（计算数学专业论文）样条小波基的一种代数构造方法.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它的理论研究和应用研究都 是十分有意义的，小波基的构造也越来越引起人们的重视。 通常的小波构造方法的是从f o u r i e r 变换和z 变换的角度去考虑的，不是那么浅显 易懂，为了更清晰地认识小波的构造，论文仅从函数空间的构造和代数的角度来 构造小波。先提出了半正交小波的代数构造的一种方法，并总结了一定的规律； 接着讨论了双正交小波的代数构造方法，这种构造的方法可以更自由地选择小波 的系数：并且用所得的小波系数做了关于图象的分解与重构的实验，所得的实验 结果还是不错的；另外，论文还做了一种关于d a u b e c h i e s 双正交小波系数的简捷 推导方法，以原来的正交小波的一种简捷推导作为基础，简化了求解d a u b e c h i e s 双正交小波系数的过程。总之，论文了一些使得小波的构造方法更简捷，更浅显 易懂的代数方法，这将有利于人们进一步理解、推广和应用小波。 这种从函数空间的相互关系出发，从代数的角度去理解小波基的构造，与 f o u r i e r 方法相比，仅仅需要线性代数的知识，遵循这样的思路，长度有限的所有 半正交小波的构造都可以转化为线性代数的问题来解决，同样的方法也可以用于 构造提升逼近程度的小波函数。 关键词：多分辨分析尺度函数样条小波双正交小波 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t w a v e l e t a n a l y s i si sap r o s p e r o u sr e s e a r c hf i e l di nc o n t e m p o r a r ym a t h e m a t i c s t h e r e s e a r c ho fi t st h e o r ya n d a p p l i c a t i o ni sv e r yi m p o r t a n t ，s ot h ec o n s t r u c t i o no f w a v e l e t b a s e si sb e c o m i n gm o r ea n dm o r e p o p u l a r t h e g e n e r a lm e t h o d sc o n s t r u c t i n gw a v e l e tb a s e su s ef ta n dz t ( f o u r i e rt r a n s f o r m a n dz t r a n s f o r m ) b u tt h e ya r en o te a s yt ob eu n d e r s t o o d i no r d e rt om a k ec l e a ro ft h e c o n s t r u c t i o nw a v e l e t b a s e s ，t h i sp a p e r u s e st h ek n o w l e d g eo ff u n c t i o ns p a c ea n d a l g e b r a , p r o v i d e sa l g e b r a i cc o n s t r u c t i o n so fs e m i o r t h o g o n a lw a v e l e tb a s e sa n db i o r t h o n o r m a l w a v e l e t ，t h e ns u m m a r i z ei t sr o l e t h i sc o n s t r u c t i o nm e 也o d sm a k et h ec h o i c eo fw a v e l e t c o e f f i c i e n t si ss a t i s f a c t o r y f u r t h e r m o r e ，am e t h o dt og e tt h ec o e f f i c i e n t so f d a u b e c h i e s o r t h o g o n a lw a v e l e ti sp r e s e n t e d i ti sb a s e do nt h ek n o w l e d g eo fo r i g i n a lo r t h o g o n a l w a v e l e ta n ds i m p l i f yt h e p r o c e s s i naw o r d ，w ep r e s e n ts o m es i m p l e ra n dm o r e u n d e r s t a n d a b l ea l g e b r a i cc o n s t r u c t i o no fw a v e l e tb a s e s t h e s ec o n s t r u c t i o n sw i l lh e l p p e o p l eu n d e r s t a n d ，a p p l ya n dd e v e l o pt h ek n o w l e d g eo f w a v e l e t s c o m p a r e dw i t hf o u r i e rt r a n s f o r m ，w ec o n s t r u c tw a v e l e tb a s e su s i n go n l yt h e r e l a t i o n s l l i po ff u n c t i o ns p a c ea n dt h ek n o w l e d g eo fl i n e a ra l g e b r a 。s ot h ec o n s t r u c t i o n a | lo fl e n g t h - l i m i ts e m i - o r t h o g o n a lw a v e l e t sc a l lb et r a n s f o r m e dt ob el i n e a ra l g e b r a i c p r o b l e m s t h es a l t l em e t h o da l s oc a l lb eu s e dt oc o n s t r u c tt h ec o r r e s p o n d i n gw a v e l e t s f u n c t i o no f l i f t i n gc l o s i n gd e g r e e 。 k e y w o r d s ：m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i ss c a i i n gf u n c t i o ns p l i n ew a v e l e t b i o r t h o n o r m a iw a v e l e tb a s e s _ 一。 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：毒色 日期：z 肿年孛月2 2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属于不保密四。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：匀鹈 日期：州年4 月四日 指导教师签名 l ， 享您k 日期：两毕年乒月j 阴 华中科技大学硕士学位论文 1 1 小波的发展历史 1 绪言 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，无论是在理论研究还是在应 用研究领域都十分活跃。 小波变换是8 0 年代后期发展起来的应用数学分支，它的出现主要来自两个方 面的动力：数学上的进展和工程问题的提出及解决。小波的发展可以追溯n - 十 世纪初。1 9 1 0 年h a a r 提出了小波规范正交基，这是最早的小波基，尽管当时还 没有出现“小波”这个词。1 9 3 6 年l i t t l e w o o d 和p a l e y 对f o u r i e r 级数建立了二进 制频率分量组理论：对频率按2 ，进行划分，其f o u r i e r 变换的相位变化并不影响函 数的大小，这是多尺度分析思想的最初来源。1 9 4 6 年，g a b o r e 2 1 提出的加窗f o u r i e r 变换( 短时f o u r i e r 变换) 对弥补f o u r i e r 变换的不足起到一定的作用，但是没有彻 底的解决这个问题。后来，c a l d e r o n 、z y g m u n d 、s t e m 和w e i s s 等人将l p 理论 推广到高维，并且建立了奇异积分算子理论；1 9 7 4 年，c o i f m a n n 对一维日空间 和高维日空间给出了原子分解。1 9 7 5 年，c a l d e r o n 用他提出的再生公式给出了抛 物型日1 的原子分解，这一公式现在已经成为许多的函数分解的出发点，它的离散 形式已经很接近小波展开。 1 9 8 2 年，法国地质物理学家m o r l e t 在分析地质数据时基于群论首先提出了小 波分析这一概念。他提出的是形状不变的小波( w a v e l e to fc o n s t a n ts h a p e ) ，这与 信号分析中的加窗f o u r i e 变换相区别，它不具有形状不变性【3 】。m a l l a t 的小波方法 在数值分析上取得成功，这不仅激发了他本人对小波分析的深入研究，也大大鼓 舞了物理学家g r o s s m a n n ，于是他们携手共同研究小波理论【4 】a1 9 8 5 年法国大数学 家m e y e r 首次构造了光滑的正交小波基。后来被称为m e y e r 基【鄂。1 9 8 6 年m e y e r 的学生提出了多尺度分析的思想。1 9 8 8 年，年轻的数学家d a u b e e h i e s 构造了具有 华中科技大学硕士学位论文 紧支撑的光滑正交小波基【6 】，提出了构造正交小波基的一般方法。后来，信号分析 专家m f l l a t 提出了多分辨分析【7 1 的概念，给出了快速小波算法：m f l l a t 算法的作用 和地位相当于f o u r i e r 分析中的f f t ，它的提出宣告小波从理论研究走向广阔的的 应用研究。现在，人们借助d 肌b e c h i e s 基和m f l l g 算法可以从事广泛的应用研究， 其中包括小波在积分方程嘲中，在数值分析 9 , 1 0 l 中，在分形理论 1 1 , 1 2 】中、在神经网 络e 1 3 , 1 4 中、在图象处理【1 5 1 6 1 中、在视频分析中、在流体力掣18 1 中以及偏微分方 程求解【1 9 j o 】中的应用。 在研究小波理论的发展过程中，发现它与工程技术上一些已经发展起来的问 题密切相关。它们都可以用小波变换作为理论基础，看成是从不同角度应用小波 的特例：但是，它们在解决问题的同时促进了小波的发展，对小波的构造有很大 的启发，特别是对紧支撑正交小波的构造在很大的程度上可以归结于工程技术的 发展。1 9 4 6 年提出的g a b o r 变换，b l l n 和a d e k s o n 在1 9 8 3 年提出的金字塔图象 编码算法【2 l 】，通信处理中子带编码【2 2 ，2 3 1 ，数字信号处理中的多采样率滤波器【2 4 2 5 1 ， 计算机视觉中的多分辨分析【2 6 】，等等，这些大大丰富了小波变换的实用意义。 1 2 小波的应用 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在，它已 经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中 重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当 代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压 缩和量化、快速传递、存储和重构( 或恢复) 。从数学的角度来看，信号与图象 处理可以统一看作是信号处理( 图象可以看作是二维信号) ，在小波分析的许多 分析的应用中，都可以归结为信号处理问题。以前对于稳定不变的信号，处理的 理想工具是傅立叶分析。但是现在的实际应用中绝大多数信号是非稳定的，无论 是稳定信号还是非稳定信号小波分析是行之有效的分析工具【2 ”。 2 华中科技大学硕士学位论文 小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、 图象处理：量子力学、理论物理：军事电子对抗与武器的智能化：计算机分类与 识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断：地震勘探数据处理；大型机械 的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、 曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压 缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学 成像方面的减少b 超、c t 、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。 ( 1 ) 小波分析用于信号与图象压缩是有特色的。它的特点是压缩比高，压缩后能 保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法 很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压 缩，小波变换向量压缩等。 ( 2 ) 小波在信号分析中的应用也十分广泛且是有特色的。它可以用于边界的处 理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断 以及多尺度边缘检测等。 ( 3 ) 小波在工程技术方面的应用也是有特色的。包括计算机视觉、计算机图形 学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面【2 8 】。 1 3 关于小波理论基础 1 9 8 6 年，m s m i t h 和t b a r n w e l l 提出了共轭镜像滤波器组的概念，这为二进 紧支撑小波的构造提供了契机。后来，m e y e r 提出了具有一定衰减性质的光滑小波 函数使得它的二进伸缩和平移函数系 y 。( f ) = 2 , 1a 妒【2 “，一n ) ：肌n z 构成2 伍) 的规范正交基。 继m e y e r 小波后，小波分析i , 袁f - 在数学上较深和抽象的新理论易于被工程技 术人员理解和掌握，极大地加快和普及了小波变换在工程技术领域的应用。多分 辩分析是一种时间域和频率域相结合的分析方法，它基于人们认识事物过程的分 华中科技大学硕士学位论文 辩原则，即人们认识事物是一个逐步深化的过程，首先是总体轮廓，然后是结构 线头，最后是细节。 1 9 8 8 年，d a u b e r c h i e s 用m a l l a t 和m e y e r 的方法构造了具有紧支撑的正交小波 基。九十年代，随着理论与实际相结合，随着人们对小波要求的提高，小波的一 些性质象对称，紧支撑，消失矩和正则度被要求，然而在二进小波中这些要求与 正交性是无法同时成立的。为此又提出了双正交小波、多小波等小波基。 1 9 9 5 年，w s w e l d e n 提出了通过提升过程构造第二代小波的想法。提升过程 是一个简单而又实用的工具，使小波的构造具有灵活性，并且包含了已有小波的 构造方法，为在直线上实时构造或在曲面上实时构造与信号自适应的小波系统或 局部小波系统( 如区间小波) 提供了可能。 m a l l a t 和m e y e r 创立了多分辩分析的理论，统一了以前的所有正交小波函数 基的构造并小波构造设定了统一框架。同时，在这一框架下他给出了信号和图像 分解为不同频域通道( 小波展开) 的算法及其重构( 小波级数重构) 算法。 定义1 1 空间l 2 俅) 中的一列闭子空间e j 。称为一个多分辩分析，如果下 列条件满足： ( 1 ) 单调性：一一lc ，z ； ( 2 ) 逼近性：n 一= o ) ，u 巧= l 2 ( r ) ； j t ze z ( 3 ) 伸缩性：厂( r ) 一。营f ( 2 t ) 一： ( 4 ) 平移不变性：f ( t ) j f ( t k ) ，v k z ； ( 5 ) r i e s z 基：存在f ( t ) k ，使得 弛- k ) k z ) 构成的r i e s z 基，即对任意 厂( f ) ，存在唯一的序列 c 。) 。：，使得 ，( f ) = 吒q k ( t - k ) t 面 6 2 ，任意序列( c 。 。，2 确定一个函数，0 ) 并且存在正常数a 和b ，其 4 华中科技大学硕士学位论文 中a b ，使得对所有的f ( t ) ，不等式 4 1 f o u ：2s 蚶王b l 【，删：2 k e z 成立 3 0 】。 实际上，这个多分辩分析可看作由函数( f ) 生成的，这是因为 ( 1 ) ( o k ) k z 是的r i e s e 基，因此，= d o s p ( 鳓 ( 2 ) 由伸缩性很容易证明 以。( f ) 膏z ) 是一的r i e s e 基，从而 v j = c l o s z l ( 脚 这里丸 ( f ) = 2 庐( 2 t - k ) 。由于妒( f ) k ，所以存在唯一的 。) 。e 1 2 使得满足下面的双尺度方程： ( f ) = 压魄( 2 f - 七) k e z 这里 h 。 称为低通滤波器或尺度滤波器，其z 一变换为 日( ：) = h 。z “ e z 它满足归一化条件：日( 1 ) = 互，( ，) 称为尺度函数。双尺度方程是信号，( f ) 进 行快速小波变换的关键【3 ”。 1 4 本文所做的工作及其文章安排 通常的小波构造方法的是从f o u r i e r 变换和z 变换的角度去考虑的，不是那么 浅显易懂。为了更清晰地认识小波的构造，文章仅从函数空间的构造和代数的角 度来构造小波，提出了半正交小波的代数构造的一种方法，并总结了一定的规律； 接着讨论了双正交小波的代数构造方法，这种构造的方法可以更自由地选择小波 的系数，并且用所得的小波系数做了关于图象的分解与重构的实验，所得的实验 结果还是不错的，并做出了实验结果的分析；另外，本文还做了一种关于d a u b e c h i e s 双正交小波系数的一种简捷推导方法，以原来的正交小波的一种简捷推导作为基 华中科技大学硕士学位论文 础，简化了求解d a u b e e h i e s 双正交小波系数的过程。总之，这篇文章提出了一些 使得小波的构造方法更简捷，更浅显易懂的代数方法，这将有利于人们进一步理 解、推广和应用小波。 这种从函数空间的相互关系出发，从代数的角度去理解小波基的构造，与 f o u r i e r 方法相比，仅仅需要线性代数的知识，遵循这样的思路，长度有限的所有 半正交小波的构造都可以转化为线性代数的问题来解决，同样的方法可以用于构 造提升逼近程度的小波函数。 论文第一章是绪论，介绍了小波的发展历史、应用和一些基本理论框架：第 二章介绍了样条小波的半正交小波构造的传统方法，并介绍了关于其代数构造的 方法；第三章介绍了双正交小波的一般理论及构造方法，另外，介绍了如何用代 数方法构造双正交小波基，并用所构造的小波基做了关于图象的分解和重构以及 信号消噪的实验；第四章介绍了关于d a u b e c h i e s 小波基的一种简捷推导。 6 华中科技大学硕士学位论文 2 关于样条函数的半正交小波基的代数构造 2 1 紧支集b 样条函数及其性质 样条函数具有良好的性质，在曲线拟合方面发挥了杰出的作用，它是定义在 整节点上的基函数，可以按照多尺度逼近概念作出f ，( f ) 寸f ( t ) l 2 ( r ) 。 一阶样条是矩形函数，2 阶样条是线性的，3 阶样条是分段二次多项式的函数， 样条函数的定义为 _ ( r ) = n 。( r ) + i ( f ) 样条函数。( f ) 都是偶对称的，且其支集( 函数值局部非零的范围) 是有限的， 它在f = 要处取得最大值且向两边单调、快速地衰减；阶数越大， o ( f ) 越光滑且 z 支集越长【3 2 】。 样条函数最基本、最重要的应用，在于 - ( t ) 的线性组合构造近似函数厂o ) 。 f o ) 是分段脚一1 次多项式，具有良好的光滑性：f ) 还可以满足在整节点处的 关于函数值和导数值方面的强制要求，扩大了f ，( t ) 的应用范围。由于。( r ) 具有良 好的递推性质，因此，。( r ) 在构造方面有方便之处，可以根据不同的要求，构造出 形式不同的近似插值函数。在具体应用样条插值时候，可以固定分划尺度指标_ ， 增大样条阶数m ，这样得到的厂，( r ) 可以更好地逼近光滑函数f ( t ) ：也可以固定样 条阶数肌，不断加大分划尺度指标j ( 即加密分划) ，这样得到的( f 0 ) ) 是对厂u ) 的 一种多尺度逼近；在信号分析处理中，样条函数模型和分析信号是经常被用的。 7 华中科技大学硕士学位论文 2 2 半正交小波传统的构造方法 众所周知，样条函数 - ( f ) 的平移放缩可以作为基函数，可对( r ) r ( r ) 做 多尺度的逼近，于是，用样条函数可以构造样条小波【3 3 】。 样条函数，( f ) 是尺度函数，可以从下面两个方面理解，一方面，在_ ，= 0 尺 度的划分( 0 0 一七) ) 可以作为基函数，其线性组合 厂o ( f ) = c ：。o n ) ，厂。( f ) v 。 可以良好的近似，o ) 口( r ) 。另一方面，样条函数m o ) 具有双尺度方程 m ( f ) = p n 。( 2 t - k ) 由此可知，样条函数m 。0 ) 能生成一个m r a 。 根据m r a 的定义，记 则 一= 印口玎溉 ( f ) = 2 j 2 以( 2 7 t - k ) ，k z ) = s p a n v m ( ，) k 苣z ) c kc 圪c l 2 ( r ) ， 一+ t = 巧o 其中小波子空间是存在的，但在一般的条件下，仅是+ ，的补予空间而 不是正交的予空间，若要求上，就需要特殊的约束。 根据m r a 的含义构造样条小波，就是以o ) = 。( f ) 作为尺度函数，构造相 应的小波函数y ( f ) ，使其满足 ( r ) = 以( f ) 2 p t n 。( 2 t - k ) ， 8 华中科技大学硕士学位论文 y ( r ) = q i n 。( 2 t 一七) k 一k ) g l ( t ) d t = 0 关于样条小波构造，通常是利用其频域性质。因为 虬( f ) 2 p 。以( 2 卜七) - 等 ” 所以， 妇们= 糖，2 阳 圭p “ 等 4 ( 亡务 ” 2 ( 竿卜”酏卜 由此，可以得出 p 。：z ( ： ，。s 七s ，” 1 0 ，其它 这是双尺度函数的系数【3 4 】。 关于小波系数的推导，要用到双尺度方程式的频域表示 妒( 2 w ) = p ( w ) ( w ) ( 2 w ) = g ( w ) 妒( 忉 中的记号 p c 们= 圭；p t e m ，g c 帅= 圭莓吼e m 又由于尺度函数的非正交关系有 ( 2 1 ) 华中科技大学硕士学位论文 f ( a ( t ) e k ( t n ) a t 2 瓦o ， 即 j ( f ) o n ) d t 2 n z ，( m n ) 2 0 以o 由f o u r i e r 变换的乘积定理，有 舻去删2 e a h o 2 zpc 球w + 2 m ) 陋 将n 看做f o u r i e r 级数的系数，即有 咖) = = 秭( w + 2 n ) 1 2 这样就利用半正交条件式( 2 1 ) ，即 ( 卜七妙( 伽忙0 仿照式 h ( w ) g ( w ) + i t ( w + j r ) g ( w + 石) = 0 的证明过程，就有 g ( w ) g ( w ) ，( w ) + g ( w + 厅) g ( w + x ) r ( w + z r ) = o 导出 于是有 q ( w ) = e 胛p ( w + 厅) ，( w + 石) q 。= ( 一1 ) 。p 一所刊 2 3 样条半正交小波的代数构造方法 前面的样条小波构造是利用f o u r i e r 变换和z 变换完成的，不是那么浅显易 1 0 华中科技大学硕士学位论文 懂，为了更清晰地认识小波的构造，我们准备仅从函数空间的构造和代数的角度 来构造样条小波基。 ， 如果某个小波y l 2 ( r ) 已经被构造，令矿j = 2 2 y ( 2 。t - k ) 和 w ，2 s p a n 吵j ( f ) = 22 y ( 2 7 f 一七) ，k z ) 子空间是巧在一+ 中的正交补，即 _ + - 2 _ o ( ，z ) 其中，o 表示直和，则小波子空间w 是存在的a 但在一般的条件下，w 只是 v ，在v 川中的补空间而不是正交补空间。 定义2 ：在m r a 中取( t ) - n ，( t ) 作为尺度函数，半正交4 、波妒( t ) ，满足以下的 条件： ( f ) = 虬( r ) = h k n 。( 2 t - k ) ， ( 2 2 ) i y ( r ) ；g t n 。( 2 t - k ) ， ( 2 3 ) j 妒( 卜七) 矿( r ) 出= 0 ，k z ( 2 4 ) r 由定义2 可知，庐( t ) 和( t ) 都没有平移正交的性质，但是矽( t ) 和妒( t ) 是正交 的，这就是称妒( t ) 为半正交小波的缘故【3 2 。 我们e e e t - - t ：( 2 2 ) 、( 2 3 ) 及( 2 4 ) 就有： y 川 ( f ) = g 。九，( t - k ) ( 九- i , iv j - t , k ) = g 。( 办- t d 办，( f 一七) ) = 0 ( 2 5 ) 当j = 1 时，式( 2 5 ) 可写为： ( 九p ，i ) = g 。( 硪。( f 一七) ) = 0 ( 2 6 ) 可以看出，如果能求得( 晶) ，就可以构造小波，以下我们用代数方法求解 既 ， 华中科技大学硕士学位论文 为明确起见，我们看两个构造买例。 例1 关于山形函数的半正交小波的构造。 在这里，我们用山形函数妒( t ) = n2 ( t ) ，作为m r a 的生成元。山形函数如下： = t , o t 1 2 它满足的双尺度方程为： 她) = 吉舴卅0 ( 2 h ) + 丢声( 2 f _ 2 ) 由( r ) = 丸矽( 2 r 一”) 知： = 矗：= 当，啊= l 由于( f ) 是对称函数，由于沙( f ) 要和丸”九，。正交，可以判定出山形函数的半正 交小波y ( r ) 是关于r = 昙对称的，y ( ，) 的支集应是【o ，3 】，如图1 和图2 所示： 图1相邻尺度上，尺度函数的相互关系( 实线为1 尺度的尺度函数) 我们可计算： ( 丸o 破一2 ( 丸o 办2 ) 2 百1 ，( 丸o 氟j = 击，( 丸。办= 去，( 丸。确p = o 同理可得其他数据，由式( 2 6 ) 可得两个方程： j ( 九，o ，蛾o ) g o + ( 丸，o ，珐- ) g - + ( 丸o ，珐，2 ) 9 2 + ( 丸o ，氟，3 ) 9 3 + ( 丸o 破。) g = 0 【( 九j ，珐。o ) g o + ( 丸j ，a i ) 蜀+ ( 九”氟，2 ) 9 2 + ( 九i ，磊3 ) 9 3 + ( 丸，l | 氟，4 ) 9 4 = 0 即有 华中科技大学硕士+ 学位论文 昙9 2 + 百19 3 + 0 9 4 ：o j 9 2 + 西铂+ 9 4 2 0 i 1g ：+ 吾g ，+ 圭g 。= oi 9 2 + i g ，+ i 9 4 = o 利用基础解系，可以解得： 9 0 - 1 0 c + 9 c 2 + g l _ “c 1 _ 6 c ：一1 0 c 3 ， 9 2 = c 2 ，9 3 = c 3 ，9 4 = c 1 ，c f z ，i = 1 , 2 ，3 。 假如山形函数的小波基是奇函数，有： 可以解得 g o = 一9 4 ，g l = 一9 3 ，9 2 = 0 g o ：9 1 ：9 2 ：9 3 ：9 4 = 一3 ：2 ：o ：2 ：3 在这里，奇系数之和为零，偶系数之和为零，这是没有意义的，也就是说半 正交小波基不可能是奇函数。 4 假设山形函数的小波基是偶函数，有乳= g 。，g 。= 9 3 。此外有性质g 。= o ， i - 0 可以得到两个方程： 可解得： q = 一6 c 1 ，c 2 = 1 0 c 令a = 1 ，则有： g o ：g l ：9 2 ：9 3 ：9 4 = 1 ：一6 ：1 0 ：一6 ：l 把奇偶系数分别归一化，可得： 1l 5 g o29 42 西g i 2 9 ，一i ，g z 。i 这与用f o u r i e r 变换所做的结果是一样的。用这样的( g 。 可以画出与山形函数相应 + 函 甑 ，卜。一心 。 ，1l 如 地2 + + 幻 缸 + + 兜 & ，l 华中科技大学硕士学位论文 的半正交小波，如图2 所示： 1 05 专0 号 一0 5 1 2 二徙、， v 00 511522 53 图2山形函数及其半正交小波函数的图形 例2 关于二次样条函数的半正交小波的构造 二次样条函数是以r - 妄对称的，以其作为m r a 的生成元，它满足的的双尺度方 程为： ( ，) = 丢( 2 ，一1 ) + 吾( 2 f ) + - - 3 4 # ( 2 f + 1 ) + 去( 2 ，+ 2 ) 二次样条函数的半正交小波缈o ) 要和( f ) 、弛一1 ) 、( r 一2 ) 正交，它关于r = 5 2 对称，y ( r ) 的定义域为 o ，5 】，如图3 所示： 我们可计算： t 图3 二次样条相邻尺度间的相互关系 1 4 华中科技大学硕士学位论文 甑。，五。) = 仇。，旃，) = 而1 4 7 ，瓴。，磊。) = 。，办：) = 而3 0 3 ， 轨，。，办。) = 而2 9 ，瓴，。，磊，) = 而1 由对称关系，可以得到其他的九。o = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 与氟，( ，= 0 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ) 作内积的数 据，由( 2 6 ) 式，可得到5 个方程： 魄，o ，磊，o ) g o + ( 九o ，唬，1 ) g l + ( 盛。o 氟2 ) 9 2 + ( 九0 1 磊，) g ，+ ( 九0 哦。) g + ( 丸，o ，氟，5 ) 9 5 = 0 ( 丸”办。o ) g o + ( 九1 ，氟，i ) g i + ( 九j ，识，2 ) 9 2 + ( 幽i ，氟，3 ) 9 3 + ( 丸i ，氟4 ) 9 4 + ( 丸l 识s ) 9 5 + ( 九1 ，磊。6 ) 9 6 + ( 九l ，氟7 ) 9 7 = 0 ( 九2 ，珐2 ) 9 2 + ( 丸，：，硪3 ) 9 3 + ( 丸2 ，氟，。) g 。 + ( 九2 ，硝5 ) 9 5 + ( 丸1 2 ，破，6 ) 9 6 + ( 九，2 氟7 ) g ，= 0 ( 丸，j ，办4 ) 9 4 + ( 九3 ，办5 ) 9 5 + ( 丸3 ，识6 ) 9 6 + ( 丸 虬) 9 7 = 0 纸”氟，6 ) 9 6 + ( 丸”破，7 ) 9 7 = 0 7 利用和例1 同样的方法，可以判断二次样条的小波基是奇函数，再由g = 0 j u o 可以得到如下的关系式：9 0 ：g i ：9 2 ：岛= 1 ：一2 9 ：1 4 7 ：一3 0 3 再把奇偶系数归一化，可以解的： 12 91 4 73 0 3 g o g ，2 丽g ，9 6 丽9 2 一g s2 而g ，一g t2 丽 这与用f o u r i e r 变换所做的结果是一致的( 3 0 l ，如图4 所示： 华中科技大学硕士学位论文 - e - 0 弋、巾 - 、心v 一 v f 一冶卜一2 l t l + = f 3 - “皓1 l o h 2 1 s2 给定( f ) ，可以知道三次样条函数半正交小波是关于f = 3 5 对称的。 如图所示 图5 三次样条相邻尺度间的相互函数 _ 一 1 6 华中科技大学硕士学位论文 可以计算得出： ( 枷p = ( 枷p = 嚣筹，( 枷2 ) = 嚣筹 ，、，、 7 9 0 4 ，、 1 6 7 7 l u l l 丸o 办，。) = 丸o 磊) = 面i 石丽庇t o 丸s ) = i 而 1 41 丸- o 。兰8 0 6 4 0 ，蟊n 商，2 i 蒜 由对称关系，我们可以得到其他内积的值。 我们由： ( 成 破。) = g 。( 丸，破。) = o 可以得到方程绢： l ( 丸，o ，硪，o ) g o + ( 丸o ，破。) g 一+ ( 戎o 画2 ) g ：+ ( 丸n 西。，) g ， l + ( 丸，0 硪4 ) g 。+ ( 九0 ，破5 ) + ( 丸n 破。) 9 6 + ( 丸a 办7 ) 9 7 = 0 i ( 丸”氟，o ) g o + ( 丸”萌1 ) 9 1 + ( 丸”氟2 ) 9 2 + ( 纯j ，办，3 ) 9 3 j + ( p 确，4 ) 9 4 + ( 戎，1 破5 ) 9 5 + ( 如”商6 ) 9 6 + ( 丸”萌7 ) 9 7 + ( 丸o 藏，8 ) 9 8 + ( 丸n 旃，9 ) 9 9 = 0 ( 晚，z ，磊2 ) g z + ( 丸，z ，氟，) g ，+ ( 丸，：，萌。) g 。十( 九，：，办，s ) 9 5 + ( 丸p 破6 ) + ( 纯2 办，7 ) g ，+ ( 丸五破，8 ) 醌+ ( 丸z 磊。9 ) 9 9 + ( 丸1 2 破j o ) 目。= 0 l ( 戎3 ，破4 ) g 。+ ( 疵，办s ) g s + ( 丸，萌，。) g 。+ ( 丸 识，) g ， l + ( 丸 磊8 ) g s + ( 丸，3 破，9 ) + ( 氏3 ，破j 0 ) 蜀o = 0 l ( 如”破，6 ) 9 6 + ( 丸4 ，破，7 ) 9 7 + ( 戎 矗，8 ) 9 8 + ( 丸，4 破，9 ) g q + ( 丸 破, 1 0 ) g 、o = 0 l ( 丸 磊，) g ，+ ( 九 确，8 ) 9 8 + ( 丸 萌9 ) 9 9 + ( 丸 而t i o ) = 0 【( 丸 卉，9 ) 9 9 + ( 丸6 t 办舯) = 0 共7 个方程，利用上述的所作的例子可以判断，三次样条小波的基是偶函数，由 1 0 y g = 0 可以得到： g o ：g l ：9 2 ：9 3 ：9 4 ：9 5 ：9 6 = 1 ：一1 2 4 ：1 6 7 7 ：- 7 9 0 4 ：1 8 4 8 2 ：一2 4 2 6 4 再由奇偶系数的归一化，可以解得： 11 2 4 g 。2 9 。2 i 石i 而，g - 。g ，2 一i 石夏石， 1 6 7 77 9 0 4 g z 。g s 2 i 石i 面g ，2 9 ，2 一i 石i 石， 华中科技大学硕士学位论文 1 8 4 8 22 4 2 6 4 g 。2 9 s 2 i 石i 丽g s2 一i 石；五 这与f o u r i e r 变换所做得结果是一致得，如图6 所示。 图6 三次样条半正交小波函数的图形 由上述三个例子可以看出： 小波系数和各相邻尺度之间所得卷积值有一定联系的，小波系数的值是所得 相邻尺度卷积值的2 倍，所以一旦知道了各相邻尺度卷积的值，由其它的奇偶对 称以及小波的系数的和为零的条件，可以直接求出小波的系数。 结论 这种从函数空间的相互关系出发，仅仅需要线性代数的知识，从代数的角度去 理解小波基的构造，浅显易匿。遵循这样的思路，长度有限的所有半正交小波的 构造都可以转化为线性代数的问题来解决，同样的方法可以用于构造双正交小波 基及其对偶小波以及相应的提升逼近程度的小波函数。 1 8 华中科技大学硕士学位论文 3 1 引言 3 双正交小波的代数构造方法 紧支撑正交小波基缺乏对称性，对于同一多分辨分析，如果破，办都是它的 紧支撑正交尺度函数，那么杰一定是矗的平移。除了h a a r 基外，所有紧支撑的实 正交小波基是不对称的，紧支撑小波的正交小波( 除了h a a r 基外) 一定不是对称 或者反对称的，而在应用中，对模拟信号经过抽样，分解，重构的信号是一个小 波级数，当然，它是线性滤波的结果。因此，如果滤波器具有线性相位，或者至 少具有广义线性相位，失真就可以避免。对于实尺度函数，毋具有广义线性相位充 要的条件是扫 ( s u p p = o ，d 是对称的，p 。= 。当然正交小波基的滤波器 不会具有线性相位。而双正交小波基可以满足正交性、对称性和紧支撑性，因而 有必要引进双正交小波 3 5 1 。 3 2 双正交小波的一般理论 由绪论中多分辨分析的定义，若函数庐( x ) r ( r ) 生成的空间序列 满足多 分辨分析的条件，则称( x ) 生成一个多分辨分析( m r a ) ，由m r a 的定义可以知 道，一的基函数妒( r ) 满足双尺度方程 o ) = h k ( 2 t - k ) ( 3 1 ) 女 令= 一。巧，补空间的基函数矿( ，) 也存在双尺度方程 y ( f ) = h , d k ( 2 t - k ) t 分别称0 ) 、妒( f ) 为尺度函数与小波函数 1 9 华中科技大学硕士学位论文 相应地，可以定义对偶多分辩分析，而且有： o ) = ( 2 t - k ) ( 3 2 ) i y o ) = 既y 伍一k ) 对应的，分别称妒( f ) 、矿o ) 为( r ) 与妒( f ) 的对偶尺度函数与对偶小波函数 定义2 若( f ) 、 f ，o ) 、( f ) 、y ( ，) 满足以下条件 i ) o ) y o 一，) = o ； ( 3 3 ) i i ) = = 民， ( 3 4 ) 则称痧、矿为双正交小波3 5 1 。 3 2 双正交小波传统的构造方法 构j 置双正交小渡的传统方法主要是依据双正交的多分辨分析，考虑滤波器 弘。 、信。) 、 反 、 磊) 所要满足的频域性质。 在传统的构造方法中，记 日( w ) 2 乏i7 h t e “g ( w ) = 三；g 。e m 膏( w ) 2 圭莩五t e “6 ( w ) = 圭军；。e 一“ 则定义2 中条件i ) 、i i ) 等价于： p ( w ) 甄丽= i( 3 5 ) 其中： 州叫粼茹：捌 华中科技大学硕士学位论文 从式( 3 5 ) 中可以得到一组解 g ( w ) = e - m , 仃( w + 力，g ( w ) = p ”：- l ( w + 力 ( 3 6 ) 片( 计日( w ) + h ( w + 力日( w + 石) = l ( 3 7 ) 传统的双正交小波的构造方法为：先构造出满足一定条件的滤波器 h k ) ，然后利用 式( 3 7 ) 得到慨 ，再利用式( 3 6 ) 得到k t ) 和 致) ，其分析和构造过程都是在 频域中完成的。 如果慨) 是偶对称的，即h 2 。= 一，那么，相应的日( w ) = h ( e 一”) ，有( 一w ) = e 2 “( w ) ，h ( w ) 能够写为 h ( w ) = e - “岛( c o sw ) 其中风是一个多项式。同样，日( 们能写做同样形如 日( w ) = e - “r o ( c o s ，忉 且多项式r o 是满足 r o ( 石) r o ( x ) + 民( - x ) r o ( - x ) = l 的任一多项式，这样就有 p ( w ) 万i 万+ p ( w + 石) j 百万干面：1( 3 8 ) 如果民( x ) 和r 。( 一x ) 没有公共零点，由b e z o u t 定理，式( 3 8 ) 总存在解，多项式 r o ( x ) 能唯一求得。值得注意的是，双正交基的构造比正交基的构造容易得多，当 民固定时，只需要解线性方程r o 满足式( 3 8 ) 就可以【35 1 。 如果溉 关于奇指标是对称的，即也。= ( 例如觑胛基的情形) ，那么p ( w ) 满足p ( 一w ) = e i ( 2 k + 1 ) w 烈w ) ，因此 2 1 华中科技大学硕士学位论文 p ( w ) = 一7 2 砷