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第一章 热力学基本概念与基本规律1、假定压强不太大时实际气体的物态方程可表示为只是温度的函数试求此气体的定压膨胀系数和等温压缩系数。解：由得 2、设某气体可以用范德瓦尔斯方程描述，求气体的定压膨胀系数和定容压强系数。解：由范德瓦尔斯方程 得 故 2（附加）：试求理想气体的体胀系数，压强系数和等温压缩系数。 解： 由理想气体的物态方程得 3、设某气体满足关系：、，试求其物态方程。解：由式积分可得： 将式对求偏导有 且与式 比较得 积分有 代入式 得 或 设（用表示）时，、，则由于时，一切气体趋于理想气体，所以有 与式 相比较得 代入式 即得气体的物态方程 即此气体是理想气体。4、设某气体的定压膨胀系数，等温压缩系数，其中、和为常数，求此气体的物态方程。解：由定压膨胀系数、等温压缩系数的定义、和题设、可得：，由循环关系可得：积分有5、已知某气体的定压膨胀系数，等温压缩系数，式中、为常数，试求出函数和系统的物态方程。解 由定压膨胀系数、等温压缩系数的定义、和题设、可得： 、 由式 积分可得： 或 此即系统的物态方程。将式对求偏导有且与式 比较得故函数 6、对于以、为独立变量的系统，证明其物态方程可由实验测得的体胀系数，及等温压缩系数，根据下述积分求得：。如果，试求物态方程。解 以、为独立参量，系统的物态方程为：其全微分为： 全式除以，有 由 和 有积分可得 7、某固体的 、 ，其中、为常数，试求其物态方程。解 由定压膨胀系数、等温压缩系数的定义、和题设、可得： 、将式积分有： 并对求偏导得 与式 比较有或积分得代入式有8、实验测得顺磁物质的 ， 。式中为磁场强度，为磁化强度，为常数。求顺磁物质的物态方程。解 由式积分得或。对求偏导有 与式比较积分 而故得物态方程为：9、描述金属丝的几何参量是长度，力学参量是张力，物态方程为。实验通常在下进行，且体积变化可以忽略。线胀系数定义为 等温杨氏模量定义为 其中为金属丝的截面积。一般来说，和是的函数，对仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量。假设金属丝两端固定，试证明当温度由降至时，其张力的增加量为解 由物态方程 知偏导数间存在以下关系：所以，有积分得10、理想气体在恒温下膨胀，经准静态过程，压强由变至，求该气体对外所作的功和吸收的热量。解 理想气体的物态方程准静态等温过程中气体体积由膨胀到，外界对气体所作的功为气体对外所作的功为等温过程中理想气体的内能不变，即。根据热力学第一定律，气体在等温过程中吸收的热量为11、在和1下，空气的密度为。空气的，空气的定压比热容为。今有27的空气，试计算：（1）若维持体积不变，将空气由加热到所需的热量。（2）若维持压强不变，将空气由加热到所需的热量。（3）若容器有裂缝，外界压强为，将空气由加热到所需的热量。解 （1）由空气的密度可得27空气的质量为（）空气的定容比热容为维持体积不变，将空气由加热到所需的热量为（）（2）维持压强不变，将空气由加热到所需的热量为（）（3）若容器有裂缝，加热过程中气体将从裂缝漏出，使容器内空气质量发生变化。根据气体的物态方程（为空气的平均摩尔质量），在压强和体积不变的条件下，容器内气体的质量与温度成反比。以、表示气体在初态的质量和温度，表示温度为时气体的质量，有所以容器有裂缝，外界压强为，将空气由加热到所需的热量为代入数值，得（）12、抽成真空的的小匣带有活门，打开活门让气体进入，当压强达到外界压强时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能与原来在大气中的内能之差为，其中是它在大气中的体积。若气体可看成理想气体，大气的温度为，小匣的体积为，试求它在匣内的温度，以及它原来在大气中的体积与的关系。解 将冲入小匣内的空气看作系统，系统冲入小匣后的内能与原来在大气中的内能之差由 确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，。过程中外界对系统作的功可以分为和两部分考虑：为大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由变为零，可看作等压过程，大气对系统所作的功。为系统冲入小匣的过程中，外界阻力对系统所作的功。小匣抽成真空，系统冲入小匣的过程中不受外界阻力，所以 故 若气体可看成理想气体，则 温度变化范围不大，理想气体的热容和看成常数，故由理想气体物态方程 且 可得15、声波在气体中的传播速度为假设气体为理想气体，试证明：（1）绝热指数；（2）当定压热容量和定容热容量可看成常数时，该气体单位质量的内能和焓可用速度和表示如下，解： （1） 根据式，得其中是介质的比体积（单位质量的体积）。由得因此 即得（2）根据式，声速的平方为，其中是单位质量的气体体积。理想气体的物态方程可表示为式中是气体质量，是气体的摩尔质量。对于单位质量的气体，代入式 得以表示理想气体的比内能和比焓（单位质量的内能和焓）。由式，知将式代入，即有 表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和即可确定气体的比内能和比焓。16、满足的过程称为多方过程，其中常数为多方指数，试证明，理想气体在多方过程中的热容量为 。证明：由热容量的定义。对于理想气体，内能只是温度的函数，所以。将多方过程方程与理想气体的物态方程联立，消去压强可得。微分，有所以代入式，即得17、试证明，在某一过程中理想气体的热容量如果是常数，则该过程一定是多方过程，且多方指数为。证明：根据热力学第一定律，有对于准静态过程有对理想气体 有气体在过程中吸收的热量为因此式可表示为用理想气体的物态方程除以上式，且，可得将理想气体的物态方程全式微分，有式与式联立，消去，有令则得如果、都是常数，将上式积分即得（常量）此式表明，过程是多方过程。18、大气温度随高度而降低的主要原因在于对流层中的低处与高处之间空气不断发生对流。由于气压随高度而降低时，空气上升时膨胀，下降时收缩。空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程。试证明这时大气温度随高度的变化率可表示为证明：取轴沿竖直方向（向上）。以和分别表示在竖直高度和处的大气压强。二者之差等于两个高度之间由大气重量产生的压强，即式中是高度为处的大气密度，是重力加速度。将展开，有代入式，得此式给出由于重力的存在导致的大气压强随高度的变化率。以表示大气的平均摩尔质量，在高度为处，大气的摩尔体积为，则物态方程为是竖直高度为处的温度。代入式，消去得由式，得气体在绝热过程中温度随压强的变化率为由式和式，有19