（原子与分子物理专业论文）聚合物应力松弛过程中的分数maxwell模型研究.pdf

摘要 聚合物是典型的粘弹性材料，其粘弹性研究对于认识其结构运动、相转变机制及 结构与性能关系都具有重要意义。将分数微积分引入本构关系为粘弹性研究带来了新 的工具和方法，使粘弹性理论有了突破性发展，但相应的研究较少。本文用分数 m a x w e l l 模型对聚合物f i t e 的应力松弛过程进行了研究。 分数m a x w e l l 模型的渐进行为是确定其参数的基本依据，但根据实验数据确定的 松弛时间f 与渐进解成立的条件并不自洽，拟合得出的f 可能会大于测试时间t ，而不 是满足t f 。 讨论了分数m a x w e l l 模型参数的确定问题，结果表明分数m a x w e l l 模型的参数 存在一定的调节自由度。始末时段的实验数据确定了两个串联分数单元的分数阶( 松 弛指数) ，选取不同的实验数据组将给出不同的指数；在一定范围内，分数m a x w e l l 模型的拟合结果对松弛时间f 并不十分敏感。 由于分数单元中的松弛时间r 和模量强度e 并不是独立参数，为了避免由渐进 行为拟合出的松弛时间f 与渐进条件的矛盾，可以选取适当的松弛时间r ，通过起 始时段tc cr 的渐进行为确定模量强度e 。适当优化分数m a x w e l l 模型的参数，可 以在整个时段内对粘弹性应力松弛过程给出很好的描述。 关键词：聚合物；p t f e ；粘弹性；应力松弛：分数m a x w e l l 模型； i i a b s t r a c t p o l y m e r sa r et y p i c a lv i s c o e l a s t i cm a t e r i a l s t h es t u d yo ft h ev i s c o e l a s t i c i t yi s i m p o r t a n tt ou n d e r s t a n dt h e i rs t r u c t u r e ，m o t i o na n dp h a s et r a n s i t i o na sw e l la st h er e l a t i o n b e t w e e ns t r u c t u r ea n dp r o p e r t i e s t h ei n t r o d u c t i o no ff r a c t i o n a lc a l c u l u sp r o v i d e dn e w t o o la n dm e t h o d sf o rs t u d y i n gv i s c o e l a s t i c i t y , c o r r e s p o n d i n gs t u d yi sq u i t el a c k i nt h i s p a p e r , t h es t r e s sr e l a x a t i o np r o c e s s i o no fp m i ss t u d i e db yu s i n gf r a c t i o n a lm a x w e l l m o d e l t h ea s y m p t o t i cs o l u t i o no ff r a c t i o n a lm a x w e l lm o d e la r ea s s u m e dt ob et h es t a r t i n g p o i n t t od e c i d et h ep a r a m e t e r s ( 卢，a ，f ，e ) ，b u tt h er e l a x a t i o nt i m eff i t t e d b y e x p e r i m e n t a l d a t ai si nc o n t r a d i c t i o nw i t l lt h ec o n d i t i o n so ft h ea s y m p t o t i cs o l u t i o n s r e l a x a t i o nt i m e rf i t t e dm a yb el a r g e rt h a nt h et e s t i n gt i m e ，t h er e s u l td o e s n ts a t i s f yt h e c o n d i t i o n o f t f a f t e rd i s c u s s i n gt h ed e t e r m i n a t i o no ft h ep a r a m e t e r so ff r a c t i o n a lm a x w e l lm o d e l ， t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ep a r a m e t e r so ff r a c t i o n a lm a x w e l lm o d e le x i s tc e r t a i na d j u s t i n g f r e e d o m t h er e l a x a t i o ne x p o n e n t 占a n d 口( o r d e ro ft h ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v e s ) c a nb e d e c i d e da c c o r d i n gt ot h ee x p e r i m e n t a ld a t ao ft h ei n i t i a la n dt e r m i n a lt i m e ，r e s p e c t i v e l y d i f f e r e n tt h er e l a x a t i o ne x p o n e n ti sg i v e no u tb yc h o o s i n gd i f f e r e n te x f l e r i m e n t a ld a t a t o c e r t a i ne x t e n t ，t h er e l a x a t i o nt i m ei sn o ts e n s i t i v et ot h ef i t t i n gr e s u l t s b e c a u s et h er e l a x a t i o nt i m ea n dm o d u l u sa r cn o ti n d e p e n d e n tp a r a m e t e r s r e l a x a t i o n t i m e rc a nb ec h o s e np r o p e r l yi no r d e rt oa v o i dc o n t r a d i c t i o nw i t ha s y m p t o t i cc o n d i t i o n s t h em o d u l u sec a nb ed e t e r m i n e db yu s i n gt h ee x p e r i m e n t a ld a t ao ft h ei n i t i a lt i m e t h e f r a c t i o n a lm a x w e l lm o d e lc a nd e s c r i b et h ev i s c o e l a s t i cs t r e s sr e l a x a t i o nb yo p t i m i z i n gt h e p a r a m e t e r sp r o p e r l yv e r yw e l l k e y w o r d s ：p o l y m e r ；p t f e ；v i s c o e l a s t i c i t y ；s t r e s sr e l a x a t i o n ；f r a c t i o n a lm a x w e l l m o d e l ； 1 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确地说明并表 示了谢意。 签名：弛啦日期：一：2 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：i 五啦导师签名：避日期：甚竺蚪 西北师范大学硕士学位论文 第一章聚合物的粘弹性及经典模型 第一节聚合物的结构特点与力学性能 聚合物作为新型材料在工农业生产和日常生活得到广泛应用，这主要是基于它 们一系列优异的物理性能。聚合物的物理性能是其结构特点的直接反应，研究聚合 物的结构特点及结构与物理性能的关系，对于合成高性能聚合物，通过改变其结构 来改进性能，提高加工工艺的水平都是有帮助的 1 。2 】。 1 1 1 聚合物的结构及特点 聚合物是由各类单体分子通过聚合反应而形成的高分子材料，它的结构非常复 杂，通常分为分子链结构和聚集态结构两大类。 分子链结构指的是单个分子的化学结构和立体化学结构以及分子的大小和形 态，包括近程结构和远程结构。其中近程结构主要是指组成高分子的结构单元的化 学组成和键接方式、空间排列及支化、交联等问题。对聚合物链的重复单元的化学 组成一般都是比较清楚，它取决于制备聚合物时使用的单体；在缩聚和开环聚合中， 结构单元的键接方式一般是明确的，但在加聚过程中单体的键接方式可以有所不同， 例如单烯类单体( c h 2 = c h r ) 在聚合过程中可能有头头、头尾、尾尾三种方式。 结构单元的不同键接方式对聚合物材料的性能会产生较大的影响，如聚氯乙烯链结 构单元主要是头一尾相接，若含有少量的头头键接，则会导致热稳定性下降；结构 单元原子在空间的不同排列会出现旋光异构和几何异构( j 顿反异构) ，这会极大的影 响聚合物的力学性能。如果高分子结构单元中存在不对称碳原子( 又称手性碳) ，则 每个链节就有两种旋光异构。它们在聚合物中有三种键接方式：全同立构、间同立 构、无规立构。分子的立体构型不同对材料的性能会带来影响，例如全同立构的聚 苯乙烯结构比较规整，能结晶，熔点为2 4 04 c ，而无规立构的聚苯乙烯结构不规整， 不能结晶，软化温度为8 0 c 。对于i ，4 一加成的双烯类聚合物，由于内双键上的基 团在双键两侧排列的方式不同而有顺式构型与反式构型之分 2 - 3 。 远程结构包括分子的大小、链的柔性以及分子在各种环境中所采取的构象i 3 1 。 分子大小的量度最常用的是分子量，而分子量对聚合物材料的力学性能及加工性能 有重要影响；通常高分子的主链很长并不是伸直的，它可以卷曲起来使分子呈现各 种形态。把高分子链能以不同程度卷曲的特性称为柔性。长链的柔性是聚合物特有 的属性，是决定高分子形态的主要因素，对聚合物的力学性能有根本的影响。它的 大小取决于分子内旋转的受阻程度。例如，聚二甲基硅氧烷因内旋转比较容易，所 第一章聚合物的粘弹性及经典模型 以它的柔性较好。芳杂环因不能内旋转，所以主链中含有芳杂环结构的高分子链的 柔性较差，具有耐高温的特点【”。 聚集态结构是指聚合物材料本体内部高分子链之间的几何排列，包括晶态结构、 非晶态结构、取向态结构以及织态结构【3 1 。结构规整的聚合物容易结晶，例如高密 度聚乙烯、全同聚丙烯和聚酰胺等。由于结晶聚合物中往往存在一定的无定型区， 所以即使是结晶度很高的聚合物也存在缺陷。结构不规整的聚合物结晶困难，一般 为无定型态，例如聚氯乙烯、聚甲基丙烯酸甲酯等。无定型聚合物在一定负荷和受 力速度下，在不同的温度下可呈现玻璃态、高弹态和粘流态三种力学状态【4 】。 聚合物的结构错综复杂，总体上讲有以下几个主要特点【3 】： ( 1 ) 高分子链的结构单元数目很大( 1 0 3 1 0 5 数量级) ，相应的高分子链的分子量也 很大。这些结构单元可以是一种( 均聚物) ，也可以是几种( 共聚物) 。它们通过共 价键连成不同的结构：线性的、支化的( 长支链和短支链) 、星形的、梳形的、梯形 的和网形的。 ( 2 ) 一般高分子的主链都有一定的内旋转自由度，可以弯曲，使高分子长链具有柔 性。且由于分子的热运动，柔性链的形态可时刻改变，呈现无数可能的构象。如果 组成高分子链的化学键不能内旋转，则形成刚性链，使高分子链具有一定的构象及 构型。 ( 3 ) 高分子链一旦存在有交联结构，即使交联很小，高聚物的力学性能也会发生很 大变化，主要表现是不溶和不熔。 ( 4 ) 由于高分子有很多结构单元，因此结构单元之间的范德华相互作用就显的特别 重要，对高聚物的聚集态结构及高聚物材料的物理力学性能有重要的影响。 ( 5 ) 高聚物的分子聚集态结构存在晶态和非晶态。高聚物的晶态比小分子晶态的有 序程度差的多，但高聚物的非晶态却比小分子液态的有序程度高。这是由于高分子 的分子移动比较困难，分子的几何不对称性大，致使高分子链的聚集体具有一定程 度的有序排列。高聚物分子聚集态结构是决定聚合物材料使用性能的主要因素。 1 1 2 聚合物的力学性能 聚合物力学性能的最大特点是高弹性和粘弹性。讨论聚合物的力学性能不仅可 以对聚合物的力学特征给予适当的宏观描述，而且可以从化学组成和物理结构的细 节出发，用分子观点对上述特征给予分析【”。 1 1 2 1 聚合物的高弹性 高弹性是高聚物区别于其它材料的一个特性。轻度交联的高聚物在玻璃化温度 西北师范大学硕士学位论文 以上具有典型的高弹性。高弹性的特征表现在【3 j ： ( 1 ) 弹性形变大，可高达1 0 0 0 。而一般金属材料的弹性形变不超过1 。 ( 2 ) 弹性模量小，高弹模量只有1 0 6 1 0 7 达因，厘米2 ，而一般金属材料的弹性模量 可达1 0 “一1 0 ”达因，厘米2 。且高弹材料的弹性模量随绝对温度的增加而增加，而金属 材料的弹性模量随温度的增加而减少。 ( 3 ) 在快速拉伸时( 绝热过程) ，聚合物温度升高，而金属材料的温度则降低。 高弹性本质上是熵弹性，它不同于金属材料由于内能变化而引起的能量弹性一 普弹性。高聚物具有高弹性的必要条件是分子链的柔性。为了避免分子链间的滑 移造成的粘性流动，采取分子问交联的办法，但仍须保持交联点间的链段有足够的 活动性，才能产生高弹形变。 1 1 2 2 聚合物的粘弹性 粘弹性是聚合物材料力学性能的一个重要特征。我们知道，理想的弹性固体服 从胡克定律，即在形变很小时，应力正比于形变，而理想的粘性液体服从牛顿定律， 即应力正比于应变速率。聚合物受到外力而产生的变化介于弹性固体和粘性液体之 间，是典型的粘弹性材料。聚合物材料的粘弹性因受外部环境的作用不同而表现出 不同的现象。最基本的粘弹性现象有蠕变、应力松弛、滞后和力学损耗。 ( 1 ) 蠕变 蠕变是指在一定的温度和较小的恒定外力( 拉伸、压缩或剪切) 作用下，材料 的形变随时间的增加而逐渐增大的现象。如果在一定时间后，将应力除去，应变随 时间逐渐缩小的过程称为蠕变回复。 这种关系的应变一时间曲线称为： 蠕变曲线【3 】。如图( 1 1 ) 所示。 粘弹性材料的形变同外力作用时间有关，描述 从分子运动的观点分析蠕变 。 现象，可把材料的形变分为三类： 。 第一类为“瞬时”弹性形变s 。， 它是在外力作用下由分子的键长 辩童力8 钟熊封问如曩弛 够霉聋姆；时嗣翁篝池 和键角变化引起的，形变量很小， 图( 1 1 ) 蠕变示意图 响应是瞬时的：第二类是“滞后” 弹性形变s ，它是由链段的运动使分子链构象发生变化而造成的；第三类是牛顿形 变部分f ，它是服从牛顿粘性定理的粘性液体的形变部分，是分子间质心的相对位 置移动造成的。后两类分子运动单元尺寸较大，宏观形变量也较大，具有时间依赖 3 第一章聚合物的粘弹性及经典模型 性。而蠕变过程中总的应变s 可看成是以上三类形变的综合反映。如果材料是线性 的，在简单的负荷实验条件下，可定义出蠕变柔量，o ) 为 盟。j ( f ) ：j 1 + j 2 + j 3 ( 1 1 1 ) o 它仅仅是时间的函数。，、j 2 和厂，分别与s i 、9 2 和，相对应，这里j ，项是牛顿流 动项，对于刚性高聚物，在通常温度下，由于它们的粘度特别大，因此这一项可以 忽略。对于线性非晶态高聚物而言当温度高于其玻璃化转变温度时，j ，这一项就不 能忽略。当温度很低时，它们的行为则主要由 和，：项决定。对于交联高聚物则不 存在，项1 4 】。 我们知道高聚物的力学性质依 赖于实验的时间尺度和温度，其行 为可以是玻璃态、粘弹态、橡胶态 或流动态。图n 2 ) 是理想的非晶态 高聚物在一定温度和很宽时间范围 内柔量随时间的变化情况，它只有 一个松弛转变区。由图可知，短时 间实验观察到的是玻璃态固体的柔 量，它与时间无关，其值约为1 0 “o 髓键盎 枯；i 露 掉k 盎 ，翻 戚。熏j 图( 1 2 ) 蠕变柔量，( r ) 与时间r 的关系 f 是特征时间( 即推迟时问) 厘米2 达因。很长时间实验观察到的是橡胶态固体的柔量，同样它也与时间无关， 其值约为1 0 - 6 厘米2 达因。而在这两者之间的时间范围内，柔量介于二者之间且与 时间有关。上述情况是粘弹性行为的普遍现象。由此我们可以看出，高聚物的力学 行为应由实验所取的时间尺度与高聚物本身某种基本时间参数这二者之间的相对大 小所决定。 ( 2 ) 应力松弛 应力松弛是指在一定温 度下，当应变保持不变时材 料的应力随时间增加而逐渐 衰减的现象。根据线性的假 定，我们可以定义应力松弛 模量g ( t ) ；盯o ) ，s 。在应力 松弛实验时粘性流动的存在 图( 1 - 3 ) 应力松弛模量g ( i ) 与时间的关 系，r 为特征时间( 即松弛时间) 4 ，i ；= 磊堪囊 西北师范大学硕士学位论文 将影响应力的极限值。在足够长的时间内，将使应力仃( f ) 衰减到零【3 1 。无粘性流动 时，应力值衰减到恒定值。图( 1 3 ) 是应力松弛模量与时间关系的示意图，把它与图 ( 1 - 2 ) 相比较，可以看出，它们都可分为具有相同行为的区域，即玻璃态、粘弹态、 橡胶态和流动态四个区域。转变时间百是表征该高聚物粘弹行为的时间尺度。 ( 3 ) 动态力学实验 在这类实验中，应力或应变是一个角频率为c i l 的振动函数。维持应力为正弦函 数 盯；盯os i n e x ( 1 1 2 ) 在正弦应力的作用下，分子链段的重排运动( 即应变的发展) 需要一定的时间， 这将使应变滞后于应力，损耗一部分能量。作为热损耗掉的能量就是力学损耗。它 反映在应力与应变之间有一个相位差6 。因此在正弦应力作用下，聚合物的应变响 应也是一个相同频率的正弦函数，但与应力之间存在一个相位差t 5 ，即 = os i n ( o x 一6 )( 1 1 3 ) 把上式展开后发现应变的响应包括两项，一项与应力同相位，是聚合物材料弹性的 反映。另一项比应力落后9 0 0 ，是粘性的反映。对于聚合物材料，由于存在相位差 所以模量是一个复数，通常用e 来表示 e ；e ( 甜) + e ”)( 1 1 4 ) 复数模量的实数部分e ( m ) 表示物体在形变过程中由于弹性行变而储存的能量，叫 储能模量。虚数部分e ”( ) 表示形变过程中以热损耗的能量叫损耗能量【4 l 。损耗角正 切喀6 满足 咖鬻 ( 1 1 5 ) 第二节粘弹性问题的经典模型 为了从现象上描述材料的粘弹行为，常采用两种基本的力学元件：一种是胡克 弹簧，其运动服从胡克定律，一般表示为应力o ( t ) 正比于应变( f ) o ( 0 = e s ( f ) ( 1 2 1 ) e 为杨氏模量，其倒数为弹簧的柔量；另一种是牛顿粘壶，它可用牛顿流动定律来 描述应力一应变关系，通常表示为应力正比于应变速率 盯( f ) ：，7 翌掣( 1 2 2 ) f r 为液体的粘度系数。 第一章聚合物的粘弹性及经典模型 为了描述粘弹性材料的动力学行为，前人提出了不同的模型。最基本的一类是 将弹簧和粘壶进行不同的串并联组合。 1 2 1m a x w e l l 模型 这些模型中，最简单的就是m a x w e l l 模型，它是由一个弹簧和一个粘壶以串联 的形式组成的。由于串联组合中应力相等，总应变为两力学元件的应变之和，相应 的本构方程为 警+ i 1 螋d t = 绁d t ( 1 2 3 ) 竹e 、7 在应力松弛过程中因为总应变恒定，所以竽。o 代入( 1 2 3 ) 式得 三塑+ 里：o (1124)edt r l 、7 在时间f = 0 ，d = 的起始条件下，经积分后可得到应力随时间的变化行为， o ( 0 = ( r o e 7( 1 2 5 ) 将式( 1 2 5 ) n 边除以便得到应力松弛模量 e ( t ) = e ( o ) e 。“( 1 2 6 ) 式中f = 叩e ，称为松弛时间，e ( 0 ) = ( r o ，表示起始模量。 这一模型不适用描述蠕变，在蠕变的情况下塑d t = o ，由( 1 2 3 ) 得出 盯( f ) = r 里掣的关系式即应变为一恒定值，相当于粘性流体的力学行为。显然这 岔f 与粘弹性材料的一般情况是不符合的： 1 2 2k e l v i n - - v o g i t 模型 k e l v i n - - v o g i t 模型是由一个弹簧和一个粘壶以并联的方式组成的。由于并联组 合中应变相等，故总应力应为两力学元件的应力之和，相应的本构方程为 喇出( f ) + r l 警 ( 1 2 - 7 ) 在蠕变过程中，仃；( r o 为常数，代入式( 1 2 7 ) 得 j 丝) _ d t 一 ( 1 2 8 ) - e e ( t ) r l 、 在t = 0 时，= 0 对上式积分得到应变随时间的变化行为， ( f ) ：粤( 1 _ e - t l t )( 1 2 9 ) 6 西北师范大学硕士学位论文 式中f ；卵i e ，称为推迟时间。松弛模量是一个d 函数加上一个常量值e ， g o ) = e + ，7 6 0 )( 1 2 1 0 ) 这一模型不适用描述应力松弛，在应力松弛的情况下譬；0 ，由式( 1 2 7 ) 得出 仃o ) = e e ( t ) 的关系式。即应力为一恒定值，相当于弹性固体的力学行为。显然这与 一般的粘弹性行为不符合【4 】。 1 2 3z e n e r 模型 m a x w e l l 模型适用于描述粘弹性固体的应力松弛行为，而k e l v i n 模型适用于描 述其蠕变行为。但是这两个模型都不能全面描述聚合物静态粘弹性的一般行为，也 不能描述动态粘弹性中相关物理量的关系。而z e n e r 模型克服了上面两种模型的缺 点，它即能描述应力松弛行为又能描述蠕变行为。它是由一个弹簧和一个m a x w e l l 模型并联组成的，其本构方程为 5 】 1 + a 丢 盯o ，2m + 6 丢】s o ，( 1 2 1 1 ， 它适用于各种高聚物在其主粘弹区所观察到的力学行为的近似表达，但是这种 模型只能给出具有单一松弛时间的指数形式的响应。要把聚合物的粘弹行为完全定 量的描述出来需要将更多的弹簧和粘壶组合，得到更为复杂的粘弹性动力学方程【4 l 。 第三节分数微积分在聚合物粘弹性问题中的应用 由于聚合物粘弹性的研究内容极其复杂，传统的整数阶微积分在应用时所需参 数较多，不能够很好的描述粘弹性材料在一个大的频率范围内的力学特性。而分数 微积分的引入，可以较好的描述粘弹性材料在一个大的频率范围内的力学特征。所 以用分数阶微积分处理粘弹性材料的力学问题常会带来方便。 分数阶微积分的概念的提出同整数阶微积分一样悠久。由于缺少明确的物理或 几何意义，分数阶微积分的理论发展较慢，其应用更稀少。分数微积分的定义有多 种形式，如r i e m a n m - - l i o u v i l l 定义【6 1 ，先定义q 阶积分 j 。，蛸明? b ) 2 南p f ) “，- 如 ( 1 3 1 ) 当0 m 一1 o ( 2 1 1 ) 称为定义在0 ，b 】上的a 阶r i e m a n n l i o u v i l l e 分数积分。 若f ( x ) c ( 口，b 】r o s m 一1 as m 。噬m 划删= 竺a t 南r ( mj ：揩“。 删) 叫)a d ：，o ) = d 。，o ) = 兰一兰丽f 石势- r ， ( o 口 0 时 。所啪) = 志j ：( f 叫f ( o 拓志一啪) ( 2 1 9 ) r t ) = r o p l ( 2 1 1 0 ) j h j ( 2 1 7 ) 和( 2 1 1 0 ) 式得 工 o p i 9 ，( f ) 。s - p f ( s ) f 2 1 1 1 ) 当0 s 订一1 ps n 时 l o d f f ( t ) 纠喇斜。1 础。 2 ) 2 1 2 2 f o u r i e r 变换 ( 1 ) 定义 若函数厂( f ) 在整个空间内连续，则 f ，o ) ) = 日 ) = e e “f ( t ) d t ( 2 _ 1 1 3 ) m 2 三日( ) e - i a 。如 ( 2 1 1 4 ) h ( o a 为，( f ) 的付氏变换或象，而，o ) 称为h ( ) 的逆付氏变换【2 】。 ( 2 ) 性质 若日( ) 2 f 伽o ) ，g ( 印= f 如o ) ) 存在，那么 ( f ) 和占o ) 的卷积的付氏变换等 于 ( f ) 和g ( t ) 的付氏变换的乘积。 ( r ) 占( d2 f o r 培p ) d f = j 二o 涫。一f m f ( 2 1 1 5 ) f 伽g ) + g ( f ) ) = j 了( ) g ( ) 陀1 1 6 ) 函数_ i l o ) 的h 阶导数的f o u r i e r 变换为 f h ”o ) = ( 一f ) 4 日( 珊) f 2 1 1 0 ( 3 ) 分数积分的f o u r i e r 变换 设，0 ) c ( o ，r ) ，r 为一个正实数，由( 2 1 1 ) 式，把m 锄a n n o u v i l l e 分数积 分的下线定为n = 一o 。，则 一旷删2 志f 。吖广1 荆如 ( 2 1 1 8 ) 3 0 8 c 1 ，对于p = 时，( 2 1 1 0 ) 式可以写成 耐r 1 p “d t 吣1 ( 2 1 1 9 ) 其中s 一f ，为实数。由d i r i c h l e t 理论，积分( 2 1 1 9 ) 在0 。口。1 的情况下是收 第二章分数阶微积分与分数粘弹模型 敛的【1 1 。i n , t i n 数 啪) ：脍一。；| l + ( f ) 2 ) 【0 ，t s0 的f o u r i e r 变换为 f + o ) ) ；( 一f ) ” ( 2 1 2 0 ) 把( 2 1 1 8 ) 写成卷积的形式 一。0 7 4 9 ( f ) = | i l + ( f ) t g ( r ) ( 2 1 2 1 ) 由( 2 1 1 6 ) 和( 2 1 2 0 ) 式从( 2 1 2 1 ) 式中可以得到 f 一。d f 。g o ) = ( - i c o ) ”g ( ) ( 2 1 2 2 ) ( 4 ，分数阶导数的f o u r i e r 变换 和前一节阐述的一样，积分的下线定为n 一o 。若n 一1cacn 并且函数g ( f ) 具 有n 阶连续导数。则，当f 一m 时，g ( ”o ) 一0 ( k ；0 , 1 2 ，l 1 ) 有 卅删2 志f 。簿孝 ，捌 由( 2 1 1 7 ) 和( 2 1 2 2 ) 式，从( 2 1 2 3 ) 式中得到 f 一。d f g ( t ) = ( - i a 0 。1 f g “o ) ) = ( f ) 。”( 一i o a “g ( ) ；( - u o ) 4 g ( o o( 2 1 2 4 ) 2 1 2 3 m e l l i n 变换 ( 1 ) 定义 当t ，0 时函数，( f ) 在每个闭区间p ，州c ( o ，。) 内分段连续并且满足下面的条 件 f o o l ( t ) t “- l d t c 。 并且 f ， ”1 d t t o 。时 ( 2 1 2 5 ) 4 f 厂p ) = f o ) 。- j = f ( t ) t 5 。d t ( 2 1 2 6 ) 其中s 是复变量，r 。 r e s 百时g ( t ) 的渐近行为 陬r g 妒志( 丁 亿2 捌 协r 一志一 亿2 b g ( f 卜i i ； ( 2 2 2 4 ) 这两个渐进表达式是在实际问题中进行参数拟合的基本依据。 复数柔量厂 ) = 石根据( 2 2 - 1 8 ) 式可得， j 。( ) 皇e _ 1 0 6 帆) 一。+ e - 1 ( f 研) 一， ( 2 2 2 5 ) 用推导分数粘弹单元的蠕变柔量相同的方法得m a x w e l l 模型的蠕变柔量为 圳= 怎+ 高4 脚s ， 蚴s ， 2 2 3 分数k e l v i n v o i g t 模型 经典k e l v i n - v o i g t 模型是弹簧和粘壶的并联结构，如果把弹簧和粘壶分别用两 个分数粘弹性单元 ，f