（理论物理专业论文）非周期链在随机势下扩展态到局域态的转化.pdf

摘要 本文利用解本征方程和迁移矩阵的方法研究了图厄一莫尔斯链 ( t m c ) 和广义菲波那契链( g f c ) b h 的电子态。采用的模型哈密顿量有 两种，一种仅考虑最近临相互作用，即m 模型，另一种在最近临相 互作用基础上还考虑了次近邻相互作用，即m 行模型。利用迁移矩阵 方法，我们找到了一个判断体系某一能量本征值所对应的波函数是否 为扩展态的方法。而且数值计算过程中，我们得到，在一维非周期和 准周期链中既存在扩展态也存在局域态，这与利用各种解析方法得到 的结果相一致。除此之外，我们还考虑了随机势对体系的影响。当给 体系施加一个均匀分布的随机势时，原来体系中的扩展态将变成局域 态，局域长度和随机度呈指数关系。而且，不同的非周期链准周期链， 从扩展态到局域态随机度的临界值均为0 ，这与一般的一维体系的结 果一致。 关键词：迁移矩阵，局域态，扩展态，随机势 中图分类号：0 4 1 ，0 4 6 9 a b s t r a c t 1 1 1 ee l e c t r o n i cs t a t e si nt h u s m o r s ec h a i n ( t m c ) a n dg e n e r a l i z e d f i b o n a c e ic h a i n ( g f c ) a r es t u d i e db ys o l v i n ge i g e n e q u a t i o na n du s i n g t r a n s f e rm a t r i xm e t h o d t w om o d e lh a m i l t o n i a o 塔a r es t u d i e d o n e c o n t a i n st h en e a r e s tn e i g h b o r ( n n ) h o p p i n gt e r m so n l ya n dt h eo t h e r h a sa d d i t i o n a l l yn e x tn e a r e s tn e i g h b o r ( n n n ) h o p p i n gt e r m s b a s e do n t h et r a n s f e rm a t r i xm e t h o d ，ac r i t e r i o no ft r a n s i t i o nf r o mt h ee x t e n d e dt o t h el o c a l i z e ds t a t e si s s u g g e s t e df o rg f ca n dt m c 1 1 1 en u m e r i c a l c a l c u l a t i o ns h o w st h ee x i s t e n c eo fb o t he x t e n d e da n dl o c a l i z e ds t a t e si n p u r ea p e r i o d i cs y s t e m ar a n d o mp o t e n t i a li s i n t r o d u c e dt ot h ed i a g o n a l t e r mo ft h eh a m i l t o n i a na n dt h e nt h ee x t e n d e ds t a t e sa r ea l w a y sc h a n g e d f ob el o c a l i z e d 刃增e x p o n e n t sr e l a t e dt ot h el o c a l i z e dl e n g t ha saf u n c t i o n o fr a n d o m n e s sa r ec a l c u l a t e d f o rd i f f e r e n tk i n d so fa p p e r i o d i cc h a i n ，t h e c r i t i c a lv a l u eo fr a n d o m n e s sf o rt h et r a n s i t i o nf r o me x t e n d e dt ot h e l o c a l i z e ds t a t e sa r ef o u n dt ob ez e r o ，c o n s i s t e n tw i t ht h ec a s eo fo n e d i m e n s i o n a ln o r m a ls y s t e m s k e yw o r d s ：t r a n s f e rm a t r i x ，l o c a l i z e ds t a t e s ，e x t e n d e ds t a t e s ， r a n d o mp o t e n t i a l 中图分类号：0 4 1 ，0 4 6 9 第一章绪论 1 1 准晶体的发现 自然界中，各种元素和化合物通常表现为三种宏观形态：固态、液态和气态。 约二百多年，物理学家一直认为固态物质只有晶态和非晶态( 玻璃态) 两大类。 晶体中的原子在空间按照一定的几何方式作规则的周期性重复排列，使得晶体结 构具有周期的长程平移序。而非晶体则不同，它只是短程有序，长程则是无序的。 而且我们还知道，正是由于晶体具有周期长程平移序，使得在晶体中不能存在5 次和大于6 次的旋转对称性。这一禁戒的直观几何表述方式是：不能用正五边形 不留间隙地铺满整个平面，也不能用具有5 次旋转对称轴的正多面体铺满三维空 间而不留间隙。 但是，持续了二百多年的观点最终还是被改变了。1 9 8 4 年l o 月9 日，美国 国家标准局s h e c h t m a n ，b l e e h , g r a t i a s 及c a l m 在一篇题为“具有长程取向序而 无平移对称序的金属相”的论文中报道了他们在急冷凝固的a 1 - m n 合金中意外 地发现一种新的合金相【1 1 ，并对该合金相的衍射花样进行仔细观察和分析，结果 表明这个相呈现明锐的布喇格衍射峰，各个衍射峰并不成周期性的排列，不同带 轴的电子衍射花样在总体上反映出了二十面体对称性( 如图1 1 所示) ，衍射花 样除具有2 次、3 次旋转对称性以外，还具有5 次旋转对称性( 如图1 2 所示) 。 这一发现有如一石激起千层浪，立即与在晶体及晶体学有关的各个学科中，如固 体物理、固体化学、材料科学、矿物学等，产生轩然大波。一些科学周刊竟然以 “晶体学的瓦解”为题报道该发现，就连晶体学的泰斗、诺贝尔化学奖得主 p a u l i n g 也拒绝接受这一结果，并称它是“胡说八道”。但s h e c h t m a n 等人把他们 观察到的合金相解释为具有长程准周期平移序的合金相，并没有违背“周期性晶 体不可能具有5 次及大于6 次的旋转对称性”的法则。这种具有准周期陛结构的 晶体就被称作准晶体，简称准晶。 继s h e e h t m a n 等人的发现之后，人们又在众多的合金中证实了各种准晶的存 在【2 】【3 1 。几乎与此同时，我国郭可信研究组在对高温合金中的四面体密堆合金相 的高分辨电子显微镜观察中，发现五重旋转对称的电子衍射图，1 9 8 5 年初在 t i 2 n i 合金中发现t i v - n i 急冷合金具有二十面体对称性。随着实验技术的飞速 发展，目前除了在a i 、m g 、z n 、c u 、c d 等近两百种合金中外，还在t a 的碲化 物中发现准晶。一些工业铝合金、镁合金、不锈耐热钢等的长期使用过程中还会 有准晶析出的现象。新的准晶的不断被发现，说明准晶确实是凝聚态物质大家族 中的一员，而不是偶然的、个别的现象。 因此，准晶的发现一方面丰富了晶体学的内容，深化了我们对晶体学、衍射 物理和凝聚态物理的认识，另一方面，准晶体的各种独特性质使准晶体具有潜在 的应用价值。比如说，准晶体和晶态相比具有很高的硬度，与非晶相比又有很强 的脆性，所以如果用较软而韧的晶态相作为合金的基本相，而准晶作为弥散的第 二相，这样的合金将有很好的综合力学性能，可以作为很好的结构材料使用。另 外，虽然准晶材料的成分是金属，但不具有合金的导电性和导热性，这样的特性 使得准晶也将具有很好的应用的价值。 图( 1 1 ) 新合金相 的二十面体对称性图( 1 2 ) 新合金相的衍射花样 1 2 准晶体的结构特点及准晶材料的分类 准晶体结构的特点是；具有长程的取向序而没有长程的平移对称序；取向序 具有晶体周期性所不能容许的点群对称性；沿取向序对称轴的方向具有准周期 性，其周期是一个无理数或一组无理数的集合。另外，准晶和晶体或非晶体的类 似，能量最低原理决定了组成它的原子或原子团之间的间距应该尽可r i m , 。 根据准晶材料在三维空间中所呈现准周期性的维数，我们把准晶分为三大 类：一维准晶、二维准晶和三维准晶。三维准晶是指原子在空间的三维上都是准 周期分布的。二维准晶是指原子有两维是准周期分布，另外一维是周期性分布的。 类似的，一维准晶是指原子只有一维是准周期分布，另外两维是周期性分布的。 1 3 准晶体的构造方式 由于准晶合金原子结构的复杂性，绝大多数准晶合金的原子结构很难精确 确定，原子位置及其近邻情况也不能确定，因而我们在研究准晶体的一些物理性 质时必须抽象设计出理想的准晶体模型。一个理想的准晶体是由两种以上的“原 胞”在空间无限地重复构成的，这些“原胞”的排列具有长程的准周期平移序和 长程指向性。在这方面，无论物理学家，还是数学家都投入了很多精力。到目前 为止，已经有十多种构造准晶体的方法，其中被广泛应用的有以下几种：匹配拼 砌法【4 1 ，自相似变换法【5 1 ，高维投影法 6 1 ，广义对偶法【4 】。 1 3 1 匹配拼砌法 最常见的利用匹配拼砌法构造准晶的两种原胞为锐角分别为3 6 。和7 2 。，边 长均为i 的菱形。如果我们在菱形的边上标上单、双箭头，则匹配规则为：相接 的菱形其共有的边上有相同的箭头。图( 1 3 ) 就是用匹配拼砌法构造的彭罗斯 拼砌。图( 1 4 ) 为该拼砌中八种不同的顶角。 图( 1 3 ) 彭罗斯拼砌 1 3 2 自相似变换法 六义 1 ，即a 寸a ”b ，b 专a ，简称为a 族。 第二类是m = 1 ，” 1 ，即彳一a b ”，b j a ，简称为曰族。 首先说明的是一维广义菲波那契链的能谱结构【15 1 。 i 图( 1 i i ) 菲波那契链的能谱结构 f 图( 1 1 2 ) 菲波那契链的积分态密度 图( 1 1 3 ) 菲波那契链的态密度 图( 1 1 4 ) 菲波那契链e = 0 时波函数 -_qoi!；l 图( 1 1 5 ) ，( 1 1 6 ) ，( 1 1 7 ) ，( 1 1 8 ) 为广义菲波那契链迁移模型取，= t 。= - 0 6 时，不同的伽，n ) 所对应的能谱结构图。从图中看出，随着，的逐渐增大，广义 菲波那契链的能谱结构不像菲波那契链的能谱结构( 图( 1 1 1 ) ) 那样比较有规 律的分裂下去，但是我们可以看出，当，一0 0 时，仍然具有与菲波那契链相似的 自相似性，最终呈类c a n t o r 集结构。 下面我们来说明广义菲波那契链中波函数的一些性质。由于a 类广义菲波 那契链是准周期的，而b 类广义菲波那契链是非周期的，所以他们具有不同的 电子态。例如，对于e = 0 的态，a 类广义菲波那契链同菲波那契链一样，其波 函数为临界态，而b 类广义菲波那契链【1 6 1 既存在扩展态，也存在局域态图( 1 2 0 ) ， ( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 分别为e = 0 ，( i n ，n ) = ( 2 ，1 ) ，( m ，n ) = ( 1 ，3 ) ，( m ，n ) = ( 1 ，2 ) 时的波函数。 f 图( 1 1 5 ) ( m ，n ) = ( 1 2 ) 图( 1 1 6 ) ( 1 n n ) 邓，1 ) 图( 1 1 7 ) ( m ，n ) 鼍l ，3 )图( 1 1 8 ) ( m ，1 1 ) = ( 3 ，1 ) 对于e 0 的态，a 类广义菲波那契链与菲波那契链类似，主要是临界态，而b 类广义菲波那契链却复杂的多，扩展态( 图( 1 2 3 ) 图( 1 2 5 ) ) ，局域态( 图( 1 2 6 ) ) 和 临界态( 图( 1 2 4 ) ) 共存。 1 4 3 图厄一莫尔斯模型及其物理性质 一阵研究准周期系统的狂潮之后，人们又纷纷的把注意力转移到另外一种非 周期系统上。其中一维的图厄莫尔斯( t h i l s m o r s e ，简记为t m ) 是这类非周期 系统地典型代表。从人们对它的电子性质的研究结果来看，它是一种处于菲波那 契准晶与周期晶体之间的过渡类型，它具有与菲波那契很不相同的非周期性。 产生t m 序列的替代规则是4 专a b ，b b a 。如果第一代为元素，则由 此替代规则产生的前几代图厄莫尔斯序列是：s 寸a ，岛号a b ，8 3 一a b b a ， 蜀一a b b a b a a b ，s 5 呻a b b a b a a b b a a b a b b a 。类似的，如果我们以b 元素为第一代，那么可得s l 专b ，s 2 斗删，s 3 斗b 似b ，s 4 哼b a a b a b b a ， & j b “鲥删且醐b “b 。从中可以看出t m c 序列的迭代关系为 8 1 “= s l s t ，s t + i = s ts l 。 图( 1 1 9 ) 是t m c 的能谱图【1 7 1 。从中可以看出，随着f 的增加，能谱显示一 定的分型结构，但能谱表现出的自相似性没有菲波那契链那么清楚。除此之外， 我们还可以看出，对于每一个，所对应的能级并不是由2 “个能带过程，这是能 级的简并造成的。 另外，解析和数值计算都表明在t m c 中既存在扩展态( 1 2 7 1 3 0 ) 也存在 临界态( 1 3 1 1 3 2 ) 。 i l l 1 2 1 我们知道在周期性体系中才存在扩展态，在准周期体 系如菲波那契中存在临界态，由此可见t m c 是介于周期性和准周期体系之间的 一种过渡类型的非周期体系。 图( 1 1 9 ) 图( 1 2 0 ) 图( 1 2 1 ) 图( 1 2 3 ) 图( 1 2 5 ) - 1 4 - 图( 1 2 2 ) 图( 1 2 4 ) 图( 1 2 6 ) 图( 1 2 7 ) 图( 1 2 9 ) 图( 1 3 1 ) 图( 1 2 8 ) 图( 1 3 0 ) - 1 5 - 图( 1 3 2 ) 1 5 研究动机 从1 4 节中可以知道，一维准周期和一维非周期体系中扩展态和局域态共存。 但是掘我们了解，到目前为止，还没有一种方法可以很简便地来判断一个给定的 能量本征值，我们怎么来判断它到底属于哪个态? 这是本文首先要解决的一个问 题。 另外，虽然人工制造的准晶绝大多数由金属元素构成，但是它并不是电的良 导体。这种异常导电行为反应了系统准周期结构对其物理性能的影响。我们知道， 当电子处于扩展态区域时，系统是导体；处于局域态区域时，系统是绝缘体。因 此可以从分析准晶体系的电子态出发来研究准晶的导电性。关于这个问题，最早 研究这个问题的是安德森( a n d e r s o n ) 在他的论文“紧束缚随机点阵中扩散的不 存在性”中。对于一维无序系统，他指出，无论随机势是多么的小，所有的电子 态都是局域的。那么，如果体系具有准周期或非周期结构是，随机势对其电子态 有何影响呢? 到目前为止，关于这方面的研究还不是很多，所以本文第二个要解 决的问题就是研究均匀分布的随机势对一维准周期或非周期体系的影响以及它 们的变化关系。 第二章t m c 和g f c 中波函数的判断 2 1 甩2 模型和1 2 3 7 模型 对于一个一维非周期或准周期体系，当既考虑最近临相互作用也考虑次近临 相互作用时，该体系的哈密顿量可写为： h = 毛【q + 口f + 1 + 口+ q 】+ 占2 【q 4 - 口m + 口f + 2 + q 】+ k q + q ( 2 1 ) 其中慨+ ，a 1 ) 费米算符， k ) 是第i 个原子的座能并按照体系的准周期排列方式 取巧和两个值毛表示第i 与i + 1 个原子和第f 与i - 1 个原子间的跨越积分， 晶表示第i 与i + 2 个原子和第f 与i 一2 个原子间的跨越积分。哈密顿量( 2 1 ) 对 应的薛定谔方程为 e 谚= k 办+ f l 谚“+ 占l 谚- 1 + e 2 以+ 2 + s 2 以- 2 ( 2 2 ) 其中以表示第f 个原子上的瓦尼尔态。 当f ，= 0 时，( 2 2 ) 变成 e ，= 谚+ 9 1 f + l + g l 咖一l ( 2 3 ) 此时称该模型为t t 模型。 当s 2 0 时，令r o = q t r 2 ，( 2 2 ) 式变为 办+ 2 = 一t l o 谚+ l + ( e v , ) r 2 谚一1 o 谚一l 一办_ 2 ( 2 4 ) 此时称该模型为n n 聆模型。本文只考虑岛 的情形。 2 2 迁移矩阵 当f ，= 0 时，方程( 2 3 ) 可表示为矩阵形式 ( 纷( 饵一p 撇。 眨s ， 定义= ( 丸，九一。) 7 ，则( 2 5 ) 式可写为 妒“= m ( n ) ， 2 ( 2 6 ) 其中m ( n ) = ( 饵一：) 毛1 1 ) ，称为行n 模型的迁移矩阵。 当o e 2 0 时，定义= ( 九，丸p 丸。丸。) 7 ，方程( 2 4 ) 可表示为矩阵形式 + l = 肘( 胛) 帆， 撑4 ( 2 7 ) 其中m ( n ) = 一i 1 0 ( e k ) e 2 1o ol oo r i o - 1 oo oo lo ，称为n n 万模型的迁移矩阵。 2 3r r 模型的t m c 和g f c 中电子态的判断 2 3 1 n r 模型的t m c 中电子态的判断 由矩阵形式的本征方程( 2 6 ) 可知，从奶出发，任意一个阶t m c 的波函 数可通过迁移矩阵的一系列乘积求出，即 妒= m ( 2 8 ) 其中 m ，= m ( 六) m ( 五- 1 ) m ( 2 ) m ( 1 ) ( 2 9 ) 厂为阶t m c 的格点数。 由t m c 的迭代关系s k “= 墨瓯，s m = s k s k ，可知迁移矩阵 以满足如下的递 推关系： m m = m k m l ，肘= m t m k ，( 七1 ) 初始条件为： m t = m ( 1 ) ，m = m ( 2 ) 显然，t r ( m t ) = t r ( m k ) ，( 七2 ) 帆是本征能量e 的函数：m k ( e ) 由迁移矩 阵m i 的递推关系可以得出，任意一个比k 大的阶t m c 的迁移矩阵m 。可以 表示成一系列低级迁移矩阵m 。m t 的乘积，即 m n = m k m km k m k m k m k 。 因为矩阵m 。和m t 有相同的迹，即t r ( m k ) = t r ( m t ) ，所以我们同时对角化这两 个矩阵时，它们有两个相同本征值：九= 1 1 2 x 。( h 2 4 ) ) ，其中x k = t r ( m 。) 。 如果h 2 4 ，则五和允是实数，且满足以 l ，危 l ，五 1 ，厶 占条件下的甩屁胛模型。 作为例子，我们研究了图厄莫尔斯链和广义菲波那契链。但是，这种方法可以很容 易地推广到别的一维准周期和非周期体系。另一方面，我们还研究了随机势场对体系 中扩展态的影响。数值计算表明，任意小的随机势都会使体系中原来的扩展态转变成 局域态。除此之外，我们还研究了描述随机势大小的参数f 和局域长度a ，曲线 l o 甙眵，f ) 与n 的斜率口的关系。计算结果表明，a 随f 的增大而减小，孝和口满足关 系口寸f 5 。在月胛模型的t m c 和g f c 中，艿的值分别为2 8 和1 6 ，在丹n 聆模型的 t m c 和g f c 中，万的值分别为2 0 和1 8 不同的值说明体系具有不同的几何拓扑结 构。临界值己均为0 参考文献 【1 】d s h e c h t m a n , 1 b l e c h , d c r r a t i a sa n dj w c a h n , p h y s r e v l e t t 5 3 ( 1 9 8 4 ) 1 9 5 1 2 】p a b a n c e la n dea h e i n e y , p h y s r e v b 3 3 ，( 1 9 8 6 ) 7 9 1 7 【3 】n w a n g ，h q y ea n dk h k u o ，p h y r e v l e t t 5 9 ( 1 9 8 7 ) 1 0 1 0 【4 】d l e v i n ea n de j s t e i n h a r d t ，p h y s r e v , b 3 4 ( 1 9 8 6 ) 5 9 6 5 】p e n g h u im a a n d y o u y a nl i u ，p l a y s r e v b 3 9 ( 1 9 8 9 ) 9 9 0 4 6 】v e l s e r , p h y s r e v b 3 2 ( 1 9 8 5 ) 4 8 9 2 【7 】x i u j u nf u ，y o u y a nl i u ，b o l i nc h e n ga n dd a f a n gz h e n g ，p h y s r e v b 4 3 ( 1 9 9 1 ) 1 0 8 0 8 【8 】y o u y a nl i u a n dw s r i t r a k o o l ，p h y s r e v b 4 3 ( 1 9 9 1 ) 1 1 1 0 【9 】h h i r a m o t oa n dm k o b m o t o ，i n t e r j m o d p h y s b6 ( 1 9 9 2 ) 2 8 1 【1 0 】k i g u e h i ，p h y s r e v b 4 9 ( 1 9 9 4 ) 1 2 6 3 3 1 l 】j p h y s ：c o n d e n s m a t t e r 2 ( 1 9 9 0 ) 1 0 5 9 1 0 7 2 【1 2 】j p h y s c ：s o l i ds t a t ep h y s 2 1 ( 1 9 9 8 ) 4 3 1 1 - 4 3 2 4 1 3 】a c h a k r a r b a r t i ，s n k a r m a k a ra n dr k m o i t r e gm o d p h y s l e t t b 4 ( 1 9 9 0 ) 7 9 5 1 4 】s h e n g f e n gc h e n ga n dg - u o j u nj i np h y s r e v b 6 5 ( 2 0 0 2 ) 1 3 4 2 0 6 1 5 】j a y o ua n dq b y a n g ，j 1 h y s ：c o n d e n s m a t t e r , 2 ( 1 9 9 0 ) 2 0 9 3 【1 6 】j q y o u ,