（运筹学与控制论专业论文）群体决策过程优化.pdf

浙江大学硕士论文摘要 群体决策过程优化 杨静 浙江大学理学院 摘要 本文在总结历史上群体决策理论研究的基础上，探讨了群体决策过程优化问 题。着重研究了群体决策中专家评审这一典型问题的过程优化：采取何种决策过 程使得在限定的时间内得到尽可能公正的决策结果，即涮时兼顾决策效率与决策 质量。 一般群体评审决策程序是由被评审对象或申报人按要求提供材料，派出- 组 专家评审这些材料，最终给出群体决策结果。但是当材料很多时，每个专家全部 仔细读完所有待评审的材料并做出认真评判就会耗费过长的时间。若限定评审时 间，又会影响决策的准确性，因为时间少了，他无法在评审过程中对每一指标进 行细致的评判。这时通常采用分组的方法减少上述矛盾，达到在限定的时间内兼 顾准确性和客观性。在分组的过程中，倘若分组过少，每个专家需要评审的材料 的数量依然较大，在限定的时间内评审数量庞大的材料准确性依然不够；倘若分 组过多，每份材料被审的专家人数过少，则客观性会不足。我们的目标是：合理 分组使得评审在给定的时间内既客观又准确。本文建立了模型刻画评审的准确性 和客观性，并将两者结合起来建立了整体绩效函数，求出合适的分组数使得整体 绩效达到最大化。本文建立的模型对优化“限制决策时间和专家人数但各选方案 个数很多”这一群体决策中的典型问题进行了有益的尝试。 关键字：群体决策、专家评审、准确性、客观性、整体绩效 浙江大学硕士论文英文摘要 o p t i m i z e t h ep r o c e s so fg r o u pd e c i s i o n - m a k i n g y a n gj i n g c o l l e g eo fs c i e n c e ，z h 日i a n gu n i v e r s i t y a b s t r a c t t h es t u d yf o c u s e do nt h ep r e v i o u sr e s e a r c ho ng r o u pd e c i s i o n - m a k i n gt h e o r i e s w ed i s c u s s e dh o wt oo p t i m i z et h ep r o c e s so fg r o u pd e c i s i o n - m a k i n ga n de s p e c i a l l y l a ys t r e s so n at y p i c a lp r o b l e mi ng r o u pd e c i s i o n - m a k i n gf i e l dw h i c hi se x p e r t e v a l u a t i o np r o b l e m w ew o u l dp r o v i d eaw a yt oo p t i m i z et h ep r o c e s so fg r o u p d e c i s i o n m a k i n ga f f e c t e db yat i m el i m i ta n db yh u m a nr e s o u r c el i m i t i ng e n e r a l ，e x p e r te v a l u a t i o np r o b l e md e s c r i b e ss u c has i t u a t i o n ：t h ep r o p o s e r s p r o v i d em a t e r i a l s t h el e a d e ra s k sf o rag r o u po f e x p e r t st oe v a l u a t et h e s em a t e r i a l s t h ee x p e r t sp r o v i d et h ef i n a lg r o u pd e c i s i o n m a k i n gr e s u h h o w e v e r , w h e nt h e r e a r et o om a n ym a t e r i a l s ，w h a tw i l lh a p p e n ? i fe v e r ye x p e r tr e a d se v e r ym a t e r i a la n d g i v e sa ne v a l u a t i o nr e s u l t ，t of i n i s ht h ee v a l u a t i o np r o c e s sw i l lc o s tq u i t eal o to f t i m e i ft h et i m ei sl i m i t e d ，t h ea c c u r a c yw i l lb er e d u c e d t h u sw ep r o v i d eaw a yt os o l v e t h ec o n f l i c t ：s e p a r a t et h ew h o l eg r o u po fe x p e r t si n t os e v e r a ls m a l lg r o u p s i fw e s e p a r a t et h ew h o l eg r o u pi n t ov e r yf e ws m a l lg r o u p s ，e v e r ye x p e r ts t i l ln e e d st or e a da 1 0 to fm a t e r i a l s t h e nt h ea c c u r a c yi ss t i l ln o th i g he n o u g h i fw es e p a r a t et h ew h o l e g r o u pi n t ot o om a n ys m a l lg r o u p s ，e v e r ym a t e r i a lw i l lb ee v a l u a t e db yv e r yf e w e x p e r t s t h e nt h eo b j e c t i v i t yi sn o th i g he n o u g h h e n c e ，w ew i l lt r y t of i n dt h e r e a s o n a b l en u m b e ro ft h es m a l lg r o u p ss u c ht h a tt h eg r o u pp e r f o r m a n c ew h i c hs h o w s b o t ht h ea c c u f a c ya n dt h eo b j e c t i v i t yc a nr e a c ht h em a x i m u m k e yw o r d s ：g r o u pd e c i s i o n - m a k i n g ；e x p e r te v a l u a t i o n ；a c c u r a c y ；0 b j e c t i v i t y ； g r o u pp e r f o r m a n c e 浙江大学硕士论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景和问题的提出 群体决策是现代社会政治、经济、科学界等领域普遍出现的一项工作。它的 理论和方法建立在数学、经济学、社会学、心理学等众多学科的基础上。它研究 如何将一群个体中每一成员对某类事物的偏好汇集成群体偏好，以使该群体对此 类事物中的所有事物做出优劣排序或从中选优。作为一种抉择的手段，群体决策 是处理重大定性决策问题的有力工具。其研究结果将会给现代经济、管理组织等 方面带来积极的指导意义。 在现代，任何一种民主社会体制都应当尽可能地满足它的每一个成员的需 求。然而，在一个社会群体中，由于各个成员对所考虑的事物总会存在着价值观 念上的差别和个人利益间的冲突，因而他们对于各种事物必然会具有不同的偏好 态度。将众多不同的个体偏好汇集成一个群体偏好，据此对某类事物做出群体抉 择，是当今社会处理各种重大决策和分配问题的有效手段。在我国，各级人民代 表的选举就是一个群体决策问题。在市场经济体制下，广大消费者对菜类商品的 选购也是群体决策问题。此外，如投资项目招标、专业职称评定、文体竞赛排名 以及军事参谋团决策，等等，都是群体决策问题的范例。 一个群体决策问题包含两大要素：一个是供选择的对象，称为备选方案，如 选举中的候选人、购物中的品牌货物或文体竞赛中的选手；另一个是参与决策的 成员，即决策者或称决策个体，如选举中的选民、购物中的顾客或文体竞赛中的 评判员。当然，任意一个群体决策问题均应有不少于两个供选方案和不少于两位 决策个体。群体决策问题是：决策个体各自提供对备选方案的偏好，依据某一规 则汇集成群体偏好，据此对所有的供选方案进行群体偏好排序或从中选优。 群体决策本质上可以根据其基本假设的不同划分为两类：对于决策个体之 间有利益冲突的群体的决策过程的研究；对于决策个体之间没有利益冲突( 或利 益冲突可以忽略) 的群体的决策过程的研究。前一类研究主要表现为社会选择理 论( s o c i a lc h o i c et h e o r y ) ，以及与其相关的对策论、群体效用理论等；后一类研 究主要表现为集体决策理论( c o l l e c t i v ed e c i s i o n m a k i n gt h e o r y ) ( 亦称专家判断理 论( e x p e r tj u d g e m e n tt h e o r y ) o 社会选择理论研究为了最大化社会福利函数或满 足某些规范标准而整合个人偏好的问题，或者说，是探讨给定个人选民的偏好的 浙江大学硕士论文第一章绪论 条件下应该选择哪一种社会状态的问题。而集体决策研究拥有共同利益、不同的 信息和决策能力的群体成员如何联合起来充分利用群体成员的决策资源做出最 佳决策。社会选择理论的研究历史较长这方面研究在西方主要与福利经济学的 发展有密切的关系。福利经济学研究的是整个社会的福利问题，企图使社会的资 源和商品的分配能产生最大的社会福利，对社会福利函数的选择是全社会的群 体决策。在这里，群体决策要解决的问题是去集结利益相互冲突的一群人中每个 人的偏好，以形成群体的偏好。社会选择理论研究的许多重要成果是与a r r o w 的 开创性工作，以及b u c h a n a n 的工作密切相关的。到目前为止还有许多人沿着这一 方向进行工作，且已深入到更为具体的技术性问题，如选择路径问题等。而现代 的集体决策理论的研究则与c o n d o r c e t 的陪审团定理( c o n d o r c e tj u r yt h e o r e m ) - - 脉相承。c o n d o r c e t 的陪审团定理最先阐明了在选择正确方案的问题上，多数决 策规则下的群体的绩效。优于群体成员的平均绩效o 1 。 尽管国内外学术界在群体决策方面的研究方兴未艾，但我们在组织发展和战 略决策研究中发现，大量群体决策实践，如各种各样的董事会、常委会、总经理 办公会、专家评审材料等群体决策中仍大多处于低质低效的状态，除了理论、方 法和工具应用不够外，更重要的是许多问题没有有效的理论、方法，如对群体决 策的效率、效果怎么度量：决策过程与效率和效果的关系；群体构成、问题特征 与决策过程和效率、效果的关系等。因此，我们的研究主要是打开群体决策过程 ”黑箱”，对上述问题进行深入的分析和探讨，以提供改善群体决策效率和效果的 理论和方法。 本文将着重研究群体决策中的集体决策理论，即决策个体之间没有利益冲突 ( 或利益冲突可以忽略) 的群体决策过程，以专家评审材料问题为主要研究对象， 优化以下过程：在限定的时间内由一群专家匿名对若干份评选材料进行评审，最 终给出一个集体决策的结果。 1 2 研究思路及所做工作 本文主要研究思路是对已有的群体决策研究历史进行回顾分析，以群体决策 m 群体绩效是饼：旨 龠选方案被每，位决策者评审后按照某种方式综合所有决策者评审结果得出的群体 决策结论的有效性。 o 群体成员的平均绩效是指每位决策者的决策结论的有效性的平均值。 一2 一 浙江大学硕士论文 第一章绪论 中集体决策里某一类具体问题为研究对象，引入备选方案个数、决策时间限制等 与集体决策的绩效有很大关系的因素，探讨如何提高整体绩效。 主要拟解决的问题是：利用集体决策理论研究专家匿名评审材料的问题。 。 般评审程序是由被评审对象或申报人按要求提供材料，派出一组专家评审这些材 料，最终给出群体决策结果。之所以要派专家评审材料，主要是因为被评审的材 料的优劣通常包含多项不同的指标，无法像某些体育比赛那样由计算机简单排 序。因此需要由多位专家评审，形成统计意义上的客观性。但是当材料很多时， 一个专家伞部仔细读完所有待评审的材料并做出认真评判就会耗费过长的时间。 若限定评审时间，又会影响决策的准确性，因为时间少了，他无法在评审过程中 对每一指标进行细致的评判。这时通常采用分组的方法减少上述矛盾，达到在限 定的时间内兼顾客观性和准确性。在分组的过程中，倘若分组过少，每个专家需 要评审的材料的数量依然较大，在限定的时间内评审数量庞大的材料准确性依然 不够；倘若分组过多，每份材料被审的专家人数过少，则统计意义上的客观性会 不足。我们的目标是：合理分组使得评审在给定的时间内既客观又准确。 本文所做工作是建立了两个模型刻画集体评审的准确性和客观性，并将两者 结合起来建立了整体绩效，求出合适的分组数使得整体绩效达到最大化。根据本 文建立的模型可以优化“限制决策时间和专家但备选方案个数很多”这类问题。 1 3 本文结构与章节安排 全文共分四章。第一章、绪论：主要阐述论文研究背景和问题的提出以及研 究思路和所做工作。第二章、综述：主要对群体决策研究的历史加以整理概况， 并对现有的群体决策理论模型加以阐明。第三章、建模：对群体决策中一类具体 问题建立数学模型，优化决策过程。第四章、尾声：总结主要研究工作、阐明有 待进一步研究的问题和群体决策未来研究发展趋势。 一3 一 浙江大学硕士论文第二章综述 第二章综述 2 1 群体决策研究历史及评述 自从人类开始群体生活以来，人们在对某一类对象具有选择行为的决策判断 过程中，由于个人经验、价值观和知识结构等诸多因素的差异，对选择对象的偏 好往往存在一定程度的差别。因此人类在需要通过某种机制以形成群体的最终决 策结果的探索历程中，群体决策的思想和方法逐步发展起来。十八世纪后叶，法 国数学家j c b o r d a ( 1 7 3 3 1 7 9 9 ) 于1 7 8 1 年提出了群体对一群方案进行排序的 b o r d a 规则，m d ec o n d o r c e t 于1 7 8 5 年创立了陪审团定理( c o n d o r c e tj u r y t h e o r e m ) r 2 ，使群体评选成为一种理论开始被学者加以研究。 法国人康多塞( m a r q u i sd ec o n d o r c e t ) ( 1 7 4 3 1 7 9 4 ) 在1 7 8 5 年发表了论数 学分析应用于多数决策之机率问题。c o n d o r c e t 由卢梭的朋友达郎贝尔提拔担任 著名的法兰西学院秘书，他在法国大革命中起草了一七九二年宪法，并与著名数 学家拉普拉斯一起，通过对“陪审团定理”的研究，创立了现代数学的重要分支 概率论。康多塞假定每个评判成员做出f 确判断的概率在0 5 和1 之间( 否则 根本不必设评判，只扔骰子也有一半机会能正确) ，然后他证明，随着成员的增 多，多数决定趋于正确答案的可能性趋近于1 。c o n d o r c e t 在其论文里还提出了 这样一种选举程序：他认为一个“公平”的胜选对象，必须是与所有其他备选对 象比较后总能获胜的那一个。c o n d o r c e t 自己也在论文中表明，他的选举程序也 有可能无法产生结果。例如遇上以下这种案例： 设有1 5 个决策个体，对3 个备选对象a 、b 、c 进行评比，得出以下决策结 果 人数决策意见 54 b c 5b c 爿 5c 爿 b 那么评比结果就是a ：b = 1 0 ：5 ；b ：c = 1 0 ：5 ；c ：a = 1 0 ：5 ，最后得 到结果a b c a ，此时尽管所有选民都是理性且诚实的，投票的结果却显 得不理性! 因此，当c o n d o r c e t 的选举程序的确有可能无法产生结果，如果产生 - - 4 - - 浙江大学硕士论文第二章综述 胜选者，那的确是一个众望所归、没有异议的胜选者；问题就是，它有太大的失 败机率，而且就算它可以成功，所耗费的社会成本也太高了。 这也是b o r d a ( 1 7 3 3 1 7 9 9 ) 对c o n d o r c e t 提出的质疑。般的说法是b o r d a 在与c o n d o r c e t 的辩论中提出了他的方法，如今所谓b o r d ac o u n t 法就是在上述 例子中，每个选民对k 个备选对象严格排序，给自己心目中排序第一的打k ，1 分、排序第二的打k 一2 分直到排序倒数第二的1 分、最后一名0 分。 选举理论学者基本上都同意，如果不计成本，应该先执行c o n d o r c e t 的方法， 如果产生优胜就好，否则就应该采用b o r d a 的计分方法；但问题是，实际上很难 不计成本。不过，理论学者倒是利用c o n d o r c e t 方法来协助判断其它选举程序的 优劣。他们在理论上探讨许多( 或者所有) 可以让c o n d o r c c t 方法产生优胜的卷 宗，假设这个优胜是最具有代表性的当选者，然后比较其它选举程序产生其它优 胜( 也就是不够恰当的结果) 的机率如何。结果，在比较过的各种选举程序当中， 最容易不符合c o n d o r c e t 优胜的选举程序，就是现在最常用的“一人一票相对多 数制”。 虽然c o n d o r c e t 和b o r d a 的争辩开启了选举理论，也为后代的学者铺设了研 究的方法和典范。不过他们并没有替“公平”下一个定论，当然也就不能讨论什 么选举程序最“公平”。这个问题，还要再等1 6 6 年，在二十世纪中叶，出现了 一一个令人难受但是却被普遍接受的结论。 到第二次世界大战以后，随着政治民主化，经济市场化，军事现代化，竞技 科学化等进程的步伐加大，群体决策的理论框架逐渐形成。1 9 4 4 年v o nn e u m a n n 和m o r g e n s t e r n 利用微分方程组提出了对策论用以研究群体选举问题。1 9 4 8 年由 b l a c k d 首次提出群体决策( g r o u pd e c i s i o n m a k i n g ) 这一明确的概念 3 。1 9 5 1 年 诺贝尔经济奖得丰美国经济学家k e n n e t hj a r r o w ( 阿罗) 在他的名著社会选择 与个人价值( s o c i a lc h o i c ea n di n d i v i d u a lv a l u e s ) 中提出了著名的不可能性定理： 人们通常依据常识认为社会选择的方法理应满足以下一组理性的条件( 或称阿罗 公理) ： 第一、广泛性( 即无约束域条件u ) ：个人对备选方案的所有逻辑上可能 的偏好排序都是许可的，目个人的理性选择具有完全性和传递 性。 5 一 浙江大学硕士论文第二章综述 第二、 一致性( t i pp a r e t o 准则p ) ：若社会所有成员都认为一种备选方案 优于另一种，则社会也应如此认为。 第三、 独立性( 即无关备选方案的独立性条件i i a ：i n d e p e n d e n c eo f i r r e l e v a n ta l t e r n a t i v e s ) 原来有两个备选方案，现在又添加一个备 选方案，则人们对原来两个备选方案的偏好排序不受新备选方案 的影响。比如，布什、克林顿、佩罗三个人竞选，布什和克林顿 之间的排序不应受到布什跟佩罗之间的排序的影响； 第四、非独裁性( 即非独裁性条件d ：n o n d i c t a t o r s h i p ) ：社会中不应该存 在一个独裁者，使其个人偏好总是自动成为社会偏好而不管其他 人的偏好与他是如何地不同。 后来，证明过程有所修正，上述条件也略有变化。这些条件似乎是那样自然 而合情合理，以至人们常把它们当成社会选择方法应满足的不言而喻的公理。但 是a r r o w 却证明了不存在任何一种社会选择的方法能同时满足上述四个条件。 这就是著名的“a r r o w 不可能性定理” 4 。 a r r o w 的不可能性定理是群体决策研究的一个里程碑，正如“绪论”中所提 到的社会选择理论研究的许多重要成果是与a r r o w 的开创性工作及b u c h a n a n 的 工作密切相关的。到目前为止还有许多人沿着这一方向进行工作，且已深入到更 为具体的技术性问题，如选择路径问题等。而现代的集体决策理论的研究都与 c o n d o r c e t 的陪审团定理一脉相承。c o n d o r c e t 的陪审团定理最先阐明了在选择正 确方案的问题上，多数决策规则下的群体的绩效优于单个群体成员的平均绩效 1 。 到了2 0 世纪7 0 年代以后，群体决策研究主要由两类学者沿两条不同的途径 进行：一个途径是社会心理学家通过实验的方法，观察分析群体相互作用对选择 转移的影响；另一条研究途径是经济学家对个体偏好数量集结模型的研究。妥协 ( c o m p r o m i s e ) 、谈判( n e g o t i a t i o n ) 和群体决策理论( g r o u pd i s c u s s i o nt h e o r y ) 在7 0 年 代和8 0 年代期间取得了相当的发展。群体决策在信息收集、信息处理、方案结 果的评价以及产生新的方案等方面比个体决策有许多重大的优势，同时也有一些 不可避免的缺点。8 0 年代，群体决策理论研究和方法应用发展到了一个新的阶 段，群体决策理论拓展为几个不同而又有相互联系的几个研究领域：偏好分析、 一6 一 浙江大学硕士论文第二章综述 群体效用理论、社会选择理论、委员会决策理论、投票理论、一般对策论、专家 评估分析、量化因子集结、模糊群体决策理论、经济均衡理论以及群体决策支持 系统( g d s s ：g r o u pd i s c u s s i o ns u p p o as y s t e m ) 等等。9 0 年代由于计算机技术、网 络通讯技术的发展，为消除或减少决策个体之间信息交流的障碍提供了可能，群 体决策的绩效也得到了较大的改善。群体决策支持系统成为当时研究的热点 5 。 近年来对群体决策中的集体决策过程的研究主要集中在决策群体成员的决 策能力、决策群体规则、决策群体中的交流、决策群体的结构和权重以及决策规 则等因素上。这蝗因素对集体决策的绩效有重大的影响。集体决策的绩效其实还 与备选方案个数、决策时间限制等因素有很大关系，但这方面的研究目前相对来 说还比较少 1 。 本文准备对“限制决策时间和决策者个数但备选方案个数很多”的集体决策 情形进行一些有益的尝试性研究，优化集体决策的过程。 2 2 群体决策的经典理论模型 本节将对历史上群体决策领域出现的经典理论模型加以分类整理。 2 2 1 社会选择理论模型： 社会选择中的个体是追求自身利益最大化，彼此之间一般存在利益冲突，在 一定程度上，社会选择过程实际上是在一定决策规则下进行的博弈过程。 7 “a r r o w 不可能性定理”是现代社会选择理论最基本最经典的定理。下面给 出“a r r o w 不可能性定理”的数学描述及证明。 首先整理出一些基本定义： 翥濑；缀偏好断面 偏好断面( p r e f e r e n c ep r o f i l e ) 亦称偏好分布( p r e f e r e n c ed i s t r i b u t i o n ) ，是由个体 的偏好序共同构成的。r 表示决策个体f 对社会备选方案集z = x l ，x 2 ，x 3 ， 的排序。用与p ( 或者。，一) 分别表示r 的“无差异偏好关系”和“优于 偏好关系”。社会中n 个成员的一个偏好断面为： “= ( r 1 ，r 2 ，r 。) 用胄。( ) 表示成员f 定义在备选方案集x 上的所有偏好序的集合，则社会 一1 一 浙江大学硕士论文第二章综述 中刀个成员的所有偏好断面的集合为： u = u = ( r l ，r 2 ，r 。) i v i n ，r t r ，( x ) 懑瓣弱序 设r 为定义在备选方案集x 上的二元关系，当目仅当r 满足自反性、完备性和 传递性时称r 为弱序。 其中自反性是指：v x x ，x r x 。即每个备选方案与其自身都可比而且无差异。 完备性是指：v x ，y x ，有x 砂或y 舭。即备选方案集中任意两个方案都是可比的。 传递性是指：v x ，y ，：x ，若螺y 上l 皿，且l 忆如。 黼黼弱序集 弱序集w ( x ) 是决策者对备选方案集x 进行形这。评审排序过程后得到的 一个群体决策弱序结果： ( ) ：x j 肜( x ) 瀵瀵；麓la r r o w 社会福利函数 a r r o w 社会福利函数( a r r o ws o c i a lw e l f a r ef u n c t i o n ：s w f ) 就是从偏好断 面集u 到弱序集r v ( x ) 的函数，即 厂：u - - ) 缈( x ) a r r o w 在定义社会福利函数时，假定决策个体的偏好序都是自反、完备和传 递的弱序，即偏好断面集u 为： u = u = ( r 1 ，r z ，b ) l v i n ，r ，肜( x ) 燃黼无约束域条什u 设l i 3 ，| x i 3 ，a r r o w 社会福利函数的定义域为： u = 缸= ( r 。，r ：，民) i v i n ，足( x ) ) u 意味着对决策个体的选择没有任何约束，同时决策个体的偏好也不具有任何倾 向性。 一8 一 浙江大学硕士论文第二章综述 蠹溱黼p a r e t o 准则p 设x ，y x ，若v i n ，有x e , y ，n x p y 。 p 表明集体对备选方案的排序r 应具有一致性：当所有决策个体都认为一种备选 方案优于另一种时，那么整个集体也应如此认为。 獾麓添l 无关备选方案的独立性条件i i a v x ，y x ，有rp 7 = 厂( rp ) 。 其中r p ”，r ip 分别表示决策群体和决策个体f 对方案集 x ，y ) 的排序。 r ) 表示一个偏好断面。 i i a 表明对任意两个备选方案的排序rr 应仅取决于决策个体对这两个备选 方案的排序，而与其它备选方案的排序无关。 懑黝灏非独裁性条f i ：d 3 i n ，觇，y x ，辜暑啦y ，贝0 x 砂 d 表明个体偏好的集结过程中不应存在独裁者。 i 鬻鬻l 獭决定集 给定厂( ) ，设s n ，v r i ) u ， ( 1 ) 设x ，y x ，若v i s ，x e , y 且v f n s ，y e , x ，有妒y ，则称s 为x 优于y 的决定集： ( 2 ) 若v x ，y x ，s 是x 优于y 的决定集，则称s 为决定集： ( 3 ) 设x ，y j ，若v i s ，x p , y ，有毋，则称s 为x 优于y 的完全决定集。 a r r o w 不可能性定理之证明思路： 已知定义在无约束域u 上的a r r o w 社会福利函数厂( ) 是 f ：u 一形( x ) 假设厂( ) 满足p a r e t o 准则和无关备选方案独立性条件，只要证明厂( ) 不满足非 独裁性条件，即证明决策集体中存在独裁者，则a r r o w 不可能性定理得证。 一9 一 浙江大学硕士论文第_ 章综述 a r r o w 不可能性定理之证明： 4 】 有关证明该定理的方法已经有很多种，这里给出的是根据 7 、 8 】二文整理出的 比较清晰明了的证明方法。整个证明分1 0 个步骤进行。过程如下： 步骤1 如果对于某一备选方案对 x ，y c x ，s c n 是x 优亍确决定集，那么对于任何备 选方案z x ，s 是蹴于：的决定集。同理，对于任何备选方案z y ， s 是z 优于舶决定集。 证明：对于任何备选方案z x ， ( 1 ) 若z = y ，则显然成立。 ( 2 ) 若z y ，考虑满足如下条件的偏好断面： v i s ，妒理z ； v i n s ，y p , 嬲x 。 由于s 是x 优于y 的决定集，所以 x p y 在上述偏好断面中，v i n ，y e z ，由p a r e t o 准则可得 y p z 再由传递性得：x p z 。 综上所述，对于任何备选方案z x ，s 是砒于珀日决定集。 同理对于任何备选方案z y ，s 是z 优于y 的决定集。 步骤2 如果对于某一备选方案对“y c x ，s c n 是x 优t - # , j 决定集，并且z 是第三个 备选方案，那么v 国x 且z ，s 是z 优于0 3 以及m 优于z 的决定集。 一1 0 浙江大学硕士论文第二章综述 证明：由步骤l 得对于任何备选方案2 x ，s 是x 优于z 的决定集，对于备选方 案对 x ，z ) 匕x 和备选方案彩再运用步骤1 可得对于v 国x 且口z ， s 是优于z 的决定集。 同理对于备选方案对 z ，砖c x 和备选方案运用步骤l 可得对于 v 出x 且国zs 是= 优于的决定集。 步骤3 如果对于某一备选方案对x ，_ y ) 亡，scn 是x 优二j i 珀q 决定集，则s 就是决定 集。 证明；可由步骤2 以及存在某个不同于x 与) ，的备选方案z x 推出。 设v ( v ，c o c x 。如果v = 减国= z ，那么步骤2 可直接推出结论；如果 v z 且z ，运用步骤2 可推出s 是批于的决定集，再运用步骤1 对于备选方案对 z ，) c x 和备选方案v 可推出对于1 ，国， s 是v 优于的决定集。 由此得证s 是决定集。 步骤4 如果s c 和r c n 是决定集，那么s n t 也是决定集。 证明：设v x ，y ，z ) cx ，考虑满足如卜条件的偏好断面： o ) v i s ( s n t ) ，碣弼x ： v i s n t ，x p # p y ； v i t ( s n r ) ，y p , 川z ； v i ( s n t ) ，y 毕e , x 。 由于s = s ( s n t ) u ( s n t ) 是一个决定集，所以 浙江大学硕士论文第二章综述 z p y 同理，由于丁是一个决定集，所以 x p z 再由传递性得：x p y 由x p y 和无关备选方案的独立性推出s n r 是x 优于y 的决定集，再根 据步骤3 得知s n 丁是一个决定集。 步骤5 对于任意s n ，s 或者n s 是决定集。 证明：设v x ，y ，z ) x ，考虑满足如下条件的偏好断面： v i s ，鸩z y ； v i n s ，y 霉x p , z 。 ( 1 ) 若x p y ，由无关备选方案的独立性条件可得：s 是 工优于y 的决定集，再根据步骤3 得知s 是一个决定集。 ( 2 ) 若y p x ，则由p a r e t o 准则推出x p z ，再i - e h 传递性得y 助。 由y 尸2 和无关备选方案的独立性推出s 是y 优于z 的决定集，再根 据步骤3 得知s 是一个决定集。 步骤6 如果sc 7 n 是决定集，并且sc 7 t c n ，那么r 也是决定集。 证明：假设r 是决定集，由步骤4 得s n ( t ) = a 也是决定集。 而a 不可能是决定集。所以n t 不是决定集。 由步骤5 得( r ) = t 是决定集。 一1 2 浙江大学硕士论文第二章综述 步骤7 如果scn 是决定集，并且包含一个以上的个体，那么存在一个严格子集 s c s ，使得s 也是决定集。 证明：假设he s ，如果s h ) 是决定集，那么已经得证；如果s m 不是决定 集。由步骤5 推出：( s 协) = ( s ) u h 是决定集。再由步骤4 推 出： h ) = s n ( ( s ) u 而) ) 是决定集。由于 田是s 的一个严格子集，因 此得证。 步骤8 存在一个h n ，使得s = 哪是决定集。 证明：可以反复运用步骤7 得证。 步骤9 如果s c n 是决定集，那么对于v ( 工，y ) c x ，s 是x 优于的完全决定集。 证明：只需证明如下命题即可： 命题对于任意的偏好断面，v r c s ，若 v i s ，皿y ； v i t ，皿y ； v i n ( s u t ) ，理x ， 则x 砂。 设x ，y ，z x ，考虑满足如下条件的偏好断面： o v i s ，绵绵y ； v i t ，x r y p i z ： 1 3 浙江大学硕士论文第二章综述 v i ( s u r ) ，理盟x 。 由于s n 是决定集，因此z p y ； 由步骤6 推出s u t 也是决定集，因此x p z ； 由传递性可得x 缈。最后由x p y 和无关备选方案的独立性条件可得命题 成立。 步骤1 0 如果对某个h n ，s = 胁是决定集，那么h 是独裁者。 证明：如果s = h 是决定集，由步骤9 可得 厅 对于任何叫尤_ 于是完全的决定 集。再根据独裁者的定义可知h n 是一个独裁者。 【证明到此结束。】 在社会选择理论的研究中，a r r o w 不可能性定理的尖锐性和深刻性是前所未 有的。它不仅触及了当代政治生活和经济机制中敏感而深刻的社会问题，揭示了 个人理性与集体理性问的矛盾，而且对此后5 0 余年里社会选择理论的研究和发 展产生了根本性的影响。目前社会选择理论的研究基本上形成了两大理论框架结 构，即a r r o w 的社会福利函数框架( a r r o w 不可能性定理) 和s e n 的社会选择函数 框架( s e n 个人主权不可能性定理) 9 。1 0 。11 ，12 ，这些规范性研究极大地推动 了社会选择理论的发展 4 。然而社会选择理论的研究涉及面广、不确定因素多， 目前还有相当多的不足与缺陷，需要人们进一步研究和探索。 2 2 2 集体选择理论模型： 集体决策是假设决策个体拥有同一个目标，彼此之间不存在利益冲突，决策 目标主要是为了提高决策效率，增加决策整体绩效。 如前一节所述现代的集体决策理论的研究都与c o n d o r c e t 的陪审团定理一脉 相承。c o n d o r c e t 的陪审团定理最先阐明了在选择正确方案的问题上，多数决策 一1 4 浙江大学硕士论文第二章综述 规则( 所谓多数决策规则即备选方案经过决策者两两比较后相对于其它备选方案 得票最多的方案1 6 ) 下的群体的绩效优于单个群体成员的平均绩效。即如果决 策个体的选取是随机的，那么其人数越多，其判决发生错误的概率就越小，因为 随机发生的错误将相互抵消，而真理将最终保存下来。这一观点也是本文第三章 建模研究的基础。下面给出c o n d o r c e t 陪审团定理的模型： 5 设n 个决策个体按多数决策规则对集中的方案进行评价。尼是n 个成员的 在多数决策规则下得到的群体评价结果，该指标得分最高者获选。 设p 是决策个体的判断能力，群体的整体决策能力为p 群体= p ，若露是奇 数，= + 1 ) 2 ：若九足偶数，r = n 2 。这里决策者的选择是相互独立的， 因为如本文绪论中所述集体决策理论研究的是个体之间没有利益冲突( 或利益冲 突可以忽略1 的群体决策过程。则群体评价结果为： z z c ：= 砉 ：j p c - p ，”一 当1 2 p 1 时，晶随n 单调递增，且l i m p g = 1 ； 一 v - - - 0 0 当0 p 1 2 时，最随门单调递减，且l i m = 0 ： 。 n 当p = 1 2 时，尼= 1 2 。 对决策个体判断能力是相互独立的群体，如果群体决策能力1 2 p 1 ，随着n 增加，多数决策规则的群体判断精确度将提高，而且收敛速度也提高；反之，当 0 p 1 2 ，群体判断的精确度随, 减小而降低：当p = 1 2 时，尼= 1 2 。 不过现实中后两种情况很少出现，因为我们要评审一批材料，一般情况都会选一 些素质高的专家进行集体评审，他们整体的决策能力p 群体( 1 2 ，1 ) 。所以专家 群体中决策个体人数越多，其判决发生错误的概率就越小。 2 2 3 专家评审相关理论模型： 专家匿名评审材料是集体决策中一个典型的实例。近年来研究主要集中在决 策成员的决策能力、决策成员间的交流、决策群体的结构、决策者之间不同的权 一1 5 浙江大学硕士论文第二章综述 重 1 9 2 2 。2 3 以及决策规则等因素上，因为这些因素对