b ) 及 i 皿1 l ( a + 豆露) t p 了1 + 啻t 霉+ 贾l ：p 鼻，霸豆 皿= i 幸 一( 户+ 户t ) + 如2 + 2 p 互，一y 一2 e f i 章+ 一q 。懈p d 啻= e i + e 2 r 0 e ， ( 3 4 ) 则由( 1 ) 及以霞为增益阵的控制器( 4 ) 构成的闭环系统正则，无脉冲模，零解渐近稳 定，且指标( 3 ) 有下述估计： 2 4 j ，= 咖t ( o ) ( 一1 ) r p e n 一1 ( o ) + ，i j i t ( s ) ( 一- ) r o n 一- ( s ) d s + f o ，片c t ( a ) ( n 一1 ) t 豆r z e n 一1 $ ( o ) d n 筇 证明注意，由系统( 1 ) 及以霞为增益阵的控制器( 4 ) 构成的闭环为： je y ( t ) = ( a + b k + a a + a b k ) y ( t ) + ( a ，+ a a ，) ( t r ) ， 【y ( t ) = n _ 1 西( t ) ，t 【一7 - ，0 ( 3 5 ) ( 3 6 ) ；簧 ，【 0 o ，亩 0 ，2 n n 矩阵p ，m n 矩阵彬，p ( n p ) 矩阵u 和n 几可逆阵户满足下 山东大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 述线性矩阵不等式， 式中 眯1 支，：r 宠。羁i ： +2f x l i i lx l i l 2 一 x 1 1 2 2 豆p = 户丁雪丁。： 。厶一， 户 台 = 。 o ( 4 1 b ) ( 4 1 c ) ( 4 2 ) 让( f ) = k u ( t ) ，詹= 咖户 ( 4 3 ) 2 7 + + + + ， + + 旷 幸 幸 牢 丰 丰 矿 。 一 v 丰 幸 丰 卓 丰 一吃0 o v 丰 丰 幸 木 丰 一白0 0 0 一 十 丰 事 包0 0 0 0 一 十 旬0 0 0 o 0 十 0 0 0 o 0 +一一即一们。+如。如跏。 勖翰&禺硫l璺形 2 2 2 2：一比一一场一无如 一一一坛一场蜀； 眦 勉 眦 拢 ， 一一地一场一物+ 2 2 2 ： 。渤+ 易旷 r d 一 一 = r 萨 。旷 rll【 ， = 1，0j 他 p e o k ， 旷o o rl t 吖。旷 一d rl【 = = 既 踟 渤州 诤 荣 弛拖螈妒融 瓣一 山东大学硕士学位论文 并且，上述控制器保证系统( 1 ) 在其作用下构成的闭环系统正则，无脉冲模，零解渐近 稳定，且性能指标j 有下述估计： l，t，2：罢：；奠：耋。，r(国3n卢l一)t。u一，咖e。n，d-。1n毋(。) 。， + ，币t ( s ) ( 一1 ) t ( 户一1 ) r 国卢一1 1 咖( s ) d s 、7 + ，片声t ( a ) ( 一1 ) 丁宙r ( 户一1 ) t 2 p 一1 豆一1 $ ( q ) d d d 芦 证明由定理2 知，若对于给定的正数e l ，存在形如( 4 ) 的控制器，及适维矩阵 国 0 ，又0 ，2 0 ，户，p ，满足( 9 a ) ，( 9 b ) 及( 3 3 ) ，则由( 1 ) 及( 4 ) 构成的闭环系统 正则，无脉冲模，零解渐近稳定，且指标值有如( 3 5 ) 所示的上界r 注意到户满足( 9 a ) ，故户= i 气1 竺：l ，p 1 - 。不失一般性，设p 1 - 。 又，( 3 3 ) 蕴含 rr d i a g 厶， o ，厶) 皿d i a g 厶，i 苫i ：厶) o 亦即 式中 因而有 并有 这导致 c c 五十豆蟊，r p t + e t a ( 手+ 贾他， 台 p 五，一r 豆 。 卜- c 户+ 户丁，+ 元z ：+ 牙 台 。 c 户a ，一硗豆， + 一国 皿n = p a 。+ 碍p t + r 豆+ e 丁野+ 丁m 又u + 国+ n 丁s n + 霞7 r 霞 a 。= a + 亩拈4 1 1 + b 1 k l a a 。n 。+ + b b ：1 k 2 j r “驴r + 攀伊珊a 豆 。 户a 。+ a 手p 丁+ 玩雷+ 豆丁玎+ 国 0 p 2 2 锄2 i o q 2 2 。及户形如( 4 5 ) 必须 在计算中得以保证，故引入条件( 4 t c ) ；将( 9 b ) 两端分别左乘d i a g 5 r ，户r ，户r ) ，右乘 d i a g p ，p ，p ) ：显然，所得的结果即为( 4 1 b ) 将( 3 3 ) 两端分别左乘d i a g p r ，船，p r ) ， 右乘d i a g 声，a 。：声) ，并且，再注意到l01 ，ui 豆= 豆即有 i j 一l + e l 矗 品 o 2 le 2 2 e 3 l 3 2 + e l 五 磊 0 _ j e 。 丢5 1 + 5 t 1 。v , 7 l 乞5 1 0 户r 五 7 1户丁a - ，t 7 2 6 2 o 卜e i l + 磊 乞 0 p t 廿4 l o 户t 露 纠 4 1o 西户 e 5 1 0a ，户 e 6 2ol + e i l 恻卜心川 0 日pi o ，x o ，z o ，则按( 4 2 ) ，( 4 3 ) ，( 4 5 ) 即可算得不 等式组( 4 1 c ) ，( 4 1 b ) ，( 4 6 ) 的解p ，戈0 ，2 o ，西 及p ，形，u 反之，若不等式组 ( 4 1 c ) ，( 4 1 6 ) ，( 4 6 ) 有解p ，x o ，z o ，q 及y ，w ，u ，则按( 4 2 ) ，( 4 3 ) ，( 4 5 ) 即可算得 不等式组( 9 n ) ，( 9 6 ) ，( 3 3 ) 的解p ，p ，露及国 o ，贾0 ，2 o 显然，不等式( 4 6 ) 关于其未知变元如p 等不适线性的，为此，据引理4 ，引入( 4 6 ) ，汗r识舻炉声弘o，臻一驴跗纠骚 口=o=沪叼 r 荔一 = 贾户+ ；哆肚函 0 r i o ， = l 妒哪一 2 ，x = 汀u如_ 耻瑙 r u ，(甲誓一。 瓦弦曩篓嚣 -。，l + 1，j + + 勺；岛 u n 札一 r e 蹋。随 山东大学硕士学位论文 的下列加强不等式 不 易 o + e 1 五 磊 0 6 1 。0 + e - 1 7 l ，：o + e i l 卜。岛户 5 lo 五，户 0 ，q 及 y ，u 是线性的，便于用m a t l a b 求解 为此由上述可以看出，若( 4 t a ) 一( 4 1 c ) 有解p ，支20 ，2 0 ，国 及矿，形，u ，则该解 必为( 4 1 c ) ，( 4 1 b ) ，( 4 6 ) 的解，并且，由该解按( 4 2 ) ，( 4 3 ) ，( 4 5 ) 算得的p ，x 0 ，z 0 ，q 及y ，k 必为( 9 a ) ，( 9 b ) ，( 3 3 ) 的解于是由定理2 知，按式( 4 3 ) 设计的控制器, 4 t ) = 霞y ( t ) 与系统( 1 ) 构成的闭环正则、无脉冲模、零解渐近稳定，且指标( 3 ) 有如( 4 4 ) 所示的上 界证毕 回溯到系统( 1 ) ，显然，若不等式( 4 1 a ) 一( 4 1 c ) 有解p ，x 0 ，z 0 ，q 及y ，w ，u ， 则按下式设计的控制器： u ( t ) = k z ( t ) ，k = 1 ，户一1 n 一1 与系统( 1 ) 构成的闭环正则、无脉冲模、零解渐近稳定，且指标( 3 ) 有如下上界： r 0 f of o j 卜c t ( o ) 户螂( o ) + - ，西r ( s ) 挪) 蚺- ，上乳) e t 拓删日 式中 p = ( n 一1 ) t p m ，亩= ( n 。1 ) 丁国，2 = ! t t 2 m 4 2 数值例子 考虑下面不确定奇异时滞系统 fe 0 ) = ( j 4 + a a ) x ( t ) + ( _ ，+ 4 ，) 。( t f ) + ( b + b ) u 0 ) 【z ( t ) = l i j ( t ) ，t 【一1 5 ，0 3 0 ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 5 0 ) 蹋。隗 踌。阮 彳= ： ，a 亍 二。，- 1 2 ，4 r2 、 三三。一。0 。 ，b = i ， 。a b “”。e1一e2&a&a,dj = v t 1 5 1 v - - ；r - e , 2j 。 。： 譬：等 ，f 。= li ij ，易= ； ，e ，= ； ， f = d i n 9 r ，口，s ) ，irl 1 ，isi 1 ；| gl 普1 ：1 5 肚1 ，踮如川归旧- 1 汁挺【_ 1 5 】0 肚 i 1 嚣 ，肚- 1 三 贾，。= l 。0 1 8 3 。0 0 4 2l，贾-z=l。00900042 0 0 0 9 30 0 0 2 4 1 。0 1，舢1 _ li “1 2 一l l 也：= l0 譬0 8 。曼。l ，2 = lm 警6 8 。曼；。l ， 蟊= l 酱0 1 ，托= 愕20 1 肚卜0 1 1 - 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