（应用数学专业论文）一类常微分方程自由多点边值问题的定性分析和广义打靶法.pdf

上海大学 6 7 8 0 5 0 本论文经答辩委员会全体委员审查，确认符合上海大学硕 士学位论文质量要求。 答辩委员会签名： 主任： 委员： 耆乞武 珞觯 诉萝生 导师：珠旁 答辩日期： ( 工作单位职称) 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下进行的研究 工作。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 它人已发表或撰写过的研究成果? 参与同一工作的其它同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢 意。 签名：日期! 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 一导师签名： 日期 摘要 脉冲控制理论在汇率的最优控制、现金管理及投资组合等金融问题中有着广 泛的应用，利用脉冲控制理论可以将这些金融问题转化为带约束条件的非线性常 微分方程多点自由边值问题( f m b v n ) 因为这些金融问题有着重大的实用价值， 所以对f m b v n 进行研究有重要的实用价值和理论意义，本文对一类f m b v n 解的存在性进行了讨论，并提出了一种行之有效的数值计算方法 尽管微分方程多点边值问题可以化为非线性两点边值问题，而求解非线性两 点边值问题已有许多成熟的理论和方法，然而这些方法只适用于不具有约束条 件的问题，所以用处理两点边值问题的方法对f m b v n 进行研究有很大的难度。 本文首先研究了由汇率的最优控制问题中提出的一类线性微分方程的多点自由 边值问题( f m b v l ) ，然后根据打靶法的基本原理，提出了一种推广的打靶法。引 用这种方法我们把f m b v n 转化为等价的非线性方程组；最后借助f m b v l 的解 和同伦技巧对f m b v n 进行了成功的数值计算。此外，我们还利用本文给出的算 法通过大量数值计算研究了解随参数变化的规律 本文的结构如下： l 、简述了问题的来源及发展动态 2 、给出了一些预备知识 3 、对f m b v l 解的存在性给出了一些定性分析，并建立了一种有效的数值计算方 法 4 、利用推广的打靶法和同伦技巧给出了f m b v n 的数值计算方法； 5 、利用本文给出的算法进行计算从而对各参数进行了敏感性分析； 6 、给出了结论与展望 关键词：常微分方程，自由边值，约束条件，汇率，脉冲控制，广义打靶法 a b s t r a c t i m p u l s ec o n t r o lt h e o r yh a sb e e nw i d e l ya p p l i e dt o f i n a n c i a lp r o b l e m s ，s u c ha s o p t i m a lc o n t r o lo fa ne x c h a n g er a t e ，ac a s hm a n a g e m e n tp r o b l e m ，a n dp o r t f o l i o o p t i m i z a t i o n t h e s ef i n a n c i a lp r o b l e m sc a nb et r a n s f o r m e di n t o ac l a s so ff r e e m u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l l i ep r o b l e mo fn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f i e r e n t i a le q u a t i o nw i t h c o n s t r a i n t s ( f m b v n ) ，b e c a n s eo ft h ei m p o r t a n c eo ft h e s ef i n a n c i a lp r o b l e m s ，t h e r e s e a r c hf o rt h i sf i n a n c i a lp r o b l e m sn o to n l yp o s s e s s e si m p o r t a n tp r a c t i c a lv a l u eb u t a l s oh a st h e o r e t i c a lm e a n i n g i nt h i st l l e s i st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rac l a s so f f m b v ni sd i s c u s s e d a n da ne f f e c t i v en u m e r i c a lm e t h o di sp r e s e n t e d a l t h o u g hf r e em u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fo r d i n a r yd i f f b r e n t i a l e q u a t i o nc a nb et r a n s f o r m e di n t oe q u i v a l e n tt w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so f o l d 。e ( t b v p ) 。a n dt h e r ea r em a n ym a t u r et h e o r i e sa n dn u m e r i c a im e m o d s b u t t h e r e a r ec o n s t r a i n t si nf m b v n t h u st h e r em a ya p p e a rm a n yd i f f i c u r i e sa st h en u m e r i c a l m e t h o d so ft b v pa r ed i r e c t l yu s e dt os o l v ef m b v n ac l a s so ff r e em u l t i f ) o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fl i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( f m b v l ) p r o p o s e d i nt h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m so fe x c h a n g er a t ei sd i s c u s s e d ，t h e ni nt e r m so f g e n e r a l i z e ds h o o t i n gm e t h o d ，f m b v ni s t r a n s f o r m e di n t oa r te q u i v a l e n ts y s t e mo f n o n l i n e a re q u a t i o n so ft w ou n k n o w n s a n df i n a l l yt h en o n l i n e a r s y s t e m si s n u m e r i c a l l ys o l v e db yu s i n gn e w t o nt y p e m e t h o da n dh o m o t o p y t e c h n i q u e s u c c e s s f u l l yw i t ht h es o l u t i o n so ff m b v lb e i n gi n i t i a lv a l u e s m o r e o v e r , s e n s i t i v e a n a l y s i so f t h ep a r a m e t e r si sp r e s e n t e df r o mal o to f n u m e r i c a le x p e r i m e n t s t h es t r u c t u r eo f t h i st h e s i si sa sf o l l o w s ， 1 、t h eb a c k g r o u n da n dd e v e l o p m e n to ff m b v na r ei n t r o d u c e d ； 2 、s o m ep r e p a r a t o r yk n o w l e d g ei sg i v e n 3 、s o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rf m b v l a r ep r e s e n t e d a n da ne f f e c t i v en u m e r i c a lm e t h o df o rs o l v i n gf m b v li s e s t a b l i s h e d 4 、b ym e a n so fg e n e r a l i z e ds h o o t i n gm e t h o da n dh o m o t o p yt e c h n i q u ean u m e r i c a l m e t h o di sg i v e nf o rc o m p u t i n gf m b v n 5 、s e n s i t i v ea n a l y s i so ft h ep a r a m e t e r si so b t a i n e df r o mal o to fn u m e r i c a l e x p e r i m e n t s 6 、t h er e s u l t sa n de x p e c t a t i o na r es u m m a r i z e d k e y w o r d s ：o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；f r e eb o u n d a r yv a l u e ；c o n s t r a i n t ； e x c h a n g er a t e ；i m p u l s ec o n t r o l ；g e n e r a l i z e ds h o o t i n gm e t h o d 引言 1 1 概述 脉冲控制理论在汇率的最优控制、现金管理以及投资组合等金融问题中有 着广泛的应用因为这类金融问题有重大的实用价值，所以受到了许多金融学家 和数学家的重视，并对这类问题进行了许多研究【l - l6 】脉冲控制理论的一个基本方 法是通过i t o 公式、b e l l m a n 动态规划原理及拟变分不等式把金融控制问题转化 为微分方程的自由边值问题本文主要讨论这种微分方程的自由边值问题的有关 理论和数值解法 为了维护本国经济的稳定，中央银行需要干预汇率使之尽可能接近目标汇率 现今大多数国家采用目标区域政策，这就意味着中央银行须将汇率控制在一个闭 区间 口，b 内，如果汇率的波动超出了这一范围，则中央银行就对其进行干预，具体 干预方法通常有对利率的控制或干预外汇市场等随着干预次数和干预尺寸的 增加，干预费用将增加对汇率的每次干预，中央银行都需要支付一定的固定费 用和与干预尺寸成比例的费用为了减小于预费用，人们需要寻找一套最优干预策 略 1 9 9 3 年j e a n b l a n c p i c q u e 1 7 】最先利用随机脉冲控制理论为汇率干预问题建立 数学模型，1 9 9 7 年k o m 1 8 1 对这个模型进行了改进，他们都假定最优干预水平a , b 已给定，从而求得最优干预尺寸1 9 9 9 年a b e lc a d e n i l l a s 和f e m a n d oz a p a t e r o t o 】 通过让汇率尽可能地接近目标汇率，给出了一个更切合实际的模型他们利用随机 脉冲控制理论将这一问题化归为下述线性常微分方程自由边值问题( f m b v l ) 的 求解，即求v ( x ) 满足微分方程： 扣2 掣叩d r 出( x ) 圳忡刊2 = o ( 1 1 ) 以及边值条件： y ( d ) = v ( a ) + c + c ( a a ) v ( b ) = v ( p ) + d + d ( b 一) ( 12 ) 矿( 口) = v 陋) = 一c v 。( ) = v ( 6 ) = d 其中盯，五，p ，c , d ，c ，d 是己知常数，x 是汇率，v ( x ) 是汇率水平为x 时最优干预 策略所需支付的费用，a ，矾卢，b 是待定常数，它们应满足约束条件： 0 口 口 o 是折 扣率；p o 是目标汇率；e r 代表汇率的外在经济压力，i t 0 表示汇率的贬值压 力， 0 ，d o 分别代表 中央银行每次将汇率调低或调高时的干预费用和干预尺寸的比例系数：c 0 ， d o 分别代表中央银行每次将汇率调低或调高时的固定费用。 此外4 ，d ，夕，b 是待定的常数，它们满足约束条件： 0 d a b ( 1 , 6 ) 如果以上问题存在解v ( x ) 和0 口 口 o ，使得i ，( x ) - f ( z + ) 8 口忙一工+ v x e s ，则牛顿收 敛序列 x ( 。 函至少二次收敛于x 。 牛顿法虽然有收敛快速的特点，但是它的每步都要计算尸( z ) 的值，在计算机 上实现很不方便特别当分量函数，( x ) ( f 1 , 2 ，n ) 较复杂时更是如此为了减少 计算量，我们用p ( x ( 0 1 ) 来代替f ( x ) ( k = 1 , 2 ，) 对于一维问题相应的几何意义 便是，过初始值作一切线，接着作若干次平行于该切线的割线，而不像牛顿法那样 过每次迭代法都作切线。这种方法称为改进的牛顿法。 如果用差分格式来代替偏导数，也即用差分 ! 蔓! = 三_ 兰二兰喜二五竺竺型来代替望攀( f ，：1 ，2 ，卅) ，这时我们将 打 溅。 得到离散牛顿法 此外牛顿法还可以有各种变形，我们通称为牛顿型方法。 用牛顿型法求解非线性方程组时，初始值的选取至关重要。初值的选取不仅 影响迭代是否收敛，而且当方程有多个解时，不同的初值可能收敛到不同的解。 为了保证迭代的收敛性，初始值应当取的和所求的解足够接近。有的实际问题可 以凭实际经验选取初值，有的则可以用某些方法预测个近似解作为初值。从数 学的角度讲，初值的选取是个一个相当困难的问题。同伦技巧可以用来选取初值， 下面将对这一技巧作简单的介绍。 2 2 同伦技巧介绍 为了利用牛顿型法求解方程组 f ( 工) = 0 ( 2 2 ) 需要一个好的初值。同伦技巧可被用来解决较好初值的选取问题。 利用同伦技巧求解方程( 2 2 ) 的基本思路。”： 先作一个函数g ( x ，占) ，使得o ( x ，1 ) = f ( x ) ，并且方程g ( x ，0 ) = 0 的解是已知 的，这样的c ( x ，占) 称为是f ( x ) 的一个同伦延拓。 我们不妨设方程g ( x ，0 ) = 0 的解为x ( o ) 我们先对连续型的同伦技巧介绍如下： 考察具有参数占的方程组 g ( x ，占) = 0 ( 2 3 ) 假设( 2 ，3 ) 的解为x = x ( s ) ，x ( o ) = 显然，x ( 1 ) 是方程( 2 。2 ) 的解 为了求解方程( 2 3 ) ，我们在恒等式g ( x ( s ) ，占) ；0 两边对5 求导数得： g ：( x ( 占) ，s ) - x ；+ g 。；0 ( 2 4 ) 其中， g 。( x ( 占) ，占) ：o g ( x = ( g ) 一, o o g ；( x ( 。) ，占) ：塑攀塑 d 占 于是求得x ( s ) 必须满足微分方程 x 。= - g ，( x ( s ) ，占) g 。 ( 2 5 ) 及初值条件： x ( o ) = ( 2 6 ) 显然，方程( 2 5 ) 一( 2 6 ) 是一个微分方程的初值问题，我们可以通过解微分方 程的初值问题的常用方法，比如用欧拉法，龙格库塔法容易求得它的数值解最后 得到的x ( 1 ) 就是( 2 2 ) 的解这种通过求解g ( x ，占) = 0 的解曲线x ( s ) 达到求解( 2 2 ) 的方法称为连续型的同伦方法 然而，由于通过数值求解初值问题( 25 ) 和( 2 6 ) 得到的解x ( 1 ) 往往有较大的 误差人们将采用离散型的同伦方法这种方法就是在使用单步法数值求解 ( 2 5 ) 一( 2 6 ) 的基础上对每一步的结果都用一定的的校正方法，校f 到( 2 3 ) 成 立 具体地说，如果毫= 工( 坳已经数值求得，其中是= ! n 是微分方程的求解步长 先用一次单步方法求( 2 5 ) 在x ( k h ) = 孔条件下的近似解，例如当使用e u l e r 折线法时得到： 或匕= x 一g 。( z ，s k ) a ( x ，s k ) h 然后，用牛顿型方法去校正x 黠，使得它满足方程g ( t 矗+ ) = 0 。当采用牛顿 法时，就得到校正迭代公式： x 册”= x 2 卜g 。( j 凛& + ) a ( x 2 7 ，毛+ ) 伽= 1 , 2 ，) 直至= 1 - x = ：l i o 是一个给定的误差精度这时令 x + l = ) 显然该方法等价于用牛顿法去逐次求解一系列的方程： g ( x ，q ) = 0 ( k = o ，l ，2 ，n ) 并把g ( x ，矗) = 0 的解作为求解g ( x ，+ ，) = o 时的初值这种方法就是离散型 的同伦方法 由于对具体问题来讲方程f ( x ) = 0 中总会含有一些参数，所以在一些实际问 题中f ( x ) 的同伦延拓是不难给出的有关同伦方法的进一步讨论可参考文献 2 8 1 2 3 非线性问题打靶法 对于二阶非线性微分方程的两点边值问题删 y ”= f ( x ，y ，y ) ，n x b ，y ( a ) = 口，y ( b ) = ( 2 7 ) 假设y ( z ) 是( 2 7 ) 的一个解，令y ( x ) = f + ，根据微分方程解对初值的相依性定理 知，只要，足够接近f ，则初值问题 f y ”= f ( x ，y ，y ) y ( 口) = 口，y ，( 口) = r ( 2 8 ) 在【d ，6 区间上存在唯一解，记为y ( x ，f ) 。 y ( x ，) 代入到( 2 7 ) 的边界条件y ( 6 ) = 中得到一个函数方程 y ( b ，f ) = ( 2 9 ) 这样边值问题( 2 7 ) 的求解就转化为方程( 2 9 ) 的求解。这种通过求解初值问题( 2 8 ) 把边值问题( 2 7 ) 化为等价的函数方程( 2 9 ) 的方法就是通常所说的打靶法a 第三章线性多点自由边值问题的数值算法 3 1 线性问题介绍 汇率的稳定与否会对国家经济的发展有重大的影响为了避免汇率波动过大 所造成的风险，中央银行采用了汇率自由浮动的政策，即允许汇率在区间 口，b 内 浮动，如果汇率的波动超出了这一范围，则中央银行就对其进行干预随着干预次 数和干预水平的增加，干预费用将增加对汇率的每一次干预，中央银行都需要支 付一定的固定费用和与干预尺寸成比例的费用为了减小干预费用，需要寻找一套 最优干预策略因为这类金融问题有重大的实用价值，所以受到了许多金融学家和 数学家的重视，并对这类问题进行了许多研究1 9 9 9 年a b e lc a d e n i l l a s 和 f e r n a n d oz a p a t e r o 利用随机脉冲控制理论将这一问题化归为下述线性微分方程 自由多点边值问题( f m b v l ) ，即求解v ( x ) 和常数a ，口，b ，它们满足微分方程： 2 掣叩掣删小刊2 = 。 ( 3 1 ) 以及边值条件： 矿( 口) = v ( a ) + c + c ( a a ) v ( b ) = v ( f 1 ) + d + d ( b 一) v 0 ) = v 位) = 一c f 1 ) = v ( 6 ) = d r 3 2 a ) ( 3 + 2 b ) r 3 2 c ) f 3 ，2 d ) 其中盯，五，p ，2 ，c , d ，c ，d 是己知常数g o 是汇率的的变化率；a 0 是折扣 率；p o 是目标汇率；，f r 代表汇率的外在经济压力， 0 表示汇率的贬值压 力， o ，d o 分别代表中央银行每次将汇率调低或 调高时的干预费用和干预尺寸的比例系数；c 0 ，d o 分别代表中央银行每次 将汇率调低或调高时的固定费用。 此外a ，口，b 是待定的常数，它们满足约束条件： 0 a 口 b 0 0( 3 - 3 ) 如果以上问题存在解矿( x ) 和0 a 口 卢 6 ，则最优干预策略就是把汇 率控制在范围陋，6 之内，当汇率水平为a 时，中央银行将进行干预把汇率调控到1 2 ， l j 当汇率水平为b 时，中央银行将汇率调控到 我们将从另一个角度对问题( 3 1 ) 一( 3 3 ) 解的存在性及具体的数值方法进行探 讨从而给出一种简单可行的求解方法，并简单地讨论各参数对解的影响 3 2 解的定性分析 虽然( 1 ) 是变系数的常微分方程，但是容易求得它的通解b 9 为 v ( x ) = a x + b x 4 + d 2 x 2 + 爿i x + a o 其中彳，b 为待定的常系数，a 2 = j 南0 , a l = a - 一2 , o ，a 0 = 等 ：生二臣如 盯2 + 乒虿磊 ( 3 4 ) 虽然我们可以直截了当地将通解( 3 4 ) 代入方程的边界条件( 3 1 ) 一( 3 4 ) ，得到 一个关于a ，b ，d ，口，卢，b 的非线性方程组，但因为这组非线性方程相当复杂所以 很难对它进行定性讨论实际上对于给定的参数盯， ，p ，c ，d ，f ，c ，d ，非线性方程 组的解不一定存在，即使解存在，当采用牛顿迭代法进行求解时，也将很难进行 初值的选取 为了讨论( 3 1 ) 一( 3 3 ) 解的存在性，我们先作一些简单的必要性分析，首先由 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 知y ( x ) 在( o ，+ 。0 ) 上至少有两个零点，从而y ( x ) 在( o ，+ 。o ) 上至少有 一个零点假定该问题的解存在，对t ( x ) 求导，得到： v 。( 互) = a f i x l 一+ b s x 一1 + 2 a 2 x + a 矿( x ) = a r , ( 一1 ) z 1 2 + b ( t 1 ) x 一2 + 2 爿2 y ( 工) = 爿_ ( 一1 ) ( 一2 ) x 1 3 + 西j ( - 一1 ) ( 吒一2 ) x 。一3 因炒( 棚有唯一零从2 等戢葛) 高删x 。( 0 删并且 v ”( x ) 在( o ，+ 。0 ) 上只有两个零点，记为，”，”( 0 ” 一c ，v ( o o ) d ，0 m n 一c 知必有a o 此外因为v ( ) 2 ，则必有b o ；若r 2 屯，则必须有a 2 o ；若t _ 2 ，则必须有a 2 + b 0 因 此我们可以得到如下定理 定理1当0 o 或r 2 2 且b 0 或a 0 时，问题 ( 3 1 ) 一( 3 | 3 ) 无解 因为m ，- 7 是v ”0 ) 的唯一的两个零点，故y ”沏) = 0 ，( 行) = 0 ，可得以下方程 组： j 爿( 1 1 ) 肌1 一：+ b 7 d r , 一1 ) ”：! + 2 a 2 5o ( 3 6 ) i 爿- ( 一1 ) 行1 - 2 + b ( 一1 ) n ! - 1 + 2 a 2 = 0 求籍a ，b ，并将解记为a = 么( 班，”) ，b = b ( m ，”) ，把a ，b f l , x n t 器( 3 4 ) ，然后再代入 ( 3 5 ) 得到点( m ，n ) 的范围记满足条件( 3 5 ) 的点( m ，”) 的全体为巾，列任何的 ( m ，胛) ，从而得出如下定理 定理2 如果f 司n ( 3 1 ) ( 3 3 ) 有解，则集合。是非空的 现在假定集合非空，对于给定的( m ，1 , 1 ) 巾，存在唯一的一组连续函数 a ( m ， ) ，a ( m ，n ) ，f l ( m ，n ) ，b ( m ，n ) ，满足条件( 3 2 c ) ( 3 2 d ) ，也即 矿t ， ) ) = 矿( d ( 掰，h ) ) = 一c ( f l ( m ，月) ) = ( 6 ( 卅，”) ) = d 成立，并且满足约 束条件0 a ( m ，n ) a ( m ，n ) o ，使得a ( m ，开) ，口( m ，月) ，f l ( m ，n ) ，b ( m ，h ) 满足边界条件 ( 3 ，2 a ) ( 3 2 b ) 为直观起见我们绘出矿( x ) 的在( o ，+ ) 上的草图，如图3 1 所示 6 图3 1 p t ( x ) 的草图 f i g 3 1 s k e t c ho f ( j ) 对给定的( m ，n ) e 中，令： 0 ( m ，n ) = v ( a ( m ，月) ) 一v ( a ( m ，n ) ) 一c ( a ( m ，h ) 一a ( m ，n ) ) 0 2 ( m ，n ) = 矿( 6 ( 搠，择) ) 一v ( f l ( m ，n ) ) - d ( b ( m ，聍) 一p ( m ，珂) ) 容易看出鼠，月) 、0 2 ( 朋， ) 的几何意义分别是图3 1 中下、上两块阴影的面 积，从而必定有o j ( 搬，n ) o ，0 2 ( m ，口) o 我们得到如下定理 定理3 对任意的点( m ，n ) e ，必定有口( m ，”) o 且臼：( ，n ) o ，则一定存在 c ，d ，使a ( 脚，h ) ，口( 朋，”) ，p ( m ，”) ，b ( m ，月) 满足边界条件( 3 2d ) ( 3 2b ) ，且 c = 0 ( m ，n ) ，d 5 0 2 ( 肌，h ) 现在我们给定方程( 3 ，1 ) 一( 3 3 ) 中除了c ，d 以外的一切参数仃，五，p ，c ，d ，p 的值， 对任意的( m ，n ) 中，则c ( m ，月) 、d ( m ， ) 由定理3 确定，令： p = ( c ( m ，7 1 ) ，d ( m ，t 7 ) ) ：( m ：h ) 巾) 我们得到如下定理 定理4 对给定参数盯，五，p ，c ，d ，f 的值，如果( c ，d ) 妒，则问题( 3 1 ) 一( 3 3 ) 的 解是存在的 3 3 具体算例 上一节给出的解的存在性证明是一种构造性的证明，给出除c ，d 以外的参 数，当 c ，d p 时，我们可以通过定理l 一4 求得问题( 3 1 ) - ( 3 3 ) 的解因此集合m 和p 在理论和计算中起着关键的作用下面我们给出具体的数值算例 本文将讨论在给定参数f = o ，1 ，盯= o 2 5 ，五= o 0 5 ，p = 1 ，8 ，c = 0 3 ，d = 0 5 时的解，其 中p = 1 8 可以近似看作美元对英镑的汇率，由方程组( 3 6 ) 得： 舢朋= 0 8 9 7 7 1l m 47 7 6 3 1 - ( 0 0 2 3 2 9 0 1 m 3 3 5 2 6 l ( 一万9 8 6 7 4 6 + 等等) ) ( 南 2 5 6 、 47 7 6 3 ”l a 6 9 ， 跏，俨+ 万9 8 6 7 4 6 + 万9 8 6 7 4 6 ) ，( 品一器) 我们根据( 3 5 ) 讨论点( m ，n ) 的范围，可以算出r 2 = o 5 7 6 3 0 5 2 ，a 2 = 4 7 0 5 8 8 0 ， 明显( ) 一c 成立，则必须有爿( m ，h ) 0 ；将 a ( m ， ) ，曰( m ，月) 代入不等式v ( m ) d ；并且m ，y i 满足约束条件 0 m c ，d c ，可知中央银行在目标汇率弱边上的干预费用大于在强边 上的干预费用由图3 5 我们观察到价值函数v ( x ) 的最小值点x = 1 5 1 1 8 在目标汇 率的左边( p = 1 8 ，当央行在目标汇率的强边干预时，把汇率调到低于目标汇率 的干预策略是最优的( 口 p ) 当在目标汇率的弱边干预时，把汇率调到低于目标 汇率的干预策略同样是最优的( p ) 取定参数仃= o 2 5 ，工= o 0 5 ，p = 1 8 ，c = 0 3 ，d = 0 5 ，c = 0 0 7 4 3 8 4 7 ，d = 0 2 2 5 1 5 5 ，当 在 一0 1 ，0 1 变化取值时我们分别算出最优干预策略口，口，6 的值，如表3 1 所示 同时我们绘出口，a ，b 随的变化趋势如图3 6 所示由图3 6 我1 1 1以看出，汇 率干预策略d ，a ，b 随着汇率贬值压力，f 的增大而变小 鋈 一0 1 0 。o 掰 o 0 皓0 1 0 阻 图3 6 其他参数给定时巩口，p ，b 随变化的趋势 当= o 时，a 妒 夕，当，厂0 1 ，p 夕，这说明汇率正经受贬值压力时，中央银 行在弱边进行干预时将会把汇率调到低于目标汇率的水平当，f = - 0 1 时，p 卢， 这说明汇率具有上升的趋势时，中央银行在弱边进行干预时将会把目标汇率调到 高于目标汇率的水平由图3 6 我们还可以看出，随着汇率贬值压力的增大，中央 银行在弱边的干预水平( b 口) 将变大，而在强边上的干预水平( d d ) 将变 小 ” 表3 ，1 其他参数给定时a ，a ，卢，b 随变化的值 仃= 0 2 5 ， = 0 0 5 ，口= 18 , c = 0 3 ，d = 05 ，c 2 00 7 4 3 8 4 7 ，d 。02 2 5 1 5 5 芦a a 口 b 0i1 2 2 6 0 7i6 7 0 1 32 0 7 0 2 828 3 5 6 8 00 81 2 1 4 3 316 4 5 5 2 20 3 4 3 l2 8 0 2 8 00 6i 2 0 14 616 2 0 l219 9 8 2 2 2 7 7 0 4 3 0 0 4i8 7 5 2 5 9 4 0 39 6 2 l l27 3 8 6 9 00 2i 1 7 2 5 7l5 6 7 3 4i 9 2 6 0 8 27 0 7 7 4 0 ，0 0 11 5 6 7 21 5 4 0 1 718 9 0 2 426 7 7 7 2 00 21 4 0 0 5 5 i2 6 48 5 4 6 926 4 8 7 7 00 41 2 2 6 9i4 8 4 8 58 1 9 5 7 26 2 1 0 3 o 0 6t 1 0 4 7 31 4 5 6 9 4 i7 8 4 9 625 9 4 6 3 o0 8 0 8 6 3 14 2 9 0 017 5 0 9 9 2 5 6 9 6 8 0 l10 6 7 5 3l4 0 1 1 7 7 i7 7 625 4 6 2 6 2 第四章非线性多点自由边值问题的数值计算 4 1 非线性问题的介绍 为了使汇率干预问题的数学模型更加切合实际，2 0 0 0 年a b e lc a d e n i l l a s 和 f e m a n d oz a p a t e r 0 1 2 3 1 对1 9 9 9 年a b e lc a d e n i l l a s 和f e m a n d oz a p a t e r 0 1 1 9 中的模型 进行了改进，他们利用混合经典脉冲控制策略即通过调整利率和对外汇市场进行 干预两种手段将汇率控制在闭区间 a , b 】内，从而将该问题化为如下非线性常微分 方程多点自由边值问题( f m b v n ) ： 在( o ，+ o o ) 上求解v ( x ) 满足方程 2d 出2 v ! ( x ) + 等( 掣+ 掣- 2 v ( x ) + ( x - p ) 2 - 。 心， 及边值条件： v ( a ) = 矿( 口) + ( t + c ( a 一盯) ( 4 2 a ) 矿( 6 ) = f 7 ( ) + d + d ( 6 一p ) ( 4 2 b ) v ( ) = v 心) = 一c( 4 2 c ) i 矿( 声) = v ( 6 ) = d( 4 2 d ) 其中盯，五，p ，f ，c , d ，c ，d ，k ，k 是已知参数x 是汇率，v ( x ) 是汇率水平为时最优干 预策略所需支付的费用，k ，k 是利率对 j 率的影响，其他参数的经济意义与线性 问题的相同 此外“，口，6 是待定的常数，它们满足约束条件： 0 n 口 b 。( 4 t 3 ) 对于微分方程边值问题的理论和数值方法，已有许多成熟的结果但对上述 具有约束条件的非线性常微分方程的自由多点边值问题，我们尚未见到有关的理 论分析和数值计算方法本节的主要目的是寻找此类问题的一种行之有效的数值 方法 4 2 打靶法的推广 我们首先推广用来处理常微分方程边值问题的打靶法，给出了一种推广的打 靶法，利用这种方法把( 4 1 ) 一( 4 3 ) 化归为一个二元非线性方程组然后利用同伦技 巧和牛顿型方法给出了这个代数方程组的数值计算方法 首先，由常微分方程的理论我们有如下引理【5 4 j ： 引理：如果i ，( 工) 是方程( 4 1 ) 在区i s j 粕， 】上的解，并且满足初始条件 矿( ) = 靠，矿i x 。) = 0 0 ，其中0 0 ，只要滓翕 + 1 , 7 0 0 l 0 ，使得当 悟一矿+ ( ) | + h 一”( ) f 万时，初值问题( 4 1 ) ( 4 4 ) 在 而，x 】 上存在唯一解，记为 v ( x ，善，智) ，并且存在唯一一组在 x 。，x 。】中取值的函数 日( 孝，理) 盘g ，7 7 ) o ， 使得 v ”( x ) 0 0 ，x 【口一反，a + 6 】 d i = v ( 口一万i ) + c 0 取s 足够小，满足o o ，当悟一矿+ ( x 。) 卜h v ( ) f 6 时， n x 。，_ 】上满足初值条件( 4r 1 ) 和( 4 4 ) 的解唯一存在，记为v ( x ，亭，7 7 ) ，同时可以得到 ，m 【。a x 。1 4 矿( x ) 一矿。( x ) l + f 1 ( x ) 一矿( z ) i + l 矿”( x ) 一矿”( x ) 1 1 o ，x 口一( i ，a + 万l 】 因此，( x ，孝，7 7 ) 一c = 0 在区间陋一4 ，a + f i i 上存在唯一解，记为a ( 4 ，r ) 证毕。 现在令 f g ( 亏，叩) = v ( a ( 4 ，7 7 ) ，舌，7 ) 一 ( 酣( 孝，7 ) ，亏，叩) + c + c ( 口( 手，7 7 ) 一a ( 4 ，7 ) ) jr 47 、 1 9 ：( 孝，叩) = v ( b ( 4 ，1 7 ) ，亏，叩) 一 矿( ( f ，7 ) ，孝，叩) + d + d ( 6 ( 善，玎) 一( 孝，叩) ) j 则求解( 4 1 ) ( 4 3 ) 等价于求解方程组 g l ( 善，叩) = 0 ，9 2 ( 善，印) = 0 ( 4 8 ) 对给定的善，7 7 ，为了求得蜀( 手川) ，g ：( 孝，叩) 的值，可用任意一种求解初值问题的 数值方法，例如r u n g e k u t t a 方法擞值计算初值问题( 4 1 ) ( 4 4 ) 的解，i 己为v ( x ，毒，7 7 ) ， 并且在计算过程中监控矿，( z ，亭，叩) 的值，一旦发现矿。( x ，孝，叩) 在两个相邻节点 f ，( ，手，蹿) + c 或矿。( x ，孝，坤) 一d 的值变号，则通过步长的对分就可准确的求得 a ( 孝，7 7 ) ，口( 孝，叩) ，( 亭，叩) ，6 ( 掌，叩) 的值，当求得这些函数值后由( 4 7 ) 可求得 g 。( 害，7 7 ) ，9 2 ( 孝，叩) 的值我们把这种先求解初值问题( 4 1 ) ( 4 4 ) 的数值解g ( x ，孝，叩) ，再 由( 4 6 ) 完全确定函数日( 宇，叩) ，口( 亭，7 7 ) ，( 亭，叩) ，6 ( 孝，1 7 ) ，最终把问题( 4 1 ) - ( 4 3 ) 转化成 方程组( 4 8 ) 的求解的方法称为广义的打靶法 4 4 非线性问题的数值算法 当我们用牛顿型方法求解非线性方程组( 4 8 ) 时，将会遇到初值选取的困难若 初值( 善，叩) 选取不当，则初值问题( 4 1 ) ( 4 4 ) 的解v ( x ，孝，可) 可能不存在使( 4 6 ) 成立的 口( 掌，习) 口( 孝，叩) ( 善，叩) 6 ( 孝，1 7 ) ，这种现象我们称之为脱靶为了确保计算的顺 利进行，在求解( 47 ) 时我们必须仔细的选取初值下面给出一种用同伦技巧求解非 线性方程组( 4 8 ) 的计算方法 现在在问题( 41 ) 一( 4 3 ) 中引入同伦参数占，得到一组非线性多点自由边值问题 ( 记为问题p ) ： l t ，2 x2 t d2 v ( x ) 十等f 掣1 _ + 下d r ( x ) 一川卅( x 刊2 ：o 2d x 24 tl 出出 、 并且满足下列边值条件和约束条件： v ( a ) = 矿( d ) + c + c ( a 一口) i v ( b ) = y ( 卢) + d + d ( b 一卢) f ( d ) = v ( 口) = 一c v ( ) = v ( 6 ) = d 0 订 口 口 b c o f 4 f 4 r 4 f 4 ( 4 9 ) 。 o a ) 。 o h ) 。 o c ) 。 o d ) 。 ( 4 1 1 ) 。 当用改进的打靶法计算( 4 9 ) 。一( 4 1 1 ) 。时，记初值问题( 4 9 ) 。和( 4 4 ) 的解为 g ( x ，吉，1 7 ) ，同时记满足 j 屹( 口，f ，叩) = 矿；( 口，孝，r ) = 一c k ( ，孝，r ) = 圪( 6 ，孝，叩) = d 0 a 口 口 b 的四个函数为a ( 4 ，r ) ，a ( f ，1 7 ) ，( f ，r ) ，6 ( 掌，7 7 ) ，令 ( 4 1 2 ) 。 jg l ( 锄s ) 2 吒( 口( 善，r d ，孝，叩) 够( 口( 善，叩) ，古，叩) + c + e ( a ( 4 ，1 7 ) 一口( 孝，叩) i ( 4 1 3 ) 。 1 9 2 ( 孝，7 7 ，) = v a b ( 4 ，刁) ，孝，叩) 一 k ( ( 孝，7 ) ，毒，