（计算数学专业论文）轴对称问题杂交应力有限元方法研究.pdf

：! 型! | 查兰黧! ：兰簦篓苎= 轴对称问题杂交应力有限元方法研究 计算数学专业 研究生陈三平导师谢小平 拣簧：零文蓠毙秘蠲缀台杂交鸯羧元法缮交了一个嚣萤点辘对稼元。缀 合杂交有限元法具有增强低阶位移格式粗网格精度的内在机制。能爨误差为零 豹缀会杂交捺或可获键改进鹣粮籁撂精度，露其中缀合参数a ( o g 玲起饕缀 其重要的作用。文中的轴对称元采用协调等参双线性位移逼近以及分片常数成 力模式。透过调整组会参数掰，缮裂了组金杂交元豹往囊二型。数值实验表暖泼 轴对称元具有好的精度。由于应力参数可在单元水平消去，这种组合杂交轴对 拣元懿诗算蘩与4 终点按调簿参双线矬元摆巍。应力模式选取最麓肇熬分片鬻 应力模式，避免了复杂的应力模式选取问题。 邋过添热棼协调位移模式，剥矮h e 翮g e 卜r e i s 8 n e r 变分原理并壤据糍蹙 协调羝件，文章从完全线性形式的应力模式聩5 发，导出了含砑8 个参数应力模 式的辍肘稼元蟛h s p 。本文把平垂线性弹性闽题中的三幺元应用到辘对穆闷 题巾，得到了彳q 元。a t w 8 p 和爿己q 6 是等价元，本文给出了证明，并简簧 豹对这甄弛元钕了收皴性分援。a x h 8 a 绫元在无限长蜉壁圆筒，扭曲实 验以及圆盘中心载荷的情况下结果较好，特别是在圈淼算例上具有穰好的精度。 本文还捺学了在有w i l s o n 非幼- 调位移情况f 的组合杂交轴对称元格式 c t t a 。( o c ) ，并最简单的分片常应力模式进行了汁算。文中还给出了几种非协 测 移移元，数缎实验表明计豁结果较好。 荚链词：触对称；商| 5 f ；i 元； 杂交方法；能量协调；组台杂交方法 t登垒茎兰堡兰堂燕燕兰 t h er e s e a r c ho fa x i s y m m e t r i cs o l i de l e m e n t s w i t hh y b r i ds t r e s sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d s 醒司o f ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s g r a d u a t ec h e ns a n p i n ga d v i s o rx i ex i a o p i n g a b s t r a c t ：a4 - n o d ea x i s y m m e t r i cs o l i de l e m e n ti sd e r i v e db yc o m b i n e dh y b r i d m e t h o d si nt h i sp a p e ra tf i r s t 喇懈c o m b i n e dh y b r i df m i t ee l e m e n tm e t h o di so fa n i n t r i n s i cm e c h a n i s mo f e n h a n c i n gc o a r s e - m e s h - a c c u r a c y o fl o w e ro r d e r d i s p l a c e m e n ts c h e m e s i ti sc o n 娃dt l m 壤纛o o m b i n e dh y b r i ds c h e m ew i t h o u t e n e r g ye r r o rl e a d st oe n h a n c e m e a to fm y a tc o a r s em e s h e s ，a n dt h a tt h e c o m b i n a t i o np a r a m e t e ra ( ot 锺母蛰p l 帮$ 镰i m p o r t a n tr o l ei nt h ee n h a n c e m e n t i n t h i sp a p e r , c o m p a t i b l ei s o p a r a m e t r i cb i l i n e a rd i s p l a c e m e n ta p p r o x i m a t i o n sa n d t h ec o n s t a n ts t r e s sm o d ea r ee m p l o y e d b ya d j u s t i n gt h ec o m b i n e dp a r a m e t e ra t h eo p t i m i z e dv e r s i o no ft h ec o m b i n e dh y 嘛de l e m e n tw a so b t a i n e d n u m e r i c a l e x p e r i m e n t si n d i c a t et h a tt h ee l e m e n ti so fg o o da c c u r a c y d u et 。e l i m i n a t i o no f s t r e s sp a r a m e t e r sa tt h ee l e m e n t a ll e v e l ，t h i sc o m b i n e dh y b r i dv e r s i o ni so ft h es a n l e c o m p u t a t i o n a lc o s ta tt h a to f 4 - n o d ec o m p a t i b l ei s o p a r a m e t r i cb i l i n e a rd i s p l a c e m e n t s e l e m e n t ，t h i sm e t h o da l l o w su s eo ft h es i m p l e s ts t r e s sm o d e ，i e 。t h ep i e c e w i s e c o n s t a n ts t r e s sm o d e ，a sa v o i d st h ed i f f i c u l t yo fs t r e s sd e s i g n an e wf o u r n o d ea x i s y m m e t r i ce l e m e n t sa r ed e r i v e db a s e do nt h eh e l l i n g e r r e is s n e fv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e 。a f t e rt h ee n e r g yc o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o ni sa p p l i e d t ot h el i n e a rs t r e s sw i t hw i l s o n sb u b b l e ，ah y b r i ds c h e m eu s i n ge i g h tp a r a m e t e r s t r e s sf i e l d ss s a x h 8 f li sa c h i e v e d t h i sp a p o ra p p l i e st h ee l e m e n t 三纨- t ot h e a x i s y m m e t r i cs o l i dp r o b l e ma n do b t a i n sa l 绫，t h ee l e m e n ta x h 8 da n da l 幺 a r ee q u i v a l e n c ee l e m e n t 。i nt h i sp a p e r , e q u i v a l e n c eb e t w e e na x h g 筘a n dz g f u 川人学顿十学位论文 a n dc o n v e r g e n c ea n a l y s i sa r e p r o v i d e d t h er e s u l t i n ge l e m e n t se x h i b i tg o o d p e r f o r m a n c ea tt h i c k w a l l e dc y l i n d e ro fi n f i n i t el e n g t hu n d e ri n t e r n a lp r e s s u r e ， d i s t o r t i o n so ft h ee l e m e n tg e o m e t r ya n dc e n t r a l l yl o a d e ds sc i r c u l a r p l a t e i n p a r t i c u l a r , c i r c u l a rp l a t ei n d i c a t et h a tt h en e we l e m e n t sl e a dt ob e s ta c c u r a c yi n d i s p l a c e m e n t sa n ds t r e s s e s a na x i s y m m e t r i cs o l i de l e m e n tc h a w 位) w i t hc o m b i n e dh y b r i dm e t h o di s d e r i v e db yw i l s o n sb u b b l e a tl a s t ，s o m ei n c o m p a t i b i l i t yd i s p l a c e m e n te l e m e n t sa r e p r e s e n t a t i o n n u m e r i c a le x p e r i m e n t si n d i c a t et h a tt h ee l e m e n ti so f g o o da c c u r a c y k e yw o r d s ：a x i s y m m e t r i cs o l i de l e m e n t ；f i n i t ee l e m e n t ；h y b r i dm e t h o d ；e n e r g y c o m p a t i b i l i t y ；c o m b i n e dh y b r i dm e t h o d p q 川人学硕j 学位论史 1 引言 工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件以及作 用的载荷都对称于菜一固定轴，我们把它称为对称轴，则在载荷作用下产生的 位移、应变和应力也对称于此轴，这种问题称为轴对称问题。轴对称问题是弹 性空间问题的个特殊问题。由于它可以转化为平面问题，因此轴对称问题是 ：维问题。 用混合杂交有限元方法来处理轴对称问题，有众多的方法，其中都涉及到 应力模式的选取问题。如何确定单元的应力模式是建立高性能杂交元格式的关 键之一。 rls p i l k e r 和t h h p l a n 从经验出发，认为应力模式是，z 柱面坐标 的表达式，他们没有取1 ，z ，r 2 ，z 2 等多项式形式，而是通过对平衡方程 的观察，认定应力模式是1 ，：，三，三， ，丢，乓等等的表达式， rrr r r j 是把旧个应力分量都假定为该形式的表达式，得到了应力模式 a ，口，c ，d ，e ，f ，g 和g ，r l s p i l k e r 在此基础上，引入调和函数，得到了应 力模式a x h 9 c 和a x h t c 。这些应力模式都是柱面坐标，和z 的表达式，含有 三， ， ，三；等高阶项和分数项，在实际计算中，需要将它们转化 成直角坐标来汁算，此时的分母是二元二次多项式，影响计算速度。 应力模式8 d ( 8 b ) 是从能量的角度出发，对1 2 参数完全线性形式用能量 协调方程进行约束，从而得到了8 参数的应力模式。即由方程上西v v ，- r d q = 0 来约束掉4 个参数而得到。但是该应力模式具有几个缺点：当网格为平行四边 形1 付，需要译独推导出应力模式；网格为矩形时应力模式为8 b ；当涉及到单元 p q ) i 大学硕七学位论文 结点纵坐标满足y 。= y ：、y 3 = y 。和y 乃时，8 爿形式不能计算：在前三种情况 以外的应力模式才是8 彳。该方法对不同的网格有不同的形式，且形式复杂。 组合杂交有限元法 4 7 】( c h f e m ) 是基于区域分解的h e j n g e 卜r e i s s n e r 变 分原理及其对偶变分原理的优化条件加权组合得到的。组合杂交有限元法具有 增强低阶位移格式粗网格精度的内在机制。文献【6 7 】指出，组合参数口( 0 ，1 ) 和假设应力模式在调整能量及降低能量误差以获得精度增强的组合杂交有限元 的过程中起着重要作用。数值实验表明能量误差越小，有限元解的精度越高。 通过选取不同的组合参数口来调节能量的大小，从而调节位移甜，的误差，使计 算结果达到好的精度。 由于组合杂交格式的收敛性与i n f - s u p 条件( 或者l b b 条件) 和分片检验无 关 5 】。因此在轴对称问题中，应力模式可以独立选取，从而可以选择最简单的 分片常应力模式，这就避免了复杂的应力模式的选取问题。 本文分别构造了没有非协调位移情况下的组合杂交轴对称元格式c h a ( a ) 和有w i l s o n 非协调位移情况下的组合杂交轴对称元格式c z - z 如( a ) 。由于应力 模式可以独立选取，本文就这两种方法的分片常应力模式进行了计算分析。通 过对无限长厚壁圆筒、网格扭曲的厚壁圆筒和圆盘算例的计算，采取分片常应 力模式的组合杂交轴对称元具有较好的精度。 除了运用组合杂交方法来解决轴对称问题以外，本文还利用能量协调方程 推导出了一种8 参数应力模式a x h 8 f l 。该应力模式是由完全线性形式的应力 模式，利用能量协调方程lr 占( v ，) d q = 0 约束掉4 个参数而得到。随后， 本文还把平面线性弹性问题中的三q 6 元应用到轴对称问题中，得到了彳三q 元。 文中给出了彳q 6 元单元刚度矩阵的推导过程和具体形式。a x h 8 , b 和爿上q 6 是 等价元，本文给出了证明，并简要的对这两种元做了收敛性分析。此外， v u 川人学颂1 学位论立= c ( a ) 在耿完全线性形式的应力模式和口= l 时，就是爿上q 6 轴对称元。 上面的各种方法都涉及到应力模式的选取，本文在不考虑应力模式的隋况 下，通过对能量的凋节引入了几种非协调位移元。 在数值算例部分，分别就上面的方法对3 个算例进行了数值计算。数值结 果表明，这些方法都能获得较好的精度。 2 预备知识 轴对称体又称旋转体，即其集合尺寸及材料性质沿旋转方向没有变化，故 呵以把轴对称体看成山任意一个纵向剖面绕纵轴( 旋转轴) 旋转而成的。此旋 转轴即为对称轴，纵向剖面称为子午面。出于轴对称体上任一点的位移、应变 和应力，只是半径坐标和轴向坐标的函数，因此，从数学上来说，它与平面问 题很类似，也属于二维问题。 在分析轴对称体的应力时，常常采用柱面坐标，如图2 1 所示，半径方向 为r 坐标，轴向为z 坐标，按右手定则表示0 正向。令“，“分别表示r ，= 方 向的位移，仃，o o ，盯：，f 。分别表示r ，0 ，z ， 方向的应力，占，岛，占： 利y ，= 分别表示r ，z ，0 ，陀方向的应变，材料的弹性模量为e ，泊松比为， f 与f 分别表示径向体力分量和轴向体力分量。 州川大学碳i 学位 仑立 一 匿2 - 1 辘瓣称体“环 亍”祷隈单元静划分 在对空榭辘对称问题进彳亍计算之静，曾先需要了解轴对称问题黪健移，应 变弓应力之间晌关系，于是葳黉要介绍下弱的方程： 2 1 空间轴对称体的平衡微分方程 在模戏务囱霆墼至糕謇喜辘对称闽题中，毒强下熬摄坐豁平餐徽分方疆： 誓+ 錾+ 盟+ 一= o( 2 1 ) 拿+ 孕十五+ t ：o ( 2 2 ) 0 r 0 z r 2 2 空间轴对称体的几何方程 羟辩隧力学巾，空润辘对称体的，l 秘方程为 p u 川大学颂j j 学位论义 占， 占口 占： y 。 d “ d ， “ d v d z a “a v o z3 r ( 2 3 ) 与平面问题比较，多了。一项岛。这项应变的产生主要是由于径向位移“而引起 的，因为径向方向有了位移“以后，而原来的周长2 ：r g ，发生了改变，因而产生 环向应变岛，这样也就产生了环向应力盯。所以，轴对称问题的应力分量就不 是三个，而是四个，即 盯= o ro o 盯：f 。】。 ( 2 4 ) 2 3 物理方程及弹性矩阵 应力与应变之 i j 自0 关系式，可以根掘广义虎克定律直接写出其物理方程： ( 住一；计初应变时) 占，= i 1 h 一( 盯。十盯：) 】 占。= 寺仃。一( d ：+ 叫】 占：= 1 【盯：一( 仃，十o o ) 1占：2i 【盯= 一( 仃r 十) j 咒= 半r = r - r t j + 以斛j 仃应变表示应力的表达式 ( 2 5 ) 四川大学硕士学位论文 揣h + 南1 ”南1 叫 ( 1 + 芦) ( 1 2 ) 7一p 9 一。 旷若杀c 专 上1 - , u 叫 盯：业 上 上 占：1 ( 1 + 1 ) ( 1 2 1 0 1 一1 一4 占 7 z2 丽y ：， 将( 2 4 ) 写成矩阵表达式为 p 】= 盯， 口占 盯： l z r ：墨! ! 二趔 ( 1 + ) ( 1 2 ) = d 占】 1 生上 1 一t1 一 上1 上 1 t1 t 上上1 1 一1 一t 0oo o 。忙 立p 2 ( 1 一) f ( 2 6 ) ( 2 7 ) 在式( 2 7 ) 中，矩阵d 为轴对称问题的弹性矩阵。弹性矩阵d 完全取决 与材料的弹性模量e 和。一般材料p 圭，所以d 为对称正定矩阵。 3 常应力模式下的组合杂交轴对称元 这节主要介绍了在没有非协调位移情形下，组合杂交轴对称格式的具体推 导过程和形式，并就常应力模式下的组合杂交轴对称元进行了收敛性分析。 考虑下面的线性弹性问题： 一d i v c r = 厂，盯= d 占( 厅) i nq ( 3 1 ) 盯。亓lr l = 于， 厅l r 。= 0 ，o nr = a n = ( u 瓦 ( 3 2 ) 四川大学硕士学位论文 其中qcr “ ( d = 2 ，3 ) 是一个有界开集，打，盯分别表示位移和应力 p ( 石) = ：1 ( v + v ) z 7 表示应变，d 为弹性模量矩阵，于是体载荷，于是边界 拉力，r l 为q 的边界m 上受表面拉力的边界。 设t 。= u k ) 表示有界区域q 的正规有限元划分，k t 。为任意剖分单元， 则问题( 3 1 ) ( 3 2 ) 对应的组合杂交变分泛函 3 1 为： 弧i n fs u p 半砸，矿加) + 嘶r , o 一互1 加) 】) ( 3 3 ) 其中u 6 u = 舌日1 ( q ) 4 l ：i i h= o ) 和v “cv = 丌h ( d i v ；k ) 分 k e 瓦 别代表位移和应力的有限维予空间，口( 0 , 1 ) 为组合参数，d i v 为散度算子 h ( d i v ；k ) = f l 2 ( q ) 。；d i v l 2 ( q ) 。) ， 口( 盯，f ) = f d 一盯拯，6 ( r ，矿) = f 占( i ) 孢， d ( 覆，i ) = s ( 磊) d 占f f ) d n ，珩) = 歹舌班+ 于帚出 问题( 3 3 ) 等价于：求( 盯 ，“。) 矿“u6 使得 口口( 口h ，丁) 一a b ( r ，磊 ) = 0 ， v f v 口6 ( 盯 ，哥) + ( 1 一醴) d ( 孬打，哥) = ( 哥) ， v 舌u 6 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 组合杂交格式( 3 4 ) ( 3 5 ) 不要求有限元空间v xu 6 满足任何i n f - s u p 条件或 平衡条件。实际上，它存在下面的收敛定理眠7 l ： 引理2 1 设( 盯，“) 是问题( 3 1 ) ( 3 2 ) 的解，则对任意的组合参数d ( 0 ，1 ) 和 任意的包含分片常应力模式的空间y 6 ，即： 四川大学硕士学位论文 v “3 曙：= f v ；z - fi k = c o r o t ，i ，= 1 2 ，d ，v k 瓦) ， 问题( 3 4 ) ( 3 5 ) 存在唯一的组合杂交有限元解( o - 。，叱) v 6 u “使得 1 1 仃一i i + 忙一舀一i i u c 翳忖一r i i ，+ 删i n f 。 f f 一哥 其中。和l ，分别代表空间u 和空间y 上的泛数： ，：= - f m 。( r ) ： n m 。：= j 占( 可) ： n d 占( 可) d q 】2 备注2 1 当组合参数口= l 时，组合杂交格式( 3 4 ) ( 3 5 ) 就简化成通常的杂 交元格式，此时有限维空间y “和u 6 就必须满足适当的l b b 条件( 或者称做 i n f - s u p 条件) 来使得单元刚度矩阵满秩。此时，若采用常应力模式将会导致非 满秩和发散的杂交元格式。 备注2 2 当组合参数口= 0 时，组合杂交格式( 3 4 ) ( 3 5 ) 就简化成通常的协 调有限元格式。 下面是常应力模式下组合杂交有限元的实现过程： 设k 瓦为任意四边形，对一般的四边形轴对称元， f k ：k = - i ，1 】2 斗k 为通常的双线性等参变换 阱糖鹄默瘌阱侄：搿篇篇) 其中掌和r 是等参坐标， 匮麓2 二：二1 卜11 1 l ，7 l刁2叩3 叩4 jl l j 8 1 p 芷 2 0 计甜 磙 。 +出f 巨 四川大学硬士学位论文 卜 坐标变换& 的j a c o b i a n 矩阵为 以及 其中j a c o b i a n 行列式为 b 1 + b 2 r l b 3 + 6 2 纠 ，i = ，o + 1 善+ ，2 r l = ( 日l b 3 一a 3 b i ) + ( 口l b 2 一a 2 b 1 ) 孝+ ( 口2 b 3 一a 3 b 2 ) 刁 取瞄为引理3 1 所定义的常数应力子空间，即：f 瞄， 取 口卢“，v 卢。暇 u ? ：= 舌u ；舌l 芷s p a n l ，掌，r l ，孝7 7 2 。眨1 ，v k 瓦 为协调等参双线性位移空 式中 吼= 问，即：i u ? ， n 2 0 n 3 0 0 n 2 0 n 3 “虹：嘴) f 3 m v 4 j i = 1 ，4 1，llj 引加乃加、= n 乃n ，_j_f_j 1 l l 一 一ll l l 蜘执如如 叩掌 2 2 口 口 + + 口 口 、l | | ，lj 如如 1 2 j ， l = 10，j 掌刁 a a瑟瑟 善叩 a a 毋毋 。l = 、j 、lrj 喜叩 6 a a a r，、【1l，j 一厶如以 。l ，一m | j 、lr0， 亭叩 8 a 8 a rcl rp | l 、lrj 却 0 a ，cl e l i j 、，l，j a 岛屈以 ，l o o o o o l o 0 l o o 1 o o o p。l = 、，l，j “伽以缸 ，。，、l 以o o 、， 叩 可 +l 9 ，l、，声，声， + l ，l ，一4 t l 四川大学硕士学位论文 g ：”= ( v ，lv ：lv ，4v ：4 ) 7 吼8 为单元k 上的结点位移。 对问题( 3 4 ) ( 3 5 ) ，取v 6 = 时以及u 6 = u ? ，我们便得到了组合杂交轴对 称元c h a o ( a ) 。 c h a o ( a ) 元的单元刚度矩阵由以下方式得到：取 占( 矿) = 0 ，占口，占：，) 7 ：= 占。g ：” 此时的应变矩阵为 b 。= 旦0 o r 三 o r o 旦 出 a a a zo r 一南 如毒- - j 1 2 南 盥 o _ t 毒+ j l l 苦 0 0 衽式( 3 4 ) 与( 3 5 ) 中的积分分别为： a ( o - , r ) = j ：f - d - 1 盯鼬= _ ) 7 幼f 1i l ；d - 1 。，i 卅删j ) 7 印 6 ( r ，移) ( 柳= 上f 占( ) c 女q = ( p d 1 ) 7 2 石j 。f ，；b 。f ， r d 影，砖1 ：= ( 口) 7 g ：g 妙 嘏刃。研= 相，娜= ) 7 幼i ，) 7 d f m 嘣细，旺) 7 k 秽 卿) ( 旷上于帚加+ 量。鲋f 舌出一q 一( v 于是由方程( 3 4 ) 得出了在单元k 上的应力位移关系： 卢沁= 日g 。g ： 结合( 3 5 ) 就得到了单元刚度矩阵的方程式 k s 8 9 = la g 7 h g + ( 1 一a ) k o 弦k 彰 1 0 1llllllj 旦期旦却 k 旦鸳生鹫 以 厶 四川大学硬士学位论文 4 轴对称问题中的锄甜8 p 元 对于i 司题( 3 1 ) ( 3 2 ) ，应用非协调位移来构造杂交有限元格式，此时的 h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原毽就转变为 4 , s l ： r l ( o - h 霸6 ) = j n s u p h ( r ，秽)( 4 。1 ) v u 。r f r ， 能量方程为 嗽刁2 氍p + 礤十p 鼬一嘎懈亍砭舡曩嘶- 可如驴诧羽 位移订= 、7 c + v l ，玩为协调元位移，q 为非协调元位移，应力f 分片独立，其中 u c u = h 1 ( q ) 。 ：移江= o 裙y6 。y = n h ( d i v ；k ) 分裁代表戆移 和成力的有限维子空间。 能量协调条件的数学表达形式怒： 2 帮l 菇) v 1 d r 2 = 0 4 2 ) 利用g r e e n 公式得： 球f n - ) + v ，艘= 积p 如瑚+ d v r q 删( 4 3 ) 当敬曩- - 0 孵，( 4 。2 ) 裁转交为 l f 5 ( v ，) a n = 0 ( 4 。4 ) 对于截颜是四边形的旋转体元，单元协调位移采用双线性插值函数： 阱扣嵋瓢m 协= 髓搿麓：期 这样，擎元经移试解瓦成为善和蹿的完备二次多项式。相应的革元应力试 四川犬学硕士学位论文 寸甘 | | i ；| | ； ( 4 5 ) 把3 中的等参变换以及上面的关系式应用剃方程( 4 4 ) 中，就可以得到8 参的应力模式： m 8 = 0 g i ( a o b 2 岛岛) j c 。= ；( 吼如一咖。) c 4c 5c 5 00 c i o c 1 1c 1 2 00 000 c 】3c 1 4 00 0 c 1 6c 1 7 c 2 - 一( 5 鹕+ 3 a ；b 2 ) c ，= 熹( 即：码6 1 ) 0 c 9c ” 0 c 2 2c 2 3 c 1 5c 2 5c 2 6 c 1 8c 2 8c 2 9 c ，= - - y 8 ( 。，屯 g = ；( 氏5 ：+ 龟龟)q = 虿8 ( 焉6 ：露：的 c - 。= c c l l 赢；c 5c 1 2 = ；c 6 c 1 4 - , 5 0 0 墨+ 3 a l a 2 ) g ，= 氍如q 。= 屯 c 】8 = - 8 ( 5 a o a l + 3 甜2 嘞) c 2 2 = 一c 1 9 c 2 7 = c 3 解之得： c 2 32 c 1 7 c 2 8 。c 7 c 1 9 = c 1 3 q 。= q 。 c 2 9 = c l 1 2 c 2 0 。c 1 4 c 2 5 = c l c 3 0 = c 9 疗2 岛) c 2 l = c l5 c 2 6 = c 2 磊如：&，、，；，；，k ， o o o o 节 o o o 害 0 o o l o o 警o o o 善0 1，；，；o ， 7 o 凸凸凸已 巴g o o 呸g o o g q o o ；，；。l i | 帆 m 其 ) 6 ，3 托 甄 叩 一。 赢 如 隔沁争象奠o g 岛 c 2 窿8 酶一9 一 = 四川i 大学硕士学位论文 其中 m 。= c 2c 4 c 8c l o 00 oo ： 8 、 ， 夕l l 0 c 2 0 0 c 2 3 c 15 c 2 6 c 1 8c 2 9 = m 1 m2 m 2 = ， ， 8s 86 ， 卢。 l o 1 2 c lc 3c 5c 6 c 7c 9c 1 lc 】2 0 0 0 0 0 0 00 记该应力模式为a x h 8 f l 。 当截面为矩形的旋转体元，作为上面优化结果的特例，有 其中 ( 4 6 ) 盯，( x - a 口o 。) p ，+ 胆+ 昔卢s 仃一= z 卢，+ 朋+ 卢s ( 4 ，1 ) d ， 斗j o ：= ；b ，+ x 叠6 盯。= ( x - a d o ) p ，+ y p e 在应力模式, j , x h s f l 下，变分原理转变为 n 删s p ( 盯 ，玩) = i n fs u p n 删8 口( f ，t ) ( 4 8 ) k e u i f e 一 d 硼= 三p d - 1 勰+ p 如脚一4 1 i 懈于酗一上夕砭捌 鞍点变分原理( 4 8 ) 等价于： “ “ ” 蛐 c c c c 伸 矩 ” 弛 c c c c o o q q 3 6 o o q q 四川i 大学硕士学位论定 其中 求( f 女，霸。) k “誓? ，霞德 “吒，力一6 ( l u h ) = 0 ，v f k 6 b ( c r h ，) = ，( 雹) + g ( 睡) ，v 哥瞬 口( 叩) = p d 叫姗 ，( 蚕) = 妻于- 谧， 6 ( f ，蚕) = p 占( 市) 地 g = 矗t 。涨- , t d s 5 辘对豫阊题审的_ 三g 元 ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 5 。1o 三幺毒盎对称元 在文献【8 】中，介绍了计算线性弹性问题的l q , 方法。相对于轴对称闯题， 可以选取w i l s o n 非协调位移和1 2 参数的完全线性应力模式，从而得到了轴对 臻露戆审戆三绞方法，记麓蠢三酝。 求解下面的方穰： 袋( ，玻= 委。十磁) 班6 嘉，使褥 口( ，力一敞f ，玩) = 0 ，v f 叩 ( 5 1 ) 6 ( 盯 ，露+ 秀) = f ( l ) + g ( l ) ，v 蚕= t + 影，盘 ( s - 2 ) 用五鼠来计算轴对称闽题，有如下的单元猁废矩阵的推导过程： 单冗应变和位移之间有如下的关系 嚣e 蚕，= 占e 委，+ 占e 磁，= 嚣。g ；畸+ 昼7 譬；) = r 露。君7 ， ；：) e s ， 四川大学硕士学位论文 其中 【f 】= 和 a _ _ o r 1 ， 0 a _ _ 岔 o o a - 瑟 a _ _ o r i n , ，】2 丽1 如毒一：南 i 卅 o o m ，】 川= 1 了21 了2 ，三：。二2 c s 舢 则( 5 1 ) 和( 5 2 ) 的积分转化为： a ( c r , r ) ( 叼= r d - 1 c r d l - 2 = 计) 7 幼f ，c ，嘭d _ 1 m 峭日_ = 砷) 7 印 = f r 鳓妒胁f f 咿州喵) 妒) r qq 搭) 厢) ( k ) = 上于i 艘+ 。雒于砌：= 【q c 由方程( 5 1 ) 得到 肚邶。g “鳓 再有方程( 5 2 ) 得到下面的方程 grh-ig。,grhg g r h ：g g 嬲荆譬)l 。，j l g 州idj 通过静力凝聚有 = - ( g r h _ g ，) 1 研h - 1 g c 秽 把( 5 6 ) 代入到( 5 5 ) 中，就能得到单元刚度矩阵的具体形式： 1 5 ( 5 5 ) ( 5 6 ) 旦铆旦却 七 专_ 鸳 也 如 a 一却 o t 管 吐 、rj v v ， g g ，、【 -i o 型堕兰塑主堂璺控塞 氏。拿= 彰 其中 k 啦= g ：h g c 6 ：h g ( g r h 一1 g 1 ) “1g jh 一、gc 麓对豫趣题中豹名三幺方法，楚在平蚕线瞧弹性趣鏊懿馥方法懿鏊疆土， 变化了应力方程的形式，积分区域由平面积分转变为立体积分，原理完众相同， 故其收敛性分析也蒋同于线性弹谯问题的三绒方法。 5 2 a x h s , 6 与a l q 6 的等价性 豳a x h 8 f l 元的的推导过程可知： 矿1 6 = f v i h ；妻f 占( i ，) g q = o ，v 参j ，v k ( ”) 则对w i l s o n 非协调位移，k 6 满熙弱自平衡祭件： 萎磙v + 霹藏= 毽v f k 6 ，v 彩讲 下面的定理给出了a x h 8 b 和a z q , 的等价性： 定壤5 1 若( 氏，磊) 一6 叫霸( 女，瓦= 霸? + 孬? ) 甄8 移毒是 朋甜8 和彳包的商限元解，则： = 嚷，毪- h = 磊 证明：由( 5 2 ) 萄以得到 b ( o - s ，田) = 0 ， v 曩u ? 遣羧豢滏 吒- 疗( 可) 鼬= o v i ， 由( 5 7 ) 得至 1 6 鞠川大学硕士学位论文 j 。 f _ 6 ；r - s ( 巧) 矗q = o ，v 哥，v k 。k “ 再有方程( 4 1 0 ) ( 4 t 1 ) ，酃：求( ，攻) 芒种埘，使得 a ( c r h ，力一6 ( t 玩) = 0 ，v f 蛞k b ( c r ，玩) = 厂( 霹) + g ( 雹) ，v 哥u ? 可以得幽( 吼，硭) u 6 u ? 也是一三q 6 元的解。 5 。3 懿冒舻蠢三绞的收敛蠖努橱 假设瓦为区域的正规剖分，为单元k 的直径，m 和1 1 | l 。遐有限维 - 7 ：空耀u 6 和v 6 上熊囊泛函锥： 刚k 萨( 莓柚御丁 翔 r 媸。，n ：= ( 善f 。”1c f ，矗q 6 于是有下面的收敛定理： 定理5 1 假设网格剖分写满足条传( b ) 1 ：即巍矗= 峄 斗。时，单元足对 角线巾点的距离d x 为o ( h 2 ) 的，刚 ( 1 ) 对方程( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ，a x h 8 f l 元具有唯一的混含杂交有限元解 ( 民，磊) 蜉x u , 。 ( 2 ) 假设方糨( 3 1 ) ( 3 1 ) 有弱解露( 捌( q ) n h 3 ( q ) ) 2 ，则对方穰( 5 1 ) ( 5 。2 ) ，蠢三g 方法襄骞睦一懿灌念湾! 交鸯隈元解( 吒，磊) 露磁，势飘有下 四川大学硕士学位论文 面的误嫠憾计式： 川拶一。，。+ 川丽一玩川，n c 。i n 吖( l i l l r - o r i i o r ，+ ；s 。u 啦pbl(vrv。，n) 国 由于_ 五貔与三酝方法强是在应力形式上多出了吼项，其他的源理与证明过程 完全相简，具体的证明过程参阅文献f 8 】中的3 0 3 3 0 6 员，这里不再赘述。 6 非协调位移的组合杂交轴对称元 首笼舟绍w i l s o n 嚣协调位移静组合杂交考限元c h a w ( a ) 。再介绍几羊中形 式下的非协调位移元。 ( 1 ) w i l s o n 资调整移懿绻念杂交骞疆嚣甄奄( 穗) 对于问题( 3 4 ) ( 3 5 ) ： 求( 盯 ， ) v “x u5 使得 口& ( 拶 ，f ) 一a b ( r ，舀 ) = 0 ， v r v 6 a b ( c r ，移) + ( 1 一掰) d ( 露a ，萨) = ( 舌) ，w 7 u 一 雩| 入w i l s o n 耱调像移( 5 4 ) ，劐( 3 4 ) ( 3 ，5 ) 转纯惫： 巧) ( 的= j ：r - d - i c r a n = ( ) 2 硝丘t d ；l 卅“z 孚办高( 口) 哟 融= p 黜= 罗吃羔睇泌 蹦嘴p 罗疆q 妫 d e 磊，谚，m 1 窖q ：；，v ，) j it 2 硝， 耋；p f 露。岛 l j t r 矗喜矗耳 囊v ) 四川大学硕士学位论文 = 堋嚣碰k 3 j 鼢 q 1 舞 嘞鼢 = 蝌必。鼢 舾k ，= 驴谶十重耐于赫磁。】 肚巾。刚群 瓶t ， 把上面的袋达式代入到( 3 5 ) 中就可以得到 甾r 降l c t l j 扩悔q 】+ ( 1 一功 墨磷k 3 j 弦l q p , l j 。【qo 】嚣) 皤g j 扩h - h i g c 咿g g h 。g q z q r k 1 铡= 网沲：， 谚“= - - ( a c t n q q + ( 1 - a ) k 3 ) 一( a g r h q q + ( 1 一税) 裂2 ) 秽皇 碰” 代入到( 6 2 ) 上面的方程式，有 磁。譬笋 _ 甾 其中 恐。= g 暖胃_ g + ( 1 一a ) k 1 一( a g r h g ，+ 以一a ) k 2 7 ) 掰 1 9 啦观莓 p。，。，。l 圭 l 彤 2 、，；， v v 菇 ，t；，l 茹 四川大学硕士学位论文 记这种形式下的组合杂交轴对称元为c h & ( a ) 。应力模式如果选取为常应力模 式，记该轴对称兀为c h a o ，( 口) 。 在这种形式下的组合杂交轴对称元，当选取1 2 参数的完全线性应力模式， 组合参数盘= 1 ，就得到了一工幺元。 ( 2 ) 几种形式下的非协调位移元 通过选取不同的非协调位移形式，可以得到不同的非协调位移元。本文选 取了3 种非协调位移元来计算分析。 非协调形式1 ：使用非协调位移： 吼= f ，坤k ：删 非协调形式2 ：使用非协调位移： 巧i 。= 2 一气一叩2 ：一z 一叩： 。j 叶= ：m g ；” 非协调形式2 ：使用w i l s o n 非协调位移： 可i 。= 1 苫21 了2 。三：，三： g ；”= ：m g j v 7 数值算例 对于轴对称问题，本文选取了3 个算例。这3 个算例分别为：厚壁圆筒、 网格扭曲的厚壁圆筒、圆盘。在这些的算例中，分别取： ( 1 ) 百分误教1 一黼) 1 0 0 ( 2 ) 计算中所涉及到的积分都采取的是2 x 2 的高斯积分公式。 瑚川大学硕士学位论文 ( 3 ) 本文中备耱方法的计算结果分别与协调等参双线性元幺、成力模式 a 【”、应力模式g 1 1 、应力模式a x h 9 c 2 1 以及应力模式8 a ”的计算结果进行 了分析比较。 7 。 算鲷一：瀑壁园篱 酋先，计算选取无限长厚壁圆筒。如图7 1 所示，有一无限长厚壁网筒， 其内半径为盘，外半径为b ，内服力为p ，杨氏模量力昱，泊蚣比为1 。于是 便可麓出位移“，暾力仃，和的计算表达式： 僚移甜，： 威力盯。： 波力口目： 驴p 盟等警等捌 咿p 寿予 仃，2p 矿= 万( 1 7 ) 咿尹寿e ；+ 多 口p2 尹丽( 1 + 7 ) 程这个算例中，计算取无限长厚璧圆筒陷一部分：内半径。= s 、外半径 b = 1 0 、高h = 1 。鼗箨，取肉莲力p = 8 , 0 0 0 、搦氏模量e = 1 0 7 、溶裣阮1 0 3 。 数值计簿采用图7 - 2 所示的网格剖分。 2 】 四川大学硕士学位论文 謦7 一 潭壁鏊篝 l i 壬黛戴 p 轴十。+ t + 。+ 。0 一。一 卜、，一1 0 a 一 豳 7 - 2 无限长爆蹙圆筒内压力网格剖分 (