（运筹学与控制论专业论文）线性分式形式参数不确定多时滞广义系统的鲁棒控制.pdf

一 at h e s i si no p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s 删删 r o b u s tc o n t r o lo fm u l t i - - t i m ed e l a ys i n g u l a r s y s t e m s w i t hl i ne a rf r a c t i o n a lp a r a m e t r i c u nc er t a i n t i e s b yl i ux i a n g f u s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rx i n gw e i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j a n u a r y2 0 0 8 ； j -11 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的 研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：( 弃午福 日 期：刃彦年1 只f 多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文 的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名：否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： ： - 东北大学硕士学位论文 摘要 线性分式形式参数不确定多时滞广义系统的鲁棒控制 摘要 时滞现象在实际工程问题中是普遍存在的，如通讯系统、生物系统、化工过程以及 电力系统中均存在时滞。时滞的存在使得系统的分析与综合变得更加复杂和困难，同时 时滞的存在也往往是导致系统不稳定和系统性能变差的根源。因此，时滞系统的研究引 起了人们的极大关注。广义系统是一类更一般化，并有着广泛应用背景的动力系统。 自七十年代以来，广义系统理论的研究已经取得了长足的进展，许多正常系统的结论被 相继地推广到广义系统中；近几年，广义系统受到了广泛地注意，得到了一些重要的结 果。提出了一些解决方法。本文主要研究了具有线性分式形式参数不确定性时滞与多时 滞广义系统的鲁棒稳定和镇定与保性能控制问题。主要内容概括如下： ( 一) 针对一类状态多时滞参数不确定范数有界的广义系统，研究了此系统的鲁棒 稳定和鲁棒镇定问题。论证了此系统广义二次可稳的充分必要条件，得到容易检验的严格 线性矩阵不等式的可行性问题且不含等式约束，并给出时滞无关的鲁棒控制器。 ( - - ) 研究了具有线性分式形式参数不确定的时滞广义系统鲁棒镇定。得到了广义 二次稳定和二次镇定的充分必要条件推广和改进了具有范数有界参数不确定时滞广义 系统的结论。 ( - - ) 利用线性矩阵不等式方法研究了具有线性分式形式参数不确定的广义时滞系 统的状态反馈和静态输出反馈保性能控制问题，给出了控制律存在的一个充分条件和保 性能指标，且控制律可由一严格线性矩阵不等式的解表示。 ( 四) 研究了具有线性分式形式参数不确定的多时滞广义系统鲁棒镇定。得到了广 义二次稳定和二次镇定的充分必要条件。推广了具有线性分式参数不确定时滞广义系统 的结论。 文中每章后面都有数值算例，以说明文中方法的正确性和有效性。 关键词：多时滞系统；线性分式参数；保性能控制；广义系统；线性矩阵不等式：鲁棒 稳定和镇定 - i i 一 f ， 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t r o b u s tc o n t r o lo fm u l t i - t i m ed e l a ys i n g u l a r s y s t e m s w i t hl i n e a rf r a c t i o n a lp a r a m e t r i c u n c e r t a i n t i e s a b s t r a c t t i m ed e l a ya r i s e sq u i t en a t u r a l l yi ni n d u s t r i a la n de n g i n e e r i n gs y s t e m s ，s u c ha s c o m m u n i c a t i o ns y s t e m s ，b i o l o g i c a ls y s t e m s ，c h e m i c a ls y s t e m sa n de l e c t r i c a ln e t w o r k s t h ee x i s t e n c eo fd e l a ym a k e st h es y s t e ma n a l y s i sa n ds y n t h e s i sb e c o m e m o r e c o m p l i c a t e da n dd i f f i c u l t m e a n w h i l e ，d e l a yi sf r e q u e n t l yas o u r c eo fi n s t a b i l i t ya n d p e r f o r m a n c ed e g r a d a t i o ni nm a n yd y n a m i cs y s t e m s ，a n dt h u sc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o nh a s b e e np a i dt ot h er e s e a r c ho nt h es t a b i l i t ya n a l y s i sa n dc o n t r o l l e rs y n t h e s i so ft i m e - d e l a y s y s t e m s s i n g u l a rs y s t e mi sak i n do fd y n a m i cs y s t e mo fm o r eg e n e r a la n d a b r o a d a p p l i e db a c k g r o u n d i th a sb e e nd e v e l o p e ds u f f i c i e n t l yf r o m19 7 0 s ，a n dm a n yr e s u l t si nt h e n o r m a ls y s t e mh a v eb e e ne x t e n d e dt os i n g u l a rs y s t e m s i nr e c e n ty e a r s ，t h ei n v e s t i g a t i o no f s i n g u l a rs y s t e m sh a sa t t r a c t e dal o to fa t t e n t i o n , a n ds o m es i g n i f i c a n tr e s u l t sh a v eb e e n o b t a i n e d a n ds o m en e wm e t h o d sa r ep r e s e n t e d t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h ep r o b l e mo f r o b u s ts t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o nf o rac l a s so ft i m e d e l a y e da n dm u l t i t i m ed e l a ys i n g u l a r s y s t e m sa n dg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lw i t hl i n e a rf r a c t i o n a lf o r mp a r a m e t e ru n c e r t a i n t y t h e m a i nc o n t e n tm a yb e s u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) t h ep r o b l e mo fr o b u s ts t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o nf o ru n c e r t a i nc o n t i n u o u sd e s c r i p t o r w i t hs t a t et i m e - d e l a y e di ss t u d i e d p a r a m e t r i cu n c e r t a i n t yi sa s s u m e dt ob en o m lb o u n d e d n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rg e n e r a l i z e dq u a d r a t i cs t a b i l i z a t i o na r eo b t a i n e d ，w h e n t h el m ii ss a t i s f i e d ad e s k e dr o b u s ts t a t ec o n t r o l l a ww i t h o u tt i m e - d e l a yc a nb ec o n s t r u c t e d ( 2 ) t h ep r o b l e mo fr o b u s ts t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o nf o rac l a s so ft i m e - d e l a v s i n o u l a r s y s t e m s 、历也l i n e a rf r a c t i o n a lp a r a m e t r i cu n c e r t a i n t i e si sp r e s e n t e d n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rg e n e r a l i z e dq u a d r a t i cs t a b i l i t ya r ed e r i v e d t h er e s u l t sg e n e r a l i z ea n di m p r o v e p r e v i o u sw o r k s o nd e l a y e ds i n g u l a rs y s t e m sw i t hn o r l t l b o u n d e dp a r a m e t r i cu n c e r t a i n t i e s ( 3 ) i ti sa d d r e s s e dt h er o b u s tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lp r o b l e mb a s e do ns t a t e - f e e d b a c ka n d s t a t i c o u t p u tf e e d b a c kf o rt i m e d e l a y e dd e s c r i p t o rs y s t e mw i t h l i n e a rf r a c t i o n a lf o r m i i i 东北大学硕士学位论丈 a b s t r a c t u n c e r t a i n t i e s v i al m ia p p r o a c h ( 4 ) t h ep r o b l e mo fr o b u s ts t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o nf o rac l a s so fm u l t i t i m ed e l a y s i n g u l a rs y s t e m sw i t hl i n e a rf r a c t i o n a lp a r a m e t r i cu n c e r t a i n t i e si sp r e s e n t e d n e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rg e n e r a l i z e dq u a d r a t i cs t a b i l i t ya r eo b t a i n e d t h er e s u l t sg e n e r a l i z e a n di m p r o v ep r e v i o u sw o r k so l lt i m e d e l a y e ds i n g u l a rs y s t e m s 、析t hl i n e a rf r a c t i o n a l p a r a m e t r i cu n c e r t a i n t i e s n u m e r i c a le x a m p l e sa g eg i v e na tt h ee n do fe a c hc h a p t e rt os h o wt h ev a l i d i t yo fe a c h r e s u l t k e yw o r d s ：m u l t i t i m ed e l a ys y s t e m s ；l i n e a rf r a c t i o n a lp a r a m e t e r ；g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l ； d e s c r i p t o rs y s t e m ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) ；r o b u s ts t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o n i v 东北大学硕士学位论文目录 目录 独创性声明- 摘要 a b s t r a c t 第一章绪论 i i i 1 1 时滞：l 1 1 1 时滞系统的应用背景及其研究意义l 1 1 2 时滞系统的研究现状及方法2 1 1 3 不确定时滞系统的鲁棒控制3 i 2 鲁棒控制4 1 2 1 鲁棒控制技术的发展4 1 2 2 现代鲁棒分析及设计方法5 1 2 3 不确定模型7 1 3 广义系统。8 1 3 1 广义系统8 1 3 2 广义系统与正常系统的区别与联系9 第二章参数不确定多时滞广义系统的鲁棒镇定l o 2 1 引言1o 2 2 问题描述与准备。1o 2 3 主要结论1 l 2 4 数值例子l7 2 5 结论。19 第三章线性分式形式参数不确定时滞广义系统的鲁棒镇定2 0 3 1 问题的描述和准备2 0 3 2 主要结论和证明2 2 3 3 数值例子2 5 第四章线性分式参数不确定时滞广义系统的保性能控制2 6 v 4 1 状态保性能控制。2 6 4 1 1 问题描述及引理。2 6 4 1 2 控制律设计方法2 8 4 1 3 数值例子。31 4 1 4 结论31 4 2 静态输出保性能控制3 2 4 2 1 问题描述3 2 4 2 2 控制器设计方法3 3 4 2 3 数字例子3 7 4 2 4 结论_ 38 第五章 线性分式参数不确定多时滞广义系统的鲁棒镇定 3 9 5 1 问题的描述和准备3 9 5 2 主要结论和证明。3 9 5 3 数值例子 5 4 结论。 ；_ 4 第六章 结论与展望4 5 6 1 结论4 5 6 2 展望。 参考文献 致谢 4 6 4 7 5 l 攻读硕士学位期间发表的论文5 2 东北大学硕士学位论丈绪论 1 1 时滞 第一章绪论弟一早z 百t 匕 滞后在系统中是普遍存在的l 卜引，如在化工、液压、轧钢等系统中都具有时滞。此外， 对许多大时间常数的系统，也常用适当的小时间常数加纯滞后环节来近似，这都可以归 结为时滞系统模型。一般地，一个系统中原料或信息的传输也往往导致时滞现象的产生。 因此，通信系统、传送系统、化工过程系统、冶金过程系统、环境系统、电力系统等都 是典型的时滞系统。时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加复杂和困难，同时时滞 的存在也往往是系统不稳定和系统性能变差的根源。正是由于时滞系统在实际中的大量 存在，以及时滞系统分析和控制的困难性，使得时滞系统的分析和综合一直是控制理论 和控制工程领域中研究的一个热点问题。其中，中立型系统是一类广泛存在于工程实践 中的时滞系统，受到众多专家与学者的关注和青睐m 。 时滞系统由于其固有的复杂性，给控制系统分析与设计问题带来很大的困难，尤其 是在系统存在时变不确定性的条件下使控制问题更加复杂。现代数学，控制理论和计算 机技术的迅速发展为不确定时滞系统的研究提供了强有力的工具。近几十年来，许多专 家、学者作了很多努力，对具有参数不确定摄动和具有时滞的鲁棒控制问题进行了广泛 的研究，获得了相当一批成果1 6 q j 。实际的动力系统总是存在滞后现象。从工程技术、物 理、力学、控制理论、化学反应、生物医学等中提出的数学模型带有明显的滞后量。用 传统的微分方程去描述系统的状态只是一种近似，必须符合精度的要求才行，否则将导 致错误。随着高新技术的发展，在实际工程中对控制系统不断提出新的要求，且对系统 模型及对控制其设计的要求越来越高。而且时滞是系统不稳定的一个重要因素，因而引 起了国内外学者对时滞系统的广泛重视。 1 1 1 时滞系统的应用背景及其研究意义 时滞系统是用泛函微分方程来表达的，时滞微分系统有着广泛的应用，它涉及许多 学科中的众多领域，如人口理论、医学问题、生物学、经济问题、自动控制理论、物理 东北大学硕士学位论文绪论 学等。鉴于时滞在系统中的普遍存在性，且是系统不稳定的重要因素，加之许多时滞系 统是慢系统，单纯利用补偿的办法并不能保证系统稳定，因此研究时滞系统有很重要的 理论意义和应用前景。 1 1 2 时滞系统的研究现状及方法 1 9 5 9 年以后，无论是一般的泛函微分方程或者是较具体的微分差分方程，其发展都 是非常迅速的；在解的基本理论、稳定理论、周期解理论、振动理论、解算子理论、分 子理论等许多方面都出现了重要的成果。7 0 年代以后，无穷时滞和无界滞量的泛函微分 也跟着兴起，发展非常迅速。8 0 年代中期以前，对时滞系统的研究只有零星的报道，到 9 0 年代才逐渐热了起来，出现了大量的研究成果。近两年，才有作者把时滞系统控制问 题作为单独的章节著述在控制理论的专著里i 旧川 由于他们研究的模型不尽相同，研究的方法和途径更是多种多样，想要全面而准确 地描述不确定时滞系统的鲁棒控制的研究概况几乎是不可能的。同时，由于模型上的差 异以及考虑问题的出发点不同，因而很难对各种不同的方法做出孰优孰劣的判断对时 变不确定时滞系统的研究大体可分为鲁棒控制与自适应控制两个主要方向简而言之， 鲁棒控制是指设计确定的控制器以保证系统时变不确定条件下的闭环控制是针对对象的 变化通过修正模型与控制律以达到控制要求。因而不确定时滞系统的鲁棒控制已受到很 多学者的重视并显示出较高的研究价值与广泛的工程应用前景1 1 2 j 纵观时滞系统的研究和发展，有两条主要研究途径即时域方法和频域方法两大类。 由于时域分析方法在处理时滞系统，尤其是不确定时滞系统方面具有很大优势。时滞系 统的时域分析方法越来越成为时滞系统尤其是不确定时滞系统f 包括系统矩阵的参数不 确定性以及时滞本身的不确定性) 稳定性分析以及控制器综合的主要方法。时域分析方法 克服了频域分析不能处理时变和参数摄动的不中，而且具有方法简单、易于计算等优点， 使其在实际工程应用中更加具有优势。近年来有关不确定时滞系统的结论基本上都是用 时域的分析方法取得的。时域方法用的最多的是l y a p u n o v 直接设计方法。从二十世纪六 十年代开始，l y a p u n o v 第二方法开始被用来处理线性系统的控制问题，接着该方法也很 快被引入到时滞系统的分析设计中来，l y a p u n o v 方法逐渐成为人们手中处理时滞系统的 有力武器。l y a p u n o v 方法的优点主要体现在两个方面，其一是方法统一，所有问题几乎 最后都转化为一个类r i c a a t i 方程的求解；其二是处理范围广泛，不管是参数摄动还是时 - 2 - 东北大学硕士学位论丈 绪论 变时滞系统，都可以处理，这是其它方法做不到的。因此，l y a p u n o v 方法在工业实际中 有着广阔的应用前景。 利用l y a p u n o v 方法对时滞系统的研究结果可以分为两大类：时滞独立结果1 1 3 j 和时 。滞依赖结果i 引。所谓时滞独立结果，是指所得结论都是独立于时滞大小的，即允许系统 的滞后为无穷大，而对系统滞后的变化率一般都作小于l 的假设。相反的，时滞依赖结 果是跟系统滞后的大小有关，所得结论中包含时滞的信息。显然，当实际系统的滞后很 小时，时滞无关结论肯定是非常保守的。可以说，l y a p u n o v 第二方法的出现给控制理论 的研究注入了新鲜的血液，使得许多原本很难解决甚至没法解决的问题有了解决的可能。 特别是对于时变系统以及非线性系统的研究，l y a p u n o v 方法显示出强大的优越性。然而 在采用该方法分析系统稳定性等问题的时也需要相当的经验和技巧，特别的，构造出一 个适当的l y a p u n o v 函数是- - n 艺术，这在一个侧面也反映了其无规律可寻。然而这并不 能减少l y a p u n o v 方法的魅力，它仍将是处理各种控制问题的首先方法。 代数方法即频域响应法，是基于l y a p u n o v 第一方法的，即对于时不变系统，若系 统的所有特征值位于复平面的左半平面内，那么该系统是渐进稳定的。也就是说，要求 系统的所有特征值有负实部。 1 1 3 不确定时滞系统的鲁棒控制 鲁棒控制理论于2 0 世纪8 0 年代初形成和发展，目前已经取得了大量的研究成果， 成为控制科学的一个重要分支。时域方法是鲁棒控制理论研究中最活跃的一个分支，内 容十分丰富，鲁棒分析和时域鲁棒镇定是两个主要的方面。在时域鲁棒分析中，l y a p u n o v 方法得到了广泛的应用。其一般思想是针对不确定状态空间对象，选择一个合适的 l y a p u n o v 泛函，然后基于范数的概念得到鲁棒稳定界限。由于l y a p u n o v 方法的充分性， 所得结果优劣常常取决于l y a p u n o v 函数选取的好坏，但到底用什么方法以确保所选的 l y a p u n o v 泛函能够满足要求，迄今为止仍不清楚。近年来，基于l y a p u n o v 稳定性理论 的r i c c a t i 方法被进一步推广至时滞系统，用于解涣不确帘时滞系统的鲁棒镇定问题，也 取得了许多与不确定系统相对应的结论。 另一方面，近十年发展起来的以控制理论是目前解决鲁棒控制问题比较成功且比 较完善的理论体系。自从1 9 9 4 年韩国学者l e ej h 在时域中基于状态空间模型，利用 r i c c a t i 不等式方法提出时滞系统无记忆也控制器设计问题以来l h j ，时滞系统的也控 - 3 东北大学硕士学位论文 绪论 制问题的研究取得了长足的发展，成为近年来虬控制领域的热点研究课题之一；并取得 了丰硕的研究成果【1 5 , 1 6 。 1 2 鲁棒控制 近年来，鲁棒控制已成为控制理论和应用的重要研究方向之一。鲁棒控制的目的是 要寻找一种反馈控制，使闭坏系统的特性( 如稳定性和动态特性) 不受建模误差和不可 测揉动等不确定因素的明显影响。如果确定的反馈控制律不但具有鲁棒性，而且可使某 一性能指标最优( 或次优) 则称为鲁棒最优( 或次优) 控制。 1 2 1 鲁棒控制技术的发展 鲁棒控制技术的发展大体上可以分为两个阶段。第一阶段，大约从1 9 2 7 年至1 9 7 5 年，成为古典鲁棒控制阶段。这一阶段主要考虑系统的某一性能或品质对系统参数变化 的灵敏度1 9 4 5 年，b o d e 等人提出的方法解决了权衡高增益和动态稳定性之间的关系， 引入了微分灵敏度函数来分析系统参数摄动对系统性能的影响【 】从1 9 2 7 年至1 9 6 0 年， 可以称为灵敏度设计时期，主要针对单变量系统的稳定性、噪声抑制等进行了大量研究。 1 9 6 0 年至1 9 7 5 年，是鲁棒控制技术第一阶段的状态变量时期在这一时期中，最 优控制等现代控制理论获得了飞速发展，但对被控对象的不确定性缺乏足够的重视。也 有一些学者，如c r u z 和p e r k i n s i 。8 1 ，于1 9 6 4 年针对多变量系统的分析，提出了灵敏度比 较矩阵的概念，将单变量系统的灵敏度函数分析方法推广到多变量系统。此后，人们发 展了许多基于灵敏度分析的设计方法，提出了轨迹灵敏度，性能指标灵敏度和特征向量 灵敏度问题。d a v i s o n 提出了不变内模原理，可以研究无穷小扰动对系统结构稳定性的影 响1 1 9 1 此外还有7 _ 舳e s 的小增益原理1 2 0 j 和k a l m a a 关于l q 状态反馈控制律鲁棒性的工 作1 2 ，使系统的鲁棒分析和设计取得了显著的效果。 从总体上说，鲁棒控制技术第一阶段的工作主要考虑无穷小摄动对系统的影响。实 际上，系统参数是不能视为不变或具无穷小摄动的。系统工作环境的改变，参数的变化， 模型的不精确、降阶近似、非线性因素等，均可等效视为一种参数扰动，有时系统的工 作状态也要发生变化。当用同一控制器该对象时，人们把不同工作状态所对应的参数差 别视为一种扰动，而不是无穷小扰动，从而促进了现代鲁棒控制技术的发展，使之进入 4 东北大学硕士学位论文绪论 第二阶段，称为现代鲁棒控制阶段。 现代鲁棒控制的任务，是使系统在有界参数扰动下，具有性能保持的能力，其分析 和研究主要集中在两类方法上。一种研究对象是闭坏系统的状态矩阵或特征多项式，多 采用代数方法研究。其中心是讨论多项式簇或矩阵簇的稳定性问题，例如，在给定多项 式簇或矩阵簇后，从系统的传递函数或传递函数矩阵出发，判断是否为d 稳定簇；或者， 在给定稳定多项式( 或矩阵) 后，其所在空间给出最大可允许扰动界。研究对象是系统 的传递函数或传递矩阵时，常采用频域的分析和设计方法。这类分析和设计与工程实际 结合得比较好，玩方法就是频域设计中最近发展起来的有力的鲁棒设计工具。 1 2 2 现代鲁棒分析及设计方法 ( 1 ) 鲁棒分析的多项式代数方法 自从r o u t h 和h u r w i t z 建立了著名的稳定判据以来，人们称对应连续系统的稳定多 项式为h u r w i t z 多项式，并以h 表示这种多项式的全体。近代最有意义的进展由俄罗斯 x a p u t o h o b 于1 9 7 7 年得到的结果。哈氏证明了一个具有区间系数的多项式簇为h 稳定的 充要条件为4 个特定的多项式为h 稳定的。其重要意义在于：对于一个参数在大范围内 变化的系统，不再需要检验每个点上系统是否稳定而晶须检查4 个特定点上的稳定性即 可。从而为不确定系统的分析和设计提供了方便的工具。由于哈氏定理仅适用于区白j 多 项式的稳定性，即s c h u r 稳定上来。许多研究者从事了这一方面研究，但问题还没有完 全解决。对于一般的d 稳定性，困难就更大了。这方面最好的结果是b u t e t t 的梭边定理， 证明了只要验证参数区域的一维梭边，即可判别整个多项式簇是否d 稳定i 捌。 ( 2 ) 状态空间模型的鲁棒性分析 状态空间模型的稳定鲁棒性分析，系指讨论矩阵簇的稳定鲁棒性。由于矩阵空间与 多项式空间有着本质的不同，故多项式方法中的一些结果很难推广到矩阵空间。例如， 哈氏定理，梭边定理就无法推广到矩阵的情形。对于矩阵簇h 稳定的鲁棒性分析，可以 从特征值社摄动的角度进行讨论。列目前为i 卜对于用状态空闸模型描述的系统，芟稳 定鲁棒性分析的最有效工具是l y a p u n o v 理论，其主要特点是能处理时变不确定性系统。 应用l y a p u n o v 方法讨论矩阵的h 稳定摄动界，主要依据矩阵彳确定的矩阵l y a p u n o v 方 程 a p p a = - q - 5 - 东北大学硕士学位论文 绪论 或利用其他形式的l y a p u n o v 函数的如泛函。由于这种方法常依赖于具体形式的l y a p t m o v 函数，因而所得到的结果较为局限或偏于保守。 甜 应用l y a p u n o v 方法可以直接设计控制器，以镇定具有不确定因素产生的机理和结构 上给出的某些约束条件( 即匹配条件) 进行研究，有益于问题研究的深化和解决。 ( 3 ) 鲁棒分析和设计的频域方法 稳定鲁棒性分析，是鲁棒控制的最基本部分。为了设计能镇定具有给定范围的不确 定性系统的控制器，或能使闭坏系统具有最大稳定裕度的控制器，频域方法取得了不少 成果。 2 0 世纪7 0 年代末和8 0 年代初，反馈控制设计问题经历了一个深刻的再认识过程。 在基于微分方程的状态空间方法占优势多年之后，以输入输出频域分析为基础的设计方 法又重新得到了应有的重视。这一时期出现了一些频域鲁棒分析的重要成果。y o u l a 等人 引入了互质矩阵分式的描述方法f 2 引，r o s e n b r o c k 等人将经典的n q u i s t 稳定性判据推广到 了多输入多输出系统，s a f o n o v 把经典频域设计技术和现代多变量控制方法联系起来，建 立了分析系统稳定性和鲁棒性的一种新的概念体系。 1 9 8 1 年，d o y l e 和s t e i n 以矩阵奇异值为工具，平行地推广了单输入单输出系统b o d e 图设计方法，指出影响系统鲁棒性的原因是系统回差矩阵的奇异值但是，对于结构性 的对象扰动，基于奇异值的稳定性和品质测度通常是很保守的1 9 8 2 年，d o y l e 引入了 结构奇异值的概念，以减少这种方法的保守性，逐渐形成了所谓的p 理论i 川 鲁棒频域设计最近发展起来的另一个有力的工具是风理论，由g a m e s 首先提出。他 认为：基于状态空间模型的l q g 设计方法之所以鲁棒性不好，主要是由于l q g 问题所 使用的积分指标造成的；此外，白噪声模型表示不确定扰动也是不现实的。因此，在假 设扰动属于某一已知信号集的情况下，z a m c s 提出用其相应的灵敏度函数虬范数作为指 标，设计目标是在可能发生的最坏扰动下，使系统的误差在玩范数意义下达到极小，从 而将扰动问题化为求解闭环闭环稳定，并使相应的月二范数指标极小化的输出反馈控制器 问题。 ( 4 ) 性能鲁棒性设计的极小极大法 为了使鲁棒控制真正走向实际应用。除要求系统具有稳定鲁棒性外，还必须保证系 统具有性能鲁棒性。因为稳定鲁棒性常常限制了系统的闭环带宽，从而降低了动态跟踪 性能。对于给定的不确定系统，如何设计鲁棒控制器使得系统具有性能鲁棒性，是一个 6 东北大学硕士学位论文绪论 对控制工程师极富挑战性的课题。对于实际系统，仅满足稳定性要求是不够的，还必须 满足工艺和过程的许多要求，如果说稳定鲁棒性定性问题，则性能鲁棒性是定量问题， - 其研究难度也就大得多了。 自2 0 世纪6 0 年代以来，许多学者研究如何利用对策论的思想进行系统的鲁棒性设 计，逐渐形成了一套设计方法，称为极小极大法( m i n m a x ) 设计方法。其基本思想是把 人们所设计的部分，如系统辨识器、滤波器及控制器，看成对策的一方，而系统不确定 因素则看成对策另一方，对策双方对性能指标的影响是相互矛盾的，设计的目的是尽量 减少扰动对系统性能的最坏影响，即优化扰动下的最坏性能。 1 2 3 不确定模型 研究系统鲁棒性离不开系统的不确定性。在控制系统中，常见的不确定模型有以下 几种： 图1 1 不确定模型 f i g 1 1t h e m o d e lo fu n c e r t a i n t y ( 1 ) 随机模型这种不确定性可以用某种随机分布( 例如高斯正态分布) 来描述， 在许多随机控制的专著中对这种不确定都有详细的讨论。 ( 2 ) 统计模型这种模型与第一种很相近，两者的区别在于统计模型是建立在抽 样调查实验的基础之上的。由于实验的次数和样本的长度都受到限制，而且实验过程往 往受到随机干扰的影响，我们只能得到不确定因素的估计值及其统计特性( 如期望，方 差等) 。这柙模型逋常根据用回归的方法得到，因此也称为回归模型。适应控制是这种不 确定系统的最主要的控制方法 ( 3 ) 模糊不确定模型这种模型通常可用描述自然语言而产生的不确定性，如“远 大于1 0 ，“接近1 0 0 ”等等。描述这种不确定性的方法一般是定义某个集合，而假设不 确定以某种隶属度该集合。基于模糊不确定模型而产生的控制理论模糊控制理论已 - 7 东北大学硕士学位论文 绪论 成为控制理论中相对独立的一个分支而受到广泛的重视。 ( 4 ) 未知有界不确定性模型这种模型对不确定性的描述是相当“宽松”的，这 里并不需要对不确定因素的随机( 统计) 特性作任何假设，我们通常只认为它属于某个 已知的集合。这种不确定性是鲁棒控制理论研究的对象。 1 3 广义系统 1 3 1 广义系统 广义系统是较线性系统更为一般的系统。现在先简单介绍一下有关广义系统的知 识。 广义系统又称为描述系统、微分代数系统、广义状态空间系统、半状态系统等，是 七十年代初由英国著名控制论专家h h r o s e n b r o c k 针对互联系统首次提出的可用如下 的微分代数方程描述 e ( t ) i = f ( x ，“，f ) y = g ( x ，材，f ) 其中，工，材和，依次表示状态向量，输入向量和时间变量，f ( x ，) 和g ( x ，) 表 示为工，_ 和t 的一维向量函数；e ( ，) r 尤其是线性时不变广义系统有较为简单的 形式，可表示为 臌( ，) = 瓜( ，) + b u ( t ) y = c x ( t ) 其中，x ，“和y 依次为刀维状态，r a 维输入和珀匡输出，e ，彳，召和c 为适当维 数的实数矩阵为了保证上面的广义系统对给定的允许初始状态有唯一解，总假设广义 系统是正则的。早在1 8 6 7 年，w e i e r s t r a s s 就证明了对于正则的广义系统总存在可逆矩阵 尸，q 使得 p 彳d ：f 40 p f n ：f 0 1 一l0 厶，j 。lo j 。 此时系统受限等价于 毫= 4 j c l + b l u ( t ) 0 = x 2 + 岛u ( t ) - 8 - 东北大学硕士学位论文绪论 1 3 2 广义系统与正常系统的区别与联系 广义系统不仅具有形式上与j 下常系统有的显著差别，而且本质上也相去甚远。人们 发现广义系统结构更加复杂，在经济、网络、化工、航空、机械、能源、电力、石油和 ， 通讯等领域有着更广泛的应用。由于对广义系统的战性，所以吸引了国内外数学界、工 程界、物理界、经济界等许多学者的极大研究兴趣且富有挑战性。广义系统具有的不同 于正常系统的特点具体表现为： ( 1 ) 广义系统的解中通常不仅含有正常系统所具有的指数解( 对应于有穷极点) ，而 且含有正常系统解中所不出现的脉冲解和静态解( 对应于无穷极点) ，以及输入的导数项。 而离散广义系统的解，不仅需要k 时刻以前的信息，还需要k 时刻以后的信息，即离散广 义系统不再具有传统意义上的因果性。 ( 2 ) 正常系统的动态阶为”( 等于系统的维数) ，而广义系统的动态阶为q = r a n k ( e ) 。 ( 3 ) 正常系统的传递函数阵为真有理分式阵，而广义系统的传递函数阵通常包含次 数大于1 的多项式矩阵。 ( 4 ) 正常系统的齐次初值问题的解是存在且唯一的。但对于广义系统而言，它的齐 次初值问题的解有可能是不相容的，即：可能不存在解；即使有解，也可能不是唯一的。 ( 5 ) 广义系统具有层次性，一层为对象的动态特性( 由微分或差分方程描述) ，另一 层为管理特征的静态特性( 由代数方程描述) ，而正常系统没有静态特性。 ( 6 ) 广义系统的极点，除了有q = d e g d e t ( s e 一么) 个有穷极点外，还有正常系统不具 有的刀一g 个无穷极点，在这些无穷极点中又分为动态无穷极点和静态无穷极点。 ( 7 ) 在系统结构参数扰动下，广义系统通常不再具有结构稳定性。 ( 8 ) 在最优控制中，许多正常系统的性能指标在广义系统中没有意义或不存在【s i 。 广义系统作为客观系统的更为自然的表示，具有比正常状态空间模型描述更多实际 系统的特征并广泛存在于工程系统中( 如电力系统、生物系统、电子网络、化学反应过 程等) 。然而这类系统往往由于时滞导致其振荡甚至不稳定，因而有必要对它们的稳定性 及控制近仃饼冗，且随看计算机技术的发展及其在控制中的广泛应用，目前广义系统的 研究已经取得了一定的进展1 2 7 2 9 1 ，许多正常系统的结论被相继成功的推广到广义系统 1 3 0 。，比如能控性、能观性、极点配置和l y a p u n o v 方程1 2 8 1 东北大学硕士学位论文第二章参数不确定多时滞广义系统的鲁棒镇定 第二章参数不确定多时滞广义系统的鲁 棒镇定 2 1 引言 与正常系统相比广义系统是更具广泛意义的一类系统。广义系统普遍存在于众多实 际问题中，如电力网络、航空通信、传送化工等系统。经过学者们近三十年的研究已取 得了丰硕的理论研究成果1 1 3 1 , j 。存在于上述系统模型中不可避免的不确定性和时滞使系 统的分析和综合变得更加复杂和困难，同时