（概率论与数理统计专业论文）多响应线性模型的复合最优设计.pdf

率文攘要 摘要 试验设计是以概率论与数理统计为理论基础，经济科学地安排试验的一项技术，在工 业生产和工程设计中有广泛的应用。最优设计是试验设计中一个重要分支。它以试验目 的作为试验设计的出发点，恰当地建立设计准则，并求解使设计准则达到最优的设计方 案。 多响应模型在实际问题中常常遇到。同时，如果面临多个回归模型都有可能被采用， 为了使经过设计的试验能对这些模型的拟合具有较高的效率，可以使用复合设计来优化 设计。以上两种最优设计问题的研究分别得到了越来越多的重视，但是结合两种设计的 研究发展地相对缓慢。本文主要研究了d 一最优和a 一最优准则下多响应线性模型的复合 设计。通过建立多响应复合设计模型，并在此基础上构造等价性定理，分别在响应之间 的协方差阵已知和未知的两个前提下提出了迭代算法，最后通过仿真找到最优设计。 在d 一最优准则下的最优设计研究中，本文在一般多响应模型的基础上给出了多响应 复合d 一最优的设计模型。在协方差阵已知的情况下，构造多响应复合d 一最优的等价性 定理。对简单的模型，推导出最优解；在无法找到显示解的情况下，给出构造复合最优 设计的迭代算法，并通过m a t l a b 实现。 在a 一最优准则下的最优设计研究中，本文给出复合a 一最优的设计模型和等价性定 理。在协方差阵已知的情况下，给出类似的迭代算法；同时，在协方差阵未知的情况 下，通过协方差阵的估计来设计迭代算法。在协方差阵已知和未知的情况下，本文分别 给出数值例子来证明迭代算法的可行性。 本文针对多响应复合设计进行了深入的研究，取得了一定的研究成果。随着最优设计 的发展，对于这些内容还有很多方面值得更深入研究。 关键词：多响应模型，复合设计，等价性定理，迭代，协方差阵。 第1 页 a b s t r a c t e x p e r i m e n t a ld e s i g ni s at e c h n i q u ef o ra r r a n g i n ge x p e r i m e n t se c o n o m i c a l l ya n ds c i e n t l f i 。 c a l l v ，b a s e do nt l l et h e o r i e so fp r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s ，w h i c hh a se x t e n s i v ea p p l i c a t i o ni n i n d u s t r yp r o d u c i n ga n dt h ee n g i n e e r i n gd e s i g n o p t i m a ld e s i g ni sa ni m p o r t a n tb r a n c ho ft h ee x p e n 。 m e n t a ld e s i g n i ti sd e s i g n e da sap i l o tf o rt h et e s tp u r p o s e ，t h r o u g he s t a b l i s h i n gt h ep r o p e rd e s i g n c r i t e r i aa n do b t a i n i n gt h eo p t i m a ls o l u t i o na c c o r d i n gt ot h ed e s i g nc r i t e r i a i np r a c t i c e ，t h em o d e l so f t e nh a v em o r et h a no n er e s p o n s e s i m u l t a n e o u s l y , i ff a c e dw i t h m u l t i p l er e g r e s s i o nm o d e l sa r el i k e l yt ob ea d o p t e d ，i no r d e r t om a k et h e s em o d e l sf i t t e dw i t h h i g he f f i c i e n c y w ec a nu s et h ec o m p o u n dd e s i g nt oo p t i m i z et h ed e s i g n t h es t u d ya b o u ta b o v e t w ok i n d so fo p t i m a ld e s i g ni so b t a i n e dm o r ea t t e n t i o n ，b u tac o m b i n a t i o no f t w od e s i g nr e s e a r c h d e v e l o p sr e l a t i v e l ys l o w t h e r e f o r e ，t h i sa r t i c l em a i n l ys t u d i e sd a n da - o p t i m a lc r i t e r i o no f t h ec o m p o u n dm u l t i r e s p o n s el i n e a rm o d e l o p t i m a lc r i t e r i aa n de q u i v a l e n c et h e o r e mw e r e e s 。 t a b l i s h e d w i t ht h ec o v a r i a n c em a t r i xk n o w no rn o tk n o w n ，t h ea r t i c l ep r o p o s e dn e wi t e r a t i v e a l g o r i t h mr e s p e c t i v e l y , a n df i n dt h eo p t i m a ld e s i g nt h r o u g hs i m u l a t i o n o nt h er e s e a r c ho ft h eo p t i m a ld e s i g nb a s e do nd - o p t i m a lc r i t e r i o n ，ag e n e r a lm o d e li s d e f t n e d w i t ht h ec o v a r i a n c em a t r i xi sk n o w n ，w e c o n s t r u c tt h ec o m p o u n dd o p t i m a lc r i t e r i aa n d e q u i v a l e n c et h e o r e m i nas i m p l em o d e l ，d e r i v e dt h eo p t i m a ls o l u t i o n ；i fd i s p l a ys o l u t i o nc a n n o t b ef o u n d w eu s eg i v e ni t e r a t i v ea l g o r i t h m w eg e tt 1 1 ea n s w e rt h r o u g hm a t l a b 0 nt l l er e s e a r c h o ft h eo p t i m a ld e s i g nb a s e do na - o p t i m a lc r i t e r i o n ，t h ee q u i v a l e n c et h e o r e m i sc o n s t f l l c t e d n om a t t e rt h ec o v a r i a n c em a t r i xi sk n o w n o rn o t ，t h eo p t i m a ld e s i g no fc o m 。 p o u n d s t r u c t u r e si sg i v e nt h r o u g hi t e r a t i v ea l g o r i t h m i nb o t hc a s e s ，n u m e r i c me x a m p l e s a l eg i v e n r e s p e c t i v e l yt ov e r i f yt h ef e a s i b i l i t yo fi t e r a t i v ea l g o r i t h m s c o n s e q u e n t l y , t h ep a p e rh a sd e e pr e s e a r c h e so ns e v e r a la r e a so fc o m p o u n d d e s i g n sf o rm u l t i - r e s p o n s el i n e a rm o d e l s m o r ea r g u m e n t sa r er e q u i r e dw i t ht h ed e v e l o p m e n to fo p t i m a ld e s i g n k e yw o r d s ：m u l t i r e s p o n s em o d e l ，c o m p o u n dd e s i g n ，e q u i v a l e n c et h e o r e m ，i t e r a t i o n ，c o - v a r i a l i c em a t r i x 插图目录 插图目录 2 1 最优设计情况下f r c c h e t 导数与z 的关系1 0 第1 v 页 表格霉录 = ! = = ! 鼍詈詈= ! = ! = ! ! ! ! 皇詈! ! = = = ! ! ! 詈= = ! 皇詈! = ! 詈= 皇詈皇毫= ! = = 皇皇皇皇皇! 曼竺竺= = ! ! ! = 暑= 昌皇皇! ! ! = 詈! 鼍! 鼍墨兰署= 墨鼍i i ! 表格目录 支撑点已知情况下两个两响应线性模型d 一最优设计迭代结果一。1 1 支撑点有误情况下两个两响应线性模型d 一最优设计迭代结果1 1 两个三响应线性模型d 最优设计迭代结果1 2 支撑点已知。三个两响应线性模型d 一最优设计迭代结果，1 3 支撑点有误，三个两响应线性模型d 一最优设计迭代结果1 4 支撑已知情况下两个两响应线性模型a 一最优设计迭代结果2 0 初始支撑有误情况下两个两响应线性模型a 一最优设计迭代结果2 0 真实模型权值为0 9 ，已知的两个两晌痤线性模型a 一最优迭代结果2 3 真实模型权值为0 9 ，未知的两个两响应线性模型a 一最优迭代结果，n - - 1 0 0 02 4 真实模型权值为0 9 ，e 未知的两个两响应线性模型a 一最优迭代结果，n = l 2 4 真实模型权值为0 8 ，已知的两个两响应线性模型a 一最优迭代结果2 4 真实模璀权值为o 8 ，未知的两个两响应线性模型a 一最优迭代结果，n = 1 0 0 ；02 5 真实模型权值为0 9 ，e 已知的两个两响应线性模型d 一最优迭代结果2 6 真实模型权值为0 9 ，未知的两个两响应线性模型d 一最优迭代结果，n - - 1 0 0 02 7 第v 页 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 冬 厶 复 务 参 孓 孓参 争孓 孓 孓 孓孓 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解上海师范大学有关保留、 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日期： b o l o s 18 导师签 日 致谢及声明 声明尸明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。 签名： 欣原 第3 2 页 日期： 2 0f d g j2 1 1引言 第一章绪论 试验设计1 是以概率论与数理统计为理论基础，经济科学地安排试验的一项技术。 它是统计学中发展最早、影响最大的分支之一。合理的试验方案能以较少的试验次数、 较短的试验周期和较低的试验费用获得包含较多的有效信息的样本数据，从而有利于通 过数据分析得到充分可靠的结论。因此，如何科学地进行试验设计成为一个十分重要的 问题。试验设计的理论和方法在农业、生物试验、化学、物理、工程学、食品科学、医 学、社会学、经济学、化工、材料、电气、电子、兵器等领域都有广泛应用。 最优设计f 2 1 是试验设计中一个活跃的方向。它以试验目的作为试验设计的出发点， 通过恰当地建立能够反映试验目的的设计准则，并求解使设计准则达到最优的设计方案来 安排试验。最优设计的起源可以追溯至u 1 9 1 8 年。当时，s m i t h 定义了第一种最优准则，把 最坏的预测误差控制到最小为目标，这种准则后来被k i e f e r 命名为g 一最优准则3 1 。在此 基础上，f e d o r o v 提出了著名的d 一最优准贝j j 4 1 ，将参数估计的精确性作为衡量一种设计 方案好坏的标准。由于d 一最优准则鲜明的统计意义和简洁的数学形式，引起了许多学 者的研究兴趣，使其成为了一种讨论最多、应用最广的最优设计准则。s t u d d e n 和l i n 研 究了多项式回归模型的d 一最优设计f 5 1 。h u a n g ，c h a n g ，w o n g 等讨论了无截距多项 式回归模型的d 一最优设计6 1 0k i e f e r 和w o l f o w i t z 给出了最优设计中的第一个等价性 定理3 1 ，并证明了g 一最优与d 一最优是等价的，从而有力地推动了最优设计理论的发 展。w h i t t l e 等对等价性定理进行了进一步的研究f 7 1 。等价性定理指出，定义在信息矩阵 集合上可微有界的凸泛函( 即准则函数) 如果存在最大值，那么使得准则函数达到最大 值的设计必然是使得f r e c h e t 导数等于零的设计。随着最优设计的发展，不断出现新的最 优准则，其中a 一最优和d 一最优成为实际应用中最常用的准则。 1 2 来源与意义 衡量试验结果的指标称为响应变量。在实际应用中，模型往往有多个响应值，但以 上提到的工作基本上都集中在单响应模型最优设计方面。与单响应模型最优设计理论 的快速发展相比，多响应模型下的最优设计问题发展相对迟缓。d r a p e r 和h u n t e r 最 早研究多响应模型最优设计【8 1 ，考虑多响应模型下基于参数估计的试验设计问 题。r o y ，g n a n a d e s i k a n 和s r i v a s t a v a 将单响应模型下的经典最优设计准则推广到 多响应模型下9 1 。f e d o r o v 建立了多响应模型最优设计的理论基础并给出一种构 造d 一最优近似设计的迭代算法。c h a n g 证明了当多响应模型中的每个响应函数 都相同时，其d 一最优设计与具有相同的响应函数的单响应模型的d 一最优设计相 匾j 1 0 1 。w i j e s i n h a 和k h u r i 给出了当协方差阵未知时，生成多响应模型d 一最优设计 的迭代算法f 1 1 。c h a n g ，h u a n g ，l i n 和y a n g 【1 2 得到了一种简单的双响应模型的d 一最 第1 页 第一章绪论 优设计。 一般在给定准则的前提下，易得出最优设计。但在实际问题中，不一定能事先知道 正确的模型，而存在多个可能的模型的情况。如果面临多个模型都有可能被采用时，为 了使经过设计的试验能对这些模型的拟合具有较高的效率，可以使用复合设计来优化设 计。在a t k i n s o n 和b o g a c k a 1 3 1 的化学反应的动力学响应模型中，首次讨论了复合d 一最优 设计问题。 以上两种最优设计问题的研究分别得到了越来越多的重视，然而结合两种设计的研 究发展地相对缓慢。目前关于多响应模型最优设计的研究成果较少，尤其涉及到复合设 计的多响应模型的文献更少。因此，本文针对多响应模型复合设计，在已有文献的基础 上，主要研究了d 一最优和a 一最优准则下多响应线性模型的复合设计。本文首先建立了 多响应复合设计模型。在此模型的基础上，通过将单响应下成立的准则推广到多响应的 情况，构造出多响应复合设计的等价性定理，最终得到最优设计。最后，为了得到最优 设计，提出了迭代算法并通过m a t l a b 实现。通过理论推导和计算机仿真可以证明，本文 提出的迭代算法能够得到模型的最优设计，具有一定的研究价值。本文所解决的关键问 题在于准则的建立及其理论基础的构建，主要包括准则函数的建立和等价性定理的证 明。 1 3 主要内容结构 本文主要研究了在两个常用的准则下，多响应线性模型的复合最优设计，建立了多响 应复合设计模型及其等价性定理，并提出了新的迭代算法用于得到最优设计。本文主要 由四个部分构成。 第一章介绍了课题来源、目的以及意义。最优设计准则的国内外研究现状分析，包括 发展水平和存在的问题等。 第二章研究了d 一最优准则下的多响应模型复合设计，针对一般多响应模型给出了 多响应复合d 一最优的设计模型。在协方差阵已知的情况下，构造多响应复合d 一最优的 设计准则和等价性定理。对简单的模型，推导出最优解；在无法找到显示解的情况下， 给出构造复合最优设计的迭代算法。通过对简单模型数值例子的m a t l a b 仿真求解，可以 说明本文提出的迭代算法得到的最优设计和与推导出的最优解一致，具有一定的应用价 值。 第三章研究了a 一最优准则下的多响应模型复合设计，讨论了协方阵已知和未知两种 情况。在协方差阵已知的情况下，构造多响应复合a 一最优的设计准则和等价性定理，在 此基础上提出了迭代算法；在协方差阵未知的情况下，改进了迭代算法，在每次迭代开 始，根据上一次迭代结果重新估计协方差阵，并使用协方差阵的估计值完成迭代。通过 对数值例子的m a t l a b 仿真求解可以说明，本文提出的迭代算法得到的协方差阵估计值接 近于真实值，同时所得到的最优设计与协方差已知情况下的结果一致，具有一定的应用 价值。 第四章是小结。本文主要研究了多响应模型的复合设计，通过把单响应复合设计下成 第2 页 l 。3 主要内容结构 立的等价性定理推广到多响应的情况，构造出多响应复合设计的等价性定理，得到多响 应线性模型的复合最优设计的迭代算法，并通过程序实现。 第3 页 第二章多响应线性模型的复合d 一最优设计 第二章多响应线性模型的复合d 一最优设计 d 一最优准则是一种被广泛采用的准则，对于单响应回归模型d 一最优设计的研究已 较为深入f 2 1 。如果面临多个回归模型都有可能被采用，为了使经过设计的试验能对这些 模型的拟合具有较高的效率，可以使用复合设计来优化设计。a t k i n s o n 和b o g a c k a 1 3 首 先在化学反应的动力学方面研究了复合d 一最优设计问题。 同时，多响应模型在实际试验问题中也被频繁使用。当试验者在试验前面临若干个可 能被采用的多响应模型时，应该如何设计试验才能使得对其中每个模型的拟合都有较好 的效率。 本章主要研究了一组可能被采用的多响应模型，定义复合d 一最优准则，给出复合最 优设计的等价性定理。同时，使用等价性定理求得最优设计。其中，对几个简单的两响 应线性回归模型导出最优设计，并对一般的多响应模型给出构造复合最优设计的迭代算 法。 2 1 经典的最优设计准则 定义2 1 ： 2 对于单响应模型，在m ( - ) a 2 的- - 个准则函数圣，如果 圣( m ( + ) ) = i n ，圣( m ( 三) ) ， 则称f + 为准则垂下的最优设计。 1 式中，m ( ) 为信息阵，为测度，三为测度集合。 1 0 】 d 一最优准则 圣( m ( f ) ) = d e t ( m _ 1 ( f ) ) ， 统计意义：d 一最优设计下，参数估计值声的广义方差达到最小。 a 一最优准则 圣( m ( ) ) = t r m _ 1 ( f ) ， 统计意义：a 一最优设计下，未知参数p 各分量估计值的方差之和达到最小。 2 2 模型描述 考虑具有七个控制变量和m 个响应变量的设计。令为第 个模型中第歹个响应变量， z 是后维控制变量，设计区域为石cr ；如( z ) 为维已知的向量值函数：助为黝维未知参 数向量；为对应的随机误差，第t 个模型的所有响应满足下列线性模型 兰) = ( 臂( z ) 踞( z ) ：。z ，) ( 至) + ( 三 第4 页 2 3 构造多响瘟模型袋务d ，最饶设计准喇与等阶定理 简记为： k = 巧( z ) 屈+ 自， i = 1 ，h ，( 2 1 ) m 式( 2 - 1 ) 中，r ( z ) 为鼽m 维矩阵，鼽= 黝。设m 个响应变量的协方差矩阵为已知正定 j = l 矩阵。 考虑下列形式的设计测度 对于第i 个线性模型，其对应于设计测度毒的信息矩阵为 1 0 】 协方差矩阵满足， ( 2 2 ) ( 2 3 ) 一1p12pl上m) 在协方差阵中，鼬为应变量a 和6 的相关系数，满足m = p k 。当每个e 曲均不相关 时，鼬= o ( a ，b = 1 ，2 m ；a b ) 。 2 3 构造多响应模型复合d - 最优设计准则与等价定理 d 一最优设计准则是使得未知参数估计量的置信椭球的体积最小 2 】。考虑这样的设 计f ，它使得对这 个模型中每个模型的拟合都有尽可能高的效率。类似于单响应模型复合 设计 2 】，应该选取设计，使下列函数，y ( f ) 达到最大 2 】， 低，= 垂( 黜) ， p 5 ， 式( 2 5 ) 中，嚣是关于第i 个模型的d 一最优设计，巧豪示试验者采用第i 个模型的概率，a 是 信息阵尬( f ) 的维数，对应单个模型的响应个数，用于归一化对式( 2 5 ) 取对数，得 魄7 = 娄鲁魄 端) = 砉要魄l 尬c 钏一言要- 。g l 尬c 钏g 柳 第5 页 、 n n z 口 庇 砒 1 1 z 口 i i 、 z 矽 一 0 z 乃 口 n 潮 = 健忱 第二章多响应线性模型的复合d 一最优设计 式( 2 6 ) 右端的第二部分为常数。所以，使得7 ( ) 达到最大等价于使下列皿( 专) 达到最小， 即最优设计+ 满足， 吣) ：一妻弘g 咪) 皿( ) = 一豢i l o g 舰( ) i = 1 h， 鹕皿n 善弘g 咪) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 式( 2 7 ) 中，要求设计的支撑点个数应该大于每个模型所含参数的个数，即礼m a x ( p q ) a 显然，m ( ) 是关于的凸函数。本文称使( 2 7 ) 达到最小的设计为多响应线性模型( 2 一1 ) 的复 合d 一最优设计。 下面建立这个准则的等价性定理。首先求准则函数皿( ) 在沿厶方向的f r e c e t 导 数【14 】咖( z ，专) ： 地) - 口l i 。m 。去叭( 1 一n ) f + 。已) 皿( 扎口+ u 式中，表示质量集中于z 点的单点测度，即= ( ：) 。注意到 皿 ( 1 一口) + o ) 一皿( f ) = 一h l o g 蛐等铲= 一一 蛐号糙拶， 1 = 1 鲤一耋篑l 。g d e t 【( 1 叫h 。舰) 蚜飞) 】) ：一h 。l o g d e t i a ( i 一尬( z ) 圻1 恁) ) 】) = 一圣， 一一尬( ) m 1 ( 刚， l = j 式中，等号( 1 ) 的证明如下： 证明：令( ( 1 一口) j + 口舰( a 坷1 ( ) ) = d ，舰( 毒) = e ，证明等号( 1 ) 成立， 等价于瓮牌= d e t ( d ) ，其中，d 、e 为鼽维方阵。 且 1 d e t ( d e ) = d e t ( d ) d e t ( e ) 令d 的s v d 分解为：d = u d a d 堵，其中，为共轭矩阵，a d 为对角阵，对角 元素为d 的特征值m ，m a 复：同样令d 的s v d 分解为：e = a e 瞪。其中，a e 为 对角阵，对角元素为e 的特征值n ，a ：a 复； 第6 页 2 4 协方羞障己知情况下鳓多响应线性摸蚕的炙合p 一最饶设计 d e t ( d e ) = d e t ( v o a d v 谬a e 瞪) 型d e t ( a d v 谬u s a e ) 望矗k d e t ( v d h u e ) 矗k 望矗k 负k = d e t ( u d a d v h ) d e t ( u e a e v h ) = d e t ( d ) d e t ( e ) 式中，等号( 1 ) 是由于矩阵( a d v 分u e a e ) 左右乘以共轭矩阵，对应于矩阵行，列间变 换，行列式值不变；等号( 2 ) 是由于矩阵( 曙) 左，右乘以对角矩阵，对应于矩阵行，列 乘以相应对角元素，行列式值对应乘以对角元素倍；等号( 3 ) 是由于矩阵的行列式值为 其所有特征值的积。 证毕。 令尬( 已) 坷1 ( ) 的特征值为a 1 ，入2 ，k ，即得： 北，铲1 i r a 一j 喜舞l o g 鱼1 叫1 “) ) 2 蚤蠹暑( 1 。 ( 2 9 ) = 芝筹匦一打( 坛( 已) 岈1 ( 洲 = 1 一三扣( 尬( 已) 岈1 ( 甜 根据n e 眈e 亡导数性质【1 4 】，我们有下列等价性定理。 定理2 1 ：对于多响应线性模型( 2 - 1 ) ，设计喜+ 是复合d 一最优设计，当且仅当：孵咖( z ，f ) = o ， 戮窑鼽脱( 则纠乩 等价性定理可以用于判断一个给定的设计是否为最优设计；同时，也可利用等价性定 理来构造近似的最优设计。 2 4 协方差阵已知情况下的多响应线性模型的复合d 一最优设计 本节主要讨论如何构造迭代算法，求得多响应线性模型的复合d 一最优设计。 对于一般的多响应线性模型，不一定能求出其最优设计的显式解。在这种情况下，可 以采用迭代方法进行近似求解。本文提出了一种迭代算法。对于每次迭代，首先计算最 第7 页 第二章多响应线性模型的复合d 一最优设计 优的个支撑点，再计算这个支撑点上增加的最优步长，最后更新设计。这样，每次迭 代仅需要解决2 个简单的最优化问题。迭代算法的具体步骤如下： s t e p l 设定迭代序号i = 1 ，阈值t = 0 0 0 1 。当m i n ( z ，鳓的绝对值在t 内，则认 ；为m i n 砂( z ，鳓= 0 ，迭代结束。任意选取一个初始设计f o 如= x lx ：2 x n ) s t e p 2 如果一t m i n 妒( x ，毛) t ，则最优设计满足f + = 邑，迭代结束；否则，6 并不是 最优解，需要继续迭代。可以通过求解最优设计得到支撑点z + 。 z + a r g m 。i n ( x ，铀 式中，咖( z ，) 为d 一最优设计中的准则函数m ( ) 在沿方向上的f r e c 危e t 导数； s t e p 3 令。表示在z + 点处质量为，的单点测度，即已= ( ；) 。计算单点测度上的步 k a + 。 a + = a r g r a i n 皿 ( 1 一n ) + 吒) 口 式中，皿( ) 为d 一最优设计准则函数； s t e p 4 由单点测度已和对应的步长a + ，更新设计， 毛+ 1 = ( 1 一o ) 已+ o + ； s t e p 5 本次迭代结束，回到步骤2 ，继续下一次迭代，i 卜i + 1 。 最终得到+ = 已。 整个算法中，s t e pl 中的初始设计对整个算法的迭代次数会产生一定影响，对于支撑 点已知的初始设计迭代次数较少；对于初始支撑点有误的情况下，虽然迭代次数较多， 但是依然可以得到近似的最优设计，可以通过如下的算例说明。 例2 1 ：两个两响应线性模型情况 ( ；：) = ( ，五( z ) ，五。z ，) ( g ：) + e e l 。：l ， ( 篡：) = ( 蹋( z ) ，荔。z ，) ( 爱：) + ( ；兰) ， 第8 页 盔( z ) = ( 1z ) ，尼( z ) = ( 1 zz 。) ； 蹋( z ) = ( 1 x x 2 ) ，馒( z ) = ( 1 。z 。) 2 4 办方差薄已知情况一f 的多嘀虚线性模型的复合p 一最傥设子 不妨设两响应的协方差阵为单位阵，即：= 屯；设计区域为【1 ，1 】假设这两个模型 分别用来进行拟合的可能性大小为k 1 和k 2 ，并且k 1 + 南2 = 1 。由于所有模型中最大阶数 为3 ，故取3 个支撑点，考虑下列形式的设计 f = ( ：1 黑) ， 其中，让为待定常数，且u 0 ，0 5 。容易求得在设计( 2 一l o ) 下这两个模型的信息矩 阵尬( 荨) 与尥( f ) ， i 尬( ) i = 8 u 3 ( 1 2 u ) ，l ( ) l = 1 6 u 4 ( 1 2 u ) 2 由式( 2 7 ) ，可以求得准则圣在处的值， 卫 ) = 一，1 0 9i u l ( f ) l 一基l o gf ) i = 一鲁 1 0 98 + 3 l o g u + l o g ( 1 2 仳) 】一垃p 2 1 0 91 6 + 4 1 。g u + 2l o g ( 1 2 u ) 由于 掣d u = 一筹( 罢一熹12 u ) 一p 垒2 ( 三一熹12 u h 一= = 一一i l 一一一i = = i - p 1 u 一 缸 一 求解该方程，并将p 1 = 5 ，p 2 = 6 v a 及k 2 = l 一忌1 代入，得到： 3 k i p 2 + u 2 8 k i p 2 + 4 k 2 p l 9 k l + 1 0 乜1 0 一k l 、 ( 2 1 1 ) 记由( 2 一l o ) 与( 2 1 1 ) 确定的设计为莓+ 。下面使用等价性定理直接证明f + 为最优设计。 将 矗( f + ) 和( + ) 代入式( 2 7 ) ，可得： 妒( z ，+ ) = 争 5 一t r ( m l ( & ) m 1 1 ( ) ) 】+ 鲁【6 一t r ( m 2 ( 岛) 岈1 + ) ) 】 = ( 芒爱争+ 等等鲁) 一( 右芒争+ 让。1 ，- 一f l 。u 缸，k 6 2 ) z 2 一( 南譬+ 丽圭丽鲁) z 4 将七2 = 1 一忌，和让= 嚣丧代入上式，z 。一i o ( z ，f + ) 的表达式 她) = 等等( x 2 _ x 4 ) 通过计算或作图可以得到上式的极值。如图2 1 所示，( z ，f + ) 在+ 的三个支撑点z = 一1 ，0 ，l 处取得最小值0 。由等价性定理( 定理2 1 ) 可以证明，+ 为所考虑的两个两响应模型 的复合d 一最优设计。 对于一般的多响应线性模型，往往很难像上述模型那样求出最优设计的显式解。在 这种情况下，可以采用本文提出的迭代方法进行近似求解。对于上面的两个两响应模型 第9 页 第二章多响应线性模型的复合d 最优设计 图2 1最优设计情况 f r e c h e t 导数与x 的关系 在后l = 器时求复合d 最优设计。本文取了两个初始设计分别运用上述算法，得到数值结 果。结果表明由此得到的解与由( 2 1 0 ) 及( 2 1 1 ) 给出的显示解是一致的。数值结果如下。 c a s e1 ：支撑点已知情况。 取初始设计为如：( 一17 ：) ，迭代1 5 次结束。迭代结果如表2 1 所示。 最终删弘缸= ( 。三6 。罢2 8 。川。 c a s e2 ：支撑点有误情况。 取初始设计为如：f 一1 一；j ) ，迭代1 3 0 5 7 次结束。迭代结果如表2 2 所示。 最终得到孓= ( 。二6 。意3 。另2 3 。未三3 6 ) ，其中支撑点一；与 可以 忽略。 、7 下面通过三个两响应线性模型和两个三响应线性模型的例子，验证本文所提出的迭代 算法的可行性。 例2 2 ：三个两响应线性模型的情况 ( ：) = ( 船( z ) ，磊。，) ( 墨：) + ( ；：) ，矗c z ，= ( zz ) ，墨c z ，= ( 1 z z 2 ) ； 2 4 协力差蓐己知：漪溉下鲍多响直线性旗垄跨复参d 一最侥设计 表2 1支撑点已知情况下两个两响应线性模型d 一最优设计迭代结果 表2 2支撑点有误情况下两个两响应线性模型d 一最优设计迭代结果 第1 1 页 第二章多响应线性模型的复合d 一最优设计 y 2 2 = y 3 1 ( z 五( z ) 工五。z ，) ( 笼) + e e 。2 2 1 ，丢c z ，= ( zz 。) ，乏c z ，= ( - zz 。) ； = ( ，磊( z ) ，丕。z ，) ( 震：) + 。3 。1 ，磊c z ，= ( 1z ) ，丕c z ，= ( - z ) 对于上面的三个两响应模型在后1 = 后2 = k 3 = 时求复合d 一最优设计。利用迭代算法，数 值结果如下： 取初始设计为岛= ( 1 迭代1 2 次结束。迭代结果如表2 3 所示。 表2 3 两个三响应线性模犁d 一最优设计迭代结果 最终得到f = f z = - i 6 。曼8 。刍6 ) 。 因此，本文的迭代算法对于三个两响应线性模型，能够在有限迭代次数内得到最优设 例2 3 ：两个三响应线性模型的情况 1 1 f f l 2 e 1 3 盔( z ) = ( - z ) ，危( z ) = ( 1z ) ，咒( 。) = ( 1 xx 2 ) 第1 2 页 、 上1130一l一3 2 4 协者差黪已知清况下约多嚆应线性横垄盼复合d 一最侥设计 i i i i i ( 三i ) = ( 霸。届 ，忍扛，) ( 基) + ( 1 兰) 踢( z ) = ( 1 zx 2 ) ，癌( z ) = ( 1zx 2 ) ，恐t ( z ) = ( 1zz 2 ) 对于上面的两个三响应模型在k 1 = k 2 = 0 5 时求复合d 一最优设计。数值结果如下： c a s e1 ：支撑点已知情况。 取初始设计为岛= - ：1 o 1 ) ，迭代1 5 次结束。迭代结果如表2 4 所示。 表2 _ 4支撑点已知。三个两响应线性模型d 一最优设计迭代结果 最终得到f = f t 5 = - 1 9 。2 0 盟。三9 ) 。 c a s e2 ：支撑点有误情况。 取初始设计为岛：f 一1 一亏1 ；：、) ，迭代1 4 8 4 次结束。迭代结果如表2 5 所示。 一44 。4 互 第1 3 页 最终得到 第二章多响应线性模型的复合d 一最优设计 表2 5支撑点有误，二个两响应线性模型d 一最优设计迭代结果 一0 0 0 2 0 0 0 1 比较c a s e l 和c a s e 2 ，可以得到两种情况下所得结果接近。但支撑点有误的情况下的迭 代次数较多。 通过具体例子计算，可以发现迭代算法的s t e p1 中初始设计的好坏对后面的迭代次数 会产生一定影响，有些初始设计可以减少迭代次数。对于初始设计的选择，可以在将来 进一步讨论。 2 5 本章小结 本章主要研究了多响应线性模型的复合d 一最优设计。根据已有的单响应复合设计准 则，提出了多响应复合d 一最优设计准则，并利用f r e c 九e t 导数性质推导出最优设计的等 第1 4 页 、i 63 0 9l0似嘶 n d 一 0薹堇似 m d& ；勰m凹 一1 3 m 9 告呱0 8 8 o 屹 一 戳 0 0 l 围厂h 。啪 = 芑u 2 5 末章 、结 价条件。同时，在等价性定理的基础上提出了一种迭代算法。算法中，对于每次迭代， 首先计算最优的一个支撑点，再计算这个支撑点上增加的最优步长，最后更新设计。通 过实验仿真可以证明，在各种初始设计条件下，该算法都能在有限迭代次数内得到最优 设计的估计值，且所得结果接近于理论推导的最优解。 第1 5 页 第三章多响应线性模型的复合a 一最优设计 第三章多响应线性模型的复合a 一最优设计 a 一最优设计最早由e l f v i n g 和c h e r n o f 提出f 1 6 1 。一般的最优设计准则都是关于信 息矩阵m ( ) 的泛函，a 一最优设计是使得未知参数的估计量各分量方差的平均值最 d , 1 7 1 ，a 一最优准则和d 一最优准则一样，也是常用的准则之一。 本章对一组可能被采用的多响应模型定义复合a 一最优准则，给出复合最优设计的等 价性定理，并分协方差阵已知和未知两种情况讨论。作为数值例子说明，对一般的多响 应模型给出构造复合最优设计的迭代算法。 3 1 模型描述 本章所有模型和以及记号与第二章的多响应模型一致，同样考虑具有k 个控制变量 和m 个响应变量的试验设计问题。对于模型i ，可以建立控制变量与多个响应的关系。 简记为 式中，e 扛 设计测 协方差 玑，、 ，培( 。) i 玑2ii 路( z ) 吲2lz ：。z ，) ( 兰) + ( 三三) k = 硭( z ) 展+ 矗， i = 1 ，h ， ) 为胁xm 维矩阵，鼽= 设m 个响应变量的协方差矩阵为 炽意笼) 脯嗍沪耋。讹p 1 碍c 矩阵满足， = c o v c m ，= 1 , 0 1 2 p l m ) ( 3 1 ) 已知正定矩阵 z ) 。 在协方差阵中，眦为应变量a 和6 的相关系数，满足舳= j 9 乩。当每个口6 均不相关 时，p 曲= o ( a ，b = 1 ，2 m ；a b ) 。 3 2 构造复合a 一最优设计准则与等价定理 a 一最优设计是使得未知参数的估计量各分量方差的平均值最小 1 8 。考虑这样的设 计f ，它使得对这 个模型中每个模型的拟合都有尽可能高的效率，即：应该选取设计 ，使函 第1 6 页 3 2 镌建复合4 一最侥设计堆磷与等价定理 数7 ( ) 达到最小， 依，= 垂( 耥) k ， ( 3 2 ) 式( 3 2 ) 中，嚣是关于第i 个模型的a 一最优设计，表示试验者采用第i 个模型的可能性大 小，对式( 3 2 ) 取对数， 低) 2 f h 。g 翱) p 3 ， = k il o g t r i m s - 1 ( ) ) 一k il o g t r m i - 1 ( ) 】) 式( 3 3 ) 右端的第二部分为常数，所以使得7 ( ) 达到最小等价于使下列皿( ) 达到最小， 即最优设计f 满足， h 皿( ) = k i l 。g t r 【何1 ( 伽 i - - - - 1 ( 3 4 ) ( 3 - 5 ) 显然，皿( f ) 是关于f 的凸函数【1 9 卜因此，本文称使式( 3 4 ) 达到最小的设计为多响应线 性模型( 3 1 ) 的复合a 一最优设计 下面建立这个准则的等价性定理。首先，求准则函数皿( 善) 在沿已方向的f r e 眈e t 导 数( z ，专) ： 似，f ) = 溉三【皿 ( 1 一n ) f + 吒卜皿( 钏， 式中，已表示质量集中于z 点的单点测度。注意到， ( z ，) = l i mj 皿 ( 1 一o ) + 倒厶】一皿( 亭) ) = t i m ： ek il o g t r m f l ( 1 一o ) f + 伍靠) 一t r m 1 ) ) ：爱皿 ( i 1 = 一1 。) f + 心 ( 3 6 ) = 1 一壹盥黹端趔 式( 3 6 ) 中，最后一个等号的证明如下， 第1 7 页 f 何 r r j 、 g 0 澍 n 一； g 壮 = 毒 第三章多响应线性模型的复合a 一最优设计 孟皿 ( 1 一n ) 十o 】 = 岳壹引。g 协 ( 1 一。) 尬( ) + 口舰( 已) 】一1 ) ：圭爱l 。g 协 ( 1 一。) 必( 荨) + n 坛( 纠】一，) = 耋帮裂辫| 口- 。 = 耋寄裂搿i 口- 。 = 舡地型业些嵫躲鬻蒜铲幽盟型业k 。 o ，- t r 【( 1 - a ) m i ( ( ) + a m t ( 矗) 】“m ( 矗) 一( 洲( 1 一口) ( f ) + 口帆( 岛) 】- 1 i 2 刍概上百西罚瓦酉葡砥丽严一i 口_ o = 一蚤h 协 横溉) | o = 。 卅一查业等黼型 因此，根据f r e c k t 导数性质 1 4 】有下列等价性定理。 定理3 1 ：对于多响应线性模型( 3 一1 ) ，设计f + 是复合a 最优设计，当且仅当哦( z ，+ ) = o ， 即： 磷p h 堂端篙趔“ 等价性定理可以用于判断