（运筹学与控制论专业论文）基于cvar的投资组合优化问题.pdf

浙江大学硕士学位论文基于c v a r 的投盎组合优化闽题 摘要 投资组合理论是金融学中的重要研究课题之一，其目的是寻求一个最优投资 组合，在给定的收益水平下使投资风险最小化，或者在给定的风险下使投资者的 收益最大化。v a r 、c v a r 和c d a r 是近年来提出的新的风险度量方法，特别是c v a r ， 由于它概念简单，又具有许多优良性质，已引起众多研究者们的注意，成为金融 风险管理中研究的前沿课题。 通过介绍v a i l 、c v a r 、c d a r 的概念和性质，阐述了各自的优缺点分析了将 c v a r 和c d a r 应用于决策问题的处理技巧。 基于c v a r 的投资组合决策主要有两个方面的应用；均值一c v a r 模型和带有 c v a r 限制条件的均值一方差模型。 均值- - c v a r 模型的有效前沿是通过求解均值一方差模型来研究的。在收益率 服从联合正态分布的假设下，均值一c v a r 模型的有效前沿是均值一方差有效前沿 的子集。 带有c v a r 限制条件的均值一方差模型有效前沿就是均值一方差有效前沿中 位于以一k 为截距，以f ( 历为斜率的直线的上方部分。 当借款利率和存款利率不同时，投资组合的有效前沿不再是一条直线。 最后，运用c v a r 、c d a r ，在中国股市和其它领域进行了实证分析。验证了模 型的有效性。 关键词：投资组合；v a r ；c v a r ；c d a r ；有效前沿 浙江大学硕士学位论文 基于c v a r 的投瓷组合优化阅题 a b s t r a c t p o r t f o l i o st h e o r yi so n eo ft h ei m p o r t a n tr e s e a r c hc o n t e n t si ne c o n o m i c s i ta i m s t oa t t a i nt h ep o r t f o l i o so ft h em a x i m u mo ft h ei n v e s t m e n t sr e t u r nw i t ht h eg i v e n v a l u eo ft h er i s ko fp o r t f o l i o so ro ft h em i n i m u mo fi n v e s t m e n t sr i s kw i t ht h eg i v e n l e v e lo ft h ei n v e s t m e n t sr e t u r n v a r 、c 1 ，a ra n dc d a r w h i c ha r en e wr i s km e a s u r e m e n t m e t h o d s ，a r ep o tf o r t hr e c e n t l y b e c a u s eo f i t se a s yd e f i n i t i o na n de m i n e n t p r o p e r t i e s c v a ri sg i v e na t t e n t i o n sb ym o r ea n dm o r er e s e a r c h e r si np a r t i c u l a r a n d b e c o m e sal a t e s tr e s e a r c hc o n t e n ti nf i n a n c i a lr i s km a n a g e m e n t o nt h ef o u n d a t i o no ft h ed e f i n i t i o n so fv a r 、c v a ra n dc d a l l t h e i ra d v a n t a g e sa r e d e s c r i b e da n dt h em e t h o d so fa p p l y i n gc y a ra n dc d a rt od e c i s i o na r ea n a l y s e d t h e r ea r et w ok i n d so fa p p l i c a t i o n sa b o u tp o r t f o l i os e l e c t i o nd e c i s i o nb a s e do n c v a r ：m e a n c v a rm o d e la n dc v a r c o n s t r a i n e dm e a n - v a r i a n c em o d e l t h ee f f i c i e n tf r o n t i e r so fm e a n c v a i lm o d e la r eo b t a i n e db ys o l v i n gm e u n v a r i a n c e m o d e l m e a n 叫c v a re f f i c i e n ts e ta r es u b s e to f t h em e 酊va = r i a n c ee f f i c i e n tf r o n t i e r u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tr e t u r n sa r en o r m a l l yd i s t r i b u t e d t h ee f f i c i e n tf r o n t i e r so fc v a r - c o n s t r a i n e dm e a n - v a r i a n c em o d e li st h es e c t i o n o fe f f i c i e n tf r o n t i e ro fm e a n v a r i a n c em o d e la b o v eal i n ew i t hi n t e r c e p t 。ka n ds l o p e t ( b ) m e nt h ei n t e r e s tr a t eo ft h eb o r r o w e dm o n e yi sn o te q u a lt ot h ei n t e r e s tr a t e o ft h ed e p o s i t ，t h ee f f i c i e n tf r o n t i e ro fp o r t f o l i oi sn ol o n g e ras t r a i g h tl i n e f i n a l l y 。r i s km e a s u r ei n d e xc v a ra n dc d a ra r ea p p l i e di nc h i n e s es t o c km a r k e t a n do t h e rf i e l d s ，a n dt h e ya r ev e r i f i e de f f e c t i v e k e yw o r d s ：p o r t f o l i o ：v a r ，c v a r ，c d a r ；e f f i c i e n tf r o n t i e r 3 - 浙江大学硕士学位论文 基于c v a r 的投资组合优化问题 第一章绪论 一、本文的研究目的 2 0 世纪7 0 年代以来，随着经济全球化和金融一体化的趋势越来越明显，竞争 变得越来越激烈，管制转向放松。自8 0 年代以来，由于金融创新、信息技术以及 国际金融自由化的发展，全球金融市场发生了基础性和结构性的变化，金融市场 在提高运作效率的同时，金融市场的波动也变得更加剧烈。为了分散金融风险的 需要，金融衍生工具便应运面生并迅速发展，到九十年代中期，它的名义市场价 值远远大于股票市场的市值。然而，为规避风险而产生的金融衍生工具却越来越 多地被用于投机而不是保值，所以，金融衍生工具本身也有极大的风险。如国际 上名声赫赫、辉煌一时的几大银行，如英国巴林银行、日本大和银行，它们的破 产倒闭案都与金融衍生工具有关。这些金融机构的没落，敲响了全世界金融机构 的警钟。因此，如何有效地控制金融市场的市场风险越来越成为金融机构和监管 当局关注的焦点。 我国的金融市场，更不成熟，其证券价格的波动比国外的证券市场更为剧烈， 面临的市场风险也更大。在我国加入w t 0 后，随着金融市场的进一步开放，投资 者面临的风险更加复杂，他们的投资理念也更趋于理性化。另外，在原料市场， 由于新技术和新产品的不断涌现，产品原料的市场价格波动也日趋激烈t 对一个 企业来讲，尤其对那些原料依赖程度高的企业而言，原料价格的波动严重影响着 企业的生产经营能力。所以，对一个企业管理者来讲，需要解决在不影响利润的 情况下，如何减少由于原料价格波动引起的风险。 总之，无论是投资者还是管理者，都迫切需要科学的数量化投资方法来提高 自身对市场风险的有效分析和管理的能力。 本文的研究目的在于借鉴c v a r 和c d a r 技术在风险管理方面的先进性，把它 们作为风险度量的工具，试图把c v b r 和c d a r 技术与证券投资组合选择理论联系 起来，应用到投资组合管理中去。通过识别证券投资中的风险和采购过程中的风 浙江大学硕士学位论文基于c v a r 的投资组合优化问题 险，探讨其在中国证券市场投资管理中及原料市场实物采购管理中的可能性和有 效性。这有助于管理部门进行风险管理，为管理提供了一个客观依据，有利于规 范证券市场和原料市场，优化资源配置，从而促进经济的稳定发展。 二、风险度量方法的研究现状 自从1 9 5 2 年美国经济学家、金融学家、1 9 9 0 年诺贝尔奖获得者m a r k o w i t z 发 表证券组合投资【j 4 l 一文以来，风险管理和投资决策等问题就得到世界各国经 济学家的日益重视和深入研究。m a r k o w i t z 在该文中第一次从风险资产的收益率与 风险之间的关系出发，用方差来描述风险，讨论了不确定性经济系统中最优资产 组合的选择问题。 在m a r k o w i t z 的工作之后，另外两位美国经济学家、诺贝尔奖获得者 s h a r p e w i i l i a mf 和l i n t e r j o h n 分别在1 9 6 4 年发表的论文资本资产定价：风险条 件下的市场均衡理论 3 1 和1 9 6 5 年发表的论文风险资产的价值：股票资产组合 的风险投资选择，资本预算1 4 】中，在比较强的市场假设下，给出了m a r k o w i t z 均 值一方差模型的均衡版本，即资本资产定价模型c a p m 。 此后，投资组合理论得到了较快的发展。在这些研究中，一个较为突出的问 题在于对投资风险的概念即度量方法的把握上。m a r k o w i t z 的i t i e a l l v a r i a n c e 的风 险评价指标对以后的研究工作有着十分深远的影响。后来的研究者对风险的度量 方法有所改进，如e - s 风险【2 ，培。近年来，金融学家和研究者们又提出了新的 度量方法，如文【9 】提出的“收益率倒数损失”、文【1 0 】提出的“差异系数”等。但 是，风险的度量都没有脱离“方差”这个框架。 1 9 9 3 年，国际清算银行宣布有意引入一种针对市场风险的资本金要求，提出 了v a r 的概念。简单地说， c a r 就是在定的持有期内，某一投资组合在一定的置 信水平下所面临的最大的潜在损失 8 , 1 1 - 2 2 。从此，国内外的经济学家和研究者们对 这种风险度量方法进行了广泛而深入的研究，使v a r 方法在度量风险、预测风险和 确定投资组合方面取得了较大的成功。 对v a r 的研究分为两个方向：一是对v a r 理论的进一步深化，主要表现在对 v a r 的经济意义的进一步解释，即把国际清算银行定义的v a r 的概念发展到投资 组合收益率损失的v a r 上来。对v a r 性质的最新研究主要是讨论v a r 风险是否符 浙江大学硕士学位论文基于c v a r 的投资组合优化问题 合一致性风险度量标准 2 a - 2 7 。 另一个方向是对v a r 的计算方法的研究1 9 j 1 捌，主要的计算方法有三种：历 史模拟法、分析法、m o r t ec a r l o 方法。历史模拟法即对历史数据利用统计方法来 估计市场因素的参数。再模拟市场因素未来的变化；分析法是首先分析市场因素， 且将组合价值用市场因素表示，然后假设市场因素所服从的变化；m o r t ec a r l o 方 法则是直接根据历史数据模拟市场因素未来的变化。对计算方法的研究主要是对 三种方法的改进或修正【嘲，如使用非参数方法来代替参数法、把历史模拟法和参 数法结合起来等，使计算出的结果更符合实际的经济情况。 然而，v a r 方法的流行并不意味着v a r 是一种合理有效的风险度量方法。实 际上研究结果和实践经验都表明，过于单纯的v a r 方法存在严重的缺陷1 2 2 0 , 2 和3 0 。 为了克服v a r 的不足，r o c k a f e l l e r 和u r y a s e v 提出了c v a r 方法】，c v a r 方 法是指损失超过v a r 的条件均值，也称为平均超额损失，它代表了超额损失的平 均水平，反映了损失超过v a r 阀值时可能遭受的平均潜在损失的大小，较之v a r 更能体现潜在的风险价值。c v a r 满足一致性风险度量标准的四个公理。因此是一 致性风险度量。c v a r 的计算可以通过构造一个功能函数而转化为一个凸函数的优 化问题，在数学上易于处理，并且在计算c v a r 的同时，相应的v a r 值也可同时 得到。 文【3 l 】首次提出c v a r 的概念，讨论了等价定义即性质、计算与样本逼近，并 部分地解决了正态假设下的资产组合优化问题。文【3 2 】从定义、性质、计算等若干 方面对v a r 和c v a r 的优劣进行了比较研究。文【3 3 1 对以c v a r 作为目标和约束条 件下的资产组合优化闯题进行了初步探讨。文【3 4 】讨论了基于一般分布时c v a r 的 概念和性质。文【3 5 】将c v a r 度量方法应用与信用风险中。 v a r 的推广方法除了c v a r 方法外，还有c d a r l 4 3 1 、e s 【4 1 ，4 2 】、w c e i “、t c e l 4 2 1 等。 风险度量方法的应用主要有两方面，一是进行投资组合决策，即寻找既定风 险下投资收益最大的投资组合或既定投资收益下投资风险最小的组合；二是计算 一个确定的投资组合的风险量值。第一方面的应用较为普遍，根据投资组合收益 分布的不同特性，可以选择不同的风险度量工具。第二方面的应用v a r 和c v a r 浙江大学硕士学位论文基于c v a r 的投蛰组合优化阗题 较有经济意义，己逐渐成为金融监管部门评价金融风险的常用工具。 三、本文的内容安排 本文从理论探讨、数学建模、实证分析等几方面着手，研究了证券组合风险 度量方法，特别是基于c v a r 风险度量方法。主要工作如下： ( 1 ) 引入了v a r 、c v a r 、c o a r 方法，比较了它们的优缺点，并介绍了把c v a r 和 c d a r 应用于决策问题的处理技巧。 ( 2 ) 讨论了基于c v a r 的投资组合决策包括均值- - c v a r 模型和带有c v a r 限制条件 的均值一方差模型的有效前沿问题。 ( 3 ) 把m a r k o w i t z 的均值一方差理论推广到均值一c v a r 、均值- - c d a r 模型，以深 沪两市的l o 个个股为研究对象，进行了实证分析，并且对均值一c v a r 模型和均值 - - c d a r 模型的有效前沿进行了比较。 ( 4 ) 考虑带限制的风险测量模型，并把它们应用到投资组合选择和原料采购管理。 浙江大学硕士学位论文 基于c v a r 的投资组合优化问题 第二章c v a r 风险度量方法 本章先引入了一致性度量标准，而后介绍了v a r 概念及其性质，对v a r 优缺 点做了总结。针对v a r 的非一致性，引入了它的两种修正模型c v a r 和c d a r ，介绍 了c v a r 和c d a r 的概念、性质及计算方法，分析了它们的优缺点。 2 1 一致性度量标准 所谓一致性公理是由a r t z n e r 等人提出的，若某一风险度量工具具有如下 性质”： 1 ) 次可加性妒伍4 - y ) s 矿口) + 矿( y ) 2 ) 正奇次性以x ) = 卸伍) ，v a 0 3 ) 平移不变性妒暇+ c ) = 伍) 一c ，c 是常数， 4 ) 单调性若x y ，则妒伍) s 矿( y ) 则称口是一致性的风险测量方法。 这四条性质中，次可加任反应了组合投资的风险应该小于分散投资的风险， 即分散投资是可以降低风险的；正奇次性反应了一个风险资产的风险大小跟资产 头寸成正比；平移不变性反应了若增加无风险资产的头寸到组合中，组合的风险 将随着无风险头寸的增加而减少；单调性反应了若一个资产占优于另一个资产， 则前者的风险至少不大于后者。 可见，一致性公理表达的是金融风险理论中最基本的常识，通过这些常识用 来检验某一风险测量方法对投资组合部分与整体的风险测度是否一致，a r t z n e r 等 人认为，只有一致性的风险测量方法才能充当投资组合管理工具。 浙江大学硕士学位论文基于c v a r 的投资组合优化问题 2 2v a r 方法的理论基础 2 2 1v a r 的定义和性质 近三十年来，由于全球金融市场呈现出前所未有的波动住，因此，金融市场 风险越来越成为金融机构和监管当局关注的焦点，在监管当局不断强化对市场风 险管理的同时，许多金融机构都投入巨额经费开发市场风险管理技术。在这样的 大背景下。在2 0 世纪9 0 年代，一种以货币为基准来描述风险的风险计量技术y a r 便应运而生。随后，风险价值v a r 方法又被巴塞尔协会隆重推出，成为市场风险 管理的标准。 v a r 定义如下； 定义2 1 1 ( v a r ) “。1v a r ( v a l u e a t r i s k ) 是指在一定的持有期内和给定的 置信度下，某一资产组合可能遭受的最大损失。用数学公式来表示即： p r o b ( l v a r p ) = 1 一声 其中l 为资产组合在持有期内的损失，v a r p 为资产组合在置信水平卢下处于风险 中的价值。v a r 回答了：发生损失大于给定耽氓4 的概率小于a 例如，j p m o r g a n 公司1 9 9 4 年年报公布，1 9 9 4 年该公司一天的9 5 v a r 值为 1 5 0 0 万美元，这意味着这公司可以以9 5 的概率保证，1 9 9 4 年每一特定时点上的 投资组合在未来2 4 小时内，由于价格波动而造成的损失不会超过1 5 0 0 万美元。 这一数据不仅给出了市场风险暴露的大小，同时也给出了发生损失的概率。 由v a r 的定义，可以得到v a r 的如下性质。”： 性质1 v a r 满足平移不变性，即v a r 口( y + c ) = 阮( y ) + c - 性质2 v a r 满足正齐次性，即v o r ，( c y ) = c v 置p r ) ，当c 0 时。 性质3 v a r p ( 1 r ) = - v a r l _ p ( - y ) 性质4 v a r 关于s d ( 1 ) 单调，即若y i 5 这意味着在9 5 的情况下，投资组会b 会带来风险，即v a r 0 。可见，用v a r 来 描述风险的结果是：集中投资占优于分散投资。 浙江大学硕士学位论文基于c 、姐的投整组合优化问题 ( 3 ) 不具有凸性。由于它不具有次可加性，从而不具有凸性，因而它的优化问题就 很难解决。在进行投资组合优化时，由于v a r 不能表示为各种组合资产的头寸的 函数，至今仍无法对其直接进行优化。另外，以v a r 为目标函数的规划问题一般 不是凸规划，其局部最优解不一定是全局最优解，因此在求解时将遇到很大困难。 ( 4 ) 尾部损失测量的非充分性。v a r 将注意力集中在一定置信度下的分位点上，而 该分位点下面的情况则完全被忽略了。也就是说v a r 太注重某一个点，因此无法 考察它下方的尾部信息，而它下方这小概率发生的巨额损失情形，正是市场在某 些极端情况下发生的，也正是风险管理所需要关注的。这使得用v a r 这种方法不 能防范某些极端事件，而这些极端事件发生概率虽小，一旦发生，将使金融机构 出现灭项之灾。 针对v a r 的缺点，理论界提出了许多改进方法，如c v a r 和c d a r 。 2 3c v a r 方法的理论基础 2 3 1c v a r 的定义和性质 一、c v a r 的定义 c v a r 是由r o c k a f e l l o r 和u r y a s e v ( 1 9 9 9 ) 提出的一种新的风险测量方法，也 称条件风险价值法或超额平均损失。“，定义如下： 定义2 2 1 ( c 、，a r )c v 8 r 是指在给定期限和置信度下，某一资产组合面i 临 的超过v a r 的平均损失，其数学表达式为： c v a r p ( x ) = e l ( x ，y ) l 三( x ，) v a r y ( x ) c v a r 考虑的是大于v a r 的极端损失的平均值，它表达了当资产损失超过v a r 值时其损失究竟是多少的问题，从数学意义上讲，它是一个条件期望值，较v a r 更能体现资产组合所面临的真正风险。 设h 工，y ) 是损失函数，为连续形随机变量，其中x 为决策向量，表示资产尺 寸大小，工x ( x 是投资组合的可行集) ，随机向量y 代表市场因子( 如资产的收 益率向量、价格等) ，它的密度函数为，( y ) 。 浙江大学硕士学位论文基于c v a r 的投资组合优化问题 令l f ，o ，f ) = f p ( y ) d y ，对任意固定的x ，l l ，( 毛f ) 作为f 的函数是在投资组合 “坶 x 下的损失分布函数，r o c k a f e l l a r 证明了它对f 非减右连续。在p ( y ) 连续的情况 下，( x ，f ) 是连续的，且在置信度夕下，有 v a r y ( x ) = m i n 9 - r ：y ( 工，f ) 卢) ， c v a r p ( x ) = e l ( x , y ) | l ( x ，j ，) v a r p ( x ) = ( 1 一历。1j l ( x ，y ) p ( y ) d y 工( ，碡嘶，) 二、c v a r 的性质 对于c v a r ，它具有如下一些性质1 ： 性质l c v a r 满足平移不变性，即c v a r p ( g 4 - c ) = c v a r p ( y ) + c 性质2 c v a r 满足正齐次性，即c v a r p ( c y ) = c c v a r d ( y ) ，当c 0 时。 性质3 e ( 1 ，) = ( 1 一f 1 ) c v a r d ( y ) 一口c v a r 。j ( 一l ，) 性质4c v a r 关于s d ( 2 ) 、m d ( 2 ) 均为单调的。 性质5c v a r 满足次可加性，即对任意的随机变量l 、y 2 ，有 c w a r p ( y t4 - l ) s c v a r d ( y 1 ) + c v a r j ( y 2 ) 性质6c v a r 是凸的，即对任意的随机变量、l 及名1 0 , 1 】有 c v a r a ( a y , + ( 1 一 ) y 2 ) s ；t c v a r ，( k ) + ( 1 一a ) c y 矗郎( l ) 。 性质7c v a r 是一致性风险度量方法。 2 3 2c v a r 的计算方法 c v a r 的计算不需要事先假定分布形态，在任意情况下，其计算都可通过模拟 法来实现。 定义函数乃( 工，d 2 f + r 互l 工( 工，力一纠+ ，其中a + = m a x o ，口) 计算c v a r 的关键在于函数乃( 工，f ) 易o ，f ) 具有如下性质： 浙江大学硕士学位论文 基于c v a r 的投资组合优化问题 定理2 1 ” r a ，。i n cvarp(x)=，哩?。f。(工，f)。x p z e( j k x x j 。 如果损失函数三( 而，) 和可行集x 是凸的，则上式就是凸规划的最优化问题， 最小化c v a r 可转化为解决凸优化问题： ( 悱r a i m n 乃( 。f ) 因此，基于c v a r 的投资组合必定存在最优解。 由于市场因子y 的分布一般是未知的，在这种情况下，只能根据历史数据或情 景模拟数据来刻画它们的经验分布。再根据经验分布测算其风险量值。因此 b ( x ，f ) 可以用情景分析法( 模拟法) 来近似，在这里运用历史数据进行计算，取 j - 个历史数据y ，= l 2 ，则( 工，f ) 可近似表示为： 局c 瓣f + 南粪一f 】+ o 从上式可以看出，如果h x ，y j ) 是关于z 的线性函数，那么函数只( 工，f ) 是凸的而 且分段线性的。 通过虚拟变量。j = - y ，一引+ ，= 1 , 2 ， 元( 工，f ) 又可转化为： f + i 币1 万蔷, i z ， o l ( x ，y ，) 一f ，o ，o ，= l ，( 2 1 ) 2 3 3c v a r 方法的优缺点 通过上述分析，我们可以知道： ( 1 ) c v a r 不是一个单一的分位点，而是尾部损失的平均值，它考虑了大于 v a r 的所有尾部信息，也就是说，只有将所有大于v a r 的尾部损失全部估计到才能 够计算c v a r ，这充分体现了对尾部损失测量的充分性。 浙江大学硕士学位论文 基于c v a r 的投赍组合优化问题 ( 2 ) 在得到c v a r 的同时也得到了v a r ，这可对风险实行双限管制。 ( 3 ) 不论投资者的回报是否是正态分布，c v a r 满足a r t z n e r 等人提出的一致 性公理，符合现代金融理论中的基本常识。 ( 4 ) 又由于它的凸性使它的优化问题计算操作简单、能够处理大样本事件， 且都存在最优解。 ( 5 ) c v a r 同样用货币来计量损失的大小，概念简单，便于投资者直观理解。 然而c v a r 模型也并非完美无缺，它仍处在发展之中。由于c v a r 计算的是超 过v a r 的尾部损失的均值，因此，尾部损失分布估计的准确性将直接影响到c v a r 的计算精度；另外，c v a r 的计算也同样依赖于历史数据，而事实上尾部小概率事 件的数据资料更难得到，所以对历史数据的选择同样会影响计算的结果。 2 4c d a r 方法的理论基础 一、c d a r 的定义 c d a r 是v a r 的另一种改进模型，和c v a r 只是损失函数不同。 记y ( x ，f ) 为t 时某一资产组合的回报，x 表示资产的尺寸大小，损失函数 工( 工，f ) = 罂警b ( 工，f ) 一y ( x ，f ) 表示过去一段时期内的最大回报与当前回报的差 对置信度( o ，1 ) ，c d a r 口就是投资组合的损失函数中最坏的( 1 ) 。1 0 0 情况的 平均值“”。用数学公式表达为； c d a r p ( x ) 2 南量上b ， 其中q = ( f 【o ，t i f l ( x ，f ) 口) ，其中叩= 卢一d a r ，表示一个阀。 二、c d a r 的性质 对y p 【o ，1 1 ，c d a r 满足删： 性质1 c d a r 具有非负性，即c d a r ，( y ) 0 性质2 c d a r 具有平移不变性，即对常数c ，有c d a r ，( y + c ) = c d a r ，( 1 ，) 兰塑2 苎竺生兰兰竺堕 茎王! ! 坚竺丝堡望鱼垡些塑里 性质3 c d a r 具有正奇次性，u 口c o a r 口( 五l ，) ；a c d a r p ( g ) ，v 3 , 0 性质4 c d a r 具有次可加性，b o c o a r p ( r , + k ) g c d 呜( ) + 踟峨( 匕) 性质5 c d a r 具有凸性，即 c d a r p ( 乏y i + ( 1 一五) e ) s x c o a r p ( i , , ) + ( 1 一五) c d 日j 酩( e ) ，五i o ，1 l 由此可见，c d a r 是一致性的风险测量方法。由于它具有凸性，所以和c v a r 方法一样，它的优化问题也同样可以通过功能函数最终可以简化为线性优化技术 来处理。 三、c d a r 的计算方法 计算c d a r 函数也可以通过一个功能函数1 易( w ) 2 ，7 + 南争( 州h l + 来实现，其中卵表示损失函数在置信度下的门槛值，这一表达式为计算处理带来 了方便。和计算c v a r 类似，计算c d a r 同样可转化为： 叩+ 而l 汐荟j z ， s j o j l ( x ，d 一叩，j 0 ，_ = l ， ( 2 2 ) 其中z ，- ，= 1 ，j 为辅助变量。 又因为z ( x , ) - - l z ( x ，j 1 ) 一，r ，所以如果给定资产组合的收益率函数- ， = 1 ，j ，则计算式( 2 2 ) 又可转化为： 巧+ 南考乃 s t z , j h i r ，hj n 卜l r j ， 2 0 ，群j 0 ，o - - 0 ，= l ，歹 2 。3 其中，h ，= l ，为辅助变量。 浙江大学硕士学位论文 基于c v a r 的投资组合优化问履 第三章基于c v a r 的投资组合模型 现代证券投资组合优化理论，针对投资者的期望收益率和风险等约束条件，通 过对数学模型的求解，可以给出在风险约束下或以风险最小化为目标的投资组合 有效前沿和资金在各类资产上的投资比例。使投资者可以了解所有的投资机会和 各种风险收益状况，然后在根据各自的偏好，在权衡每一个组合后，从中选择满 足自己要求的最优投资组合。本章从均值一方差模型及其有效边界出发，讨论了 多种情况下的均值- - c v a r 模型及其有效边界问题。 3 1 均值一方差模型及其有效边界 3 1 1 均值一方差模型 在投资中，收益和风险是密不司分的，要想获得更高的收益，就得承受更大 的风险；反之，要降低风险，则获得的收益也将降低。一个理性的投资者总是希 望在回避风险的同时增加收益。那么如何实现愿望呢? m a r k o w i t z 指出：合理的分 散投资可以最大限度的降低风险，获得较高的收益。进而他提出了均值方差模型： 对有n 种证券，令工= ( 而，x z ，工) 7 为投资比例，收益率j ，= ( n ，j ，z ，y ) 7 ， 预期收益率为e ( j ，) = ( 且( j ，。) ，e ( y ：) ，e ( y 。) ) 7 = ，v 是收益率间的协方差矩阵， 则证券组合p 的收益率为，= x r y ，预期收益率为e ( ，) = 工7 ，方差为 矿2 = ，v x 。记，= ( 1 ，1 ，1 ) 7 ，则投资决策模型即为多目标规划问题： im i n ；= x r v x m a xe ( ，) = x r z l ，：1 其中盯；表示组合风险，表示组合收益率若不允许卖空，则加上条件 浙江大学硕士学位论文 基于c 、h r 的投资组合优化问题 而2 0 ，f = 1 , 2 ，席。此模型分别用组合收益和组合方差来反应资产的收益与风险 状况。 而对多目标规划问题，往往转化为单目标规划。假设投资者更注重风险，则 他会在给定收益率水平下选择有最小方差的组合； f m i “q 2 = x 7 v x 模型a j ，。工7 声= ， l工7 i = 1 假设投资者更注重收益，他会在给定方差的情况下选择期望收益率最大的组 合。均值一方差模型可表示为： i m a x 工7 i l 模型b “x t v x = 吒2 i工7 ，= l 其中r 幕i o 0 2 分别表示期望组合收益率和方差常数。由于模型a 和模型b 有相同的 有效前沿，投资者一般都是风险厌恶的，所以，下面讨论模型a 。 以下盯；简记为口2 ，e ( ) 简记为，。 由l a r g a n g e 乘子法解得模型a 的边界方程为： 盯2 ( ，一b a ) 2 l ，月 a ，爿2 = 1 ( 3 1 ) 其中最优解工。为： 工。= 矿1 i + a z v l ，a = i 。v i ，b = 1 。v “， c = 7 声，= c b 2 ， = 1 c - 广r b ，五= 1 r a - 广b 。 可见，在均方差均值坐标系下，是以( o ，曰，爿) 为中心以，= b a 五了j 0 为 渐近线的双曲线方程的右半支。点m ( j 去，罢) 对应的资产组合是所有可行资产组合 中具有最小方差的资产组合，称为最小方差组合。比最小方差组合收益率高的边 界为模犁a 的有效前沿。如图3 1 所示。 浙江大学硕士学位论文基于c v a g 的投资组合优化问题 图3 - 1图3 _ 2 3 1 2 具有无风险资产的均值一方差模型 当投资者在市场上可以获得无风险资产( 收益率为，) 时，设， ，最小方 模型c 扛t m 工i n o + 而v ，x = ， i毛7。 l工7 j + 工= 1 模型d 用l a r g r a n g e 法解得模型的边界方程为： ，一，f 育眨， ，一， 一五“o 其中h = c - 2 v r b + r 2 a ，这意味着模型d 的边界方程在均方差一均值坐标系中 是以f ( o ，) 为顶点，斜率为百的两条射线，其中上半支射线为模型d 的有 效前沿。如图3 - 2 所示。 瞻x = x 吒 x 则 o y = 0 = 0 ， = ， 慨 = 可 毛 型 中 模 其 以所 0 一协吖 工 工 ， n d _ 0 一k ， 浙江大学硕士学位论文基于c v a r 的投资组合优化问题 定理1 模型d 的有效前描即为越f 。( 0 ，) 点的射线与模型a 的有效前j 甘a b 的切线。 证明：假设切点为m ，则直线f m 的方程为： ，：尘土矿+ ， ( 3 3 ) 对( 3 1 ) 式两边关于盯求导，可得： 石d r = 一a a ：ra 击 ( 3 4 ) d 仃一lb 、。 由于m 为f m 和a b 的切点，所以 生：垒。 !：皇 ( 3 研 d c rar a b盯 、 由( 3 1 ) 式和( 3 5 ) 式可得： r m = 篙b - a r r 一= ( 南 a ( b - a r r ) z + 伍回2 一2 i + j j p 山) 将( 3 6 ) 式代入( 3 3 ) 式可得，直线的斜率为百。定理得证。 3 2 均值一c v a r 模型及其有效边界 3 2 1 均值c v a r 模型 一、正态分布下的c v a r 计算 设有n 种证券，x = ( 而，工。，艺) 7 为投资比例，第i 种证券的收益率为y ， y = ( j ，l ，j ，2 ，y 。) ，预期收益率为( n ) ，z = ( e ( 几) ，e ( y 2 ) ，z ( y 。) ) 7 ，v 是协 方差矩阵，则证券组合p 的收益率为0 = x r y ，预期收益率为e ( ，) = x 7 p ，方差 为盯，2 工1 瞻。假设资产收益率服从联合正态分布。 先考虑特殊情况：当损失函数l 服从标准正态分布时，由 c a r 的定义可知。 v a r 满足p s 眦，) = 芦，即n 壤，2 ，。和为标准正态分布的下侧卢分位数； 浙江大学硕士学位论文 基于c v a r 的投资组合优化问题 c w r p = e i l r - v a r p ：甓：南f 圳坶南北小 e 。9 ( 砷咖1 一声b 1 一”v 由于损失函数l = - x r p n ( 一e ( ，) 巳2 ) ，即三之写生一( 。1 ) 所以由 v a r p 满足p 仁s v a r p = 可知。 p 掣s 掣 ：，从而v a r p 功q 川，) 。 【 盯，仃， j 。 c 叫i 鸭 = o r p e 半盼怫卜c ， 一降降鼍掣卜， = r 与似和p p - e ( ，) = f ( 炒p - e ( ，) 其中f ( 卢) = r 与9 ( 和) 一 z ( 卢) 表示标准正态分布下侧分位数，尹( ) 表示标准正态 分布的密度函数。 麸上面分析可以知道，在正态分布假设下，c v a r ，与仃，有线性关系，斜率为 f ( ) = f 与尹( 和) ，因此在给定时，c v a r 值可以根据市场因子的均值和标准差 很快得到。而且由于隐随卢单调增加，以c v a r ，也随单调增加，从而r ( 历 是p 的单调递增函数。 二、基于均值一c v a r 的资产组合有效前沿 当收益率服从联合正态分布即j ，n ( p ，v ) 时，考虑均值一c 汛模型： 浙江大学硕士学位论文基于c v a r 的投资组合优化问题 jr a i n c v a r ，( 工) 模型e 文t x r p = ， 【 善7 f = 1 定理2 【3 1 1 设y 服从联合正态分布，若口0 5 ，则模型a 、e 等价，即存在同一优 化组合x ，使得方差和c v a r 同时达到最小。 定理3 口町组合，属于均值一方差有效边界的充要条件时组合p 属于均值一c v a r 有效边界： 下(cvarp+r)lt(f1)2一巡ia=1 ( 3 7 ) l ，a 、 其中a = i r v i ，b = i r v 一，c = 卢7 v - l 尸，a = a c b 2 。 最优解为x * - - - n + 矿1 ，其中 = 竿，以= 业a 。 显然，均值一c v a r 边界等价于对均值一方差边界作了一个简单的变换。均值 一a r 边界和有效前沿如图3 - 3 所示。 r 图3 - 3 定理4 【3 8 】在给定水平下，如果最小c v a r 口存在，则它是均值方差有效的。 定理5 【3 3 1 当且仅当f ( 刃 i 万时。在此水平下的最小c v a r 投资组合存在，且 工= i c ( v - i i ) - b (