（凝聚态物理专业论文）静止圆锥颗粒堆的应力研究.pdf

摘要 “应力凹陷 形成的原因一直是颗粒研究领域的热点，要系统地 解释“应力凹陷 ，必须要清楚圆锥形颗粒堆内部的应力分布。为了 研究上述问题，本文中巧妙地设计了一个实验，实验测量了两种不同 粗糙度的底面上，用从固定点以相同流量落下颗粒的方法制备而成的 圆锥堆底的切向应力分布。结果显示粗糙度大的底面有相对较大的切 向应力。利用力平衡方程，库仑不等式和圆锥堆侧面的自由边界条件 可以论证，堆底面切向应力强度与法向应力分布出现中心凹陷现象有 关联，切向应力越大凹陷现象越明显；通过进一步分析，提出了一个 颗粒堆底面切向摩擦力分布函数模型，计算显示，实验数据与模型吻 合很好。在该模型的基础上，计算了圆锥形颗粒堆内部应力分布。的 结果显示：( 1 ) 圆锥形颗粒堆底面切向摩擦力沿径向的变化可以较好 地用二次抛物函数来描述；( 2 ) 对从固定点源流下颗粒而形成的堆， “应力凹陷强度与底面粗糙情况有关，底面越粗糙强度越大；( 3 ) 底 面切向摩擦力的强度影响“应力凹陷 的强度。本工作显示颗粒堆底 面的光滑程度会影响颗粒堆的内部应力分布，虽然没有完善的理论计 算该分布及分析该影响的深层次的原因，但在唯象模型基础上计算出 的圆锥形颗粒内部应力分布将有助于今后开展进一步的弹性理论分 析工作；文中的实验，在颗粒研究实验领域具有一定的突破，很好地 促进该领域工作的进展。 关键词颗粒物质，应力分布，应力凹陷，颗粒堆 a bs t r a c t 砀ec a u s eo fs t r e s sd i pw a ss t u d i e da l la l o n gb yp h y s i c a ls c i e n t i s t t h es t r e s sd i s t r i b u t i o ni nt h ec o n i cp i l e sm u s tb eu n d e r s t o o dt os h o wt h e r e a s o no fs t r e s sd i p a ne x p e r i m e n tw a sd e s i g n e dt om e a s u r ed i s t r i b u t i o n s o f t a n g e n t i a ls t r e s so nb o t t o mo fc o n i cp i l e s ，f o r m e db yp u r e e i n gg r a n u l a r m a t e r i a l sf r o maf i x e dp o i n tw i t has a m ef l u x ，o nt w op l a n e so fd i f f e r e n t r o u g h n e s s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h es t r e s sd e p e n d so nt h ep l a n er o u g h n e s s ：1 h er o u g h e ro n eh a st h es t r o n g e rs t r e s s u s i n gt h eg e n e r a le q u a t i o n s o ff o r c eb a l a n c e ，c o u l o m bi n e q u a l i t ya n df r e eb o u n d a r yc o n d i t i o n sf o r s i d es u r f a c e so ft h ep i l e s ，i tc o u l db es h o w nt h a tt h es t r e n g t ho ft a n g e n t i a l s t r e s sa r er e l a t e dw i t hd i po b s e r v e di nd i s t r i b u t i o no fn o r m a ls t r e s s ： n a m e l yas t r o n g e rt a n g e n t i a ls t r e s sh a sam o r en o t a b l ed i p w | ep r o p o s e d af u n c t i o nt h a ts h o w st h ed i s t r i b u t i o n so ft a n g e n t i a ls t r e s sa l o n gr a d i u s ， a n dt h e nf i g u r e do u tt h es t r e s sd i s t r i b u t i o ni nt h ep i l eb a s eo nt h ef u n c t i o n t h er e s u l t sa r ei na c c o r d i n gw i t ht h em e a s u r e dd a t a w eg o tt h eo u t c o m e s b e l o wb a s e do na b o v e ：( 1 ) t h ed i s t r i b u t i o no ft a n g e n t i a ls t r e s sa l o n gt h e r a d i u so nb o t t o mo fc o n i cp i l e sc a nb e e nd e p i c t e db yq u a d r a t i cf u n c t i o n ( 2 ) ms t r e s sd i pd e p e n d so nt h ep l a n e sr o u g h n e s s ( 3 ) t h et a n g e n t i a l s t r e s so nb o t t o mo fc o n i cp i l e si n f l u e n c et h ei n t e n s i t yo f t h et r e s sd i p t h e p a p e rh a s n tp r e s e n t e da b a s i ct h e o r yt oe x p l a i nt h ef u n c t i o ni th a dg o t t e n ， b u tt h er e s u l tw i l lb eb e n e f i c i a lt of o u n d i n gab a s i ct h e o r ya n dt h ew a yo f e x p e r i m e n ti nt h i sp a p e rc a na d v a n c e t h es t u d y i n go ng r a n u l em a t e r i a l s k e yw o r d sg r a n u l a rm a t t e r , s t r e s sd i s t r i b u t i o n ，s t r e s sd i p ，s a n dp i l e h 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：善啡 日期：珥年互月斗日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允 许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：啤导师签名錾亟日期：埠年上月4 日 中南大学硕士学位论文第一章颗粒物质研究现状 1 1 引言 第一章颗粒物质研究现状 颗粒物质在自然界，日常生活和生产技术中普遍存在。例如自然界中的沙子、 积雪、土堆，在生活中有大米、糖、盐等。可以说颗粒物质在生活中是无处不在， 应该是最熟悉的物质类型之一。随着工业的发展，我们会面对越来越多的与颗粒 相关的问题。 然而，颗粒物质的研究起步却比较晚，物理界广泛研究颗粒物质还是近几十 年的事。我国在南朝( 公元4 1 2 一公元5 8 9 ) 就有“簸之扬之，糠秕在前! 洮之 汰之，砂砾在后! 的说法了。文艺复兴之后的几个世纪以来，也有著名学者研 究过颗粒物质，如库仑最早提出沙堆倾角与摩擦系数的关系，他的有关固体摩擦 的问题还反复地被提及；法拉第1 8 3 1 年发现振动使颗粒形成对流而堆积起来； 雷诺( o s b o r n er e y n o l d s ，1 8 4 2 1 9 1 2 ) 于1 8 8 5 年提出颗粒紧密堆积在一个弹性袋中， 外加作用可能会使颗粒所占体积增大，称之为雷诺挤压膨胀原理；1 8 8 4 。年，英 国科学家r o b e r t s 首先注意到粮仓效应i l 】后，德国工程师j a n s s e n 在1 8 9 5 年提出 一个模型来解释粮仓效应，这个模型到现在一直被人们接受。 颗粒物质不但广泛存在，而且与生产、生活密切相关，如全世界谷物及其它 颗粒物质的年产量一百亿吨之多，这些物质的生产、加工、存储、运输等，每年 约消耗地球上l o 的能量，所以对颗粒物质的深入研究将能对全球的经济与工 业发展有极大的助益；为防治泥石流、雪崩、浮冰、滑坡、沙漠化、地震等自然 灾害，也必须了解颗粒物质的运动规律【卜5 】；公路交通流问题也与颗粒流规律密 切相关；这些是颗粒物质本身的重要性。另一方面，颗粒物质具有不同于其他物 质的许多奇特性质，其基本规律远没有被认识清楚，因此吸引了物理学家的兴 趣，成为活跃的研究领域。 近年来，虽然开展了大量的关于颗粒物质的实验，模拟计算以及理论推导， 获得很多有意义的结果 6 - s ，但对其运动规律的认识还不深，描述颗粒物质物理 行为的完善理论尚未建立，有关颗粒物质的一些最基本问题还困扰着人们。 关于对颗粒物质的认识，著名理论物理学家d eg e n n e s 和k a d a n o f f 作了评述， d eg e n n e s 认为，这一领域几乎每一件事都尚待理解，目前对其认识程度只相当 于2 0 世纪3 0 年代固体物理的水平l l o j 。k a d a n o f f 则表示，不能用普通流体力学 方程描述颗粒物质，它的丰富奇特行为还没有得到很好理解。 中南大学硕士学位论文第一章颗粒物质研究现状 1 2 颗粒概念 颗粒物质如此常见以至于很难对颗粒物质形成一个清晰的概念，颗粒物质是 指由粒子组成的系统，粒子线度大于一微米，粒子半径在一微米以下时，粒子的 温度效应不能被忽略，此时的颗粒行为就不是颗粒物质的行为，因为在这个尺寸 以下的粒子布朗运动不能被忽略，当然如果再小一些就会出现明显量子效应，那 也不在颗粒物质运动规律的范畴之内了。现在知道了颗粒物质的颗粒直径不能太 小，那么直径有没有上限? 还没有理论给出这个上限值。目前认为如果有足够多 的特定属性的颗粒个体集聚，其总体行为就是颗粒物质行为。那么如果颗粒个体 直径太大，会出现什么情况呢，沙子是颗粒物质，这个很明显；大量的砖头无规 则堆积，也可认为是颗粒物质；再大一些，会怎样呢? 就我个人而言还没有看到 相关的界定。 回到常见的颗粒物质，如海滩上的沙子、米粒等。虽然把颗粒直径限制在日 常认识上，应该认识到还有个问题回避不了，那就是颗粒的干湿程度。我们知道 刚从水中捞起来的沙子和很干燥的沙子在凝聚属性上有很大的不同，那么干湿程 度介于两者之间的颗粒物质运动规律会怎样呢? 颗粒物质的干湿程度是怎样影 响颗粒系统的运动规律的? 这是个很复杂的问题，目前也没有很好地得到解决。 为了简单入手可再次把问题简化一下，只考虑干燥的颗粒，即使是这样简化了， 颗粒物质的行为也不同于普通的固体、液体和气体，也许应该再定义另外一个物 态来描述颗粒物质【5 1 。不过很遗憾，这个物态目前还很难给出统一的定义。 前面提到颗粒物质指一个由粒子组成的系统，还有一点要加以说明，那就是 粒子间相互间作用力是耗散的，印象中的颗粒物质系统内部粒子间的作用力都是 耗散的，例如沙子。可以想象如果沙子间的作用是非耗散的那会是怎样，那样的 话颗粒物质的行为可能更多的接近气体，以目前的技术条件可以很容易地模拟该 系统。在这里提及一下另外一个问题，那就是带静电的颗粒。很显然这种颗粒间 作用力存在非耗散力。正是这种非耗散力的存在给风沙运动带来了很大的影响 9 1 ，如图1 1 。 现在不考虑粒子间的非耗散场力，只考虑粒子间的摩擦力和弹力。这时颗粒 物质系统内部作用力为摩擦力和弹力，那么外界输给系统的机械能耗散在什么地 方呢? 我们都知道摩擦力可以把机械能转变为内能，那么弹力在这里扮演着什么 角色呢，它会耗散能量吗? 如果能耗散能量，那么耗散的比例又是怎样的? 这个 要由颗粒物质个体的属性来决定。当然如果颗粒物质个体是完全弹性体，那么弹 力就不会把机械能转变为热能。仅仅是由摩擦力起到耗散作用，但实际上很多颗 粒物质个体不是完全弹性体。 2 中南大学硕士学位论文第一章颗粒物质研究现状 一o1si 量i 图1 1 ( a )图i - i ( b ) 图1 - 1 颗粒带电对风沙运动的影响( a ) 不同风速下3 种均匀粒径风沙流中电场强度 随高度变化曲线( b ) 几种风速下混合风沙流中几种风速下混合风沙流中场强 度变化曲线【9 】 颗粒问题不仅涉及到在工程上颗粒物质的运输，而且与交通运输、人流及自 然灾害如浮冰、泥石流等密切相关【1 1 1 。关于颗粒流人们已经做了不少相关研究， 例如，b e v e d o o 等研究了料斗出口颗粒流量q 与开口尺寸d 的关系。实验表明， 颗粒物质初始处于稀疏状态时，当开口小到一定的临界值或初始流大到一定的临 界值，则会发生从稀疏流到密集流的突变。因此，颗粒流的研究主要关心的是稀 疏流、密集流和堵塞的转变。其中稀疏流到密集流的转变是很有意义的。因为这 个问题可以用来为研究很多社会问题建模，如公路上的车流的堵车问题，这时可 以把车流看作颗粒流，把公路宽度看作料斗口，以此为模型来研究堵车问题。 1 3 颗粒物质的奇特行为 1 3 1 粮仓效应 如果在圆筒仓中装入高度为h 的颗粒物质，问仓底所受压强有多大， 自然 会联想到液体的情况，对于液体，筒底所受的压强为, o g h ，p 为密度，g 为重力 加速度，然而，实验显示对于颗粒体系并不这样，在颗粒仓中，仓底所受压强与 h 的关系和液体情况很不相同。当颗粒高度较小时，舱底所受压力正比于h ，类 似于液体的行为，如果继续添加颗粒，底部压强达到一定值后不再随颗粒高度而 增加【1 2 l ，这被称为粮仓效应，表面看起来颗粒物的部分重量似乎丢失了，其实 这是由于颗粒与筒壁问存在着摩擦力，筒壁承担了部分颗粒重量。1 8 9 5 年， j a n s s e n 最早用连续介质模型对这种现象给出了解释【1 3 】，这一模型目前还得到认 可。 假设在圆桶中颗粒横向应力强度仃。，o - 。正比于纵向应力强度仃露，即 盯材= 仃 = k c r 露= k p ( z ) ，k 称为压力转向系数，一般约为3 0 。在z 处，压强 p ( z ) = 仃。如图1 3 所示，在面积为积，、厚度为d z 的体元上，力平衡条件为 3 7 6 5 3 2 l o 1 一 中南大学硕士学位论文第一章颗粒物质研究现状 图1 - 3 圆桶中颗粒压强计算示意图 一0 9 0 z + o p 2 盖0 z o r ，z k ( 1 - 1 ) 其中o r ，为壁承受的应力，r 为径向坐标。假定颗粒与壁摩擦力每处都达到了最大 值，有仃厅= - z ，o r n = 一，f p ，厂为颗粒与器壁摩擦系数。由以上几个表达式， 可得方程 罢4 - 华k p ：昭 瑟r 一 ( 1 2 ) 由方程解出z 处的压强为 p ( z ) = p j l 一e x p ( 一z x ) ( 1 - 3 ) 其中名= f 属，定义为特征高度p 。= p 9 2 为颗粒高度远大于特征高度时的压 强饱和值当z 见时，p p g a ，即颗粒堆积较浅时，压强正比于高度，类似 于液体情况当z 兄时，即颗粒高度大于特征值五时，pjp 。，底面压强趋于 饱和由五= ，可估计出特征长度旯约为r 的3 - 4 倍，即颗粒高度达到圆桶直 径的两倍左右时，再增加颗粒高度也不会使底面压强继续增加，进行粮仓效应的 实验测量时，如何取得可靠数据是一个比较复杂的问题，装料过程、颗粒堆积分 数和测量的方法均影响测量的结果。v 觚e l 【1 4 1 等人1 9 9 9 年的实验值与j a m s e n 公 式计算结果接近。 1 3 2 颗粒堆的静止角 让颗粒缓慢的由一点下落以制成一个颗粒堆，显然这样制出的堆为一圆锥形 颗粒堆，观察颗粒发现，当锥面与地面的夹角口达到一定的值时，再也增加不了， 而且夹角0 不是保持恒定值不变，而是增加到了一个最大值以后，锥形颗粒堆表 面突然崩塌，乡减至一个较小的角度幺，然后又增至最大角度巳，又产生崩塌， 如此循环，颗粒堆慢慢的变高变大。此后锥面与地面的夹角小于吃，大于b 。 我们称最大值以为崩塌角，g 为静止角，人们发现崩塌角与静止角之差 o r = 吒- o , 2 0 。研究还表明，当颗粒堆足够大时，静止角和崩塌角巳才有区 4 中南大学硕士学位论文 第一章颗粒物质研究现状 别，显然屯与以的存在于颗粒间的摩擦有关系。库仑早就注意到了这个问题。 假设坡面附近内的切应力为f ，正应力为盯。，他发现二者满足关系式 f = 麒o r n = t a ne o r n 。其中以为颗粒的摩擦系数一般物质的巳为3 5 0 左右研究还 表明，这一角度还与沙粒的堆积密度有关，对于单一的球型颗粒，静止角还与颗 粒的尺寸有关。沙堆静止角附近的崩塌是一个很重要的现象，b a kp 等人【1 5 】由沙 堆的崩塌提出了自组织临界性( s e l f - o r g a n i z e dc r i t i c a l i t y ，s o c ) 概念，它可提供 理解自然界普遍存在的自组织行为规律的依据，尽管学术界对其具体例证尚有争 议，但其基本观点已被广泛承认。 颗粒物质的许多特性都与其摩擦有关，颗粒间的摩擦是一个复杂问题，实验 表明，颗粒物质间的剪切静摩擦系数约在0 7 左右。h o v a t h 的实验表明，颗粒物 质间的摩擦力与颗粒堆密度有关。他把一根圆棒插入颗粒物质中，通过测量拉出 圆棒所需要的力来测量颗粒的摩擦力，发现摩擦力随堆积密度c 呈指数增长。 胡林等用类似的实验【1 6 】，提拉颗粒中的圆棒，测量了颗粒填充高度及棒径 对摩擦力的影响。结果表明( 图1 2 ，1 3 ) ，圆棒在颗粒中受到的摩擦力f 随其 插入颗粒深度h 和棒径d 而增大。用连续介质模型推导所得的摩擦力与深度h 和棒径d 的关系，与测量结果基本一致。当h 很小时，f 近似与d h 2 成正比：而 当h 较大时，f 近似与d h 成正比，这说明，从颗粒中拔出一根棒所需的力的大 小与它所埋入的深度及棒的直径有关。当棒在颗粒中插得很深时，棒所受到的静 摩擦力与接触面积成正比，这也表明，用此方法测量摩擦力，须注意颗粒深度 的影响。 誓艟带膏x l 旷k 图l - 2 棒径d ：0 0 1 m 填充高度h = 0 3 1 m 时的 力随提拉罡巨离的关系【1 6 】 蟪曹溶摩x l 氘 图1 3 最大静摩擦力随高度变化关系【1 6 】 1 3 3 颗粒体的振动 颗粒物质的奇异特性f 1 7 - 2 0 l ，相当一部分表现在颗粒体系的振动上。颗粒系统 s 中南大学硕士学位论文第一章颗粒物质研究现状 的振动是一个很复杂的力学过程，不可能去追踪每一个颗粒运动而去研究颗粒体 系振动，因而颗粒物质所表现出来的复杂现象吸引了大量物理学家用各种方法和 理论去解释颗粒振动现象，但到目前为止，还没有出现一个很系统的理论来解释 颗粒物质的振动问题。要想形成解释振动现象形成机制的理论，还需对其规律 作系统的研究。法拉第早在1 8 3 1 报告了在一个竖直振动的容器中，颗粒会形成 对流，但是对颗粒振动的广泛深入的研究还是近年开始的。在研究颗粒振动的实 验中，大多采用正弦振动a s i n ( 国t ) a 为振动的振幅，国为振动的圆频率。实验 显示，振动现象由缈和振动加速度a m 2 两个参数决定 比较容易理解的是竖直振动引起的颗粒运动，在振幅和频率比较小的条件 下，颗粒所表现出来的特异现象不是很明显。当振动加速度超过一定值时，颗粒 表面不再保持水平而呈现出倾斜或起伏【2 l l 等形状。实验表明，器壁与颗粒间的 摩擦力对流动和振动成堆起决定性作用。图l - 4 是振动加速度不太大时容器中颗 粒对流的情况示意。当颗粒与容器间的摩擦较大时，颗粒从中部向上，再由器壁 向下运动，当摩擦力较小时，颗粒沿器壁向上，然后由中心向下运动。在一边光 滑，一边粗糙的桶中的实验表明，粗糙的器壁使颗粒沿器壁向下运动。 图1 4 振动中颗粒物质的对流情况图 颗粒的这种对流运动与很多因素有关，如振动加速度、颗粒的性质和形态、 颗粒层的厚度、倾斜程度、气压等。a o l d 等人将小部分颗粒染色放到矩形颗粒 容器中以观察颗粒对流形貌，发现当振动加速度超过一定临界值时，颗粒对流方 向发生偏转，中间向下，两侧向上。随着加速度的改变，对流的强度也变强。而 且振动可以在颗粒的表面形成不同的斑图。在颗粒层厚度较小，振动加速度不大 的情况下可形成丰富的斑图花样。s w i n n e y 等用实验和计算机模拟详细研究了各 类斑图的产生。观察到了随着加速度和频率的改变，会出现四方、六角等形状斑 图花纹。 这里介绍一个比较有趣的现象，在振动频率和加速度较小时，在颗粒表面会 产生局部不稳定的现象，在平坦的颗粒表面会出现一些小峰【2 2 ，2 3 1 ，其出现的频 率约为振动频率的一半，其高度可达到颗粒高度的4 倍，峰的直径约为颗粒直径 的3 0 倍。 1 3 4 颗粒的流动特性 6 中南大学硕士学位论文第一章颗粒物质研究现状 前面讲述了颗粒振动的一些特性，知道了颗粒物质确实有很多奇特的性质被 忽视。下面来探讨一下颗粒流动的一些特性。 颗粒物质流动时，一般分两种情况来讨论，稀疏状态和密集状态：稀疏状态 是指颗粒间互不接触，类似液体的流动，这时流量q 与颗粒密度p 、速度v 和 流经截面s 成正比，即q = p v s ；密集态是指由于颗粒之间以及颗粒与容器器壁 间的摩擦力耗散了部分能量而影响了颗粒的流动，这时流动变得很复杂。有时还 要提到第三个状态，那就是阻塞态，其实这个时候颗粒已经没有流动了，但是这 种静止的状态是由密集态转变过来，所以其内部应力分布和颗粒的排布还是有其 自己的特征的。 颗粒物质流动的各个状态的研究取得了一些进展【2 4 捌】，在很早的时候人们 就知道用沙漏记时比水漏方便，原因是当水漏中的液面高度会影响水流的流量， 而沙漏就不存在这个问题，当沙漏中的表面高度超过了一定的值后，无论再怎么 加高沙面高度，也不会加大沙漏的流量，有点和粮仓效应类似，也应该有一定的 联系。下图表示最简单的平地漏斗，漏斗下开口尺寸为d 0 。下面来讨论颗粒流 量q 随开口尺寸d o 的变化，b e v e r l o o 等人的实验数据表明，q 狮与域近似呈线 性关系，流量q 可写为 ，一5 q = c p b g ( d o 一肠) 龙 f 1 s 、 、一1 这个公式通常称为b e v e r l o o 关系，其中风为颗粒体密度，g 为重力加速度，d o k d 表示当开口小到颗粒尺度d 的某一倍数时，颗粒堵塞，停止流动。 漏斗口的流量与很多因素有关，改变出1 ：3 角度( 见图1 6 ) ，也会引起流量变 化，如图1 5 。当出口角度大于3 5 0 时，流量随角度很快增加【2 5 1 ，当出口角度为9 0 0 时，则相当于在直管中流动。实验还显示出口流量几乎与颗粒堆的高度无关，仔 细观测流量随时间的变化关系，发现颗粒流是随机涨落的，其涨落范围为平均流 量的1 0 1 5 。 矗 簟 鐾 娶 q 01 0加3 04 05 0 0 ( ) 图1 - 5 漏斗出口流量与出口角度的关系【2 5 】 7 出 图1 石 出口角示意图 加 踮 柏 驰 中南大学硕士学位论文第一章颗粒物质研究现状 实验显示，颗粒流流量q 与开口尺寸d 和通道宽度w 有密切关系。在通道 宽度d 一定的条件下，固定颗粒流量q ，让开1 ：3d 缓慢减小，当d 减d , n 某一 临界值见时，颗粒流由稀疏流转变为密集流。改变一下d 值，重复上述过程， 当d 值小到某一值d o 时，颗粒流同样会由稀疏态转变为密集态，所不同的是不 同的通道宽度所对应的d c 是不同的，其关系如图1 - 7 。 4681 01 2 “墙墙恐纵 开口足寸d 曲吐 图1 7固定初始流量，不同的通道宽度所 对应的状态转变临界值【3 1 】 1 5蠲弱 麓遣寅度w m 图1 - 8 不同初始流量下临界开口d e 和道 宽度的关系【3 l 】 不同的流量，不同的通道宽度，其由稀疏态转变为密集态的临界值也是不一样的， 其关系如图1 8 。 2 0 0 4 年，m t a r z i a ，a f i e r r o 等人发展了一种基于平衡场理论的统计力学方 法，可以计算出不同大小颗粒在重力场空间中的分布。他们将将此方法运用到重 力场中垂直脉动的二元混合颗粒体系中，发展了描述在脉动振动中颗粒分离现象 的热力学方法。 1 3 5 应力凹陷与力链 在地面上制备一个圆锥形的颗粒堆，问你在颗粒堆的底部哪里的应力最大， 直观感觉是颗粒堆的中心应力最大。但是实际上并不是颗粒堆中心的应力最大， 在颗粒中心其应力比四围的应力要小，这种现象被物理学界称之为“应力凹陷 。 v a n e l 等人做了很多有趣的实验【3 2 】，如图1 - 9 ，研究锥形和梯形两种不同形 状颗粒堆的底部应力分布，发现不论是在那种堆中都存在应力凹陷现象。但是在 锥形颗粒堆中凹陷强度要比在楔形颗粒锥中明显，在锥形颗粒堆中心处的压力值 比最大值小了约5 0 ，在楔形颗粒堆中该值约为1 5 。实验显示不同的制备方 法和不同的制备过程以及颗粒堆的高度都会影响应力凹陷的程度，所以颗粒堆对 堆的制备历史具有记忆能力。 8 埔”矩墙h!譬他n加9 8 口基嚣口畚昧善 萄 勰 = 窖 粥 5 o fn|q嘲嚣冬基 中南大学硕士学位论文第一章颗粒物质研究现状 瓢 i ” “ i 虹 8 n 囝峪鹎 圈嗍 1 9 ( cj1 9 ( d ) 图1 4 不同的制备方法得到相同外形的沙堆( 锥形或楔形) ，发现堆底压力分布与沙 堆制备过程密切相关( a ) 点塬制成的圆锥形颗粒堆( b ) 面菲制成的圆锥形颗粒堆( c ) 戏 菲制成的楔彤颗粒堆( d ) 面瓣制成的楔形颗粒堆【3 2 】 e d w a r d s 对这种应力凹陷给出了辛 简单的解释 3 3 1 。他认为这是由于颗粒内部颗 粒之间形成拱形结构引起的，这种结构像拱桥一样把颗粒的重量分散到颗粒堆的 外围。在此基础上b o u n c h a u d 等提出了基于车轴假设 3 4 矧的连续近似模型，这个 模型的计算结果如图1 1 0 。 e 十。自* n 固1 1 0 沙堆威部应力随轴向住置的变化【3 2 颗粒物质中力如何分布，施加的作用力如何传播问题一直是物理研究的重点 问题，这个问题很复杂，有一个和重要的原因是颗粒物质对制堆过程具有记忆能 力，从上面能够看出，不同的制各过程，颗粒堆内部应力传播的方式是不同的。 颗粒物质通过接触发生相互作用，相互接触的摩擦力和弹力相互作用而形成了一 种拱形的结构而这种拱的形成在相同的制各方式下，在不同的制备过程中也不 医一习 i 4 2 o ， 扣严p n 一妒 一 中南大学硕士学位论文第一章颗粒物质研究现状 是一样的，也就是拱的形成是个概率性事件，但每一次都会有拱生成。这和固体 的内部应力特征有明显的差异。我们知道固体可以用连续介质力学来计算其内部 应力分布，在颗粒体系中，蒋老师从能量的角度出发，根据赫兹接触理论提出了 颗粒体系的方程。 和拱效应很密切的一个问题就是力链这个概念【3 6 1 ，在连续介质力学里，用 应力张量来描述连续介质里应力的分布，但在颗粒体系里，用什么概念来描述颗 粒体系里的应力传播呢，注意这里说颗粒体系里的应力，只是借用了连续介质里 的一些概念，因为还没有定义颗粒体系里的应力概念，那么为什么不定义在颗粒 体系里的应力的概念呢，实验显示，颗粒体系里并不像连续介质那样每个地方的 力的传导都是连续的，因为在固体里，分子间以电磁力相互结合，从宏观尺寸上 来看，每个部分相对均匀。而颗粒体，宏观上看分布就不均匀，这种不均匀导致 在颗粒体系中应力的不均匀，而是以链式的方式出现的。这种链称之为力链，在 颗粒堆里面具有拱结构，实际上就这种力链的拱式分布。这也应该是在颗粒堆里 会有应力凹陷的原因，而形成力链的原因在于颗粒堆里应力不连续。 1 4 颗粒物质的研究进展 1 4 1 研究方法 目前对颗粒物质的研究虽说很全面，但是还不够深入，研究方法很多，但还 没有形成系统的方法。 实验的方法是目前很普遍的方法，可以这么说，颗粒物质的研究还处在原始 实验积累的时期，实验的方法自然就成为很普遍的方法。在实验方法上，颗粒研 究遇到的了一个不小的困难，因为颗粒物质一个很重要的属性就是小激励，大响 应，这要求在实验时保证实验精度很重要，实验控制不好，很容易出现所测的数 据与所想要的数据有很大的区别，因为一个很小的外部条件的改变可能会导致 很大的内部响应，导致测量值较大的偏差。 理论研究也是目前很重要的方法，但很遗憾，目前还没有出现大家都接受的 理论，理论进展有限。虽然物理学界已经建立的不少的颗粒物质的理论研究模型， 但是它们有只能解释其中一部分的颗粒物质的行为。 在理论研究中还有统计学模型，连续介质模型等。统计学模型是从统计的观 点出发来研究颗粒物质，其困难在于尚未建立统计规律，所以很难严格的用统计 的方法来解决颗粒问题，导致的问题是有些现象由统计的观点可以解释，但有些 现象并不满足统计规律。连续介质也遇到了同样的麻烦，因为不连续，所以一开 l o 中南大学硕士学位论文 第一章颗粒物质研究现状 始就不满足连续条件，在颗粒物质里很难定义应力的概念，如果定义的话，也是 一种平均效果。我们都知道颗粒堆内部的应力分布和制堆历史有关，也就是颗粒 堆对制备过程具有记忆能力，这种能力给连续介质模型带来了不小的麻烦，因为 制备历史千变万化，方程不可能也随其变化，那么提出的方程到底是那种情况呢， 很难确定，目前连续介质模型还没有很好的解决颗粒物质的制备历史问题，所以 一些现象也很难解释，关于连续介质理论在后面还要具体的介绍。 由于颗粒物质的复杂性及目前的研究现状，目前很难准确地探知颗粒物质的 属性，但计算机模拟为研究颗粒个体行为属性提供了很好的手段，目前比较常用 的方法为分子动力学。 1 4 2 理论模型 ( a ) b b c 模型 此模型提出用现象学的方程来描述颗粒介质里力是怎样传播的。受压力低陷 现象和j a n s s e n 模型的影响，他们宣称力传播方程的线性部分应该像波动方程那 样是双曲型的，。其中，垂直方向坐标起着时间轴的作用，水平坐标相当于空间轴。 这意味着在二维情况下，应力是沿着点光源所形成圆锥体的方式传播的，这个圆 锥的角与自然坡度角有关，但不相等。 现在来考察二维颗粒堆试样的情况，如下图1 1 1 所示，z 是纵坐标，x 是横 坐标，斜面与水平面的夹角为矽。 。 z ， 够 x 7 平衡方程如下： 图1 1 l 二维b b c 模型示意图 孕+ 冬：p ( 础) 8 瓠 一i 。 盟+ 堕：0 a z西 其中，p 是颗的密度，重力加速度取1 ，为单位量。 ( 1 - 6 ) ( 1 - 7 ) 中南大学硕士学位论文 第一章颗粒物质研究现状 在j a n s s e n 模型1 段设中，局部水半力与竖亘应力厩止i ：u ，即 o x x = k c r 荔 ( 1 - 8 ) 由库仑不等式可知 。毕+ 盯露2 ! 三一主量s i l l 矽 ( 1 - 9 ) 矽为自然坡度角，与位置无关。 所以 争嗡2 可t a 2 0 x t = 。 其中c ；= 七。 由边界条件可知 仃l 。o ：。o = 0 ；仃i 。；细扛= oi 代入上式： 铲暴( 渤一功 垃嚣。 ( 1 - 1 0 ) 仃。2 毒惫。t a l l 吖垃嬲。 ( 1 - 1 1 ) 由盯i x = o , z = o = 0 和o - 。( - - x ) - - - o r 露条件，并在低面上仃荔对x 积分可得： o r ：p o z - t a n 一痧oxzc。(1-12) t a n 矽+ c o 。 仃露2 而p o c o x 。x 贸。( 1 - 1 3 ) 对于三维圆锥试样，此模型预言沙堆底部中心应力没有低陷，而是光滑的最 女值技似平县“雨式”方法形成试样的情况。虽然模犁更精确地描述了不同几 何形状里( 沙堆或筒仓) 应力的空间分布， 物理概念是静摩擦力( 用不等式限定它) ， 但是仍然存在着不足。例如，它基本的 因此它没有描述试样形成过程的准确方 程。在这种情况下，必须寻找另一种方法，这种方法能够反映整个沙堆的结构历 史，而不仅是它的形状。这种方法被认为是能够确定静应力的最终状态。其作用 是很大的，当然，实现它也是很难的。虽然这个模型在线性近似下没有解释低陷 的现象，但是这个解决问题的方法在近几年里产生了一定的影响，对研究颗粒体 中力传播问题起到了一定的推动作用。 1 2 中南大学硕士学位论文 第一章颗粒物质研究现状 c o ) o s l 模型 此模型像b b c 模型一样，有应力之间存在线性比例关系的假设。整个沙堆 都处于介质的屈服条件以下的状态，这与经典“极限平衡假设有着本质的不同。 对于这个模型来讲，用类似于分析沿着光线路径方式传播的波动状况的方法，可 以解释直接沿着特征曲线的应力传播方式。因此可以得到一个非常简单的应力传 播几何图形，从图形中可以很快推断出应力分量的变化。 o s l 模型也是个用双曲线方程来描述应力传播方式的模型，所要解的是波 动方程，这个方程有个额外的修正参数( 倾斜角) ，得出的结果接近但不同于 j a n s s e n 的近似解。在筒仓的试样结构里，此模型可以明确解答二维和三维情况。 虽然在微小的参数取值范围内，模型中没有出现低陷，但是这种模型与实验数据 符合得较好，它对加负载的力学现象解释得也比较好，可用于解释沙堆底部的应 力分布。 极限平衡模型。 这个模型也叫做i f e ( i n e ip i e n tf a i l u r ee v e r y w h e r e ) 模型，它假设每一处介质 的位置都是在此颗粒先前达到库仑角而崩塌滑落后停留的位置。这个假设也称为 “极限平衡假设。此模型还有另外一个重要的假设：所有的摩擦力都是充分的， 并且颗粒与颗粒，颗粒与容器壁之间摩擦系数等物理量不变。这些假设认为介质 的屈服判据能提供所需要的应力分量间的限定方程。极限平衡模型解释了筒仓里 的情况，需要解双曲线方程。值得注意的是，它像o s l 一样，给出双曲线式的 应力传递方程，但是非线性的，比线性的波动方程复杂许多。仍有人对这些物理 概念的假设产生了怀疑：当用漏斗的方法形成沙堆时，在沙堆表面有不断的崩塌。 因此，我们接受在表面有不断先前崩塌情况的说法。模型还忽略了这个区别，假 设中认为颗粒恰恰在崩塌滑落后所停留的位置，但对于某一个颗粒来讲，这样的 情况并不是一直保持的，后加人的颗粒使这一颗粒位于表面的底下，并且对它施 加了力。也就是说，这种假设也没有很好的反映试样的形成历史。实际上，这种 假设明显的被实验否定了，它没有成功的解释低陷现象。 ( c ) f p a 模型 该模型的重要假设是：在试样形成的过程中，应力张量的主轴已经被确定。 模型也因这个假设而得名。具体地讲，这个模型假设应力张量的主轴与竖直坐标 有个常量的倾斜角。这个主轴与应力传播的特征函数是相容的，并通过应力主轴 与坐标有常量倾斜角的条件来确定局域的应力分量限定方程。还认为应力在沙堆 里沿着网状拱似的结构传播。模型还假设颗粒静止后，描述应力的椭圆方程就确 定了，并且不因后加的负载而改变。三维情况下，有一半的计算结果能很好的与 已发表关于圆锥形颗粒堆的数据符合( 包括低陷) ，这些数据包括但不支持o s l 中南大学硕士学位论文 第一章颗粒物质研究现状 参数。f p a 理论大体上与实验符合的还是很好的。但也存在一些不足，例如在试 样形成的实际过程中，颗粒的位置并不是崩塌滑落后就停止不变的，并且主轴的 方向也是很不确定的，因此，假设并没有反映实际情况。 1 5 本章小结 本章主要介绍颗粒物质的相关概念、奇特的行为及其研究方法等。颗粒物质 作为一类特殊的软凝聚态系统，具有非常丰富的动力学行为和复杂的运动规律， 因此吸引了一大批学者的兴趣和广泛关注。在这一章里首先给出了颗粒物质的基 本定义颗粒物质是指微粒尺寸大于l 微米的宏观聚集体。然后介绍了颗粒物质 在静止状态、振动和流动时所表现出的各种奇特的性质及有趣现象。如粮仓效应、 沙堆底部压力凹陷、微观力链结构和振动时所表现出的振动斑图以及颗粒流动时 稀疏流、密集流和阻塞三种状态之间的相互转变及人们的研究结果。 由于颗粒物质研究起步晚，目前还没有出现统一的理论来阐述颗粒物质的物 理行为，其研究方法相对灵活，各种方法有着各自的优点，但同时也存在这明显 的缺点。在不同的方法中都有自己的研究模型，目前也没出现一个大家都能接受 的研究模型，所以颗粒物质的研究还有很长的路要走。 1 4 中南大学硕士学位论文第二章颗粒物质连续介质模型 第二章颗粒物质连续介质模型 2 1 连续介质力学概念 所谓弹性理论即是把固体作为连续介质来处理的力学【3 7 】。 固体在作用力影响下，将会发生形状和体积的改变。在连续介质力学里物体 形变的数学描述是按照下述方法进行的。物体内任意一点的位置由该点在某一坐 标系内的径矢r 来确定，设其分量分别为x l - - - x ，x 2 = y ，x 3 = z 。当物体变形时，移 动后每一点都有其对应的位置，这一位置在前一坐标系内也有其对应的径矢， 其分量为x ：。这样物体上每一点的位移就可以用矢量，一，来表示，将它记为u ： u f = 可一薯 矢量u 名为形变矢量，很显然，点移动后的径矢，应该是它移动前的径矢r 的函 数，所以形变矢量u 也应该初始径矢r 的函数。如果已经知道了函数u ( r ) ，那 么形变就是完全确定的。 当物体发生形变时，在物体内部点与点间的距离也会发生变化，取任何无限 接近的两个点，设它们之间形变前的径矢为出。，在形变后的物体中，这两个点 间的径矢变为出；= 如+ 咖f ，在形变前两点的间距为 r _ = ? d l = 出；+ 出；+ 历 ( 2 - 1 ) 形变后变为 d l7 = 压再面了虿( 2 - 2 ) 按照和式的通常写法( 张量求和法则) ，司以写为 d 2 = 群，d l “= 出；2 = ( 出i + 幽j ) 2 又以幽。：警d r k 代a ，d l 2 改写为 吼七 d l “= 讲2 + 2 当d r , d x ：k + 当挈d r t 幽 o x ko x ko x i 由于上式第二项按指标i 及k 求和，故可写出 当d r , d r i = 墼矾饥 o x ko x f 在第三项中把指标i 与l 调换一下，于是得到 ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) 中南大学硕士学位论文 第二章颗粒物质连续介质模型 其中张i _ u 业的定义于下： d l “= d 1 2 + 2 u 雎d r j 呶 ( 2 - 6 ) = 三c 象+ 警+ 警善，( 2 - 7 ， 张量名为形变张量，由定义可知该张量对称，即 嚣止2 甜知 有时，应用形变张量在球面坐标或柱面坐标中的分量较之在笛卡尔坐标系的更为 方便，在本文的后面将用到柱面坐标系，所以将这些分量在柱坐标中的表达式表 示出来： “ ：誓，材仰：三篓+ 生，：誓 ( 2 - 8 ) “，r2 苔川御2 7 亩+ 亍m 盘2 乏 ( 2 。8 ) 2 “材：! 誓+ 誓，2 甜厝：誓+ 警 ( 2 - 9 ) ro 囝a zo zo r 2 ：兰一生+ ! 盟( 2 - 1 0 ) 2 “咿2 詈一手+ ；云 在形变前的物体中，分子的布局是适应于物体的热平衡状态的，同时物体的 各个部分彼此处于力学平衡，在物体的内部取一微元，那么该微元所受合力为零。 在形变过程中，物体各部分的相对位置将发生改变，这时各部分离开了原来所处 的平衡状态，将产生使物体回复到平衡位置的力，这种变形中出现的力称为内应 力，如果物体没有变形，就不会出现内应力。 内应力是分子力引起的，即物体间的相互作用力。这种分子间的相互作用力 的半径很短，分子作用了只能达到与其相邻的分子，而弹性理论是宏观理论，从 宏观上看，物体内部各部分间的作用力只能通过该部分的表面其作用。当然如果 把物体放到具有宏观电场的环境里，就不能只以上述方法处理了。 在物体里截取任意一部分，并考察作用在该部分的合力，这一合力是作用在 该部分所有元素上合力的总和，可以表示为如下的体积分： i f d v 其中f 表示作用在物体单位体积上的力，因此在体元d v 上的作用力为f d v 。因 为在该部分内部不同部分之间不能产生异于零的合力，根据作用力与反作用力相 等的规律，内部不同部分间的作用力在积分时被消掉了。这样，所取部分所受合 力即为该部与该部分外表面相接触的表面间的作用力的面积分，积分面积为该部 1 6 中南大学硕士学位论文第二章颗粒物质连续介质模型 分的外表面。于是