第五节连续函数.ppt

函数的连续性概念与间断点的分类连续函数的运算性质与初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质,第五节连续函数,第一章函数极限连续,作业:Page69.6,7,8,10(2)(3),11(1)(2),第一部分函数的连续性概念与间断点的分类,一、函数的连续性,1、连续性定义,例1,证,说明:,2.初等函数求极限的方法代入法.,2.单侧连续,定理,函数在区间连续-,例2,证,二、函数的间断点,函数间断点的分类,间断点分类：,第一类间断点：,1）可去间断点:,2）跳跃间断点:,（左、右极限都存在）,第二类间断点,（左、右极限至少有一个不存在）,1.可去间断点,例3,解,注意:可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,如此例中,2.跳跃间断点,例4,解,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点:,3.第二类间断点,例5,解,例6,解,例7,解,一、四则运算的连续性,定理1,第二部分连续函数的运算性质与初等函数的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,结论:三角函数反三角函数在其定义域内皆连续.,意义,极限符号可以与函数符号互换;,定理3,例8,解,三、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,定理4基本初等函数在定义域内是连续的.,结论:初等函数在其定义内都是连续的.,因为初等函数是基本初等函数通过有理运算或复合运算而成的,其定义域就是基本初等函数定义域的交,交可能出现孤立点.,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义,定理5一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,注意,2.初等函数求极限的方法代入法.,例9,例10,解,解,幂指函数的极限,例13,求极限,第三部分闭区间上连续函数的性质,定理6,注意:若区间是开区间或区间内有间断点,定理不一定成立.(即连续与闭区间两个条件缺一不可.),参见p6667反例,定理7(零值定理),几何解释:,定理8（介值定理）,推论,例15,证,由零点定理,例16,证,由零点定理,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),第四部分小结与思考题,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,4.连续函数的和差积商的连续性.,6.复合函数的连续性.,7.初等函数的连续性.,定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.,5.反函数的连续性.,8.四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意1闭区间；2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,思考题,1.,2.,思考题1解答,且,但反之不成立.,例,但,思考题2解答,是它的可去间断点,思考题3解答,不正确.,例函数,练