（管理科学与工程专业论文）经济、金融时序非线性特性判定中的几个问题研究.pdf

中文摘要 混沌时间序列分析已成为当今经济、金融系统中研究的热点问题之一，而经 济、金融时序的非线性混沌特性研究又是这一系列研究的瓶颈和关键之所在。它 对于经济、金融时间序列分析过程中的相空间重构、建模等的研究都至关重要， 直接影响模型的效率和预测的效果，所以经济、金融时序的非线性混沌特性研究 就显得越来越重要。 本文首先对复杂性科学及其背景进行了比较详细的介绍，对国内外同类研究 的进展和现状等进行了较为详细的综述。接下来，在国外学者研究的基础上，基 于混沌时序形象化相空间轨迹的动力学特征的分别研究了r p 和c r p 方法以及判 定混沌时间序列的复杂度算法的a p e n ( 近似熵) 算法，基于v b 程序应用这两 种方法分别对l o r e n z 系统及实际的一类复杂金融系统模型所得到的数据进行了 分析，得到了几个较为新的复原图和相干复原图，这对于判定时序数据的复杂内 在特性提供了图形上的比对依据，研究结果为混沌时序的准确和进一步分类奠定 了基础。 接下来论文对实际的经济、金融混沌时间序列的关联维数进行了较为深入的 分析和研究，并对关联维数与嵌入维数、临界距离之间的关系等问题还进行了一 些有益的探索，为了研究混淹时序韵非线性特性，论文采用所获取的人民币对美 元的汇率数据研究了其嵌入维数、时间延迟、相空间重构、除噪、分形、l y a p u n o v 指数、b d s 统计量等决定其非线性特性的重要特征。 然后应用时间序列建模的相关理论与方法，对所获取的一组加拿大分对美元 的汇率数据进行了建模预测研究工作，取得了一些有益的研究结果。 这一研究为经济、金融数据的系列研究提供了有益的可供参考的借鉴，研究 成果具有重要的理论和实际意义。 关键词：混沌系统时间序列非线性预测r p 和c r p 方法a p e n 算法 关联维数 a b s t r a c t c h a o st i m es e r i e sa n a l y s i sh a sb e c o m eah o tt o p i ci nt h er e s e a r c ho ne c o n o m y a n df i n a n c es y s t e m s a n dt h en o n i n e a rc h a o sc h a r a c t e r i s t i cr e s e a r c ho f e c o n o m ya n d f i n a n c et i m es e r i e si st h ek e yo ft h er e s e a r c h ，w h i c hi sv i t a lt ot h er e s e a r c ho fp h a s e s p a c er e c o n s t r u c t i n ga n dm o d e l i n gi n t h ea n a l y s i so ft h ee c o n o m ya n df i n a n c e i t a f f e c t st h ee f f i c i e n c yo f m o d e l i n ga n dt h ee f f e c to f f o r e c a s t i n gd i r e c t l y , s ot h er e s e a r c h o f n o n l i n e a rc h a o sc h a r a c t e r i s t i ci sm o r ea n dm o r ei m p o r t a n t t h i st h e s i si n t r o d u c e st h ec o m p l e xs c i e n c ea n di t sb a c k g r o u n di nd e t a i lf t r s f l y , a n dp u tf o r w a r dad e t a i l e ds u m m a r ya b o u tt h ep r e s e n tp r o g r e s si nt h ed o m e s t i ca n d f o r e i g ns i m i l a rr e s e a r c h a n dt h e n , i nt h ef o u n d a t i o no f t h eo v e r s e a ss c h o l a r s s t u d y , i s t u d yr pa n dt h ec r pm e t h o d sf o rv i s u a l i z a t i o nt h ed y n a m i c sc h a r a t e r i s t i co ft h e p h a s es p a c et r a c ka sw e l la st h ec o m p l e x i t yd e g r e ea l g o r i t h mo fc h a o st i m es e r i e s 。 a p e na l g o r i t h m a p p l y i n gt h e s et w om e t h o d sb a s e do nt h ev bp r o g r a mw e a n a l y s es e p a r a t e l yt h ed a t aw h i c hi so b t a i n e df r o mc o m p l e xf i n a n c i a ls y s t e mm o d e l a n dl o r e n zs y s t e m , a n do b t a i ns e v e r a ln e wr e c u r r e n c ep l o t sa n dc r o s sr e c u r r e n c ep l o t s 1 1 】i sp r o v i d st h eg r a p hg i s to fd e t e r m i n a t i o nc o m p l e xi n t r i n s i cc h a r a c t e r i s t i c n l e r e s u l t se s t a b l i s ht h ef o u n d a t i o nf o re x a c ta n df u r t h e rd i v i s i o no f c h a o st i m es e r i e s a n dt h e n , t h et h e s i ss t i l lc a r r i e so u ti n - d e p t ha n a l y s i sf o rt h er e l a t e dd i m e n s i o no f c h a o st i m es e r i e s ，a n dm a k e ss o m eb e n e f i c i a le x p l o r a t i o na b o u tt h er e l a t i o n sb e t w e e n r e l a t e dd i m e n s i o n , e m b e d e d - d i m e n s i o na n dc r i t i c a ld i s t a n c e i no r d e rt os t u d yt h e n o n l i n e a rc h a r a c t e r i s f i co fc h a o st i m es e r i e s w el l s et h ed a t ao ft h er m bt ot h e a m e r i c a nd o l l a r e x c h a n g e m t et o s t u d ye m b e d e d - d i m e n s i o n , t i m e d e l a y , r e c o n s t r u c t i n gt h ep h a s es p a c e ，r e d u c i n gn o i s e ，f r a c t a l ，l y a p u n o ve x p o n e n t , b d s s t a t i s t i ca n ds oo nt od e c i d ei t si m p o r t a n tn o n l i n e a rc h a r a c t e r i s t i c t h e nw eg a i ns o m eb e n e f i c i a lr e s u l t sa p p l y i n gt h ec o r r e l a t i v et h e o r i e sa n d m e t h o d st h r o u g hc a n a d i a nt oa m e r i c a nd o l l a re x c h a n g er a t ed a 饥 t h e r e s e a r c hp r o v i d e sp r o f i t a b l er e f e r e n c et ot h es e r i a lr e s e a r c ho fe c o n o m ya n d f i n a n c ed a t a , a n dt h br e s e a r c ha c h i e v e m e n th a si m p o r t a n ta c a d e m i ca n dp r a c t i c a l m e a n i n g s k e y w o r d s c h o a ss y s t e m ，t i m es e r i e s ，n o n - l i n e a rf o r e c a s t , r pa n dc r pm e t h o d s ， a p e na l g o r i t h m ，r e l a t e dd i m e n s i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫壅盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 魏 怎很 签字日期：善卵乡年月移日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘茎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫鲞盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：孑佐碳 签字日期少承工月杉日 导师繇躺 签字日期：知名年t 月工；日 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 复杂性科学是用以研究复杂系统和复杂性的- - f q 方兴未艾的交叉学科。虽然 它还处于萌芽时期，但仍被很多科学家所看好，有着很大的发展前景。 复杂性科学研究的复杂系统涉及的范围很广，包括自然、工程、生物、经济、 管理、政治与社会等各个方面；它探索的复杂现象从一个细胞呈现出来的生命现 象，到股票市场的涨落、城市交通的管理、自然灾害的预测，乃至社会的兴衰等 等，目前，关于复杂性的研究受到了世界各国科学家们的广泛关注。概括起来， 复杂系统都有一些共同的特点，就是在变化无常的活动背后，呈现出某种捉摸不 定的秩序，其中演化、涌现、自组织、自适应、自相似被认为是复杂系统的共同 特征。 。 混沌是由于计算机的出现和飞速发展新生的- - l - j 科学，是自然界与人类社会 普遍存在而又极其复杂的一种运动形态，在经济系统中也大量存在着混沌现象， 例如，由于非线性作用，经济增长、股票、汇率等经济管理问题表现出的混沌现 象行为。混沌行为的本质特征就是非线性系统对于初始条件的极端敏感性，因此， 混沌是难于预钡9 的。目前，对于混沌系统的研究已成为动力系统的中心内容之一。 目前，学者们较为一致的观点是：混沌是物质科学、数学科学和系统科学等 多学科交叉的边缘科学。 对于混沌系统进行研究，首先要进行辨识，然后把握其动力学特征以及变化 规律，对其进行预测、控制等研究。辨识是进行混沌研究的基础，直接影响着对 其研究的有效性和准确程度。混沌时间序列的预测是一个很重要的研究应用领 域，被广泛应用于自然科学和社会科学的各个领域。如预测太阳黑子的数目，预 测股票行情，天气预报以及地震预报等，具有很重要的理论和实际意义【l 】。对于 混沌的控制，可以利用混沌有益的一面，应用于实际，在经济、信息等领域带来 进步。 混沌系统的非线性建模和预测主要有两大类方法：局域法和全局法。局域预 测法主要包括局部平均预测法和局部线性预测法；全局预测法主要包括多项式逼 近预测法和基于神经网络的预测方法。人工神经网络因其广泛的适应能力和学习 第一章绪论 能力在非线性系统的预测方面得到越来越广泛的应用。 本文在综述现有研究成果的基础上，对于汇率预测，一类复杂金融模型内在 本质特征，以及系统复杂性等若干问题进行了研究。 1 2 混沌系统的国内外研究进展 1 2 1 国外的研究进展 洛仑兹( l o r e n z ) 1 9 6 3 年在大气科学杂志上发表了决定性的非周期流 一文，阐述了在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一 种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的联系，从此把人类的理性视界正式 投向了非线性的混沌世界1 2 j 【3 j 。 1 9 7 5 年，著名学者李天岩和约克( y o r k e ) 发现了著名的l i - y o r k e 定理州， l i y o r k e 不仅给出混沌的定义，而且给出了一种判断混沌的方法。 8 0 年代，t a k e n s ，p a c k a r d ，f a r m e r 等人提出了重构动力学轨道相空间的延 迟法。w o l f i 邶】提出了计算混沌时间序列l y a p u n o v 指数的算法。 s t e v ep i n c u s 于1 9 9 1 年提出了一种计算混沌时间序列复杂度的新方法近 似熵( a p e n ) 法，并对于l o r e n z 系统等多个系统得复杂度进行了计算，与传统 方法进行了比较，并给出了他的经验取值。 a n g e l oc o r a n a l 5 j 对于l o r e n z 系统的关联维数进行了计算，并且做出了关联 维数及临界距离等的相互关系图，从而较直观的发现其关系。 1 9 8 8 年，a ，m a l b a n o ，j m m u e n c h 给出了奇异谱分解的思想，这对于混 沌时间序列除噪有着极其重要的作用。 2 0 0 1 年，m i c h a e ld m c k e n z i e 利用b d s 方法研究了国际股票市场中澳大利 亚、加拿大、芬兰、德国、日本、新加坡、瑞士、泰国及香港股市数据的非线性 特征，从而将非线性混沌理论应用到汇率数据的研究之中。 1 2 2 国内的研究进展 陈平( 1 9 8 8 ) 研究了国外金融市场的混沌问题，首次证实了经济系统也存在 混沌现象。 宋学锋1 6 1 ( 1 9 9 2 1 9 9 8 ) 系统研究了混沌经济学的一些基本理论问题，给出 第一章绪论 了混沌经济学的定义、界定了混沌经济学的研究内容与范畴、系统总结了混沌的 定量特征及其判别方法，以离散混沌经济系统为对象，研究其混沌规律，提出了 “区间分析法”，以便确定混沌发生的临界区问。研究了经济管理系统的复杂性 度量问题，提出了混沌度的概念和计算方法。比较了混沌经济学与经典经济学的 关系、总结出了混沌经济学的基本原理和研究方法，形成了混沌经济学基本的理 论框架，在国内率先出版了混沌经济学理论及其应用研究的专著。 黄登仕、李后强 7 1 ( 1 9 9 3 ) 系统总结了非线性经济模型和研究方法，并出版 了非线性经济学的理论与方法。 1 9 9 2 年钱学森提出了“综合集成研讨厅”方法构想，用于分析复杂巨系统。 夏恒超【8 】等人利用r p ( 复原图) 、c r p ( 相干复原图) 方法实现了对于混沌时 问序列的分类。 肖方红【9 j 等人应用符号动力学方法和近似熵( a p e n ) 方法分析了混沌伪随机 序列的复杂度，并对两种方法进行了比较。 马军海【10 】等人研究了由非线性混沌经济时间序列所确定的动力系统的预测 方法及应用，运用改进的最优化方法来估计模型的参数，并在其相空间中对时间 序列的未来之进行预测，给出有代表性的实力对模型和算法进行验证，结果发现 选取最佳的模型阶数能增加预测的准确程度，而且混沌时间序列不可能进行长期 的预测。 简相超i l l 】等人研究了一种正交多项式混沌全局建模方法，运用这种方法，能 得到系统动力学特性，在低噪声下，可以精确得重构系统方程式，噪声较大时仍 可以用于预测，效果良好。 崔甲武1 1 2 】等人基于混沌动力系统相空间延迟坐标的重构、混沌序列产生的确 定性和非线性机制、混沌序列高阶奇异谱的特征及二阶v o h e r r a 自适应滤波模 型，提出了商阶非线性h o n f i r 滤波模型和s i g m o i d 函数的少参数非线性自适应 滤波预测模型。 1 3 本文的结构及主要工作 等。 本文一共分为八章： 一、对混沌科学及其背景进行详细介绍，包括国内外学者的研究进展和现状 二、介绍时间序列的有关基础知识。 三、本章主要介绍了用于形象化相空间轨迹动力学特征的r p 和c r p 方法。 第一章绪论 用v b 程序实现，并基于l o r e n z 系统给予验证，最后提出一类复杂金融系统模 型，应用r p 和c r p 方法对其做出分析。 四、介绍了混沌时间序列复杂度的算法一a p e n ( 近似熵) 算法，编写算 法程序对l o g i s t i c 序列进行验证，与国外学者工作进行了比较。并利用该方法对 第三章提出的复杂金融系统模型的a p e n 进行了分析计算。 五、编写程序，对混沌时间序列的关联维数进行了分析，并对关联维数与嵌 入维数、临界距离之间的关系问题做了有益的探索。 六、介绍了相空间重构技术，包括非函数逼近方法、混沌系统的特性检验， 以及混沌系统时间序列数据的嵌入维数、时间延迟、除噪技术、l y a p u n o v ，b d s 等算法，通过对美元和人民币的汇率，研究了序列的非线性复杂本质特征。 七、介绍目前时间序列建模的相关理论与方法。本章详细介绍了用于时间序 列预测的线性模型和非线性模型，并根据提出的非线性模型，对一组加拿大分对 美元的汇率数据进行了预测，取得了较好的效果。 八、对所得出的结论进行总结与评价，并提出展望。 第二章时问序列分析 第二章时间序列分析 在工程界、自然科学界及社会科学界的现实问题中，广泛存在着各种各样的 时序问题，而且这些时序的形态往往呈现出复杂性和多样性。 2 1 时间序列的相关知识 2 1 1 时间序列简介 客观现象总是表现出随时间推移而变化的动态特性，因此我们既要揭示它的 数量特征和数量关系，又要揭示其发展变化的过程和演变规律。 时间序列是数理统计这一数学学科的一个重要分支，在6 0 年代后期，时间 序列分析在谱分析与谱估计方面取得了突破性进展之后，得到了迅速的发展，尤 其值得注意的是，时间序列分析同控制理论的结合，赋予了时间序列分析以更为 丰富、更为深入、更为活泼的内容，使之不仅成为有效的现代数据处理方法之一， 而且也是系统辨识与系统分析的重要方法之一。时间序列分析的应用范围涉及到 自然界、社会界、工程界，涉及到众多的学科领域，从一般的市场预测到地震预 测，从机械设备的工况监视与故障诊断到语音的分析、识别与合成，从零件加工 表面形貌的分析到生物生理、心理状态的研究，其应用范围是如此之广。 顾名思义，时间序列是指按时间顺序排列的一组数据，但在时间序列所研究 的范围内，是广义的指一组有序的随机数据。时问序列是将某一或某些参数按时 阅次序顺序排列所构成的序列，它有两个构成要素，一是研究现象所属的时间， 而是该现象不同时间点数量特征的参数值。 时间序列固然指按时间的先后顺序排列的随机数据，但也可以指按空间的先 后顺序排列的随机数据，还可以指按其他物理量顺序排列的随机数据，这里的“时 间”是广义的坐标轴的含义。另外，数据可以指观测时本身就是离散的数据，但 在工程中，大量的是指对观测信号采样所得的离散的数据。例如，逐年的太阳黑 子数、逐日的平均气温、某一商品的逐日价格等，它们本身就是离散的数据序列； 而某一地震波、某一脑电波等都是连续的信号，对他们进行采样就得到离散的数 据序列。这些是一时间为坐标轴的时间序列。这里要指出：第一，这些时间序列 可统称为系统的客观事物相联系的，也可以说是由它们分别产生的：第二，这些 第二章时闻序列分析 系统不可避免的处于多种干扰之中，因此，由它们产生的时间序列的取值，事先 不可能完全确定，甚至完全不可能确定，也就是取值只能是随机的。然而，信号 ( 包括连续信号与离散数据序列) 是信息的载体，时问序列也必然蕴含了有关信 息，一是依靠数据的顺序，二是依靠数据的大小。 从系统的角度来考察，某一时间序列表现这客观世界的某一动态过程，换而 言之，表现着某一系统的某一行为及其变化过程，也可以说，某一时间序列就是 某一相应系统的有关输出或响应。因为在自然界、社会界、工程界中，存在着各 式各样的系统，任何一个系统莫不处于同外界( 即其他系统) 相互联系之中，也 莫不处于运动之中。系统由于内部机制，又由于同外界的相互作用，就会有相应 的行为、响应或输出。人们观测到的就是信号或数据，因此，输出数据包含了以 下四方面的信息： ( 1 ) 输出数据这一序列本身的特性，或者说，这一序列本身的结构与规律， 或者说相应系统的行为的特性； ( 2 ) 相应系统本身的固有特性( 即系统的参数与结构) ，这一固有特性同 外界作用无关，它是系统产生响应、行为、运动的内因与依据，一个 系统之所以区别于另一个系统，就是因为它本身的结构与参数同其他 系统的不同； ( 3 ) 外界对相应系统的作用，或者说相应系统的输入； ( 4 ) 相应系统同外界相互联系的方式，及外界以什么方式对系统施加输 入。后两点就是系统产生响应、行为、运动的外因与条件。 研究、分析与处理时间序列，正是为了提取有关的信息，即为了揭示时间序 列本身的结构与规律，认识相应系统的固有特性，掌握系统同外界的关系，推断 系统及其行为的未来情况，从而能为认识客观世界、使用或改造客观世界提供条 件。这也就是一般数据处理所追求的目的，可见时间序列分析这一数据处理方法 也不例外。然而，时阿序列分析方法的特色在于采用参数模型，在于将这一参数 模型同系统分析直接的紧密的结合，在于将这一参数模型同相应的客观事物与物 理背景相互联系，从而使这一数据处理方法的作用大为扩展。实际上，时序分析 已经不仅是数据处理的一种方法，而且系统研究的一种方法了。 2 1 2 系统辨识 在实际生活中，有大量的系统无法采用分析方法建立数学模型( 一般指建立 参数模型，以后简称建模) 。因为这种系统相当复杂，人们对它的较为本质的机 理也不了解，因此，现有的物理原型无法运用，有关的数学关系式也无法获得， 第二章时闻序列分析 于是，在控制理论中出现了“系统辨识”或“系统识别”的方法，即s y s t e m i d e n t i f i c a t i o n 的方法，采用此方法的过程为：首先对系统的有关输入与由此而引 起的输出进行观测，获得系统的有关输入与输出的数据，在采用所谓辨识或识别 方法建立系统的数学模型。对于观测到的输入与输出数据，所建立的数学模型是 成立的，凡是满足所观测到的输入与输出的数学模型( 系统) 称为等价模型( 系 统) 。1 9 6 2 年，l a z a d e h 给系统辨识下的定义是“系统辨识是在输入与输出的基 础上，从一类系统确定一个同所测系统等价的系统。” 系统辨识中的参数模型法大致可分为两大类：一类是控制理论方法，一类是 时序理论方法。前者主要指经典控制理论中的频率特性法，即采用正弦信号作为 系统输入，测量相应的输出，通k 立_ n y q u i s t 图或b o d e 图，求出系统的频率特性或 传递函数；同时，更重要的是指现代控制理论中的状态空间法与差分方程法，即 采用随即信号作为系统输入，测量相应的输出，通过合适的参数估计，求出系统 的状态模型或差分模型。后者包括自由响应法与随机响应法。 控制理论中的系统辨识方法或系统辨识过程的框图如图2 1 所示。辨识有三 个内容：确定模型阶数，即确定模型或系统的结构；估计模型参数，可能的话， 则进一步估计系统参数；检验模型的适用性，即确定所建立模型是否能等价的描 述所研究的系统。 图2 1 系统辨识过程图 出 这是“黑箱”理论，这样所建立的模型往往不是黑箱的真正数学模型，而只 是等价模型，即对于相同的输入，这两种模型有相同的输出。 第二章时间序列分析 在工程界、自然界、社会界，往往会遇到以下的黑箱情况： ( 1 ) 系统的输入无法预测。 ( 2 ) 对一个系统可观测到多个时序，而对于这些时序之间的因果关系并不清楚 或不完全清楚。 ( 3 ) 系统受到的噪声太多太强，甚至按控制理论要求所施加的输入信号完全被 淹没。 ( 4 ) 系统的边界是什么，不清楚。 上述情况下，缺乏明确的或完全的输入同输出之间的因果关系，因而不能采 用控制理论中的系统辨识方法，但是采用时序方法建模，就不存在困难，因为它 是建立在输出等价的基础上的。采用时序方法，可将观测到的时序( 包括输入) 作为系统的一维或多维的输出，而将模型所描述的等价系统视为在与输出同维白 噪声驱动下产生这一输出的系统。 显然，时序模型所包含的内容与适用的范围更为广泛，这是因为他是从统计 角度来揭示各时序内部的统计关系与各时序之间的统计关系的，而控制理论中的 数学模型则是从系统角度来揭示各时序之间的因果关系的。 2 1 3 系统辨识的技术基础 采用参数模型进行系统辨识，包括三方面的内容：确定模型阶；估计模型参 数；检验模型的适用性。还应具备下列的技术基础： ( 1 ) 必须尽可能的准确的观测与记录系统输出信号或数据。这是整个建模工作 的基础，因为它提供了有关系统的可靠基础。这点依赖于测试手段及正确 的应用。 ( 2 ) 必须正确的分析与处理所获得的数据。这是整个建模的关键，因为它将蕴 藏在数据序列的顺序与大小中的有关信息准确的提炼出来，这点依赖于计 算机和相应的方法与准则。 ( 3 ) 必须尽可能的对所研究的系统有所了解，尽可能的正确的了解系统的输出 数据所处理的结果，这是获得尽可能符合系统实际情况的保证。这点依赖 于对有关系统的专业知识的了解。 2 2 时间序列分析的发展 时序分析起源于预测，特别是市场经济的预测，这也就是说，时序分析本来的 - 8o 第二章时间序列分析 目的是为了预测，但是，随着对时序分析的理论与应用这两方面的深入研究，时序 分析应用的范围日益扩大，已涉及天文、地理、生物、物理、化学等自然科学领 域。图像识别、语音通讯、声纳技术、遥感技术、核工程、环境工程、海洋工程、 冶金工程、机械工程等等工程技术领域，国民经济、市场经济、生产管理、人口 等等社会经济领域，并已取得不少重大的成就。 时序模型从非参数模型发展到参数模型是广义时序分析发展中的一个突破， 即出现目前的时序分析。1 9 2 7 年，g u y u l e 提出了时序的a r 模型，用于预测。 g w a l k e r 在1 9 3 1 年也用a r 模型进行了预测。此后，逐步发展了a r m a 模型、 多维a r m a 模型、非平稳时序模型、非线性时序模型等等。可以对时序从不同 的角度进行分类。 按时间序列本身的性质，分为： ( 1 ) 按时间序列的统计特性，有平稳时序与非平稳时序，相应的有平稳时 序模型与非平稳时序模型。 ( 2 ) 按时间序列的元数，有一元时序 五) 与多元时序 薯。五2 ) 之分。 由于时间序列可视为某系统的输出，所以，还可从系统角度对时间序列分类： ( 1 j 按系统本身性质，有线型系统与非线性系统，因而有线型时序模型与 非线性时序模型。 ( 2 ) 按系统输出性质，有随机响应与自由响应之分，相应的有随机响应时 序模型与自由响应模型。 时序分析发展的另一个突破是在谱分析上面。1 9 6 7 年，j e b u r g 在他从事的 地震信号的分析与处理中，提出了最大熵谱( m e s ) ；1 9 6 8 年，e p a r r e n 提出了 a r 模型谱；1 9 7 1 年，a v a nd e nb o s 论证了a r 模型谱与最大熵谱的等效性。他 们的研究对现代谱的发展起了重大的作用。 在数据处理方面，时序分析是一种现代的方法。而目前广为应用的相关分析、 周期图法是一种传统的方法。两者比较，最根本的区别在于，前者是采用参数模 型方式对动态数据进行分析与处理，而后者是采用非参数模型方式。此即，前者 先通过对动态数据建立时序模型这种参数模型，再通过此参数模型来获取动态数 据的统计特性；而后者却是直接通过对动态数据的处理来获取动态数据的统计特 性的。所以，它们各有优缺点： ( 1 )由于时序模型是动态模型，它对于动态数据具有外延特性，从而可以避 免在求取动态数据的统计特性时直接加“窗”所造成的影响。对动态数 据直接加“窗”来求取这些统计特性，会导致谱的“泄漏”与限制谱的 频率分辨力，还会带来一系列严重的问题。这是传统方法固有的缺陷， 所以它不及时序分析所获得的精确，这点在短数据时尤为突出。， 第二章时间序列分析 ( 2 ) 由于时序模型是参数模型，因此，可以赋予这一模型不同的物理背景， 给予不同的物理解释，具有传统方法所无法给出的功能。 ( 3 )由于时序模型是参数模型，模型必须正确，即模型的形式、阶次与参数 必须正确，然而，因为时序分析还是发展中的一种现代数据处理方法， 在理论与方法上不及传统方法的成熟与完善，因此在应用中还有一系列 有待解决的问题。 ( 4 ) 由于时序模型是参数模型，时序分析一定要首先建立模型，而不能直接 通过对动态数据的处理来获取动态数据的统计特性。因此，时序方法在 获取这些统计特性时远不及传统方法的计算速度快，这在要求计算速度 的场合是不利的。 从时序应用即研究的情况看，时序的工程应用大致可分为六方面：( 1 ) 系统 辨识；( 2 ) 系统分析；( 3 ) 谱分析；( 4 ) 模式识别；( 5 ) 模型参数估计；( 6 ) 预 测与控制，时序用于预测是最多的，所取得的成效也是最大的。目前，时序应用 及其研究有广阔的前途，特别是在同其他学科的交叉、渗透、结合、开拓创新方 面，例如同控制理论、灰色系统理论、人工智能等结合。 第三章相空间轨迹动力学特征的形象化r p 、c r p 技术 第三章相空间轨迹动力学特征的形象化 - - - - r p 、0 r p 技术 一个混沌时间序列动态参数，例如分维数，熵，l y a p u n o v 指数可以用多种方 法提取，但这些方法都需要庞大的数据量作为保证。对于数据量较小或者含有噪 声的时间序列，这些方法都有一定的局限性和弊端。对于某些混沌动态系统有时 我们需要一个时间序列的量化模型，或者两个时间序列的量化模型。 3 1r p 、c r p 方法原理 为了克服含有噪声或者数据序列长度过短带来的困难，引入了复原图( r p ) 和相干复原图( c r p ) ，f a u r e 和m a r w a n l 2 8 】【2 9 】等通过复原图或相干复原图估算了 系统的l y a p u n o v 指数和信息熵。r p 方法可以分析复杂系统的转变情况，比如分 岔点，c r p 方法可以研究两个时间序列的相互依赖行为，这种非线性的方法使 得研究同一个时间序列内部或两个不同时间序列之间的相互关系更加方便。 3 1 1r p 、c r p 方法介绍 r p 方法是一种用于形象化相空间轨迹动力学特征的工具，最早是由e c k m a n n c ta 1 提出。根据t a k e n s 嵌入定理，可以从系统的一维时间序列重构出向量和系 统的相空间。对于一个数据序列x ，我们可以表示为x = x 。，屯，玛，h ) ，我们 设定嵌入维数为脚，时间延迟为f ，则重构向量为： 矗f = i 2 一，n 一( 玳一1 ) f ， ( 3 1 ) 其中i = & ，x 。，x 。：f ，”，k ( 。) f ，在所维相空间中表现为一点。通过考虑给定 的一对向量在相空间内是否相邻，这样r p 图就建立起来了。通常，向量之间的 最大距离是有用的。这样，r p 由一个变量r u 来描述，它的取值由2 对向量_ ，i 中每对向量的距离来确定： 第三章相空间轨迹动力学特征的形象化r p 、c r p 技术 置= 日( ，一i j i 一习) ， ( 3 2 ) 式e e ，为一个预先确定的常数，表示临界距离。f i i i 表示向量的范数距离，日( x ) 是 h e a v i s i d e 函数。量，为l 时，r p 图上o ，_ ，) 的位置上表示一个黑点，为0 时，则 为一个白点。 c r p 是有r p 扩展来的，用来比较两个时间序列的动力学行为。对于一个数 据序列x ，】，我们可以表示为x = x 。，x 2 ，屯，h ，y = 轨，y 2 ，y 3 ，y u 我f f j 设定嵌入维数为m ，时间延迟为f ，则重构向量为再，i = 1 ，2 ，n ， i v , ，i = 1 , 2 ，m ，把它们嵌入到同一个相空间中，c r p 由两轨道点与点之间的 距离来描述： c r 矿日( ，一i f , - 珊 ( 3 3 ) 式中参数r ，符号j | | 以及日( 功的意义与( 3 2 ) 式中有相同的意义。c r p 由 n x m 个黑点或白点构成。 3 1 2l o r e n z 系统的r p 、c r p 方法验证 我们用混沌l o r e n z 系统来验证r p ，c r p 。l o r e n z 系统方程为 量= 仃( y 一工) ，夕= ( p z ) x y ，2 = 一肛+ 砂( 3 川 其中设定盯= 1 0 ，p = 2 8 ，卢= 8 3 ，我们分别从l o r e n z 系统的五y ，z 分量中取得长 度为1 0 2 0 点的时间序列，初始点设为( ，y o ，) = ( 2 ，1 ，2 ) 。图3 - 1 中显示了该 信号的r p ，嵌入维数棚= 5 ，时间延迟f = l ，l 晒界距离，= 8 。对于薯j ，z 的分量 组合，我们仍取取得长度为1 0 2 0 点的时间序列，嵌入维数肌：5 ，时间延迟f ：1 ， 临界距离r = 6 ，得到的r p 图如图3 - 1 中d 所示。 第三章相空间轨迹动力学特征的形象化r p 、c r p 技术 图a 4 0 5 1 0 ，7 6 51 0 2 0 。 图b 0 2 5 5 5 1 0 。7 6 51 0 2 0 图c - 1 3 第三章相空间轨迹动力学特征的形象化r p 、c r p 技术 图d o 一。2 5 5 ，s h ；t b b 。1 0 咎 图3 - il o r e n z 系统x , y 。z 分量以及分量组合的的r p 图 我们分别从l o r e n z 系统的x 分量和y 分量中取得长度为1 0 2 0 点的时间序列，初 始点设为( x 。，y 。，z 。) = ( 2 ，1 ，2 ) ，图3 2 显示了这两个信号之间的c r p ，嵌入维数 脚= 5 ，时间延迟f = 1 ，临界距离，= 7 。 02 5 5 5 1 n7 鼯 1 0 2 0 图3 - 2 l o r e n z 系统工分量和j ，分量的c r p 图 3 2r p 和c r p 对一类复杂金融系统模型的分析 3 2 1 一类复杂金融模型介绍 在用系统动力学方法建立和测试一个由生产子块、货币子块、证券子块和劳 动力子块所组成的金融模型中发现，该模型给出的某些长期行为具有无规则性及 其对状态初值和参数变化的极端敏感性 3 6 1 。 第三章相空间轨迹动力学特征的形象化_ r p 、c r p 技术 为了便于解决问题，将模型的关键部分提炼简化，利用率用x 表示，投资需 求用y 表示，价格指数用z 表示。由于涉及到敏感性的问题，所以将三个变量的 时间变化率作为三个新的状态变量， 出咖出 x 2 i 2 素2 石 下面我们研究新的状态变量的构造问题： 影响工变化的因素主要来自两方面：一是来自投资市场的供求矛盾，即投资 和储蓄之差；二是来自物价的结构调整，因此，利率x 可以表示为： j = z 一s v ) x + 以： ( 3 5 ) 式中，s v 为储蓄量；石，五为常数。 y 的变化率与投资率成正比，与投资成本和利率成反比，假定投资得益率在 一定时期内是个常数，就有 夕= l ( s e n - 掣一肛2 ) ( 3 - 6 ) 式中，b e n 为投资得益率，六，a ，卢均为常数。 2 的变化一方面受商品市场供求矛盾的调节，另一方面又受通货膨胀率的影 响。假定在一定时期内商品的供求量保持不变，商品的供求量与价格成反比，而 通货膨胀率的变化实际上也可以用实际利率的变化来表征，通货膨胀率等于名义 利率减去实际利率，所以可以得到 j = - l z f , x( 3 7 ) 式中，工和石均为常数。 我们关心的不是模型中各参数的绝对量值，而是各参数间的相互组合关系，以及 它们的相对变化对系统行为的影响。通过选取适当的坐标系和赋予各状态变量适 当的量纲，就得到仅含三个参数的简化的模型： = z + 一a ) x = 1 6 v x 2 = 1 一x o ( 3 - g ) 第三章相空间轨迹动力学特征的形象化r p 、c r p 技术 式中口( o ) 为存储量；6 ( 0 ) 为单位投资成本；c q0 ) 为商品需求弹性。 下面研究( 3 - 8 ) 式的局部分岔拓扑结构。令a p 为系统的吸引集，记： 州w 力川驴管p ，= 譬到， 设u = ( x , y ，z ) 是( 3 9 ) 的平衡点，则厂( ( ，) = 0 ，即： z + ( j ，一口) 工= 0 l 一砂一x 2 ：o 一x 一口：o j ( 3 1 0 ) 从而当c - b - a b c 0 时，( 3 - 8 ) 式表述的系统有唯一的平衡点p = ( o ，1 b ，0 ) ；当 c b a b c 0 时有三个平衡点： 斗l + a c 孑昙 p = ( o ，1 b ，0 ) 3 2 2 复杂金融模型的r p 、c r p 分析 令x = x ，y = y l b ，z = z ，则( 3 8 ) 式变为 巨协朋 ( 3 1 2 ) 对应的线性化系统的特征方程为： 似+ 6 ) ( + ( c + a - 1 ) z + l + 钟一詈) = o ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 第三章相空间轨迹动力学特征的形象化r p 、c r p 技术 由于c b a b c 0 则l + 卯一c b 0 ，( 3 1 3 ) 对应的两个特征厶，九可分为以下 几种情况。 情况1 ：c b - a b c o , c + 口一1 b 0 ，则其平衡点p = ( 0 , 1 b ，0 ) 是稳定的汇，此 时a 。= 办。 若取d = 4 5 ，b = 0 2 ，c = 0 6 ，同时取o o ，y o ，白) = ( 2 ，1 ，2 ) ，a t = o o l ，从后4 0 9 6 点【起 始点( ，z 0 ) = ( o 0 0 0 0 1 1 , 4 9 9 8 6 5 5 ，- 0 0 0 0 0 1 1 ) 】中，我们选取3 0 0 0 个样本点， 嵌入维数m = 5 ，时间延迟r = 1 ，做出平衡点是稳定的汇时的r p 图( 图3 3 ) 。 此时，两两向量之间的最大距离为9 9 9 9 6 2 6 0 0 0 0 0 4 9 5 。 图a 0 7 4 9姗 2 2 4 92 9 9 9 图b 第三章相空间轨迹动力学特征的形象化- r p 、c r p 技术 图c 。，0 7 4 9 。 ，4 2 2 4 9 2 的9 图3 3 平衡点是稳定的汇时的r p 图 ( a 临界距离r = 0 0 0 0 3 ；b 临界距离，= 0 0 0 0 4 ：c 临界距离r = 0 0 0 0 5 ) 情况2 ：c b a b e 0 , c + 口一l b 0 ，则其平衡点p = ( o ，1 b ，o ) 是鞍点，此时 a 。= p 。 若取a = 4 5 ，b = 0 2 ，c = 0 4 ，同时取，y o ，) = ( 2 ，1 ，2 ) ，a t = 0 0 1 ，从后4 0 9 6 点【起 始点( x o , y o ，z o ) = ( - - o 0 0 0 0 0 3 ，4 9 9 8 6 3 5 ，- 0 0 0 1 0 4 0 ) 】中，我们选取3 0 0 0 个样本点， 嵌入维数脚= 5 ，时间延迟f = 1 ，做出平衡点是鞍点时的r p 图( 图3 - 4 ) 。此时， 两两向量之间的最大距离为1 0 0 0 2 9 1 0 0 0 9 3 8 9 8 。我们可以看出，通过改变i 临界距 离r ，r p 图的变化规律。 圈a 妻。| ，i7 4 9 7 。伽2 2 4 9 + 。2 鹊j 第三章相空间轨迹动力学特征的形象化r p 、c r p 技术 图b o 7 4 91 4 9 92 2 4 92 嘲、 图c 。，0 ，