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文档简介

第四节含参变量积分,一、含参变量积分的连续性,称为含参变量积分。,要点是:积分号与极限号的互换.,例1求,就有,于是由（1）式有,定理1证,设和是上的两点，则,所以在上连续.定理得证,右端积分式函数先对后对的二次积分.,公式（2）也可写成,要点是:积分号与积分号的互换.,定理1如果函数在矩形,上连续，又函数与在区间上连续，,则含参变量积分在也连续.,当时，上式右端最后一个积分的积分限不变，,定理1证,设和是上的两点，则,根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.又,其中是在矩形上的最大值.根据与在上连续的假定，由以上两式可见，当时，（4）式右端的前两个积分都趋于零.于是，当时，,所以函数在上连续.定理得证,例2计算,定理3如果函数及其偏导数都在,则在上可微，并且,矩形上连续，又函数与在区间上可微，并且,二、含参变量的函数的微分,称为莱布尼茨公式.,下面先考虑由积分(*)确定的函数的微分问题.,要点是:积分号与求导号的互换.,例3,例4,为了求，先利用公式(1)作出增量之比,由拉格朗日中值定理，以及的一致连续性，我们有,这就是说,综上所述有,令取上式的极限，即得公式（5）.,解,例6,例7求,解,例8计算定积分,考虑含参变量的积分所确定的函数,显然，根据公式(5)得,解,把被积函数分解为部分分式,得到,于是,上式在上对积分,得到,即,从而,1、含参变量的积分所确定的函数的定义；,四、小结,2、含参变量的积分所确定的函数的连续性；,3、含参变量的积分所确定的函数的微分；,4、莱布尼茨公式及其应用.,要点是:积分号与极限号,求导号,积分号的互换.,定理3证,由(4)式有,当时，上式右端的第一个积分的积分限不变，则,对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得,其中在与之间.当时,类似地可证,当时,因
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