（计算数学专业论文）混合流体行进波对流的数值研究.pdf

宁夏火学硕 ：学位论文 中文摘要 摘要 本文对无水平流和有水平流时二维矩形腔体内混合流体的行进波对流进行了数值研究 首先，基于投影法和交错网格技术，本文构造了流体动力学原始变量基本控制方程 组n a v i e r - s t o k e s b o u s s i n s e q 方程的一种高精度紧致差分算法；其中，对流项采用四阶组合迎 风紧致差分格式离散，扩散项采用四阶对称紧致差分格式离散，压力p o i s s o n 方程采用四阶 对称紧致差分格式和a d i 方法求解 其次，数值模拟研究了无水平流时腔体内的行进波对流在砂= 一0 2 5 的分离比下， 通过改变控制参数一r a y l e i g h 数，对对流发生的临界r a y l e i g h 数进行了较精确的估计，计 算了不同r a y l e i g h 数下行进波对流状态以及对流从初始状态向最终稳定状态过渡的情形， 在对流发生点之上获得了稳定的l t w 状态，分析了对流在其稳定状态稳定的原因以及存 在的r a y l e i g h 数范围在强分离比妒= 一o 4 7 ，一0 6 下，对每个分离比下对流发生的临界 r a y l e i g h 数给出了估计通过计算，获得了含有源的缺陷的t w 状态以及曾在实验中观察到 的u t 状态，探讨了这两种行进波状态的时空结构，得出了这些行进波状态的运动特点 对于不同分离比下的行进波对流，分析出了对流振幅、n u s s e l t 数以及混合流体组分混掺程 度m 对r a y l e i g h 数的依赖关系一 最后，对有水平流时行进波对流进行了数值模拟观察到了前人未见到的具有周期性特 点的线性逆行波与非线性顺行波对传的状态；考察了这种状态的r a y l e i g h 数依赖性，分析了 对流从初始状态向这种状态过渡的详细过程以及整个过程的时空结构和其问各个典型时刻传 播波的特点 文末给出了本文研究工作的主要贡献、结论和展望 关键词：高阶紧致差分格式；混合流：行进波对流；时空结构；非线性；水平流 宁夏大学硕十学位论文英文摘要 a b s t r a c t n u m e r i c a li n v e s t i g a t i o n so fr a y l e i g h b e n a r dc o n v e c t i o ni nab i n a r yf l u i dm i x t u r ew i t ha n dw i t h o u t t h r o u g hf l o wa r ep e r f o r m e di nt h i sd i s s e r t a t i o n f i r s t l y , ah i g h o r d e rc o m p a c t ( h o c ) f i n i t ed i f f e r e n c e ( f d ) m e t h o db a s e do nt h e p r o j e t - t i o na n ds t a g g e r e d 一鲥di sp r e s e n t e df o rt h et w o - d i m e n s i o n a l ( 2 d ) u n s t e a d yi n c o m p r e s s i b l en a v i e r - s t o k e s b o u s s i n e s q ( n s b ) e q u a t i o n si np r i m a r yv a r i a b l e t h ec o n v e c t i o nt e r m sa r ed i s c r e t i z e dw i t h t h ef o u r t h a n df i f t h o r d e rc o m b i n e dc o m p a c tu p w i n df ds c h e m ep r o p o s e d ，t h ev i s c o u st e r m sw i t ht h e f o u r t ho r d e rs y m m e t r i c a lc o m p a c tf ds c h e m ea n dt h ep r e s s u r ep o i s s o ne q u a t i o nw i t ht h ef o u r t ho r d e r s y m m e t r i c a lc o m p a c tf ds c h e m e t h e2 db a s i ch y d r o d y n a m i cf i e l de q u a t i o n sa r es o l v e dn u m e r i c a l l y b ya p p l y i n gt h ep r e s e n th o cf dm e t h o d s e c o n d l y , t h er a y l e i g h b e n a r dc o n v e c t i o ni nb i n a r yf l u i dm i x t u r e si n2 dr e c t a n g u l a rc e l lw i t h o u t t h r o u g hf l o wi ss i m u l a t e d a c c o r d i n gt oc h a n g i n gr a y l e i g hn u m b e r sa n dc o m p u t i n gt r a v e l i n gw a v e s t a t e s ，w es i m u l a t e dd i f f e r e n tt r a n s i t i o ns t a t u sw h i c ht r a n s i tf r o mi n i t i a ls t a t et oi t sf i n a ls t e a d ys t a t e a n dg a i n e dt h ec r i t i c a lr a y l e i g hn u m b e r7 c as t e a d yl o c a l i z e dt r a v e l i n gw a v e ( u w ) s t a t eh a sb e e n o b s e r v e d w ef o u n do u tt h es p a t i o t e m p o r a ls t r u c t u r e so fd i f f e r e n tt y p eo ft r a v e l i n gw a v e ss t a t ea n dt h e i r r a n g e sa n da l s od i s c u s s e dt h er e a s o n st h a te a c hs t e a d ys t a t e sc a nb ek e p tr e s p e c t i v e l ya tt h e i rr a n g e s a t s t r o n gs e p a r a t i o nr a t i o 妒= 一0 4 7a n d 妒= - 0 6 ，t h ec r i t i c a lr a y l e i g hn u m b e r7 ew a sa l s oe s t i m a t e d a c c o r d i n gt os i m u l a t i n gr e s u l t s ，w eh a v eo b s e r v e dt r a v e l i n gw a v e ( t w ) s t a t ew i t hs o u r c ed e f e e ta n du n d u l a t i o nt r a v e l i n gw a v e ( o t w ) s t a t ew h i c hh a sb e e ns e e ni ne x p e r i m e n t w ea l s of o u n do u t t h es p a t i o t e m p o r a ls t r u c t u r e sa n dg a i n e dt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h e s et w ot r a v e l i n gw a v es t a t e s b yt h e c o m p a r i s o nb e t w e e nt h es a m et y p eo ft r a v e l i n gw a v e sw i t hd i f f e r e n ts e p a r a t i o nr a t i o ，w ed i s c u s s e dt h e d e p e n d e n c eo fa m p l i t u d e ，n u s s e l tn u m b e ra n dt h em i x i n gp a r a m e t e r - m o nt h er a y l e i g hn u m b e r f i n a l l y , b ys i m u l a t i n gt r a v e l i n gw a v es t a t ew i t ht h r o u g hf l o w , w eh a v eo b s e r v e dap e r i o d i c a lc o n - v e c t i o ns t a t ew h i c hh a sn o tb e e ns e e nb e f o r e ，a n di nw h i c hl i n e a rt r a v e l i n gw a v eu p s t r e a m ( t w u ) a n d n o n l i n e a rt r a v e l i n gw a v ed o w n s t r e a m ( t w d ) a l ec o e x i s t i n gp e r i o d i c a l l y w ed i s c u s s e dt h ed e p e n d e n c e o ft h i ss t a t eo nr a y l e i g hn u m b e ra n da n a l y z e dt h et r a n s i e n tf r o mi n i t i a ls t a t et ot h i ss t a t ea n dt h es p a - t i o t e m p o r a ls t r u c t u r e si n 山ew h o l et r a n s i t i o n a n da l s od i s c u s s e dt h ed e t a i lo ft r a v e l i n gw a v ei ne a c h r e p r e s e n t a t i v et i m e t h em a i nc o n t r i b u t i o n sa n dc o n c l u s i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o na n ds o m er e s e a r c h e si nf u t u r ea r ed e s c r i b e di nt h ef i n a lc h a p t e r k e yw o r d s ：h i g h o r d e rc o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ；m i x t u r ef l u i d ；t r a v e l i n gw a v ec o n v e c t i o n ； s p a t i o t e m p o r a is t r u c t u r e ；n o n l i n e a r ；t h r o u g hf l o w 一一 宁夏人学硕十学位论文 主要符| 号对照表 主要符号对照表 r a y l e i g h 数 p r a n d t l 数 l e w i s 数 温度场 浓度场 水平流速场 垂直流速场 n u s s e l t 数 相对r a y l e i g h 数 压力 时间 速度的向量表示 密度 体积膨胀系数 热膨胀系数 热扩散系数 运动学粘性系数 优化组合因子 分离比 腔体长与高之比 腔体长度 腔体高度 重力加速度 流体的导热系数 z 方向空间步长 方向空间步长 时间步长 流体层上下表面的温度差 最大值下标m o z m u m 一i 一 胁所眈t c 让 伽 r p o 1 、y p p q k 盯砂r k d 9 a 缸细出凹 一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生虢参鹚时间：易咿绢矿日 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 时间： 时间： 年月日 年月日 宁夏大学硕卜学位论文 第一章绪论 1 1 研究的背景及意义 第一章绪论 对非平衡系统的研究是目前在世界范围内引起广泛关注的研究课题之一，流体混合非平衡系 统普遍存在于自然界和工业生产中如大气中热与污染物扩散，海水受温盐共同作用产生的大洋 环流等均属于典型的对流现象；而晶体生长，室内空气调节，核反应堆冷却，金属固化，化学气 体的沉积和干燥等工业生产过程中也存在复杂的热与物质的混合对流现象再比如，纺织印染 业，谷物存储，食品生产，污染物质在潮湿土壤中的传播扩散，核废料地下掩埋等都存在对流扩 散现象同时在混合对流的技术应用中，有时需要加速和促进混合，有时需要减缓和抑止混合， 例如存储和控制某些气体，可以通过下部加热等方法加快气体分子扩散对流的不稳定分层过程， 而在晶体生长时，任何不稳定传导或扰动都可以引起晶体不均质、成分不纯净，这时要抑止混 合除此之外，还有许多与对流有关的现象对这些现象的深入理解无论是在人们与自然和谐共 处方面还是在控制利用自然方面都是不可缺少的，因此，深入研究和探讨这一问题不仅具有重大 的科学意义，而且也具有很高的实际经济价值 然而，非平衡系统的特性是难以分析的，因为时空构造对能量和物质传输的影响、以及反过 来传输变化对时空斑图改变的作用都是非线性的对于从事基础研究的科学工作者而言，一般并 不直接去研究复杂的实际系统，而是寻找一些包含复杂动力学基本机理的简单理想模型，然后通 过试验或理论分析以及数值模拟来研究这些系统r a y l e i g h b 6 n a r d ( r b ) 对流就是研究这些非平衡 系统中诸多共有特性的典型模型之一r b 试验由一薄层介于两块有温差的传热良好的平板间的 流体组成当上下温差超过一个临界值，系统就会失稳，流体将从无运动无结构的热传导状态转 变为格子状的对流涡卷随着r a y l e i g h 数的进一步增加，系统会演化为更复杂的动力状态，最后 变成在时间和空间上都非周期的状态r b 对流具有实验易于控制、对流运动控制方程明确等优 点，这就使得准确的比较理论与试验成为町能，而这样定量的比较对于发现非平衡动力学的基本 原理是基本的通过数值模拟，可以提供比实验更翔实的资料和信息，获得试验中无法观测到的 数据( 如对流系统中的平均流) ，可进一步解释二维对流图案( - - 维流动模拟) 的许多现象及形成 机理因此，利用r b 对流模型系统研究对流运动的稳定性、时空结构、斑图形成及非线性动力 学特性具有一定的代表性、有着非常重要的实际意义和理论价值 1 2 混合流体的s o r e t 效应 在r b 对流系统中，如果研究的流体不是单一的纯流体，而是两种流体的混合物( 比如酒 精和水) ，就形成了双流体混合r b 对流系统在该系统中，垂直方向的温度梯度会诱导一个 垂直方向的浓度梯度，这种非线性特性就是所谓的s o r e t 效应温度和浓度的这一耦合效应是通 过一个称之为分离比( s e p a r a t i o nr a t i o ) 的参数砂来度量的，妒= 一曲岛( 1 一c o ) a a ，其中s 是s o r e t 系数，q 是热膨胀系数，p 是体秋膨胀系数，岛是混合体的平均浓度浓度场受s o r e t 效 应作用会影响产生对流的浮力项，也就是说浓度梯度会反作用于对流运动 宁夏大学硕l ：学位论文第一章绪论 当移 0 时，浓度梯度和温度梯度同向，温度梯度引起的浓度分布使得系统更不稳定，加剧 了系统的不稳定性，对流发生的临界r a y l e i g h 数r a 。小于纯流体时的临界r a y l e i g h 数r a o = 1 7 0 8 ( 通常用约化的r a y l e i g h 数7 。表示，r 。= r a 。0 ) 此时，对流系统出现了类似于纯流体对 流时的分又特性，当上下两平板间的温度差达到一定值以后，系统就会从传导状态过渡到对流 状态，呈现出超临界分叉，流动图案全是定常状态( s t a t i o n a r yo v e r t u r n i n gc o n v e c t i o ns o c ) ，此 时，随时间的延长，行进波不再向左或右传播，而是在原来的位置连续运动沿对流分叉曲线， 定常对流垂直方向的最大流速( 振幅) 随r a y l e i g h 数的增大而增大1 4 1 。 当砂= 0 时，也即没有s o r e t 效应，传导状态下的温度梯度将不能引起垂直方向的浓度梯度， 而对流本身不能产生新的浓度扰动，所以浮力项不能被减弱也就是说此时方程描述的是纯流体 的运动特性 当砂 0 ，其作用是单调的，因为不论液体或气体，温度升高时密度都会减小，而口的作用 却不一样，例如，当污染物浓度增加时，大气密度可能会上升也可能会下降当p 0 时，系统出现行进波( 1 w ) ，局部行进波( l t w ) 及 定常流动状态( s o c ) 将式( 2 2 ) ，( 2 3 ) ，( 2 4 ) 代入方程组( 2 1 ) 得： v u = 0 百o u + ( u v ) u = v v 2 u - v 品一夕【卜q ( t t o ) 一p ( c 一岛) 】e 。 筹+ ( u v ) t = k v 2 t + d 茜【筹】孚，p v 2 c + 筹v 2 卅 石o c + ( u v ) c = 。( v 2 c - 筹v 2 t ( 2 5 ) 一7 一 宁夏大学硕十学位论文第h 二章控制方程组和投影法的幕本原理 其中热导率k = 杀毒 对方程组( 2 1 ) 进行无量纲化处理，选d ，d 2 k ，和k d 分别为流体的特征长度，特征时间 和特征速度，并定义无量纲变量如下： 肚可u - u o 小赤= 茅，睢鲁警口= 品要 亿6 ， 于是有 v u + = 0 百o u * + ( u + v ) u * = p r v 2 u * - v ( p ) 。+ 砌p 7 【t + + c + 】e 名 竺0 t + ( u + v ) t = v 2 r l e q 妒( v 2 c 一妒v 2 r ) 百o c * + ( u v ) c + = l e ( v 2 c 4 一妒v 2 r ) ( 2 7 ) 上述控制方程组中，包含了五个重要的参数 砌= 了a g d a a t ，n = 鼍，l e = 等，妒= 一垒a 塑t o = 一a n s t c o ( 1 一岛) ，q = 研t 。a 2 。r 丽o # 脚l o ( 2 8 ) k 王，kk a ( _ 竹d l ? ， 分别表示r a y l e i g h 数，p r a n d t l 数，l e w i s 数，分离比和d u f o u r 数对于混合液体，d u f o u r 影响 可以被忽略在室温( 1 0 c 4 0 ) 下，酒精和水的混合物的l e w i s 数l e 在0 0 1 附近p r a n d t l 数 介于5 2 0 ，普通的单一流体氦，则只有其1 1 0 ，甚至更小对于这种流体混合物，其在数值模 拟和实验当中，用来描述混合物物理特性的参数l e 和p 7 被赋予定值，在本文的计算中，采用 p r = 1 0 和l e = 0 0 1 计算中发生变化的控制参数是r a y l e i g h 数r a 和分离比妒r a 表示外部 施加的热应力：砂是表征流体非线性特性的参数，表示温度场对浓度场的s o r e t 耦合效应，其表达 式中包含有混合物的热扩散系数，反映了温度梯度对浓度场的影响对于室温下酒精与水的混合 物，砂值介于0 5 - - 一0 2 时，实验容易控制【i ，本文在计算时参数也基本取在这个范围之内 进一步，定义浓度流束( = c 一妒p ，并忽略d u f o u r 效应，则基本方程组变形为： v u = 0 百o u * + ( 旷v ) u 。= p r v 2 u 一v ( 品) + r a p t ( 1 + 妒) r + f 】e ： 等邶+ v ) t + = v 2 n 加缈弘v 2 r 等+ ( 旷v ) f = ( 三e + l e q 妇v 2 e + 一妒v 2 t = l e v 2 e 一妒v 2 r ( 2 9 ) 为推导方便，在以后的推导中，均用无辜上标的无量纲变量代替相应的有木的变量 2 1 3 传导状态的解 在r a y l e i g h 数小于相应的临界值时，该方程组有下列描述水平均匀热传导状态的解， 以d n d = 0 ，( 2 1 0 ) 一8 一 宁夏大学硕卜学位论文第：章控制方程组和投影法的基本原理 疋d t l d = 0 5 一z ， 岛d n d = 0 ， ( p 舶) 。d = 一0 5 r a p r ( 1 + 妒) ( o 5 一z ) 2 2 1 4 边界条件与初始条件 1 边界条件 在z = 0 ，1 上，应用速度无滑移，恒温，浓度流束不可穿透的条件； u = 伽= 笔= o a tz = 0 , 1 t = 0 5a tz = 0 t = - 0 5a tz = 1 在z = 0 ，r 上，应用无滑移，绝热，浓度流柬不可穿透条件即： ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) u = 伽= 墓_ 0 筹= o 舭砘r( 2 1 5 ) 2 初始条件 在模拟中，假定流动以水平滚动的形式出现，行进波的波长恰好为流体层厚度的两倍初始 状态具有如下给定的g a u s s 初始扰动： t ( 即，。) ：t ( 川，o ) ：1 0 - 6 c o s ( 7 r z ) e 掣 z o 可取不同的值，计算中取z o = 8 2 2 投影法的基本原理 ( 2 1 6 ) 投影法是分别由c h o r i n ( 1 9 6 8 ) 1 4 8 , 删和t e m a n ( 1 9 6 9 ) 提出的，而其中的显式法是由f o r t i n 等人 提 l 的随后，b e l l ，c o l e l l a 和g l z a ( 1 9 8 9 ) 将投影法引入了求解不可压缩n a v i e r - s t o k e s 方程组， 他们将c h o r i n 介绍的投影技巧1 4 8 1 和c o l e l l a 的高精度g o d u n o v a d v e c t i o n 格式【5 l l 进行了组合，给 出了整体精度为二阶的有限差分格式投影法特别适合于不可压或近似不可压流动的大规 模数值模拟中近些年来b e l l 和c o l e u a l 5 2 1 以及他们的合作者在这方面做了许多工作，对最初 的b e l l - c o l e l l a g l z a 格式做了大量改进，包括使用近似投影算子法，并发展到化学流体流动和网 格自适应加细的数值计算中在文献1 5 3 1 中，b r o w n 对g o d u n o v p r o j e c t i o n 方法( 将g o d u n o v 迎风格 式用于投影法) 做了仔细的研究首先引入h e l m h o l t z h o d g e 分解定理： 引理2 1 ：任意向量w 可表示为两个分量的直和，其中一个分量的散度为零，另一个分量的旋度 为零，并且这两个分量在内积意义下是正交的即 w = u + v 西 一9 一 ( 2 1 7 ) 宁夏人学硕卜学位论文第二：章控制方程升【和投影法的基本原理 令u = p w ，则v 忙( i p ) w ，称p 为投影算子，显然p 满足p 2 = p 由上述引理，我们对方程组( 2 1 ) 或( 2 9 ) 中的动量方程得求解分为三步骤： 1 预估步将动量方程中的压力梯度项略去，由其给出速度场的一个预估值矿+ ： 等+ ( 矿n v ) 矿n p r v 2 矿n r a p r 【( 1 + 妒) t + a e 。= o ( 2 1 8 ) 2 投影步也称压力修正步由h e l m h o l t z h o d g e 分解定理，把预估值矿+ 分解成两部分： 矿：n + l + v 毋( 2 1 9 ) 然后通过下式对预估所得之矿+ 进行修正 里：二里：+ v p + 1 _ o (220)at 。 、。， v n + l ：0 ( 2 2 1 ) 在修正步中，要求修正后的速度- 矿n + l 的散度为零，这样对方程( 2 2 0 ) 取散度后得如下对压 力的p o s s i o n 方程： v 2 p 1 = 去v 矿 ( 2 2 2 ) 该方程之右端项由预估步求出，在给定的边界条件下可由该式求出压力p + 1 3 最终步利用所求得的矿及p + 1 由式( 2 2 0 ) 求出矿n + l ，将式( 2 1 8 ) 和( 2 2 0 ) 相加可 消除中间值矿+ 而得 v n + 五l _ _ 广v n + ( 矿n v ) 矿n + v p n + l p r v 2 矿n _ r a p r ( 1 + 妒) t + ( 】e 。：。( 2 2 3 ) 由此可知，按上面三个步骤求得的矿n + 1 满足方程( 2 2 3 ) 和散度为零的条件在时间方向的离散 精度是一阶的，空间离散精度依赖于空间导数的离散精度，下章将介绍动量方程空间的离散和能 量方程时间和空问的离散 一1 0 宁夏大学硕1 j 学位论文 第三章基于投影法的交错网格的高阶紧致差分格式 第三章基于投影法的交错网格的高阶紧致差分格式 在本章中我们将给出对流项，扩散项，压力以及压力梯度在交错网格系统下的离散形式 速度u 和伽的动量方程分别在点g + ，j ) 和( i ，j + ) 处离散，压力p 在点( i ，歹) 处，温度和浓度方程 在( i + 互1 ，j + ) 离散交错网格系统如图3 1 示： j + 引2 i + 1 2 j 一1 2 夺、牛 l 1r i 1 斗po + po 。圣lc个 7 v l 1 v 1 po po i 1+ 。牛予 7 i 1 i 1 i 1 2i + i 2i 十3 2 图3 1 交错网格系统 f i g u r e3 1s t a g g e r e dg r i ds y s t e m 3 1 速度场预估值的求解方法 故有 首先我们定义 d ( 矿) = 赛+ o _ 觇2 w l ( 矿) = 【，g 】t ，= n p 【, 礤0 2 u + 象) 一札塞一叫爱 9 = p r ( 丽0 2 w + 尝) + 觑p r 【”妒+ a 一乱筹一伽警 鲨：l(矿)at 一、。， ( 3 1 ) 我们考虑方程( 3 1 ) 中各项的离散情况在迎风格式的设计中对流项u 爱由下式给出 u - 乱i - 2 ：u + 堂+ u 一挚( 3 2 )= u ：一十u ；-u 纠 o xu xd z 一1 1 宁夏大学硕 ：学位论文 第二章摹于投影法的交错网格的商阶紧致芹分格式 其中 “+ + t 一= ，u + 0 ，t 上一 0 用u + 磷；，j 表示u + 爱项在( i + ；，歹) 点的差分近似；用仳一+ 吾表示札一爱项在( i ，j + ) 点 的差分近似我们对以上两项进行差分逼近可利用下面四阶组合紧致迎风格式计算： 嘻吉，j2 盯譬如+ ( 1 口) 鼓吾，j 吾，j2 盯如+ ( 卜盯) 如 ( 3 3 ) 其中户士由如下的五阶迎风格式( u d c 5 ) i s s l 计算： 2 声：墨，j + 3 j 奇吾，j = i 爱1 五( 一3 u i 一墨，j 一4 4 u t 一号，j + 3 6 u 件丢，j + 1 2 u 冲耋，j u 件兰，j ) 3 声再圭，j + 2 声五，j = 志( i 一墨，j 一1 2 缸l 一号，j 一3 6 札件吾，j + 4 4 u 件兰，j + 3 件导，j ) ( 3 4 ) 卢士由如下的四阶迎风格式( u d c 4 ) 5 6 1 计算： 卢$ ，- - 墨，j + 2 砝吾，j = 夏五1 ( 一7 u t 一吾，j + 8 u 件兰, j - - u i + 墨，j ) + z 最+ 吾，j 2 玺墨，j + 岔墨，j = 夏委1 ( t i 一墨，j 一8 u 件丢，j + 7 u 件鲁，j ) 一z 只+ 兰，j ( 3 5 ) 其中最+ 如表示速度u 对z 的二阶偏导数弭0 2 , u 在( i + ，歹) 点：2 _ f f i 求解最+ 圭，j 的四阶对称 紧致差分格式为： 去最一丢，j + 石5 鼠+ ，j + 壶最+ 鲁，j = 去( 一言，j 一2 u 件击，j + - u 件墨 ( 3 6 ) 方程( 3 1 ) 中其余一阶和二阶导数的离散与此相仿 类似地，可以在点( i ，歹+ ) 处对y 方向的动量方程的各项进行离散，这里不再赘述 在( 3 3 ) 式中盯称为优化组合因子，它的取值应使组合迎风格式具有较高的求解效率或者说有 更小的色散误差与耗散误差，依据色散关系保持思想1 5 7 1 本文取a - - - 0 6 2 利用( 3 3 ) 和( 3 6 ) 式可以求出速度的一，二阶导数在各节点处的值，则速度的预估值_ v 为： 其中 ( 珏) 冲墨，j = ( u ”+ a t g h + 吾，j ( ”+ ) t ，j + 刍= ( 加“+ t h ) i ，j + 刍 g p r ( 钟) + 跏) ) 一掣n ( 札) 一掣n ( 牡) 一w - 主i w ! f 水) 一掣n ( u ) 一1 2 一 ( 3 7 ) 宁夏大学硕卜学位论文第二章基于投影法的交错网格的高阶紧致差分格式 日= 州s ( 叫) + 岛( 训一掣n ( 叫) 一掣n ( 叫) 一掣n ( 叫) 一掣n ( 加) + r 。驯( 1 删t 删 上式中，f + t ( 9 ) ，f 一 ( 9 ) 为( 赛) 件丢，j 的差分近似，f + j ( g ) ，f j ( g ) 为( 塞) ，j + 毒的差分近 似；& ( 9 ) ，岛( 9 ) ，分别为貉，貉的差分近似；g ，h 中所含u ，w 均为t 竹时刻的值 在计算g 时用到了速度枷在点( + ，歹) 处的值，同样在计算日时，用到了速度u 在点 ( i ，j + ) 处的值，而这些值没有通过以上的差分格式计算，须用插值公式求得在计算中我们采 用了四阶中心插值公式1 5 8 1 3 2 压力p o i s s o n 方程的高阶紧致差分格式及求解 a 差分格式 要计算t ”+ 1 时刻的速度值，必须先知道压力梯度，因而得知道压力由( 2 2 2 ) 式知压力满 足的方程为 v 2 p = - f f l i d ( _ v 1 ( 3 8 ) 其中，d ( v + ) = 筹+ 警，在交错网格系统中，在点( i ，歹) 处离散p o i s s o n 方程f 4 9 】，则方程的四 阶精度格式为： 丽1 ( 义+ ，y ) ( 只+ 1 ，j + l + 只+ l ，j 一1 + 只一1 ，j + 1 + 只一1 ，j 一1 2 0 只，j ) + 2 ( 5 a 一7 ) ( 只+ 1 ，j + 只一1 ，j ) + 2 ( 5 7 一a ) ( 只，j + l + 只j 一1 ) ) = 三a t d 撕+ 击【z 2 ( d 。) 幻+ z 2 ( d ：) 钮】 ( 3 9 ) 其中，k = z ，h = a z ，a = 爰，7 = 鑫，且z ，a z 表示z 方向和z 方向的空间步长为 方便起见这- 4 , 节中的u ，w + 用t ，伽表示令 其中 则 d i d = 6 z u i 。 + 6 z w i 。 以= 去【2 7 ( u 件壶, j - - u i _ 砉，j ) 一( u 件兰, j - u i _ 差，j ) l 以t 魄j = 蕊1 【2 7 ( 叫t ，j + 墨一叫i j 一吾) 一( 叫 ，j + 墨一伽 ，j 一墨) 】 ( 蹦旷【( 赛+ 筹k k 刊丝o x 3 + 急h ， ( d z z ) 幻- 【( 象+ 瓢小铲( o a u 矿骞h ， 一1 3 一 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 宁夏大学硕 ：学位论文第二章基于投影法的交错网格的高阶紧致筹分格式 又 ，伊w 、 ( 蕊b o x o z e ( 坐o x 3h j = 忐( u 啼砘岫+ 乩咄飞圳 ( 塑o z 3k j = 击( w i d + 墨- 3 w i d + 墨+ 3 w i d _ 吉- w i j _ ) ) i ，j = 砭1 【丽0 2 w ) + i 1 - - ( 塑o x 2 ) 州】+ o ( a z 2 ) 之【壶( 伽州，m 一2 w i , j + 吉+ 。，州) 一五1 ( w i + l , j + 吾一2 w i d + 丢+ 伽i 一1 ，j + 昙) 】+ o ( a x 2 + z 2 ) 忐 ( 象h 如一( 坠o z 2k 如】+ o ( x z 。) 丕1 z 凸1 z 。( t t + 吾，j + l 一2 u + 兰，j + u i + 吾，j 1 ) 一丽1 ( t 一三，j + l 一2 u i - 丢, j + u i - - 吉, j - - 1 ) + o ( a x 2 + z 2 ) ( 优办，j = 忐( 州，j 一3 u 如，j + 3 u 一, j - u i _ a j ) + z 2 z w i + l ，j + 吾一2 w i ，j + 吾+ t u 一1 ，j + 吾) 一( 叫件1 ，j 一吾一2 加t ，j 一墨+ 叫 一1 ，j 一圭) ( 见：) t ，j = 面1 ( 毗，j + 墨一3 咄，j + 吾+ 3 w i , j - 三一毗，j 一墨) + z z 2 ( u t + 吾，3 + 1 2 u i + 主，j + t i + 吾，j 一1 ) 一( u i 一圭，j + l 一2 u i 一喜，j + u 一吾，j 1 ) 于是，压力p o i s s o n 方程的四阶精度的离散形式为 丽1 ( 入+ ，y ) ( 只+ 1 ，什l + r + 1 ，j l + 只一1 ，j + l + 只一1 ，j l 一2 0 只，j ) + 2 ( 5 a 一7 ) ( 只+ l ，j + 只一1 ，j ) + 2 ( 5 - r 一入) ( 只，j + l + 只，j 一1 ) ) 1 2 z a t 1 1 2 7 ( u 件吾, j - - u i _ 川一( u i + d - u i _ 纠】 + ( + 墨，j 一3 u t + 主，j + 3 t i 一吉，j u t 一墨，j ) + 【( t 件吾，j + l 一2 u i + 丢，j + t + 盖，j 一1 ) 一( u i 一差，j + l 一2 u i 一吾，j + i 一告，j 1 ) 】) + 1 2 a z a t 1 2 7 ( w i d + 墨一加l j 一墨) 一( 叫t j + 鲁一咄，一墨) 】 + ( 伽i ，j + 耋一3 w i ，j + 刍+ 3 w i ，j 一吾一叫t ，j 一墨) f 3 1 3 ) f 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) + 【( 叫件1 ，j + 告一2 w i ，j + 主+ w i l ，j + 吾) 一( 伽件l ，j 一吾一2 叫t ，歹一专+ 毗一l ，j 一丢) 】 ( 3 1 9 ) 1 4 宁夏大学硕 j 学位论文第三章基于投影法的交锚网格的商阶紧致斧分格式 b 压力p o i s s o n 方程的求解 压力p o i s s o n 方程是一个n e u m a n n 边值问题n e u m a n n 边值问题在相差个常数的情况下， 解是存在且唯一的，且离散后所得办程组的系数矩阵是奇异的，因此，数值求解比较困难在整 个数值解的求解过程中，压力的求解占用了很大一部分时间，因此，寻找有效的压力数值解法是 非常必要的下面给出求解p o i s s o n 方程的方法 ( 1 ) s o r 点迭代法 在用松弛迭代求解时，松弛因子的选取非常重要，它不仅关系到达代的收敛，还关系到迭代 的快慢对于松弛因子的选取有下而的定理给出： 引理3 1 ：设p ( b ) 为j a c o b i 矩阵b 的谱半径，则最优松弛因子的表达式为 2 “，= ：= = = = = = = ：= = = = l + 、l p 2 ( b ) 从上述引理知，对于上面所给出的方程组，松弛冈子将接近2 通过试算，可取u = 1 9 7 3 6 为最 佳松弛因子 ( 2 ) a d i 迭代法 本文应用a d i ( a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i t ) 方法求解压力p o i s s o n 方程 首先，把( 3 1 9 ) 的右端项记为r ，并写成如下的形式 其中 2 ( 5 a 一7 ) p + i 一1 ，j 一2 0 ( a + ，y ) p + i , j + 2 ( 5 a 一- r ) p + i + 1 ，j = & ，j 2 ( 5 7 一a ) 只，j 一1 2 0 ( a + ，y ) 只，j + 2 ( 5 3 一a ) 只，j + 1 = s 7 i ，j ( 3 2 0 ) & j = 1 2 k h ( r ，j ) 一( a + ，y ) ( 最+ 1 ，j + l + p i + l ，j 一1 + 只一1 ，j + l + 只一1 ，j 一1 ) - 2 ( 5 7 一a ) ( 只，j + l + r ，j 一1 ) s ，j = 1 2 k h ( r i ，j ) 一( a + ，y ) ( p + i q - 1 ，j + l + p i + 1 ，j 一1 + p + i 一1 ，j + l + p + i 一1 ，j 一1 ) 以( 5 a 一，y ) ( p + 件l ，j + p + t 一1 ，j ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 0 ) 式的第一式为( 3 1 9 ) 式在z 方向的隐式迭代格式，第二式为( 3 1 9 ) 式在方向的隐式迭代 格式这两个式子在每个时间步中应交替进行迭代对于周期性边界条件，主要工作是求解两个 循环三对角矩阵，可以采用( c t d m a ) 算法1 6 7 1 而非周期性问题是两个系数矩阵为三对角矩阵 的代数方程组的求解过程 3 3 压力梯度的计算 在离散动量方程时，需要对压力梯度进行离散即需要筹在点( 1 + ，j ) 及篑在点( i ，j + ) 的离散值，下面给出压力梯度筹，筹在相应离散点的离散格式及推导过程，此处给出两种求解 一1 5 宁夏大学硕十：学位论文第二章罐于投影法的交错网格的商阶紧致差分格式 压力梯度的方法 方法一：可用如下两式 丢g i _ 如+ i 2 g 鹕, j - t - 石1g 嘲户去( 只碍j 一只 j ) + o ( a z 4 ) 丢碡卜吾+ 詈碡肿丢+ 丢瓦j + 鲁= 互瓦1 ( 只计薹一只卜) + o ( z 4 ) f 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 其中，g 表示蔷，召表示筹( 3 2 3 ) 中用到压力p 在速度u 的离散点( i + ，歹) 处的值，( 3 2 4 ) 0 0 用到压力p 在速度w f f q n n a