（管理科学与工程专业论文）随机博弈模型的数值方法与应用.pdf

博士后研究报告中文摘要 随机博弈模型的数值方法与应用 程永红 ( 复旦大学管理科学与工程博士后流动站) 中文摘要 ( 经典的风险决策分析方法是基于v o nn e u m a n n - m o r g e n s t e r n 的期望效用 理论的。期望效用理论是建立在严格的公理结构体系上的，比如说它要求对 偏好的传递性、独立性，保持对概率测度的线性性等。但在对经济人的行为 分析中，我们不难发现这些要求一般是难于满足的；基于此，一些经济学家 对v o nn e u m a n n - m o r g e n s t e r n 的期望效用理论进行了拓广和改造。f i s h b u r n 效 用函数理论便是其中的一种。它能更合理地刻划经济人的行为偏好，导致对 不确定性下的经济行为风险决策更广泛的讨论。美国当代经济学家m a c h i n a 在他的一篇风险决策分析的综述报告中就着重指出，对f i s h b u r n 广义效用函 数理论的研究和应用是经济学发展的一个主流方向，是对经济学家和数学家 具有挑战性的工作 7 堑荔( 在 。了 博弈论中，与f i s h b u m 广义效用函数理论密切相关的是随 机博弈论均衡理论。自2 0 世纪六七十年代以来 由于被广泛地应用于大型的 社会经济系统、交通设计、区域经济和博弈论中，复杂系统决策均衡问题的 理论和方法e t 益受到人们的重视。( 它在博弈论中最直接的应用，便是一般经 济均衡理论。经济均衡是现代经济学理论的核心。它最早是在十九世纪末期， 以w a l r a s 和p a r e t o 为代表的经济学家创立和提出来的。古典的博弈论经济 均衡模型n a s h 均衡体现了战略对策行动的稳定状态，是排除了不确定因素下 的一个理性选择模型。工，矿7 f 但是，在决策分析、经济学的实际应用中，均衡模型中的数据往往带有” 噪音”，即它们的值满足特定的分布；也就是说，我们面临的决策系统往往是不 确定性的、随机的。例如，在对航空公司的收益管理上，管理者面临着激烈 博士后研究报告中文摘要 的竞争市场，有来自其他运输行业比如说铁路公司的竞争，有其内部不同航 线服务质量的竞争，还有来自其他航空公司的竞争。这样，其成本、需求和 决策系统本身，都会由于主客观因素的波动而带有随机性。对由于各种随机 性导致的风险决策分析，是管理学和经济学乃至应用数学研究工作者必须考 虑的。而目前的各种均衡数学模型方法忽视了数据的随机特征，在方法论t 和实际应用上，这是一个致命的缺雕彰7 在博弈论中，随机博弈最早是由诺贝尔 经济学奖获得者h a r s a n y i 在1 9 6 7 年和1 9 6 8 年提出并加以研究的。但由于随 机博弈模型自身的复杂性，以及由于研究工具的不完善性，对它研究的成果 在国内外都少见发表；特别是，对随机博弈均衡模型行之有效的求解方法和 对其解的特征表示，目前几乎还是空白。因此，如何对不确定性下的复杂系 统决策问题建模和求解，进而应用到经济学中的风险决策分析中，已成为运 筹学、管理科学和经济学中的一个重要的研究领域。 基于以上的考虑，作者的博士后研究工作，对以下三个方面问题进行了 尝试性的研究： 1 、研究基于特定分布的消费者偏好结构下的随机均衡模型问题解的特征 表示、有效的迭代算法，在这一领域的理论研究上取得了些具有教高难度 的成果。 2 、研究变量摄动下的无限维标量型、向量型随机均衡问题模型解的灵敏 度分析。 3 、利用前面的结果，结合f i s h b u r n 广义效用函数理论，对消费者的行为， 消费均衡的需求函数的性质进行刻划，从而为对研究消费者对风险的喜好、 厌恶程度以及风险随机控制等打下了理论基础。，l 7 7 r 、 在本课题的研究中，我们结合效用函数理论，把概率论随机过程理论引 用到博弈论均衡问题模型中来，寻求行之有效的求解迭代算法，并应用于在不 确定性下的后勤管理、投资决策、国民经济计划的风险决策分析。本课题的 研究，在理论上，使搏弈论均衡理论得到了丰富和完善；在实际应用上，更 加贴近经济生活，适用于优化决策。这使本课题的研究具有定的学术价值 和应用前景。 博士后研究报告中文摘要 本研究报告共分五部分。 i 第一章包括两节内容。首先，我们对期望效用理论的研究历史做一个回 顾和分析，指出v o nn e u m a r m m o r g e n s t e r n 的期望效用理论的优点和不足； 然后，我们特别介绍f i s h b u r n 等广义效用函数理论产生和发展的必然性，指 出它能更合理地刻划经济人的行为偏好，可以导致对不确定性下的经济行为 风险决策更广泛、更合理的讨论。 第二章，我们讨论在f i s h b u r n 效用函数下的消费者的均衡消费的需求函 数( 集合值映射) 的性质刻划。 我们首先给出了作为集合值映射下的需求映射的上半连续性。众所诸知， 在经济学中，需求映射的上半连续性是保证需求均衡存在的一个最基本的条 件。 然后，我们证明了消费者需求集的闭性和凸性，以及需求函数的零次齐 次性，即当消费者的财富、市场的价格以相同比例增加时，消费者的预算约 束并没有改变，从而均衡需求不会改变。特别地，我们还证明了在一定的条 件下，作为单值的需求函数的连续性。 我们可以在本研究报告对广义需求函数性质讨论的基础上，进一步就消 费者对风险的喜好、厌恶程度以及风险随机控制等进行研究。 第三章，我们对( 向量) 均衡模型解进行稳定性、灵敏度分析。我们分 别给出了保证均衡解的上半连续性的充分条件，和保证均衡解的下半连续性 的充分必要条件。从经济学解析，它反映的是：当消费者的偏好( 用效用函 数表示) 和其消费集发生变化时，其消费均衡随即如何变化的情况。 在第四章里，我们主要对随机均衡模型的解给出了迭代算法，证明了这 个算法的可行性和收敛结果。这为随机博弈均衡模型应用的实施打下了理论 基础。 在实际的经济管理决策中，我们几乎都要同时要考虑多个目标。有时， 这些目标还是互相冲突的，这使得问题变得更复杂了。为了更好地对多个目 博士后研究报告中文摘要 标均衡解进行描述，我们非常有必要建立多目标模型。多目标( 向量) 优化 方法是由经济学家wp a r e t o 最早提出的，它是同时处理和权衡多个目标的最 主要的方法之一。在本研究报告的第五章，我们考虑多目标决策下的随机均 衡模型解的存在性和解集合的连通性质。对多舀标随机均衡模型理论和应用 的研究还有许多工作要做。它是多个学科交叉的研究领域，具有相当的难度， 但对它的研究必定是管理科学、经济学和随机运筹学中的热点。 本研究报告，是我在博士后工作期间所做的专题“随机博弈均衡理论” 研究成果的部分汇总。本研究的一些结果，在一定意义上具有原创性，为本 领域的后续研究准备了好的基础。 关键词：堕扭搓l 弈，夔旦函数，塑煎塑题，查垄丝! 毽塞壁坌堑， 丝蟛。 ， 一 e q u i l i r i u mf o rs t o c h a t i cg a m em o d e l e q u i l i b r i u mf o rs t o c h a s t i cg a m em o d e l s ：n u m e r i c a lm e t h o d sa n d a p p l i c a t i o n s a b s t r a c t ： c h e n gy o n g h o n g ( f u d a nu n i v e r s i t y ) d i r e c t e db y ：p r o f e s s o rz h ud a o l i t h et h e o r i e so fj o h nv o nn e u m a ma n do s k a rm o r g e n s t e r nf o rp r e f e r e n c ec o m p a r i s o n su n d e rr i s ka n do ff r a n kp r a m s e ya n dl e o n a r dj s a v a g e f o rp r e f e r e n c ec o m p a r i s o n su n d e r u n c e r t a i n t yh a v eb e e nw i d e l ya d o p t e d a st h e q u i n t e s s e n t i a lp a r a d i g m s f o rr a t i o n a ld e c i s i o n m a k i n g i nt h ef a c eo f u n c e r t a i n t y t h e i re x p e c t e d ( 1 i n e a r ) u t i l i t ym o d e l sh a v e p r o f o u n d l ya f f e c t e de c o n o m i ca n a l y s i s ，r i s ka s s e s s m e n t ，a n ds t a t i s t i c a ld e c i s i o nt h e o r y o v e rt h ep a s th a l fc e n t u r y t h e r eh a sb e e na g r o w i n ga w a r e n e s s - s t i m u l a t i o nl a r g ep a r tb ym a u r i ca l l s i s sw o r ki nt h ee a r l y1 9 5 0 s t h a tp e o p l e sr e a s o n e dj u d g m e n t so f t e nv i o l a t et h e b a s i ca s s u m p t i o n so fe x p e c t e du t f l i t y n u m e r o u ss t u d i e sh a v ed e m o n s t r a t e d t h a ts u c hv i o l a t i o n st e n dt of o l l o ws y s t e m a t i ca n dp r e d i c t a b l ep a t t e r n s i n v e s t i g a t o r sh a v et h e r e f o r ep r o p o s e da l t e r n a t i v et h e o r i e so fr a t i o n a lp r e f e r e n c e t h a ta c c o m m o d a t es y s t e m a t i cd e p a r t u r e sf r o me x p e c t e du t i l i t yw h i l er e t a i n i n gm u c h o fi t sm a t h e m a t i c a le l e g a n c ea n dc o m p u t a t i o n a lc o n v e n i e n c e m a n y ( t h o u g h n o ta 1 1 ) o ft h o s ef o r m s & r ef l e x i b l ee n o u g ht oe x h i b i tt h ep r o p e r t i e so f s t o c h a s t i cd o m i n a n c ep r e f e r e n c e ，r i s ka v e r s i o n r i s kp r e f e r e n c e ，a n dt h ef i s h i vw o r kr e p o r tf o rp o s t d o c t o r a lr e s e a r c h ，f u d a nu n i v e r s i t y b u r nf o r m sh a v ep r o v e nt ob ep a r t i c u l a ll yu s e f u lb o t ht h e o r e t i c a l l ya n de l n p i r i c a l l y t h ee q u i l i b r i u mp r o b l e ma r i s e sf r o mt h eg a m em o d e l so fe n g i n e e r i n ga n d s o c i o - e c o n o m i cs y s t e m s i tc o n t a i n sa ss p e c i a lc a s e sf o ri n s t a n c eo p t i m i z a t i o np r o b l e m ，p r o b l e m so fn a s he q u i l i b r i u m ，c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m s ，f i x e d p o i n tp r o b l e m sa n dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s i ta l s oc a n b ee m p l o y e dt os t u d y t h em a t h e m a t i c a le c o n o m i ct h e o r y o u rm o t i v a t i o nf o rs t u d y i n gt h es t o c h a s t i ce q u i l i b r i u mp r o b l e m ss t e m s f r o mt h ep r a c t i c a ls i g n i f i c a n c eo ft h i sc l a s so fm a t h e m a t i c a lm o d e l sa n dt h e l a c ko f8s o l i dt h e o r e t i c a lb a s i sf o rt h et r e a t m e n to ft h e s ep r o b l e m s d e s p i t e t h es u r g eo fi n t e r e s ti na n di m p o r t a n c eo ft h es t o c h a s t i ce q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，n oe x i s t i n gw o r kp r o v i d e ss u c hg e n e r a l i t y , d e p t ha n dr i g o r i ti s t h e p r i m a r yo b j e c t i v eo ft h i sp o s t d o c t o r a lr e s e a r c hr e p o r tf o rp r o v i d e at e n t a t i v e s t u d yf o rt h es t o c h a s t i ce q u i l i b r i u mp r o b l e m st h a tw bh o p e w i l li n s p i r ef u r t h e r a p p l i c a t i o n sa n dr e s e a r c ho nt h i si m p o r t a n tp r o b l e m ， t h i st h e s i sc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s c h a p t e r1 i n t r o d u c e st h ee x p e c t e du t i l i t yt h e o r ya n dt h ef i s h b u r ng e n e r a l i z e du t i l i t yf u n c t i o n ad e t a i l e dr e f e r e n c e sa b o u tu t i l i t yt h e o r i e si s a l s o r e p r e s e n t e di nt h i sc h a p t e r i nc h a p t e r2 ，w et r yt od i s c u s st h ec o n t i n u o u sp r o p e r t i e s ( u p p e rs e m i c o n e q u i l i x i u mf o rs t o c h a t i cg a m em o d d s v t i n u i t ya nl o w e r c o n t i n u i t y ) o ft h ei n d i v i d u a ld e m a n dm a p p i n g f o rc o n s u m e r s e q u i l i b r i u mw i t ht h ef i s h b u r nu t i l i t yf u n c t i o n c h a p t e r3d e a l sw i t hs t a b i l i t yp r o p e r t i e so ft h ee q u i l i b r i u ms o l u t i o ns e t s f o rv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e ms y s t e m s s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sg u a r a n t e e i n gt h e c o m p a c t n e s s ( e l o s e d n e s s ) ，t h eu p p e rs e m i c o n t i n u i t y o ft h ee q u i l i b r i u ms o l u t i o n s e tm a p p i n g0 2 ep r e s e n t e d w ea l s op r o v i d eac o n d i t i o nt h a ti sb o t hs u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r yf o rt h el o w e rs e m i c o n t i n u i t yo ft h ee q u i l i b r i u ms o l u t i o ns e tm a p 。 p m g - i nc h a p t e r 4 ，w ew i l ld e v e l o pa n i t e r a t i v em e t h o df o rs o l v i n gt h es t o c h a s t i c g e n e r a l i z e de q u i l i b r i u mp r o b l e m s i nt h et a s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c es t o c h a s t i cv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s w h i c h g e n e r a l i z ee q u i l i b r i u mp r o b l e m sb yi n c o r p o r a t i n gp o s s i b l eu n c e r t a i n t i e s i nt h ep r o b l e md a t a w ee s t a b f i s ht h ee x i s t e n c er e s u l to fs o l u t i o n sa n dp r o - v i d eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nw h i c hg u a r a n t e e st h ec o n n e c t e d n e s sp r o p e r t y o ft h e s o l u t i o ns e t k e yw o r d s ： s t o c h a s t i cg a m e ，u t i l i t yf u n c t i o n ，e q u i l i b r i u mp r o b l e m ， e x i s t e n c e ，s t a b i l i 瓴i t e r a t i v ea l g o r i t h m e q u i l i r i u mf o rs t o c h a t i eg a m em o d e l s 1i n t r o d u c t i o nt on o n l i n e a r u t i l i t y f u n c t i o n s 1 1d e c i s i o nt h e o r ya n du t i l i t yf u n c t i o n d e c i s i o n t h e o r yp e r t a i n st o h u m a nd e c i s i o nm a k i n gi naw o r l do f i n c o m p l e t e i n f o r m a t i o na n di n c o m p l e t eh u m a nc o n t r o lo v e re v e n t s d e c i s i o nt h e o r yp o s i t s t w op l a y s ：ac o g n i t i v eh u m a na n dar a n d o m i z i n gn a t u r e t h eh u m a n ，c a l l e d t h ed e c i s i o nm a k e r ，p e r f o r m sa n a l y s i s ，m a k e sc a l c u l a t i o n s ，a n dc o g n i t i v e l yd e - c i d e su p o nac o u r s e so fa c t i o ni na ne f f o r tt oo p t i m i z eh i so rh e ro w nw e l f a r e t h em e t a p h o r i c a ln a t u r ei sn o n c o g n i t i v e ，d o e sn o tp e r f o r ma n a l y s i so rm a k e c a l c u l a t i o n sa n dd o e sn o tc h o o s ec o u r s e so fa c t i o ni na n ys e l f - i n t e r e s t e dw a y r a t h e r ，n a t u r eb l i t h e l ys e l e c t sc o u r s e so fa c t i o np u r e l yi nap r o b a b i l i s t i cw a y d e c i s i o nt h e o r yp o s i t st h a tt h eh u m a nd e c i s i o nm a k e rb r i n g st ot h er e s o l u t i o no fad e c i s i o np r o b l e mb e l i e f sa n dp r e f e r e n c e s s p e c i f i c a l l y , t h et h e o r y p r e s u m e st h a tt h ed e c i s i o nm a k e rp o s s e s s e sap r o b a b i l i t ys y s t e m t h a tc a p t u r e s h i so rh e r ( p a r t i a l ) b e l i e f sa b o u tn a t u r e ss e l e c t i o no fs t a t e s ，ab e l i e fs y s t e m a b o u tt h eo u t c o m e sa c c r u i n gt ot h ep e r f o r m a n c eo v e rt h eo u t c o m e s d e c i s i o nm a k i n gi sc o m p o s e do fat w os t e pp r o c e s s f i r s t ，t h ea c t sa r e o r d e r e d ，a n ds e c o n dt h e ”b e s t ”a c ti ss e l e c t e d t y p i c a l l y , t h ef i r s ts t e p i s c o m p l e t e db ya s s i g n i n gan u m b e r t oe a c ha c t ，a n dt h e nu s i n gt h ec o m p l e t e 2w o r kr e p o r tf o rp o s t d o c t o r a lr e s e a r c h n l d a nu n i v e r s i t y o r d e r i n gp r o p e r t yo ft h er e a ln u m b e r st oo r d e rt h ea c t s i ft h eo u t c o m e sa r e ”g o o d s ，”l i k eg a i n s ，i n c o m e ，e t c ，t h e nt h eb e s ta c ti st h ea c tw i t ht h eh i 曲e s t n u m b e rc o n t r a r i w i s e ，i ft h eo u t c o m e s8 r e ”b a d s ，”l i k el o s s e s ，c o s t ，e t c ，t h e n t h eb e s ta c ti st h ea c tw i t ht h es m a l l e s tn u m b e r t h em o s tp o p u l a rr u l ef o rd e c i s i o nm a k i n gu n d e rr i s ki st h em a x i m u m e x p e c t e dv a l u er u l e h e r et h ed e c i s i o nm a k e re m p l o y st h ei d e n t i t yf u n c t i o n u ( x ) = 。，a n dt h e r e b ya d o p t st h ea t t i t u d eo f r i s kn e u t r a l i t y t h em a x i m u me x p e c t e dv a l u er u l er e p r e s e n t sr a t i o n a l i t yi nt h ef o u o w i n g w a y , s u p p o s e t h ed e c i s i o nm a k e rh a sac o h e r e n ta n dc o n s i s t e n tp r e f e r e n c e o r d e r i n go v e rt h eo u t c o m e s ，a n ds u p p o s et h ed e c i s i o nm a k e r a l s oh a sp r o b a - b i l i t i e so v e rt h es t a t e so fn a t u r e i ft h ed e c i s i o nm a k e ra s s i g n st oe a c ha c tt h e e x p e c t e dv a l u e o ft h ea c t ，t h e nt h ep r e f e r e n c eo r d e r i n go v e rt h eo u t c o m e sw i l l b er e p r e s e n t e di nt h en a t u r a lo r d e r i n go ft h ee x p e c t e dv a l u e s m a n ye x a m p l e s s h o wt h a tt h em a x i m u m e x p e c t e d v a l u er u l ed o e sn o tm o d e l t h eb e h a v i o ro fap e r s o nw h o i sa v e r s et or i s k t om o d e ls u c hb e h a v i o rw em u s t i n t r o d u c et h en o t i o no fau t i l i t yf u n c t i o nt oa c c o u n tf o rr i s ka t t i t u d e i nt h e m e a nt i m e ，h o w e v e r ，w ew i l lc o n t i n u ew i t ht h em a x i m u me x p e c t e dv a l u er u l e b e c a u s ei ts i m p l i f i e st h ep r e s e n t a t i o no ft h ee c o n o m i ct h e o r yo fi n f o r m a t i o n t h em a x i m u m e x p e c t e dv a l u ei se x t e n d e dt ot h em a x i m u m e x p e c t e du t i l i t yr u l eb ye m p l o y i n gan o n l i n e a ru t i l i t yf l m c t i o nt or e p r e s e n t t h ed e c i s i o n m a k e r 8a t t i t u d et o w a r dr i s k t h eb a s i ca t t i t u d e sb e y o n dr i s kn e u t r a h t ya r e e q u i | i r i u mf o rs t o c h a t i cg a m em o d e l s 3 r i s k a v e r s i o n ，u s u a l l yv i e w e da nt h ek e y s t o n eo fm i d d l ec l a n sn o r m a l c y , a n d r i s kp r e f e r e n c e ，u s u a l l yv i e wa na na b n o r m a l i t y ( f i s h b u r na n dk o c h e n b e r g e r 1 9 7 9 ) a sw en o wk n o w ，t h em a j o r i t ya t t i t u d et o w a r dr i s ki sah y b r i do ft h e s e b a s i ca t t i t u d e s u t i l i t yt h e o r yh a se v o l v e do v e rt h er e c e n tc e n t u r i e sa n dt h ec o n t e m p o r a r y f o r mo ft h et h e o r yw a s d e v e l o p e di nr e s p o n s et ot h ew o r ko fd a n i e lb e r n o u l l i ( 1 7 3 8 ) t h e r e i nd a n i e lb e r n o u l l is o l v e dt h ep u z z l e ，k n o w na st h es t p e t e r s b u r gp a r a d o xi s a sf o l l o w s c o n s i d e ras i m p l eg a m ep l a y e dw i t haf a i rc o i n w h e r et h ec o i ni sf l i p p e du n t i li fc o m e su pt a i l s ，w h e r e u p o nt h eg a m et e r m i n a r e s t h ep a y o f ft ot h ep l a y e ri s $ 2i ft h es e q u e n c ei sh t ，$ 4i fh h t ，$ 8 i fh h h t ，a n ds of o r t h t h u st h ep l a y e rr e c e i v e s $ 2 “i ft h es e q u e n c ei s 礼h s f o l l o w e db ya t t h ee x p e c t e dm o n e t a r yv a l u eo ft h eg a m ei sa ni n f i n i t es u mo fl sa n d t h e r e b yi n f i n i t e t h e r e f o r e ，i ft h ev a l u eo fag a m ei si t se x p e c t e dv a l u e ，t h e n ar a t i o n a li n d i v i d u a lw o u l db ew i l l i n gt op a yav e r yl a r g ea m o u n t ，i n d e e da n y f i n i t ea m o u n t ，t op l a yt h eg a m e h o w e v e r ，n i c h o l a sb e r n o u l l io b s e r v e dt h a t m o s ti n d i v i d u a l sp l a c eas m a l lf i n i t ev a l u eo nt h eg a m e d a n i e lb e r n o u l l i ，i n r e s p o n s et oh i sc o u s i n so b s e r v a t i o n c o n c l u d e dt h a tt h ec o r r e c tv a l u eo f a g a m e i sn o tt h ee x p e c t e dm o n e t a r yv a l u e ，b u tr a t h e rt h ee x p e c t e du t i l i t y - o f - m o n e y v a l u e ，a n dt h a tt h eu t i l i t yo f w e a l t hf u n c t i o ni sn o tl i n e a r m o r es p e c i f i c a l l y , b y ”a r g u i n gt h a ti n c r e m e n t a lu t i l i t yi si n v e r s e l yp r o p o r t i o n a lt oc u r r e n tf o r t u n e 4w o r k r e p o r tf o rp o s t d o c t o r a lr e s e a r c h f u d a nu n i v e r s i t y ( a n dd i r e c t i yp r o p o r t i o n a lt ot h ei n c r e m e n ti nf o r t u n e ) ，b e r n o u l l ic o n c l u d e d t h a tu t i l i t yi sal i n e a rf u n c t i o no ft h el o g a r i t h mo fm o n e t a r yp r i c e ，a n ds h o w e d t h a ti nt h i sc a s et h em o r a le x p e c t a t i o ni s f i n i t e ”( z a b e l l1 9 9 0 ) a l t h o u g h b e r n o u l l im a d eam i s t a k e si nt h ed e t a i l s ，t h ei d e at h a tu t i l i t yo fw e a l t hi sn o t h n e a ri nw e a l t hi st h em a j o rc o n t r i b u t i o n v a r i o u sf o r m so ft h eu t i h t yo fw e a l t hf u n c t i o na r eo fh i s t o r i c a li n t e r e s t i n c l u d i n gt h ef o l l o w i n g ： t h eq u a d r a t i c f u n e t i o n ：u ( x ) = a + b x c z 2 f o r8 ，b ， 0 t h el o g a r i t h m i cf u n c t i o n ：u ( z ) 一l o g ( x + b ) f o r6 ，1 t h en o r m e de x p o n e n t i a lf u n c t i o n ：u ( x ) = a ( 1 一e k ) f o ra ，b o ；a n d t h en o r m e dl o g i s t i cf u n c t i o n ：v ( x ) = p + k 】【l + e a + k lf o ra ，b 0 t h ep r i m a r ya t t i t u d e st o w a r d sr i s ka r er i s kn e u t r a l i t y , r i s ka v e r s i o n ，a n d r i s kp r e f e r e n c e t h ed e c i s i o nm a k e ri sr i s kn e u t r a li f rt h eu t i l i t yf u n c t i o nu i s h n e a r ，i e ，i f fu ( z ) 0a n du ”( $ ) = 0f o ra u 茹t h e d e c i s i o nm a k e ri sr i s k a v e r s ei f ft h eu t i l i t yf u n c t i o nui sc o n c a v e ，i e ，i f f , u 。( z ) 0a n du ”( z ) 0a n du ”( 茹) 0f o ra l lx r i s ka v e r s i o ni sg e n e r a l l yv i e w e dt ot h et h em o s tc o m m o na t t i t u d et o w a r d t a s k t h em o s tr e c e n tw o r ko nu t i l i t yt h e o r yh a sb e e nb a s e do ne x p e r i m e n t a l e v i d e n c e i tf o c u s e so nt e s t i n gt h ef o r m a la c c o u n to fu t i l i t ya n dt h er d a t e d d e c i s i o n a n dg a m e t h e o r e t i cm o d e l so fw h i c hi ti sap a r t ，t h i sw o r kh a s e q u i l i r i u mf o rs t o c h a t i cg a m em o d e