（概率论与数理统计专业论文）严格ew序的假设检验问题.pdf

浙江久学颀士学位论文 摘要 随机序是基于随机变量的某些特征( 如分布、期望、方差等) 来比较随机 变量的“大小”或离散程度的一种方法。随机序理论在可靠性理论、经济学、 保险精算、风险决策理论、排队论、统计物理学和流行病学等重要领域有广泛 的应用。如今，随机序是处于蓬勃发展中的研究课题，不断有新的研究问题被 提出。例如，“b e l z u n c ee ta l ( 2 0 0 1 ) ”、“l ie ta l ( 2 0 0 1 ) ”和“e ta l ( 2 0 0 4 ) ” 等对判断存在随机序关系的两个随机变量是否在随机序意义下等价，还是存在 严格随机序关系的假设检验问题进行了研究。本文重点参考了“l i 和s h a k e d ( 2 0 0 4 ) ”及“s o r d o ( 2 0 0 8 ) ”对于e w 序性质的研究，借鉴“b e l z u n c ee ta l ( 2 0 0 1 ) ” 和“l ie ta l ( 2 0 0 4 ) ”的分析方法，对假设检验问题：己知相互独立的非负随机 变量x 和】，满足x 。y ，原假设h o ：x = 甜y ，备择假设h l ：x 刖y ，构造了 一种新的检验方法，证明了检验统计量的渐近正态性，将其与已有的检验方法 进行了比较，为解决该问题提供了新方法和新思路。 本文分为五个部分。 第一章为绪论。简要介绍了随机序理论的背景及应用，以及本文所讨论的 e w 序的定义、性质及应用。同时，对本文所研究问题的研究意义、研究现状进 行了讨论。 第二章，“l ie ta l ( 2 0 0 4 ) ”根据e w 序的定义利用参数忆- r 2 1 - e i x 。一x ：l 度量备择假设h 。偏离原假设日。，其中一，x ：和r ，k 分别是x 和】，的独立的复 制，而e l x 。一x 2 i = 去研x ：2 - x 幢】。第二章中，根据x 和y 之间存在e w 序与样 二 本间距研以：。一x 川。 和 匕：。一k 扎。 的关系，用参数研e ：，一k ：，卜e 墨：，一x ! ：，】 度量h 偏离h 。，以此为基础构造了相应的统计量，然后证明了检验统计量的渐 近正态性，给出了相应的检验准则。 第三章，将两组随机数用新的检验方法进行检验以观察检验效果，另外通过 计算渐近相对功效和势函数，将“b e l z u n c ee ta l ( 2 0 0 1 ) ”和“l ie ta l ( 2 0 0 4 ) ” 浙； ：人学顶卜学f 一沦- ：z i i 中的检验方法与本文提出的新方法进行比较。 第四章，本文的检验方法应用广泛。由于e w 序与t t t 序、n b u e 类寿命分布 关系密切，对于问题：己知x 和y 是相互独立且期望相等的非负连续随机变量， x 丌7 】厂，h o ：x = 丌丁y ，h i ：x 册y ；己知x 是期望有限的非负连续随机 变量，x n b u e ，h 。：x 服从指数分布，h ，：x n b u e 但不服从指数分布， 应用本文提出的新方法进行检验，证明了检验统计量的渐近正态性，并给出检 验准则。 第五章，讨论了i i 取值大于3 时用参数研z ：。一匕扎。 - e x 。一x 川：。 度量日。 偏离。，以此为基础构造检验统计量的情况，以及，7 不取固定自然数的情况。 关键词：随机序、e w 序、检验统计量、渐近正态性、t t t 序、n b u e 类 浙i 1 ：人学硕 ? 7 产f ? ，论文 i i i - - _ - 目_ _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ - - - - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - - - - - _ - _ _ _ - _ - _ - _ - _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - _ _ - _ _ - _ - _ - _ - - _ - - _ - - - _ _ - - - - i i i a b s t r a c t s t o c h a s t i co r d e r sa r ed e f i n e dt oc o m p a r et h es i z eo rv a r i a b i l i t yo fr a n d o mv a r i a b l e s s t o c h a s t i c o r d c r sa r ev a l u a b l et o o l si nm a n yi m p o r t a n tf i e l d s ，s u c ha sr e l i a b i l i t yt h e o r y , e c o n o m i c s ，i n s u r a n c e m a t h e m a t i c s ，t h et h e o r yo fi n d i v i d u a ld e c i s i o n su n d e rr i s k , s t a t i s t i c a lp h y s i c s ，a n de p i d e m i o l o g y s t o c h a s t i co r d e r sa r en o waw e l l - e s t a b l i s h e d t o p i co fr e s e a r c h ，w h i c hi s s t i l li ni n t e n s i v e d e v e l o p m e n ta n do f f e r sm a n yo p e np r o b l e m s i n “b e l z u n c ee ta l ( 2 0 0 1 ) ”l ie ta l ( 2 0 0 1 ) ”a n d “l i e ta 1 ( 2 0 0 4 ) ”，t h e yt e s t e dw h e t h e rt w or a n d o mv a r i a b l e sa r ee q u i v a l e n ti ns o m es t o c h a s t i co r d e ro r o n ei s s t r i c t l y s m a l l e rt h e na n o t h e ri nt h es t o c h a s t i co r d e r i nt h i s p a p e r , t h ep r o b l e m “g i v e nx “yw i t hx a n dya r ei n d e p e n d e n tc o n t i n u o u s n o n n e g a t i v er a n d o mv a r i a b l e s ， t e s t i n gt h en u l lh y p o t h e s i sh 0 ：x = 驯y v s t h ea l t e r n a t i v eh 1 ：x e wy ”i sc o n s i d e r e d an e w t e s ts t a t i s t i ci sd e v e l o p e db yu s i n gt h ep r o p e r t i e so fe x c e s sw e a l t ho r d e ra n dr e s e a r c hm e t h o di n “l ia n ds h a k e d ( 2 0 0 4 ) ”，“s o r d o ( 2 0 0 8 ) ”，“b e l z t m c ee ta l ( 2 0 01 ) ”a n d “l ie ta 1 ( 2 0 0 4 ) ”f o rr e f e r e n c e t h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t yo ft h et e s ts t a t i s t i ci sd e r i v e da n dt h i sp a p e rc o m p a r e st h en e wt e s tw i t h s o m ee x i s t i n gt e s t s i nt h i sp a p e r , n e wt e s tm e t h o da n di d e aa r ed e v e l o p e dt os o l v et h ea d d r e s s e d p r o b l e m t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ： c h a p t e r 1c o v e r ss o m eb a c k g r o u n d sa n da p p l i c a t i o n so fs t o c h a s t i co r d e r sa n ds o m e p r e l i m i n a r yk n o w l e d g ea b o u te x c e s sw e a l t ho r d e r , a n dp r e s e n t ss i g n i f i c a n c ea n dt h ep r e v i o u s i n v e s t i g a t i o n so ft h ec o n s i d e r e dp r o b l e m i nc h a p t e r2 ，“e ta 1 ( 2 0 0 4 ) h a su s e dp a r a m e t e r er , - k i - e i x l - x 2 i a sam e a s u r eo f d e p a r t u r ef r o mt h en u l lh y p o t h e s i s 风t o w a r dt h ea l t e r n a t i v eh 1 i ti sb a s e do nt h ed e f i n i t i o n o fe x c e s sw e a l t ho r d e r , 墨，x 2a n d 一，ea r ei n d e p e n d e n tc o p i e so fxa n dy i tc a nb e d e r i v e dt h a te i x ，一五l = 委e 鼍：一墨：】i nc h a p t e r2 ，e y 3 ：，一墨：， 一e x 3 ：，一x 2 ：， i s u s e da s am e a s u r eo fd e v i a t i o nf r o mt h en u l lh y p o t h e s i st o w a r dt h ea l t e r n a t i v eb a s e do nt h e r e l a t i o n sb e t w e e ne x c e s sw e a l t ho r d e ra n ds a m p l es p a c i n g t h e nt h es t a t i s t i ci sd e v e l o p e d ，a n d a s y m p t o t i cn o r m a l i t yo ft h et e s ts t a t i s t i ca n dt e s t i n gr u l ea r ed e r i v e d i nc h a p t e r3 ，t h es i m u l a t i v ed a t aa r et e s t e du s i n gt h en e wt e s tm e t h o d a n dt h em e t h o d si n “b e l z u n c ee ta l ( 2 0 01 ) ”a n d “l ie ta l ( 2 0 0 4 ) ”a r ec o m p a r e dw i t ht h en e wm e t h o db yc a l c u l a t i n g t h ea s y m p t o t i cr e l a t i v ee f f i c i e n c ya n dp o w e rf u n c t i o r l i nc h a p t e r4 ，t h en e wt e s tm e t h o di sa p p l i e dt ot e s tt h es t r i c tt o t a lt i m eo nt e s tt r a n s f o r mo r d e r a n de x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o ni nn b u ea g i n gc l a s s ，b e c a u s ee x c e s sw e a l t ho r d e rh a sr e l a t i o n sw i t h 浙；1 j ，i 导：颈：学f ? ! 论文 i v - _ _ 目j 目- _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ - - _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ 一i i i1 1i i t o t a lt i m eo nt e s tt r a n s f o r mo r d e ra n dn b u ea g i n gc l a s s t w op r o b l e m sa r ec o n s i d e r e d g i v ex 册】，xa n dya r ei n d e p e n d e n tc o n t i n u o u sn o n n e g a t i v er a n d o mv a r i a b l e sw i t ht h e s a m em e a n s ，t e s t i n g h 0 ：x2 7 玎yv s h l ：x 丌7y ；g i v e nx n b u e ，xi s c o n t i n u o u sn o n n e g a t i v er a n d o mv a r i a b l ew i t hf i n i t em e a n , t e s t i n g o ：xi se x p o n e n t i a lv s h l ：x n b u eb u tn o te x p o n e n t i a l a s y m p t o t i cn o r m a l i t yo ft h e t e s ts t a t i s t i c sa n dt e s t i n g r u l e sa r ed e r i v e d i nc h a p t e r5 ，w ed i s c u s s e dt h es i t u a t i o n st h a tp a r a m e t e re y , , ：。一匕吐。 一e ：。一以- l 。】i s u s e dt om e a s u r ed e v i a t i o nf r o mt h en u l lh y p o t h e s i st o w a r dt h ea l t e r n a t i v e ，w h e r er 4a n dni s n o tag i v e nn a t u r a ln u m b e r k e yw o r d s ：s t o c h a s t i co r d e r s ，e x c e s sw e a l t ho r d e r , t e s ts t a t i s t i c ，a s y m p t o t i cn o r m a l i t y , t o t a l t i m eo nt e s tt r a n s f o r mo r d e r , n b u ea g i n gc l a s s 浙； 人学硕i 学位论之v 符号说明 以 随 j j 【变量x 的期望 e x 2 随机变量x 的二阶矩 仃2 ( )随机变量彳的方差 x ，以总体x 的相互独立的样本 ( x h ，鼍：。)五，以从小到大排列的次序统计量 以与x随机变量序列 以 依概率收敛于随机变量彳 瓦与x随机变量序列 以) 依分布收敛于随机变量x n ( o ，1 )标准正态分布 印( 丁) 基于分布，检验丁的渐近功效 么肛( 互，疋)检验互对疋的渐近相对功效 肛( ，f ) 上x j ( f ( x ) ) d f ( x ) 仃2 ( ，f ) ff ，( f ( 工) ) ，( f ( y ) ) ，( m i n ( x ，少) ) 一f ( x ) f ( y ) d x d y 仃2 c j ，e ， 善n - i 否n - i 露( 考) j ( 考) ( 一丢 吾( _ 扎。一：。) ( 置扎。一x i j 4 i = 1 ；瓯= 2 ，i j 仃2 ( c ，瓯) 兰仃2 ( ，c ) + 圭仃2 ( ，g m ) 门十，竹以+ m 其中，( 甜) 是( o ，1 ) 上的函数， f ( x ) 是非负连续型随机变量彳的分布函数， c ( z ) 是非负连续型随机变量的经验分布函数， g 。( x ) 是非负连续型随机变量y 的经验分布函数。 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得浙j ；i 大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 强堍夫、 签字日期： 叫 年多月巧日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙江大学有权保留并向国家有关部门或机构送交本 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权浙江大学可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：杀吱导师签名： 签字日期：j d 1 年多月) 日签字日期：年月日 致谢 本论文是在导师张奕副教授的精心指导下完成的，感谢张老师对本 论文的各个细节和要点都给予了悉心的指导和帮助。张老师严谨的治学 态度、高度的敬业精神以及敏锐的学术眼光都深深的感染着我。感谢张 老师对我学业上的悉心指导和关心帮助，我的每一点进步都与张老师的 指导和帮助分不丌。在此谨向张奕老师表示衷心的谢意。 在此论文的写作过程中，我曾就各种相关的问题，请教了许多老师， 有些老师原本并不认识我，但是对我提出的问题，无论简单还是复杂， 他们都不厌其烦地一遍又一遍地帮我解答，令我十分感动，特别是林j 下 炎教授、张立新教授、苏中根教授，借此机会谨向他们表示衷心的感谢。 感谢浙江大学理学院数学系的各位老师，感谢他们提供了一个学术 氛围浓厚的学习研究环境以及两年来的谆谆教导。我也要特别感谢张帼 奋副教授、王秀云副教授、赵敏智老师、张荣茂老师、黄炜老师，感谢 他们在学习中给予的教导和帮助。 我还要向一直帮助我的同学表示深深的谢意，感谢他们总是不断地 鼓励我，给予我关心和支持。 第一章绪论弟一早三百形 1 1 随机序简介 1 1 1 随机序概念的引入 实数可以直接比较大小，这是众所周知的。但是，要对随机变量比较大小 就不是那么直观了，随机变量不能直接比较“大小”。然而，实际问题中又往往 需要对随机变量进行大小比较，所以只能在一定的数学意义下对随机变量作量 化比较。随机序讨论的就是随机变量之间的序关系，随机序理论是关于随机变 量“大小”比较的一套理论，利用这套理论可以比较一个随机变量( 或随机向 量) 在一定意义下比另一个随机变量( 或随机向量) 更大或更具波动性。对两 个随机变量进行比较的基本方法是比较两者的期望和方差，这种经典的分析方 法己经被广泛接受和使用，很多学者们提出的用来度量随机变量大小或离散程 度的概念就是基于随机变量的期望或方差得到的。虽然这种分析方法的结果比 较容易通过计算得到和处理，但是却隐含着一些缺陷。一是如果随机变量的期 望或方差不存在，那么该方法就失效了；二是这种仅仅基于两个数字特征基础 上的大小比较容易丢掉随机变量包含的许多原始信息，从而有可能因为信息不 完全而导致产生误差。因此，随机序理论提供了一种比期望和方差分析更一般、 更精确的方法和理论来比较随机变量。 随机变量之间的随机序关系来源于经济学理论中的偏序关系。集合中的偏 序关系定义如下： 定义1 1 ：如果任意一个集合s 上的二元关系“”满足下面三个条件，那么就 称这样的二元关系为一种偏序关系。 ( 1 ) 反身性：任意x s ，x x 。 ( 2 ) 传递性：如果x y 且y z ，那么x z 。 ( 3 ) 反对称性：如果x y 且y x ，那么x = y 。 如果所研究的集合s 是所有实值随机变量的分布函数所组成的集合，那么该集合 上的偏序关系就称为随机序。通常为了讨论方便，并不区分分布函数之间随机 序关系和孝h 应的随机变量之间随机序关系。不同的随机变量可能具有相同的分 布函数，所以随机序关系的反对称性质是针对分布函数的。 最基本的一种随机序就是逐点比较分布函数的大小，称为一般随机序( u s u a l s t o c h a s t i co r d e r ) ，m a n n 和w h i t n e y ( 1 9 4 7 ) 最早应用其研究统计学问题。在应 用于经济理论研究时，一般随机序相当于一阶随机占优，记为脚( 见定义1 5 ) 。 假设随机变量x 的分布函数为f ( x ) ，则p ( x ) = 1 一f ( x ) 是x 的生存函数。 定义1 2 ：随机变量x 和y 如果满足：对于任意t ，瓦( ，) 元( ，) ，其中瓦( f ) 表 示x 的生存函数，那么就称x 在一般随机序的意义下比】，小，记为x 。，y 。如 果瓦( ，) = 丘，( f ) ，则x 和y 同分布，记为x = ，y 。 随机序的定义从不同角度有多种形式，这里介绍有代表性、应用较广的若干 种。由于研究的背景不同或语言上的差异，学者们对随机序概念的命名各有所 好，本文参考原始的命名，尽量采用比较准确和便于直观区别的中文叫法。 根据不同的背景下产生的比较目的不同，随机序可以大体分为两大类。一 类是根据分布来比较随机变量的“大小”程度。如一般随机序、危险率序( h a z a r d r a t eo r d e r ) 、逆危险率序( r e v e r s e dh a z a r dr a t eo r d e r ) 、似然比序( 1 i k e l i h o o dr a t i o o r d e r ) 等。另外，在实际研究中，人们除了需要对随机变量的“大小”程度进 行比较，还需要对随机变量的离散程度进行比较，因为随机变量的离散度刻画 了不确定事件的风险大小。如果用两个期望相等的随机变量表示两项风险投资 的回报，那么每个风险厌恶的决策者都会选择离散度小的那项投资，比较随机 变量离散度的随机序在风险决策中被尤为关注。因此，另一类随机序是用来比 较随机变量的离散程度，统称为离散序( v a r i a b i l i t yo r d e r ) 。如凸序( c o n v e xo r d e r ) 、 增凸凹序( i n c r e a s i n gc o n v e x c o n c a v eo r d e r ) 、分散序( d i s p e r s i v eo r d e r ) 等，都 属于离散序。 定义1 3 ：随机变量x 的分布函数是f ( x ) ，则f 一( p ) = i n f x ：f ( x ) p 称为x 的 分位函数。 定义1 4 ：随机变量x 和】，分布函数分别是f ( x ) 和g ( x ) 。如果任意0 s t ， = ff ( s ) d s f 一( t ) ，则， m ( f 一( p ) ) = 式( p ) ( 1 一p ) 。 ( 2 ) g - f 一1 ( o ) = o ，妣f 似) ( 1 - z ，) ! d u = v a r ( x ) 。 ( 3 ) 假设x 。和义! 是x 的独立的复制，则有f s ：( z ，) 砘，- 寻i x 。一x ! i 。 ( 4 ) 如果x 的失效率定义为r x ( t ) = ( ，) 户( ，) ，则有，任意p ( o ，1 ) ， k c f c p ，= 一 暑sc p ， 。 证明：请参见“f e r n a n d e z p o n c ee ta l ( 1 9 9 8 ) ”。 由引理1 1 的( 2 ) 和( 3 ) 可知，可以用e w 函数来衡量随机变量的离散度。 e w 序的定义与分散序关系密切。“m u n o z p e r e z ( 1 9 9 0 ) ”给出了这样的结论： x a i wy 当且仅当，对任意p ( 0 ，1 ) ，( x 一巧1 ( p ) ) + ，( y - 巧1 ( p ) ) + 。如果比较 ( x 一巧1 ( p ) ) + 和( y - 巧1 ( p ) ) + 期望的大小，而不是比较它们之间的一般随机序关 系，则得到e w 序的定义。 定义1 7 ：x 和】，是期望有限的随机变量，分布函数分别为f ( x ) 和g ( x ) 。如果， 对于任意p ( o ，1 ) ，式( p ) s0 ) 成立，那么称x 在e w 序的意义下比】，小，记 为x 。y 。如果不等式严格成立，即s ( p ) s ( p ) ，那么称彳在e w 序的意义 下严格比y 小，记为x m ( f 一1 ( p ) ) m y ( g 一1 ( p ) ) ，v p ( o ，1 ) 。 ( 3 ) x 。a x ，a 1 。 ( 4 ) 任意实数c ，x 。y 营x + c 。y 。 ( 5 ) 和y 非负，二阶矩存在，x 。yjv a r ( x ) v a r ( y ) 。 ( 6 ) 条件同( 5 ) ，x 。y e i x 。一置i e l f , 一k i ，五，x ：和，匕分别是和 y 的独立的复制。 证明：请参见“f e r n a n d e z p o n c ee ta l ( 1 9 9 8 ) 9 9 。 1 2 2e w 序的应用 e w 序具备的一些性质可以被应用于可靠性理论和经济理论的研究。下面分 别给出几个例子。 例1 1 ：在可靠性理论中，如果非负随机变量x 和y 满足x 。y ，那么由n 个 寿命为x ，y ，的元件组成的并联系统与由n 个寿命为x ，以的元件组成的并 联系统相比，前一系统寿命的均值比后者长，其中，匕独立与y 同分布， x x 。独立与x 同分布。因为，“s h a k e d 和s h a m h i k u m a r ( 1 9 9 8 ) ”给出，由 x 鲫y 可推得x f “y 。如果x f 日y ，并且满足乓1 ( o ) = 巧1 ( 0 ) ，那么有 。衙匕：。成立。因此，由增凸随机序的性质得，e x 。 研艺：。 ，从而得到 相应的结论。( 该例子引自“l ie ta l ( 2 0 0 4 ) 9 9 0 ) 例1 2 ：假设s 是一个生产系统，生产灯泡或电子晶体管等产品，产品的寿命用 非负随机变量x 表示。生产者用一种试用的方法来检验产品的质量以消除产品 过早报销的隐患。让产品处于使用中直到其中p 1 0 0 的产品报销，然后剩余产 品的余命就是( x 一巧1 ( p ) ) + ，所以生产者最后提供的这批产品的平均寿命为 e ( x 一巧( p ) ) + 。假设s 2 是另一个生产相同产品的生产系统，产品的寿命用非 负随机变量】，表示，并且用与s 相同的试用方法来检验产品质量。如果x 例y ， 那么根据e w 序的定义，是最终提供的产品的平均寿命比s ，提供的更长，所以与 生产系统s 相比，更倾向于选择生产系统s 2 来生产该种产品。( 该例子引自 “b e l z u n c ee ta l ( 2 0 0 1 ) 9 9 0 ) 例1 3 ：通常意义的拍卖属于买方竞拍模式，竞价按递增排列，出价最高者获得 商品所有权。相对应的是卖方竟拍模式或招标模式，标价递减排列，标价最低 者赢得服务提供权。拍卖遵循k 价原则，即成交价等于第k 大竞价或第k 小标 价。假设有n 个价( 或竞拍人数) ，竞拍者的估价用非负随机变量x 表示，把竞 沸i ；i ：人学缔ij：。j叫：r论之8 价( 标价) 视为独立同分布的样本x 一，竞价从小到大排列为x 胁一， 则以小，和以。分别是买方竞拍模式和卖方竞拍模式下的成交价。x 。，一x 柑+ ，= ， 和以：。一。：。分别称为两种模式下的获胜者租金。“l i ( 2 0 0 5 ) ”给出，e hx 刚y 可 推得研以。一x 川。】【k ：。一k 1 。 ，将其应用到二价买方拍卖模型中，可得到这 样的结论：若竞拍者的估价在e w 序的意义下递增，那么平均获胜者租金也会随 着递增。( 该例子引自“k o c h a re ta l ( 2 0 0 7 ) ”。) 1 3 问题引入 本文要解决的是这样一个假设检验问题：己知两个独立随机变量之间存在 e w 序关系，检验这两个随机变量是关于e w 序等价的? 还是存在严格e w 序关系? 即在假设x 。y 的条件下，对如下的假设进行检验：原假设h 0 ：x = 。y ，备 择假设h 1 ：x “y 。解决该问题具有理论及实际意义。假设随机变量x “y ， 那么可知，在e w 序的意义下，y 的离散程度不小于彳。如果通过检验得到的结 论是x 与y 关于e w 序等价，那么x 和】，在一定意义下离散程度一样；如果检验 的结论是x 与，存在严格e w 序关系，那么y 的离散度在一定意义下严格大于x 的离散度。实际问题中，假设有两组人，实际生活中同一组人中每个人拥有的 财富量往往是不同，这组人总体财富的差异程度一般很难度量，而两组人各自 的财富差异程度也很难比较。如果把两组人拥有的财富量分别用随机变量x 和 y 表示，那么就可以用e w 序来比较两组人的贫富差异程度，如比较两个国家或 两个城市的居民收入分配的均等程度。若x 。y ，那么】，所代表的这组人的贫 富差距不小于x 代表的那组人。如果通过检验认为x 与y 是关于e w 序等价的， 那么两组人各自的贫富差异程度在一定意义下一样。实际应用中，有时很难确 定作为研究对象的两个随机变量分布函数的具体形式，所以不易通过直接计算 来确定两个随机变量之间是否存在严格的e w 序关系。因此，有必要构造统计学 方法来检验严格e w 序关系。 类似的假设检验问题曾被研究。 “l ie ta l ( 2 0 0 1 ) ”检验了寿命分布函数属于n b u c 类( 定义见第四章) 的非 9 负随机变量x 是否_ l j 【2 从指数分布。文中从n b u c 类寿命分布函数的性质出发，用 e ( 2 x 。- x ! ) x ：度量备择假设偏离原假设，x j ，x ：是彳的独立的复制，以此为基 础构造了u 统计量乩= ( i m zv , ，其中圪，= ( 刀一1 ) 一力( 置，x ，) ，l i n ， i = li 兰i 主” j ， 办( 五，x j ) = 2 x ；x s i 1 ( 墨2 + 一2 ) ，最后构造了检验统计量为门1 1 2 u tr 。2 s ，其中 = ( n - d 一( 圪i 一) 2 。 “b e l z u n c ee ta l ( 2 0 0 1 ) ”构造了一类检验统计量用以检验两个独立的非负随 机变量x 和y 之间的是否存在严格e w 序。文中利用了函数的这样一个性质来构 造统计量：给定一个函数g ：( o ，1 ) 一 o ，o o ) ，则纹( p ) = rg ( s ) 凼是( o ，1 ) 上递增函 数，因此；= f ( 唿( p ) 一终( 印) ) 咖= f j a ( p ) g ( p ) d p o ，口( o ，1 ) ，其中， 六( p ) = 【1 p 一( 1 弘a 口- 1 ) p , o l p a 。然后，文中根据e w 序的定义取g ( p ) = ，( p ) 丘( x ) 出 一( p ，元( x ) d x ，用；度量备择假设偏离原假设，以此为基础构造了检验统计量 ( 焉) 1 2 4 ( x ，y ) 其中。( x ，y ) = 去善只= 鲁) 一：。一i 1 备 片( 鬲i ) 置 只( p ) = 3 2 p 2 ( 1 a - 1 ) - p ( 1 a - 1 ) , o p 【口。 “l ie ta l ( 2 0 0 3 ) ”检验两个独立的非负随机变量彳和y 之间是否存在严格 t t t 序( 定义见第四章) 。文中从t t t 序的定义出发，用f 耳( x ) 出一f 露( x ) 出度 量备择假设偏离原假设，以此为基础构造了检验统计量f 旦1 、i ， i 门+ ，卯， 2 ( e ，g ，) 其中，( 甜) = 2 ( 1 一n z ，( 0 ，1 ) ，( c ，瓯) = 去善，( 嘉心。一去喜，( 熹) z 浙；1 ：j ：。：砸 j 。 f “0 文 1 0 “l ie ta l ( 2 0 0 4 ) ”检验两个独立的非负连续随机变量x 和y 之间是否存在 严格e w 序关系，文中从e w 序的定义出发，用参数m - k - e i x - x 2 l 度量备 择假设偏离原假设，x 。，墨和，匕分别是彳和y 的独立的复制，以此为基础构 造了检验统计量f 旦1 i 2 、 l ，7 + i i l a ( f ，g ，) 其中，j ( u ) = 2 u l ，z ，( 0 ，1 ) ， ( c ，o o ) = 去善c 熹峙去喜，( 熹阱 “l ie ta l ( 2 0 0 4 ) ”中，根据e w 序的定义，分析用来度量偏离h o 的参数 e l f , 一y , - e i x ，- x ：i 可以转化为日k ：一k ：卜e x 王：一x i ：】。本文重点参考了“l i 和s h a k e d ( 2 0 0 4 ) ”和“s o r d o ( 2 0 0 8 ) ”对于e w 序的性质的研究分析，根据两 个随机变量x 和y 之间存在e w 序与随机变量样本间距e x 。一x 州：。 和 研匕：。一匕吐。 的关系( 相关结论请详见第二章) ，用参数e y 3 ：，一k ：，】一研鼍：，一x ：， 度量备择假设日1 偏离原假设日o ，然后，以此为基础，借鉴了“b e l z u n c ee t a l ( 2 0 0 1 ) ”和“l ie ta l ( 2 0 0 4 ) ”的分析方法，构造了相应的检验统计量。本文主 要目的是构造新的统计量来解决严格e w 序的假设检验问题，为解决该问题提供 新方法和新思路。 第二章严格e w 序检验 2 1 构造检验统计量 本文研究的假设检验问题是：已知相互独立的非负连续型随机变量x 和】， 满足x 。y ， 原假设h o ：x = 刖y ，备择假设h l ：x 倒y 。 为了给出上面的假设检验，需要根据e w 序的性质来构造相应的统计量以及相应 的拒绝域。为此，我们需要如下的引理。 引理2 1 ：随机变量x 和y 期望有限。x = 。y x = ，y + c ，c 是某个实常数。 证明：请参见“k o c h a r 和c a r r i e r e ( 1 9 9 7 ) ”。 引理2 2 ：非负随机变量x 和】，期望有限。如果对某个r ，满足， x l 。一，。x ：。一，l r 1 7 一l ， 那么，对这个，j ，e x 川：。一x r ：。】e z + ：。- r r ：。】成立。 证明：请参见“和s h a k e d ( 2 0 0 4 ) ”。 推论2 1 ：非负随机变量x 和y 期望有限， x 。y e 以：。一以，。 e 匕：。一匕“。 。 证明：引理2 2 中取，= ，? 一1 即得结论。 引理2 3 ：己知期望有限的非负随机变量x 和y ，x 。y 。如果存在刀，使得 e 【以：。一以吐。】= 匕：。一匕_ | 。 ， 那么x = 。y + c ，c 是某个实常数。 证明：请参见“s o r d o ( 2 0 0 8 ) ”。 推论2 2 ：已知期望有限的非负随机变量x 和】，x 。，y 。如果x f o ， 则考虑拒绝日。，而f o 的取值由( 玎，所) 在原假设条件下的分布所决定。 对于门取值大于3 时，用参数研k = ，一艺乩。卜e 【一：。一以“。 度量h 。偏离h 。的 情形，将在第五章中进行讨论。 浙江j ：产硕十：。竽f ? ，论文1 3 假设x 和y 的样本容量分别是1 7 和肌。令x o 。= 咖= 0 。c ( x ) 和瓯，( x ) 分 别是x 和y 的经验分布函数，则，f 如) = 吉喜，( x x ) ，g m ( x ) = 去善，( x ) 。 s ( f ) 和s ( o ) 的经验估计量为： s ( c ) = j i o 丘( x ) 一2 元2 ) + 元3 ( x ) d x = f 丘( z ) d x 一2 f f ：( x ) d r + f 户： ) a x = 去喜如一2 喜( 1 _ 寻) 2 ( 戤屯址i = 1 争3 ( 瓦如。) = 吉磐。一吾争- ( f 埘( 如山一嘉挚_ ( f 哪( 如山。) = 去喜五：。一j 2 ，矧 - i + 1 1 2 置：。+ 吾喜 聆一( f 1 ) 2 置山 + 善1 1 聆一f + 1 3 置：。一嘉喜 刀一( f 一1 ) 3 五吐。 = 去喜五：。一吾喜【门一，+ ， 2 鼍。+ 吾喜m 一平鼍御 + 专喜 ，z f + 1 3 五：。一万善n 一f 】3 置：， = 嘉喜 刀2 2 聆( n - i + 1 ) z + 2 n ( 玎一f ) 2 + ( n - i + 1 ) 3 一( ，z f ) 3 五：。 = 专喜卜2 历+ 刀+ 3 2 2 3 i + 1 工：。 = 嘉喜 3 t - 2 ( 刀+ 1 ) 】置：，+ 嘉喜 门一z + 1 五 = 学离3 ( 嘉) 2 2 嘉，如愕弘一嘉弘+ 嘉弘。 同理可得， s c 瓯) = 导b 善c 3 ( 嘉) 2 2 嘉k 1 + 嘉薯一嘉姜辟。+ 嘉善。 根据大数定律，当，? ，m 一0 0 时，下面各式成立： 嘉弘与。杀弘与。， 万善i i 鹕，_ 。，专喜巧：。， 7 i 善nz ：。，嘉善巧：m 与。 因此，不失一般性，直接取： 淝) = 去烈嘉卜嘉 s ( g i n ) = 击烈嘉 2 - 2 m - - - - 鲁 y j 设函数a ( u