（计算数学专业论文）关于矩阵可交换性的研究.pdf

摘要 摘要 特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、 应用数学、经济学、物理学、生物学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的研 究所取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用随着矩 阵应用程度的不断加深，矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视矩阵的 可交换性不仅在矩阵计算中起着重要的作用，而且在卫星通讯等等许多领域也有 着直接的应用 本文针对一般的矩阵不可交换这一性质进行了深入研究对一些特殊的矩阵 ( 如上三角矩阵、数量矩阵等) 给出了一些可交换的性质、充分条件和必要条件并利 用f r o b e n i u s 标准型和符号模式矩阵的组合性质对能和全非零模式矩阵的可交换 的必要条件做了进一步的研究，得到了更精确的结果 本文分三章： 第一章为引言，主要介绍了对于矩阵可交换性研究的选题背景和本文有关的 一些定义和相关概念 第二章主要参考一些特殊的公式和通过一些特殊的矩阵如对角矩阵、数量矩 阵、上三角矩阵等的研究来对矩阵可交换性的充分条件、充要条件的探讨和总结 以及矩阵可交换性的一些优美性质的探讨 第三章为本文的主要部分，是在j o h n s o n 等人在矩阵交换性质研究的基础上， 利用符号模式矩阵的组合性质和f r o b e n i u s 标准型，对和全非零模式矩阵可交换 的必要条件做了进一步的研究，得出了更精确的和全非零模式矩阵可交换的必要 条件，即在f r o b e n i u s 标准型的子块中如果分别有两个、三个或四个非零元素的 情况下，这些非零元素所在的特殊位置，否则将不能和全非零模式矩阵可交换这 一重要结论更进一步得出了更一般性的含有多个非零元素不可交换的充分条件 关键词：矩阵交换，f r o b e n i u s 标准型，全非零模式矩阵，“带”状条件 一一 些兰! 坠璺! 一 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一 a b s t r a c t s p e c i a lm a t r i c e sp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei nm a t r i xa n a l y s i sa n d m a t r i xc o m p u t a t i o n a n dh a v ew i d ea p p l i c a t i o n si nc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s ，e c o n o m i c s ，p h y s i c s ，b i o l o g y , a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n de r e g r e a tp r o g r e s so b t a i n e di nt h er e s e a r c h e s o ns p e c i a l m a t r i c e sw i l lg i v ei m p r o v e m e n t si nc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s w i t ht h ea p p l i c a t i o n s o fm a t r i c e sa r em o r ea n dm o r ea b r o a d ，t h ec o m m u t a t i v i t yo fm a t r i xi sm o r ea n dm o r e r e c o g n i t i o nb ys c h o l a ra n dt e c h n o l o g yw o r k e r t h ec o m m u t a t i v i t yo fm a t r i xn o to n l y p l a y sa l li m p o r t a n tp a r ti nt h em a t r i xc o m p u t a t i o n ，b u t a l s oi nt h es e c o n d a r yp l a n e t ， c o m m u n c a t i o na n do t h e rf i e l d s i nt h i st h e s i s w ef o c u so nt h em o s tm a t r i c e st h a tc a nn o tb es a t i s f y i n gt h e c o m m u t a t i v i t y w eg i v es o m eq u a l i t ya n ds u f f i c i e n c yc o n d i t i o n s f o rs o m es p e c i a l n l a t r i c e s ，s c a l a rm a t r i c e sa n ds o m eu p p e rt r i a n g l em a t r i c e s a l s ob yt h eu s e o ft h e f r o b e n i u ss t a n d a r dp a t t e r na n dt h ec o m b i n a t i o no fs i g np a t t e r nm a t r i x ，w eg e tm o r e p r e c i s ec o n d i t i o n so f t h ec o m m u t a n to ft h ef u l lp a t t e r n t h e r ea r et h r e ec h a p t e r si nt h i sp a p e r ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h ec o m m u t a n ta b o u tt h em a t r i xw i t h s o m ec o n c e p t sa n dn o t a t i o nr e l a t e d i nc h a p t e r2 ，b yt h es t u d yo fs o m es p e c i a lf o r m u l a , m a t r i xs u c ha s ，d i a g o n a lm a t r i x u p p e rt r i a n g l em a t r i xe t c ，w eg e ts o m es u f f i c i e n c yc o n d i t i o n sf o rt h ec o m m u t a n to f m a t r i x ，a n ds o m eb e a u t i f u lq u a l i t ya b o u tc o m m u t a t i v i t y t h ec h a p t e r3i st h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e rw h i c ha r eb a s e do nj o h n s o na n d g r a c a m a r q u i s ss w a t hc o n d i t i o n st h e o r e m b ym e u s eo ft h ef r o b e n i u ss t a n d a r d p a t t e r na n dt h ec o m b i n a t i o nq u a l i t i e so fs i g np a t t e r nm a t r i x ，w eg e t m o r ep r e c i s e c o n d i t i o n sa b o u tt h ec o m m u t a n to ft h ef u l lp a t t e r n t h a ti sb y w ed i s c u s st h ep o s i t i o n s o ft h en o n z e r oe n t r i e si nt h es u b p a t t e r n sf u r t h e ra n do b t a i nt h a ti ft h e r e a r et w on o n z e r o e n t r i e sa m o n gt h es u b p a t t e r n s ，t h e nt h et w oe n t r i e sm u s tb ei nab l o c k ，a n di f t h e r ea r e 妇eo rf o u rn o n z e r oe n t r i e sa m o n gt h es u b p a t t e m sw h a tc o n d i t i o n st h e ys h o u l ds a t i s f y f u r t h e r m o r ew eg e tt h ec o n c l u s i o nt h a ti ft h e r ea r em o r en o n z e r oe n t r i e sa m o n gt h e s u b p a t t e r n sw h a tc o n d i t i o n st h e ys h o u l ds a t i s f y ，o r n o ti tm u s tn o tb ec o m m u t t i n gw i t h i i t h ef u l lp a t t e r n a b s t r a c t k e y w o r d s ：t h ec o m m u t a n to fm a t r i x ，t h ef r o b e n i u ss t a n d a r dp a t t e r n ，t h ep o s i t i v e p a t t e m ，t h ef u l lp a t t e r n , s w a t hc o n d i t i o n s i i i 主要符号表 = ： 1 ，2 ，z ) ： c ： r ： c ”： r ”： c ： r ： a = ( a l ) ： m 。( c ) ： m 。( 尺) ： 彳r ： d e ta ： a 0 ： a 0 ： j ： f ： c ( ，) ： c ( ，) ： 主要符号表 自然数集合 复数集合 实数集合 m 行n 列复元素矩阵的全体 朋行n 列实元素矩阵的全体 n 维复向量集合 n 维实向量集合 矩阵爿 n 阶复矩阵集合 n 阶实矩阵集合 矩阵彳的转置矩阵 矩阵彳的行列式 矩阵么是非负矩阵 矩阵a 0 且a 0 全正模式阵，即对所有的矩阵a j 有a 0 全非零模式阵，即对所有的矩阵a f ，有 彳= ( a o ) ，a ，0 ，( f ，= l ，2 ，n ) 与正模式矩阵可交换的模式矩阵 与全非零模式矩阵可交换的模式矩阵 v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特另, j m 以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名： 逖整l 日期：p 罗年9 月巧日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：靳躲侈 导师签名：2 丝竺二 日期：缈纷印钐日 第一章引言 1 1 选题背景及研究现状 第一章引言 随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步，科学与工程计算即科学计算 的研究受到科学技术人员的极大重视，其应用范围已经渗透到各个学科领域计算 机的日益普及，使得矩阵理论与应用越来越受到数学学者、工程技术人员和科技 人员的关注矩阵理论不仅仅是们重要的数学理论，而且在数值分析、数学建模、 最优化方法等数学分支上有极其重要的应用，还在计算机科学、无线电技术和卫 星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和 具体应用背景由于利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达 简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点，因此，利用矩阵理论和方法来处理工 程技术上的各种问题越来越受到工程界人士的极大重视，逐渐成为数学建模中解 决实际问题常用的一种方法许多著名的数学学者的参与又为矩阵理论的发展提 供了有力的智力支持，而工程技术人员和科技人员的加入为矩阵理论的应用开辟 了广阔的前景从而，矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学工具矩阵计算 的理论方法与方程组的求解是矩阵理论的一个重要方向，已经成为经济学、生物 学、现代物理学等领域处理数学问题的不可缺少的强大工具，成为计算数学的一 个重要分支 众所周知，在很多领域里，如计算数学、数学物理、卫星通信、控制论、数 学规划、数学经济等等，大量实际问题的解决最后都可归结为矩阵的计算问题在 科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时，逐渐发现把数学的一些计算 公式，如平方和、平方差等等许多运算律运用到矩阵的计算中来，既利于计算速 度的提高，也方便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算然而，它又不 能完全象数一样运用公式进行实际的运算这是因为在一般情况下，矩阵的计算不 满足乘法的交换律、消去律等因此，在进行一些矩阵的运算时，数的一些运算公 式，如： ( 彳+ 召) ( 么一b ) = a 2 一b 2 ， ( 彳+ 曰) 2 = a 2 + 2 a b + 曰2 ， 电子科技大学硕士学位论文 ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 ) = a 3 一b 3 ， 等等，在矩阵的运算中却不能成立同时，在解决一些实际问题时，如网络与安全、 解码器、路由器、卫星通讯等等一些先进的技术领域里对矩阵的可交换性的要求 尤为必要因此，近年来，越来越多的学者和专家开始从事对矩阵交换的性质和可 交换条件的研究矩阵理论与线形代数中给出了一些方阵乘积可交换的的充分条 件，较少给出方阵乘积的充要条件在国内，其中文献 1 、 2 从方阵可同时对角 化方面给出了方阵乘积可交换的若干充分必要条件由文献 3 、 4 可得朋= x a 是一般l y a p u n o v 矩阵方程a x + = c 当b = 一a ，c = 0 时的特殊情况，从而给研 究矩阵的交换性质给出了另一个有效的途径在文献 5 1 3 中，国内其他的学者也 做了一些相关的研究，并得到了一些较好的关于矩阵交换的充分条件、充要条件 和交换矩阵的完美性质以及一些简单的关于可交换矩阵的求法在 7 9 中作者还 把矩阵的可交换性上升到域上进行研究在国外，以j o h n s o n 等为代表的学者利用 符号模式矩阵的概念对矩阵交换的一般性做出了一些突出的研究符号模式矩阵 ( 简称符号模式) 是矩阵理论的一个重要分支符号模式矩阵是指元素取自集合 f0 35 1f ，0 一+ 1 + ，一，o ) 的矩阵，如矩阵么= i 一8 51i 的符号模式矩阵为p = i 一+ + i 符号 i3 o 6 ji + o + j 模式矩阵主要研究符号模式矩阵或实矩阵所确定的定性矩阵类的组合结构，即研 究实矩阵所具有的仅与其符号有关而与元素的数量大小无关的组合性质在文献 1 4 、 1 5 中，j o h n s o n 等利用符号模式矩阵的组合性质对矩阵的可交换性的一般 性进行了深入研究，揭示了所有的不可约模式矩阵和正模式矩阵的可交换性以及 可约矩阵通过置换矩阵相似变换化成不可约的f r o b e n i u s 标准型和全非零模式矩 阵交换的必要条件进行了深入的探讨 本文在总结了矩阵交换的一些优美性质外，给出了一些特殊矩阵的可交换条 件和性质，同时对于一般的全非零模式矩阵，仿照j o h n s o n n 朝的方法，结合符号模 式矩阵的相关组合知识，通过相似变换把一般的可约矩阵变换成不可约的 f r o b e n i u s 标准型后和全非零模式矩阵交换的条件进行了进一步的研究，得出了不 可约f r o b e n i u s 标准型的子块中如果有两个或两个以上的非零元，那么这些非零 元的位置是相对确定的，否则则不可能和全非零模式矩阵交换的结论 1 2 基本定义和相关概念 2 第一章引言 以下定义1 2 1 到定义1 2 8 均来自参考文献 1 6 定义1 2 1 若同阶矩阵彳，b 有a b = b a ，则称么与b 为可交换矩阵 定义1 2 2 ，z 阶方阵4 = ( ) 中若元素满足2 0 ，f ，f ，歹= 1 ，2 ，l ，称4 为n 阶对角阵，记 a = 定义1 2 3 主对角线上的元素全是1 ，其余元素全是0 的n x n 矩阵 10 0 1 oo o 0 l 称为n 级单位矩阵，记为e ，或者在不致引起含混的时候简单写为e 显然有 a s n e n = a s n ， e s a s n = a s n 定义1 2 4 在咒阶对角阵4 中，若口。= 口2 2 = = 矗。= 允，a r ，称此时的a 为 数量阵记a = 2 e ，其中e 为n 阶单位阵 定义1 2 5 若n 阶方阵a 满足a7 = a ，其中a r 为a 的转置阵，则称彳为对称 阵 定义1 2 6 若，z 阶方阵彳= ( a i i ) 满足一a = 彳，g oa f = 一口f ( f ，j = l ，2 ，z ) ， 其中a 为彳的转置阵，则称彳为反对称阵 定义1 2 7 若同阶方阵么，b 满足a b = b a = e ，其中e 为同阶单位阵，则称 a 与曰为互逆方阵，记逆矩阵a = b 或者b = a 定义1 2 8 若n 阶方阵彳满足么么= a a = e ，其中e 为同阶单位阵，则称彳为 n 阶正交矩阵 定义1 2 9 n 7 1 若彳= ( ) c ，满足 i n = 1 或a = 0 ；或者 i i n 2 时，存在置换阵p 和某个整数r ( 1 ，万一1 ) ，使得 电子科技人学硕士学位论文 p 7 彳p = f 三三l ， 其中b c “7 ，d c 。”，c c “”，0 c ”啪则称彳是可约的，否则称彳 是不可约的 定义1 2 1 0 若力阶方阵a = ( a 0 ) c ”，满足口盯 0 ，( z ，j = 1 ，2 ，刀) ，则称a 为 正矩阵，记做a 0 定义1 2 1 1 n 如果矩阵p m 。在它的每一行和每一列正好有一个元等于 1 ，而其余所有的元为0 ，则称p 为置换矩阵这里我们注意到即r = e ，即p r 为 置换矩阵户的逆矩阵，p r = p 定义1 2 1 2 n 如果对于矩阵么和矩阵b 存在可逆矩阵c ，使得c a c = 口， 则称矩阵彳和矩阵曰相似在这里对于置换矩阵p 有尸- 1 彳尸= 曰= 尸r 胛 1 3 本文的主要工作 矩阵的可交换性在各类矩阵的计算中应用十分重要，特别是在现在这种信息 时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题及解藕控制 问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用为了满足工程技术上的需求， 国内外众多学者和技术人员逐渐对矩阵的交换性和可交换的条件产生了浓厚的兴 趣，并且得到了一些卓有成效的成果 本文的主要工作是，在第一章中介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研 究和发展的背景以及矩阵交换的相关概念和基本定义第二章是对矩阵可交换的 基本定理和一些优美性质的叙述和总结以及一些特殊的矩阵如数量矩阵、上三角 矩阵等等，满足可交换条件的矩阵的相关研究第三章主要研究的是把矩阵按可约 和不可约性的分类来讨论矩阵交换的条件，主要是利用符号模式矩阵的相关组合 性质，把一般的可约矩阵矩阵通过尸置换成不可约的f r o b e n i u s 标准型后和来研 究一般的不可约矩阵和全非零模式矩阵的可交换性的必要条件，其中主要的工作 是对不可约的f r o b e n i u s 标准型中非对角子块含有两个或两个以上非零元的具体 位置进行了详细的研究 4 第二章矩阵可交换性的基本定理和性质 第二章矩阵可交换性的基本定理和性质 本章的主要工作是介绍矩阵可交换性的一些基本定理和简单性质通过介绍 矩阵可交换的相关性质，让我们对研究矩阵可交换的重要性有一个初步了解 2 1 矩阵可交换的充分条件 关于矩阵的可交换性质，已经有很多学者专家做过了不少的研究和探讨许多 关于矩阵可交换性的充分条件、充要条件和必要条件的一些经典的基本定理都已 为我们所熟知，在这里我们做一个简单的介绍、归纳和总结以下定理2 1 1 到定 理2 1 7 来自参考文献 1 3 定理2 1 1 设么、b 至少有一个为零矩阵，则彳与占可交换 定理2 1 - 2 设4 、曰至少有一个为单位矩阵，则4 与占可交换 定理2 1 3 设彳、b 至少有一个为数量矩阵，则a 与b 可交换 定理2 1 4 设彳、占为对角矩阵，则么与b 可交换 定理2 1 5 设么、b 均为准对角矩阵，则彳与b 可交换 定理2 1 6 设彳+ 是彳的伴随矩阵，则么与彳+ 可交换 定理2 1 7 设彳是可逆矩阵，则a 与彳- 1 可交换 推论2 1 8 设a b = e ，则么与b 可交换 证明：当a b = e ，a 与b 均可逆，且互为逆矩阵，即a 与b 可交换 定理2 1 9 设彳是对角元为a i o = 1 ，2 ，聆) 的对角阵，b = ( 6 f ，) 为与么同阶的 方阵如果a i b i j = b i j a ，( f ，j = 1 ，2 ，z ) ，则彳与b 可交换 定理2 1 1 0 设n 阶方阵 a = a t 0 0 4 dd 其中4 为惕阶方阵( i = 1 ，2 ，s ) ，m ，= ，z ，z 阶方阵 i = l d d ；4 电子科技大学硕士学位论文 b = e ，e ： 易。峻： b s lb s 2 b l 。 色。 ： b 。 是与么分块方法相同的矩阵，如果4 吃= 岛a j ，( f ，j = 1 ，2 ，j ) ，则a 与b 可交换 定理2 1 1 l n 3 1 设a b = 口彳+ 曰，其中口，为非零实数，则彳与b 可交换 定理2 1 1 2 n 3 1 设a ”+ a a b = e ，其中m 为正整数，口为非零实数，则彳与b 可交换 定理2 1 1 3 n 铂设么可逆，若a b = 0 ( 0 为零矩阵) ，或a = a b 或a = b a ， 则么与b 可交换 2 2 矩阵可交换的充要条件 下面介绍几个很基本的定理，详见参考文献 1 3 ，是关于矩阵交换的充要条 件的定理主要是通过把已有的简单公式做比对得出的结论和对个别特殊矩阵的 讨论 定理2 2 1 设矩阵彳，b 为同阶方阵，则彳，b 可交换的充要条件是满足 a 2 一b 2 = ( a + b ) ( 彳一b ) 或者 彳2 一b 2 = ( a b ) ( 么+ b ) 推论2 2 1 对于满足数的平方和、平方差、等等许多用到交换律的公式都可 做为矩阵交换的充要条件 定理2 2 2 设矩阵彳，b 为同阶方阵，则彳，b 可交换的充要条件为 ( a b ) 7 = a r b 7 定理2 2 3 设矩阵彳，召为同阶方阵，则么，b 可交换的充要条件为 ( a b ) = a b 。 定理2 2 4 可逆矩阵a ，b 可交换的充要条件是 ( a b ) = a b 1 6 第二章矩阵可交换性的基本定理和性质 定理2 2 5 设彳，曰均为( 反) 对称矩阵，则彳，b 可交换的充要条件是a b 为对称矩阵 定理2 2 6 设a ，b 有一为对称矩阵，另一为反对称矩阵，则彳，b 可交换 的充要条件是a b 为反对称矩阵 定理2 2 7 设a ，b 均为对称正定矩阵，则么，b 可交换的充要条件是a b 为 对称正定矩阵 2 3 可交换矩阵的性质 矩阵如果可以交换，即存在矩阵彳，曰满足a b = b a ，那么我们将会在矩阵的 运算中，得到极大的方便，并且能够解决，许多工程技术上的难题下面我们就来 介绍一下，矩阵交换的一些优美性质 性质2 3 1 n 引刀阶数量矩阵a = z e 与所有n 阶方阵b = ( ) 可交换 性质2 3 2 n 2 1 与主对角线上的元素互不相等的n 阶对角阵a 可交换的矩阵b 仍是对角阵 性质2 3 3 n 3 3 设彳，b 可交换，则有： i a b ”= b ”a ，( a a ) = a b 。，a 7 b = b a 7 ，其中m ，k ，z 都是正整数； i i 矽( b ) = f ( b ) a ，其中f ( b ) 是矩阵艿的多项式，即a 与b 的多项式可交 换； i i i ( 彳+ 艿) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ，也就说只用到交换律的数的公式，如平方差公 式、立方差公式等等在矩阵里也通用 性质2 3 4 n 3 3 设彳，b 可交换，则有： i若么，召均为对合矩阵，则a b 也为对合矩阵； i i 若a ，b 均为幂等矩阵，则a b 也为幂等矩阵： i i i 若a ，b 均为幂零矩阵，则a b 均为幂零矩阵 性质2 3 5c i s l 设4 ，曰是n 阶方阵，a b = b a ，则存在一个，l 阶可逆矩阵p ， 使得p 1 彳尸与p 1 即同为上三角矩阵 下边给出的几个性质是关于特殊的二阶、三阶方阵可交换的一些简单性质及 其证明 性质2 3 6 n 妇型如 么= 爿 7 电子科技大学硕十学位论文 b = ；苫 c 其中a , b , k , x , y 为任意实数， 彳= r 艺2 ： ( j l a l l = a 2 2 ) b = 鲁6 2 2 h i 2 c 且6 i 。= 6 2 2 ，其中吩，b v ( i = l , j = 1 , 2 ) 任意实数， 么= 孳c ：a 芋1 2 兰三 c 上王口。= 口丝= 口 ， b = 雕h i 2 割 ( 这里6 l l 咆也，罢2 謦苴中b o ( i = 1 , 2 ；产1 ，2 ，3 ) 为任意实数) 彳= 童 蚕 三 曰：三k 。芝 。其中玩五七为任意实数， 1 0 0 0 j 性质2 3 7 到性质2 3 9 是关于比较特殊的二阶、三阶上三角矩阵可交换的 第二章矩阵可交换性的基本定理和性质 型如 a ： q口2 0 a l 0o 0o 口3 a 月 口2 a 。一1 0 a 2 0 q ( 2 2 1 ) 的上三角形矩阵若约定矩阵( 2 2 1 ) 的对角线从主对角线向右上数起，则第一 条对角线上的元素皆为q ，第二条对角线上的元素皆为口：，a n ，针对型如( 2 2 1 ) 的矩阵有如下结论 引理2 2 1 0 朝与n 阶方阵 d = o 1 o 0 ： 0 0 o 0 o 1 ： o o o o 0 0 ： 01 0 o 的可交换矩阵型如( 2 2 1 ) 性质2 2 1 0n 阶方阵么能同一切型如( 2 2 1 ) 的n 阶方阵可交换的充要条 件是彳也是型如( 2 2 1 ) 的n 阶方阵 证明：必要性：设方阵彳能同一切型如( 2 2 1 ) 的n 阶方阵可交换，则与 d = 0l o o ： o o 0 0 o 1 ： o o o 0 00 ： 01 o 0 也可交换，由引理知彳为型如( 2 2 1 ) 的，z 阶方阵 充分性：设 a = a ia 2 0 a 1 o0 o 0 d 3 a n 锡a 。一1 0 a 2 0 a l ，b = 9 6 i6 26 3 0 岛包 oo0 0oo 吃 吃一。 ： 吃 岛 电子科技大学硕士学位论文 中a i 包( 江l ，2 ，z ) 是任意数，通过矩阵的乘法比较a b 和删，易证得a b = b a 性质2 2 1 1 第一行为( 口，a 2 ，) ，( 口。0 ) 的型如( 2 2 1 ) 的矩阵彳是可逆 的，且它的逆矩阵仍为主对角线上元素皆为a 。一的型如( 2 2 1 ) 的矩阵 证明：易证彳是可逆的设么= ( ) ，其中当i j l n i ，b o = o ，因a a = 么a ， 由定理2 2 1 0 及逆矩阵的唯一性得 么一= 6 i 如6 3 吃 0 6 l6 2 吃一。 00 0 6 2 00 0 6 i 又因a a 一= ，所以包= 口f 1 ，故么一为主对角线上元素皆为a 。1 的型如( 2 2 1 ) 的矩阵 1 0 第三章全谁零模式矩阵可交换的必要条件 第三章全非零模式矩阵可交换的必要条件 前面已经介绍了矩阵交换的应用、性质和一些特殊矩阵可交换的条件在这一 章中，我们将给出更一般的关于全非零模式矩阵可交换的必要条件的结论 3 1 预备知识 我们用符号p ( 或者符号s ) 来定义具有同一类性质的符号模式矩阵，其中元 素用宰s 或者o s ( + j ，一s 和o s ) 来表示，这里一个宰表示的一个非零( 正的或者 负的) 元素我们说一个实矩阵a = ( a i i ) 属于p 模式矩阵( 或者s 符号模式矩阵) 指的是矩阵r = ( a i i ) 和p ( s ) 符号模式矩阵具有相同的维数，并且a i i 0 当且仅 当p ( s ) 模式矩阵的第( f ，) 个元素是一个木( 即如果a ， 0 或者a 。 0 ，即( j + 么) ”1 ，为 正矩阵，由于( ，+ 彳) ”1 是关于矩阵彳的多项式知( ，+ 彳) ”1 和矩阵彳是可交换的，也 就是说不可约模式矩阵和正模式矩阵是可交换的 显然，由模式矩阵交换的定义知道，和全非零模式矩阵可交换的模式矩阵包 含不可约模式矩阵然而，可约的模式矩阵却不一定和全非零模式矩阵可交换下 边给出的定理是j o h n s o n 利用置换矩阵尸通过相似变换把不可约矩阵变换成不可 约f r o b e n i u s 标准型后提出的和全非零模式矩阵f 可交换的必要条件，也就是所 说的带状条件 定义3 2 1 n 5 1 我们用符号p 来定义f r o b e n i u s 标准型，对任意的尸模式矩阵 通过置换矩阵相似变换后都可以变换成不可约的f r o b e n i u s 标准型 p = # 。冀： 0 互： 0o 兄 ： & 在f r o b e n i u s 标准型中，对任意的对角块只，( 江1 ，2 ，k ) 都是方阵，且为不可 约的模式方阵( 注意到这些模式方阵有可能是l l 的元素为一个零或唪的一阶矩阵， 即0 1 或者h ) 这些模式方阵的标准型并不是唯一的这是因为，对于不同的置换矩阵，可能 存在不同的标准型，但这并不影响f r o b e n i u s 标准型的运用设矩阵彳属于p 模式 矩阵，存在矩阵a p ，则存在置换矩阵尸，使得刚= a ，并且对于全非零模 式矩阵f 中的矩阵召，我们有b ，= 船，通过置换相似的性质，我们知道矩阵b 也属于全非零模式矩阵因此，如果 1 2 第三章全非零模式矩阵可交换的必要条件 a b = b a 我们有： p r 彳召p = p r b 4 p ， p r a p p r b p = 尸r b p p 7 a p ， 即a b = b a 由于f 模式矩阵是转置相似不变量，所以尸c ( f ) 当且仅当 尸c ( f ) 下面接着介绍的定理是j o h n s o n 和m a r q u e s n 5 关于带状条件的结论是关于全 非零模式矩阵，可交换的一个必要条件 引理3 2 1 如果p c ( f ) ，那么对于任何的，( = l ，2 ，k ) ，肯定有0 个或 者两个或者两个以上的非零元在以下的子块中间： 曰，e - l , j ) e + l 一，e 这里，我们把引理3 2 1 中的七个必要条件叫做关于f r o b e n i u s 标准型p 的 带状条件注意到，第一条“带 是号，# 一l ，一，最，当_ ，= 1 时，在日的上方没有 其他的子块，最后一条“带”是r ，最。，e _ l 。，当j = k 时，在乓的下方没有其 他的子块其余的“带”，都是“l ”形状在f r o b e n i u s 标准型中出现 证明：设存在矩阵a p ，b f 有a b = b a 把彳和召想对应的都按照 f r o b e n i u s 标准型尸，的分块划分形式进行划分，由于a b 和b a 乘积后相对应的子 块相等，我们有 a u bu + a j 。j 、b j “j + + k b q = b n a j + b j 2 如j + + b n a g 由于 t r ( a j j b j j ) = t r ( b j j a j j ) ， 我们用迹来相等上式的左边和右边，则会得到： t r ( a j l 哆+ l ，) + t r ( 4 2 哆+ 2 ，) + + 咖( 做) = t r ( b j l 4 ，) + 纱( 哆2 4 ，) + + t r ( b j ，1 4 - j ) 如果上式关于矩阵彳的子块中只含有一个非零元，并且由于b f ，即矩阵b 为全非零矩阵，显然上式有且仅有一个子块的迹为非零的，等式不成立引理3 2 2 得证 电子科技大学硕士学位论文 在下边的所有讨论中都不考虑f r o b e n i u s 标准型的对角块，因为对角块都是 不可约方阵，且对于任意的彳p ，b f ，我们都有a b 和b a 的对角块的迹是相 等的，在不做特别说明的情况下，所提到的子块都是非对角线上的子块 下边看个满足“带”状条件的例子，看能否和全非零模式矩阵，可交换， 即看是否属于c ( f ) 例3 2 1 给定矩阵 a = l1o o1 l1l0 0 o011 0 o 011o 00 o 01 则么为4 4 的f r o b e n i u s 标准型块矩阵，其中对角块4 。、4 ：为不可约方阵 1 ： ， 4 ，为一阶不可约矩阵 1 】，么满足“带”状条件，因为在彳的非对角子块中恰好含 有两个非零元，但我们根据矩阵的乘法可以得到它不能和全非零模式矩阵可交换 一般而言，对于上述矩阵彳p ( p 为上边的f r o b e n i u s 标准型的模式矩阵) ， 日。暑： 当尸kl 0 互： 10 0 ( 0 代表元素全为0 的子块) ，在子块日：和曰，中各含一个非 零元，即满足“带”状条件，p 却不能和全非零模式矩阵f 可交换，也就是说 p 萑c ( f ) ，下边的定理将给出不可交换的原因 定理3 2 2 给定f r o b e n i u s 标准型的模式矩阵 l 暑。 只： 2 ，l p _ 10 2 0 l ， l00 只3 jl ，o 一 在子块# ：和曰，中各自含一个非零元，模式矩阵p 满足“带 状条件，但不能和全 非零模式矩阵，可交换 证明：设么p ，b f ，是可交换的两个矩阵，即a b = b a ，我们把么，召按 照p 的分块形式进行分块，我们就得到两个3 3 的分块矩阵注意到矩阵a 的非对 角子块里只有两个非零元，我们有下面的结果： 4 ：色：= 易。4 ：+ 垦：4 ：， ( 3 1 ) 1 4 第三章全非零模式矩阵可交换的必要条件 4 ，岛，= b 。4 ，+ 马，4 ， ( 3 2 ) 我们对等式( 3 1 ) 等式( 3 2 ) 取矩阵的迹，这里由于护( 如) = 驴( 如) ， 得： 护( 垦。4 ：) = 0 护( 忍。4 ，) = 0 ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) 因为块垦。和色，都是全非零的块矩阵，而子块4 ：和4 ，都是有且只有一个非零元素 的块矩阵，由矩阵的乘法知道，驴( 岛。4 ：) 0 ，护( b 。4 ，) 0 ，得出矛盾所以 p 仨c ( ，) 根据定理3 2 3 我们可能会想到，对于3 3 的块f r o b e n i u s 标准型的模式矩 阵，在子块中，是否能含有两个非零元，如果有的话，它们是怎么分布的通过进 一步计算我们得到如下更严格的必要条件 定理3 2 3 给定p 为f r o b e n i u s 标准型的3 3 块模式矩阵，且p c ( f ) ，如 果在子块中恰好有两个非零元的话，那么这两个非零元必定在一个子块中 证明：如果这两个非零元素不在一个子块中，那么按照定理p 萑c ( ，) ，因此 我们可以通过反证法来证明假设，有仅有的这两个非零元素不在一个子块中，那 么它们的分布有以下三种情况： 情况1 ：这两个非零元素分别在子块r 和只，中 情况2 ：这两个非零元素分别在子块异，和只，中 情况2 ：这两个非零元素分别在子块只，和只，中 对于情况1 ，定理3 2 3 已经给出了证明，得出p 萑c ( f ) 情况2 和情况3 的 证明相仿，因此这三种假设情况都不成立结论成立 对于一般的聆，z 阶方阵，我们有相似的结论 定理3 2 4 对于f r o b e n i u s 标准型的模式矩阵 p = 墨。名： 0 互2 oo 兄 。 ： 乓 p c ( f ) ，那么对所有的_ ，( = 1 ，2 ，k ) ，如果在子块 置，e - l , j e 一。，e ，t ， 中恰好有两个非零元素的话，那么这两个非零元素必定在一个子块中，否则， 电子科技大学硕士学位论文 f r o b e n i u s 标准型的非对角子块中必含3 个或者3 个以上非零元素 证明：设a p ，b f ，是可交换的两个矩阵，即a b = b a ，我们把爿，b 按 照p 的分块形式进行分块，则，比较a b 和b a ，由两矩阵乘积相等得， a + 钆+ p + - 七a f 、一i 、 = b n a j + b j 2 生j + + b o a 口 由于 t r u b 、) = t r ( b 。a 、) ， 我们对等式( 3 - 5 ) 两端取矩i j 车的迹得： 护( 4 小- 哆+ l ，) + 护( 4 一z 哆+ 2 ) + + 护( 厶) ( 3 6 ) = t r ( 哆1 4 ，) + 护( q 2 4 ，) + t r ( b j - 1 4 吐，) 如果这两个非零元素不在同一个子块里，即在p 的子块中只有两个子块分别 含有一个非零元素，由条件在子块里总共只有两个非零元素知，其余的子块的元 素全为零元素不妨假设子块呜和如( i j ，g s ) 里各自有一个非零元，则有 如下三种情况： 情况1 ：子块呜和如在矩阵p 的同一行里，那么从等式( 3 6 ) 和其他子块 全为零矩阵得： 护( 如) = 0 ， ( 3 7 ) 护( b 呜) = 0 ( 3 8 ) 但是等式( 3 7 ) 和等式( 3 8 ) 是不可能成立的这是因为由于曰f 知，如 和吃也是全非零矩阵，并且由子块4 和如各只含有一个非零元素知，t r ( 如) 和 打( 曰，f 4 ) 不可能等于零，即情况1 不可能出现 情况2 ：子块4 和如在矩阵p 的同一列里，和情况1 相仿，我们可以得到如 下的两个式子 驴( 4 ，b ，f ) = 0 ， ( 3 9 ) 护( 如) = 0 ( 3 1 0 ) 同理由色和如都属于f ，4 和如各只含有一个非零元素知等式( 3 9 ) 和 等式( 3 1 0 ) 不可能成立 情况3 - 子块鸣和子块厶即不在矩阵p 的同一行也不在同一列里，经过矩阵 1 6 第三章全非零模式矩阵可交换的必要条件 的分块乘法，可得到： 护( 厶) = 0 ， 护( 乓) = 0 ， 护( 以吼) = 0 ， 护( 如如) = 0 ( 3 - 1 1 ) ( 3 - 1 2 ) ( 3 - 1 3 ) ( 3 - 1 4 ) 和情况1 ，情况2 一样，等式( 3 1 1 ) 到等式( 3 - 1 4 ) 都不可能成立 至此，对于这三种情况都不成立，也就是说，如果有两个非零元素的话，则 这两个非零元素必定在一个子块里，结论得证 上边我们讨论了在f r o b e n i u s 标准型的非对角子块中恰好有两个非零元素时 和全非零模式矩阵可交换的必要条件同样我们会考虑如果有三个非零元素在子 块中时，如果要和全非零模式矩阵可交换，是否和含有两个非零元素有着相似的 必要条件下边给出一个例子 例3 2 2 给定矩阵 彳= 11o o1 111o1 oo