（计算数学专业论文）变分不等式的数值方法的研究.pdf

浙江大学博士论文 摘要 本文主要讨论两个方面的内容：构造两类新的算法，求出薄膜障碍 问题的离散解；以及对松弛法求解简单摩擦问题的收敛速度进行深入的 研究。通过运用一些数学技巧和工程思想对这两种模型展开理论分析， 获得了一些重要的结果，最后列举一些数值例子，证实了本文的想法。 薄膜障碍问题是第一类椭圆型变分不等式的代表性模型。为了确定 薄膜的位移函数u ( z ) ，本文提出了两类新的算法。一类算法的目的在于 通过迭代找到障碍矽( z ) 与薄膜u ( z ) 接触的区域，在每一步迭代中需求解 一个线性方程组。算法如下：解方程a u o = f ，得到弹性膜的初始位置 1 1 0 ，则当n = 0 ，1 ，2 ，小参数 0 时，有 i ) 计算= u ? 一妒( 耽) ，i = 1 ，n 以及d = 。m 。i n 州d 5 川 i i ) 假如龆0 ，则算法停止。否则 q p ) = z ld c f 5 n 价i n ( d 黩+ ，o ) ) i i i ) 对于所有的i q n ，替换矩阵a 和荷载向量f 为 a i ，i = 1 ，a i ，= 0 ，j i ，五= 妒( 瓤) - i v ) 求解a u 蚪1 = f 最后给出几个数值例子，证明了算法的可行性。 第二类算法以相应的补问题为对象，通过迭代构造一个单调序列， 求出问题的离散解。算法如下： i ) 给定初始值u ( 叭，满足不等式 u 妒i ，( a u ( o ) t ，i = 1 ，2 ， i i ) 当k = 0 ，1 ，2 ，时，对u 5 哦的节点i ，假设 碰七) = 俐( u ( 七) 产五) 趟。) = i i ( a u ( 七) l 埘 浙江大学博士论文 i fi 威七) i fi 威七) 其中参数0 u 1 u：=：；n。1，磊fi，-i。妒(aiuu(k：)。)，ii，；i，f让u5l七k，)= 0 ， i ) c o m p u t i n g = u ? 一矽( 兢) ，i = 1 ，a n dd 黩= 1 m 。i n 。d 5 i i ) i f 锟0s t o p ，e l s e q p = 既i d 臻量趣佗d 翳量+ e ，o ) i i i ) f o ra l li q p ) ，m o d i f yt h em a t r i xa a n dt h el o a dv e c t o rfb y a i ， = 1 ，a i ，j = o ，j i ，五= 矽( 玩) i v ls o l v ea u n + 1 = f t h u sw et h i n kt h en o d e sa r ec o n t a c tn o d e si fd 翳l d d 翁乙+ f i n a l l y , s o m e n u m e r i c a le x a m p l e sa r er e p o r t e d t h eo t h e ra l g o r i t h mi sp r e s e n t e df o rs o l v i n gt h ec o r r e s p o n d i n gc o m p l e m e n t a r y p r o b l e m w eb e g i nw i t has u i t a b l ei n i t i a lg u e s sv a l u eo ft h es o l u t i o n ，t h e nc o n s t r u c t ai t e r a t i o na l g o r i t h mt og e n e r a t et h em o n o t o n es e q u e n c e t h ea l g o r i t h mi sf o l l o w i n g ： i ) g i v e nt h ei n i t i a lg u e s sv a l u eu ( o ) s a t i s f i e st h ei n e q u a l i t i e s u 5 0 矽t ，( a u ( o ) 五，i = 1 ，2 ， i i i 浙江大学博士论文 i i ) f o rk = 0 ，1 2 ，a n du 5 七w el e t 碰。) = ( i i ( a u ( 2 ) 产 ) 趟。) = i i ( a 危u ( 七) 矽( 铷) ，于是存在领域u ( x 。) q ，也 即对于任何z u ( z o ) ，都存在一个数6 0 ，使得u ( z ) 矽( z ) + 6 。并且 在( 1 1 7 ) 中令u = u 士6 ，其中四( u ( 铷) ) ，l i 1 1 。1 ，则成立关系式 土厶( 一让一f ) od x 0 v 咖冒( u ( z 。) ) ，1 1 1 1 0 。冬1 因此 二( 一u f ) 咖d x = o v 吁( u ( ) ) ，i i | j 。1 则有 厶( 一u 一，) d z o v 曙( u ( 铷” 所以，若u ( x o ) 矽x 。) ，x o q ，则有 ( 一a u 一厂) ( 如) = 0 综合以上结果可知，假如问题( 1 1 6 ) 的解满足光滑性u c 2 ( a ) nc ( q ) ， 则在q 上存在以下关系式 u 一矽0 ，一a u 一，0 ，( 乱一矽) ( 一u 一，) = 0( 1 1 8 ) 这样q 就被分为两部分，在第一部分q 。上， u 妒，- a u f = 0 弹性膜与障碍函数无接触。而在第二部分q 。上， 乱= 妒，- a u 一，0 弹性膜与障碍是有接触的。问题中的接触域 z q ：u ( z ) = 矽( z ) ) 未知。 4 浙江大学博士论文 接下来要证明的是，如果uec 2 ( q ) nc ( f i ) ，在边界r 上u = 0 ，并 且满足关系式( 1 1 8 ) ，则u 必定是变分不等式( 1 1 6 ) 的一个解。首先有 关系式 厶( 一u 一州u 一矽) 如0 讹k 结合 厶( 一乱一州仳一矽) 如= o 可以得到 厶( 一乱一州u u ) d x 0 v v k 分部积分则有 五v u 可7 ( v - - u ) 如五，( v - u ) d z v 口k 所以u 是变分不等式( 1 1 6 ) 的解。 例1 1 2 ( 摩擦接触问题) 5 考虑一个在有界区域q 上的线性弹性体与坚硬不动体之间的摩擦接 触问题。假设边界r 是l i p s c h i t z 连续的，而且由三个不重叠的区域r u ， r 。和r 。组成。弹性体被固定在l 上，并且与外加力，以及r 。上的平面 牵引力g 有关。在r 。上，弹性体与不动体之间产生摩擦( 图1 1 2 ) ，并假 设弹性体处于平衡状态。 首先来看一下问题所描述的微分方程和边界条件。记盯= ( 仉，) d d 为 压力变量，盯= 仃t ，则在q 上有平衡方程 一出u 仃= 厂 并假设线性弹性体存在结构关系式 盯= c e 浙江大学博士论文 图1 1 2 摩擦接触问题 其中e = e ( 乱) = ( ( u ) ) d d 表示线性应变张量 ( u ) = 三( v u + ( v 让) t ) ( 1 1 1 1 ) c 则表示弹性张量，并且具备了有界性，对称性和逐点稳定的特性。 在r 和l 上的边界条件分别满足 u = 0 和 盯2g 在给出r 。的边界条件之前，先来看一些定义。首先，在r 上定义u 的法 向量为让。= u z ，切向量为u - u 一钆。，则位移让由两部分组成 u = u + u l 6 、，、， 2 3 1 l 1 1 1 上 1 ，il，i、 浙江大学博士论文 同样，如果在边界上给出应力张量，那么存在应力向量仃。定义其法向 量。= ( 仃) ，切向量吼= 仃一o - u 1 。则应力向量也可以分解为 盯= o - u 1 + ( 7 t 所以在r 。上，简化的摩擦接触条件如下【5 】 盯= 一g i o t l 卯g 一 ( 1 1 1 4 ) h l 0 ，摩擦系数船 0 是给定函数，g ， l 0 0 ( r ) 。从( 1 1 1 4 ) 的最后两个式子可以推出，在r 。上有关系式 o t 乱t = - - p f g l u t l ( 1 1 1 5 ) 于是上述关系式( 1 1 9 ) 一( 1 1 1 4 ) 就组成了摩擦接触问题。在以下的步骤中 将推导出相应的弱形式。选择问题的函数空间为 v = u ( h 1 ( s2 ) ) 81 御= 0 a e o t tf u ， 并假设函数乱足够光滑。在方程( 1 1 9 ) 的两边同乘钞一u ，则有 一厶d i 一( v - u ) d z = 正，( v - u ) d x v u y 利用边界条件( 1 1 1 2 ) 和( 1 1 1 3 ) 以及结构关系式( 1 1 1 0 ) ，对上式进行分 部积分，得到 一fd i u 盯( v - u ) d x 7 一i ( v - u ) d s 七一( v - u ) d x f r gg ( u 刊d s 一上。( 刊d s + 厶州u ) x ( v - u ) d x 7 浙江大学博士论文 考虑到f 9 上的盯和u 一钆的法向量，切向量( 1 1 1 5 ) 以及边界条件( 1 1 1 4 ) ， 则有 一( f c ( 7 y 。v - - u ) 如 一 = 一上，( 盯一一u v ) + 即( 仇一) ) d s = 上。g ( 一钆，) d s + f 。( 一c r t v t - - p f g i u t i ) d s 上。g ( v v - - u v ) 如+ 上。p f g ( 一i u t 从以上的结论可知，若， l 2 ( q ) d ，g l 2 ( r 9 】d ，则摩擦接触问题的变 分不等式形式为：求位移向量u v ，使得 五c ( 也) x ( v - u ) d x + f r 。舸g h id s 一上。肛f g i 钆t i d s 五，v - - + u ) 如+ 上。9 ( u 一d s 一上。g ( v v - - u v ) 如v y ( 1 - 1 1 6 ) 与乡等价的最小化问颢为：找蛩h v 满足 e ( u ) = i n f e ( v ) i 口y ( 1 1 1 7 ) 能量函数e ( u ) 的表达式为 ，e ( u ) ：去 g ( 口) ：( v ) d x 一三，ud z g v d s + 上。g ( + 肛f 幽 ( 1 1 1 8 ) 并且它是不可微的，其中的不可微项把摩擦的影响考虑在内了。 例i i 1 是第一类椭圆型变分不等式的典型例子。其中，( 1 1 6 ) 是问 题的变分不等式形式，并且与最小化问题( 1 1 5 ) 等价。薄膜障碍问题的 相关研究可参考文献 1 3 l 1 7 ，2 0 ，4 4 ，4 9 ，6 3 ，6 4 】，在本文的第三章中将进一 步研究。在实际生活中，第一类椭圆型变分不等式除了薄膜障碍问题， 还有许多种类的问题都可以归为此类。例如，弹塑性杆自由扭转问题【9 ， 1 0 ，8 0 ，9 0 】，s i g n o r i n i 问题 9 ，1 0 ，1 5 ，3 7 l 4 3 ，4 8 ，6 2 】等。 8 浙江大学博士论文 例1 1 2 则是第二类椭圆型变分不等式的典型例子。同样，从例子中 的推导可知，它的变分不等式形式( 1 1 1 6 ) 与最小化问题( 1 1 1 7 ) 也是等价 的。在文献 9 ，1 0 ，5 0 中对该问题的理论和算法上进行了相关的研究。本 文的第四章也会进一步探讨该问题。常见的流体润滑，多孔介质定常流 渗流等问题 9 ，1 0 也可以看成是第二类椭圆型变分不等式的模型处理。 接下来将讨论这两类椭圆型变分不等式在理论和算法方面的研究现 状。 1 2 问题的研究现状 关于椭圆型变分不等式问题( e v i p ) ，大致可分为理论和算法两大研 究方向。理论方面的研究焦点集中与e v i p 解的存在性，唯一性等，而算 法方面主要是研究如何引进和借助于各种技术，概念和思想以建立各种 类型的e v i p 的具体求解方法。 近几年来，e v i p 进一步受到广泛和高度的重视，引起许多学者，尤 其是国外学者浓厚的研究兴趣，无论是理论研究还是算法研究都取得了 长足的进展。仅就算法方面来看，研究不仅十分活跃，优秀成果也很丰 富 1 3 2 0 ，3 3 8 2 ，8 8 】。例如，连续算法【8 6 8 8 ，牛顿迭代算法【4 5 ，5 8 ，多 层投影法【4 4 ，6 4 ，多网格法【4 9 ，5 0 ，7 9 ，8 0 ，区域分解法【4 7 ，5 5 ，5 6 ，6 0 以 及适用于非线性补问题的投影法【7 7 ，7 8 】等。它们都是e v i p 具有重要意 义和代表性的求解方法。 对于连续椭圆型变分不等式问题，一般需要用数值方法进行求解。 首先把连续问题离散化，形成有限维代数不等方程组，差分法和有限元 法是常用的离散化方法。由于有限元方法可根据场函数的需要而疏密有 致地，自如地布置节点，并可处理复杂区域形状及便于编制通用程序等 优点，使其在结构变分不等式问题中获得了广泛的应用。具体可以参考 文献 1 3 1 8 ，3 7 ，4 6 ，8 9 】。其中证明了有限元离散解的收敛性和先验误差估 计，这在本文的第二章中将会提到。 椭圆型变分不等式离散后得到的有限维代数不等方程与约束二次规 9 浙江大学博士论文 划问题有着相似的数学特性，因此采用最优化问题的数值方法来求解离 散化的变分代数不等方程应是一条自然途径。然而源于椭圆型变分不等 方程的有限元数值问题，由于其自身的特点使得相应的有限维代数不等 方程组，与一般规划问题相比，系数矩阵具有正定、高阶、稀疏、带状等 特点。正因为如此，对于离散椭圆型变分不等式，往往不采用数学规划 方法，而是把普通变分有限元方程的解法加以改造，使之适应于有限维 代数不等方程。投影点松弛法和块松弛法是经典的且至今仍广泛应用的 重要方法【5 2 5 4 】。在本文的第四章中将对此法进一步研究。此外，修正 的共轭梯度法 9 ，多重网格法 7 9 ，8 0 】等也在离散椭圆型变分不等式的 求解中得到了应用。 综上所述，椭圆型变分不等式问题在非线性问题中扮演着重要的角 色，同时也是研究力学，物理与工程中许多自由边界问题的重要方法之 1 3 本文的主要研究内容 本文针对椭圆型变分不等式的离散解进行了深入的研究。主要以第 一类椭圆型变分不等式中的薄膜障碍问题与第二类椭圆型变分不等式中 的简单摩擦问题为分析对象，提出几种新的算法，并对已有的一些算法 进一步研究。 本论文共分五章，各章内容安排如下： 一、对椭圆型变分不等式问题存在的历史背景，相关理论和算法的发展 进行综述，重点介绍有限元方法。 二、概述两类椭圆型变分不等式的定义，解的存在性，唯一性和正则性。 并对椭圆型变分不等式进行有限元近似，介绍离散问题的一些相关 理论。 1 0 浙江大学博士论文 三、针对第一类椭圆型变分不等式中的薄膜障碍问题，在有关理论与已 有算法的基础上，提出两类新的算法，证明了算法的可行性，并给 出数值例子。 四、对第二类椭圆型变分不等式中的简单摩擦问题进行有限元离散，得 到的问题使用松弛法求解，并对松弛法的收敛速度进二步研究。 五、对全文的工作和理论、实际意义做一个总结，并展望今后的研究工 作。 浙江大学博士论文 第二章椭圆型变分不等式 上一章通过两个例子引入两类椭圆型变分不等式，在这一章中，将 具体介绍它们的定义，解的存在性和唯一性以及有限元近似后得到的离 散问题的相关理论。 2 1 第一类椭圆型变分不等式 第一类椭圆型变分不等式当中具有代表性的例子便是第一章中的薄 膜障碍问题( 例1 1 1 ) 。此类椭圆型变分不等式大致可以描述为：令y 为 一实h i l b e r t 空间，该空间上的内积为( ，) ，范数为l 。假设a ：vxv 斗r 在y 中是一个连续，具有v 一椭圆性的双线性形式，k 是y 的闭凸，非 空子集，给定连续线性泛函l ：y _ r ，则问题如下：求uek ，使得 a ( u ，u u ) l ( v u ) v uek 第一类椭圆型变分不等式的特征便是它们都是在凸子集上定义的。当集 合k 是y 的子空间时，有下述注解： 注2 1 1 ：当k 是y 的子空间时，变分不等式( 2 1 1 ) 可以简化为变分方 程 o ( u ，u ) = l ( v ) v v k ，u k 注2 1 2 ：如果对于任意的v k ， 0 ，存在q k ，就称k y 是 y 中的锥。则有结论：当k 是y 中的一个闭凸锥时，变分不等式( 2 1 1 ) 等价于以下关系式 o ( u ，可) l ( v ) v v k n ( u ，u ) = l ( u ) 1 2 浙江大学博士论文 注2 1 3 ：在文献 9 2 】中定义了一类由( 2 1 1 ) 推广开来的拟变分不等式 ( q v i ) ，这类模型通常出现在决策科学领域中。定义如下：找到uev ， 使得 o ( 乱，v u ) l ( v u ) ，v v k ( 让) ，u k ( 乱) 其中v k ( 钉) 是y 的一个非空，闭凸子集。拟变分不等式的相关研究可 以参见文献 9 ，1 0 ，1 8 ，1 9 】。 以下是关于变分不等式( 2 1 1 ) 解的存在性和唯一性证明。 定理2 1 1 ：假设y 是一个实h i l b e r t 空间，a ：v vjr 是一个连续，具有 v 一椭圆性的双线性形式，给定有界线性泛函三：y 斗r ，并且集合k y 非空，闭凸。则第一类椭圆型变分不等式( 2 1 1 ) 有唯一的解u k 。 证明：首先来看一下存在性证明。令让。，u ：是( 2 1 - 1 ) 的解，则有 a ( u l ，v u 1 ) l ( v u 1 ) ，v v k ，u l k a ( u 2 ，u u 2 ) l ( v 一“2 ) ， v v k ，u 2 k ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 在( 2 1 2 ) 中令v = u 。，( 2 1 3 ) 中令v = u 。，两式相加后，利用o ( ，) 的v 一 椭圆性，得到 q i l u 2 一u l i l 2 a ( u 2 一u l ，u 2 一u 1 ) 0 又因为o l 0 ，所以u l = 札2 。 接下来证明解的存在性。因为不等式转化为方程后证明会显得更容 易些，所以可以用固定点问题的形式去重写不等式( 2 1 1 ) 。首先，回顾 一下r i e s z 表示定理。即存在一个唯一的fev ，使得l iz l i = l i l l l ，并且 l ( v ) = ( f ，v ) v v v 对于任意一个固定的u v ，应用r i e s z 表示定理，则存在映射4 ：y 斗 矿，使得定义在y 上的线性连续映射vho ( u ，v ) 可以表示为 n ( u ，v ) = ( a u ，v ) v v v 1 3 浙江大学博士论文 因为n ( ，) 是连续双线性形式，所以4 是线性有界的，即 悄| | m 因此，对于任意的p 0 ，问题( 2 1 1 ) 等价于：求“k ，使得 ( ( u o ( a u z ) ) 一u ，v u ) 0 v v k ( 2 1 4 ) 若攻表示k 上的正交投影，则( 1 2 2 ) 可以写成 u = & u o ( a u z ) )( 2 1 5 ) 并且当口足够小时，( 1 2 3 ) 右端的算子是压缩的。证明如下，对于任意 的v 1 ，v 2 v ，存在 i i 玖( u 一o ( a v - 一z ) ) 一攻( 钉。一o ( a v 。一o ) h 2 i l ( u 一o ( a v - 一f ) ) 一v z o ( a v 2 一o ) h 2 = i i ( v l u 2 ) 一o a ( v 1 一v 2 ) 1 1 2 ， = i l 秽1 一v 2 1 1 2 2 0 a ( v 1 一 2 ，j u l 一可2 ) + p 2h a ( v 1 一v 2 ) 1 1 2 、 冬( 1 2 0 a + p 2 m 2 ) h v l 一v 2 1 1 2 其中q 0 是双线性形式o ( ，) 的v 一椭圆性常数。 如果选取p ( 0 ，2 a m 2 ) ，则欺是压缩映射，所以根据b a n a c h 固定 点定理，问题( 2 1 4 ) 有唯一解，也即( 2 1 1 ) 有解存在。 注2 1 4 ：若k = y ，则定理2 1 1 可以简化为l a x m i l g r a m 引理 2 7 ， 7 0 ，9 1 。 注2 1 5 ：薄膜障碍问题( 1 1 6 ) 是第一类椭圆型变分不等式，并满足定理 2 1 1 的所有条件，因此薄膜障碍问题( 1 11 6 ) 有唯一解。 1 4 浙江大学博士论文 注2 1 6 ：当双线性形式o ( ，) 对称时，变分不等式( 2 1 1 ) 等价于最小化 i ；q 题i ：求钆k ，使得 e ( 钍) 2 蒜e ( u ) e ( 口) = 互1 。( ， ) 一l ( 训 并且问题的解是唯一的。 注2 1 7 ：利用g a t e a u x 导数的定义和o ( ，) 的对称性，容易证明 ( e ( 钍) ，v ) = n ( u ，v ) 一l ( u ) ， v u ，v v 因此有e 7u ) = a u 一1 ，v u v 。其中，a ，l 在定理2 1 1 中已定义。 注2 1 8 ：从定理2 1 1 的证明过程知，当0 口 2 0 c m 2 时，v _ r ( u 一 8 ( a v z ) ) 是压缩映射，因此有下述关于( 2 1 1 ) 的算法： i ) 初始值u o v 任意给定； i i ) 对于任意的n 0 ，u 礼已知，u 卅1 定义为 u 卅1 = p ku 几一o ( a u 礼一f ) ) 则在y 中u n 。钆，其中u 是( 2 1 1 ) 的解。若o ( ，) 是对称的，由注2 1 7 知，e 7u ) = a u l ，所以上述式子可以重写为 u 时1 = p k ( 钍n e ( e 7 ( u 仡) ) ) 上述算法称之为梯度投影方法，在第一章中已介绍。 定理2 1 2 ：假设定理2 1 1 的条件均成立，且o ( ，) 是对称的，则在所有 的估计u v 中，变分不等式( 2 1 1 ) 的解u k 是集合k 中最佳的。即： 忪一u i i n2 蒜i | u 一铆i i n 其中内积由o ( ，) 定义，u v 是线性椭圆边界值问题的唯一解 u k o ( 叫，v ) = l ( v ) v v y 1 5 浙江大学博士论文 证明：因为对于k 中任意的元素v ，存在 a ( u ，v u ) l ( v u ) = o ( u ，v u ) 也即 n ( 一u ，u u ) 0 v vev 所以，u k 是u 关于内积口( ，) 在k 上的投影。 注2 1 9 ：从定理( 1 2 2 ) 可知求解变分不等式( 2 1 1 ) 的一个方法：第一步， 解一个相应的线性边界值问题；第二步，计算在k 上关于内积o ( ，) 的 投影。 2 2 第二类椭圆型变分不等式 摩擦接触问题( 1 1 1 6 ) 是第二类椭圆型变分不等式中的一个重要例 子。为了描述这个问题，除了已有的双线性形式o ( ，) 和线性泛函l ，还 需要引进一个固有的，下半连续的凸函数j ：v _ 一r 三r u 土) ，而且函 数j 不可微。则问题如下：找到u v ，满足 o ( u ，v u ) + 歹( u ) 一歹( u ) l ( v u ) v v v ( 2 2 1 ) 上述问题就称之为第二类椭圆型变分不等式。它的存在主要是不可微项 j ( ) 的出现。 引理2 2 1 ：假设y 是一个赋泛空间，j ：v 。瓦是固有的，下半连续 的凸函数，则存在一个连续线性泛函l j v 7 ，蹦及c o r 使得 j ( v ) l j ( 秽) + c o v v v 定理2 2 1 ：假设y 是一个实h i l b e r t 空间，a ：vxv j r 是一个连续，具 有v - 椭圆性的双线性形式，l ：y 。r 是一个有界线性泛函，j ：v - 瓦 1 6 浙江大学博士论文 在y 中是一个固有的，下半连续的凸函数，则第二类椭圆型变分不等式 ( 2 2 1 ) 有唯一解。 证明：首先来看一下唯一性。因为j 是固有的，即v v o kj ( v o ) 0 ，局 是压缩的，再根据b a n a c h 定理可知局有一个唯一的固定点。 对于任意的u 1 ，u 2 v ，令u 1 = p o u l ，u 2 = p o u 2 ，则 ( 0 3 1 ，5 0 2 一1 ) + o j ( w 2 ) 一o j ( w 1 ) ( u l ，0 3 2 5 d 1 ) 一o a ( u l ，0 3 2 一u 1 ) + o l ( w 2 一o j l ) ( 0 3 2 ，o j l 一( 0 2 ) + o j ( o j l ) 一9 歹( u 2 ) ( u 2 ，u 1 一o j 2 ) 一o a ( u 2 ，u 1 5 d 2 ) + o l ( w l 一5 d 2 ) 两式相加，化简得 i i u l 一u 2 1 1 2 ( u 1 一u 2 ，u 1 一u 2 ) 一o a ( u l 一让2 ，u 1 一u 2 ) = ( ( j o a ) ( u l u 2 ) ，c x ) 1 0 3 2 ) 其中算子a 定义为n ( u ，u ) = ( a u ，钉) ，v u ， ev ，因此 i i u 一u z i l | | ( j o a ) ( u l u 。) i | 所以对于任意的u v ， i i ( i o a ) u h 2 = i l u o a u h 2 = 1 2 2 0 a ( u j u ) + 口2h a u h 2 ( 1 2 0 a + 0 2 m 2 ) l l u l l 2 其中m 和0 1 分别是双线性形式o ( ，) 的连续性常数和v 一椭圆性常数，所 以在h i l b e r t 空间y 中，对于任意的p ( 0 ，2 q m 2 ) ，映射r 是压缩的。 1 8 堑里盔生蔓圭堡塞 一 1 9 推论2 2 1 在定理2 2 1 的条件的基础上，假设j ：v - r ，则u 是变 分不等式( 221 ) 的解当且仅当以下关系式成立： o ( ) + 7 ( ) l ( ) v v v n ( ，z ) + j ( u ) = 三( u ) 注2 2 1 ：定义 v = ( 日1 ( n ) ) 4 卜= 0o z e o n f 。) ， o ( “， ) 2 上j 哪4 置 j ( t j ) 2 上”g 如， = 五，”出+ 上。d s 一上。钆豳 可知摩擦接触问题( 1 1 - 1 6 ) 是第二类椭圆型变分不等式，并满足定理2 2 1 的条件，因此问题有唯一解。 注22 2 同注2 18 ，从定理2 2 1 的证明过程可得到关于( 2 2 1 ) 的算法 i ) 初始值u o v 任意给定； i i ) 对于任意的n 0 ，铲已知，“+ 1 定义为 ( t ，+ 1 ，uu ”+ 1 ) + 鲫( 口)钉( u ”+ 1 ) ( u “， “+ 1 ) + o l ( v u “+ 1 ) o a ( u “，口 u n + 1 ) ，v v k1 ，+ 1 v 则当u 0 ，使得 j j 让一u 忪c 咻i n f h ( 1 1 一v h + i 。( 让， 一u ) + 歹( 九) 一歹( 钆) 一三( u 一u ) i )( 2 4 4 ) 证明： 令( 2 4 1 ) 中的钉= u ，并把得到的式子与( 2 3 1 ) 相加，则有误 差关系式 a ( u ，u h u ) - i - a ( u h ，v h u ) + j ( v h ) 一j ( u ) l ( v h u ) v v 利用双线性形式n ( ，) 的v 一椭圆性和有界性，对于任意的k 酬u u h l l 2 a ( u u h ，钆一u h ) = 一a ( u ，u u ) 一a ( u h ，v h u h ) + a ( u h 一乱，v h 一扎) + o ( “，v h 一札) o ( u u h ，u v h ) + o ( u ，v h u ) + 歹( 幻 ) 一j ( u ) 一l ( v h u ) m l | 乱一u i u u i f + a ( u ，v h 一仳) - - t - 歹( u ) 一歹( u ) 一l ( v 一u ) 言q l i u 一钆 i r + + c i i t 上一u 1 1 2 + o ( u ，v h u ) + j ( ) 一歹( 钆) 一l ( 钉 一u ) 浙江大学博士论文 由此可知( 2 4 4 ) 成立。 注2 4 1 ：定理2 4 1 是c d a 引理关于第二类椭圆型变分不等式的有限元 估计的推广。 2 3 浙江大学博士论文 第三章薄膜障碍问题 前一章介绍了第一类椭圆型变分不等式的定义，解的性质和有限元 近似，接下来将要以第一类椭圆型变分不等式的代表性模型一薄膜障碍 问题为研究对象，引入两类新的算法，求出它的近似解。 3 1 问题概述 3 1 1 连续问题 障碍问题是单侧问题中最简单的一种类型，也是第一类椭圆型变分 不等式中的特例。许多重要的问题，例如弹塑旋转问题，s t e f a n 问题都 可以转化为障碍问题。它的物理模型在第一章中已提及。 。 下面先来回顾一下问题的大致描述 2 5 ，6 6 ，6 7 。令 v = 硪= v h 1 ( q ) iu | r = o ) 。( u ，u ) 2 止v u v u d x v “v 口= 石o u 石o v - t - 瓦o u 瓦o v d z ld z ld z 2 z 2 l ( v ) = ( 厂，u ) ，v = h _ 1 ( q ) 并假设障碍函数矽h 1 ( q ) nc o ( 西) ，矽旧0 以及限制集 k = u 础( q ) lv 矽a e o n q ) 则问题如下：求u k ，使得 a ( u ，v u ) l ( v u ) v u k ( 3 1 1 ) 其中解u 表示位于障碍矽之上的弹性膜在外力f = 丁，作用下的位移函 数，弹性膜固定在边界r ( u = 0 ) 上( 图3 1 1 ) 。 2 4 浙江大学博士论文 图3 1 1 障碍1 l ，与位移u 由第一章知，位移u 满足d i r i c h l e t 问题： 一乱= 厂 i 仡q ， ui r = 0 3 1 2 解的存在性和唯一性 为了证明解的存在性和唯一性，先来看几个引理 6 6 ，6 7 ，6 8 。 ( 3 1 2 ) 引理3 1 1 ：假设q 是r 中的有界区域，则h 1 ( q ) 的半范数，n 与础( q ) 的范数b 等价。即存在常数c ( a ) ，使得 v i i i ，q c ( q ) l u i ，qv v 明( q ) 注3 1 1 ：引理4 1 1 又称为p o i n c a r d f r i e d r i c h s 引理。 浙江大学博士论文 引理3 1 2 ：假设厂：rjr 是一致l i p s c h i t z 连续的( 存在k 0 ，使得 l s ( t ) 一，( t ，) i 冬k i t t t l ，v t ，r ) ，而且，有有限个不连续点，则h 1 ( q ) 中 的映射广：v 一，( u ) 是连续的。 推论3 1 1 ：当f ( 0 ) = 0 时，在硪( q ) 中引理3 1 2 同样成立。 推论3 1 2 ：若钉+ ，u 一表示口h 1 ( q ) ( 或础( q ) ) 的正，负部分，则映射 u - 可+ ，u 一) 在日1 ( q ) - 日1 ( q ) xh 1 ( q ) ( 或瑶( q ) 。础( q ) 瑶( q ) ) 中 是连续的。所以v 。i v l 也是连续的。 定理3 1 1 ：问题( 3 1 1 ) 有唯一解。 证明：由引理3 1 1 可知，o ( ，) 具有v _ 椭圆性，而且集合k 是凸的。 接下来将要证明k 是非空，闭的。 因为障碍函数妒h 1 ( q ) m c o ( 丽) ，矽i r 0 ，所以矽+ h 1 ( q ) ，矽+ i r = 0 ， 也即矽+ 瑶( q ) ；又因为矽+ = m a x 妒，o ) 矽，所以矽+ ek 。因此k 是 非